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1 Visiter notre Forum : Visiter notre page : *************************************************** * bibliothéque eletronique des lasses prepa * ***************************************************

2 NOUVEAU PROGRAMME

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5 ISBN :

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8 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide PC-PSI Le phénomène de propagation d ondes est un phénomène très général Son importane pratique est onsidérable, ar il est à la base de nombreu as de transmission d informations Nous sommes onfrontés à ertains d entre eu de façon quotidienne : propagation du son, de la lumière, d ondes radio, Nous dérirons dans et ouvrage quelques as physiques où le phénomène de propagation se manifeste Dans e hapitre, nous l aborderons à l aide d un modèle élémentaire : la haîne d osillateurs ouplés Conséquenes d un ouplage d osillateurs Étude en régime libre et en régime foré Première approhe du phénomène de propagation Osillateurs méaniques à une variable d état Régimes libre et foré Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

9 Ondes Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Osillations libres d osillateurs ouplés Osillations libres d un système à un degré de liberté Osillateur harmonique Considérons un système à un seul degré de liberté, pour lequel nous noterons la grandeur évoluant au ours du temps La grandeur peut désigner un déplaement, un angle, un ourant életrique, une tension, une harge, et Si e système possède une position d équilibre stable 0, au voisinage de laquelle l équation d évolution de est de la forme : d dt 0 ( 0 ), nous observons des osillations harmoniques de pulsation du type : Cette situation n est généralement qu une modélisation de la réalité L équation d évolution linéaire n est souvent qu une approimation orrespondant à une linéarisation de l équation réelle d évolution de, au voisinage de l équilibre stable 0 Dans ertains as, l équation réelle n est pas linéaire, même pour de petits mouvements La solution obtenue orrespond à un mouvement perpétuel En pratique, nous renontrerons des situations mettant en jeu des termes dissipatifs tels que des frottements fluides Cette solution n est alors aeptable que pour des temps d observation des osillations depériode T faibles devant le temps aratéristique d amortissement Cei suppose un fateur de qualité élevé pour l osillateur étudié Osillateur méanique à rappel linéaire Considérons un mobile, de masse M, lié par un ressort de raideur K, astreint à glisser sans frottements le long d une tige horizontale (do ) La position au repos, pour laquelle la longueur du ressort est a 0, étant prise omme origine de l ae ( O), le déplaement du mobile par rapport à ette position d équilibre est () t Dans le référentiel d étude supposé galiléen, l équation du mouvement est : qui onduit à des osillations harmoniques de pulsation 3 Osillateur életrique ( 0 + m os( 0 t + ) M d K dt Le doument représente l équivalent életrique de l osillateur méanique du doument : la masse M et la onstante de raideur K sont remplaées respetivement par une indutane L et l inverse d une apaité C L appliation de la loi des mailles au iruit nous donne : 0 L ---- di q ave i + dq dt C dt 0 0 K ---- M L étude de e hapitre (epliitement au programme des setions PC et PSI) est onseillée pour tous les étudiants : il met en évidene l approimation des ilieu ontinus à partir de la haîne infinie d osillateurs harmoniques ouplés, et ainsi l équation de l Alembert a) b) a 0 a 0 + Do Osillateur méanique a En équilibre b Hors équilibre q q i C Do Osillateur életrique L 6

10 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) L évolution de la harge q est régie par l équation différentielle : où est l analogue de la pulsation de l osillateur méanique : LC K M Osillations libres d un système à deu degrés de liberté Étudions maintenant les onséquenes de l introdution d un ouplage entre deu osillateurs semblables au préédent Couplage de deu osillateurs Considérons le système représenté sur le doument 3 : deu mobiles identiques de masse M glissent sans frottements le long de l ae ( O) En l absene de ressort entral, les deu mobiles, liés au parois fies par les ressorts de raideur K et longueur à vide a 0, onstituent des osillateurs indé- K pendants, de même pulsation M Érivons les fores subies par les mobiles de la part des ressorts, en tenant ompte du ressort entral, de raideur k et longueur à vide b 0, et en hoisissant l origine O au niveau de la paroi de gauhe Le premier mobile est ainsi soumis au fores : q + 0 q 0, a) osillateur osillateur b) O K L ouplage 0 +ψ Do 3 Eemple de ouplage entre deu osillateurs identiques a Indépendants b Couplés K osillateur osillateur K k K 0 +ψ F K ( a 0 ) e et f k (( ) b 0 )e, et le seond à : f f et F K ((L ) a 0 )e Les équations d évolution sont don : Mẋ K ( a 0 ) + k ( b 0 ) Mẋ k ( b 0 ) + K (L a 0 ) Notons 0 et 0 les déplaements des deu mobiles par rapport à leur position à l équilibre d absisses respetives 0 et 0, Les équations d évolution deviennent : M K k ( ) M k ( ) K Le ressort entral introduit un ouplage entre les deu mobiles : les mouvements des deu masses ne sont plus indépendants Solutions des équations du mouvement Pour e système différentiel «symétrique», le hangement de variables : u + et v, appelées oordonnées normales, permet d obtenir les équations déouplées : Mu Ku Mv (K + k)v Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

11 Ondes dont les solutions u( et v( osillantes, sont de la forme : u( u m os ( t + ) u( A os t + B sin t ou v( v m os ( t + ) v( C os t + D sin t K ---- M où les pulsations et sont K + k M Connaissant les positions et les vitesses initiales des deu mobiles : ( 0 ), ( 0), d ( 0) et d ( 0), nous déterminons omplètement () t et dt dt () t qui s érivent : u ( m v os ( t + ) m + os ( t + ) u ( m v os ( t + ) m os ( t + ) Appliation Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Analogie életroméanique ) Montrer que le shéma életrique (do 4) modélise un système életrique ouplé analogue à elui des deu osillateurs méaniques préédents ) Résumer par un tableau les orrespondanes entre les grandeurs relatives au osillateurs életriques et méaniques ) Comme au 3, nous avons onstruit (do 4) un analogue du système [K-M-k-M-K] sous la forme [C-L-C -L-C] Q Q i C L C i + i Q Q Do 4 Osillateurs életriques ouplés L C i Q Q Les équations d évolution du système sont : ave et À l équilibre L di dt L d i d t Q Q C C et les harges des ondensateurs, notées Q 0, Q 0 et Q 0, vérifient : Q Q C C d Q i , d Q i d t d t i + i i i 0, Q C dq dt Q C Q C La loi des nœuds et la onservation de la harge montrent que la harge totale Q + Q + Q reste onstante et égale à Q 0 + Q 0 + Q 0 8

12 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) Les éarts de harges : q Q Q 0 et q Q Q 0 ( q Q Q 0 q q ) vérifient le système différentiel d équations ouplées : Lq Lq C C q C q C q C C q Ce système est formellement équivalent au système obtenu préédemment en identifiant l éart de harge q au déplaement q de la première masse par rapport à l équilibre, et à (le signe moins vient du fait que l eès de harge sur le dernier ondensateur orrespond en méanique à une ompression du seond ressort par rapport à sa position à l équilibre) ) Nous pouvons, sans plus de alul, proposer le tableau de orrespondane du doument 5 osillateurs ouplés aratéristiques éarts à l équilibre pulsations propres méaniques M, K, k K ----, M K + k M életriques L, ---, q, C C q LC L C C Do 5 Analogie életroméanique 3 Pulsations et modes propres Les pulsations et sont appelées pulsations propres du système d osillateurs ouplés Le système peut osiller à la seule pulsation si v( est onstamment nul, don lorsque ( ( Nous obtenons, dans e as, un mode propre d osillation assoié à la pulsation w À e mode orrespond des déplaements identiques des deu mobiles : il s agit d un mode d osillation symétrique (do 6a) De même, le système peut osiller à la pulsation si u( 0, soit ( ( Nous obtenons alors le mode propre d osillation de pulsation C est un mode d osillation antisymétrique (do 6b) La solution générale du système linéaire des équations du mouvement est une ombinaison linéaire des deu modes propres d osillations : u m os ( t ) v m Pour observer l un de es modes d osillation seul, par eemple le mode d osillation symétrique, il faut avoir v( 0 Cei est assuré par des onditions initiales de la forme v(0) 0 et dv (0) 0 : le système est initialement eité dans le mode d osillation dt symétrique os ( t + ) a) ψ ψ ψ b) ψ ψ ψ Do 6 Osillateurs ouplés identiques a Mode d osillation symétrique b Mode d osillation antisymétrique Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

13 Ondes Les mouvements d un système (stable) dont l évolution est dérite par un système différentiel linéaire résultent d une superposition de mouvements orrespondant au modes propres du système Ces modes propres sont des états d osillation, où tous les éléments du système sont animés d un mouvement osillant dont la pulsation est une pulsation propre du système Si le système est eité initialement dans l un de ses modes propres, il y reste par la suite Remarques La méthode que nous venons d utiliser est générale et peut être étendue à d autres systèmes différentiels linéaires, dérivant les évolutions de systèmes physiques à degrés de liberté multiples, par eemple N osillateurs ouplés Plus généralement, la reherhe de solutions proportionnelles à (au lieu de e jt ) permet de déterminer un ensemble de solutions r omplees Le système est stable lorsque toutes ses valeurs propres r possèdent une partie réelle négative e rt Appliation Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Reherhe systématique des pulsations propres, battements Le système linéaire d équations différentielles ouplées : M K k ( ) M k ( ) K régit l évolution des deu osillateurs ouplés Pour e système, l observation d osillations est attendue ) Disuter l eistene et la forme des déplaements () t et (), t solutions osillantes de pulsation à déterminer (utiliser la notation omplee : () t 0 e it et () t 0 e it ) ) À l instant initial, les deu mobiles sont sans vitesse dans les positions ( 0) 0 et ( 0) 0 Déterminer () t et (), t et en déduire qualitativement les mouvements des deu mobiles dans le as d un ouplage faible : kk ) Les solutions proposées sont ompatibles ave le système différentiel préédent si : K + k k M M k M K + k M Pour avoir une solution différente de la solution triviale { 0 0; 0 0}, il faut que le déterminant de e système homogène soit nul : K + k k M M Les solutions positives de ette équation biarrée sont les pulsations et obtenues préédemment Si nous reportons la valeur dans le système homogène, nous obtenons 0 0 Les mouvements orrespondants sont, en notation réelle, de la forme : u m os ( t + ) u m os ( t + ) 0

14 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) De même, si, alors 0 0 et les osillations de pulsation sont de la forme : ψ v m os ( t + ) v m os( t + ) Les solutions du système différentiel linéaire des équations du mouvement peuvent don s érire : u m v os( t + ) m os( t + ) u m v os( t + ) m os( t + ) Nous retrouvons ii les résultats préédents en utilisant le aratère symétrique, remarquable mais fortuit, du système d équations différentielles régissant l évolution des mobiles ouplés ) Nous trouvons ave les onditions initiales proposées : () t () t [ os ( + os ( ] 0 os t os t [ os ( os ( ] 0 sin t sin t ψ Do 7 Mise en évidene du phénomène de battements Lorsque le ouplage est faible, les pulsations : et sont très différentes : Les solutions : et () t 0 os ( os ( () t 0 sin ( sin ( osillent alors «rapidement» à la pulsation ( ), leurs amplitudes osillant lentement ave une période égale à Le doument 7 représente es évolutions faisant apparaître un phénomène de battements L énergie, onstante pour e système idéalisé, est alternativement stokée dans l un ou l autre des deu osillateurs ouplés t t 3 Mouvement de N osillateurs ouplés Pour s entraîner : e et 5 Ayant abordé les as d un ou deu osillateurs, nous admettrons la généralisation des résultats obtenus au as de N osillateurs ouplés (nous y reviendrons dans l appliation 3) L étude de N osillateurs ouplés identiques (do 8) fait ainsi apparaître N modes propres de pulsations toutes distintes : les mouvements observables sont des superpositions de es N modes propres de la haîne a a 3a Na 0 ψ ψ ψ 3 Do 8 N osillateurs ouplés ψ N Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit

15 Ondes Représentons les osillations de es systèmes en portant sur un graphe : laposition d équilibre na de la n ième masse en absisse ; son déplaement en ordonnée (bien que les mouvements étudiés soient longitudinau) (do 9) Pour N n on (do 9), l unique mobile effetue des osillations harmoniques K à la pulsation (la présene de deu ressorts liés au mobile eplique la présene du fateur M ) Pour N (do 0), ave trois ressorts de même raideur, les pulsations K 3 K des deu modes propres sont ---- et Les modes propres M M et orrespondent à des osillations respetivement symétriques et antisymétriques des deu mobiles Le as N 3sera étudié dans l eerie 3 La détermination des pulsations propres pour N quelonque sera l objet de l appliation 3 Nous nous ontenterons d énoner les résultats pour l instant Le doument résume les résultats N et N, puis fait apparaître l etension des résultats au as N 3, puis N quelonque Do 9 N a) mode b) mode a ψ Do 0 N a Mode b Mode a mode mode mode 3 mode N N N N 3 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit N Do Déplaements fitifs des mobiles en fontion du nombre d osillateurs ouplés Réponse d un système linéaire stable Système linéaire Osillations forées d osillateurs ouplés Nous voulons étudier la réponse d un système à N variables à une eitation imposée L eitation est un signal physique déomposable en une somme de

16 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) omposantes harmoniques de pulsation : somme disrète (série de Fourier) dans le as d une eitation périodique, ou ontinue (transformation de Fourier) le as éhéant La réponse du système linéaire (ou au moins linéarisable) à ette eitation sera la superposition des réponses obtenues pour haque omposante harmonique de l eitation onsidérée séparément Nous ne disuterons don, dans e qui suit, que de la réponse du système à une eitation sinusoïdale permanente Système stable Nous ne nous intéresserons de plus qu à des systèmes stables : le système a besoin d être eité pour se mettre à évoluer Cette stabilité nous permettra de pouvoir rester dans un domaine d évolution linéaire 3 Termes dissipatifs Les systèmes que nous étudierons seront, dans un premier temps, idéalisés : nous négligerons les phénomènes dissipatifs Dans la pratique, es phénomènes, même faibles, eistent toujours Ils se manifestent, en partiulier, lorsque le système est soumis à une eitation sinusoïdale, par un régime transitoire de durée finie Nous nous intéresserons par la suite à la réponse du système en régime permanent sinusoïdal établi Système osillant à un degré de liberté Résonane de l osillateur idéal L osillateur à un degré de liberté représenté sur le doument est eité par un système bielle-manivelle réant un déplaement de la forme ( de l un de ses points d attahe En notant a 0 la longueur à vide des ressorts, son équation d évolution est : soit M + K K a) M K (a + a 0 ) + K(a a 0 ), b) ( Do Osillateur entretenu a repos b Mouvement a () t La quantité F( K( est une fore supplémentaire appliquée au mobile du fait du déplaement du point d attahe du ressort de gauhe L équation du mouvement est don : F (t ) K ave M M a Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

17 Ondes En régime permanent sinusoïdal, la réponse () t (réponse fréquenielle de l osillateur harmonique idéal) est de la forme : t () A() os [ t + ( )] A ave A() F et 0 M Les variations du module A de l amplitude en fontion de la pulsation de la fore eitatrie font apparaître une résonane pour (do 3) F 0 M ω ω Limitations de la résonane La divergene de l amplitude d osillation à la résonane est en fait limitée par la prise en ompte de diverses limites du modèle utilisé : eistene de frottements, par eemple fluides, qui ne peuvent plus être négligés lorsque l amplitude, don la vitesse, devient trop importante ; limitations du modèle linéaire : fontionnement hors des limites dans lesquelles le rappel du ressort peut être onsidéré omme purement élastique, eistene de parois Les limitations dues à l eistene de frottements fluides onduisent à l équation du mouvement suivante : Do 3 Amplitude (module) des osillations de l osillateur idéal Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit où Q désigne le fateur de qualité, supposé assez élevé, de l osillateur En régime permanent sinusoïdal, utilisons la notation omplee pour représenter la fore F ( t ) F 0 os ( t ) e (F 0 e jt ), la réponse orrespondante est de la forme Q Le module de l amplitude omplee A du déplaement : est maimale (mais non infinie) pour Q (ondition d eistene d une résonane) 3 Osillations forées d un système à degrés de liberté multiples 3 Systèmes à deu degrés de liberté F( , M ( e (() e (A()e jt ) A F M ( ) Q Q (do 4), si Pour un osillateur harmonique réel à un degré de liberté, de bon fateur de qualité, l amplitude de ses déplaements devient importante lorsque la pulsation de l eitation est prohe de sa pulsation propre Reprenons le as de deu osillateurs ouplés identiques, liés par trois ressorts semblables de raideur K, la paroi de gauhe effetuant des osillations orrespondant à ( t ) 0 os t A F 0 M ω ω ω Do 4 Amplitude des osillations de l osillateur réel en présene de frottements fluides, en fontion de la pulsation eitatrie 4

18 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) Les équations des mouvements des deu mobiles sont (f ) : F os t M ave Utilisant les variables normales u + et v, nous obtenons : u v + u + v F os t M F os t M où 0 et 0 3 sont les pulsations propres du système Cette dernière forme fait apparaître l eistene de deu résonanes pour e système à deu degrés de liberté, obtenues lorsque la fréquene d eitation oïnide ave l une ou l autre des fréquenes propres Les amplitudes d osillation des variables u et v s obtiennent par simple leture des équations du mouvement Les amplitudes des osillations sinusoïdales ( A () os t et ( A () os t des mobiles s en déduisent :, 0 K ---- M a) b) Do 5 Amplitudes (modules) d osillation des deu mobiles ouplés (as idéal) a b ξ ξ A A ω ω ω ω F M F M ω ω A () A () F M F M Le doument 5 représente les variations des modules de A () et A () en fontion de la pulsation d eitation Dans le as d osillateurs réels, mais de bonne qualité, nous obtiendrons des limitations analogues à elles qui ont été vues pour l osillateur simple au (do 6) Pour s entraîner : e A 3 Chaîne d osillateurs Les études préédentes peuvent être étendues au as de la haîne de N osillateurs ouplés identiques Lorsqu un ensemble de N osillateurs ouplés (de bonne qualité) est soumis à une eitation sinusoïdale permanente de pulsation, l amplitude des mouvements des osillateurs devient importante lorsque la pulsation de l eitation s approhe de l une des pulsations propres du système Comme préédemment, l amplitude des osillations déroît rapidement dès que la fréquene de l eitation dépasse elle du n ième mode, de pulsation maimale Au-delà de ette pulsation, la déformation induite par l eitation n est quasiment pas transmise par la haîne L étude menée au 3 onfirmera l eistene d une pulsation de oupure Pour s entraîner : e 7 A Do 6 Amplitudes (modules) d osillation des deu mobiles ouplés (as réel) ω ω Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

19 Ondes 3 Première approhe du phénomène de propagation 3 Le phénomène de propagation 3 Propagation dans la haîne d osillateurs Dans la haîne d osillateurs identiques (do 7), l équation du mouvement du N ième mobile est : M n K n K n + K n + Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 0 Do 7 Chaîne d osillateurs Rappelons que représente le déplaement de l osillateur «n» par rapport à sa position d équilibre repérée par l indie n Cette équation traduit le ouplage du n ième mobile ave ses plus prohes voisins Imaginons que le mobile avane un peu Par l intermédiaire du ressort de liaison, il va pousser le mobile, qui poussera ensuite le mobile 3, qui provoquera le déplaement du 4, et De prohe en prohe, une déformation de la haîne de ressorts est véhiulée de mobile en mobile, le long de la haîne : le déplaement des mobiles se propage le long de la haîne d osillateurs ouplés Dans la haîne d osillateurs ouplés, le déplaement d un mobile induit une fore qui agit sur ses plus prohes voisins, les mettant en mouvement Leurs déplaements induisent de nouvelles fores, don de nouveau déplaements La déformation des liaisons entre mobiles voisins va se propager de prohe en prohe dans la haîne La grandeur qui se propage (ii le déplaement des mobiles de la haîne) est une onde L eistene de deu grandeurs (déplaements et fores), qui se réent l une l autre (grandeurs ouplées), est à la base des phénomènes de propagation d ondes Remarque a a 3a Na ψ n ψ ψ 3 La haîne d osillateurs peut onstituer une modélisation élémentaire, à une dimension, de la propagation de vibrations des atomes (ou ions) dans une struture ristalline 3 Propagation en physique Le phénomène de propagation d ondes intervient dans de nombreu domaines de la physique : les déplaements de vagues à la surfae d un oéan, la propagation d ondes sonores, d ondes életromagnétiques, et Le phénomène de propagation d un signal ne se limite pas au seul domaine d appliation de la physique «pure» : la holà qui se propage dans les gradins d un stade (do 8), la propagation d une information, en sont d autres eemples Nous nous proposons d étudier la propagation d une ou plusieurs grandeurs physiques, pour laquelle nous définirons une vitesse de propagation Nous éta- ψ N Do 8 Évolution d une holà dans un stade : les individus restent à leur plae mais l onde se propage 6

20 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) blirons pour ela une équation aratérisant la propagation de la grandeur étudiée : l équation de propagation Nous effetuerons ii une approhe de es notions en prolongeant notre étude de la haîne d osillateurs ouplés 3 Ondes dans la haîne d osillateurs 3 Équation de propagation La propagation d une onde est dérite par son équation d évolution, enore appelée équation de propagation L équation du mouvement du n ième mobile : M n K n K n + K n + peut être appelée équation de propagation de la déformation de la haîne d osillateurs par rapport à l équilibre 3 Solutions harmoniques L équation de propagation de la déformation de la haîne : est une équation linéaire n K 0 ( n n + n + ) ave M Cette haîne étant onstituée d osillateurs ouplés, herhons s il eiste des solutions osillantes sinusoïdales, de pulsation ; utilisons la notation omplee et posons : n ( t ) e ( n () e ( A n e jt ) ave A n A n e j La variable n ( vérifiant l équation de propagation impose la relation de réurrene : Cherhant A n sous la forme A n r n, l équation aratéristique qui est assoiée à la relation de réurrene donne l équation du seond degré suivante : de disriminant 0 A n+ ( + 0 )A n + 0 A n 0 0 r ( + 0 )r + 0 0, ( 4 0 ) Les solutions r et r vérifient r r Si est positif ( est-à-dire 0 ), l une des raines, réelles, est plus grande que Nous obtiendrons alors des solutions A n, ombinaisons linéaires de r et r n, n divergentes Cei est physiquement inaeptable pour une haîne infinie d osillateurs idéau Le disriminant étant néessairement négatif, les pulsations des osillations libres seront limitées au domaine : 0 0 Posons 0 sin ---, étant ompris entre 0 et ; l équation aratéristique prend la forme : r r os + 0, les deu raines de l équation aratéristique, r et r, omplees onjuguées et de produit égal à, s érivent : r, e ± j e ± jka, en posant k --- a Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

21 Ondes Les ondes sinusoïdales se propageant le long de la haîne sont don de la forme : n ( A + e A + e j(t ) + A e j(t nka nka + 0+ ) j(t + nka ) A e j(t + nka + 0 ) Les mouvements osillants des masses s érivent, en notation réelle : n ( A + os (t nka + 0+ ) + A os (t + nka + 0 ) L équation de propagation impose une relation entre w et k appelée relation de dispersion : 4 0 sin ka K sin M ka Les fréquenes d osillations libres de la haîne infinie dérivent une bande de fréquenes allant de 0 à K M + 33 Ondes progressives monohromatiques Considérons l onde n ( t ) A + os ( t nka + 0+ ) Le déplaement de la n ième masse orrespond à la valeur de ette fontion d onde na, position d équilibre de e mobile : n ( ( 33 Onde monohromatique ou harmonique, ( na) (, En optique, les ondes életromagnétiques omposant la lumière ont une ouleur liée à leur fréquene Par etension, nous dirons que l onde harmonique (, A + os (t k + 0+ ) est une onde monohromatique, ou onde harmonique en Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 33 Onde progressive La fontion (, prend la même valeur en + à l instant t + tsi k t (do 9) Nous pouvons dire que ette onde monohromatique, aratérisée par sa phase, se déplae à la vitesse, dite de phase : v --- L onde (, se k déplae et progresse le long de l ae ( O) de la haîne à la vitesse v C est une onde progressive Remarque Il faut bien distinguer la vitesse de déplaement des mobiles : d n () t dt ---- (, t ( na) et la vitesse de propagation de l onde, --- Si es deu grandeurs sont homogènes, elles ne représentent pas du tout la même k hose Dans le as de la propagation d une holà dans un stade, par eemple, il est lair que la vitesse d osillation d un spetateur (qui ne quitte pas sa plae), perpendiulaire au gradins, est totalement différente de la vitesse de déplaement de ette même holà, qui est parallèle au gradins (do8) Dans d autres as de propagation, les grandeurs qui se propagent ne seront peut-être même pas homogènes à un déplaement ou à une vitesse, mais nous définirons enore une vitesse de propagation de l onde onsidérée ψ t t 0 t t 0 + Δt vδt Do 9 Onde progressive se propageant à la vitesse v 8

22 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) De façon générale, un signal physique, ii une onde, pourra se déomposer en une superposition de omposantes harmoniques ; nous le reverrons au hapitre 7 onsaré à la dispersion (f H-Prépa, Életronique, re année, hapitre ) Les déplaements orrespondant au osillations libres des mobiles d une haîne infinie d osillateurs peuvent se mettre sous la forme d une superposition d ondes progressives monohromatiques Les fréquenes de es ondes sont situées dans une bande permise 34 Longueur d onde, veteur d onde Les ondes + (, A + e j(t k) et (, A e j(t + k) ont la même fréquene Ces deu ondes progressives se propagent de façon similaire le long de la haîne, mais dans des diretions opposées À une onde progressive monohromatique (, A e j(t k), nous asso- ω ω 0 ierons un veteur k ke, appelé veteur d onde, qui indique sa diretion de propagation (en prenant k algébrique, positif ou négatif, pour tenir ompte des deu sens de propagation) La pulsation et le veteur d onde sont liés par la relation de dispersion (k) dont le graphe est représenté sur le doument 0 Ce graphe est limité à la zone --- k --- (appelée première a a zone de Brillouin), ar les valeurs k et k orrespondent à la même solution physique n ( t ) a Une onde progressive monohromatique a deu périodiités : la période temporelle T et la période spatiale, ou longueur d onde, l qui k sont liées par l v T ; v représente la vitesse de propagation de la phase «t k» : est la vitesse de phase Appliation 3 π a 0 Do 0 Courbe de dispersion π a k Modes propres d une haîne d osillateurs On reprend l eemple d une haîne finie de N osillateurs ( n,, N ) dont les etrémités sont fiées à deu parois d absisses 0 et ( N + )a ) Montrer que la ompatibilité des solutions : n () t A ej ( t nka ) + A e j ( t + nka ) ave es onditions au limites impose une quantifiation de leur longueur d onde Eprimer le déplaement réel des masses orrespondant ) Combien de valeurs quantifiées aeptables obtient-on? Commenter Les plaer sur le graphe de dispersion pour N 3 ) L équation d évolution : impose la relation de dispersion érite préédemment De plus, les équations d évolution des mobiles n et n N sont : et n 0 [ n n + n + ] 0 [ + ] N 0 [ N N ] Vérifier es deu relations revient don à introduire deu mobiles fitifs indiés n 0 et n N +, au etrémités de la haîne, pour lesquels à tout instant : 0 () t 0 et N + () t 0, Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

23 Ondes soit : et A e j( N + )ka + A e j( N + )ka 0 A + 0 A L obtention de solutions non nulles impose : p sin ([ N + ] ka) 0, soit k ( N + )a k, p où p est un entier naturel (k est ii positif, l onde «k» étant omprise dans la solution envisagée) Les longueurs d ondes ne peuvent ainsi prendre qu une série de valeurs disrètes : ( N + )a l p p Le déplaement de la n ième masse s érit, pour le mode p : n () t 0 sin ( nk p a) sin ( t + ), ave 0 A A et arg ( A ) la haîne que nous avions donnés par antiipation au 3, représentés sur les douments et pour p, p, p 3 et p N ) Les pulsations des osillations libres sont limitées à la bande [ 0; 0 ], les valeurs de k à l intervalle 0; ā -- et l entier p est limité à la série de valeurs : p, p,, p N (p 0 donne une solution nulle, et p p+ N + redonne la solution du mode p) Nous avons don N modes d osillations de la haîne des N osillateurs fiés à ses etrémités Les points représentant les modes p, et 3 de trois osillateurs identiques ouplés sont positionnés sur la ourbe du doument ω ω 3 ω ω ma 3 p p ω p 3 p N Do Représentation des modes propres Cette epression nous permet de omprendre l allure des représentations symboliques des mouvements de π 4a π a 3π 4a Do Modes propres plaés sur la ourbe de dispersion pour N 3 π a k Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 35 Approimation des milieu ontinus La haîne d atomes ouplés élastiquement (rappel linéaire) par des ressorts onstitue une modélisation simple pour dérire la propagation de petits mouvements vibratoires dans un solide, est-à-dire la propagation du son dans un solide Celui-i est, en effet, onstitué d empilements réguliers d atomes (de moléules ou d ions) ; les fores, rappelant un atome vers sa position d équilibre, peuvent être modélisées, à l ordre linéaire, par un rappel élastique, dans la mesure où les amplitudes des vibrations des atomes sont faibles (Nous supposons ii le solide homogène et isotrope) Dans un solide, les atomes ne sont séparés que de quelques diièmes de nanomètres, et les longueurs d onde l des ondes sonores qui s y propagent sont en pratique très grandes devant la distane interatomique a : al Pour ka les valeurs n ( et n+ ( des déplaements de deu mobiles voisins diffèrent très peu L ensemble des valeurs n ( dérit de façon quasi ontinue les valeurs prises par la fontion d onde (, Nous pourrons utiliser une approimation de milieu ontinu si la dimension aratéristique du milieu (la longueur a pour la haîne d osillateurs) est petite devant la longueur d onde l des ondes qui se propagent : a l 0

24 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) 36 Équation de d Alembert Dans es onditions, nous pouvons érire : + ( ( (n + )a, a a ! n ( ( (n )a, a ! n L équation de propagation : prend la forme d une équation au dérivées partielles : t 0 a , appelée équation de d Alembert a n 0 ( n n + n + ) ( na, ( na, Dans l approimation du milieu ontinu, l équation de propagation des déformations de la haîne de masses ouplées est l équation de d alembert à une dimension : t k ω ω ω 0 K 0 a a ---- est une vitesse, grandeur aratéristique de la propagation Dans l approimation du milieu ontinu, la relation de dispersion devient M (do 3) : k La vitesse de propagation des ondes progressives monohromatiques est alors v Elle est indépendante de la fréquene de es ondes, si l a Les ondes dérites par l équation de d alembert se propagent à la vitesse qui est aratéristique du milieu de propagation π a 0 approimation du milieu ontinu : k a << Do 3 Courbe de dispersion pour a l π a k La vitesse de propagation du son dans un solide est ainsi, pour le modèle que nous avons développé, égale à : Ka s M Il est aussi d usage de l érire sous la forme : E s ---, où E est le module de Young, ou module d élastiité, du matériau et sa masse volumique On applique au deu etrémités d une tige ylindrique une fore F olinéaire à l ae du ylindre (do 4) Si la fore F est suffisamment faible, la déformation est élastique et la longueur de la barre vérifie : F ES où E est le module de Young et 0 la longueur en l absene de ontrainte F setion droite S Do 4 Élongation d une tige ylindrique E Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit

25 Ondes Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Le doument 5 nous montre que le son se propage nettement moins vite dans les solides «mous» (plomb) que dans les solides «durs» (grani Comparée à la vitesse du son dans l air qui est de l ordre de vitesse du son dans les solides apparaît assez élevée Remarque L approimation du milieu ontinu permet de modéliser le omportement d un milieu disret à une desription ontinue, omme nous venons de le faire En revanhe, elle n implique pas néessairement l obtention de l équation de propagation de d Alembert Nous obtiendrons, par eemple, dans l eerie 6 une autre équation de propagation, appelée équation de Klein-Gordon%%% 33 Conlusion sur la propagation la Pour s entraîner : e 4 De façon plus générale, une équation de propagation dans un milieu ontinu peut être vue omme une équation au dérivées partielles reliant les dérivées partielles (de la grandeur qui se propage) par rapport à la position (à une dimension omme i-dessus, ou à plusieurs si on imagine, par eemple, des ondes à la surfae d un liquide, ou des ondes émises dans l espae par une soure lumineuse pontuelle, ) au dérivées partielles par rapport au temps (i-dessus n intervient que la dérivée seonde par rapport au temps, mais il peut n intervenir que la dérivée première, ou aussi les deu (f hapitre 8)) La grandeur qui se propage peut être un salaire (suppression dans le as des ondes sonores dans un fluide (f hapitre 4) ou un veteur (ondes életromagnétiques : (f hapitres 5, 6, 8 et 9) Dans le as présent la déformation est longitudinale mais elle peut être aussi transversale dans une seule diretion omme sur une orde vibrante (f hapitre ) ou dans deu diretions (f eerie 6 de e hapitre et le hapitre 5) Le plus souvent ette équation de propagation est linéaire (ontre-eemple dans le hapitre 3, eerie 7) Nous pouvons alors utiliser les outils mathématiques de l analyse de Fourier et don nous intéresser à des solutions sinusoïdales qui sont souvent reherhées de la forme dite onde plane progressive est-à-dire : (, Re( (, ) ave (, ep 0 i t v 340 m s, où l onde se propage à la vitesse (dite de phase) v j Cette vitesse peut dépendre de la pulsation w : est le phénomène de dispersion qui sera étudié au hapitre 7 Nous en avons eu une première approhe ii ( 3 ) lorsque nous avons posé k ---- et que nous avons trouvé une relation (dite de dispersion) entre et k qui n était pas --- onstante En passant au milieu ontinu v k ette relation de dispersion est devenue : --- a ---- K te k M et il n y a plus dispersion : toutes les ondes, sinusoïdales ou non, se propagent alors à la même vitesse ; omme dit à la fin de paragraphe préédent, ei n est pas général et le leteur pourra le vérifier en étudiant l eerie 6 de e hapitre solide vitesse du son (m s ) plomb 30 pleiglass 840 uivre aluminium 5 00 fer 5 30 granit Do 5 Vitesse du son dans quelques solides

26 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) OSCILLATEURS COUPLÉS Osillations libres, modes propres Les mouvements d un système (stable) dont l évolution est dérite par un système différentiel linéaire résultent d une superposition de mouvements orrespondant au modes propres du système Les pulsations de es modes sont les pulsations propres du système Si le système est eité initialement dans l un de ses modes propres, il y reste par la suite Osillations forées Pour un osillateur harmonique réel à un degré de liberté, de bon fateur de qualité, l amplitude de ses déplaements devient importante lorsque la pulsation de l eitation est prohe de sa pulsation propre Lorsqu un ensemble de N osillateurs ouplés (de bonne qualité) est soumis à une eitation sinusoïdale permanente de pulsation, l amplitude des mouvements des osillateurs devient importante lorsque la pulsation de l eitation s approhe de l une des pulsations propres du système PHÉNOMÈNE DE PROPAGATION CQFR Origine Dans la haîne d osillateurs ouplés, le déplaement d un mobile induit une fore qui agit sur ses plus prohes voisins, les mettant en mouvement Leurs déplaements induisent de nouvelles fores, don de nouveau déplaements La déformation des liaisons entre mobiles voisins va se propager de prohe en prohe dans la haîne La grandeur qui se propage (le déplaement des mobiles de la haîne) est une onde L eistene de deu grandeurs (déplaements et fores), qui se réent l une l autre (grandeurs ouplées), est à la base des phénomènes de propagation d ondes Équation de propagation L équation du mouvement du n ième mobile : M n K n K n + K n + peut être appelée équation de propagation de la déformation de la haîne d osillateurs par rapport à l équilibre Les déplaements orrespondant au osillations libres des mobiles d une haîne infinie d osillateurs peuvent se mettre sous la forme d une superposition d ondes progressives monohromatiques Les fréquenes de es ondes sont situées dans une bande permise Approimation des milieu ontinus et équation de d Alembert Nous pourrons utiliser une approimation de milieu ontinu si la dimension aratéristique du milieu (la longueur a pour la haîne d osillateurs) est petite devant la longueur d onde l des ondes se propageant : a l Dans l approimation du milieu ontinu, l équation de propagation des déformations de la haîne de masses ouplées est l équation de d Alembert à une dimension : t Les ondes dérites par l équation de d Alembert se propagent à la vitesse qui est aratéristique du milieu de propagation Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

