1 ère S Exercices sur le produit scalaire dans le plan) Réponses

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1 ère S Exercices sur le produit scalaire dans le plan) Soit CD un carré de côté a. Calculer les produits scalaires p C ; p C ; p3 CD ; p D D. Soit et deux points tels que a. On note I le milieu de [] et J le symétrique de par rapport à. Calculer les produits scalaires I ; I I ; J. 3 Soit C un triangle isocèle en tel que = C = 5 et C =. Soit I le milieu de [C]. Calculer le produit scalaire C. Soit,, C trois points tels que, C 6 et C. Déterminer la mesure en radians de l angle géométrique C. 5 Soit CD un carré de côté a. On note I le milieu de et J le milieu de C. Faire une figure codée en prenant () «horizontale», en bas à gauche, à droite, C et D «au-dessus» de (). J DI. Démontrer que 6 Soit u et v deux vecteurs tels que u, v 3 et u v. Calculer u v. Soit C un triangle du plan P. Déterminer l ensemble E des points M du plan P tels que l on ait M M MC 0. 3 Soit C un triangle du plan P. Déterminer l ensemble E des points M du plan P tels que l on ait M M C. Soit et deux points distincts du plan P. Déterminer l ensemble E des points M du plan P tels que l on ait M. Soit et deux points distincts du plan P. Déterminer l ensemble E des points M du plan P tels que l on ait M M 0. Indications : - introduire des carrés scalaires ; - factoriser en utilisant des identités remarquables ; - introduire des barycentres. 6 Soit et deux points distincts du plan. Soit D et D deux droites perpendiculaires à (). Ces droites coupent respectivement () en M et N. Soit P un point quelconque de D ; la droite (P) coupe D en Q. Quel est le projeté orthogonal du point P sur ()? Quel est le projeté orthogonal du point sur D? Comparer MQ et PN. 7 Soit u et v deux vecteurs tels que u 5, v et u v. Déterminer k tel que les vecteurs u v et u kv soient orthogonaux. On rédigera ainsi : «u v et u kv sont orthogonaux si et seulement si». p p ; a ; 0 p3 a ; p a D Réponses C 8 Soit C un cercle de diamètre [], C un point quelconque de C et D un point quelconque de []. La droite passant par D et perpendiculaire à () coupe (C) en E. Démontrer que l on a : D E C. Indication : calculer de deux manières différentes le produit scalaire E. 9 Soit CD un parallélogramme. On pose = a et D = b. Calculer C D en fonction de a et b. 0 Soit CD un parallélogramme. Démontrer que l on a : C D D. Détail des calculs : a. On note G le barycentre des points pondérés ; Soit C un triangle équilatéral de côté 0 ; 3 et C ;. Faire une figure en prenant () «horizontale», à gauche de, C «au-dessus» de (). Exprimer G en fonction de et C. Placer alors le point G sur la figure. Calculer G en fonction de a., Calcul de p ère méthode : on utilise la définition du produit scalaire de deux vecteurs.

2 D p C cos C (on évite d écrire C cos ; C en physique) Or CD est un carré donc C est rectangle isocèle en. Par suite C. De plus, C a (formule donnant la diagonale d un carré). D où : p a a p a e méthode : on utilise les projetés orthogonaux CD est un carré donc ()(C). est le projeté orthogonal de C sur la droite (). p p (carré scalaire du vecteur ) p p a Calcul de p CD est un carré donc () (C). Par suite, les vecteurs et C sont orthogonaux. Donc p 0 (le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est nul). Calcul de p 3 D qui est un peu lourd, même si c est ce que l on fait Comme CD est un carré, les vecteurs et CD sont colinéaires et de sens contraires. Donc p3 CD a. C Calcul de p ère méthode : p D D p D D cos D, D Il est impératif de mettre le chapeau car il s agit d un angle géométrique de vecteurs. Si l on ne met pas de chapeau, alors il s agit d un angle orienté de vecteurs ce qui n est pas possible car le plan n est pas orienté. 3 p a a cos p a a a p e méthode : p D D p D D p D D p DD cos D p aa p a 3 e méthode : CD est un carré donc (D)(). est le projeté orthogonal de sur la droite (D). p D D p D D p D D a p Pour la figure, tracer le segment [] horizontal avec à gauche de. Placer I en marquant le codage. a a I ; I I ; J a I est le milieu de [] donc et I sont colinéaires de même sens