27 Eeries Osillations de deu flotteurs Deu flotteurs ylindriques, identiques (de setion s et de masse m) peuvent osiller dans l eau d un réipient de setion S Soit la masse volumique de l eau Les positions des flotteurs sont repérées par leurs déplaements vertiau et par rapport à leurs positions d équilibre respetives setion s g 0 Ave le déplaement sinusoïdal défini préédemment, quelles onditions doivent vérifier K et m pour qu en régime permanent reste onstamment nul? Modes propres d un système de trois mobiles identiques ouplés ) Érire le système d équations du mouvement d un système de trois mobiles ouplés identiques, tel que elui étudié au Reherher les pulsations propres de e système en utilisant la méthode préonisée dans l appliation ) Interpréter les trois modes propres obtenus en termes de mouvements des trois mobiles ouplés 3) Montrer que la ondition de quantifiation obtenue dans l appliation 3, injetée dans la relation de dispersion obtenue 3, permet de retrouver es trois modes propres d osillation K M K M K M K setion S setion S Hahette Livre H Prépa /Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit ) Déterminer le système d équations différentielles qui définit le mouvement des deu flotteurs (on admettra que la surfae libre reste horizontale et que le théorème d ARCHIMÈDE est appliable) ) Résoudre e système en supposant qu à l instant initial, les deu flotteurs sont dans leurs positions d équilibre respetives, ave des vitesses initiales v 0 pour le premier et pour le seond v 0 Étouffeur «de vibrations» Soit l osillateur représenté i-ontre L etrémité A du ressort A K m subit un déplaement y( ( sinusoïdal de la forme yt () y 0 sint (on supposera K m ) ) Déterminer en régime permanent le déplaement () t de l osillateur par rapport à sa position d équilibre ) Un seond osillateur est plaé à la suite de l osillateur préédent (shéma i-ontre) A K m K m y( ( ( Éhelle de perroquet Une éhelle de perroquet, suspendue au plafond, est onstituée de barreau identiques, de moment d inertie J par rapport à leur ae (vertial) de rotation ( O) Les barreau sont liés deu à deu par des fils de torsion, de longueur a, de onstante de raideur C Soit n l angle de rotation du n ième barreau par rapport à sa position d équilibre ψ ψ ψ 3 ) Quelle est l équation de propagation d une onde de torsion le long de l éhelle de perroquet? ) Que devient-elle dans l approimation des milieu ontinus? 3) Quelles sont les grandeurs analogues au onstantes et du 36? a O θ n 0 4

28 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide (PC-PSI) Frottements sur les mouvements libres de deu mobiles ouplés On s intéresse au modifiations apportées par de «faibles» frottements fluides sur les mouvements libres de deu mobiles ouplés de masse M, identiques à eu qui ont été étudiés Le ressort entral a une raideur K et les deu autres une raideur 4 K On notera f i v i les fores dues au frottements fluides ( onstante positive et v i désigne la vitesse du mobile ou du mobile ) On posera K M et Q ave Q M ) Établir les équations des mouvements libres ) Le système étant initialement eité dans l état d, d ,,, eprimer les d t dt évolutions () t et () t des deu mobiles 3) Traer les hronogrammes orrespondants * Équation de propagation de Klein-Gordon On étudie la propagation d onde le long d une haîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L, ouplés par des ressorts de raideur K, représentés sur le shéma i-après On notera a O n θ n ψ n ψ n ψ n+ 0 Z K g ---- et M 0 -- L Quelle est l équation de propagation liant les petits déplaements n L n, n et n + des etrémités des pendules? Quelle est la relation de dispersion des ondes progressives monohromatiques aratérisant ette propagation? Représenter la relation de dispersion en préisant la bande permise pour les pulsations d osillations libres de la haîne de pendules ouplés Préiser la forme prise par es résultats dans l approimation des milieu ontinus M L Corrigés ) Lorsque les flotteurs se déplaent vertialement, le niveau de l eau dans le réipient est modifié En appelant le déplaement algébrique de e niveau (mesuré sur un ae vertial asendan, il vient : ( + )s ( S s) puisque le volume de l eau reste évidemment onstant (si et sont positifs, est négatif) Le théorème de la résultante inétique appliqué à haque flotteur en projetion sur l ae vertial asendant donne : mẋ mẋ mg + ( V im ( )s)g mg + ( V im ( )s)g Dans es équations, V im désigne le volume de la partie immergée de haque flotteur à l équilibre : m V im ẋ En éliminant, on obtient : ẋ g où ---- s( S s) g s et On remarque que m S s ---- m S s ) La somme et la différene membre à membre de es deu équations onduisent respetivement à : ẋ + ẋ ( + ) ẋ ẋ ( ) ave + et Les solutions s érivent ompte tenu des onditions initiales : d où : + 3v sin t et sin t, v 0 v sin t sin t v sin t sin t Hahette Livre H Prépa /Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

29 Corrigés Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit soit ) L équation du mouvement de la masse m s érit : m ẋ K ( y), ẋ + K y 0 sin t en posant En régime permanent, l osillateur effetue des osillations forées : y sin t, dont l amplitude peut être très grande si la pulsation est prohe de la pulsation propre ) D inévitables fores de frottements (négligées pour les aluls qui suivron ont amorti les osillations qui peuvent se produire durant le régime transitoire de «lanement» des osillateurs On n étudie que le régime permanent sinusoïdal En supposant 0, les équations du mouvement de haque osillateur 0 K y+ K s érivent : m ẋ K En régime permanent, doit don vérifier : K ---- y y 0 sin t K K K ave Dans es onditions, le seond osillateur «étouffe» les osillations du premier osillateur Ce système est utilisé lors de la oneption de ertaines mahines afin de réduire d inévitables vibrations 3 ) Les équations du mouvement s érivent, en notant, et les déplaements des masses par rapport à leur position d équilibre : On herhe des solutions, et 3, de pulsation, don proportionnelles à e jt en notation omplee : 0 e jt, 0 e jt et 3 30 e jt Le système linéaire homogène est le suivant : ( + 0 ) ( +( + ) 0 ) ( +( ) 0 ) 0 Il eiste trois pulsations propres : K m 0 ; 0 ; ) Pourlemode :,don 3 Lesmobiles et 3 vibrent en phase ave la même amplitude tandis que le mobile entral est en opposition de phase ave ses voisins (son amplitude étant fois plus grande) m M K K( ) M + K( ) K( 3 ) M 3 + K( ) K 3 ( + 0 ) 0 ( 0 ) 0 ( 0 ) 0 + ( + 0 ) 0 0 ( 0 ) 30 0 ( 0 ) 0 + ( + 0 ) 30 0 qui admet des solutions 0, 0 et 30 non triviales si son déterminant est égal à zéro : Pour le mode :, don 0 et 3 Le mobile entral est immobile, les mobiles et 3 vibrent en opposition de phase ave la même amplitude Pour le mode 3 : 3, don 3 Les trois mobiles osillent en phase, le mobile entral ayant une amplitude fois plus grande que ses voisins On onfirme ainsi les résultats qui sont illustrés sur le doument de e hapitre 3 mode de vibration ω 3 mode de vibration ω 3 mode de vibration ω 3 Au 3, on a trouvé pour une haîne d osillateurs, la relation de ka dispersion 0 sin ---- (en supposant k 0) On a appris (f Appliation 3) que la norme k du veteur d onde est néessairement liée à la p distane à l équilibre entre les mobiles par k ( N + )a Sahant que N 3 et p, ou 3, la pulsation prend don les trois valeurs : pour p : 0 sin ; pour p : 0 sin ; 3 pour p 3 : 3 0 sin ; en utilisant : os ---, 4 sin sin os et sin os ) Le théorème du moment inétique appliqué au n ième barreau en projetion sur l ae de rotation vertial donne : J n C( n n ) C( n n + ) C( n + n + n + ) On obtient ainsi l équation de propagation du mouvement de torsion dans la haîne de barreau ouplés deu à deu Elle orrespond eatement à elle trouvée pour les osillations du 3 n Dans l approimation des milieu ontinus, en substituant à l ensemble disret desvaleurs () t desanglesderotationdesbarreau(len ième barreauestàl absisse n na ) la fontion (,, on a n + n + n a et on retrouve ainsi l équation de d Alembert : J Ca t 6

30 Introdution à la propagation d ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide À la pulsation ii la valeur 0 0 K --- M C -- J obtenue pour la haîne de mobiles orrespond De même, la vitesse de l onde de torsion s érit 0 a Ca J,0 0,5 ψ ((mm) ) Le système d équations différentielles s obtient immédiatement : M 4 K K( ) l 5K + K l M 4 K K( ) l 5K + K l ) Par somme et par différene membre à membre, le système d équations de la question ) devient : 0 u u + 4 Q 0 u 0 v v + 6 Q 0 v 0 en posant u + et v Compte tenu des onditions initiales, u et v s érivent : ave et 4 Q ( Q ) 4 Q On en déduit : () t () t 3) Les graphes i-après représentent les fontions () t et () t pour mm, rad s 0 0 et Q 0 On onstate l amortissement des osillations à travers une déroissane eponentielle de l amplitude des battements (f Appliation ) : l énergie méanique du système d osillateurs diminue Elle est onvertie en énergie thermique,0 0,5 0 0,5 0 u() t 0 os t sin t 0 t e Q Q v() t 0 os t sin t 0 t e Q Q os t os t ψ ((mm) os t sin t sin t 0 t e Q Q os t sin t sin t 0 t e Q Q, t 0 0,5, Le théorème du moment inétique appliqué au n ième pendule, au point fie O n, en projetion sur l ae ( Oz), dans l approimation des petits angles donne : ML n MgL n + KL( n n + n + ) L équation de propagation le long de la haîne de pendules est don : n 0 n + 0 ( n n + n + ) K g ave et : M 0 -- L 0 ( est la pulsation propre d osillation du pendule simple libre) La relation de dispersion est imposée par ette équation de ω propagation : 4 0 sin ka La bande de pulsations permises est : [ 0 ; ] ave : la relation de dispersion étant représentée, dans la première zone de Brillouin, sur le shéma i-ontre Dans l approimation du milieu ontinu, l équation devient :, π a , t 0 0 appelée équation de Klein-Gordon La relation de dispersion prend la forme : ω 0 Ω Ω 0 Ω0 asymptote ω k k 0 k π a k t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

31 Corde vibrante : équation de d Alembert PC-PSI Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Propagation d une onde transversale dans une orde vibrante Équation de d Alembert, ondes progressives Modes propres, analyse harmonique Approhe de la propagation d ondes à l aide de la haîne d osillateurs Au hapitre, l étude du omportement d une haîne d osillateurs ouplés nous a permis d aborder le phénomène de propagation Dans le adre de l approimation du milieu ontinu, la propagation le long de ette haîne était dérite par l équation de propagation de d Alembert En étudiant d emblée la propagation d ondes dans un milieu ontinu, la orde vibrante, nous retrouverons ette même équation Nous étudierons alors quelques ondes aratéristiques solutions de elle-i Jean le Rond d Alembert (77-783) est onnu pour son impliation ave Diderot dans l élaboration de l Enylopédie Ses travau portèrent également sur des problèmes de dynamique, e qui l amena à étudier les équations différentielles, et les équations au dérivées partielles 8

32 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Équation de d Alembert Observation de la propagation le long d une orde Une fielle, dont une etrémité est fiée à un mur, est maintenue tendue par un observateur (do ) Lorsque l epérimentateur imprime une seousse à l etrémité de la orde, e déplaement ne met pas brutalement en mouvement toute la orde : une onde, aratérisée par le déplaement d un point de la orde, se propage le long de elle-i, milieu de propagation matériel et ontinu Ondes transverses et longitudinales Nous retrouvons un phénomène de propagation d onde, présentant des similitudes ave la propagation des déformations le long d une haîne de mobiles ouplés : la déformation imposée à la orde se propage le long de la orde Dans les deu as, l onde se propage dans la diretion (O) de la orde ou de la haîne de mobiles Cependant : le mouvement des mobiles onsidérés est parallèle à (O) ; le déplaement de la orde est perpendiulaire à ette diretion de propagation Dans le as de la haîne de mobiles, nous parlerons d ondes longitudinales, alors que dans le as de la orde, il s agit d ondes transverses Sens de propagation Ondes progressives Observons plus attentivement la propagation le long de la orde en prenant des lihés de elle-i au instants suessifs (do ) : t 0, t t 0 + Δt, t t 0 + Δt,, t n t 0 + n Δt Nous onstatons que la déformation de la orde est à haque fois la même, mais qu elle se déplae pendant un intervalle de temps t, d une longueur proportionnelle à Δt : Δ Δt L onde de déformation se propage ainsi à la vitesse onstante le long de la orde, dans le sens des roissants : est une onde progressive Le déplaement (, de la orde vérifie : ( + Δt, t + Δ (, Une telle fontion reste don onstante si u que de la seule variable u : (, f( u) f t -- est fiée Elle ne dépend Nous pouvons noter que la fontion d onde (, f( u(, ) ave u t -- est une solution de l équation de propagation de d Alembert, ar : Remarques Nous négligeons toute atténuation (qui eiste toujours) de la déformation qui se propage le long de la orde t -- f( u(, ) f ( u ) t Jean le Rond d Alembert (77-783) t 0 : 0, L t 0 L O t : 0,5 L Δt t 0 O t : 0,8 L Δt t 0 O Do Propagation d une déformation imprimée à la orde Δt 03L, ; lihés àt 0,puis + Δt,puis t 0 + Δt, t 0 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

33 Ondes Une observation plus prolongée (do ) nous permet de onstater que lorsque la déformation arrive au niveau du mur, au point d anrage de la orde, elle donne lieu à une onde réfléhie, qui revient vers l epérimentateur Elle orrespond à une propagation à la vitesse, dans le sens des déroissants, d une onde progressive de la forme : date : 0,8 L (, g( v) g t + -- Nous reviendrons sur e phénomène au hapitre 3 Équations du mouvement de la orde O f(t ) date :, L La orde onsidérée possède une masse linéique Cette orde étant tendue, la pesanteur influene en général fort peu sa forme à l équilibre ; nous la négligerons don par la suite Desription des petits mouvements transverses Nous noterons (do 3) : (, le déplaement transversal de la orde à l absisse à la date t ; (, l angle de la tangente à ette orde ave l horizontale en à la date t Remarque Par soui de simpliité, nous ne onsidérons que des mouvements de la orde ontenus dans le plan (Oy) Nous dérivons ainsi son mouvement à l aide d une seule variable salaire : son déplaement (, dans la diretion (Oy) Les équations que nous érirons pourraient aussi s érire en faisant intervenir un déplaement transverse de nature vetorielle : (, y (, e y + z (, e z Nous en reparlerons au hapitre 5 à propos de la polarisation Une orde de piano frappée, une orde de guitare pinée vibrent, mais sans s éarter notablement de leur position d équilibre : leur forme reste prinipalement retiligne L angle (, repérant l inlinaison de la orde est très faible Nous le traiterons omme un infiniment petit d ordre, qui peut être onfondu ave sa tangente : O O f(t ) + g(t + ) date :,4 L g(t + ) Do Réfleion de la déformation de la orde sur le mur Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit L absisse urviligne s mesurée le long de la orde vérifie : ds d d + d d Cette absisse urviligne peut être onfondue ave l absisse horizontale, à un terme d ordre près Le mouvement d un point de la orde est négligeable dans la diretion (O) horizontale (ordre ) : les vibrations de la orde sont des ondes transverses Tension de la orde (, tan (, (, Notons T(, la tension de la orde ( est un salaire) eistant en à la date t, et étudions le système de fores s eerçant sur un élément de orde de longueur d y ψ (, O Do 3 Notations utilisées pour l étude du mouvement d une orde α 30

34 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Corde sans raideur Nous supposerons la orde sans raideur : elle n oppose don auune résistane à sa torsion Dans es onditions, les diverses fores sont tangentes à la orde Appelons F(, (de omposantes F (, et F y (, ) la fore eerée à l instant t par la partie de orde d absisse inférieure à sur la partie d absisse supérieure à * Considérons un élément de orde de longueur d, situé entre les absisses et + d (do 4) ; sur et élément de orde : la partie de orde d absisse inférieure à eere sur et élément la fore F +F(, T(, u ; la partie de orde d absisse supérieure à + d eere sur e même élément y O orde F u α(, F α u ( + d, ψ(, ψ( + d, + d Do 4 Élément de orde de longueur d la fore F F( + d, T( + d, u ; u et u sont des veteurs unitaires tangents à la orde respetivement en et + d à la date t * Notation : Compte tenu des approimations (os et sin ), F et F ont pour omposantes : sur (O) : sur (Oy) : F T(, et F +T( + d, ; F y +F y (, T(, (, et F y F y ( + d, T( + d, ( + d, F(, est la fore eerée à l instant t par la partie de orde d absisse inférieure à sur la partie d absisse supérieure à Tension de la orde Les mouvements d un élément de orde de longueur d sont transverses L appliation de la relation fondamentale de la dynamique, à l élément de orde de longueur d, donne en projetion sur (O) : T( + d, T(, 0,soit T( + d, T(, T 0 () t À une date t, la tension T de la orde est don uniforme le long de elle-i La longueur de la orde ne variant pas (à l ordre un), la tension T s identifie à la valeur aratérisant la tension de la orde immobile : Nous en déduisons : T(, T 0 et F y F y ( + d, T 0 ( + d, 3 Équation du mouvement transverse Érivons la relation fondamentale de la dynamique pour l élément de longueur d (masse d) en projetion sur l ae (Oy) : d où : T 0 F y +F y (, T 0 (, d F t y + F y F y ( + d, + F y (, F y d + T d, T t T Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

35 Ondes 3 Équation de propagation Nous trouvons une équation de propagation de d Alembert : T ave t La grandeur T , homogène à une vitesse, aratérise ette propagation (, De même que le déplaement (,, la vitesse v(, et l angle t (, vérifient l équation de propagation de d Alembert 4 Équations de ouplage L équation de propagation a été obtenue à partir de deu équations ouplées liant F(, et (, : t --- F y Il est possible de rendre F y T 0 T e système d équations ouplées «plus symétrique» en introduisant la vitesse (, de déplaement transverse v(, , e qui donne : t v (, F y (, t F y (, v(, T t Le phénomène de propagation est ontenu dans e système d équations ouplées liant les évolutions de la vitesse transverse v (, et de la omposante transverse de la fore F(, de la tension de la orde Une déformation de la orde entraîne l apparition d une fore F(,, qui peut elle-même entraîner une vitesse de déplaement, et Nous retrouvons ii un ouplage semblable à elui qui entraîne la propagation d une déformation dans la haîne de masses ouplées par des ressorts, étudiée au hapitre Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Ondes planes progressives Ondes planes Nous avons déjà signalé au hapitre que la propagation d ondes est un phénomène se manifestant, sous des formes plus ou moins omplees, dans de nombreu systèmes physiques Dans de nombreu as, la propagation d une onde peut se faire dans les trois diretions d espae (ondes sonores, ondes életromagnétiques, ) L onde est alors aratérisée au point M et à l instant t par la valeur d un hamp de salaires (ou de veteurs) de la forme ( M, (, y, zt, ) appelé «fontion d onde» 3

36 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Nous dirons par définition qu une onde est plane si la fontion d onde ( M, (salaire ou vetorielle) ne dépend que d une oordonnée artésienne d espae Les eemples que nous avons traités jusqu à présent orrespondent à des as de propagation unidimensionnelle : la nature des milieu (orde, ) limite la propagation des ondes à une seule diretion d espae, et la fontion d onde est de la forme (, Ces ondes sont don planes La dénomination «onde plane» peut sembler, pour l instant, redondante Ce point de voabulaire prendra toute sa signifiation lorsque nous aborderons l étude d ondes pouvant se propager dans plusieurs diretions d espae : les ondes planes seront alors des ondes partiulières et partiulièrement simples L équation de propagation, ii l équation de d Alembert, prend alors la forme plus générale suivant : Δ , t où Δ est l opérateur laplaien que l on applique à la fontion d onde salaire ( M, Si l on privilégie les oordonnées artésiennes, alors (, y, zt, ) a pour laplaien : Δ y z Équation de d Alembert à trois dimensions Dans le as le plus général d un problème à trois dimensions, l équation de d Alembert s érit : D t ave D , le laplaien de, en oordonnées y z artésiennes Remarque On peut définir des ondes sphériques : la fontion d onde ( M, (salaire ou vetorielle) ne dépend que de la seule oordonnée «r» des oordonnées sphériques d espae Ondes planes progressives (OPP) Nous avons, au hapitre omme au de e hapitre, dégagé la notion d onde progressive, qui se propage à vitesse dans une diretion parallèle à (O) Une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans une diretion et un sens bien déterminés Onde plane progressive se propageant dans le sens des roissants La fontion d onde : (, f( u), Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 33

37 Ondes où f, fontion de la variable u t --, orrespond à une onde plane progressive qui se propage à la vitesse, dans le sens des roissants, ar ( + Δ, t + Δ (, si Δ Δt (do 5a) Nous savons aussi qu il s agit d une solution de l équation de d Alembert Onde plane progressive se déplaçant dans le sens des déroissants De façon analogue, la fontion d onde : (, g( v), où g, fontion de la variable v t + --, orrespond à une onde progressive qui se propage à la vitesse, dans le sens des déroissants, ar : ( + Δ, t + Δ (, si Δ Δt (do 5b) C est aussi une solution de l équation de d Alembert 3 Solution générale de l équation de d Alembert Nous avons renontré déjà deu fois l équation de d Alembert dont nous avons rappelé i-dessus des solutions Nous voulons maintenant trouver toutes les solutions de l équation de d Alembert à une dimension : Les ondes f t -- et g t + -- sont des solutions de l équation de d Alembert, dont nous pouvons observer la propagation le long de la orde vibrante L observation de es solutions nous onduit à préférer les variables indépendantes (u, v) au variables indépendantes (, pour résoudre l équation de d Alembert Érivant de façon générale la différentielle de la fontion d onde : ψ ( Δt (t + Δ Do 5a Onde plane progressive se propageant dans le sens des roissants ψ (t + Δ Δt ( Do 5b Onde plane progressive se propageant dans le sens des déroissants d d dt t t nous avons : u v du v u dv, Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit puis : t t , u v En variables (u, v) l équation de d Alembert à une dimension : prend don la forme très simple : u v u v v t u uv t u v u t v t t v ---- u u u v v u uv v t u v 34

38 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Intégrons ette équation différentielle par rapport à u, il vient : G ( v ) v Une seonde intégration, par rapport à v, nous donne : ( u, v) f( u) + g( v) Les ondes planes (, unidimensionnelle : solutions de l équation de d Alembert t peuvent s érire, de façon générale, sous la forme d une superposition de deu ondes planes progressives : f t -- se propageant à la vitesse dans le sens des roissants ; g t + -- se propageant à la vitesse dans le sens des déroissants : (, f t -- + g t + -- f et g sont deu fontions quelonques deu fois dérivables Ainsi, en herhant seulement des ondes planes omme solutions de l équation de d Alembert tridimensionnelle on trouve une somme d ondes planes progressives dans les deu diretions opposées et de «forme» quelonque Appliation Ondes sphériques Lorsque l on utilise les oordonnées sphériques r,,, le Laplaien de la fontion d onde ( M, ( est-à-dire ( r, t,, )) est : Δ( r,, ) r r r r sin sin sin On reherhe des solutions en ondes sphériques de l équation de d Alembert à trois dimensions ) Donner l équation au dérivées partielles reliant les dérivées de par rapport à r et par rapport à t U ) On pose --- Trouver alors l équation au r dérivées partielles vérifiée par U En donner les solutions puis donner ( r, r 3) Quelles ressemblanes et différenes y a-t-il ave des ondes planes? ) Par définition d une onde sphérique, ( M, ne dépend que de r (et de et l équation de d Alembert devient don : ) On alule : r r r r t U U ----, puis : r r U r r r r -- U U r r r 3 et et en remplaçant dans () il vient : t U U r r () -- U r t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 35

39 Ondes D où U f r t - r + g t + - puisque est la même équation que elle résolue au 3 en hangeant le nom de la variable en r Ainsi : ( r, -- r f t r r g t r - est la fontion d onde solution de l équation de d Alembert à trois dimensions : on a trouvé toutes les solutions de type ondes sphériques (omme on avait trouvé toutes les solutions de type ondes planes) 3) La partie -- s interprète omme la propagation d une grandeur (), identique en tout point r f t r - de la sphère de rayon r, et dont l amplitude déroît en -- quand l onde se propage r La partie -- représente une propagation r g t r + - vers le entre ave une amplitude augmentant (-- r diminue) Nous reverrons ei au hapitre 4 ave une interprétation énergétique 4 Ondes planes progressives monohromatiques ou harmoniques Solutions de l équation de d Alembert 4 Notation omplee de l onde plane monohromatique Constatant que les ondes que nous avons étudiées jusqu à présent orrespondent à des mouvements vibratoires de systèmes stables, nous pouvons reherher des solutions de l équation de d Alembert à dépendane sinusoïdale visà-vis du temps ; est-à-dire telles que t Cherhons don, en notation omplee, une solution de la forme : (, ( ) e jt L équation de propagation, vérifiée pour tout t, impose : d ( ) 0, d dont la solution générale est de la forme : ( ) 0 e jk + 0 e jk Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit ave 0 0 e j 0 et 0 0 e j 0, où nous avons noté k --- (k est parfois appelé nombre d onde) Les solutions sinusoïdales reherhées sont don de la forme : soit en notation réelle : (, 0 e ( ) + 0 e j t k j ( t + k ) (, 0 os ( t k + f 0 ) + 0 os ( t + k + f 0 ) Nous reonnaissons ii la forme générale obtenue préédemment, ave : f t -- 0 os ( t k + f 0 ) et g t os ( t + k + f 0 ) Chaque terme de la solution aratérise une onde plane progressive monohromatique ou harmonique, La notation omplee d une onde plane harmonique est : (, ( ) e jt 36

40 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Remarques Le qualifiatif monohromatique peut sembler arbitraire Toutefois, nous verrons que la propagation des ondes életromagnétiques présente des similitudes ave l étude que nous avons menée ii De plus, pour les ondes életromagnétiques du domaine visible, la sensation de ouleur assoiée à la pereption de la lumière par l œil est liée à la fréquene de l onde : à une fréquene préise orrespond une ouleur donnée dans le spetre visible, allant du rouge au violet Par etension, il est d usage de dire qu une onde sinusoïdale, de fréquene bien définie, est une onde monohromatique ou harmonique Le hoi (, ( )e +jt est arbitraire De nombreu énonés utilisent des solutions omplees sous la forme ( )e jt 4 Caratéristiques des ondes planes progressives monohromatiques (ou harmoniques) En nous basant sur les solutions que nous venons d obtenir, nous pouvons à présent donner quelques aratéristiques remarquables des ondes planes progressives harmoniques, qu elles soient solutions de l équation de d Alembert ou d une autre équation de propagation Une onde plane progressive monohromatique se propageant dans une diretion parallèle à l ae ( O) dans le sens des roissants possède une amplitude de la forme : ou (, 0 e j ( k ) en notation omplee, ave 0 0 e j 0 (, 0 os (t k + 0 ) en notation réelle Elle est aratérisée par sa pulsation et son veteur d onde k ke, et possède deu périodes : une période temporelle T et une période spatiale l k Sa vitesse de propagation est égale à la vitesse de propagation de sa phase, ou vitesse de phase : v --- k 43 Onde plane progressive harmonique en notation omplee La notation e j( t k) se prête aisément au aluls liés au équations au dérivées partielles dérivant les phénomènes physiques étudiés Les dérivées spatiales et temporelles de e j( t k) orrespondent à des fateurs jk ou +j : ---- e j et t ( t k ) je j ( t k ) e j ( t k ) j ke j ( t k ) Une équation au dérivées partielles vérifiée par l onde (, se ramène, en général, à une simple équation algébrique, où interviennent des puissanes de j et jk Remarques Il faut bien distinguer la notation omplee de l onde plane (, ( )e jt de la notation omplee de l onde progressive suivant les roissants : (, 0 ej ( t k ) ou plus généralement : (, 0 ( )ej ( t k ) La notation omplee d une onde plane progressive harmonique est : (, 0 ( ) e j ( t k ) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 37

41 Ondes Nous renontrerons, dans la suite du ours, des ondes se propageant dans toutes les diretions d espae, et nous utiliserons la notation omplee : ( M, 0 e j( t k r ) ave r OM pour désigner l amplitude d une onde plane progressive monohromatique en un point M se propageant dans une diretion indiquée par son veteur d onde k (O est une origine arbitraire de l espae) La notation omplee e j( k peut aussi être employée, puisque os( t k) e [ e j k t ] Il suffit, dans e as, de hanger les signes dans les epressions préédentes Lorsqu un hoi est fait, il faut bien entendu s y tenir tout au long de l étude Cela ne hange ependant rien lors du retour à la notation réelle : il s agit bien du même phénomène physique Dans et ouvrage, nous nous limiterons à la notation omplee e j( t k) L utilisation des omplees pour reherher une solution d une équation différentielle Dans et ouvrage, nous nous limiterons à la notation omplee : n est justifiée que si l équation est linéaire e qui est le as de l équation de d Alembert e j( t k) ou e j( t k r) 44 Relation de dispersion D après e qui préède, la ompatibilité d une onde monohromatique : ave l équation de propagation impose une relation entre et k L équation de propagation impose une relation, qui lie k et, appelée relation de dispersion solution de l équation de d Alem- Ainsi, dans le as d une onde 0 e j t bert, l équation de propagation : impose la relation de dispersion : (, 0 e ( k) k j ( t k ) e j t k t ( ) 0 Soit k --- et k e qui redonne les solutions trouvées au Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Ondes stationnaires Modes propres 3 Formation d ondes stationnaires : la orde de Melde 3 Dispositif epérimental Une orde est tendue entre deu etrémités (do 6) : la première est onstituée par une lame vibrante, soumise à un életro-aimant eitateur, qui effetue de petites osillations vertiales à la fréquene v (attention, dans le as étudié, la présene de l életro-aimant impose que la fréquene v d eitation de la orde soit égale à deu fois la fréquene v du ourant traversant l életro-aimant : v v, en effet quel que soit le sens du ourant la lame de l életro-aimant est attirée) ; générateur de fréquene ν variable poulie életro-aimant ~ lame vibrante 0 L M Do 6 Eitation de la orde de Melde Ave e dispositif, la orde est eitée à la fréquene v v (présene de l életro-aiman 38

42 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) la seonde est onstituée par une poulie sur laquelle la orde, enroulée, est tendue par le poids d une masse M ajustable La tension de la orde est alors égale à Mg : Mg T 0 3 Observations d ondes stationnaires Après un régime transitoire de ourte durée, la orde effetue des osillations forées à la fréquene, imposée par le vibreur, en présentant des «fuseau de vibration» (do 7a) a a) amplitude de vibration du vibreur ventre de vibration b) 0 ) L nœud de vibration L L Do 7 Corde de Melde eitée par une fréquene variable à tension et longueur onstantes a Fréquene quelonque b Première résonane Deuième résonane L éhelle vertiale de a est beauoup plus dilatée que pour b et Nous pouvons observer que es osillations se font sur plae et ne se propagent pas : nous dirons que la orde est le siège d ondes stationnaires Faisons varier la fréquene v du vibreur En général, l amplitude des osillations reste petite (du même ordre de grandeur que l amplitude a du vibreur ; f do 7a), mais pour ertaines fréquenes v n, ette amplitude peut devenir importante (do 7b et 7) : la orde entre en résonane Sur le doument 7, nous onstatons que, pour une fréquene donnée, la orde présente en ertains points fies et régulièrement espaés : des maima d osillations appelés ventres de vibration ; des minima nuls d osillations appelés nœuds de vibration À la résonane, le vibreur oïnide quasiment ave un nœud de vibration (f Appliation ), et la distane entre deu nœuds de vibration est égale à : la longueur L de la orde lorsqu elle présente un seul fuseau (do 7b) ; L -- lorsque la orde présente deu fuseau (do 7) ; L -- lorsque la orde présente trois fuseau, 3 33 Définition d une onde stationnaire Au ours de l epériene préédente, un point d absisse de la orde effetue des osillations (, dont l amplitude F ne dépend que de (et non de Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 39

43 Ondes (, se met sous la forme : (, F( ) os ( t + ) ave Dans ette epression, les variables et t sont déouplées La dépendane epliite en t -- ou t + -- n eistant plus, il n y a pas propagation : (, représente une onde stationnaire (plane ii) Les dépendanes d une onde stationnaire vis-à-vis des variables d espae et de temps sont «déouplées» Une onde stationnaire plane est, par définition, représentée en notation réelle par une fontion de la forme (, F( )Gt () Une onde stationnaire plane est, par définition, représentée en notation réelle par une fontion de la forme : (, F( )Gt () Les ondes stationnaires sont en général bien adaptées pour dérire les ondes dans un milieu où ertaines onditions au limites sont imposées pour tout t Remarque Une onde désignée par : en notation omplee est de la forme Mais e n est pas une onde stationnaire, ar elle représente l onde réelle 0 os ( t k), onde plane progressive monohromatique (en supposant 0 réel) 0 e j ( t k ) 0 e jt e jk F( )Gt () Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Solutions stationnaires de l équation de d Alembert Considérons une fontion d onde à variables séparées : (, F( )Gt () Lorsque elle-i est solution de l équation de d Alembert, nous obtenons : don : F ( ) G () t ave, F( ) Gt () A A te ar les deu premiers membres, égau quels que soient et t, ne peuvent don plus en dépendre Si nous herhons une solution aeptable pour toutes les valeurs de et t, nous devons rejeter les solutions qui divergent quand t tend vers l infini, don ne onsidérer que le as où la onstante est stritement négative : A (le as d une onstante nulle est sans intérêt et de toute façon diverge) peut a priori pour l instant prendre n importe quelle valeur Nous obtenons alors : F ( )Gt () ---- F( )G () t 0 Gt () G 0 os ( t + G ) F( ) F 0 os ( k+ F ) ave k

44 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Une solution stationnaire de l équation de d Alembert unidimensionnelle est : (, 0 os ( k + F ) os ( t + G ) Elle est monohromatique de pulsation quelonque et k --- Cette onde osille sinusoïdalement «sur plae» Nous admettrons qu une onde stationnaire quelonque peut se mettre sous la forme d une superposition de solutions du type de elles que nous venons de trouver L équation de d Alembert étant linéaire, une telle onde obtenue par superposition est également solution de ette équation (f 333) Remarques Passage des ondes stationnaires au ondes progressives, et inversement : La solution que nous venons de trouver doit bien entendu entrer dans le shéma général des solutions de l équation de d Alembert : Pour nous en persuader, érivons : (, f t -- + g t + -- (, 0 os( k+ F ) os( t + G ) [ os( t k + G F ) + os( t + k + G + F )] e qui met en évidene la déomposition reherhée L inverse est aussi réalisable : 0 os( t k) 0 os( osk + 0 sin( sin( k) somme de deu solutions stationnaires : une onde plane progressive peut s interpréter omme la superposition de deu ondes stationnaires Appliation Corde de Melde Dans l epériene de la orde de Melde (do 6), le vibreur effetue des osillations sinusoïdales d amplitude a : ( 0, a ost La orde, de longueur L, est fiée à l autre etrémité ; la tension de la orde étant : T ) Déterminer les déplaements (, de tout point de la orde à tout instant ) Interpréter et ommenter le phénomène de résonane Donner les valeurs des fréquenes de résonane T 0 ) La solution stationnaire sinusoïdale : (, 0 os( k + F ) os( t + G ), ave k ---, onvient si elle satisfait au onditions au limites, est-à-dire : ( 0, t ) a ost ( L, 0 π Cei est réalisé si nous prenons F -- kl, a G 0 et , d où : sinkl sinkl ( ) (, a ost sinkl Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 4

45 Ondes ) Nous onstatons que, pour k k n n -- π L (n entier), (, devient (théoriquemen infini : la orde entre en résonane En fait, d inévitables amortissements, la raideur de la orde (dont nous n avons pas tenu ompte lors de l établissement de l équation de d Alember, ne sont plus négligeables à la résonane et limitent l amplitude des déplaements de la orde À la résonane, a est très faible devant l amplitude des ventres de vibration De e fait, le vibreur peut quasiment être onsidéré omme un nœud de vibration de la orde Les fréquenes de résonane valent : L λ λ L L v n vn n L L λ 3 3 L 3 L 3 et la longueur L de la orde vérifie introduisant la longueur d onde l onde monohromatique (do 8) L l n n l n ---- π k n en de Do 8 La orde de Melde en résonane a Première résonane : n b Deuième résonane : n Troisième résonane : n 3 33 Vibrations libres d une orde fiée à ses etrémités Nous nous proposons de herher des solutions de l équation de propagation des mouvements transverses sur une orde de longueur L fiée à ses deu etrémités (do 9) 33 Reherhe des solutions Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La forme générale des solutions est (, f t -- + g t + -- Celle-i doit vérifier, à tout instant t, les onditions au limites suivantes: ( 0, 0, d où f() t + gt () 0 et ( L,, d où f L t -- L + g t ou enore f( t ) g L t L + 0 ave t t -- La fontion f vérifie don : f ( u) g( u) g L u L f u Les onditions au limites imposent que la fontion f (et don aussi g) est L périodique, de période temporelle T Elle est don déomposable en série de Fourier (omme toute fontion périodique «physique») La pulsation 0 L Do 9 Vibrations libres d une orde fiée à ses etrémités 4

46 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) π du fondamental est , et la fréquene orrespondante Ainsi L L nous pouvons érire : f( u) a a n os( n 0 u) + n b nsin( n 0 u) n Les valeurs de f t -- et g t + -- s en déduisent et la forme f t + -- générale des ondes se propageant le long de la orde fiée à ses etrémités est : (, A n a a a n os n 0 t -- b n sin n t -- n n a n os n 0 t + -- b n sin n 0 t + -- n Notant b n et B n a n, nous obtenons, on utilisant les formules de trigonométrie : (, n Les variables et t étant déouplées, haun des termes de la somme représente une onde stationnaire, ainsi, la solution non stationnaire apparaît omme L la somme des solutions stationnaires de période T n n 0 n 0 n n ( A n os( n 0 + B n sin ( n 0 ) sin n Modes propres de la vibration L epression (, trouvée préédemment résulte d une superposition d ondes stationnaires monohromatiques de la forme : ave F 0n G 0n A n l un des deu étant hoisi arbitrairement Les fontions et sont des fontions osillantes : telles que : F n ( )G n () t sin n 0 -- ( An os ( n 0 + B n sin ( n 0 ) F n F 0n + B n G n sin n 0 -- G 0n sin( n 0 t + n ) F n ( ) F 0n sin n F L 0n sin ---- l n G n () t G 0n sin t n +, L n G 0n sin ( n t + n ) la période spatiale de F n ( ) est l n -- L ---- ave l ; n n 0 L la fréquene temporelle de G n () t est n n----- n ave ; L L l n et n sont reliés par l 0 0 l n n (n entier) Nous onstatons que seul un ensemble disret de modes d osillations libres de la orde peut eister, indéfiniment, sans apport d énergie etérieure (si on néglige tout effet dissipatif) : e sont les modes propres de la orde vibrante l 0 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 43

47 Ondes Le doument 0 représente l allure de la orde lorsqu elle osille dans l un de ses trois premiers modes propres, de fréquenes : et l soit ; L L l 0 et l , soit L l ---- ; l et l , soit L 3 l ; 3 l plus généralement nous aurions 3 n 0 et l n , soit L n l n ---- n Le premier mode, de plus basse fréquene, est appelé mode fondamental Les autres modes, appelés harmoniques, ont une fréquene multiple entier de la fréquene du mode fondamental Les ondes vérifiant l équation de propagation le long d une orde, de longueur L, fiée à ses etrémités 0 et L, sont des superpositions d ondes stationnaires monohromatiques de période spatiale l n et de fréquene temporelle n quantifiées Ce sont les modes propres d osillation de la orde vibrante : n n 0 n l et l n L n Leur amplitude est de la forme : l 0 L n Do 0 Modes propres d une orde fiée à ses etrémités a Mode b Mode Mode L λ L λ 3 3 n n n 3 λ L L 3 L L 3 (, A n os n t + B n sin n t n ( ) sin n Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Remarques Ces résultats sont similaires à eu dérits au hapitre pour une haîne de N osillateurs Toutefois, dans le as de e milieu ontinu, le nombre de modes propres envisageables semble infini : les fréquenes propres de la orde n n roissent de pour l harmonique fondamental à l infini L L (alors que les N osillateurs ouplés possédaient une fréquene de oupure haute) Si ela semble mathématiquement possible, le modèle physique envisagé est à revoir pour de hautes fréquenes, don les faibles longueurs d onde : la orde ayant une forme très «hahutée», la raideur de la orde ne sera plus négligeable (f eerie ) Dans l epériene de la orde de Melde, une résonane est observée haque fois que la fréquene d eitation orrespond à la fréquene d un mode propre de vibration de la orde 34 Analyse harmonique Nous savons désormais que la forme générale des osillations libres d une orde vibrante fiée à ses deu etrémités est : (, ( A n os ( n 0 + B n sin ( n 0 ) sin n 0 -- n 44

48 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Nous nous proposons de aluler l amplitude des omposantes harmoniques qui la onstituent Il est, en effet, intéressant de les déterminer afin de pouvoir agir sur les paramètres qui les ontrôlent L étude des timbres des instruments de musique est une illustration possible de l analyse harmonique Utilisant les propriétés des modes propres, il est possible de onevoir des soures sonores émettant des signau ne omportant que des fréquenes multiples de v 0 Par eemple, dans le as d une orde d instrument de musique, de longueur donnée, le réglage de sa tension permet d ajuster son mode fondamental de vibration pour obtenir la note reherhée (qui orrespond au fondamental v v 0 ) De plus, il faut aussi savoir ontrôler le spetre des vibrations de ette orde qui détermine le timbre de l instrument (répartition des harmoniques eités) Cei s obtient en jouant sur les onditions initiales (par eemple emplaement de l arhet du violon, du marteau du piano ) Détermination des harmoniques A n B n Les oeffiients et de la déomposition en série de Fourier ompatibles ave les onditions au limites peuvent, par eemple, être déterminés à partir des onditions initiales imposées à la orde vibrante Nous supposerons onnues les valeurs, pour ompris entre 0 et L, de et (, 0 ), soit : t (, 0) (, 0) A n sin n π L n (, 0 ) n π B t L n sin n π L À la leture de es relations, nous onstatons que : les A n sont les oeffiients de la déomposition en série de Fourier d une fontion périodique Y( ), impaire (pas de terme en osinus) et de période L, obtenue en prolongeant par périodiité la fontion (, 0) omme le suggère le doument ; B n les sont les oeffiients de la déomposition en série de Fourier d une fontion périodique V( ), impaire et de période L, obtenue en prolongeant par périodiité la fontion (, 0 ) omme le suggère également le t doument Nous pouvons don déterminer les amplitudes et à l aide des onditions initiales, en alulant les intégrales suivantes : n A n B n L A n -- sin nπ L -- (, 0)d L L L B n sin nπ n (, 0 )d L L t Y() ψ (, 0) ou ψ V() (, 0) t L 0 L L Do Prolongement «par périodiité» des fontions (, 0) et (, 0 ) t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 45

49 Ondes Appliation 3 Spetre d une orde pinée Appliquer la tehnique du 34 pour étudier le spetre d une orde d un instrument à ordes pinées (lavein, guitare, ) Cette orde, fiée à ses etrémités, entre tout à fait dans le adre de l étude préédente À l instant initial, où elle a été préalablement déformée, elle est lâhée sans vitesse initiale Pour simplifier les aluls, la orde est pinée au milieu de sa longueur : l allure de (, 0) est donnée sur le doument ψ(, 0) 0,8h 0,6h 0,4h 0,h harmonique 5 harmonique 3 harmonique 7 harmonique 0 0, 0,4 L 0,6 0,8,0 Do 3 Harmoniques, 3, 5 et 7 de la orde pinée L a) signal initial h L 0 L L h 0,5h harmonique + 3 harmonique Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Do Corde pinée à t 0 Pour ette orde, le oeffiient est nul Le oeffiient A n étant, par symétrie, nul pour n pair, il nous faut déterminer : A p+ Une intégration par parties nous donne : 8h( ) A p p (p + ) Les harmoniques présents sont tous impairs : n (fondamental), 3, 5, 7, 9,, et leurs amplitudes déroissent très rapidement en ---- Le spetre sonore perçu par l oreille sera ainsi essentiellement limité au premiers harmoniques Considérons quelques valeurs numériques A 8, 0 h ; A , h ; et L B n -- L sin (p + ) --- L (, 0) d L L L sin (p + ) --- L h -- d L 0 n A 5 34, 0 h A 7 65, 0 h ; 0 0,5L L b) signal initial h 0,5h superposition des harmoniques à 5 0 0,5L L L Do 4 Reonstitution du signal par superposition des premiers harmoniques a Harmonique + 3 b Harmonique h h 0 position initiale de la orde Do 5 «Mouvement» d une orde pinée en son milieu : e shéma représente une suite de «photos» instantanées de la orde à des dates très prohes L 46

50 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Sur le doument 4 nous voyons que les inq premiers harmoniques suffisent pour reonstruire ave une bonne approimation le signal Le signal omplet est donné par : (, p 0 Remarque Les éhelles latérales sont très dilatées sur tous les douments 8h( )p os (p )π t sin (p + )π (p + ) π L L ÉQUATION DE D ALEMBERT CQFR Les ondes de déplaement transverse (, se propageant le long d une orde sans raideur sont solutions de l équation de propagation (unidimensionnelle) de d Alembert : ave t T ONDES PLANES, ONDES SPHÉRIQUES Une onde est dite plane si, la fontion d onde ( M, qui la dérit n est fontion que d une seule oordonnée artésienne d espae ( ou y ou z ou une ombinaison linéaire des trois) Une onde est dite sphérique si la fontion d onde ( M, qui la dérit n est fontion que de la seule oordonnée r de l espae (oordonnées sphérique) ONDES PLANES PROGRESSIVES Une onde plane progressive est une onde plane qui se propage dans une diretion et un sens bien déterminés (, f t -- représente une onde plane progressive se propageant à la vitesse, sans déformation, dans le sens des roissants (, g t + -- représente une onde plane progressive se propageant à la vitesse, sans déformation dans le sens des déroissants Les solutions de l équation de propagation de d Alembert à une dimension peuvent s érire de façon générale sous la forme d une superposition de deu ondes planes progressives f t -- et g t + -- : (, f t -- + g t + -- ONDES PLANES PROGRESSIVES MONOCHROMATIQUES (OU HARMONIQUES) Caratéristiques Une onde plane progressive monohromatique se propageant dans une diretion parallèle à l ae (O) dans le sens des roissants possède une amplitude de la forme : (, 0 ej ( t k ) en notation omplee, ave 0 0 e j 0 ou (, 0 os ( t k + 0 ) en notation réelle Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 47

51 Ondes Elle est aratérisée par sa pulsation et son veteur d onde k ke et possède deu périodes : une période temporelle T et une période spatiale l k Sa vitesse de propagation est égale à la vitesse de propagation de sa phase, ou vitesse de phase : NOTATION COMPLEXE CQFR La notation (, 0 ej ( t k ) (où 0 0 e j 0 ) pour une onde plane progressive se prête bien au aluls liés au équations au dérivées partielles dérivant les phénomènes physiques étudiés quand es équations sont linéaires Les dérivées spatiales et temporelles de ( k) orrespondent à des fateurs jk ou +j : ---- e t ( ) j e j t k e j t j ( t k ) Une équation au dérivées partielles vérifiée par l onde v et se ramène, en général, à une simple équation algébrique où interviennent des puissanes de j et jk d où une relation entre k et appelée relation de dispersion ONDES STATIONNAIRES Les dépendanes des ondes stationnaires vis-à-vis des variables d espae et de temps sont déouplées Une onde stationnaire plane est représentée en notation réelle par une fontion de la forme : (, F( )Gt () Les endroits d amplitude de vibration maimale sont appelés des ventres de vibration et les endroits d amplitude de vibration nulle sont appelés des nœuds de vibration --- k e ( ) jke j t k (, j ( t k ) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit SOLUTIONS STATIONNAIRES DE L ÉQUATION DE D ALEMBERT Définition Une onde stationnaire à une dimension solution de l équation de d Alembert, s érit : (, 0 os( k+ F ) os( t + G ) Elle est don sinusoïdale (monohromatique ou harmonique) et osille «sur plae» Modes propres, analyse harmonique Les ondes vérifiant l équation de propagation le long d une orde, de longueur L, fiée à ses etrémités 0 et L, sont des superpositions d ondes stationnaires monohromatiques de période spatiale n et de fréquene temporelle n quantifiées Ce sont les modes propres d osillation de la orde vibrante : Leur amplitude est de la forme : n n 0 n l l 0 L n ---- n (, n On détermine les oeffiients A n et B n par des onditions initiales sur et sa dérivée temporelle L n ( A n os n t + B n sin n sin l ---- n 48

52 Corde vibrante : équation de d Alembert (PC-PSI) Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Qu est-e qu une onde plane? une onde plane progressive? Quelle est la solution de l équation de d Alembert unidimentionnelle? Qu est-e qu une onde plane monohromatique? Qu est-e qu une onde stationnaire? Pouvez-vous définir et aluler les modes propres et les pulsations propres d une orde fiée à ses deu etrémités? Du ta au ta (Vrai ou fau) Les ondes sur une orde vibrante sont : a planes b sphérique longitudinales d transversales Les ondes sur une orde vibrante peuvent être : a progressives b régressives stationnaires 3 Une onde stationnaire est la somme : a de deu ondes progressives et régressives quelonques b de deu ondes progressives et régressives monohromatiques 4 Lorsqu une orde est fiée à ses deu etrémités : l a il n y a résonane que lorsque L est multiple de -- b il y a un nœud d élongation seulement à haque etrémité les modes propres orrespondent au résonanes et réiproquement d la orde ne peut pas vibrer à deu fréquenes ou plus simultanément Solution, page 53 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 49

53 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Diffusion Rayleigh (PC) Lors d une manipulation ave la orde de Melde (f do 6 page 38), on trouve les résultats i-dessous ) Pour une même longueur L de la orde et une même masse M arohée à elle-i, on obtient les résultats suivants : fréquene de résonane 9 Hz pour deu fuseau ; fréquene de résonane 8 Hz pour trois fuseau a) Ces valeurs numériques sont-elles ompatibles entre elles? b) Quelles seraient les fréquenes de résonane suivantes? ) La longueur de la orde est L 7 m Quelle est la vitesse de propagation d une perturbation sur ette orde? 3) La masse M arohée à la orde est égale à a) Quelle est la tension de la orde? b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique de la orde Appliation musiale : la guitare Les résultats obtenus au 3 du ours sont utiles à la résolution de et eerie La guitare lassique omporte si ordes (en boyau ou en nylon) alors que les guitares életriques sont équipées de ordes d aier On présente quelques rappels ou notions sur la gamme et la hauteur des sons Parmi les qualités que les musiiens attribuent au sons (durée, timbre et intensité), la hauteur et plus préisément les éarts de hauteur peuvent être évalués à partir d otave et de gamme Le doublement de la fréquene d un son s aompagne d un hangement d otave La gamme dite tempérée (la plus simple et la plus utilisée) divise l otave en douze intervalles égau, appelés demitons Les fréquenes suessives des notes espaées par es demi-tons forment une progression géométrique, vérifiant la loi générale : p N N p ave p [ ;] Les notes de la gamme lassique (do, ré, mi, ) ne sont pas toutes séparées d un demi-ton Dans une otave, la suession des notes est la suivante : do do# ré ré# mi fa (ou ré ) sol sol# la la# si do (ou la ) (ou mi ) (ou si ) M 5 g fa# (ou sol ) Les symboles # (dièse) et (bémol) rehaussent et rabaissent respetivement d un demi-ton les sons onsidérés Ainsi mi# fa et fa mi La base de fréquene de la gamme tempérée est le la 3 (la de la troisième otave) dont la fréquene vaut 440 Hz Le savart (unité assoiée au pouvoir séparateur de l oreille) permet de quantifier l éart de hauteur entre deu sons Ainsi deu fréquenes N et N sont séparées de : savarts Les fréquenes fondamentales des ordes d une guitare sont [mi ; la ; ré ; sol ; si ; mi 3 ], l indie étant relatif au numéro de l otave onsidérée ) Déterminer la fréquene orrespondant à haune des si ordes ) À l aide des données fournies dans le tableau i-dessous : déterminer les tensions néessaires pour que la guitare soit parfaitement aordée (mode fondamental) lorsqu elle est équipée de ordes en aier ; omparer pour une orde donnée (par eemple n 4) l influene de la nature du matériau onstituant la orde sur la fore de tension (en supposant le diamètre onstan orde n note fondamentale mi la ré sol si mi 3 diamètre D (mm), 0,89 0,70 0,55 0,35 0,5 longueur L (m) masse volumique ( kg m 3 ) 000 log N N boyau 975 nylon 80 aier ) Quelle est la variation relative qui peut être tolérée sur la tension de la orde n 4 (sol ) pour que la fréquene du fondamental orrespondant ne varie pas de plus de inq savarts (limite de séparation de l oreille moyenne)? Faire l appliation numérique pour une orde en aier 4) Le guitariste, tout en grattant les ordes d une main, déplae les doigts de son autre main sur une ou plusieurs ordes, afin de faire varier la distane entre les etrémités fies A et B De ombien déplae-t-il son doigt sur la orde n 4 par eemple pour passer du sol au la? Faire l appliation numérique pour une orde en aier Commenter le résultat obtenu 50

54 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-PSI) 5) Pour une orde donnée, quelle est la plus faible valeur de n pour laquelle la fréquene de l harmonique n s éarte de la fréquene d une note de la gamme de plus de inq savarts? Les musiiens disent que et harmonique est dissonant 6) Lors du pinement, on onsidère que la orde de ψ (, 0) la guitare est abandonnée sans vitesse initiale dans h la position représentée sur le shéma i-ontre a) En reprenant les epressions O a L données au 34, aluler les amplitudes des différents harmoniques présents dans la orde b) Montrer qu en pinçant la orde en un point d absisse a onvenable, le premier harmonique dissonant peut être supprimé 7) Si les ordes de la guitare ne sont pas ψ (, t 0) pinées (ou grattées à h l aide d un triangle) mais frottées à doigt nu, O L L la forme de la orde peut alors être représentée selon le shéma i-ontre et en prenant omme onditions initiales, pour 0 L : (, 0) 4h L ( ) L a) Caluler les nouvelles amplitudes des différents harmoniques présents dans la orde b) Disuter la pureté des notes obtenues : le signal sonore perçu se rapprohe-t-il ou s éloigne-t-il d un signal sinusoïdal pur? et * Appliation musiale : le piano (, 0 ) 0 t ) Avant la mise au point de la gamme tempérée, les musiiens utilisaient la gamme dite naturelle : elle-i repose sur trois intervalles onsonants ( est-à-dire agréables à l oreille) qui onstituent l aord parfait majeur omplété par l otave do mi sol do Ainsi, dans la suite do mi sol do, les rapports de fréquenes sont : 5 pour la tiere (do mi) : -- ; 4 3 pour la quinte (do sol) : -- ; pour l otave (do do) : Pour une orde, il apparaît que si le mode fondamental (ou harmonique n ) est un do, l harmonique n est le do de l otave supérieure, et l harmonique 3 n 3 -- est le sol de l otave supérieure a) Trouver les notes orrespondant au harmoniques n 4, n 5 et n 6 b) Montrer que l harmonique n 7 ne rentre pas dans le shéma tiere-quinte-otave (les musiiens disent de e fait qu il est dissonant ; il est prohe de si bémol) ) Quelle est la note orrespondant à l harmonique n 8? Est-elle onsonante ou dissonante? ) Spetre sonore d une orde frappée (piano) À l instant t 0, la orde de longueur L est dans la position d équilibre (, 0) 0 La orde est frappée ave un petit marteau de largeur b (ave b L) situé entre les absisses a et a+ b Dans es onditions, la vitesse de haque point de la orde à l instant t 0 peut être définie par la fontion u ( ) (, 0 ) telle que : t si a a+ b, u ( ) u 0 (onstante) sinon u ( ) 0 a) Établir (f 34) les amplitudes des différentes harmoniques présentes dans la orde b) Trouver une appliation musiale du fait que les amplitudes des harmoniques dépendent de a Que faut-il faire pour supprimer le premier harmonique dissonant défini par n 7? ** Étude des vibrations d une orde vertiale L ae ( O) est vertial asendant, ( Oy) horizontal Une orde, infiniment souple, de masse linéique, de longueur L est suspendue au point A dans le hamp de pesanteur d intensité g Lorsque la orde est au repos, son etrémité inférieure oïnide ave le point O Son point d arohage A effetue des osillations horizontales : y A a os t, d amplitude a très inférieure à L L etrémité inférieure de la orde ne subit auune ontrainte Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

55 Eeries Le déplaement (quasi horizontal) d un point P ( ) de la orde par rapport à sa position d équilibre est noté yt (, ) y Dans toute la suite, on suppose que y, et y sont très petits, et que le déplaement de la orde ne se produit que dans la diretion ( Oy) A g y(, P() ) Que vaut B 0? Déterminer A 0 en fontion de A L g et de a Érire l epression de yt (, ) 3) AN : L m, a mm, g 9,8 ms, fréquene d eitation de la orde f 5 Hz a) Évaluer le fateur L g b) En utilisant le tableau de valeurs i-dessous, ou bien un logiiel permettant de résoudre diretement l équation différentielle vérifiée par la fontion AX ( ), indiquer l allure de la orde en traçant le graphe yt (, ), pour variant de 0 à L, àun moment t donné Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit ) Montrer que l équation de propagation des ondes le long de la orde est : ) On herhe une solution de l équation i-dessus sous la forme : yt (, ) ( ) os t + ( ) sin t a) Montrer que ( ) et ( ) vérifient la même équation différentielle b) On note X y ( ) B 0 AX ( ), ave A( 0) Établir l équation vérifiée par la fontion AX ( ), puis reherher une solution de ette équation sous la forme d un développement en série entière : Déterminer les oeffiients O y g y y t ; ( ) A g 0 AX ( ) ; AX ( ) + A X + A X + A k X 0,00,45 3,67 7,6,30 8,7 5,87 34,76 44,38 55,73 67,8 8,64 96,0,48 AX ( ) A ( X),00 0,00 0,40 0,00 0,30 0,00 0,5 0,00 0, 0,00 0,0 0,00 0,8 0,00,00 0,43 0,00 0, 0,00 0,06 0,00 0,04 0,00 0,03 0,00 0,0 0,00 0,0 ) Quel est le nombre de nœuds qui apparaissent sur la orde? d) Quelle est l amplitude du mouvement de l etrémité libre de la orde? e) Que se passerait-il si, pour X L , AX ( ) était nulle? g 5

56 Corrigés Solution du ta au ta, page 49 Vrai : a, d Fau : b, Vrai : a, b, 3 Vrai : b Fau : a 4 Vrai : a, Fau : b, d ) Pour le mode fondamental ( n ), la tension T 0 et la fréquene N T 0 sont reliées par N , où la masse linéique vaut : L L D ; 4 e qui donne T 0 ( DLN), soit pour une orde en aier : ) a) En posant 9 Hz et 3 8 Hz, nous devons avoir soit or : ela signifie 3 0, , , que les mesures sont ompatibles entre elles On obtient une valeur de voisine de 94Hz, b) Les fréquenes suivantes sont données par la formule n n 0, soit : ) Sahant que la longueur de la orde est L 7m,, 0 34m;, la vitesse est don : 3) a) La masse M étant égale à 5 g, la tension de la orde est don 05N, (ave g 0 m s ) T 0 b) La vitesse de propagation étant égale à ----, où représente la masse linéique de la orde, on a : soit 5, 0 4 kg m, d où ave la préision des fréquenes : 05g, m Cette valeur pourrait être omparée à elle obtenue en pesant, par eemple, 0 m de fil sur une balane de préision! ) À partir de la fréquene du la 3, on peut aluler les fréquenes du : 440 do 3 ; soit ,6 Hz ; 6,6 do ; soit ,8 Hz ; 6,6 do ; soit ,4 Hz 4 On en déduit les fréquenes des notes : notes mi la ré fréquenes (Hz) notes sol si mi 3 fréquenes (Hz) Hz 5 47 Hz l 0 0 m s T , ,4 8,4 65,4 30,8 46, , ,8 47,9 6,6 39,6 T numéro de orde et pour les différentes ordes n o 4 (sol ) : 3) En eprimant la différentielle logarithmique de T 0 r(dln), on obtient : ΔT Δ N T 0 N L éart entre les deu fréquenes N et N + Δ N est égal à 5 savarts, soit : d où : T 0 (N) 8,8 93, 0,7 3,0 73, 66,0 boyau nylon aier T 0 (N) 4, 7, 3, log N + ΔN ln ΔN Δ N N ln 0 N ln 0 N Δ T 0 ln , T ) Pour passer du sol ( N 96 Hz) au la ( N 0 Hz), le guitariste doit faire passer la orde n o 4 de sa longueur initiale L à une longueur L L d donnée par LN ( L d)n, e qui onduit au déplaement d 6,9 m Ainsi, pour passer d une note à sa voisine, le déplaement d orrespond au dimensions de la main et peut don être failement réalisé en utilisant deu doigts sans avoir à bouger la main 5) En vibrant, la orde émet le spetre de fréquenes nn (n entier) Le mode fondamental,n,orrespondàlafréquened unenotedelagammetempérée Les fréquenes des autres notes peuvent alors se mettre sous la forme ---- p N (p entier) Pour trouver le premier harmonique n dissonant, il faut don vérifier que, pour n donné, il n eiste auune valeur de p qui onduise à : nn n 000 log , est-à-dire 0, , p ---- p N La relation préédente est satisfaite pour n ( p ), n 3 ( p 9), n 4 ( p 4), n 5 ( p 8) et n 6 ( p 3) Elle n est en revanhe pas vérifiée pour l harmonique 7 : p 33 7 onduit à , Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 53

57 Corrigés et p 34 onduit à 6) a) En reprenant les résultats du 34, on a : B n 0 A n -- L 0 a h - sin nπ a L d + -- L Une intégration par parties onduit à : A n b) Pour ne pas faire apparaître l harmonique 7, il suffit de piner la orde à l absisse a qui annule A 7, d où : sin 7πa et a m L L ,98 ave m entier 7) a) On obtient maintenant B n 0 et A p 0, et après intégrations par parties : 3h A p (p + ) 3 p 3 b) Pour la orde frottée, les oeffiients A n déroissent en ----, don beauoup plus rapidement que les oeffiients orrespondant à la orde pinée : le son émis par la guitare est alors très pur, presque sinusoïdal, à la fréquene du mode fondamental h L sin nπa n π a ( L a) L a L h ( L ) L a sin nπ d L n 3 d où, pour b L: B n u 0 b n π a n π sin L -- b) En jouant sur a, est-à-dire sur la position du marteau sur la orde, il est possible de modifier l amplitude B n des harmoniques à souhait et don de modifier le timbre du son émis Il est possible de supprimer l harmonique dissonant en prenant sin 7π a soit (n entier) On peut remarquer que la L -- 0, a n L -- 7 orde est alors frappée en un nœud du mode de vibration de l harmonique 7 (pour et harmonique, L 7 l -- ) n 7 ) La relation de la dynamique appliquée à un élément de orde de longueur d s d, ompris entre les absisses et + d, donne en notant F(, la fore de tension eerée par la partie de la orde d absisse supérieure à sur la partie d absisse inférieure à : da F( + d, F(, + dg Le poids de la orde qui est responsable de la fore de tension F ne peut être négligé Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Remarque : Il est possible de vérifier que l éart de fréquenes entre deu notes semblables de la gamme tempérée et de la gamme naturelle est inférieur à 5 savarts (f eerie ) : 5-4 mi 000 log savarts, 3 - sol 000 log savart, ) a) Les harmoniques n 4, n et n orrespondent respetivement au notes do, mi et sol, deu otaves audessus du fondamental b) Il est impossible d érire l harmonique n 7 sous la forme p ou 5 - p 3, ou - (p entier) 4 ) L harmonique n 8 3 est le do situé trois otaves au-dessus du fondamental : est une note onsonante ) a) (, 0) étant nul à l instant initial, il vient immédiatement A n 0, les oeffiients B n se alulent à partir de (f 34) : B n nπ a L 0 a + b (, 0 ) sin nπ t L -- d u nπ 0 sin nπ L -- d, On obtient : en projetion sur (O) : F d où g et F g ; en projetion sur (Oy) : F y d La tension étant tangente à la orde, il est possible d érire : don : F(, d, y μdg F(, + d ) a) y(, ( ) os t + ( ) sin t est solution de l équation préédente si : O 0 F ( + d, F (, dg, d y F t y ( + d, t ) F y (, F y y F ---- g y ---- y g ---- y y t 54

58 Corde vibrante : Équation de D Alembert (PC-PSI) d d os t d d sin t 0 g d d g d d qui doit être vérifiée quel que soit t, e qui impose : b) Notant X , on obtient l équation différentielle vérifiée par la g fontion A( X) : La solution série entière A( X) + A k k satisfait ette équation si : A On en tire A et A k k+ puis ( k+ ), ( ) A k k ( k! ) ; est-à-dire que les premiers termes de la solution sont : Remarque g g d d d d d d d d da A X d A dx d X k + A + ( A k + ( k+ )A k + + ( k+ )ka k + )X k 0 k A( X) X - X X X X ( X 6 ) Il est possible de faire appel à un logiiel pour résoudre l équation différentielle vérifiée par A : la solution orrespond à une fontion de Bessel, dont le développement limité en fontion de la variable X a été donné préédemment ) Pour L, lafontion y( L, ( A 0 os t+ B 0 sin A L g doit s identifier ave y A a os t, don : B 0 0 et A 0 a A L g La forme de la orde à l instant t est don donnée par : A g y(, a A L os t g 3) a) L 4 π f L , 6 g g y b) Pour le as envisagé, on trae le graphe de - en fontion de --, a L représenté à l instant t vérifiant os t etrémité A etrémité libre 6 4 ) Sur le graphe obtenu, on observe que la orde présente si nœuds de vibration entre 0 et L De plus, l amplitude des osillations horizontales des points de la orde augmente, et la distane entre deu nœuds diminue en s approhant de l etrémité libre de la orde Celle-i «fouette» l air : l influene du hamp d aélération g s apparente à elui imposé par un manieur de fouet qui tire brusquement sur la poignée de elui-i (les amplitudes envisagées limitent ependant e parallèle) a d) Pour 0, l amplitude des osillations vaut soit A L A, g environ 6 à 7 mm e) Si A L , l amplitude des osillations deviendrait très g grande (phénomène de résonane) et le alul qui a été fait ii n est plus appliable (on est limité à y peti 0 L 0,8 0,6 0,4 0, Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 55

59 3 Câble oaial : notion d impédane PC-PSI Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Propagation d une onde dans une ligne életrique Impédane d onde, propagation d énergie Réfleion, transmission Solutions de l équation de d Alembert Au hapitre, nous avons étudié la propagation d ondes de déplaement le long d une orde vibrante, dérite par l équation de propagation de d Alembert Nous avons obtenu quelques solutions importantes de ette équation : ondes planes progressives, ondes planes progressives monohromatiques ou harmoniques et ondes stationnaires En étudiant la propagation d ondes életriques dans une ligne sans perte, nous vérifierons que es résultats peuvent s appliquer à d autres situations physiques Nous les ompléterons en analysant le transport d énergie assoié à la propagation des ondes, ainsi que leur réfleion et leur transmission lorsque les aratéristiques du milieu de propagation sont modifiées 56

60 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) La ligne életrique n est pas epliitement au programme de Seonde année Nous l avons ependant hoisie pour introduire des notions importantes, omme la notion d impédane aratéristique, le transport d énergie ou les phénomènes de réfleion et de transmission (qui sont au programme), pare qu elle permet d utiliser des tehniques de alul partiulièrement simples et que l étude epérimentale reste aussi relativement aisée Propagation d une onde életrique dans une ligne Epériene : propagation dans un âble oaial Struture d un âble oaial La struture d un âble oaial est représentée sur le doument a L âme du âble est onstituée par un fil de uivre ylindrique de rayon a Celle-i est enrobée d une ouhe d isolant La gaine, de rayon intérieur b, est en uivre et entoure le tout (do b) Ce type de âble relie, par eemple, un poste de télévision à l antenne réeptrie (do a), ou des ordinateurs montés en réseau (do b) Do a Câble oaial b i a + i Do b Câble oaial : desription âble oaiau Do a Le âble reliant le poste de télévision à l antenne réeptrie est un âble oaial Do b Des ordinateurs montés en réseau sont reliés à un âble oaial Observation de la propagation Nous savons que relier un générateur de signau à un osillosope par un âble oaial permet de visualiser le signal issu du générateur En fait, ei n est pas tout à fait eat, ar le signal n est pas instantanément transmis par le âble d un appareil à l autre : le signal met un ertain temps pour se propager dans le âble d un appareil à l autre En général, e déalage nous est impereptible, ar la vitesse de propagation dans le âble est du même ordre de grandeur que la vitesse de la lumière Un signal qui se propage dans un âble oaial de 30 m de long, à une vitesse de l ordre de km s, ne met qu une nanoseonde à parvenir du générateur à l osillosope Pour mettre en évidene le retard lié à un phénomène de propagation dans le âble, nous pouvons jouer sur la longueur de elui-i Étant donné l ordre de grandeur que nous venons d obtenir, il est néessaire d utiliser un très long âble, par eemple un rouleau de âble oaial Ave un âble de 00 m, le retard sera de l ordre de quelques diièmes de miroseonde C est enore assez peu, mais parfaitement observable à l osillosope (la fréquene de oupure d un osillosope est généralement supérieure à 0 MHz), si nous utilisons un générateur d impulsions générateur d impulsions terminaison Do 3 Dispositif epérimental : une terminaison plaée en prarallèle sur le âble (f eerie et 3) permet d éliminer les réfleions du signal dans le âble Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 57

61 Ondes Un générateur d impulsions est relié au deu voies d un osillosope, en utilisant un âble de 30 m d une part, et le rouleau de 00 m d autre part (do 3) Nous observons alors lairement sur l éran de l osillosope le retard du pi qui a dû traverser tout le rouleau par rapport à elui qui n a parouru que 30 m de âble (do 4) En fiant, par eemple, la base de temps de l osillosope à 0, s par arreau, nous pouvons mesurer e retard t et estimer la vitesse de propagation du signal életrique dans le âble oaial Modèle de propagation dans la ligne Lorsque nous faisons de l életroinétique, nous travaillons dans l approimation des régimes quasi stationnaires On dit en général que l on néglige les phénomènes de propagation Cela ne veut pas dire qu ils n eistent pas mais que la propagation est instantanée (la vitesse de propagation est infinie) et dans es onditions, les éléments d un iruit sont des onstantes loalisées Comme nous ne sommes plus dans ette approimation (nous herhons à mettre en évidene un phénomène de propagation à vitesse finie), nous travaillerons ave des iruits à onstantes réparties : seule une portion de iruit de longueur suffisamment petite pour y négliger les phénomènes de propagation peut être représentée ave le modèle de l életroinétique 0, µs Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Modèle de la ligne életrique à onstantes réparties Modélisons le âble oaial, milieu ontinu, par une ligne életrique à onstantes réparties, pour laquelle nous noterons et les indutane et apaité par unité de longueur (eprimées respetivement en Hm et Fm ) La ligne est omparée à une suession de tronçons élémentaires, de longueur d, onsidérés omme des quadripôle élémentaires auquels sont assoiées une indutane dl d et une apaité dc d (do 5) Remarque Nous négligeons ii toute perte (résistane de la ligne, admittane de fuite entre l âme et la gaine, ) Ce modèle permet de rendre ompte, de façon simple, de la propagation d ondes életriques dans un âble oaial que nous venons d observer (nous étudierons un modèle de propagation du hamp életromagnétique dans la ligne dans l eerie 3 du hapitre 5) Les aratéristiques et peuvent être alulées à partir de la géométrie de la ligne életrique, ii un âble oaial (f H-Prépa, Életromagnétique, e année) Équations de ouplage En érivant les équations életriques relatives au tronçon de ligne de longueur d (do 5), nous obtenons : d it (, ) v (, v( + d, ou it (, ) t t v (, ( it (, ) i ( + d, ) ou v (, it (, ) i ( + d, t d dt d ar d v ( + d, d v (, d où le seond terme t t v (, t en «d» est négligé v (, v( + d, d Do 4 Éran de l osillosope : observation des impulsions âme v(, gaine i(, âme v(, gaine i(, v( + d, Λ d Γ d + d i( + d, + d Do 5 Shéma életrique d un tronçon de ligne de longueur d v( + d, 58