3 Par suite, on a : I I a a a I est le milieu de [] donc I et I sont colinéaires de sens contraires. Par suite, on a : I I I I a a a J est le symétrique par rapport à donc et J sont colinéaires de même sens. Par suite, on a : J J a a a 3 On utilise la méthode du projeté orthogonal. C 8 Solutions détaillée : C est un triangle isocèle en et I est le milieu de C. Donc I est aussi le pied de la hauteur issue de. Par conséquent, I est le projeté orthogonal de sur (C). C I C. Les vecteurs I et C sont colinéaires et de même sens (car I est le milieu de [C]) donc C I C 8 C 3 On a : C C cos C D où C cos C C cos C 6 cos C La mesure en radians de l angle C est comprise entre 0 et. Donc C (car est le seul nombre compris entre 0 et dont le cosinus est égal à 3 3 ). 5 On calcule J DI en décomposant les vecteurs. On montre que ce produit scalaire est nul. J DI J D I (on utilise la relation de Chasles pour décomposer les vecteurs) D I J D J I 0 0 car les vecteurs et D sont orthogonaux I J D car les vecteurs et I sont colinéaires et de même sens a a a a 0 On en déduit que les vecteurs J et DI sont orthogonaux. Par suite, (J) (DI). 6 u v 6. u v u v u u v v u u v v Donc u v 6. car les vecteurs J et I sont orthogonaux car les vecteurs J et D sont colinéaires de sens contraires 7 On traduit l orthogonalité des deux vecteurs en disant que le produit scalaire est nul. On trouve : k 3.

4 u v et u kv 0 u u ku v u v kv 0 si et seulement si u ku v u v kv 0 si et seulement si 5 k 6k 0 si et seulement si 8k 5 si et seulement si k 3 sont orthogonaux si et seulement si u v u kv si et seulement si 8 Solution détaillée Pour la figure, on prendra le segment [] «horizontal», le point «à gauche» de et C «au-dessus» de la droite (). Le point D est le projeté orthogonal de E sur la droite (). Donc E D D car les vecteur D et sont colinéaires et de même sens. On sait que CC et que le segment [] est un diamètre de C, donc le triangle C est rectangle en C. On en déduit que C est le projeté orthogonal de sur (E). E C E C E car les vecteur C et E sont colinéaires et de même sens. On a donc E D E C. On en déduit que D E C. 9 C D b a Détail : C D D D On utilise l égalité du parallélogramme C D D D D D b a ) (On applique l identité remarquable scalaire u v u v 0 Faire une figure (on prendra la droite () «horizontale», à gauche de, C et D «au-dessus» de (), l angle D aigu). C D C D C D D C D D... Idée : On développe en utilisant les identités remarquables scalaires. D D D D D D C D D Par égalité de position, on a : G 3 C ; on calcule G ; on trouve : G a 9. G 3 C G 3 C 9 3 C C 9 C C 9 C cos C 3 9a a a 9a Donc : G a 9. Solution tentante mais complètement fausse : G 3 C 3 C 3 C 3a a 5a En effet, si u et v sont deux vecteurs u v u v. On fait trois étapes. Soit G le centre de gravité de C. On réduit la somme vectorielle en un seul vecteur. L ensemble E est la droite perpendiculaire à () passant par G. ère partie : réduction de la somme vectorielle Soit G le centre de gravité de C. On sait que G est le barycentre des points pondérés ( ; ), ( ; ) et (C ; ). Donc d après la relation fondamentale, M P M M MC 3MG e partie : chaîne d équivalences M E si et seulement si M M MC 0 si et seulement si 3MG 0 si et seulement si 3MG 0 si et seulement si MG 0 3 e partie : conclusion ; identification de l ensemble ) (on applique la règle du cours : ku v k u v E est la droite passant par G et qui est perpendiculaire à ().