62 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) La propagation dans la ligne est don dérite par le système d équations ouplées : 3 Équation de propagation L équation de propagation s en déduit par élimination de v ou i dans le système d équations ouplées Nous obtenons ainsi : et v v t Nous reonnaissons l équation de d Alembert, satisfaite par v et i, où la vitesse aratéristique de la propagation est Remarque La position relative de la bobine et du ondensateur dans la modélisation du âble oaial ne modifie pas les équations différentielles reliant v et i (do 6) Ainsi, à partir du doument 6b : Soit : i d ( + d, v (, v( + d,, t et en ne regardant que les termes en d : et ensuite : soit : i (, t v (, et v (, t i i t d it (, ) d t it (, ) t it (, ) t v (, t v (, d v (, it (, ) i ( + d,, t d v (, t it (, ) t i(, On retrouve don les deu équations différentielles ouplées préédentes, qui donnent les mêmes équations de propagation Appliation Modélisation d une fibre nerveuse Une fibre nerveuse transporte l influ nerveu sous forme d impulsions életriques Elle peut être modélisée par une âme : l aoplaste, relativement onduteur de résistane par unité de longueur de fibre r i enveloppé d une gaine de myéline de résistane et de apaité notables de ondutane g et de apaité par unité de longueur de fibre L etérieur peut être modélisé par un milieu onduteur de résistane r e par unité de longueur de fibre a) b) ) i(, v(, i(, v(, i(, v(, d Λ d Γ d Λ d Γ d d i( + d, v( + d, i( + d, v( + d, i( + d, Γ d v( + d, Do 6 Modélisation d un même tronçon de longueur d de âble oaial ) Proposer une modélisation életrique d un élément de longueur d de fibre ) Érire le système d équations ouplant les dérivées temporelles et spatiales de l intensité i(, et de la tension v(, en un point de ote de la fibre 3) En déduire une équation différentielle vérifiée par i(, ou v(, ) Un élément de longueur d : d aoplaste est représenté par une résistane r i d ; Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 59

63 Ondes Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit de gaine en myélite par une résistane et de g d apaité d reliant l aoplaste à l etérieur ; d etérieur par une résistane r e d Les représentations possibles de l élément de longueur d de la fibre sont elles des douments 7 et 8 A i(, r i d i(+d, A apolaste v(, Do 7 r e d gd d ) Pour le shéma équivalent du doument 7 La différene de potentiel entre les points A et A est r i di(, et entre les points E et E : r e di(,, d où : v (, (r i + r e )di(, + v( + d, soit : 3 Analogie életroméanique Fait remarquable, l équation de propagation obtenue est enore l équation de d Alembert, dont nous avons étudié les solutions au hapitre Nous pouvons don appliquer les résultats déjà obtenus, et onstater des analogies entre la v(+d, E i(, i(+d, E i(, i(+d, A A v(, Do gd r i d d r e d v(+d, E i(, i(+d, E v (, + ( r i + r e )it (, ) 0 gaine etérieur apolaste gaine etérieur () L intensité traversant l élément de longueur d de myéline vaut : i i(, i ( + d, gdv( + d, + d v ( + d, t Or : gdv( + d, + d ---- v ( + d, t gv(, v (, d + terme en «d», t don, en ne gardant que les termes en d : i (, + gv(, + v (, 0 t () Si nous prenons le shéma équivalent du doument 8, les équations sont : i i(, i ( + d, gdv(, gdv(, + d v (, t pour l intensité traversant la myéline v (, (r i + r e )di(+ d, + v( + d,, soit : v (, (r i + r e )di(, + v ( + d, + terme en «d» Elles aboutissent au même résultat final en ne prenant pas en ompte les termes en d 3) En éliminant i(, entre les deu équations : v (, ( r i + r e ) gv(, + v (, t En dérivant l équation () par rapport à et en éliminant ar v v v , nous aboutissons à t t une équation semblable : i (, ( r i + r e ) gi(, i (, t v(, et i(, vérifient la même équation différentielle qui n est pas une équation de d Alembert 60

64 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) propagation des vibrations le long d une orde et elle des ondes életriques dans une ligne : l analogue méanique d une indutane L (inertie életrique) est une masse M (inertie méanique), l analogue de est don une masse linéique ; l analogue d une apaité C est l inverse d une onstante de raideur ---, elui K de est don de la forme , où a est une longueur, est-à-dire l inverse Ka d une fore que nous noterons T 0 ; ette orrespondane permet de passer de la vitesse de propagation le long T 0 de la orde : à la vitesse de propagation dans la ligne : Nous pouvons ainsi dresser le tableau omparatif (do 9) ligne életrique orde vibrante origine de la propagation : les variations spatiale et temporelle de deu grandeurs, qui sont ouplées, s entretiennent mutuellement y ourant életrique tension életrique l indutane linéique la apaité linéique it (, ) v(, i v t v i t les grandeurs vitesse v y (, (, t (déplaement transverse) omposante transverse de la fore eerée par la partie gauhe sur la partie droite de la orde (do 0) F y (, T (, les équations de ouplage v y F y t F y v T y t les onstantes aratéristiques du milieu la masse linéique l inverse de la tension de la orde la propagation (unidimensionnelle) de es grandeurs, onséquene du ouplage des dérivées spatiale et temporelle, est dérite par l équation de propagation de d Alembert, ou équation d onde lassique : t T 0 la vitesse aratérisant la propagation T 0 F y F y e y Do 0 F est la fore eerée en M par la partie gauhe (orde noire) sur la partie droite (orde bleue), ave e hoi : F T 0 e + F y e y Do 9 Analogies entre la ligne életrique et la orde vibrante F M Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 6

65 Ondes Remarque Dans les epérienes que nous avons dérites, nous avons pu observer l évolution temporelle : de v en 0 ou L pour le âble oaial ; de déplaement latéral de la orde pour tout Nous n avons pas observé, en revanhe, les grandeurs ouplées : intensité pour le âble et vitesse (ou fore) pour la orde Impédane aratéristique de la ligne életrique Le terme d impédane nous fait naturellement penser au grandeurs életriques Nous utiliserons effetivement ii l eemple de la ligne életrique pour aborder ette notion Bien entendu, nous prolongerons les résultats établis au ondes méaniques, voire à d autres Définition Considérons une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des roissants Nous savons que it (, ) et v(,, solutions de l équation de d Alembert, sont alors de la forme : it (, ) f t -- et v(, h t -- Cherhons s il eiste une relation simple entre es deu grandeurs L équation de propagation est une onséquene des équations ouplées, don les solutions it (, ) et v(, ompatibles ave la physique du problème sont en fait liées Prenons la solution it (, ) f t -- et onstruisons la solution v(, à partir des équations ouplant le ourant et la tension : Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit en notant f ( u) v i f t -- t v i t f t -- df ave u t -- du En intégrant la première équation par rapport à, il vient : v (, f t -- + H () t En reportant ette epression dans la seonde équation, nous obtenons : v (, t f t -- + H () t f t -- 6

66 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) Sahant que , nous en déduisons H () t 0 et H() t te K Comme nous ne nous intéressons qu au phénomènes qui se propagent, don variant dans le temps, nous prenons K 0 Finalement, la solution herhée est : en notant ohms Z ---, v(, h t -- Z f t -- qui est homogène à une impédane don eprimée en Pour une onde plane progressive se propageant dans le sens des roissants, la tension v et l intensité i sont reliées par v(, Z i (, définissant l impédane aratéristique Z --- de la ligne életrique (notons que Z est réelle et indépendante de et de Appliation Impédane aratéristique d un âble oaial Les rayons de l âme et de la gaine d un âble de télévision valent respetivement a mm et b 35mm, L espae séparant l âme et la gaine n est pas vide mais rempli d un matériau isolant non magnétique (polyéthylène) de permittivité diéletrique relative r 6, Données , 36 9 Fm Hm Sahant que les lois de l életromagnétique permettent de déterminer la apaité linéique par r et b ln -- a l indutane linéique par μ 0 b ln -- quelles sont a les valeurs de la apaité et l indutane linéiques du âble, la vitesse de propagation des signau életriques qu il véhiule et son impédane aratéristique? Z Nous obtenons ave 0 la vitesse de la lumière dans le vide : r 00 pf m ; ln b ā ln b ; ā - 05, H m Z m s ; r ln b 0 r ā - 50 Le âble oaial étudié orrespond à elui utilisé en travau pratiques lors de l étude de signau hautes fréquenes Le âble oaial venant de l antenne vers le poste de télévision a une impédane aratéristique Z 75 Ω Celui utilisé en travau pratiques à une impédane aratéristique Z 50 Ω Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 63

67 Ondes Cas d une onde plane Dans le as d une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des déroissants, it (, ) g t + --, un alul analogue à elui du onduit à v(, Z it (, ) Par superposition des deu résultats préédents, nous en déduisons que lorsque la ligne est parourue par l onde plane la plus générale, don de la forme : it (, ) f t -- + g t + --, la tension v(, s érit v(, Z f t -- g t + -- Remarquons qu alors il n eiste plus de relation simple entre v(, et i(, 3 Propagation d énergie dans la ligne életrique 3 Cas d une onde plane progressive Considérons une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des roissants le long d une ligne d impédane aratéristique Nous savons que dans es onditions : it (, ) f t -- et v(, Z, soit f t -- v(, Z it (, ) Z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Puissane transférée L intensité it (, ) étant omptée positivement dans le sens des roissants, la puissane transmise (don édée) par la partie gauhe (absisse inférieure à ) de la ligne à la partie droite (absisse supérieure à ) vaut (, + v(, it (, ) 3 Densité linéique d énergie L énergie stokée dans un élément de ligne de longueur d est la somme des énergies aumulées dans l indutane d et dans la apaité d, soit : d -- d i (, + -- d v (, La densité linéique d énergie e(,, définie par et (, ), vaut : et (, ) -- i ; (, + -- v (, e peut également s érire sous la forme : puisque et (, ) -- i (, + -- Z i (, i v (, ( nt,) Z 33 Bilan énergétique loal Vitesse d énergie Nous pouvons définir la vitesse de propagation de l énergie v e en eprimant l énergie W traversant une setion de ote, pendant un intervalle de temps t, de deu manières différentes : onnaissant la puissane transmise (,,nous avons W (, t ; 64

68 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) la densité linéique d énergie e(, se déplaçant à la vitesse, l énergie W herhée (do ) orrespond à l énergie ontenue sur un élément de ligne de longueur v e t, soit W e(, v e t L identifiation de es deu epressions nous donne : W (, t e(, v e t, soit (, et (, )v e Nous en déduisons : v e Remarque La variation de la densité d énergie életrique en un point fié ( onstan assoiée à l onde est ii uniquement liée à la propagation de l énergie Dans d autres as, des termes d absorption (ligne résistive, fuite dans les ondensateurs) ou d amplifiation (soure d énergie) pourraient être à prendre en ompte Pour une onde plane progressive (, Z i (, et (, ) i (, la densité linéique d énergie se déplae à la vitesse remarquons que et (, ) f est t -- bien une fontion de t -- 3 Cas d une onde plane (non néessairement progressive) Considérons une onde plane, superposition de deu ondes planes progressives se déplaçant en sens opposés selon l ae ( ), le long d une ligne d impédane aratéristique Z, soit : Z (, f t --, v e v e t énergie e(, v e t transfert d énergie t v e t Do L énergie W qui traverse le plan de ote orrespond à l énergie ontenue sur un élément de ligne de longueur v e t, soit W e(, v e t it (, ) f t -- + g t + -- et v(, Z f t -- g t Puissane transférée Le ourant it (, ) étant ompté positivement dans le sens des roissants, la puissane transmise par la partie gauhe (absisse inférieure à ) de la ligne à la partie droite (absisse supérieure à ) vaut toujours : Cette relation peut s érire : (, + v(, it (, ) (, + Z f t -- g t + -- Les deu termes qui apparaissent dans ette epression orrespondent respetivement à l onde plane progressive f t -- qui se propage dans le sens des roissants et transfère don de l énergie dans e sens, et à l onde plane progressive g t + -- qui se propage en sens inverse (d où le signe moins) et transporte aussi de l énergie Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 65

69 Ondes 3 Densité d énergie L énergie stokée dans un élément de ligne de longueur d est toujours la somme des énergies aumulées dans l indutane d et dans la apaité d, soit : -- d i (, et la densité linéique d énergie vaut : et (, ) -- d v (, -- i (, + -- v (, Utilisant les notations «f» et «g», nous obtenons : et (, ) f t -- g + t + --, epression faisant à nouveau apparaître deu termes positifs, que nous pouvons attribuer au deu ondes progressives mises en jeu dans l onde étudiée + Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 33 Bilan énergétique loal La variation de l énergie, ontenue dans une longueur élémentaire d de la ligne pendant un intervalle de temps t, est liée au transferts d énergie qui ont lieu en et + d (do ) Pendant la durée t, l énergie entrant dans le volume ompris entre les plans de ote et + d est à gauhe (, t et à droite ( + d, t Comme il n y a ni réation ni dissipation d énergie, elle est égale à la variation e (, dt de l énergie de e volume : t et (, ) (, t ( + d, t d t, t soit Remarques (, et (, ) t Cette équation se vérifie aisément en utilisant l epression générale de la puissane (f 3) : (, + v(, it (, ), (, d où : it (, ) v (, v (, it (, ) ; et (, ) -- i, (, + -- v (, et (, ) don it (, ) it (, ) + v (, v (,, et les équations ouplées (f ) t t t : it (, ) t v (, et v (, t it (, ) Pour les solutions que nous venons d érire omme superposition d ondes planes progressives, nous pouvons vérifier diretement e bilan en érivant : Z (, et (, ) [ ff + gg ] [ f t t + g ] (,dt ( + d,dt + d Do La différene entre les énergies entrante et sortante fait varier la densité linéique d énergie e(, 66

70 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) 33 Impédane et puissane assoiées à une propagation unidimensionnelle Nous pouvons généraliser rapidement les résultats obtenus dans le as de la ligne életrique en reprenant les analogies développées préédemment, et onstruire le tableau omparatif (do 3) Do 3 Analogies életroméaniques Remarque ligne életrique orde vibrante la puissane transmise (dans le sens des roissants) dans le milieu peut s eprimer omme le produit de grandeurs (énergétiquement onjuguées) v(, it (, ) grandeurs ouplées F y (, la puissane v y (, (do 4) (, v(, it (, ) (, F y (, v y (, les équations d évolution de es grandeurs étant ouplées, leurs epressions, sous forme d une superposition de deu ondes planes progressives se propageant à vitesse à roissant ou déroissant, sont liées et font intervenir l impédane aratéristique du milieu où elles se propagent epressions générales des équations d évolution it (, ) f t -- + g t + -- v(, Z f t -- g t Z + -- l impédane aratéristique du milieu v y (, f t -- + g t + -- F y (, Z f t -- g t Z T 0 dans es milieu «parfaits» est-à-dire sans absorption ou amplifiation d énergie), la puissane transmise (, et la densité linéique d énergie e(, sont liées par le bilan énergétique loal : e t L énergie, omme toutes les autres grandeurs assoiées au ondes solutions de l équation de d Alembert, se propage à la vitesse Attention, pour la orde vibrante, la puissane transmise de gauhe à droite est égale à F y v y (f eerie 6) F y y F y e y M F Do 4 F est la fore eerée en M par la partie gauhe (orde noire) sur la partie droite (orde bleue), ave e hoi : F T 0 e + F y e y Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 67

71 Ondes 4 Influene des onditions au limites Nous n avons pas enore tenu ompte dans e hapitre des limites éventuelles des milieu de propagation : etensions finies (selon (O)), disontinuités de milieu Celles-i imposent des onditions au limites auquelles les ondes doivent satisfaire Lorsqu une ligne de propagation est fermée sur une impédane terminale ou bien reliée à une ligne de aratéristiques différentes, la tradution des onditions au limites permet de déterminer les aratéristiques des ondes réfléhie et transmise qui en résultent Les onditions au limites doivent être établies au as par as, en étudiant à haque fois préisément le problème posé 4 Réfleion en bout de ligne fermée par une impédane terminale 4 Epériene élémentaire Si nous imposons une seousse au bout d une orde arohée à son autre etrémité à un mur, nous pouvons voir dans un premier temps la déformation réée se déplaer vers le mur : une onde de type «f» qui se propage à la vitesse dans le sens des roissants (do 5) Lorsque elle-i arrive sur le mur, elle ne disparaît pas purement et simplement, absorbée par ette terminaison, mais nous observons au ontraire une seousse (d orientation inversée par rapport à l onde inidente) qui revient vers nous : l onde «f» inidente a donné naissane, au niveau de la terminaison, à une onde réfléhie de type «g» Le phénomène observé est général, et nous le retrouverons pour toutes les ondes dont nous étudierons la propagation Le renvoi d un ého par une paroi roheuse, de lumière par un miroir, sont des eemples de réfleion d ondes sonores et lumineuses (életromagnétiques) Prolongeant le as générique de la ligne életrique étudié jusqu à présent, nous étudierons ii la réfleion d une onde életrique à l etrémité d une ligne, en gardant à l esprit la généralité des phénomènes observés avant réfleion après réfleion o o onde inidente onde réfléhie Do 5 Onde inidente et onde réfléhie sur une orde vibrante Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 4 Impédane terminale, ondition à la limite Considérons le as d'une ligne életrique aboutissant à l'absisse 0 sur une terminaison modélisée par un dipôle (do 6) Si nous relions par un fil onduteur l'âme et la gaine d'un âble oaial à son etrémité 0, sa sortie apparaît ourt-iruitée L impédane terminale de la ligne est alors nulle v( 0, 0 Zi( 0, ) ave Z 0 À l'opposé, une ligne életrique ouverte à son etrémité orrespond à une impédane terminale infinie : i ( 0, 0 -- v ( ave Z Z 0, t ) En général, la relation entre la tension et l intensité au bornes du dipôle ne peut pas être érite sous la forme v( 0, Zi( 0, Si nous supposons que l intensité et la différene de potentiel sont des fontions sinusoïdales du temps de pulsation nous utilisons la notation omplee ; nous pouvons alors définir l'impédane Z du dipôle, grandeur omplee fontion de i(, v(, ligne (Z ) 0 Z Do 6 Terminaison en bout de ligne 68

72 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) Nous nous plaerons dans la suite de e paragraphe en notation omplee La ondition à la limite en 0 s érit alors : Remarque v ( 0, Zi( 0, Un signal physique quelonque peut être déomposé en superposition de fontions sinusoïdales La linéarité de l équation de d Alembert et des relations au dérivées partielles entre v(, et i(, assure que la réfleion d'un signal physique quelonque peut être analysée par superposition des réponses orrespondant au différentes pulsations w ontenues dans l'onde inidente L étude de l onde réfléhie pour une onde inidente progressive sinusoïdale de pulsation w donnée est don fondamentale Appliation 3 Eemples d impédanes terminales pour une orde Un anneau de masse M est arohé en 0, au bout d une orde tendue (tension T 0 ) Il est repéré par sa ote yt () L état de vibration de la orde est dérit par la fontion positive (, ) Indiquer les valeurs des impédanes définies par F y ( 0, Zv y ( 0,, ave : (, F y ( 0, T et v y ( 0, (, t ( 0, (, 0 et la ondition à la limite 0 orrespondant au as où une orde vibrante est liée : a) à un anneau fié au point ( 0, y 0) (do 7a) ; b) à un anneau de masse négligeable pouvant glisser sans frottements sur l ae ( quelonque) (do 7b) ; 0, yt () ) à un anneau de masse M pouvant glisser sur l ae ( 0, yt () quelonque) ave des frottements fluides aratérisés par le oeffiient l, tout en étant lié au point ( 0, y 0) par un ressort, de raideur K, de longueur à vide négligeable (do 7) Les mouvements, dans e as, seront supposés sinusoïdau, de pulsation (il faudra eprimer Z( ) en notation omplee) y y a) b) ) K y M ) Proposer des situations analogues dans le as d une ligne életrique ) Pour une orde vibrante, nous érirons la ondition à la limite 0, pour tout t : est-à-dire : Z F y ( 0, Zv y ( 0,, F y ( 0, (, t (, sahant que yt () ( 0, et : 0 a) L anneau est fie, don quel que soit t, est-à-dire : (, T (, , (, t (, (, F y ( 0, T ( 0, et ( 0, quelonque t ( 0, ( 0, (soit F y ( 0, quelonque) yt () 0pour toutes les valeurs de F y nous onduit don à Z méa 0 ( 0, yt () ( 0, 0 Do 7 Terminaisons en bout de orde vibrante (l anneau a une dimension beauoup plus faible que la longueur d onde) a Etrémité de orde bloquée b Etrémité de orde «libre» Anneau rappelé et frottant Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 69

73 Ondes b) Appliquons la relation fondamentale de la dynamique en projetion suivant ( Oy), à l anneau de masse M, soumis à la fore F de la part de la orde, et à d autres fores que nous noterons R (do 8) : ave ar représente la omposante vertiale de la fore eerée par la partie gauhe de la orde sur la partie droite (do 8) Dans le as b), l anneau, de masse M nulle, est libre ( R y 0) dans son mouvement vertial Nous onstatons don que F y doit s annuler pour toutes les valeurs de yt (), don de v y ( 0,, soit Z méa 0 ) De même, M d y F dt y + R y (, F y F y ( 0, t ) T F y ( 0, M d y F dt y ( 0, t ) dy Ky, dt e qui nous donne en utilisant les notations omplees ( M + j + K)y F y Sahant que dy (, v(, dt t (, 0, 0 d y v( jv( et, dt 0, y 0, j ela nous K donne Z méa jm j ) a) Z éle : la ligne est ouverte en 0 b) Z éle 0 : la ligne est ourt-iruitée en 0 ) Z éle jl + R : la ligne est fermée en jc 0 sur un iruit onstitué d une indutane L, d une résistane R et d une apaité C montées en série fore F orde eerée par la orde sur l anneau F F y orde y 0 anneau R R R y Do 8 F y ( 0, étant définie par : (, F y ( 0, T (, 0 La projetion suivant ( Oy) de la résultante des fores eerée par la orde sur l anneau est égale à F y ( 0, Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 43 Détermination de l onde réfléhie Soit une onde progressive se propageant dans le sens des roissants, pour laquelle v i (, Z i i (, Si elle se propage vers une terminaison d impédane Z plaée en 0, elle ne peut généralement pas satisfaire la ondition à la limite 0, sauf bien sûr dans le as très partiulier où la ligne est refermée sur son impédane aratéristique : Z Z Nous devons don envisager, omme dans l epériene préédente, l eistene d une onde réfléhie (do 9) L onde inidente étant supposée sinusoïdale de pulsation, nous adoptons la notation omplee Dans la zone 0, l onde est la superposition : de l onde inidente se propageant dans le sens des roissants : où I i ( ) I i0 e jk V i ( ) V i0 e jk ave V i ( ) Z I i ( ) ; i i (, I i0 e j ( t k ) I i ( )e jt v i (, V i0 e j ( t k ) V i ( )e jt sont les amplitudes omplees de l onde inidente i(, onde inidente v(, Z onde réfléhie 0 Do 9 Réfleion en bout de ligne 70

74 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) de l onde réfléhie se propageant dans le sens des déroissants : où I r ( ) I r0 e jk V r ( ) V r0 e jk ave V r ( ) Z I r ( ) Soit pour l onde résultante : sont les amplitudes omplees de l onde réfléhie où I( ) et V( ) sont les amplitudes omplees de l onde résultante Nous en déduisons les relations entre les amplitudes omplees des trois ondes : La ondition à la limite 0, v( 0, Zi( 0, ou, en utilisant les amplitudes omplees, V( 0 ) ZI( 0 ) onduit à la relation : ou ( Z Z)I i ( 0 ) ( Z + Z)I r ( 0 ) 44 Coeffiients de réfleion pour les amplitudes Le oeffiient de réfleion en amplitude, noté r est le rapport entre l amplitude omplee de l onde réfléhie et l amplitude omplee de l onde inidente au point où l onde est réfléhie Nous déduisons des relations entre l amplitude omplee de l intensité et de la tension obtenues au paragraphe préédent les oeffiients de réfleion pour : l intensité i r (, I r0 e j ( t + k ) I r ( )e jt v r (, V r0 e j ( t + k ) V r ( )e jt it (, ) I( )e jt i i (, + i r (, ( I i ( ) + I r ( ) )e jt v(, V( )e jt v i (, + v r (, Z ( I i ( ) I r ( ) )e jt I r ( ) I i ( ) + I r ( ) V( ) Z ( I i ( ) I r ( ) ) Z ( I i ( 0 ) I r ( 0 )) Z( I i ( 0 ) + I r ( 0 )) I r ( ) 0 I I i ( 0 ) Z Z Z Z V la tension ( r ) 0 Z I r ( 0 ) V V i ( 0 ) Z I i ( 0 ) I 45 Coeffiient de réfleion énergétique Les ondes étudiées ii sont sinusoïdales, seules nous intéressent les puissanes moyennes transférées de la gauhe vers la droite pour l onde inidente i et pour l onde réfléhie r Le oeffiient de réfleion énergétique, noté R, est le rapport entre la puissane moyenne transférée par l onde inidente et la puissane moyenne transférée par l onde réfléhie en valeur absolue Soit : P R P Pour aluler es puissanes moyennes nous pouvons utiliser le résultat de l életroinétique (f H-Prépa, Életronique, re année) relatif au amplitudes omplees de l intensité I et de la tension V : -- e ( VI ) où I est le omplee onjugué de I r i Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

75 Ondes Il vient Nous déduisons de es relations : Remarques i r -- e ( V i I i ) -- Z I i -- Z I i0 -- e ( V r I r ) -- Z I r -- Z I r0 R V I Les puissanes sont indépendantes de Il est don inutile de préiser ii que le alul doit être effetué au point où l onde est réfléhie i est positive et r négative (propagation de l énergie vers les roissants pour l onde inidente et vers les déroissants pour l onde réfléhie) Prolongeons les résultats du 3, l onde inidente vérifie (en notation réelle) v i (, Z i i (,, l onde réfléhie v r (, Z i r (,, et l onde résultante les deu relations : i (, i i (, + i r (, et v(, v i (, + v r (, Z (i i (, i r (, ), Soit i (, v i (, i i (, Z i i (,, r (, v r (, i r (, Z i r (, et (, v(, i(, Z ( i i (, i r (, ) i (, + r (, D où i + r et en valeur moyenne i + r ( R) i ar est négative r Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 46 Disussion des résultats Nous pouvons analyser les résultats préédents pour quelques terminaisons partiulières Z : l etrémité de la ligne életrique est ouverte I et R V La réfleion est totale, au sens où toute l énergie de l onde inidente se retrouve dans l onde réfléhie Z 0: I V et R, la ligne életrique est ourt-iruitée Ii enore la réfleion est totale Z imaginaire pur : en bout de ligne, V et I sont en quadrature Une telle terminaison (failement réalisable en életriité : indutane, ondensateur) ne dissipe pas d énergie, et il y a enore réfleion totale ( R ) Les terminaisons pour lesquelles dissipent pas d énergie R sont dites parfaites : elles ne Z Z : est le seul as pour lequel nous n avions pas besoin d introduire une onde réfléhie pour satisfaire la ondition limite Nous onstatons en effet que 0 et R 0 I V Lorsque la ligne est fermée sur son impédane aratéristique, il n y a pas d onde réfléhie, la réfleion est nulle Toute l énergie de l onde inidente est absorbée dans la terminaison : il y a adaptation d impédane 7

76 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) Appliation 4 Formation d ondes stationnaires Une onde plane progressive monohromatique, dont le ourant est : en notation omplee, se propage à roissants le long d une ligne életrique d impédane aratéristique Z (située dans la zone 0) Elle est réfléhie en 0 par une terminaison parfaite, est-à-dire ne dissipant auune énergie d impédane Z Établir l epression de l onde totale obtenue sur la ligne dans les différents as envisageables pour la valeur de Z ( Z infini, Z 0 et Z imaginaire pur) Montrer que ette onde est stationnaire et préiser les absisses des points pour lesquels les amplitudes du ourant ou de la tension prennent des valeurs etrémales L onde inidente est : L onde totale est : ii v i Considérons les trois as d impédane terminale parfaite, en notant I 0 I 0 et 0 arg ( I 0 ) : si Z : i i, t ( ) I 0 e ( ) I 0 e i i, t v(, Z I 0 e I 0 e jt e jk Z I 0 e jt j ( t k ) j ( t k ) j ( t k ) Z Z + Z e j k e jk Z it (, ) e ( it (, )) Z Z Z e j k Z I 0 sin( t + 0 ) sin( k) 47 Mise en évidene epérimentale Branhons un générateur (d impédane interne égale à 50 ) à une etrémité d un rouleau de âble oaial pour lequel le onstruteur indique une impédane aratéristique Z 50 L autre etrémité est reliée à une impédane ajustable et si Z 0 : it (, ) I 0 os( t + 0 )os( k) et v(, Z I 0 sin( t + 0 )sin( k) ; si Z est purement imaginaire, posons Z ja Z (A réel) ; la quantité Z est le rapport de deu Z + Z nombres omplees onjugués ; en notant Z Z Z + Z e j, nous obtenons alors : it (, ) I 0 os( t )os( k + ) et v(, Z I 0 sin( t )sin( k + ) Les ondes obtenues par superposition des ondes planes progressives monohromatiques inidente et réfléhie sont stationnaires, ar elles sont de la forme F( )Gt () Considérons le as Z : L amplitude du ourant est nulle (nœud de ouran pour v(, e( vt (, )) Z I 0 os( t + 0 ) os( k) ; it (, ) I 0 sin( t + 0 ) sin( k) v(, Z I 0 os( t + 0 )os( k) p l -- (p entier, négatif ou nul ) et maimale, égale à I 0, pour p l -- l + -- (p entier, 4 négatif) Les résultats sont inversés pour la tension Pour le as Z 0, les résultats sont inversés par rapport au as préédent Lorsque Z ja, les résultats sont simplement translatés d une quantité : Δ l Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 73

77 Ondes L osillosope, branhé au voisinage du générateur, permet d observer la tension en tête de ligne (do 0) Pour bien distinguer le signal émis et le signal réfléhi, nous utilisons un générateur d impulsions Le signal utilisé n est pas sinusoïdal, mais nous utiliserons une impédane terminale orrespondant à une résistane : Z R Les résultats préédents sont don diretement utilisables Commençons par ne rien mettre au bout du âble : son etrémité est alors refermée sur une impédane infinie L éran de l osillosope, synhronisé sur les impulsions émises par le générateur, a alors l allure représentée sur le doument a L À l impulsion émise par le générateur suède, ave un retard t -----, une impulsion réfléhie (L, ar le signal fait un aller-retour à la vitesse dans le âble de longueur L) Celle-i est de même signe que l impulsion initiale, d amplitude un peu inférieure Ce résultat est ompatible ave la valeur théorique V, la diminution d amplitude étant due à des pertes dans la ligne qui n est pas absolument parfaite (feerie ommenté) Si nous diminuons progressivement la résistane de la terminaison, l amplitude de l impulsion réfléhie diminue Elle disparaît même lorsque R est égale à Z, soit 50 (do b) Quand nous diminuons enore la résistane R, nous observons une impulsion réfléhie de signe opposé à elui de l impulsion émise (do ) À la limite du ourt-iruit, ette impulsion a une amplitude légèrement inférieure à elle de l impulsion initiale (do d) générateur d impulsions terminaison Do 0 Observation des impulsions inidentes et réfléhies a) b) ) d) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit a R ; b R Z ; R 5 ; d R 0 Do Réfleion du signal par diverses impédanes résistives Z R 4 Réfleion et transmission 4 Conditions au limites pour un hangement de milieu Dans le as d une disontinuité de milieu, par eemple une jontion entre deu lignes différentes, un signal inident «f» donnera non seulement naissane à une onde réfléhie de type «g», mais aussi à une onde transmise de type «f» (do ) Remarque Nous pourrions onsidérer la solution la plus générale dans le milieu en introduisant un signal de type g Dans le as où il n eiste qu une seule disontinuité dans le milieu de propagation, ei est ependant absurde : un tel onde inidente v(, i(, onde réfléhie ligne (Z ) ligne (Z ) 0 onde transmise Do Réfleion et transmission sur une simple disontinuité en 0 74

78 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) signal vient de la droite, et devrait être réé par une autre soure d onde, ou par une réfleion sur une terminaison ou une autre disontinuité située un peu plus loin à droite Nous en verrons un eemple dans l eerie Nous pouvons érire, à la jontion en 0 : ontinuité du ourant (pas d aumulation loale de harges en 0, à moins que les lignes ne soient reliées via un ondensateur ou une résistane de fuite, f eeries et 3) Pour tout t : i ( 0, i ( + 0, soit : I ( 0 ) I ( + 0 ); ontinuité de la tension en 0 (à moins que les lignes ne soient reliées via une indutane) Pour tout t : Z v ( 0, v ( 0+, soit : V ( 0 ) V ( + 0 ) Notons et les impédanes aratéristiques, réelles et positives, des deu lignes, et les vitesses de propagation Les deu onditions au limites impliquent en 0 : I ( 0 ) I i ( 0 ) + I r ( 0 ) ; I I t ( 0 ) d où : I i ( 0 ) + I r ( 0 ) I t ( 0 ) V + ( 0 ) Z ( I i ( 0 ) I r ( 0 )) ; V ( 0 ) Z I t ( 0 ) d où : Z ( I i ( 0 ) I r ( 0 )) Z I t ( 0 ) Remarque Z Les dimensions de la jontion sont supposées faibles devant les longueurs d onde mises en jeu, de façon à onsidérer elle-i omme «pontuelle» 4 Coeffiients de réfleion et de transmission Le oeffiient de transmission de la ligne vers la ligne, noté, est le rapport, à l endroit où l onde est transmise (et réfléhie), entre l amplitude de l onde transmise ( 0 ) ou ( 0 ) et l amplitude de l onde inidente ( 0 ) ou ( 0 ) Le oeffiient de réfleion, noté, est le rapport entre l amplitude de l onde réfléhie ( 0 ) ou ( 0 ) et l amplitude de l onde inidente I i V i ( 0 ) ou ( 0 ) I i I r V i V r I t V t En introduisant les oeffiients de réfleion et de transmission pour le ourant, les deu équations préédentes onduisent à : + et Z ( ) Z Les oeffiients de réfleion et de transmission sont de la forme : I ( r ) 0 Z (ouran Z I i ( 0 ) Z, + Z (tension) Z I r ( 0) ar (tension) Z I i ( 0) I ( t ) 0 Z (ouran I i ( 0 ) Z, + Z Z (tension) Z I t ( 0 ) ar (tension) Z I i ( 0 ) Z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 75

79 Ondes Appliation 5 Réfleion et transmission d énergie à l interfae de deu lignes életriques Quels sont les oeffiients de réfleion et de transmission énergétiques assoiés au as qui vient d être étudié Montrer que es oeffiients vérifient : R+ T Quelle interprétation peut-on donner de e résultat? Les impédanes aratéristiques Z et Z sont réelles et positives Les oeffiients et que nous venons de aluler sont réels Considérant les rapports des puissanes réfléhie et inidente d une part, des puissanes transmise et inidente d autre part, nous obtenons : R r i I r ( 0 )I r ( 0 ) I i ( 0 )I i ( 0 ) Z e I i( 0 )I r ( 0 ) Z e I i ( 0 )I i ( 0 ) Z Z Z + Z T t i 4Z Z ( ) Z Z + Z I t ( 0 )I t ( 0 ) Z I i ( 0 )I i ( 0 ) La vérifiation de la relation R+ T est immédiate Pour es lignes parfaites, sans pertes, ette relation traduit le fait que toute la puissane inidente (le ) se retrouve d une part dans l onde réfléhie (le R) et d autre part dans l onde transmise (le T) Nous retrouvons les mêmes résultats en optique : réfleion et transmission sous inidene normale sur un dioptre On aborde le as d une ligne réelle dans l eerie ommenté Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 76

80 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) ÉQUATIONS DE COUPLAGE, DE D ALEMBERT PROPAGATION D ONDES ET D ÉNERGIE Équations ouplées CQFR Les deu grandeurs «ourant életrique it (, )» et «tension életrique v(,» se propagent en satisfaisant à l équation de d Alembert, ou équation d onde lassique, ave t ( est l indutane linéique et la apaité linéique) La propagation (unidimentionnelle) de es grandeurs est une onséquene du ouplage de leurs dérivées i spatiales et temporelles : v v et i t t Impédane aratéristique Pour une onde plane progressive se propageant dans le sens des roissants, la tension v (, et l inten- sité it (, ) sont reliées par v(, Z it (, ) définissant l impédane aratéristique Z --- de la ligne életrique (notons que Z est réelle) Pour une onde plane progressive se déplaçant dans le sens des déroissants le long d une ligne d impédane aratéristique, nous avons vt (, ) Z it (, ) Z Propagation d énergie La propagation des ondes s aompagne d une propagation d énergie La puissane transférée par l onde peut se mettre sous la forme du produit : (, vt (, )it (, ) Dans e milieu «parfait» (ni absorption, ni amplifiation), la puissane transmise (, et la densité linéique d énergie et (, ) sont liées par le bilan énergétique loal : e t L énergie, omme toutes les autres grandeurs assoiées au ondes solutions de l équation de d Alembert, se propage à la vitesse RÉFLEXION ET TRANSMISSION Conditions au limites Lorsqu une ligne de propagation est fermée sur une impédane terminale ou bien reliée à un deuième milieu de propagation, la tradution des onditions au limites permet de déterminer les aratéristiques des ondes réfléhie et transmise qui en résultent Réfleion sur une impédane terminale Le oeffiient de réfleion en amplitude, noté, est le rapport, à l endroit où l onde est réfléhie, entre l amplitude omplee de l onde réfléhie et l amplitude omplee de l onde inidente Le oeffiient de réfleion énergétique, noté R, est le rapport entre la puissane moyenne réfléhie et la puissane moyenne inidente, en valeur absolue : R r i Les terminaisons pour lesquelles R sont dites parfaites : elles ne dissipent pas d énergie Lorsque la ligne est fermée sur son impédane aratéristique, il n y a pas d onde réfléhie, la réfleion est nulle Toute l énergie de l onde inidente est absorbée dans la terminaison : il y a adaptation d impédane Réfleion et transmission Le oeffiient de transmission de la ligne vers la ligne, noté, est le rapport, à l endroit où l onde est transmise (et réfléhie), entre l amplitude de l onde transmise et l amplitude de l onde inidente Le oeffiient de réfleion, noté est le rapport entre l amplitude de l onde réfléhie et l amplitude de l onde inidente Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 77

81 Ondes Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Que peut-on dire des phénomènes de propagation dans l approimation des régimes quasi stationnaires? Quelles sont les deu grandeurs ouplées lors de la propagation d une onde dans un âble oaial? Quelle est la solution de l équation de d Alembert vérifiée par le ourant? Quelle est alors la solution pour la tension? Quelle est la définition de l impédane aratéristique? Comment l énergie de l onde se propage-t-elle dans un âble oaial? Quelle est la onséquene de la présene d une impédane plaée en bout de ligne? Quels sont les trois as «lassiques»? Du ta au ta (Vrai ou fau) Négliger les phénomènes de propagation veut dire qu il n y a pas de propagation Vrai Fau 6 L impédane aratéristique d un âble est : a -- b Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Négliger les phénomènes de propagation veut dire que la vitesse de propagation est infinie Vrai Fau 3 L équation de propagation pour un âble sans perte est l équation de d Alembert unidimensionnelle Vrai Fau 4 L équation de propagation pour un âble ave pertes est non linéaire Vrai Fau 5 L impédane aratéristique d un âble est le V rapport -- I Vrai Fau 7 La vitesse de propagation dans le âble est : a b 8 Les oeffiients de réfleion en amplitude pour la tension et pour le ourant, pour le as d une monohromatiques sont opposés Vrai Fau 9 Le oeffiient de réfleion énergétique en bout de ligne où on a plaé une impédane vaut : a 0 si Z --- b si Z Z si Z 0 d --- si Z est imaginaire pur Z Solution, page 86 78

82 Eerie ommenté Ligne réelle ; équation des télégraphistes ÉNONCÉ Dans un âble oaial, les onduteurs (âme et gaine) possèdent une résistane Nous pouvons leur assoier une résistane linéique de ligne notée r somme de la résistane linéique de la gaine et de l âme De même, l isolant entre l âme et la gaine n est pas parfait et présente une ondutane linéique notée g ) Proposer un shéma életrique équivalent à un élément de longueur d de ligne On introduira les indutanes et apaité linéiques de la ligne ) En déduire les équations différentielles reliant l intensité i(, traversant l âme et la différene de potentiel v(, entre l âme et la gaine 3) En déduire l équation au dérivées partielles vérifiée par i(, ou v(, appelée «équation des télégraphistes» 4) a) À quelle ondition sur r, g, et, l équation des télégraphistes admet-elle une solution partiulière du type it (, ) f t -- e δ -- où f est une fontion deu fois dérivable? b) Quelles sont alors les epressions de et? ) Quelle interprétation peut-on donner à la forme de la solution proposée? d) Dans le as où ette hypothèse est vérifiée, proposer la forme de la solution générale de l équation des télégraphistes 5) Dans le as général où ette ondition n est pas vérifiée, a) herher la forme d une solution de type onde plane monohromatique (ou harmonique) en notation omplee ; b) montrer que ette solution se déompose sous la forme d une onde se propageant ave atténuation selon les roissants et les déroissants ) Quelle vitesse peut-on assoier à la propagation dans le sens des roissants? On donnera une relation entre ette vitesse et d) À quelle(s) ondition(s) un signal non sinusoïdal peut-il se propager sans déformation? 6) Appliation : le âble étudié dans e hapitre présente une impédane aratéristique de 50 et l amplitude d un signal életrique est atténuée de 4 db après avoir parouru 00 m de âble sans autre déformation Caluler la résistane linéique de ligne et la ondutane linéique de l isolant CONSEILS Les dipôles équivalents à un élément de longueur d d isolant sont en parallèle et relient l âme à la gaine Il est inutile de déomposer la résistane de l ensemble gaine-âme ar es deu éléments sont en série La résistane et l indutane modélisant l âme sont en série Attention, la résistane d une longueur d d isolant est inversement proportionnelle à d alors que elle de l âme est proportionnelle à d SOLUTION ) La position relative des différents dipôles est indifférente Le seul point à respeter est que la résistane d âme et l indutane sont en série et la résistane et la apaité de l isolant sont en parallèle Un shéma équivalent est don : r Λ i(, A d d i( + d, A âme v(, /(gd) ) Les équations életriques et de ouplages vues au deviennent : différene de potentiel entre A et A : Γ d gaine isolant v( + d, it (, ) rdi(, + Ld v (, v( + d, ; t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 79

83 Eerie ommenté Pour trouver les équations au dérivées partielles, il faut éliminer les termes en d et ne garder que eu en d dans les équations életriques Pour obtenir l équation au dérivées partielles vérifiée par v (ou i) il faut penser dériver une des équations obtenues à la question ) par rapport à avant d éliminer i (ou v) et utiliser i i t t intensité traversant l isolant gd : soit : et v d v( + d, + Gd ( +, it (, ) i ( + d, ; t ri(, + L it (, ) t g v (, + Γ v (, t en ne prenant en ompte que les termes en d 3) Nous obtenons, en dérivant () par rapport à : v et éliminant à l aide de (), i ΛΓ i rgi + ( rg + gl) ---- i t t i De même, en dérivant () par rapport à et en éliminant : v LG v rgv + ( rg + gl) v t t Ces deu équations sont formellement identiques On les appelle équations des télégraphistes ar leur étude a permis de omprendre la propagation et la déformation des impulsions du langage Morse le long des fils télégraphiques et d améliorer la réeption de es impulsions sur de grandes distanes 4) a) Calulons A ave it (, ) f t -- δ -- e : g v + Γ v t v (, it (, ) it (, ) i LG i ( r Γ + g Λ )---- i rgi t t () () Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Les dérivées partielles de la fontion f t -- se alulent en utilisant le fait que ette fontion est la omposée de la fontion à une variable f(u) et de la fontion à deu variables u t --, soit : f t -- f t f t -- et où f (u) t f t -- est la dérivée de la fontion f (u) i,, t ---- f t -- e δ -- i t f t -- e δ -- f t -- i e f t -- δ e δ -- δ f t -- et i e f t -- δ e f t -- δ e δ -- δ δ Après réarrangement des termes A ---- LG f t -- e δ ( r Γ + g L ) δ f t -- + e δ rg δ f t -- + e δ -- La ondition A 0 valable quels que soient et t impose don trois relations : , δ et δ ---- LG rg ( + gl) rg 80

84 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) Si on onnaît la forme du signal i(0, en 0, quelle est sa forme en un point de ote 0? Est-il déformé? retardé? L équation des télégraphistes doit aussi admettre des solutions se propageant selon les déroissants Elles doivent aussi s atténuer quand déroît, la solution : -- it (, ) g t + -- δ e, répond à es ritères Cette solution orrespond à hanger en - Attention à ne pas onfondre une onde plane monohromatique qui en notation omplee s érit : it (, ) I( )e jt ave une onde plane progressive de j ( t k ) forme it (, ) I 0 e La notation omplee pour une onde plane monohromatique permet uniquement de remplaer la dérivée temporelle ---- par j alors que la t notation omplee pour une onde progressive permet aussi de remplaer la dérivée spatiale par - jk 4 LG Pour qu elles soient ompatibles, il est néessaire que ou (rg + gl) rg ( r Γ g Λ ) 0 e qui onduit à la ondition de Heaviside rg gl soit r L enore -- Z en introduisant l impédane aratéristique de la g Z --- G ligne sans perte b) Dans e as, la vitesse de propagation est identique à elle du âble idéal et la distane aratéristique de l atténuation est : LG ) Admettons que nous onnaissons la forme du signal en 0 et i(0, i 0 ( D après l étude préédente, i ( 0, e δ i 0 t ---- L intensité en 0, est don atténuée d un fateur par rapport à sa valeur en 0 présente un retard ---- Les âbles oaiau sont fabriqués en respetant ette ondition Ainsi n importe quel signal se propage sans se déformer omme s il était solution de l équation de d Alembert, mais il s atténue de façon eponentielle Remarque :Nous avons déjà vu dans l appliation du hapitre 3 une propagation ave atténuation en --, mais elle-i était due à la nature sphérique de r l onde et, omme nous le verrons dans le hapitre suivant dans l appliation 3, à la onservation de l énergie Ii l onde est plane mais l énergie est dissipée lors de la propagation d) Opérons le hangement de variable X dans l équation des télégraphistes En remarquant que i i X , nous remarquons que : it (, ) g t --- X e --- δ X -- soit : it (, ) g t + -- e δ où g est une fontion deu fois dérivable et est solution de l équation des télégraphistes Par analogie ave l équation de d Alembert, la solution générale s eprime don uniquement en fontion de es deu solutions partiulières soit : -- it (, ) g t + -- e δ f t -- + e δ -- 5) a) La linéarité de l équation des télégraphistes omme elle de l équation de d Alembert permet l utilisation des omplees et nous herhons i(, omme partie réelle de it (, ) ave it (, ) I( )e jt Nous obtenons alors l équation différentielle suivante en remplaçant dans l équation des télégra- i phistes ---- ji et i i : t t δ Z -- L r G r gz 0 e 0 δ d I ( LG j( rg + gl) rg)i 0 d Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 8

85 Eerie ommenté Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La notation e - e j(t - k) peut être «ompatée» en e j( t k) où k k j est omplee Nous utiliserons ei lors de l étude de la propagation d une onde életromagnétique dans un métal D après l étude faite sur les solutions de l équation de d Alembert, une dépendane en os t -- + aratérise la propagation d une onde plane monohromatique à la vitesse selon les roissants Il est impossible que l onde se propage ave une amplitude roissante ar la ligne dissipe de l énergie Il est don néessaire que soit positif e j t -- v représente une onde plane progressive monohromatique de pulsation se propageant à la vitesse v ( dite vitesse de phase v ) Un signal non sinusoïdal peut être déomposé en une somme de signau sinusoïdau Pour qu il n y ait pas déformation du signal, il est néessaire que toutes es ondes monohromatiques se propagent à la même vitesse Cette équation différentielle admet des solutions du type I( ) Ae + Be ave vérifiant + j(r + g) + rg et A, B deu onstantes omplees En posant ±( + jk), nous obtenons par identifiation des parties réelle et imaginaire de la relation i-dessus, k LG + rg et k ( rg + gl) Prenons k 0, alors 0 b) La solution générale de l équation des télégraphistes sous forme d onde plane monohromatique s érit don en notation omplee : it (, ) Ae e ou, en notation réelle : it (, ) Ae os( t + k+ ) j ( t + k ) + Be e Be j ( t k ) k rg + gl k LG rg ) L epression aratérise la propagation d une onde à la vitesse v Nous pouvons don définir une vitesse de propagation de l onde v --- k vérifiant : r G + g L ---- LG v rg v os( t k+ ) ave A A et argument ( A) (idem pour B ) Le terme Be os( t k+ ) de l epression de i(, orrespond à une onde plane se propageant selon les roissants à la vitesse --- par analogie k ave la solution de l équation de d Alembert Le oeffiient e s interprète omme une atténuation eponentielle de l onde au ours de sa propagation De même le terme A e os( t + k+ ) orrespond à une propagation suivant les déroissants à ette même vitesse Le oeffiient e indique aussi une déroissane de l onde quand elle se propage ar, quand diminue, e terme diminue eponentiellement Tirant de la deuième égalité et la portant dans la première, nous obtenons une relation entre k et qui s appelle enore relation de dispersion : e j t -- v Dans le as d une équation quelonque de propagation (mais néanmoins linéaire), la vitesse v peut dépendre de la pulsation ; est e qu on appelle le phénomène de dispersion: en optique, la lumière blanhe est dispersée par le prisme ar l indie n de elui-i dépend de la longueur d onde ou bien la vitesse de propagation dans le verre v -- n dépend de la pulsation -- d) Pour qu un signal ne se déforme pas en se propageant, il est néessaire que toutes les ondes sinusoïdales se propagent à la même vitesse (de phase) soit : v indépendant de ou k proportionnel à puisque k --- v + 8

86 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) La ondition néessaire et suffisante pour qu un signal se propage sans autre déformation qu une atténuation est en fait double : indépendant de ; k proportionnel à ; soit k j -- δ onstantes ave et deu L atténuation en déibels est définie en életroinétique L atténuation en déibels pour un signal sinusoïdal est définie par A db 0log S e ---- où S est e ( S S ) S S l amplitude omplee du signal à l entrée (à la sortie) du âble Cette atténuation permet de aluler onnaissant la longueur du âble Pour que v soit indépendant de, il suffit que rg + gl v rg 0 Ce qui onduit à : v et (r + g) 4rg 0 LG ou r G g L qui est la ondition de Heaviside renontrée à la question 4) Nous remarquons que si ette ondition est vérifiée ( r G + g L )v -- est δ indépendant de, est-à-dire que l atténuation de toutes les ondes monohromatiques est identique La valeur de est identique à elle trouvée à la question 3) 6) Pour un signal se propageant sur la ligne, l amplitude est multipliée par un e fateur δ après avoir parouru la distane 0, soit une atténuation : Soit, ave 0 00 m et A 4 db, 7 m D après 4) : A db loge δ 0ln( e) , δ δ Z δ , r 0,3 m et g 9, 0 5 m (--, 0 4 m ) r gz g qui sont des valeurs parfaitement réalisables Il n y a don pas de problème tehnique à la réalisation d un âble oaial vérifiant la ondition de Heaviside Les âbles utilisés en travau pratiques, en télévision d impédane 50, et en télévision, d impédane 75, ont toujours es aratéristiques Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 83

87 Eeries Impédane ramenée en tête de ligne Une OPPM életrique inidente dont le ourant est représenté par i i (, I 0 e j ( t k ) se propage dans une ligne életrique d impédane aratéristique Z et de longueur L à partir d un générateur (d indépendane interne Z ) plaé en 0 Elle est réfléhie en L par une impédane terminale Z L ) Quelle la forme de l onde totale ( i, v) eistant dans la ligne életrique? ) Quelle est l epression de l impédane effetive de la ligne à l absisse? Eprimer en partiulier l impédane ramenée en tête de ligne Z( 0) 3) À quelle ondition ette impédane ne dépend-elle pas de la longueur de la ligne reliant le générateur et la harge Z L? Quelle est alors sa valeur? On a souvent Z 50 et l impédane du générateur est aussi de 50 Epliquer alors e qu on observe sur le doument i-dessous où en a) est représentée la tension au bornes du générateur, le âble n étant pas branhé puis en b) ette même tension (à la même éhelle) le âble étant branhé et fermé sur Z mis au bout 0,5 Volts 0,5 Volts La tension v (, s érit alors : v(, Z I e ) La ligne s étend de à + Une impédane Z est plaée en 0, en parallèle sur la ligne, et on s intéresse à l onde Z ligne infinie de ourant dans la partie 0 de la ligne O a) Montrer que ette onde «voit» en 0 une impédane équivalente Z 0 qui s eprime très simplement en fontion de Z b) Définir et aluler le module du oeffiient de réfleion (en ourant ou en tension) de l onde en 0 ) On plae, en outre, un ourt-iruit en parallèle sur la ligne à l absisse a a) Quelle est la forme de l onde de ourant entre 0 et a? ( ) Z I e j t k j ( t + k ) b) Montrer qu il eiste une valeur minimale de a telle que le ourant dans la partie positive de la ligne s annule en 0 Eprimer a 0 en fontion de la longueur d onde de l onde de ourant dans la ligne En déduire, dans es onditions, le oeffiient de réfleion et la forme de l onde dans la partie négative de la ligne O Z a ourt-iruit ligne infinie a 0 Assoiation de deu lignes Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Do a Do b Suppression d une onde réfléhie dans une ligne Une ligne életrique, sans pertes, d impédane aratéristique Z est alimentée par un générateur de tension sinusoïdale de pulsation De manière générale, elle est parourue par un ourant it (, ) qui s érit en notation omplee : it (, ) I e ( ) + I e j t k j ( t + k ) où I et I sont des onstantes (éventuellement omplees) ave k ---, désignant la élérité de ette onde de ourant, Une ligne életrique, sans pertes, d impédane aratéristique Z (rappelons que Z est réelle) est alimentée par un générateur de tension sinusoïdal de pulsation De manière générale, elle est parourue par un ourant it (, ) qui s érit en notation omplee : it (, ) I e ( ) + I e j t k j ( t + k ) où I et I sont onstantes ave k ---, désignant la élérité de ette onde de ourant La tension v (, s érit alors : v(, Z I e ( ) Z I e j t k La ligne est fermée sur une impédane réelle différente de Z À une distane d de l etrémité de la ligne, est plaée une seonde ligne sans pertes, de longueur, de même impédane aratéristique fermée sur un ourt-iruit Z, j ( t + k ) Z 0 84

88 3 Câble oaial : notion d impédane (PC-PSI) d * Réfleion et transmission : deu ordes vibrantes reliées Z ) Érire les onditions de ontinuité pour le potentiel v et le ourant i à la jontion des deu lignes En déduire la ondition orrespondante pour les impédanes ) Déterminer les longueurs d et, pour que, vue du générateur, la ligne prinipale semble fermée sur son impédane aratéristique (il faudra eprimer tankd et tank en fontion de Z 0 et Z ) Caluler les plus petites longueurs et d qui onviennent pour Z 50, Z 0 75 et une longueur d onde l 0 m Réfleion d une onde sur une orde tendue Une orde, sans raideur, de masse linéique, de longueur L, est fiée en L ave une tension T 0 On pose T On néglige le poids de la orde Le déplaement d un point M d absisse de la orde est dérit par la fontion yt (, ) ( 0 L) La orde étant immobile, dans la position d équilibre ( y0 (, ) 0), le mouvement suivant est imposé à la orde à partir de l instant t 0 à l etrémité 0: pour t [ 0;] : pour t [ ;3]: pour t [ 3, 5] : pour t 5: l Z ourt-iruit y( 0, a t - ; y( 0, a ; y( 0, a ( 5 t ) ; y( 0, 0; ave 0, -- L, L 0 m et a mm ) Représenter la orde à l instant t 6 06, -- L Quel est, à et instant, la vitesse de la orde au points d absisses 0,L ; 0,4L ; 0,55L? ) Dessiner de même la orde au instants t 3, puis t 8 Z 0 Deu ordes vibrantes, sont reliées bout à bout en un point d absisse 0 Une telle ontrainte impose deu onditions au limites, en 0, liant les déplaements et les tensions transverses des deu ordes En reprenant les raisonnements utilisés dans le ours pour le as de deu lignes életriques mises bout à bout, établir les onditions au limites, puis les epressions des oeffiients de réfleion et de transmission en amplitude pour le as onsidéré (en supposant qu une onde inidente et une onde réfléhie se propagent sur la orde de gauhe et que seule une onde transmise se propage sur la orde de droite) Aspet énergétique de la propagation dans une orde vibrante Une orde sans raideur, de masse linéique et de longueur L 0 (entre les points 0 et L 0 ), est tendue par une tension T 0, imposée par une masse M plaée dans le hamp de pesanteur Le poids de la orde est négligé Les petits mouvements transversau de la orde sont dérits par la fontion yt (, ) repérant le déplaement d un point M d absisse de la orde à la date t ) Eprimer l énergie inétique linéique de la orde ) Lorsque la orde passe de l état de repos ( y 0) à l état y y(,, montrer que l augmentation d énergie potentielle de la masse M peut s eprimer en fontion de l état yt (, ) de la orde En déduire que la variation d énergie potentielle du système {orde-masse} équivaut à donner une énergie T potientielle linéique e P y à la orde 3) Montrer qu il eiste une fontion (, telle que : e ave e e t K + e P Interpréter e résultat 4) Le mouvement stationnaire d une orde dans le mode de vibration n est représenté par : y n (, A n sink n sin( n t + n ) ave k n Caluler l énergie totale de la orde dans le mode n 5) La solution générale de l équation de propagation est une ombinaison linéaire des divers modes de vibration Caluler l énergie totale de la orde en fontion des Remarque : n n π et L L 0 n sink n sink m et e terme est égal à 0 si n m T n L d -- si n m Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 85

89 Eeries Onde solitaire dans une ligne életrique Une jontion Josephson est un ensemble de deu plaques supraondutries séparées par un isolant dans laquelle des életrons peuvent traverser l isolant par effet tunnel Une telle jontion, étendue dans la direton ( ), peut être dérite omme une ligne életrique possédant une apaité répartie, une indutane répartie et des soures de ourant réparties Ainsi, un élément de longueur d ompris entre les absisses et ( + d) de ette jontion peut être représenté par le shéma i-après, dans lequel représente une apaité linéique et une indutane linéique Le générateur de ourant élémentaire délivre un ourant di I O sind où est une fontion de et du temps t reliée à la ddp v(, au bornes du générateur par la relation v (,, I désignant une onstante donnée et a ave e le module de la harge t O 4πe h de l életron et h la onstante de Plank i(, Λ d i( + d, ) Établir les équations différentielles vérifiées par v, i et En déduire que (, est solution de l équation différentielle : t ---- sin Déterminer les onstantes et en fontion des paramètres de la jontion ) On herhe une solution à ette équation de propagation qui soit progressive don de la forme (, f t -- a) Montrer que est néessairement différent de b) Il se trouve que (, 4Artan A t -- ep onvient Le vérifier (on érira plutôt tan-- A et 4 ep t -- on utilisera la trigonométrie) et trouver la relation devant alors lier et 0 v(, Γ d di v( + d, 3) Traer ( ) à différents instants puis v( ) à différents instants L onde de tension se déforme-t-elle en se propageant? + d 4) On herhe à e que es ondes se propagent le plus rapidement possible Comment hoisir? Vers quoi tend le signal v(,? Quel est l intérêt? Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Corrigés Solution du ta au ta, page 78 Fau ; 6 Vrai : a Fau : b ; Vrai ; 7 Vrai : a Fau : b ; 3 Vrai : 8 Vrai 4 Fau ; 9 Vrai : a, b Fau :, d 5 Fau ; ) L onde inidente vérifie l équation de d Alembert, don k --- : i i (, I 0 e j(t k) et v i (, Z I 0 e j(t k) Réfléhie en L, elle donne naissane à une onde monohromatique, de même pulsation que l OPPM inidente, qui peut s érire : i r (, I 0r ej(t + k) et v r (, Z I 0r ej(t + k) La ondition à la limite L impose [v i + v r ](L, Z L [i i + i r ](L,, Z d où I 0r I Z L e Z + Z jkl L L inpédane interne du générateur étant égale réfleion en 0, et l onde totale est don : i I 0 e v Z I 0 e j(t kl) e jk(l ) j(t kl) e jk(l ) Z Z Z L e + j k ( L) Z Z L, il n y aura pas de Z Z L e + j k ( L) Z ) On en déduit Z() Z L os k(l ) + jz sin k(l ) , puis : Z os k(l ) + j Z L sin k(l ) Z Z (0) Z L os kl + jz sin kl Z os kl + j Z L sin kl Z Z L 86

90 Corrigés 3) Cette impédane ramenée en tête de ligne est indépendante de L lorsque Z L Z Une ligne fermée sur son impédane aratéristique Z est équivalente à une ligne infinie d impédane aratéristique Z Lorsqu en a) le âble n est pas branhé on observe la fem e du générateur Lorsque le âble est branhé et fermé sur Z son impédane ramenée à l entrée est Z et le générateur de résistane interne Z g débite dans ette impédane Z La tension au bornes de Z (qui est e qu on observe à Z l osillo) est e e (pont diviseur) soit - e qu on observe en b) + Z Z g ) a) La ligne étant infinie, au-delà de 0 ( 0 ) ne peut se propager qu une onde progressive du type : i (, I 0 e j(t k) et v (, Z I 0 e j(t k) Pour 0, v --- Z est indépendant de La partie de ligne qui s étend de i 0 à + est équivalente à une impédane Z plaée en 0 Par suite, l onde eistant dans la partie 0 de la ligne «voit» en 0 Z deu impédanes Z en parallèle, soit une impédane Z 0 Z // Z --- b) Dans la partie 0 de la ligne eiste l onde : i(, I e j(t k) + I e j(t + k) Lepremiertermereprésentel ondeinidenteetleseondl onderéfléhie, d où : I réfléhi ( 0) I I inident ( 0) I V On note que est aussi égal à réfléhi ( 0, V inident ( 0, Z Sahant que Z V (0) I Z I, il vient I(0) I + I 3 ) a) Entre 0 et a, eistent néessairement deu ondes se propageant en sens ontraires (onde inidente et onde réfléhie) : i (, I e v (, Z (I e + I e j(t k) I e j(t + k) ) j(t k) En a, v (a, 0(ourt-irui onduità I I e jka, d où : b) La ondition i ( 0, 0 impose : j(t + k) i (, I e j(t ka) os k(a ) v (, jz I e j(t ka) k sin (a ) π ka -- + n π (n entier) l La plus petite valeur de a vaut a L onde eistant dans la partie négative de la ligne «voit» don en 0 : l impédane Z plaée en 0; l impédane de la partie positive de la ligne, qui est infinie puisque v ( 0) est infini i ( 0) Ces deu impédanes étant plaées en parallèle, la partie négative de la ligne est don fermée sur son impédane aratéristique Z et le oeffiient de réfleion estnuliln yapasd onderéfléhieetettepartiedeligneesttraverséeparl onde : i (, I e j(t k) v(, Z I e j(t k) pour 0 ) Au niveau de la jontion, en y 0 : i i + i v v v et les deu impédanes Z (0) de l etrémité de la ligne prinipale (entre la jontion en 0 et y l impédane Z 0 en d) et Z (0) de la ligne latérale (entre la jontion y 0 et le ourt-iruit en y ) sont en parallèle La partie 0 de la ligne prinipale «voit» don en 0 l impédane : Z Z(0) (0)Z (0) Z (0) + Z (0) Dans la ligne prinipale, entre la jontion et Z 0, on a : i (, I e v(, Z (I e j(t k) v( 0) L impédane en est don Z () i( 0) Z I e j k I e jk I e jk + I e jk Or, pour d, Z (d) Z 0 ; on en déduit (en alulant en partiulier I I le rapport --- en fontion de Z 0 et de Z ) : i i O Z Z (0) Z 0 + jz tan kd jz 0 tan kd par 0 (ourt- Pour la ligne latérale, il suffit de remplaer d par et irui dans le résultat préédent : Z (0) jz tan k On en déduit : Z Z(0) Z tan kd tan k+ jz 0 tan k Z 0 ( tan kdtan k) + jz ( tan kd+ tan k) ) Si, au niveau du générateur, l impédane de la ligne est égale à son impédane aratéristique, elle est néessairement égale à Z en tout point entre le générateur et la jontion (l intensité i est alors de la forme i I 0 e j(t k ) ) Il vient don Z(0), d où, en égalant parties réelles et imaginaires : Z Z ( tan ( kd ) + tan ( k)) Z 0 tan ( k) On en déduit : tan (kd ) Z et tan Z (k) 0 Z Z (Z 0 Z ) AN : tan k d 87;, kd π d 08;, d 7, m l tan k 075;, k π ;, 0, m l ) L onde inidente y(, f (, f t - se propage sur la orde À l instant t 6, elle n a pas enore atteint l etrémité L de la orde, qu elle atteindra au bout de t 0 L -- i + I e j(t + k) I e j(t + k) ) j(t k) Z Z tan ( kd ) tan ( k) Z 0 ( tan ( kd ) tan ( k)) Z 0 d Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 87

91 Corrigés Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Sahant que f (, 6) f 0, 6 -, la orde a l allure suivante,5 0,5 0 0,5,5 y Les vitesses v y ---- des points M ( 0L),, N( 04L), et t P( 055L), sont données dans le tableau i-dessous à l instant t 6 points y(, position vitesse N ( 04L), a y a 0 ) L onde inidente atteint l etrémité L de la orde à l instant L t et, à partir de et instant, se superpose à l onde inidente f(, f t - une onde réfléhie g(, g t+ - : y(, f t - + g t+ - L etrémité L de la orde étant fie, on doit avoir à tout instant : y(l, f L t -- L + g t , d où g( f t L -- et y(, f t - L f t Le tableau i-dessous donne les valeurs des fontions f, g et y à l instant t 3 domaine y (mm) M 4 L allure de la ourbe est présentée i-après N 0,5 L M( 0L), f(, P( 055L), f(, 07L, fontion fontion fontion f (, 3 g(, 3 y(, L, 08L, 0 7L 0 a a L 0 L L 0, 8 L L (0 8L) a a 5 a ( L) L L P L date 6τ 0, a t + - y a - (m) a ---- a - t - a y - + a f (mm) L date 3τ,3 (m) g (mm) y (mm) 4 6 À l instant t 8, toute l onde s est réfléhie, f (, 8) 0, et ne subsiste que l onde réfléhie : y(, 8) g(, 8) L f y(, 8) f + -, d où l allure de la orde, i-ontre Conditions au limites 0 Par définition de la liaison entre les ordes, les déplaements de elles-i seront identiques, soit pour tout t : Pardérivationparrapportautemps,onpeutérirelamêmerelationpourlesvitesses de déplaement transverse en 0, pour tout t : v ( 0, v ( + 0, () En projetion sur (Oy), la relation fondamentale de la dynamique appliquée à l élément de longueur δ et de masse δm, situé entre les absisses et, donne (en notant toujours la fore F(, eerée par la partie de orde inférieure à sur la partie supérieure à ) : δm t y Lorsque δ tend vers zéro, la masse δm aussi, et on en déduit la ontinuité de la omposante transverse de la fore de tension au point de liaison, pour tout t : y O ( 0, Remarque L égalité des omposantes longitudinales des fores de tension est néessairement vérifiée aussi pour assurer l eistene de la position de repos Coeffiients de réfleion et de transmission pour les amplitudes Les équations de ouplage permettent d érire les vitesses et les omposantes transverses de la fore de tension, solutions de l équation de d Alembert, sous la forme : 0 y ( 0, y ( + 0, 8 0 date 8τ, (m) (m) L (m) F y , t F y , t F y ( 0, F y ( 0, 0 y( 0, () 88

92 3 Câble oaial : Notion d impédane (PC-PSI) v y (, f t - + g t+ - F y (, Z f t - g t+ - où Z est l impédane (méanique) aratéristique de la orde onsidérée Notons Z et Z les impédanes aratéristiques, réelles et positives, des deu lignes, et les vitesses de propagation Les deu onditions au limites () et () se réérivent : f 0 t g t+ --- f t Introduisant les oeffiients de réfleion et de transmission en amplitude relatifs à la vitesse, on a : + et Z ( ) Z, g soit : ( 0, Z (vitesse) Z f ( 0, Z + Z (tension) Z f ( 0, Z (vitesse) Z Z f ( 0, Z + Z Z (tension) ) e K y t ) La orde inetensible (longueur L 0 OA ) est soumise à une tension T 0 réalisée ave une masse M telle que Mg T 0 y O 0 Sous l ation de l onde, la longueur de la orde située entre les points O et A varie de L 0 à L (ave L ds L ), et ainsi l altitude 0 0 d 0 de la masse M augmente : le point d attahe B liant la orde à la masse M s élève d une hauteur h L L 0, d où une augmentation d énergie potentielle de la masse M : Mgh, quantité que l on peut érire : p Mg( L L 0 ) T 0 ( L L 0 ) Eprimons la quantité en fontion de l état y(, de la orde : L L ds, ave ds d + y ----, ou, ds d y 0 L et ainsi : ds + -, ---- y d L y d d où : T 0 ( L L 0 ) y d On peut assoier à un élément de longueur d de orde une énergie potentielle T y T d et définir une énergie potentielle linéique e 0 p y Z f t --- g t+ --- Z f t --- longueur L 0 0 longueur L L 0 0 p p L B L 0 T 0 0 A L 0 L 0 M + L 0 0 h L L 0 3) Les équations régissant le mouvement de la orde (f hapitre ) sont (ave F y la omposante suivant y de la fore eerée en par la gauhe sur la droite) : y F y y , ave F, et ainsi : t y T y T y t Ainsi, en dérivant e e K + e p par rapport à t, on obtient : e y y y T t t t y y T t y t ---- y T y y ---- F t y ---- t e On a don F y v y ; l égalité est l équation de bilan t énergétique analogue à elle obtenue au 33 v y F y représente la puissane transférée de la partie gauhe (absisse inférieure à ) à la partie droite de la orde (absisse supérieure à ) 4) Le alul de : L n ( e K + e p ) d - O n onduit à n T 4L 0 A n Cette énergie est onstante, indépendante du temps (le système étudié est idéalisé) 5) En tenant ompte de tous les modes, on a : y y n A n sin k n sin ( t + n ) n n O y t y T ( F y v y ) y n T L d y n + d, On en déduit, après quelques aluls et en tenant ompte de la remarque de l énoné : L énergie totale de la orde est égale à la somme des énergies de haque mode ) Les lois des mailles et des nœuds onduisent respetivement à : v i i ---- et v + I t t 0 sin, d où l équation v v I t 0 os t On retrouve l équation de propagation (non linéaire) proposée par l énoné en intégrant l équation i-dessus par rapport à t (on suppose ii que v, i et dépendent effetivement de t et de ; la onstante d intégration par rapport à t, et don éventuellement fontion de seulement, qui apparaît au ours du alul, est don prise égale à 0), puis on la multiplie par a On trouve : 4 π e --- GL et ---- a I I h 0 On peut noter que, lors de l eerie 6 du hapitre, on aurait obtenu la même équation au dérivées partielles si on n avait pas supposé petit L e K y - ( t n A n sin k n os ( t + ) ) n n n e P - T y T ( k n A n os k n sin ( t + ) ) n n n n T 4L 0 A n n n n O 89 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit

93 Corrigés ) a) Puisque (, f t - alors (, est solution de l équation de d Alembert : t Si on avait 0 on obtiendrait ---- sin 0 e qui n est pas le as b) On a -- tan A t - () 4 ep v T On sait que sin sin -- os -- en posant : T + T + T T tan -- D où en dérivant () par rapport à t : 4 - ( + T 4 )----- A ep t - T t d où : t Puis et les dérivées partielles par rapport à t En reportant dans l équation de propagation on obtient finalement : T T ) Le shéma a) représente l allure de l onde solitaire en fontion de à différents instants : ette onde ne passe qu une seule fois en un point de la jontion, et, en e point varie de 0 à Le shéma b) représente l évolution de, à un instant donné, en fontion de, pour différentes valeurs du paramètre : plus est grand ( est-à-dire plus la vitesse de propagation est grande), plus la zone de jontion onernée par l onde est étroite ( est nul en aval,est égal à en amon Do a) 0 0,8 0,6 0,4 0, v 3 3 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit a) t < 0 π 6 t 0 3 θ u t > 0 4) On a toujours ar t 0 tend vers 0 quand tend vers l infini (et on retrouve l équation de d Alember Pour qu un signal se propage rapidement, il est néessaire que le signal soit injeté en 0 : v ( 0, t ) ave une grande valeur de En traçant v( 0, pour différentes valeurs de (do ), on peut remarquer que e signal tend vers une impulsion quand tend vers l infini! C est pour ette raison qu il est appelé soliton Ce signal partiulier se propage sans déformation (f hapitre 7) Cei permet une suession rapide d impulsions très étroites qui se propagent sans déformation (do ) b) π 3 θ 6 b > b b > b 3 b 3 0 b) Cas de solutions Do - v grand b) Cas d une ligne dispersive grand t t signal déformé t 90

94 Propagation d ondes sonores dans les fluides PC-PSI 4 Élaboration d un modèle pour l étude de la propagation des ondes sonores Le son est, ave la lumière, l élément de propagation d information que nous utilisons le plus ouramment : son étude revêt un intérêt pratique évident De plus, onstatons que jusqu à présent nous avons seulement étudié des phénomènes de propagation dérits par l équation de d Alembert pour lesquels les aratéristiques du milieu limitaient la propagation à une seule diretion d espae L étude des ondes sonores nous permet d aborder un phénomène de propagation tridimensionnel Cours de Seonde Prinipes d étude de l éoulement d un fluide Équations de propagation, équation de d Alembert Ondes, impédane d onde, impédane aratéristique, réfleion et transmission Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