5 3 L ensemble E est la droite passant par perpendiculaire à (C). On rédige par chaîne d équivalences. M E si et seulement si M M C si et seulement si M M C 0 si et seulement si M C 0 si et seulement si M C 0 si et seulement si M C M E si et seulement si 3MI MJ 0 si et seulement si 3MI MJ 0 si et seulement si MI MJ 0 L ensemble E est le cercle de diamètre [IJ]. I (I est donc le symétrique de par rapport à ) et J. 3 E E est la droite passant par perpendiculaire à (C). On peut aussi dire que E est la hauteur issue de dans le triangle C. On fait une figure et on trace l ensemble E en rouge. J I L ensemble E est la droite perpendiculaire à () passant par. M E si et seulement si M si et seulement si M 0 si et seulement si M 0 si et seulement si M 0 si et seulement si M 0 si et seulement si M E est la droite perpendiculaire à () passant par. On fait une figure et on trace l ensemble E en rouge. 5 Pour construire E, on place le milieu de [IJ]. Séquence bac (Nouvelle édition) Pages 89 et 90 Tous les exercices Travail personnel Contrôle continu p.79 exercices, 3 et p.80 exercices 6 et 7 p.8 exercices 0 et Fabriquer un énoncé à mettre dans les exercices sur les projetés orthogonaux (éventuellement en fabriquant un similaire). M E si et seulement si M M 0 si et seulement si M M 0 M M M M 0 si et seulement si On note I le barycentre des points pondérés ( ; ) et ( ; ). On note J le barycentre des points pondérés ( ; ) et ( ; ). D après la relation fondamentale, M P M M 3MI M P M M MJ

6 Fiche sur le produit scalaire dans le plan Notations On note P l ensemble des points du plan. P l ensemble des vecteurs du plan. Une unité de longueur est fixée. I. Définition et conséquences immédiates ) Définition (expression trigonométrique) u et v sont deux vecteurs quelconques de P. ) Cas particulier u v u v cos u ; v 0 si u 0 ou v 0,, C sont trois points quelconques de P tels que et C. C C cos C 3 ) P.S. de vecteurs colinéaires ) Signe du P.S. u v u et v sont deux vecteurs quelconques non nuls de P. u v 0 u ; v u v 0 u ; v u v 0 u ; v est aigu est obtus est droit u u v v si u et v sont non nuls si u et v sont colinéaires de même sens si u et v sont colinéaires de sens contraire II. Carré scalaire d un vecteur ) Définition u u u u ) Cas particulier III. Vecteurs orthogonaux ) Définition On dit que deux vecteurs u et v de P sont orthogonaux (on note u v ) pour exprimer que soit u et v sont non nuls et u ; v ; soit u 0 ou v 0 ) Propriété u v u v 0 3 ) Lieux d orthogonalité de référence dans le plan Ensemble des points M de P tels que CM 0 où,, C sont trois points tels que : droite perpendiculaire à () passant par C Ensemble des points M de P tels que M M 0 où et sont deux points tels que : cercle de diamètre de diamètre. IV. Expression du produit scalaire à l aide du projeté orthogonal ) Propriété,, C sont trois points quelconques de P tels que C. On note H le projeté orthogonal de sur la droite (C). C H C. ) Généralisation,, C, D sont quatre points quelconques de P tels et C D. On note H et K les projetés orthogonaux respectifs de C et D sur la droite (). CD HK.

7 V. Propriétés du produit scalaire ) Propriétés fondamentales (symétrie et bilinéarité du produit scalaire) ilan des méthodes de calcul d un produit scalaire P : u,v P : u,v P 3 : u,v,w P u v v u. P u v u v 3 P u v w u v u w ) Conséquence sur les développements scalaires doubles Expression trigonométrique avec le cosinus (cas particuliers vecteurs colinéaires + ou le produit des normes vecteurs orthogonaux : 0) Projeté orthogonal u,v,u',v' P u v u' v' u u' u v' v u' v v' P.S. de vecteurs 3 ) Identités remarquables scalaires u,v P u,v P u,v P u v u u v v u v u u v v u v u v u v Décomposition de vecteurs Calcul dans un repère orthonormé u v xx' yy'