95 Ondes Équation de propagation des ondes sonores Le son Epériene Reprenons une epériene vue en lasse de Seonde Un haut-parleur, relié à un générateur basse fréquene, émet un son que nous pouvons entendre Pour analyser le phénomène sonore, introduisons un mirophone et visualisons les signau issus du générateur et du mirophone reliés au voies d un osillosope Nous obtenons à l éran de l osillosope deu sinusoïdes (do ) haut-parleur GBF Y mirophone Y Phénomène de propagation Le mirophone apte un signal sinusoïdal, émis par le haut-parleur, qui s est propagé de l un à l autre : une onde sonore se propage dans l air entre l émetteur et le réepteur En synhronisant le balayage de l osillosope sur le signal envoyé au hautparleur, es signau ont la même fréquene et apparaissent simultanément stables sur l éran, mais déphasés Si nous éloignons le mirophone du hautparleur, nous onstatons que le retard de phase du signal du mirophone par rapport au signal de référene roît : le temps de propagation du signal de l émetteur au réepteur augmente ave la distane qui les sépare Nous pouvons aussi remarquer que lorsque nous modifions la position du mirophone, le signal sinusoïdal qu il délivre (pour une position donnée) reprend périodiquement la même plae sur l éran de l osillosope : l onde sonore détetée possède non seulement une période temporelle T, inverse de la fréquene du générateur, mais aussi une période spatiale l À haque fois que nous éloignons (respetivement rapprohons) le mirophone d une longueur l du haut-parleur, le retard de phase augmente (respetivement diminue) de L onde sonore sinusoïdale présente ainsi des aratéristiques semblables à elles que nous avons dégagées pour les solutions sinusoïdales de l équation de d Alembert au hapitre Do Le son se propage du hautparleur vers le mirophone Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Vitesse du son Nous savons que les périodes temporelle T et spatiale l d une onde plane progressive monohromatique solution de l équation de d Alembert sont liées, à toute fréquene, par la relation l T, où est la vitesse de propagation des ondes, solutions de l équation de d Alembert Nous pouvons modifier la fréquene du signal életrique envoyé au hautparleur, et répéter les manipulations que nous venons d effetuer en mesurant l à haque fois le rapport --- de l onde sonore L epériene montre que e rapport, homogène à une vitesse, reste onstant : T l --- T s, onde sonore où la vitesse aratéristique s est d environ 340 m s ; s représente la vitesse du son dans l air Cette vitesse est assez élevée par rapport au vitesses que nous pouvons renontrer quotidiennement : une voiture roulant à 50 km h, soit environ 9

96 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) 40 m s reste largement subsonique Les effets de retard à la propagation restent ependant failement déelables si nous pouvons assoier une observation visuelle à la pereption d un son La durée de transmission d une information lumineuse (qui se propage à environ km s ) est, en effet, parfaitement négligeable par rapport à elle du son qui peut lui être assoié Par eemple, lorsque nous voyons l élair d un orage, nous pouvons déterminer le temps néessaire pour perevoir le bruit de tonnerre qui lui est assoié (do ) Si nous omptons trois seondes entre es deu instants, est que la foudre est tombée à environ km 4 Milieu de propagation Comment le signal sonore se propage-t-il d un émetteur à un réepteur? En utilisant une fréquene assez faible (période inférieure à la durée de persistane rétinienne, de l ordre de de seonde), nous pouvons observer 0 des osillations de la membrane du haut-parleur, qui transforme un signal életrique en un signal méanique (transdution életroméanique ; f H-Prépa, Életromagnétisme, de année) À des fréquenes audibles plus élevées (0 Hz à 0 khz), le phénomène est le même (observable alors ave un strobosope), et le mouvement de la membrane du haut-parleur provoque de petites vibrations de l air Le phénomène de propagation peut don être ompris ainsi : l air, milieu gazeu, possède des propriétés marosopiques d élastiité Le mouvement du haut-parleur omprime légèrement l air à son voisinage immédiat ; la pression de elui-i augmente légèrement et et air pousse à son tour la tranhe d air voisine, et Pour prouver l intervention du milieu de propagation (le gaz) dans la propagation du son, plaçons un réveil en train de sonner sous une lohe en verre (do 3) Faisons peu à peu le vide sous la lohe : le son du réveil semble s évanouir La sonnette du réveil vibre, mais ne peut plus transmettre ses vibrations au gaz L air, milieu matériel, est un support indispensable à la propagation du son Nous retrouvons ii un ouplage entre le déplaement et la «surpression» au sein du fluide, à l origine du phénomène de propagation Les ondes sonores sont des vibrations de faible amplitude du milieu matériel dans lequel elles se propagent à la vitesse s Équations de ouplage Desription du problème Nous savons que les mouvements d un fluide sont dérits par le système omplet d équations suivant au niveau loal : ) l équation de onservation de la masse (une équation inématique) ; ) l équation du mouvement (trois équations salaires) ; 3) le bilan énergétique (une équation traduisant l appliation du premier prinipe de la thermodynamique au fluide en partiulier les éhanges thermiques) ; 4) l équation d état, de la forme f( P,, T) 0, pour un fluide où P, et T désignent respetivement la pression, la masse volumique et la température du fluide iel très orageu L Do La propagation de la lumière est quasiment instantanée La propagation du son se fait à environ 340 m s L éart entre la réeption du signal lumineu et du son est don de , soit L 340 environ 0,3 s km R vide pompe Do 3 Réveil sonnant sous la lohe à vide : il suffit d ouvrir le robinet R pour remettre la lohe en pression et entendre à nouveau la sonnerie du réveil! Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 93

97 Ondes Ce système de si équations salaires est en général omplee à résoudre Quelques hypothèses raisonnables nous permettront de le simplifier Hypothèse thermodynamique Mouvements isentropiques L epériene montre que la propagation des ondes sonores est généralement aratérisée par un faible amortissement au sein du fluide où elle se propage Nous négligerons don les phénomènes dissipatifs (ondution thermique, visosité), e qui revient à postuler le aratère isentropique de l éoulement Cette hypothèse thermodynamique «raisonnable» peut remplaer la troisième équation Éliminant la température à l aide de ette hypothèse, nous pourrons eprimer la masse volumique du fluide en fontion de sa pression Soit 0, P 0 et T 0 les aratéristiques du fluide au repos La présene d ondes, orrespondant à de faibles variations relatives de es grandeurs, nous permet de noter : 0 la variation de masse volumique du fluide ( 0 ) ; p P P 0 la variation de sa pression, enore appelée surpression aoustique ( p P 0 ) Utilisant le oeffiient de ompressibilité isentropique : nous érirons à l ordre : S --- V V P P S 0 S p , P P 0 S 0 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Disussion de l hypothèse d adiabatiité dans le as des gaz Newton a, le premier, proposé une epression de la vitesse du son dans l air Il a toutefois eprimé les variations de pression en onsidérant que le produit PV d une partiule de fluide reste onstant au ours de son mouvement Cette hypothèse orrespond à des mouvements isothermes du gaz Ave ette hypothèse : ---- T Utiliser la ompressibilité isotherme T au lieu 0 P P 0 de la ompressibilité isentropique S ne onduit malheureusement pas à une valeur de la vitesse du son en aord ave l epériene Laplae a retifié et éart numérique en postulant que les petits mouvements du fluide sont adiabatiques «ar» rapides (les éhanges thermiques n ayant alors «pas le temps» de se produire) : l utilisation de S permet d obtenir la valeur orrete de la vitesse du son Cette hypothèse d adiabatiité des mouvements est aeptable si l influene de la diffusion thermique dans le gaz est négligeable Dans le adre du modèle du fluide parfait (de visosité nulle), les seuls éhanges énergétiques ont lieu par diffusion thermique La grandeur aratérisant e phénomène est le oeffiient de Fourier K (f H Prépa, Thermodynamique, de année) L équation de la haleur s érit : T K T a T t ave masse volumique et apaité alorifique massique, le oeffiient de K diffusion a s eprime en m s 94

98 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Par un raisonnement dimensionnel sur e oeffiient il est possible de quantifier l hypothèse d adiabatiité d une onde sonore L ordre de grandeur du temps aratérisant les transferts thermiques sur une l distane égale à la longueur d onde l est ---- a Pour que l évolution soit adiabatique, il suffit que e temps soit très supérieur l à la période T de l onde soit ---- T a Introduisons la vitesse du son l S ---, ou ; pour l air dans T l a ---- v S ---- a S les onditions usuelles, a ª 0 5 m s et S ª 340 m s, d où les onditions l m, ou v6 0 9 Hz Cette hypothèse est enore largement valable pour les ondes ultrasonores réées par les émetteurs piézoéletriques (v 0 MHz) utilisés en éhographie a La théorie inétique des gaz permet de montrer que le rapport ---- est voisin du libre parours moyen d une moléule, est-à-dire la distane moyenne entre deu hos La ondition d adiabatiité devient alors l ou v S ---- Dans le adre de la modélisation d un gaz par un milieu ontinu, les longueurs aratéristiques des phénomènes étudiés doivent être grandes devant le libre parours moyen L hypothèse l est don inluse dans la modélisation par un fluide ontinu Pour des longueurs d onde plus faible l, la propagation d une onde sonore dans e milieu sera modélisée autrement L hypothèse d adiabatiité formulée par Laplae est don orrete pour un milieu ontinu Cependant e n est pas pare que le phénomène est «rapide» mais pare que la longueur d onde est grande devant le libre parours moyen des partiules La propagation du son dans un fluide peut être étudiée en onsidérant que le fluide effetue de petits mouvements isentropiques S 3 Linéarisation des équations Les modifiations de l état du fluide ausées par l onde sonore sont de petites perturbations Nous traiterons les équations du problème dans le adre d une approimation linéaire, appelée approimation aoustique C est e que nous avons fait pour relier et p dans le adre de l hypothèse d adiabatiité 3 Équation de onservation de la masse L équation de onservation de la masse s érit : div( v ) t soit, en se limitant au termes d ordre : , t 0 div( v ) + div( v ) + v grad t 0 div( v ) 0 Nous pouvons négliger div( v ) devant 0 div( v ), ar est petit par rapport à Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 95

99 Ondes Le fait de négliger v grad devant est moins évident ar ii e sont les t dérivées partielles de qui interviennent Cependant, lors de la linéarisation d équations faisant intervenir des dérivées, il est lassique de ne garder que les termes d ordre de la fontion ainsi que de ses dérivées, l approimation étant justifiée a posteriori Dans le as présent, une analyse plus préise de l approimation peut être réalisée sur une onde sonore monohromatique de période T et de longueur d onde l S T Dans es onditions le terme : est de l ordre de S ; t T l 0 div( v ) de l ordre de 0 v ; l v div( v ) de l ordre de ; l v v grad de l ordre de l L approimation «du premier ordre» ou linéarisation néessite don, a priori, deu hypothèses 0 et v S Ces deu hypothèses sont en fait équivalentes omme nous le verrons au 43 L élongation d une tranhe de fluide est de l ordre de grandeur de v T La ondition v S s érit aussi l : l amplitude des osillations du fluide est petite devant la longueur d onde L approimation aoustique est une approimation de grande longueur d onde 3 Équation du mouvement L influene de la visosité du fluide étant négligeable dans le adre de notre étude, l équation du mouvement se réduit à l équation d Euler : v +( v grad)v grad P + f t V Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La fore volumique statique (par eemple, g ) est ompensée par le gradient de la pression statique P 0 L influene de ses variations (par eemple g ) est en pratique négligeable par rapport au gradient de la surpression p L équation du mouvement s érit don, après linéarisation : Les équations linéarisées dérivant l évolution d un fluide parouru par des ondes sonores (l évolution est don isentropique) sont : f V v grad p t t 0 div( v ) 0 (onservation de la masse) v grad p (équation du mouvemen t 0 S p (isentropie) 96

100 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) 4 Équations ouplées Éliminant la variable, nous obtenons le système d équations ouplées idessous La propagation d ondes sonores dans un fluide est régie par le système d équations ouplées : p t v t div(v ) S Dans le as d une propagation d ondes sonores planes dans la diretion de l ae (O), par eemple, le gradient de pression et la vitesse sont parallèles à : Le système d équations ouplées prend alors la forme simplifiée : ---- grad p 0 p grad p e et v v(, e e p t v t v S p 0 Remarque Il est préférable d éliminer m pour trouver des équations en p et v ar n intervient jamais dans les onditions au limites utilisées par la suite Des équations ouplés en et p omme en et v sont possibles mais sans intérêt pratique Appliation Propagation d une onde sonore plane Approhe lagrangienne Nous nous proposons de retrouver les équations préédentes à l aide d une desription lagrangienne de la propagation d ondes sonores planes dans une onduite de setion S onstante Le déplaement, à l instant t, d une partiule de fluide d absisse lorsque le fluide est au repos est noté (, (do 4) La surpression et la masse volumique de ette tranhe sont pt (, ) et (, Notons bien que la oordonnée joue ii le rôle d indie servant à étiqueter la partiule de fluide étudiée est la position de la partiule lorsque le fluide est au repos, alors que sa position à l instant t orrespond à + (, En partiulier, la masse volumique (, désigne, à l instant t, la masse volumique de la partiule suivie dans son mouvement, dont l absisse à la date t est + (,, et non pas La même remarque s applique à pt (, ) Les notations utilisées ii orrespondent à un formalisme lagrangien position de la tranhe de fluide au repos ξ (, ξ( + d, S + d position de la tranhe de fluide en mouvement Do 4 Tranhe de fluide en mouvement dans la onduite Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 97

101 Ondes Nous ferons omme préédemment l approimation de grandes longueurs d onde, en supposant soit , e qui nous permettra quel-ques simplifiations par approimation linéaire ) Évaluer la variation de masse volumique d une tranhe élémentaire de fluide, de setion S et d épaisseur d au repos ) Établir l équation du mouvement de ette même tranhe de fluide 3) En déduire les deu équations ouplées liant p et la vitesse v t ) La masse de fluide onsidérée est : Le volume de et élément est, à l instant t : d m 0 S d d S [ d + ( + d, (, ] S d Sa masse volumique est don : 0 dm d , d où : () ) Cette tranhe de fluide, système fermé de masse dm 0 S d suivi dans son mouvement, est soumise à la pression P 0 + pt (, ) en amont, et à la pression P 0 + p ( + d, en aval L équation de son mouvement est don : dm S[ p(, p ( + d, ] t S p d, soit, finalement : t p () 3) Utilisant la relation 0 S p et la vitesse v -----, les équations () et () nous redonnent le t système d équations ouplées déjà établi, réduit ii à la propagation unidimensionnelle : v p t et p v S t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5 Éoulement potentiel Le rotationnel d un gradient étant nul, la deuième équation ouplée, v grad p, t nous assure que : soit Le rotationnel de la vitesse est ainsi indépendant du temps, don égal à sa moyenne temporelle Pour des mouvements vibratoires, elle-i est nulle : Nous en déduisons l eistene d un potentiel des vitesses : L équation du mouvement s érit alors : don rot v 0, t ---- ( rot v ) 0 t rot ( v ) rot ( v ) t 0 v grad grad ( ) t grad ---- p, 0 p f() t t 98

102 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Le potentiel des vitesses est défini à une fontion ne dépendant que du temps près (hoi de jauge) Nous pouvons le hoisir, sans modifier l epression de la vitesse, de façon à avoir : 3 Équation de propagation 3 Équation de d Alembert Reportant les epressions de la surpression et de la vitesse du fluide dans l équation de onservation de la masse, nous obtenons : où est l opérateur laplaien (f Annee) Par dérivation spatiale ou temporelle de l équation de propagation du potentiel, nous pouvons vérifier que les hamps de vitesse et de surpression satisfont à la même équation de propagation La propagation des ondes sonores dans un fluide est dérite par l équation de propagation (tridimensionnelle) de d Alembert, vérifiée par le potentiel des vitesses et les hamps de vitesse et de surpression : ; v ---- v ; s t s t ave p t p 0 div( v ) + S div( grad) t 0 S t 0 S , t v grad p ---- p s t La vitesse aratéristique de la propagation du son s eprime en fontion des aratéristiques du fluide par : * Δv est le laplaien vetoriel de la vitesse (f Annee) Δ et Δp sont les laplaiens salaires de et p s S P S 3 Vitesse du son 3 Dans les gaz Nous pouvons évaluer la vitesse de propagation du son dans un gaz en l assimilant en première approimation à un gaz parfait de oeffiient aratéristique Pour une évolution isentropique, nous aurons : P ---- te, don S P 0 La vitesse du son dans un gaz est alors : P s S 0 RT M Pour l air ( M 9 g mol ) assimilé à un gaz parfait diatomique 7 -- nous obtenons à (0 C) Cette 5, s 33 m s T 0 73 K valeur est en aord ave l epériene La vitesse du son roît omme la raine arrée de la température du gaz Ainsi, le son se propage plus rapidement dans l air à 98 K (5 C) : s 346 m s T 0 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 99

103 Ondes La vitesse du son déroît omme la raine arrée de la masse molaire du gaz où il se propage Pour le dihydrogène ( M g mol ), la vitesse du son à 73 K est bien supérieure à sa valeur dans l air : s 60 m s Fait remarquable, l epression que nous avons obtenue pour la vitesse du son ne fait pas apparaître la pression du gaz En fait, ei n est vérifié que pour des pressions omparables à la pression atmosphérique Lorsque la pression augmente, l approimation du gaz parfait est à remettre en ause Le omportement du gaz se rapprohe de elui d un liquide (do 5), et la vitesse du son roît Au faibles pressions, le son ne se propage plus : e n est pas l approimation du gaz parfait qui est alors à remettre en ause, mais elle du milieu ontinu utilisé par les équations de la méanique des fluides (f ) 3 Dans les liquides Nous pouvons omparer la vitesse du son dans un liquide et la vitesse du son dans un gaz en érivant : s (liq) s (gaz) La densité d un liquide est environ mille fois supérieure à elle d un gaz, dans des onditions usuelles de température et de pression Sa ompressibilité est en revanhe beauoup plus faible que elle d un gaz : La vitesse du son est don généralement plus importante dans les liquides que dans les gaz (do 5) 33 Dans les solides (gaz) 0 (liq) S (gaz) S (liq) gaz Pa liquide 0 0 P 0 Pa Le as des solides n entre pas dans le adre de l étude que nous avons menée ii Le modèle de la haîne d atomes ouplés par des ressorts rend assez bien ompte de la propagation du son dans un solide isotrope Les longueurs d onde étant très supérieures au distanes interatomiques, l approimation des grandes longueurs d onde (f hapitre, 35) est appliable, et nous pouvons érire la vitesse du son dans un solide : gaz milieu vitesse du son (m s ) dioygène 37 air 33 diazote 339 dihydrogène 70 liquides solides eau 500 merure 450 plomb 30 uivre 3750 fer 530 granit 6000 Do 5 Vitesse du son dans quelques milieu matériels Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit s E --- P où E est le module de Young Le doument 5 nous montre que la vitesse du son dans un solide est souvent enore plus élevée que dans les liquides 4 Propagation d ondes sonores planes 4 Forme des solutions ondes planes Par définition d une onde plane, la grandeur obéissant à l équation de propagation n est fontion que d une oordonnée artésienne et du temps Nous hoisissons pour ette oordonnée artésienne et l équation de propagation se réduit alors à l équation de d Alembert unidimensionnelle déjà vue dans les trois hapitres préédents, soit pour la grandeur : s t 00

104 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Nous onnaissons la forme générale des solutions : Notant f t ---- et nous obtenons les hamps s F g t G , s de vitesse et de pression d une onde plane : v(, Notons que le veteur vitesse et le déplaement du fluide sont parallèles à la diretion de propagation de l onde plane L onde sonore est longitudinale (, F t G t Ondes planes progressives monohromatiques Les ondes planes progressives monohromatiques (ou harmonique) onstituent des as partiuliers d ondes planes progressives Considérons une onde plane progressive monohromatique, de pulsation et de veteur d onde k ke, dont le potentiel est, en notation omplee : Les hamps de vitesse et de surpression sont alors : s e f t g t pt (, ) t 0 s f t ---- g t 0 e Plus généralement, la diretion partiulière de propagation de l onde est indiquée par son veteur d onde, d orientation quelonque, et son potentiel des vitesses s érit : s j ( t k ) v grad jk 0 e p s s j ( t k ) e j t 0 0 e 0 e j t k r ( ), s j ( t k ) e s soit : impose la relation de dispersion k Impédane aoustique v grad j k 0 e j t k r ( ) p j t 0 0 e j t k r L équation de propagation : ( ) k s t En életroinétique, une impédane est égale au rapport de l amplitude omplee d une tension v sur elle d une intensité i : Z - v i Par analogie, nous pouvons définir une impédane pour une onde sonore plane monohromatique se propageant dans un tuyau de setion S omme le rapport s s Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 0

105 Ondes de l amplitude d une fore p S sur l amplitude du débit volumique orrespondant v S : Z ps p vs v Dans le as d une onde plane progressive harmonique se propageant selon les roissants, la pression p et la vitesse v sont proportionnelles : v j---- et 0 e j ( t k ) e ve p j 0 0 e s j ( t k ) p soit : Z -- Z v C 0 s χ S S Cette impédane Z C est réelle et indépendante de et de w Dans le as d une onde plane progressive monohromatique se propageant selon les déroissants, 0 e j ( t + k ) d où : 0 χ S v j---- et soit don 0 e j ( t + k ) e p j 0 0 ej ( t + k ) p Z C v s Ainsi, pour une onde plane progressive se propageant : p selon les roissants : -- Z ; v C 0 s p selon les déroissants : -- Z v C 0 s Z C est l impédane aoustique, grandeur réelle indépendante de et : Z C 0 s χ S S P 0 χ S L impédane aratéristique d une onde sonore plane progressive est souvent notée : Z C r 0 S Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Une onde de type «f» non monohromatique peut être onsidérée grâe à l analyse de Fourier omme la superposition d ondes planes progressives monohromatiques selon les roissants Il est don possible de définir une impédane aoustique relative à ette onde égale à Z C Ce résultat peut être retrouvé diretement à l aide des epressions de p et de v obtenues au 4 Remarques Pour une onde de type «f», p Z C v 0 S v En utilisant la relation entre la variation de masse volumique et la surpression 0 S p, nous en dédui- v sons que Nous vérifions ainsi que les inégalités 0 et 0 S v S sont bien équivalentes et relèvent de la même approimation omme nous l avons admis au 3 Nous pouvons faire une analogie entre les ondes sonores à une dimension et les ondes le long d un âble oaial (f hapitre 3) : vitesse intensité, surpression tension Les équations reliant es grandeurs onduisent à 0, S L epression de la vitesse de propagation de l onde sonore retrouve par analogie ave Λ Γ S χ S se et elle de l impédane aoustique 0

106 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Z 0 C χ S se retrouve par analogie ave elle de l impédane d une ligne Λ Z C --- Γ Dans le as de tuyau de setion variable, l introdution d une autre définition p de l impédane aoustique Z faisant intervenir la setion du tuyau est S v souvent préférable : les relations de ontinuité seront plus failes à érire Aspet énergétique Énergie volumique d une onde sonore Dans le as de la propagation d une onde sur une orde (f hapitre 3, eerie 6), nous avions mis en évidene deu termes énergétiques : une énergie inétique et une énergie potentielle linéiques Faisons de même pour une onde sonore Densité volumique d énergie inétique L énergie inétique volumique assoiée au mouvement (marosopique) du fluide est e K -- v L onde sonore étant une perturbation faible du milieu, nous érirons ette epression à l ordre : e K -- 0 v Densité volumique d énergie potentielle Le déplaement du fluide s aompagne d une petite variation de sa masse volumique sous l effet de la surpression Le travail reçu, analogue à l énergie potentielle élastique aumulée par un ressort dont la longueur a varié par rapport à sa valeur au repos, pourra être restitué sous forme d énergie inétique Nous avons défini une densité linéique d énergie dans un âble oaial e -- Λ i En poursuivant l analogie du 43 vitesse intensité, + -- Γ v surpression tension, 0, S, nous pouvons définir la grandeur e S -- homogène à une densité volumique d énergie 0 v + -- χ S p L interprétation du premier terme est simple, est l énergie inétique volumique du fluide e K -- 0 v Le deuième terme est plus déliat à interpréter (f 4) Nous admettrons qu il orrespond au surroît d énergie interne dû à la ompressibilité du fluide Nous dirons que le terme e P -- χ orrespond à l énergie potentielle S p volumique assoiée à l onde sonore La densité volumique d énergie d une onde sonore est e S e K + e P où e K -- et sont respetivement les énergies inétique et potentielle volumiques assoiées à l onde Elles s epriment en 0 v e P -- χ S p J m 3 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 03

107 Ondes Veteur densité de ourant d énergie Lors de l étude du âble oaial, nous avons aussi défini une puissane transférée : (, v(, i(, En utilisant de nouveau l analogie vitesse intensité, surpression tension, nous pouvons définir le veteur P Interprétons e terme : pv homogène à une puissane surfaique Considérons un volume V de fluide délimité par une surfae fie (do 6) et alulons la puissane des fores de pression qu eere le fluide intérieur sur les partiules sortant au niveau de La fore eerée par le volume V sur les partiules sortant par un élément de surfae ds est : df PdS ( P 0 + p)ds, volume V de surfae df PdS Do 6 Fore eerée sur les partiules sortant du volume V v la vitesse du fluide en e point est v, d où : Σ Pv ds Σ ( P 0 + p)v ds La valeur moyenne temporelle de la première intégrale : Σ P 0 v ds P 0 Σ v ds est nulle, ar lors de la propagation d une onde sonore, il n y a pas de propagation de matière : e n est don pas e terme qui est responsable de la puissane édée au partiules En onlusion : Σ pv ds La puissane édée par le volume V au partiules qui en sortent est égale au flu sortant du veteur Π pv P pv est le veteur densité de puissane ou densité de ourant d énergie de l onde sonore Il s eprime en W m 3 Bilan énergétique En dérivant e S par rapport au temps, nous obtenons : Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit à l aide des équations ouplées du 4 Donnons une interprétation énergétique du résultat Considérons l énergie S ontenue dans un volume V de fluide délimité par la surfae fie (do 6) : s érit e S v t 0 v t S p p v grad p p divv div( pv ) t d S dt V V S e S d e S d ar la surfae est fie t d S divπ d d t Σ Π ds V Ostrogradski e S + divπ 0 t Sa variation par unité de temps d après le théorème de Green- 04

108 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Le flu sortant du veteur Π pv à travers la surfae est égal à la puissane sonore traversant la surfae ( est-à-dire la puissane fournie au Théorème de Green-Ostrogradski Le flu sortant d un hamp G (ne partiules sortant de e volume) Cette puissane apparaît don omme la présentant pas de disontinuité sur diminution algébrique de l énergie sonore S ontenue dans le volume V par une surfae fermée ou non située à unité de temps l intérieur du volume V) à travers une e surfae fermée est égal à l intégrale, L équation S + divπ 0 traduit don loalement le bilan énergétique : sur le volume V limité par ette surfae, de sa divergene t : variation de l énergie sonore dans le volume V énergie fournie au niveau de la surfae Cei est analogue ave l équation de onservation de la harge e + div j 0 où e est la densité volumique de harge et j le veteur t densité volumique de ourant (de harges) Remarque Ce bilan n est valable que pare que nous avons impliitement supposé qu il n y avait ni soure sonore ni absorption d énergie en sein du fluide dans le volume V Le bilan énergétique loal assoié à une onde sonore s érit : e S + divp 0 t où e S -- est la densité volumique d énergie sonore et 0 v + -- S p Π p v est le veteur densité de puissane ou densité de ourant d énergie de l onde sonore G ( Q) N ( Q) ds surfae fermée volume V div M ( G ( M) )d M volume V Q N ( Q) surfae Appliation Bilan loal d énergie pour une onde plane Eprimer, pour une onde plane se propageant parallèlement à l ae (O), les densités d énergie inétique, potentielle et sonore, et le veteur densité d énergie Vérifier le bilan énergétique loal Que deviennent es epressions dans le as d une onde plane progressive suivant les roissants ou déroissants? Conlure Pour une onde plane se propageant parallèlement à l ae (O), nous savons que la vitesse et la surpression sont de la forme : v (, f t g t S et pt (, ) 0 S f t ---- g t e S S e S Nous pouvons eprimer : la densité volumique d énergie inétique : e K -- ; 0 v -- 0 ( f + fg + g ) la densité volumique d énergie potentielle : e p ar ; -- S p -- 0 ( f fg + g ) 0 S S la densité volumique d énergie sonore : e S e K + e P 0 ( f + g ) ; le veteur densité surfaique de puissane : Π pv 0 S ( f g )e e S t 0 ( ff + gg ) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 05

109 Ondes et divπ 0 S f f g g f Or g f et g d où : S Le bilan énergétique loal est don bien vérifié Dans le as d une onde plane de type «f», e K e P --, 0 f e S 0 f S divπ 0 ( ff + gg ) et Π 0 S f e e S S e e S t Dans le as d une onde plane de type «g», e K e P --, 0 g e S 0 g et Π 0 S g e e S S e Pour une onde plane progressive, l énergie inétique est égale à l énergie potentielle La relation Π ± e S S e s interprète de la façon suivante : l énergie se propage à la vitesse S selon la diretion de propagation de l onde Nous remarquons de plus que l énergie e S ou le veteur densité de puissane d une onde non progressive est la somme des énergies ou des veteurs densité de puissane de ses omposantes «f» et «g» Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 4 Compléments : aspet thermodynamique L étude de l énergie interne du fluide permet d interpréter l énergie potentielle et le veteur densité de ourant Soit u m l énergie interne massique du fluide La surpression étant faible et l évolution isentropique, il est possible d eprimer l énergie interne volumique u v u m sous la forme du développement au deuième ordre en : u v u v0 ( u m ) S, ( 0) -- ( u ) m P Comme du TdS PdV (identité thermodynamique), du m Tds d Par identifiation u m P ---- soit : S ( u m ) P u et m + -- ( u m ) P S S S χ S Nous en déduisons u v u v0 P u 0 m χ S 0 Le terme P u m h m0 représente la variation d enthalpie de l unité de volume due à la variation de masse volumique Comme la masse totale de fluide est onstante, l intégrale sur tout le volume du fluide d est nulle et h m0 d aussi La variation totale d énergie interne du fluide liée à l eistene d une onde sonore s érit don : p d -- χ ar χ S S p d 0 χ S p 0 Il est don possible d assoier à l onde aoustique une énergie potentielle volumique e p -- χ S p + S, ( 0) 06

110 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) L utilisation de l équation d Euler pour l évolution isentropique d un fluide onduit, après quelques aluls que nous ne développerons pas, à l équation : v + u t v + div v u v + P v 0 En ne se ontentant que des termes du premier et du seond ordre dans R ---- v + u : v + P v R ( uv0 + P 0 )v + pv 0 h m0 v + pv Le premier terme orrespond au ourant d enthalpie dont nous n avons pas tenu ompte dans l énergie sonore (valeur moyenne temporelle nulle) Le seond terme orrespond au veteur Π pv Nous retrouvons ainsi, après élimination des termes négligés, le résultat e S + divπ 0 t Appliation 3 Énergie d une onde sonore sphérique divergente ) Le laplaien en oordonnées sphériques d une fontion f(r,, ) f(r) est Δ f -- rf ( ) r r En déduire la forme du potentiel des vitesses d une onde sonore sphérique divergente puis le hamp des vitesses et des pressions orrespondants ) Caluler le flu du veteur densité de puissane à travers une sphère de rayon r à l instant t 3) L onde est maintenant supposée sinusoïdale du temps de pulsation Quelle est la puissane moyenne dans le temps qui traverse la sphère de rayon r? Conlure sur le sens physique du terme -- de la r solution en ondes sphériques de l équation tridimensionnelle de d Alembert ) vérifie l équation de d Alembert tridimensionnelle Δ , soit pour une onde sphérique (r) : t S ( r) r ( r ) 0 t (f hapitre, Appliation ) Les solutions sont du type : f r t ---- g r t S S ( r, r r S Le premier terme orrespond à une onde divergente (propagation selon les r roissants), le seond à une onde onvergente (propagation selon les r déroissants) f r t ---- S D où ( r, , r f v grad ---- f r r S f et p t r 0 ) P pv f f f er et son flu à travers r r S une sphère de rayon r est : Σ pv ds f r f f soit 4π 0 f r S er f f πr r S 3) f r t ---- r A t ---- d où : os S 4π 0 A --- r t r ---- r sin t ---- os S S S S t r + sin ---- S Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 07

111 Ondes Comme sin os 0 et sin -- : A Ce résultat est bien sûr indépendant du temps mais surtout de r Il montre ainsi que l énergie se propage S radialement en se onservant C est le terme en ---- dans le veteur densité de ourant et don le terme en -- dans qui assure ette onservation r Ce résultat s étend à des fontions non sinusoïdales par l analyse de Fourier r Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5 Intensité sonore 5 Intensité sonore Considérons une onde plane progressive de type «f», est-à-dire se propageant parallèlement à l ae (O) dans le sens des roissants L intensité sonore de ette onde, notée I, est par définition la valeur de la puissane moyenne transférée par l onde sonore à travers une surfae unité perpendiulaire à sa diretion de propagation C est aussi le flu moyen du veteur P à travers ette surfae, soit : I pv 0 s v 0 s f t Niveau sonore Le domaine de fréquenes aessibles à une oreille humaine s étend environ de 0 Hz à 0 khz (f enadré) La gamme des intensités sonores aessibles est très large Le seuil d audition orrespond à une intensité sonore (pour une oreille moyenne à environ 500 Hz) I 0 0 W m ; le seuil de douleur se situe à Wm Il est don intéressant d utiliser une éhelle logarithmique pour repérer les intensités sonores Le niveau sonore est défini en déibels par L 0 log --- I ave I 0 0 W m Le seuil auditif de l oreille dépend aussi de la fréquene (do 7a), le niveau sonore maimum étant de 30 db à 500 Hz environ 5 Quelques ordres de grandeur Étudions quelques ordres de grandeur : soit un niveau sonore très élevé, L 0 db dû à une onde plane sinusoïdale de fréquene 000 Hz Nous érivons don au point M : v v 0 ost et p p 0 ost 0 S v 0 ost Son intensité sonore I est égale à W m Sahant que : nous obtenons (ave s 337 m s et 0,8 kg m 3 ) : p 0 9 Pa P 0 En introduisant le déplaement d une tranhe de fluide (f Appliation ) v onduit à v amplitude du déplaement d une tranhe dt 0 0 ( 0 de fluide), e qui donne I I 0 pv -- p 0 v s v , 0 s v 0 690, m s s s p 0 0 m l m, s Quelques niveau sonores Pièe silenieuse : 30 db Lave-vaisselle silenieu : 50 db Rue animée : 75 db Bébé qui pleure : 80 db Sooter (en aélération) : 90 db Cantine solaire : 00 db Balladeur à fond : 05 db Sooter sans pot en aélération : 5 db Avion : 0 db Chantier de marteau piqueurs : 30 db Boîte de nuit : 30 db Fusée : 80 db 30 db seuil d audition maimum seuil d audition minimum Hz Do 7a Seuils d audition en fontion de la fréquene 08

112 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) p De même, nous avons 0 0 s p , soit : L oreille est un déteteur résonant Le doument 7b indique les domaines d intensité sonore, d amplitude de surpression variant, dans le domaine audible, entre les seuils d audition et de douleur pour une oreille moyenne perevant des sons se propageant dans l air 5 Niveau sonore en présene de plusieurs soures Étudions e qui se passe pour diverses valeurs de N Que se passe-t-il si nous sommes en présene d un nombre N de sooters en aélération? Les «soures» étant non ohérentes (les bruits émis par les divers sooters ne sont pas en phase ; f H-Prépa, Optique ondulatoire, de année), l intensité sonore émise par N sooters est égale à N fois l intensité sonore d un sooter : I N NI s 0 7, 0 4 kg m 3 0 seuil d audition intensité forte seuil de douleur I intensité sonore (W m ) amplitude de la surpression (Pa) ,3 30 Do 7b L oreille est sensible à de très faibles variations de pression Soit L N 0 log I N log I log N 90 db + 0 log N Ainsi, nous avons : I 0 L db : le niveau sonore d un balladeur «à fond» est omparable à elui de 30 sooters normau! L db elui de 300 sooters normau! I 0 L log 93 db ; L log 4 96 db ; L log 8 99 db ; : le niveau sonore d un sooter sans pot est égal à L db : le niveau sonore eistant dans une boîte de nuit orrespond à elui de sooters en aélération! 3 Réfleion et transmission des ondes sonores Intéressons-nous à des ondes planes se propageant dans des onduites de setion onstante 3 Conditions au limites Considérons la réfleion d une onde plane à l interfae de séparation de deu ( ρ, ) ( ρ, ) fluides Nous nous limiterons au as de l inidene normale, l onde inidente onde réfléhie se propageant perpendiulairement à la surfae plane séparant le milieu (masse volumique et vitesse de propagation ) et le milieu (masse volumique onde transmise et vitesse de propagation ) (do 8) onde inidente L onde inidente f t ---- donne naissane à une onde réfléhie g t et à une onde transmise f qui peuvent être déterminées t ----, Do 8 Réfleion et transmission, sous en préisant les onditions au limites vérifiées par les vitesses et les surpressions de es ondes à l interfae inidene normale, d une onde sonore à l interfae séparant deu milieu Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 09

113 Ondes Posons don (en notant Z et Z ) les impédanes aratéristiques des deu milieu : v (, f (, + g (, f t g t p (, Z [ f (, g (, ] Z f t ---- g t ; v (, f (, f t ---- p (, Z f (, Z f t ---- Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Continuité de la vitesse Par définition de l interfae, les déplaements, don les vitesses, des fluides perpendiulaires à elui-i sont identiques (do 9) : v ( 0, v ( 0,, soit f ( 0, + g ( 0, f ( 0, Remarques Cette égalité ne devrait pas être érite a priori en 0 puisque l interfae se déplae Nous savons ependant que es déplaements sont etrêmement faibles devant la longueur d onde, qui aratérise les variations des fontions f et g L égalité préédente reste par onséquent onvenable Dans le as d ondes planes sonores se propageant dans des onduites de setions variables, nous verrons dans l appliation 5 que les phénomènes de réfleion et de transmission se traitent alors en utilisant la ontinuité du débit volumique, e qui fait intervenir à la fois la vitesse du fluide et la setion de la onduite 3 Continuité de la pression Considérons un piston de masse M, de setion S et d épaisseur négligeable, au niveau de l interfae (do 0) Soumis au fores de surpression p et p, son mouvement est dérit par l équation at () étant son aélération : L aélération du piston est elle du fluide au niveau de l interfae, elle reste finie Lorsque la masse M du piston tend vers zéro, le produit M a( tend vers zéro et onduit à la ontinuité des surpressions : p ( 0, p ( 0,, soit Z [ f ( 0, g ( 0, ] Z f ( 0, 3 Coeffiients de réfleion et de transmission des ondes sonores 3 Coeffiients de réfleion et de transmission en amplitude Le oeffiient de réfleion (transmission) est le rapport entre l amplitude de l onde réfléhie (transmise) et l amplitude de l onde inidente au niveau de l interfae Les onditions au limites étant traduites par : et Ma() t S[ p ( 0, p ( 0, ] f ( 0, + g ( 0, f ( 0, Z [ f ( 0, g ( 0, ] Z f ( 0,, ( ρ, ) ( ρ, ) vitesse d une partiule de fluide vitesse du milieu d une partiule de fluide du milieu 0 Do 9 Dans le as de onduite de setion onstante, les vitesses de partiules de fluide des milieu et sont identiques au voisinage immédiat du plan 0, don en 0 fore p ( 0, S 0 piston de masse M ( ρ, ) ( ρ, ) fore p ( 0, S Do 0 Le piston de masse M est soumis au fores de pression dont la résultante est : [ p ( 0, p ( 0, ]Se 0

114 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) et en surpres- nous en déduisons les oeffiients de réfleion en vitesse sion : r ( p) r v 0 et eu de transmission et : r ( v) g t Z ( ) Z r f t Z + Z + p v ( v) ( p) 0 f t ---- Z ( ) f t Z + Z ( ) Dans le hapitre 3 les oeffiients de réfleion et transmission en amplitude ont été définis pour des ondes planes progressives harmoniques et pouvaient être omplees Ii, on est dans le as simple où r et t sont réels et indépendants de la fréquene de l onde monohromatique et p Z ( ) Z Z Coeffiients de réfleion et de transmission énergétiques Le oeffiient de réfleion énergétique R est le rapport (en valeur absolue) entre la puissane réfléhie et la puissane inidente à l interfae Le oeffiient de transmission énergétique T est le rapport (en valeur absolue) entre la puissane transmise et la puissane inidente à l interfae : R r e S r et T t e S t i e S i i e S i ave : P i Z f ( 0, t )e, Pr Z g ( 0, e et t Z f ( 0, e Nous obtenons ainsi (dans le as hoisi, S i S r S t ) : R Z Z r ( v) r ( p) Z + Z + T 4Z Z 4 ( v) ( p) ( Z + Z ) ( ) R Considérons, par eemple, une interfae liquide-gaz Le liquide est nettement plus dense que le gaz et la vitesse du son y est supérieure (f 3) Nous obtiendrons alors R et T La transmission des ondes sonores entre un liquide et un gaz est fort peu effiae Par eemple, un plongeur entendra distintement le bruit d une hélie de hors-bord tournant dans l eau, mais beauoup plus diffiilement une personne plaée sur la berge (do ) Nous pouvons étendre e résultat à la réfleion quasi totale dans le as d une interfae solide-gaz Lorsque la géométrie du réfleteur solide s y prête, nous obtenons alors un phénomène d ého La réfleion pourra être en revanhe fortement atténuée par l utilisation d un «solide» très mou et très léger : liège, mousse Plus généralement, l obtention d une bonne isolation phonique est obtenue par jutaposition d un matériau lourd et dur : béton, ave un matériau léger et mou : liège, polymères epansés (l air est piégé au sein de es matériau) Attention! Do Le plongeur entend mieu les turbulenes dues à l hélie du horsbord que le touriste sur la plage Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit

115 Ondes Nous pouvons réaliser quelques manipulations simples représentées sur le doument à l aide d un diapason métallique pour illustrer les onlusions que nous avons énonées : Le diapason, eité par un ho initial, est tout d abord maintenu en l air (do a) Il est déliat de perevoir le son qu il émet même à proimité de la tête La transmission des ondes sonores entre un solide et un gaz est peu effiae Si le diapason est plaé ontre la tempe (e que fait un musiien), le son devient parfaitement audible (do b) La transmission est effiae dans le as du ontat solide, solide La transmission des ondes sonore entre deu solides est effiae Si une plaque de polystyrène est plaée entre le diapason et la tempe, le son redevient très faible (do ) Un ertain nombre de matériau (feutre, polystyrène ) absorbent les sons Si le diapason est plaé dans un verre d eau sur la tête, le son est aussi pereptible (do d) La transmission des ondes aoustiques entre un solide et un liquide est effiae ; a b d Do Comment plaer au diapason 4 Ondes sonores stationnaires Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Nous avons déjà observé plusieurs faettes du phénomène d ondes stationnaires au hapitre Nous rappellerons ii quelques résultats en signalant, si néessaire, quelques partiularités orrespondant au as des ondes sonores 4 Formation d ondes stationnaires par réfleion d une onde plane progressive monohromatique Nous savons que la réfleion d une onde plane progressive monohromatique sur une terminaison parfaite onduit à la formation d ondes stationnaires dont l les nœuds et les ventres, alternés, sont distants de -- (deu nœuds, ou deu 4 l ventres, suessifs étant distants de -- En pratique, pour obtenir une propagation retiligne d ondes sonores (quasi) planes, nous serons généralement amenés à les onfiner à l intérieur d une onduite, que nous hoisirons de setion onstante pour simplifier notre étude Les impédanes aoustiques terminales Z parfaites que nous pourrons aisément réaliser orrespondent à (f Appliation 4) : Z 0 : tuyau dont l etrémité est ouverte à l air libre (nœud de surpression) ; Z + : tuyau dont l etrémité est fermée (nœud de débi Les ondes stationnaires formées dans es onduites sont shématisées sur le doument 3 où l on a traé v(, à un instant fié 4 Modes propres d une avité Nous savons aussi que les ondes stationnaires peuvent intervenir lors de l étude des vibrations d un système possédant deu onditions au limites Nous avons vu au hapitre que les osillations libres d une orde vibrante, de longueur L, fiée à ses deu etrémités, peuvent se déomposer en une série d harmoniques dont les fréquenes sont des multiples entiers de la fréquene du mode fondamental d osillation L a) b) Do 3 Réfleion d une OPPM au bout d une onduite, nœuds et ventres de débit a Etrémité ouverte (Z 0) b Etrémité fermée (Z + )

116 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Dans le as de tuyau de setion onstante, nous pouvons envisager plusieurs as 4 Deu etrémités de même type 4 Etrémités du tuyau bouhées (parois fies) Ce as est l analogue de la orde vibrante maintenue fie à haun de ses l bouts Les nœuds de débit sont distants deu à deu de --, et il y en a un à haque etrémité de la onduite de longueur L, don L n l -- est la on- n dition de quantifiation imposée par les onditions au limites Les osillations libres du gaz dans la onduite se déomposent en une série d harmoniques de fréquenes : -----,, L, n n, 4 Etrémités du tuyau libres Il suffit d intervertir les nœuds (et les ventres) de pression et de débit par rapport au as préédent, e qui ne modifie pas la ondition de quantifiation de la fréquene Nous onstatons que les modes propres d osillations d un tuyau possédant deu etrémités semblables orrespondent au fréquenes multiples entières du fondamental dont la fréquene est égale à (do 4) L 4 Deu etrémités de natures omplémentaires Autrement dit, une etrémité du tuyau est libre, l autre fermée Les nœuds et ventres de débit (ou de surpression) sont distants deu à deu de l -- Il y a un ventre à une etrémité, un nœud à l autre La ondition de quantifiation devient don 4 : Les harmoniques présents dans la série de Fourier des osillations libres du gaz auront pour fréquenes : Nous observons don que les modes propres d osillations du tuyau possédant deu etrémités de natures omplémentaires orrespondent au fréquenes multiples impaires du fondamental dont la fréquene est égale à (do 5) 4L 43 Cavités résonantes L n l -- l -- n ,, 4L 3, 3 5, n ( n ), Nous savons qu un système entre en résonane lorsqu il est eité à une fréquene prohe de l une de ses fréquenes propres Nous l avons onstaté au hapitre en observant la réponse d un ensemble de masses ouplées par des ressorts, et au hapitre en interprétant les résonanes de la orde de Melde Soumis à une eitation quelonque (spetre ontinu et large par eemple), un système résonant joue le rôle d un filtre séletionnant les fréquenes prohes de ses fréquenes propres Un tuyau peut ainsi servir de filtre résonant : nous entendons le tuyau émettre un son dont l analyse spetrale fait apparaître les fréquenes propres de e résonateur L L 3 λ L λ L λ Do 4 Nœuds et ventres de débit des harmoniques, et 3 d un tuyau ouvert L L 5 4 λ L 3 4 λ L 4 λ aisse de résonane du diapason Do 5 Nœuds et ventres de débit des harmoniques, 3 et 5 d un tuyau semifermé Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

117 Ondes 43 Epériene : le tube de Kundt Il est possible de «visualiser» les ondes stationnaires sonores dans un tuyau (souvent réalisé en verre, don transparen de setion onstante appelé «tube de Kundt» L air ontenu dans e tuyau de setion onstante est eité à la fréquene grâe à un haut-parleur plaé à une de ses etrémités et nous herhons à déteter la mise en résonane de l air (do 6) a) haut-parleur tube de KUNDT eau paroi fie 43 Étude qualitative Il est possible de plaer une mine ouhe d eau (5 mm environ) au fond du tube (setion irulaire de diamètre 8 m environ) plaé horizontalement Partant de 0, augmentons la fréquene À l oreille, nous perevons des maima d intensité émis par le tuyau ; es maima orrespondent au mises en résonane suessives de l air ontenu dans e tuyau Loalement, le niveau de l eau varie lorsque nous approhons de la résonane Lors des deu premières résonanes, le niveau de l eau est très perturbé jusqu à élabousser loalement l ensemble de la paroi (do 6b) Les endroits où le niveau de l eau est très perturbé orrespondent au ventres de vibration de la vitesse 43 Étude quantitative Matériel Un mirophone (do 7) permet l étude quantitative de l état vibratoire de la avité Ce mirophone peut être sensible soit à la vitesse, soit à la surpression Ses dimensions sont petites afin de ne pas perturber l état vibratoire de la avité Mode opératoire Pour une position donnée du mirophone, il faut obtenir un maimum de signal en faisant varier la fréquene Si e maimum ne peut être obtenu, il se peut que le miro soit plaé sur un nœud b) émission à la fréquene v à la résonane, la surfae de l eau est très perturbée : l agitation est telle que ette eau est projetée sur les parois du tube λ 4 λ Do 6 Tube de Kundt a Au repos b En résonane fréquene v du GBF GBF Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Y Y tube de Kundt mirophone qu il est possible de déplaer Do 7a Tube de Kundt Ii l eitation de l air dans le tube est provo- quée par le frottement d un hiffon sur une tige reliée au bouhon à droite de la photographie La poudre de lyopode reste en tas au nœuds d élongation distants de 3,5 m la longueur d onde sonore est de 7 m environ soit une fréquene d environ 5 khz mesurable à l aide d un mirophone et d un osillosope à mémoire On peut remarquer des stries orrespondant à d autres fréquenes plus élevées de résonane du tube 4 haut-parleur Do 7b Tube de Kundt : mesure de la vitesse du son dans l air

118 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Lorsque le maimum du signal est atteint, nous sommes en présene du phénomène de résonane : il eiste don des ondes stationnaires dans le tube de Kundt En déplaçant le mirophone, nous visualisons des ventres et des nœuds de vibration quasiment nuls, si la résonane est parfaite l La distane séparant deu ventres (ou deu nœuds) onséutifs est égale à -- Mesure La distane d séparant ( n + ) nœuds onséutifs (il est plus faile de repérer des minima presque nuls, plutôt que des maima) nous permet d obtenir la longueur d onde l d -- n Connaissant la fréquene, la vitesse de propagation du son dans l air est l telle que -- Cette mesure peut être faite ave des ultrasons ; la vitesse du son garde toujours la même valeur (f ) Appliation4 Longueur de la aisse de résonane d un diapason L analyse harmonique du son émis par un diapason posé sur sa aisse de résonane (do 5 et 8) ontient essentiellement un harmonique de fréquene 440 Hz (la note est un la) Do 8 «La» La aisse de résonane est un parallélépipède reu, dont la plus grande dimension est 9,5 m ; l un des bouts étant fermé, l autre ouvert 43 Appliation au instruments à vent Nous pouvons utiliser les résultats préédents pour epliquer de manière sommaire le fontionnement des instruments de musique dits «à vent» Comment epliquer le hoi de ette dimension? Une etrémité de la aisse est bouhée, l autre libre Le mode fondamental d osillation d ondes sonores planes se propageant dans la diretion des arêtes de plus grande dimension a une fréquene égale à : s 4L Pour s 340 ms (vitesse du son dans l air atmosphérique à 0 C) et L 9, 5 m, nous obtenons 436 Hz, très prohe de la fréquene du son émis, dont la fréquene est imposée par les vibrations du diapason La aisse du diapason est bien une aisse de résonane L état de vibration de l air dans la aisse a l allure donnée sur le doument 8, pour le premier harmonique : l L -- 4 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

119 Ondes Le musiien qui souffle dans son instrument provoque des vibrations à l une des etrémités du tube de résonane de son instrument Diverses tehniques permettent d obtenir au bout du tube un vibreur qui va entretenir les osillations propres de la olonne gazeuse ontenue dans le orps de l instrument Pour des instruments à embouhure de flûte, l éoulement turbulent de l air de part et d autre du biseau (do 9) provoque le déollement périodique de tourbillons d air, produisant des vibrations eitatries filtrées par la avité résonante (tube de l instrumen L ouverture au niveau du biseau étant assez importante, ette etrémité du tube de l instrument se omporte approimativement omme une etrémité libre D autres instruments possèdent une anhe (hautbois, larinette, ) que le souffle de l instrumentiste fait vibrer Dans d autres enore (lairon, or, ), e sont les lèvres du musiien qui sont mises en vibration L etrémité eitatrie est alors assimilée à une etrémité fermée L autre etrémité des instruments à vent est généralement ouverte, nous l assimilerons don à une etrémité libre Dans es onditions, le son émis par les instruments à embouhure de flûte omporte les fréquenes : -----,,, L, 3, n n, alors qu un instrument à anhe ne produira que des harmoniques impairs : -----,, 4 L 3, 3 5, n ( n ) Les timbres (répartitions des harmoniques) de es deu types d instruments seront don très différents Remarque : Ils dépendent aussi de nombreu autres paramètres, que notre étude élémentaire (ondes planes, setion onstante, modélisation des etrémités, ) est loin d englober Constatons que la note fondamentale est d autant plus grave (fréquene faible) que la longueur L est importante partie vibrante (biseau) Do 9 Instrument à embouhure de flûte Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 6

120 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) CQFR PROPAGATION DES ONDES SONORES Les ondes sonores sont de petites vibrations du milieu dans lequel elles se propagent à la vitesse s La propagation du son dans un fluide peut être étudiée en onsidérant que le fluide effetue de petits mouvements isentropiques ÉQUATIONS COUPLÉES ÉQUATION DE PROPAGATION Les équations linéarisées dérivant l évolution d un fluide parouru par des ondes sonores (l évolution est don isentropique) sont : t 0 div( v ) 0 (onservation de la masse) v grad p (équation du mouvemen t 0 S p (isentropie) La propagation d ondes sonores dans un fluide est régie par le système d équations ouplées liant la vitesse et la surpression du fluide : p t v t div( v ) S ---- grad p 0 La propagation des ondes sonores dans un fluide est dérite par l équation de propagation tridimensionnelle) de d Alembert, vérifiée par le potentiel des vitesses et les hamps de vitesse et de surpression : ; v ---- v ; p ---- p s t s t s t La vitesse aratéristique de la propagation du son s eprime en fontion des aratéristiques du fluide par : s S P S STRUCTURE DE L ONDE SONORE PLANE L onde sonore est longitudinale, est-à-dire que la vitesse et le déplaement sont parallèles à la diretion de propagation p L impédane aoustique d une onde plane monohromatique (ou harmonique) est définie par Z -- v où p et v sont les amplitudes omplees de la surpression et de la vitesse Une onde sonore plane monohromatique progressive selon les roissants s érit sous la forme : v j k 0 e j ( t k ) e et p j 0 0 ej ( t k ) p ave k ----, et -- Z v C Pour une même onde selon les déroissants : p -- Z v C S Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

121 Ondes L impédane aoustique de ette onde vaut : Z C L impédane aratéristique étant réelle et indépendante de, on aura de même pour une onde plane porgressive selon des roissants : Z C v TRANSFERT ÉNERGÉTIQUE ASSOCIÉ À UNE ONDE SONORE La densité volumique d énergie d une onde sonore est e s e K + e P, où e K -- et 0 v e P -- S p sont respetivement les énergies inétique et potentielle volumiques assoiées à l onde Le bilan énergétique loal, assoié à une onde sonore, s érit : où le veteur densité de ourant énergétique est RÉFLEXION ET TRANSMISSION D ONDES SONORES Lors d un hangement de milieu de propagation, une onde sonore inidente donne naissane à une onde transmise et à une onde réfléhie Celles-i peuvent être déterminées en traduisant les onditions au limites à l interfae des deu milieu : ontinuité de la surpression aoustique, ontinuité de la vitesse normale à l interfae (ou du débit volumique dans le as de onduites de setions différentes) ONDES SONORES STATIONNAIRES CQFR Z C 0 S S S e div( Π ) s 0, t Π pv La réfleion d une onde sonore se propageant dans une onduite limitée par une terminaison parfaite provoque la formation d une onde stationnaire Si la onduite possède deu etrémités parfaites, elle se omporte omme une avité résonante à l intérieur de laquelle les modes propres de vibration du fluide sont les seules ondes sonores ompatibles ave les deu onditions au limites orrespondantes Cette partiularité est à la base de la oneption des instruments de musique à vent 0 S Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 8

122 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Quelles sont les différentes fontions de la position et du temps qui interviennent dans la propagation des ondes sonores? Quelle est l hypothèse thermodynamique faite pour établir l équation de propagation du son? Quelle équation de propagation trouve-t-on pour la surpression? Qu est-e que l impédane aoustique? e Pour quelle raison physique le bilan d énergie loal est-il divπ + s 0? t Quelles sont les deu onditions au limites à l interfae de séparation de deu fluides? Quelles sont les relations possibles entre longueur d un tuyau (L) et longueur d onde (l) d une onde stationnaire plane à l intérieur, suivant que les etrémités sont toutes deu ouvertes, toutes deu fermées, l une ouverte, l autre fermée? Du ta au ta (Vrai ou fau) Dans les ondes sonores, le fluide effetue : a de petits mouvements b des mouvements isentropiques b des mouvements isothermes b -- 0 v + -- S p -- 0 ( v + p ) Les ondes sonores peuvent être : a planes b sphériques autres d longitudinales e transversales 3 Le veteur densité de ourant énergétique est : a Π pv b Π v Π v 4 La densité volumique d énergie sonore e s est : a -- S v + -- p 0 5 Le veteur densité de ourant énergétique P et la densité volumique d énergie e s sont liés par div e s ar : t a les ondes sont planes b les ondes sont stationnaires l énergie se onserve 6 Les oeffiients de réfleion en vitesse et en surpression sont : a égau b opposés 7 Les oeffiients de transmission en vitesse et en surpression sont : a égau b opposés Solution, page 4 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

123 Eerie ommenté Mesure des débits sanguins par effet Doppler ÉNONCÉ L éhographie est une méthode pouvant donner des images des organes internes du orps humain Une éramique joue un rôle de transduteur, transformant une eitation életrique en une onde aoustique ultrasonore (les ultrasons sont émis par trains d ondes suessifs de ourte durée) Le transduteur sert aussi de déteteur et détete les éhos (ondes réfléhies sur les différents organes) Cette méthode permet également la mesure des débits sanguins par effet Doppler objet réfléhissant Le transduteur fie émet une onde aoustique ultrasonore, monohromatique de fréquene, qui se réfléhit sur un objet mobile dont la vitesse est v Pendant une période de l onde, la distane parourue par l objet est très inférieure à la distane d entre la soure et l objet, et v, vitesse du son dans le milieu ) Quel est, dans le référentiel lié à l objet, l intervalle de temps séparant la réeption de deu maima suessifs de l onde en fontion de, v, et l angle a entre le faiseau émis par la soure et la vitesse v? v 0 ) Les globules rouges dans l aorte ont une vitesse d environ 30 m s On utilise une onde de fréquene v 0 3 MHz Les approimations sont-elles légitimes? 3) L onde est réémise sans hangement de fréquene dans le référentiel de l objet mobile Quel est l intervalle de temps séparant la réeption par le transduteur de deu maima suessifs de l onde? Quelle est la relation entre v 0 et v r fréquene de l onde réfléhie détetée par le transduteur? 4) Pour déteter ertaines anomalies, on souhaite pouvoir mesurer le débit sanguin à travers une artère L observation par éhographie ave un faiseau foalisé faisant un angle ave l artère, émis sous forme d impulsions, donne, en fontion du temps, le signal représenté sur le shéma i-dessous v 0 α d v soure parois du vaisseau α amplitude au niveau du transduteur Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit v faiseau d ultrasons émission a) Comment interpréter, d une part les deu signau de grande amplitude, et d autre part le signal intermédiaire? b) Les renseignements sont-ils suffisants pour déterminer le débit sanguin? 5) Dans le as de l aorte, v 30 m s et on hoisit 0 réeption La vitesse moyenne de propagation du son dans les tissus biologiques est de 500 m s Quelle variation relative de fréquene peut-on attendre? t 0

124 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) CONSEILS SOLUTION Préiser soigneusement les dates d émission et de réeption de l onde L effet Doppler apparaît sous la forme d une différene entre la fréquene d une onde (sonore, életromagnétique) émise par un émetteur et elle reçue par un réepteur en mouvement par rapport à l émetteur Cet effet se manifeste ainsi lors du passage d une automobile devant un piéton : le son perçu par le piéton est plus aïgu lorsque le véhiule se rapprohe du piéton (fréquene plus élevée) ; il est plus grave lorsqu il s en éloigne (fréquene plus faible) De la même façon, un radar de gendarmerie utilise l effet Doppler pour ontrôler la vitesse des automobiles qui se trouvent dans son rayon d ation ) L onde émise à l instant t 0 par la soure S est d reçue par le mobile à l instant t t (le mobile se trouvant en A tel que SA d ) L onde émise à l instant T v 0 est reçue par le mobile à l instant d t t (le mobile se trouvant en B tel que SB d ) Si l on suppose AB v( t 0 t 0 ) vt 0 très inférieur à d ( v0), on a d d AH v T 0 os et on déduit la période T de l onde dans le référentiel lié à l objet : d d v T t t ( t 0 t 0 ) T 0 - os v ) On peut vérifier que vt m, soit 0, m est très inférieur à d (de l ordre de quelques mm au moins) 3) Dans le référentiel lié à l objet, elui-i réfléhit une onde de période T vers le transduteur qui se déplae à la vitesse v Un alul analogue au préédent onduit à la période T r mesurée par le v transduteur : T r T, d où on déduit - os T r T 0 v - os et v r v 0 + v - os 4) a) À la réeption, le signal de faible amplitude a été réfléhi par les globules rouges alors que les signau de forte amplitude ont été réfléhis par les parois de l artère b) La mesure de la différene relative de fréquenes v r v v entre le signal émis et le signal - os v 0 reçu de faible amplitude permet de aluler la vitesse des globules rouges La mesure de la différene de temps entre les deu origines des deu signau de grande amplitude reçus par le transduteur nous permet de déterminer le diamètre de l artère : Δt On peut ainsi en déduire le débit sanguin (débit volumique) : v 5) AN : r v ,9 0 5 v 0 D sin t 0 t 0 + T 0 ave v 0 A H α B v d d α B d d v α D v π D 4 S S Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit

125 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Le vent porte le son On onsidère un éoulement d air à vitesse onstante u 0 (dans la diretion et le sens de l ae (O) ; u 0 0 ), la même en tout point Dans et éoulement se propage une onde sonore plane progressive dans la diretion de l ae (O) ) En reprenant les notations du ours ( ), trouver l équation de propagation de la surpression aoustique pt (, ), dans le adre de l approimation aoustique ) Une OPPM se propage dans l éoulement En notation omplee, p s érit p p 0 ej ( t k ) Trouver la relation de dispersion entre k et et interpréter le résultat obtenu Que doit-on entendre par l epression «le vent porte le son»? Influene du milieu sur la propagation d une onde sonore La définition d un oeffiient de ompressibilité isentropique s sous forme d une onstante suppose que les variations de la masse volumique sont en phase ave les variations p de la pression En réalité, la réponse du milieu à une variation de pression n est pas instantanée et elle peut être modélisée par l équation d évolution liant les variations de à elles de p : où est un temps de relaation ) En onsidérant que l on impose brutalement à un milieu initialement au repos une surpression onstante p 0, montrer que l équation préédente traduit effetivement une réponse retardée du milieu à ette eitation ) Montrer qu en tenant ompte du retard de la réponse du milieu, l équation de propagation de la surpression p obtenue dans le ours prend ii la forme : 3) En herhant une solution sous la forme d une OPPM de pulsation et de veteur d onde k ke, soit en notation omplee p , χ s 0 t p p p t s 0 t p p 0 e j ( t k ), déterminer la relation liant et k Montrer que ette relation onduit à une propagation de l onde qui est atténuée eponentiellement et aluler le oeffiient d atténuation On fera l hypothèse que et on se limitera dans les aluls au termes d ordre en Dans ette approimation, quelle est la vitesse de phase --- ou des ondes aoustiques dans le milieu? k e ( k ) Transmission par une paroi Un tuyau ylindrique très long d ae ( O) et de setion onstante S ontient de l air dans des onditions de température et de pression ordinaires Dans es onditions, la élérité des ondes aoustiques dans l air et la masse volumique 0 de l air valent respetivement 340 m s et kg m 3 0,9 En 0 est plaé un plateau très mine (une membrane, une vitre en verre, une paroi en béton, ), de masse surfaique uniforme, suseptible de vibrer sous l effet des ondes aoustiques qui peuvent s établir dans le tuyau Une onde plane progressive sinusoïdale, de pulsation, se propage dans la région () dans le sens positif vers le plateau Arrivée sur le plateau, elle donne naissane à une onde réfléhie dans la région () et une onde transmise dans la région () Sous l effet de es différentes ondes, le plateau aquiert un mouvement sinusoïdal foré de translation selon ( ), soit ( 0, a 0 ost () onde inidente () onde réfléhie onde transmise ) En érivant les onditions de passage pour l onde aoustique globale en 0, déterminer les amplitudes omplees a t de l onde transmise et a r de l onde réfléhie en 0 en fontion de l amplitude omplee a i de l onde inidente en 0, de et des différentes onstantes introduites préédemment ) La membrane joue le rôle de filtre de fréquenes Quelle est la nature de e filtre et quelle est sa pulsation de oupure 0 à 3dB? Étudier les partiularités des différentes ondes présentes lorsque est à l intérieur de la bande passante, et au ontraire lorsque est très éloignée de la bande passante 3) Eprimer la longueur d onde de oupure λ 0 en fontion de 0, de l épaisseur d et de la masse volumique du plateau d Le plateau est en béton ( kg m 3 d 300 ) Caluler l épaisseur d pour obtenir un affaiblissement de 50 db à O

126 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) 300 Hz En déduire les valeurs de la fréquene de oupure f 0 et de λ 0 Quels sont en déibels les affaiblissements à 00 Hz et à 500 Hz? Conlure sur l atténuation du son entre deu logements voisins, pour un son grave ou un son aigu Préiser dans quelle mesure on peut utiliser ii le modèle de masse surfaique pour le plateau * Le résonateur de Helmholtz Un résonateur est une avité qui, eitée par le son d un instrument de musique, permet de renforer un des harmoniques omposant le son Le résonateur de Helmholtz est onstitué par une avité sphérique de volume V 0, ouverte sur l etérieur par un tube très ourt de longueur d, de setion s, ontenant de l air (assimilable à un gaz parfai de masse volumique 0,à la pression atmosphérique P 0 Le volume V 0 est supposé très grand devant le volume du tube V 0 d setion s Réfleion et transmission des ondes sonores au niveau du raordement de deu onduites On étudie la réfleion et la transmission d ondes sonores planes au niveau du raordement de deu onduites de setions S et S (do a et b) ) Montrer que l on a ontinuité de la pression en 0 : p ( 0, p ( 0, ) Montrer que l on a ontinuité du débit volumique au niveau du raordement : D V ( 0, S v (, D V ( 0, S v ( 0, Donnée : L impédane aoustique d une onduite de setion S est définie par le rapport Z s S 3) Établir les epressions des oeffiients de réfleion et de transmission en amplitude (pour le débit volumique et la surpression) en fontion des impédanes aoustiques des onduites raordées 4) En déduire les oeffiients de réfleion et de transmission énergétiques 5) Simplifier les epressions obtenues lorsque les onduites ontiennent le même fluide, et ne différent que par leurs setions Commenter les as limites S et S 0 en préisant leurs analogues életriques Une onde sonore se propageant au voisinage de l ouverture met en vibration l air de la avité en imposant une pression etérieure P e P 0 + p 0 ost On suppose que la longueur d onde de l onde sonore est assez grande devant les dimensions du résonateur pour qu à haque instant, la pression soit onsidérée omme uniforme dans la avité ; ette pression vaut alors P P 0 + yt () Les vibrations de l air dans la avité sont supposées adiabatiques et réversibles ; on donne ---- p ) Érire l équation différentielle vérifiée par la surpression yt () ) Cherher pour yt () une solution harmonique à la pulsation et montrer que son amplitude y 0 devient très grande pour une valeur 0 de la pulsation 3) Caluler la fréquene propre f d un résonateur de Helmholtz onstitué d une sphère de rayon 7 m, et d un tube ylindrique de longueur d m et de rayon r m La vitesse du son dans l air, dans les onditions de l epériene, est égale à m s s 346 v a) b) L << λ S S 0 L << λ S S 0 Do araordement de deu onduites Cas réel b Raordement des deu onduites : modélisation Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

127 Eeries Influene de la visosité sur la propagation d un son Dans le as d un fluide visqueu, l équation vérifiée par le hamp des vitesses est l équation de Navier-Stokes : v ( v grad)v t grad P + Δv où est la visosité dynamique du fluide On suppose que les flutuations de masse volumique et de pression sont petites et que l évolution est isentropique ) Établir l équation de propagation : Δ p Δ p p ave 0 t s t 0 s s s On pourra utiliser div( Δv ) Δ( divv ) (epression qu il est faile de trouver en oordonnées artésiennes) ) On herhe une solution sous la forme d une onde plane progressive monohromatique du type p p 0 ej ( t k ) a) Déterminer la relation entre k et b) On pose k k ik Pour un fluide faiblement visqueu k k Donner l epression de k au premier ordre en Quelle est sa signifiation physique ) AN : Pour l air dans les onditions usuelles kg m 3, m s 0,3 s 340 et,7 0 5 Pl d) À quelle distane un son est-il atténué de 0 db pour un son de fréquene 000 Hz, 00 khz? Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 4 Corrigés Solution du ta au ta, page 9 Vrai : a, b ; Fau : Vraie : a, b,, d ; Fau : e 3 Vrai : a ; Fau : b, 4 Vrai : b ; Fau : a, 5 Vrai : ; Fau : a, b 6 Vrai : b ; Fau : a 7 Fau : a, b ) La vitesse d une partiule fluide est notée : u 0 + v(, ave v(, u 0 La relation de onservation de la masse onduit à : v u t L équation d Euler donne v v u t p ---- La relation 0 s p --- p en posant --- reste 0 χ s inhangée Éliminant et v dans les trois équations i-dessus, on obtient : ( u 0 ) p p u p + t t ) La solution p p 0 e j ( t k ) onvient si : d où on tire k( u 0 ± ) On retrouve don une relation du type k ave u 0 ± Si l onde se propage dans le sens de l éoulement, u 0 + est supérieure à et l onde sonore se propage plus rapidement que dans l air au repos : «le vent porte le son» Remarque : On aurait pu également étudier l onde sonore dans un référentiel lié à l éoulement et se propageant à la vitesse u 0 par rapport au référentiel terrestre Dans e référentiel, l onde sonore se propage à la vitesse et la loi de omposition des vitesses donne, dans le référentiel terrestre : u 0 ± (suivant le sens de propagation de l onde sonore) ) La surpression p est onstante p p 0 La solution de l équation différentielle : s érit s 0 p 0 e u 0 k k ( u 0 ) 0 p χ s 0 t t -- ne retrouve don la valeur χ s 0 p 0 (utilisée dans le ours, f ) qu après un ertain temps (de l ordre de quelques )

128 Corrigés ) En reprenant les équations linéarisées du ours (f ) dans le as d ondes planes se propageant dans la diretion (O), soit : v p l équation du mouvement : ; t v l équation de onservation de la masse : ; t et, en les ombinant à l équation liant p et : p , on t obtient les équations de propagation ave : s t t et p p p t t Ces équations sont linéaires 3) La surpression p p 0 e j ( t k ) satisfait à l équation de propagation si : k , soit k --- j en supposant + jt et e (k) 0 (propagation à roissants) On pose ; p s érit alors p p 0 e En notation réelle, l epression de p devient p p 0 e os t - On onstate que l amplitude de la surpression (et par suite elle des autres paramètres : vitesse v, variation de la masse volumique, ) déroît eponentiellement ave : l onde s atténue au ours de la propagation En outre, le fait de tenir ompte du retard de la réponse du milieu à l eitation ne modifie pas la vitesse qui apparaît dans la phase de l onde (vitesse de phase) : elle-i est toujours égale à (e résultat n est valable qu à la ondition, sinon la vitesse de phase est + dépendant de) ) Pour une onde progressive sinusoïdale, la surpression p et la vitesse v (en notation omplee) sont liées par la relation : p 0 v pour une onde plane progressive harmonique se propageant à roissants ; p 0 v pour une onde plane progressive harmonique se propageant à déroissants On érit les onditions au limites au niveau de la membrane Il y a ontinuité des déplaements et don égalité des vitesses du fluide de part et d autre de la membrane : ( 0, v i ( 0, + v r ( 0, v t ( 0,, la relation fondamentale de la dynamique appliquée à la membrane donne : S ( 0, S( p i ( 0, + p r ( 0, p t ( 0, ), d où, en utilisant la notation omplee : a 0 a i + a r a t j a 0 0 ( a i a r a t ) e j t --- et on en déduit les amplitudes des ondes réfléhies et transmises ainsi que elle du mouvement du piston : a r j et + j a i a 0 a t j a i ) L amplitude transmise est de la forme : H a 0 t ave et j a i H La membrane joue don un rôle de filtre passe-bas du premier ordre, de pulsation de oupure 0 à 3 db Pour 0, l onde inidente est transmise quasiment sans atténuation ni déphasage : a t a i, l onde réfléhie étant d amplitude très faible et en retard d un quart de période par rapport à l onde inidente : a r j a i 0 Pour 0, l onde inidente est presque totalement réfléhie : a r a i, l onde transmise, d amplitude très faible, est en retard d un quart de période par rapport à l onde inidente : a t j a i 3) Pour la fréquene f 300 Hz, il faut : 0log , f d d d où on en déduit d 6,4 m La fréquene de oupure f 0 et la longueur d onde de oupure l 0 valent respetivement : f ,95 Hz Hz d d et -- d ---- d 358m l 0 f 0 Pour f 00 Hz, on trouve alors un affaiblissement de 40 db et pour f 500 Hz un affaiblissement de 54 db L atténuation entre deu logements voisins est don très forte, un peu plus importante pour les sons aigus Dans le plateau d épaisseur d eistent en fait des ondes réfléhies et transmises dont on n a pas tenu ompte ii Les résultats obtenus restent aeptables, ar l épaisseur d du plateau est etrêmement faible devant les longueurs d onde des ondes sonores dans le béton ) On applique la relation fondamentale de la dynamique à la masse d air située dans le tube (très our du résonateur en supposant que et air vibre en blo à la vitesse v() t : 0 ds dv ---- ( y p dt 0 oss Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

129 Corrigés Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit L air de la avité vibre de manière adiabatique et réversible ; il vient don : d où, en différentient et en posant 0 + (ave 0 ) : y P On érit enfin la relation de onservation de la masse d air dans le résonateur : d m d V d t d t 0 s v ave la onvention de signe hoisie par la vitesse v Les trois équations préédentes onduisent à : 0 dv d y y p, P 0 s d t 0 ost P soit, en posant 0 s , on obtient d y y p 0 dv 0 d t 0 ost ) En régime sinusoïdal établi : y p ost Le système entre en résonane (y devient infini) pour 0 (en fait, les frottements limitent l amplitude de la surpression y) P 3) Ave 0 s , on obtient f soit Hz (e s s f 0 d V qui orrespond à peu près à la note do 3 ) On remarque que les approimations sont justifiées puisque : le volume de la avité est nettement supérieur à elui du tube ; V 0 la longueur d onde l --,34 m est beauoup plus grande que les dimensions du résonateur ) Comme on l a vu au 3, si on applique le prinipe fondamental de la dynamique à un piston de masse nulle, on obtient l égalité des pressions de part et d autre de elui-i, don on a ontinuité de la pression en 0 : p ( 0, p ( 0, ) La longueur L de la perturbation est petite devant la longueur d onde l, il est don possible de négliger les variations de volume d une tranhe de fluide en mouvement s appuyant sur ette perturbation On a ontinuité du débit volumique au niveau du raordement : 3) Les onditions au limites s érivant : et P 0 + y() t s f 0 P , D V ( 0, S v ( 0, D V ( 0, S v ( 0, D V ( 0, D V ( 0, p ( 0, p ( 0,, on obtient immédiatement en utilisant la définition de l impédane aoustique de l énoné : r ( DV ) Z Z r Z + Z p Z ( DV ) Z + Z Z ( p) 4) Le flu d énergie à travers la onduite, assoié à l onde sonore, est SP psv pd V On aura don : Z R Z et T Z + Z On vérifie que R+ T Z Z S S 5) Dans le as où , on obtient : r ( DV ) S ( DV ) S + S S p S R S S et + S 4S T S ( S + S ) Si S : r ( DV ) + r ( p) L etrémité du tuyau orrespond à un nœud de surpression L impédane Z est nulle, analogue au as d une ligne életrique fermée sur un ourtiruit Si S 0 : r ( DV ) r ( p) L etrémité du tuyau orrespond à un nœud de débit L impédane Z est infinie, analogue au as d une ligne életrique ouverte à son etrémité Ces deu as orrespondent à des impédanes terminales parfaites Remarquons que si S S, on aura un oeffiient de transmission T La bouhe d un orateur, débitant dans l air libre, ne onstitue don pasunasd adaptationd impédanespéialementbon! Onpeutalorsutiliser un porte-voi, de setion évasée, pour faire passer progressivement la setion à une grande valeur (l émission est aussi plus diretive), e qui demandera des efforts bien moins importants pour se faire entendre (do i-dessous) Sans porte-voi, l orateur ne peut se faire entendre Le pavillon eponentiel équipant un phonographe onstitue un as remarquable d adaptation progressive d impédane Z ( ) S S r S + S p S 4Z Z ( Z + Z ) ( ) ( ) 6

130 4 Propagation d ondes sonores dans les fluides (PC-PSI) Il est toujours étonnant de onstater l importane du niveau sonore d un tel appareil, qui ne omporte pas d amplifiateur omme les haînes Hi- Fi, alors que la soure des vibrations n est onstituée que d une pointe qui vibre en frottant les sillons du disque et transmet ette information à une membrane située à l embouhure du pavillon Les instruments à vent (trompette, trombone, ) sont aussi équipés d un pavillon eponentiel ) En reprenant les approimations du ours : div( v ) donne () t 0 div v t évolution isentropique S () P --- p équation de Navier-Stokes : v t gradp + Δv (3) En éliminant entre () et () : p 0 div( v ) + 0 S ou t 0 div( v ) p 0 t En prenant la divergene de la relation (3) : puis en éliminant on aboutit à : Δ p Δ p p t S t S S 0 ( divv ) Δ p + Δ ( divv ) t 0 div( v ) p t S S ) a) Pour l onde plane progressive monohromatique proposée : Δ p Δ p p onduit à : 0 t t S S k i (équation de dispersion) S b) k i ; en développant au premier ordre en , S 0 S 0 S i k S 0 S positive), d où : S (on ne onserve que la solution à partie réelle k --- et k S 0 S p p 0 ei ( t k ) p 0 e k ei ( t k ) k apparaît don omme un fateur d atténuation de l onde L onde sonore s atténue eponentiellement ave une longueur aratéristique : S k Nous pouvons remarquer que diminue quand augmente : les sons aigus s atténuent plus rapidement que les sons graves ) Une atténuation de 0 db orrespond à une intensité sonore divisée par 00 don à une amplitude divisée par 0 d où une distane d,3 À khz, 5 km soit d 35 km et à 00 khz,,5 km et d 3,5 km d) La distane de propagation déroît don rapidement quand la fréquene augmente Un roulement de tonnerre paraît toujours plus grave quand l élair est éloigné que quand il est prohe Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

131 Propagation 5 d ondes életromagnétiques dans le vide Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Caratéristiques générales de la propagation des ondes életromagnétiques dans le vide Polarisation d une onde életromagnétique Équations de propagation Équation de d Alembert Ondes planes, ondes planes progressives et ondes planes monohromatiques Au hapitre 4, nous avons développé un modèle rendant ompte de la propagation du son dans un milieu matériel omme l air : les ondes sonores sont des ondes longitudinales qui se propagent dans les trois diretions de l espae Nous ferons apparaître ii des similitudes entre la propagation de la lumière et elle des ondes sonores De plus, nous mettrons en évidene la nature vetorielle de la lumière, qui peut même se propager dans le vide en l absene de milieu matériel La propagation des ondes életromagnétiques reouvre l ensemble du spetre de fréquenes, allant des ondes radio au rayons X et, en passant par le domaine optique Les multiples faettes évoquées font apparaître d emblée l importane pratique de la propagation des ondes életromagnétiques Le as de la propagation dans le vide sera omplété dans les hapitres suivants 8

132 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide Propagation du hamp életromagnétique dans le vide Équations de Mawell Les quatre équations de Mawell Les équations de Mawell lient l évolution du hamp életromagnétique ( E, B) à ses soures, les harges et les ourants (fh-prépa, Életromagnétisme, de année) Les équations «Mawell-Flu» (notées M), assurant la onservation du flu magnétique, et «Mawell-Faraday» ( MF), traduisant le phénomène d indution életromagnétique, sont indépendantes des harges et des ourants életriques, soures du hamp : rot E divb 0 ( M) Elles sont souvent appelées équations de struture ar partout équivaut à dire B est un hamp à flu onservatif ou de façon équivalente un hamp de rotationnel De même, en régime indépendant du temps, partout équivaut à dire que E est un hamp de gradient ou de façon équivalente un hamp à irulation onservative Les équations «Mawell-Gauss» ( MG) et «Mawell-Ampère» ( MA) lient le hamp életromagnétique à ses soures : La définition de l ampère impose la valeur eate de H m La définition du mètre est fondée sur la onstane de la vitesse de la lumière prise eatement égale à m s Il résulte du hoi de es unités la valeur eate de 0 liée à la relation vue plus loin 0 0 au On donne souvent Fm Remarque B ( MF) t Nous nous sommes onformés à l habitude en donnant les équations de Mawell ave 0 et 0 Il serait plus judiieu de les donner ave 0 et Équations de Mawell dans le vide divb 0 rot E 0 dive ---- ( MG) 0 E rot B 0 j ( MA) ave t H m Dans le vide, don en l absene de harges et de ourants életriques, les équations de Mawell deviennent : dive 0 ( MG) divb 0 ( M) B rot E ( MF) t E rot B ( MA) t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

133 Ondes Les évolutions spatiale et temporelle des hamps életrique et magnétique sont liées par les équations ouplées (MA et MF) Ce ouplage des évolutions spatiale et temporelle des hamps est analogue à elui de la tension et du ourant dans une ligne életrique, de la fore et de la vitesse dans une orde vibrante, ou de la surpression et de la vitesse dans un fluide (f hapitres, 3 et 4) Nous savons que e ouplage est à l origine du phénomène de propagation Ainsi, le hamp életromagnétique se propage, omme les ondes életriques dans une ligne, les vibrations dans une orde, ou les ondes aoustiques dans un fluide Fait nouveau et remarquable, ette propagation peut se faire même dans le vide, est-à-dire en l absene de support matériel siège de la propagation Équations de propagation Pour obtenir l équation de propagation du hamp életrique E, nous éliminerons le hamp magnétique B, du système d équations ouplées selon : B rot( rot E ) rot t 0 E t Utilisons la définition intrinsèque du laplaien vetoriel : rot( rot A ) grad( diva ) ΔA et la onservation du flu du hamp életrique dans le vide (MG), nous obtenons l équation de propagation du hamp életrique : ΔE 0 E t En éliminant le hamp életrique du système d équations ouplées, nous obtenons la même équation de propagation pour le hamp magnétique Le ouplage des évolutions spatiale et temporelle des hamps életrique et magnétique est à l origine du phénomène de propagation des signau életromagnétiques Dans le vide, ette propagation est dérite par l équation de d Alembert (à trois dimensions) : Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Remarque DE ---- E et D B ---- B , t t où la vitesse aratéristique de ette propagation est Nous utilisons parfois l opérateur d alembertien défini par : Δ t Dans es onditions l équation de propagation s érit sous une forme plus ondensée : E 0 et B

134 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide Appliation Équations au potentiels ) Rappeler les epressions des hamps életrique et magnétique en fontion des potentiels salaire V et veteur A ) Quelles sont les équations liant les potentiels au soures du hamp életromagnétique? 3) Que deviennent es équations dans le vide, ave le hoi de jauge de Lorentz : diva V 0? t ) Le hamp magnétique est à flu onservatif : divb 0, don de la forme B rota Nous en déduisons, à l aide de l équation «Mawell-Faraday» : rot A E t Le hamp életrique peut alors s érire : A E gradv t ) Reportant es epressions des hamps életrique et magnétique dans les équations «Mawell- Gauss» et «Mawell-Ampére», nous obtenons : Δ V ---- V t ---- t diva V t 3) Dans le vide, et ave le hoi de jauge de Lorentz, les potentiels salaire et veteur satisfont à l équation de propagation de d Alembert : V 0 et A Δ A ---- A grad div A V t t 0 j Ondes planes életromagnétiques dans le vide Ondes planes életromagnétiques Cherhons un hamp életromagnétique satisfaisant au équations de propagation sous la forme d une onde plane se propageant, par eemple, parallèlement à la diretion de l ae (O) : E(, y, z, E(, et B(, y, z, B(, L équation de propagation du hamp életrique s érit, en projetion sur l un des aes, par eemple (Oz) : E z E z 0, t dont les solutions (f hapitre ) ont la forme générale : E z (, f z t -- + g z t + -- Ce résultat s étendant au autres omposantes de E, ainsi qu au omposantes du hamp magnétique B, nous en déduisons que la forme générale des solutions des équations de propagation des hamps est : E(, E + t -- + E ; t + -- B(, B + t -- + B t + -- Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

135 Ondes La forme générale des ondes planes de diretion autre que elle de l ae (O) définie par le veteur unitaire u, solutions de l équation de propagation, est (ave OM r ) : u r E( r, E + t E t Nous savons que l aord de es solutions ave l équation de propagation n est qu une ondition néessaire de leur eistene Elles ne sont physiquement aeptables que si elles vérifient aussi les équations de Mawell-Gauss et Mawell-Flu pour E et B et les équations de Mawell-Ampère et Mawell-Faraday assurant le ouplage entre E et B Caratère transverse d une onde plane dans le vide Intéressons-nous toujours à une onde plane de la forme : E(, y, z, E(, et By (,, z, Bt (, ) Les équations de Mawell donnent : E (MG) dive 0 : (, () B (MF) divb 0 : (, () B (MF) rote : B 0 (, t t E z (, B y (, t E y (, B z (, t u r B( r, B u r + t u r + B t ( 3 ) ( 4) ( 5) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit E (MA) rotb : E 0 t 0 (, t B (, E y (, t B ( y, t ) E 0 z (, t Les relations () et (6) donnent : E E E et t est don uniforme, indépendant du temps : lors d un phénomène de propagation d ondes, les grandeurs dépendent du temps, don nous avons ii : E 0 Il en est de même pour B (relations () et (3) : B 0 ) ( 6 ) ( 7) ( 8) Les omposantes de E et B parallèlement à la diretion de propagation sont nulles 3

136 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide Les relations (4) et (8) (respetivement (5) et (7) sont les équations ouplées relatives au omposantes E z (, et B y (, (respetivement E y (, et B z (, ) Ainsi nous pouvons érire : L epression générale des hamps életrique et magnétique d une onde plane életromagnétique dans le vide se propageant parallèlement à un veteur unitaire u est : E( r, E u r + t u r + E t B( r, B u r + t u r + B t Des relations liant E + et B + d une part et E et B d autre part Les veteurs E +, E, B + et B sont orthogonau à u : le hamp életromagnétique est dit transverse 3 Ondes planes progressives monohromatiques ou harmoniques 3 Solutions sinusoïdales de l équation de propagation L équation de propagation est linéaire L analyse de Fourier nous permet don d affirmer que toute solution de ette équation est la somme de fontions sinusoïdales du temps Pour es solutions nous utiliserons souvent la notation omplee : E(, y, z, e( E) e( E 0 (, y, z)e jt ), B(, y, z, e( B) e( B 0 (, y, z)e jt ) L équation de propagation se simplifie alors en ΔE E 0 Par analogie, ave la reherhe de solution partiulière eponentielle des équations différentielles linéaires à une seule variable, nous allons herher des solutions partiulières de ette équation sous la forme : ou plus simplement indépendamment du repère de projetion : où k ku ( u veteur unitaire) et r OM (O origine du repère et M point d observation) onduit, pour ette solution partiu- L epression ΔE lière, à : E(, y, z, E 0 e j t k E ΔE ( k + k y +k z )E k E D où la relation de dispersion k ( k yy k z z) E( r, E 0 e j t k r E E y z ( ) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 33

137 Ondes Par un hangement de repère de projetion, en hoisissant l ae Z du repère selon la diretion u, nous vérifions que E( r, E( Z, En revenant en notation réelle pour k 0 : Z E( X, Y, Z, E + ( t kz) E + t -- La solution partiulière étudiée orrespond don à une OPPM selon la diretion de u Le veteur k ku est appelé veteur d onde e Z 3 Notation omplee des ondes planes progressives monohromatiques (ou harmoniques) Soit une onde plane progressive monohromatique életromagnétique, de pulsation et veteur d onde k Remarquons que la valeur moyenne de es hamps est nulle : il n y a pas de hamp statique Nous pouvons érire son hamp életrique, en notation omplee, sous la forme : E E 0 e j( t k r ) Nous avons vu au hapitre que ette notation simplifie les aluls différentiels Ainsi, nous érirons simplement : Nous avons ainsi : E je t E et jk E E dive E y E z jk y z E jk y E y jk z E z jk E À l aide de aluls semblables nous arrivons au epressions Remarque dive j k E; rot E j k Ÿ E ; DE k E Notons bien que les opérations de dérivation que nous venons de dérire s appliquent ii à une onde plane progressive monohromatique (ou harmonique) Dans le as d une onde non plane telle que E E 0 ( y, z)ej ( t k ), par eemple, il ne faudrait pas omettre la dépendane du hamp vis-à-vis des variables d espae y et z Nous érirons alors : Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit dive div( E 0 ( y, z)e j ( t k ) ) [ dive 0 ( y, z) jk E 0 ( y, z) ]e 33 Relation de struture L équation de «Mawell-Faraday» s érit ii : e qui donne B B rot E, d où jb jk E, t k E don ii B k E Le hamp magnétique d une onde plane progressive harmonique (ou monohromatique) életromagnétique, de pulsation et veteur d onde k, est lié au hamp életrique par la relation de struture : k Ÿ E B j ( t k ) Il ne faudrait ependant pas en déduire que ette relation est générale N oublions pas qu elle s applique à des ondes planes, progressives et monohromatiques 34

138 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide Il est remarquable de onstater que ette relation ne fait appel qu à l utilisation de l équation de «Mawell-Faraday», indépendante des soures Elle est appliable dans le vide, mais aussi dans les milieu matériels 34 Struture des ondes planes progressives monohromatiques (ou harmoniques) En appliquant les tehniques de dérivation vetorielle au équations de Mawell pour une onde plane progressive monohromatique en notation omplee, nous obtenons les quatre équations : jk E 0 ( MG) jk B 0 ( M) jk E jb ( MF) jk B 0 0 je ( MA) L équation (MG) s érit aussi jku E 0 don, en revenant en notation réelle u E 0: E est perpendiulaire à u De même (M) onduit à u B 0: B est perpendiulaire à u k L équation (MF) s érit B --- u E E et onduit en notation réelle à u E B u B De même (MA) onduit à E ( u B) 0 0 Ces relations sur les hamps réels démontrées dans le as partiulier des ondes planes progressives monohromatiques se généralisent à l aide de l analyse de Fourier à toute onde plane progressive Les deu premières égalités nous montrent que les hamps életrique et magnétique de l onde plane progressive sont transverses Les deu suivantes onfirment e fait et permettent de représenter le trièdre diret ( E, B, u) (do ) Le hamp életromagnétique d une onde plane progressive, qui se propage dans le vide à la vitesse dans la diretion du veteur unitaire u, est transverse : u E 0 et u B 0 Le hamp magnétique de l onde est lié à son hamp életrique par la u E relation de struture : B ou E u Ÿ B Les hamps életrique E et magnétique B sont perpendiulaires entre eu et à la diretion de propagation : le trièdre triretangle et diret ( E, B, u) est B E Do Struture d une onde plane progressive életromagnétique dans le vide : ( k ku) u k Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 35

139 Ondes Appliation Relation de struture des ondes planes progressives Le but est de retrouver ii les relations de struture d une onde plane progressive sans utiliser la notation omplee ) On onsidère une onde plane de diretion (O) Montrer en utilisant les équations de Mawell, qu à une onstante du temps et de près, les hamps életrique et magnétique sont transverses ) On suppose de plus que l onde est progressive selon l ae des roissants Montrer qu à des onstantes additives près ( u, E, B) forment un trièdre triretangle diret et E que B --- ) Dans le as d une onde plane selon (O) : E E (, u + E y (, u y + E z (, u z E L équation (MG) onduit à La projetion de l équation (MA) sur (O) onduit à : B z B y E y z t Don E est une onstante vis-à-vis du temps et de Un raisonnement semblable sur les équations (M) et (MF) onduit au même résultat pour B ) Dans le as d une onde plane progressive selon les roissants : E E t -- u E y t -- + uy + E z t -- D après ) E peut être pris nul La projetion de (MF) sur (Oy) et (Oz) onduit à : E z Comme E z est une fontion de t -- : et E z E z t En intégrant par rapport au temps -- E z B y + te E y B z onduit à -- E t y B z + te Ces deu relations se résument en : en prenant les onstantes nulles Comme de plus B y t u B E y u E est triretangle direte et B B z t uz E 0, le trièdre ( u, E, B) E --- Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 35 Propagation des ondes planes progressives monohromatiques (ou harmoniques) dans le vide 35 Relation de dispersion Nous savons que l équation de propagation impose la relation de dispersion qui lie et la norme k (k est enore appelée nombre d onde) du veteur d onde k De l équation de d Alembert, nous déduisons immédiatement que la relation de dispersion des ondes planes progressives monohromatiques se propageant dans le vide est k Comme nous l avons observé dans les hapitres préédents la propagation dérite par l équation de d Alembert est aratérisée par une vitesse de propagation égale à, quelle que soit la fréquene de l onde plane progressive monohromatique étudiée 36

140 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide Remarque Nous pouvons éliminer le hamp magnétique des équations (MA) et (MF) en notation omplee pour l onde plane progressive monohromatique La formule a ( b ) ( a )b ( a b) onduit à soit k k B --- E d où k k --- E 0 0 E ---- E 35 Longueurs d onde La longueur d onde (dans le vide) d une onde plane progressive harmonique életromagnétique est liée à sa fréquene par : Le domaine aessible au ondes életromagnétiques est très vaste, omme l indique le doument ; il va des ondes radiofréquenes au rayonnements gamma en passant par la fenêtre très restreinte du domaine optique ou visible 36 Propagation de l énergie d une onde plane progressive harmonique dans le vide 36 Densité volumique d énergie l k --- Intéressons-nous maintenant à la propagation d énergie aompagnant la propagation d une onde plane progressive dans la diretion du veteur unitaire u La densité volumique d énergie e assoiée au hamp életromagnétique est : e 0 E B Pour une onde életromagnétique plane progressive dans le vide, ette densité volumique d énergie s identifie à la densité volumique d énergie de l onde Pour l onde plane progressive monohromatique dans le vide, les normes des hamps életrique et magnétique sont simplement reliées par la relation : B Nous pouvons alors érire la densité volumique d énergie de l onde plane progressive monohromatique : e faisant apparaître une équipartition de l énergie sous les formes életrique et magnétique Pour une onde plane progressive monohromatique se propageant dans la diretion de l ae (O), le hamp életromagnétique est, en notation omplee, de la forme : E E B E B E E 0 e u B E e j ( t k ) j ( t k ) k ---- E ---- E o n d es h er t z i e n n es L utilisation des équations de Mawell sous forme omplee pour l onde plane progressive monohromatique permet d obtenir l équation de dispersion sans utiliser l équation de d Alembert rayon γ rayon X ultraviolet visible infrarouge fréquene (Hz) EHF 0 ommuniations par satellites SHF 0 radar télévision UHF FM THF 0 ondes ourtes HF 0 ondes ondes moyennes radio MF 0 3 grandes ondes BF 0 4 longueur d onde (m) Do Fréquenes et longueurs d onde des ondes életromagnétiques dans le vide Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 37

141 Ondes Nous pouvons eprimer la moyenne temporelle de la densité d énergie assoiée à l onde par : e -- 0 E B e E E B B E en notant E le omplee onjugué de E et B le omplee onjugué de B Remarque :En faisant orrespondre à le nombre omplee At () A m e jt ave A m A m e j, et à Bt () Bm os ( t+ ), le nombre omplee Bt () B m e jt ave B m B m e j, rappelons que la valeur moyenne du produit A(B( est égale à : At ()Bt 36 Veteur de Poynting Nous savons (f H-Prépa, Életromagnétisme, de année) que la puissane életromagnétique (eprimée en watts) traversant une surfae S est égale au flu du veteur de Poynting -- e ( At ()B () -- e A m B m e j ( ) ( ) W m ) à travers ette surfae orientée (do 3) P Pour une onde plane progressive : At () A m os ( t+ ), E B e ( A m B m ) -- A m B m os ( ) E B E ( u E) P E u 0 (ou veteur flu d énergie en S NS N veteur de Poynting Π E^B μ 0 Π surfae S Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 363 Veteur de Poynting moyen Les ondes életromagnétiques ont généralement des fréquenes élevées ( 0 5 Hz ; ette limite orrespond au ondes hertziennes à modulations d amplitude) Les déteteurs ne sont souvent sensibles qu au valeurs moyennes temporelles de la puissane qu ils reçoivent ; es valeurs moyennes sont don les seules suseptibles de nous intéresser Pour une onde plane progressive monohromatique de pulsation, la moyenne temporelle de la puissane traversant une surfae S perpendiulaire à la diretion u de propagation ( S Su) est égale à : Remarque P S -- e E B S 0 0 E S Nous généralisons : l epression de la valeur moyenne temporelle du produit At ()Bt de deu fontions sinusoïdales de même pulsation au produit vetoriel de deu veteurs ( B () t est le omplee onjugué de B()) t E() t B() t -- e Et () B ( () -- e ( E m B m ) -- e E m B m e j ( ) ( ) -- E m B m os ( ) Do 3 La puissane életromagnétique f traversant la surfae S dans le sens de N est égale à f P NS 38

142 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide 364 Vitesse de propagation de l énergie Nous pouvons alors définir la vitesse v e de propagation de l énergie en identifiant l énergie moyenne traversant une surfae S perpendiulaire à sa diretion de propagation pendant la durée t, S t, à l énergie moyenne assoiée à l onde ontenue dans l élément de volume S( v e (do 4) Nous érivons don : Sv e t e S t, S transfert d énergie v e δt < Π>Sδt énergie <e> Sv e δt soit : v e e Pour l onde plane progressive monohromatique életromagnétique se propageant dans le vide, les epressions obtenues au 33 et 333 nous permettent d érire : v e La vitesse est la vitesse de propagation des ondes planes progressives monohromatiques életromagnétiques dans le vide C est aussi la vitesse de propagation de l énergie assoiée à es ondes u Do 4 Si l énergie se déplae à la vitesse v e, l énergie traversant la surfae S entre les instants tet t + t est située, à l instant t, dans le ylindre de base S et de longueur v e t Appliation 3 Étude des aratéristiques d un laser He-Ne Un laser He-Ne (de puissane moyenne d émission mw) émet un faiseau lumineu (supposé ylindrique et de rayon r 075, mm) monohromatique (de longueur d onde l 63, 6 nm) que l on assimilera à une onde plane progressive monohromatique ) Caluler les valeurs numériques des normes des hamps életrique E 0 et magnétique B 0 émis par e laser ) Déterminer le nombre n de photons par unité de volume dans le faiseau (h 6, J s) 3) Déterminer le nombre N de photons par seonde émis par e laser ) La puissane moyenne émise par e laser vaut : 0 E ( r ) Ave mw, nous trouvons : E 0 85, Vm E et B , T Ce hamp est très faible (hamp magnétique terreste T) ) Chaque photon a une énergie h Si le faiseau est onstitué de n photons par unité de volume, l énergie moyenne traversant une setion S r, pendant le temps t, orrespond au photons situés dans un ylindre de setion S et de longueur t, soit : t n( S h, l d où n , e qui donne : Sh r h n, 0 3 photons m 3 3) Le nombre de photons traversant une surfae S pendant le temps t orrespond au photons situés dans un ylindre de setion S et de longueur t, soit : Nt n( S, d où N ns, soit enore N 637, 0 5 photons s Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 39

143 Ondes 4 Polarisation des ondes életromagnétiques 4 Représentation vetorielle d une onde plane progressive monohromatique (ou harmonique) Considérons une onde plane progressive monohromatique életromagnétique, de pulsation, se propageant dans le vide Choisissons l ae (Oz) parallèle à sa diretion de propagation, son veteur d onde étant k --- e z Son hamp életromagnétique, transverse, peut être représenté à l aide de veteurs parallèles au plan (Oy) Son hamp életrique, désigné en notation omplee par : E E 0 e j t k r ( ) peut aussi s érire, en notation réelle ( E z 0) :, a) y diretion de la propagation de l onde életromagnétique Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit E e( E 0 ej ( t kz ) ) E 0 os( t kz+ ) E y e( E 0y ej ( t kz ) ) E 0y os( t kz+ y ) où E 0 et E 0y sont des onstantes positives (moyennant un bon hoi des valeurs des phases et y ) La donnée du hamp életrique suffit à dérire l état de l onde puisque le hamp magnétique, en phase ave le hamp életrique, s en déduit par la rela- k E tion de struture B , soit ( B : z 0 ) E B 0y os( t kz+ y ) B y 4 Desription de la polarisation des ondes planes progressives monohromatiques Pour définir la polarisation d une onde életromagnétique plane progressive harmonique on se plae toujours dans un plan de ote z 0 donné 4 Polarisation retiligne Considérons le as très simple, où le veteur hamp életrique de l onde garde au ours du temps une diretion onstante, que nous pouvons hoisir olinéaire à l ae (O) L epression de e hamp est alors de la forme : E E e ave E e( E 0 e j ( t kz ) ) E 0 os ( t kz+ f ) Imaginons qu un observateur réeptionne l onde et observe (do 5), dans un plan d absisse z 0 donnée, l évolution du veteur hamp életrique Pour le as onsidéré, et observateur voit simplement l etrémité du hamp életrique osiller le long de l ae (O) Nous dirons alors que l onde onsidérée possède une polarisation retiligne (do 6) 4 Polarisation elliptique + E os( t kz+ ) Observons, à z z 0 fié, l évolution temporelle du hamp életrique d une onde plane progressive monohromatique, nous pouvons érire (à un déalage temporel près) : E en notation réelle : E 0 os( E y E 0y os( t ) B e z plan de ote z 0 b) y E k B E z Do 5 «Observation» de la polarisation d une onde plane progressive monohromatique életromagnétique : «l epérimentateur reçoit la lumière» Le veteur d onde k est tel que k ke z ave k 0 a L œil regarde l onde qui arrive vers lui b L onde arrive vers nous y B E α z Do 6 Champ életromagnétique d une onde plane progressive monohromatique polarisée retilignement dans le as où E n est pas olinéaire à ( O) : te dans tout plan de ote z 0, quel que soit t z 40

144 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide en notation omplee : E E 0 e jt E y E 0y e j e jt où y est le retard de phase de la omposante E y du hamp par rapport à sa omposante E Par onvention, on prendra toujours : E 0 0 E 0y 0 L etrémité du veteur hamp életrique se déplae, dans le plan (Oy), à l intérieur d un retangle de ôtés E 0 et E 0y, sur l ellipse d équation artésienne : E E E y os sin E 0 E 0 E 0y Le sens de parours de l ellipse (do 7) peut être déterminé en érivant qu à t 0, au point A, lorsque E E 0 est maimal, nous avons : de y dt t 0 Le sens de rotation est don indiqué par le signe de sin L observateur, qui réeptionne l onde (attention à sa position d observation, sur le doument 5a), voit l etrémité du veteur hamp életrique parourir l ellipse dans le sens trigonométrique si sin est positif : la polarisation est dite elliptique gauhe Cette onde a une héliité positive (une «photo à un instant t» du hamp életrique de l onde présenterait l aspet d une hélie à base elliptique f la remarque à la fin du 43) À l inverse, si sin est négatif, la polarisation est dite elliptique droite Cette onde a une héliité négative Les différents as de polarisation elliptique envisageables sont résumés sur les douments 8 et 9 E y E 0y E 0y sin E 0 E E 0y B E 0y Do 7 Polarisation elliptique Cas y A E 0y osϕ E 0 osϕ E 0 polarisations elliptiques droites (héliité négative) polarisations retilignes π < ϕ < π ϕ π π < ϕ < 0 ϕ 0 y y y y polarisations elliptiques gauhes (héliité positive) 0 < ϕ < π ϕ π π < ϕ < π ϕ ± π y y y y Do 8 Polarisations elliptiques et retilignes polarisations retilignes Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 4

145 Ondes polarisations elliptiques droites et retilignes y elliptiques gauhes y ϕ π y y π < ϕ < π 0 < ϕ < π y retilignes ϕ ± π ϕ ϕ 0 y π < ϕ< π π < ϕ < 0 y elliptiques droites ϕ π y Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Do 9 Polarisations elliptiques retilignes en fontion du déphasage Nous remarquons sur les douments 8 et 9 que, dans les as partiuliers où 0 et + (ou ), le hamp életrique vu dans un plan z z 0 osille en gardant une diretion fie : la polarisation de l onde est retiligne 43 Polarisation irulaire Si --- ou + les omposantes et du hamp életrique ---, E E y observé sont en quadrature Les aes de l ellipse oïnident ave les aes (O) et (Oy) (do 8 et 9) E 0 E 0 y Si de plus les amplitudes et sont identiques, l ellipse orrespond à un erle : la polarisation de l onde est dite irulaire (do 0) 4

146 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide polarisations irulaires irulaire gauhe --- irulaire droite --- y y E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 E 0 notation réelle E E 0 os( t ) E y E 0 sin( E 0 notation réelle E E 0 os( E y E0sin( E E y notation omplee E 0 e jt je je 0 e jt Do 0 Polarisations irulaires Remarque La polarisation d une onde est dérite par l observation des évolutions du hamp E de ette onde, dans un hamp d onde, de ote z z 0 donnée ; intéressons nous au as d une onde irulaire droite, d epression : se propageant dans le sens des z roissants notation omplee À une date t donnée, ela donne la représentation suivante (do et ) une hélie droite (penser à la règle du tire-bouhon : en ramenant suivant y on avane suivant z) Au ours du temps ette hélie se translate sans déformation dans le sens des z roissants : si on se plae dans un plan de ote z z 0, le hamp Ez ( 0, tourne dans le sens des aiguilles d une montre : l ordre est à polarisation irulaire droite ar l hélie est droite a) b) z 0 E ( E 0 E 0y E 0 ) E 0 e jt E y je je 0 e jt E E 0 os( t kz)e E 0 sin( t kz)e y polarisation irulaire droite z z 0 polarisation irulaire gauhe z y 0,5 0 0, Do Champ életrique d une onde irulaire droite se propageant selon l ae des z roissants à un instant t 0 Do a Supposons que ette hélie représente l etrémité du hamp életrique, à une date t donnée en fontion de z ; lorsque le temps évolue, ette hélie se translate (nous sommes z en présene d une fontion de t - ) ; si on se plae en plan de ote z 0 donnée, l etrémité du hamp életrique dérit une polarisation irulaire droite ; et inversement dans le as b z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 43

147 Ondes Appliation 4 Déomposition d une onde à polarisation retiligne omme la superposition de deu ondes irulaires Le hamp életrique d une onde se propageant dans la diretion (Oz) est donné par : E E E 0 osos( t kz) E y E 0 osos( t kz) E z 0 ) Quelle est la polarisation de ette onde? Faire un shéma ) Déomposer ette onde en deu ondes à polarisations irulaires de sens opposés ) Le hamp életrique E faisant un angle onstant ave l ae (O), l onde possède une polarisation retiligne y E E os( t kz+ ) E sin( t kz+ ) ave une onde irulaire gauhe : E CG et une onde irulaire droite : E CD En notation omplee, nous aurions : + E os( t kz ) E sin( t kz ) E os( t kz+ ) E sin( t kz+ ) + E sin( t kz ) E sin( t kz ) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit B Do 3 Champ életromagnétique d une onde plane progressive monohromatique polarisée retilignement : te ) Nous pouvons érire le hamp sous la forme suivante (en ne nous intéressant qu au omposantes suivant et y ar elles suivant z sont nulles) : 44 Cas de la lumière naturelle z E α Pour la plupart des soures lumineuses lassiques, la lumière émise orrespond à une superposition d OPPM de durées très ourtes (de l ordre de 0 0 s, mais n oublions pas que la période de es ondes lumineuses est de l ordre de 0 5 s) et de polarisation bien fiée pour haque OPPM mais hangeant de façon aléatoire entre deu ondes planes progressives monohromatiques Les déteteurs optiques sont sensibles à la valeur moyenne dans le temps du arré du hamp életrique sur des durées de l ordre de 0 s (œil) à 0 6 s (bonne ellule photoéletrique) Ils ne peuvent don pas suivre la polarisation d une des OPPM dont la suession forme la lumière visible : on dit que la lumière naturelle n est pas polarisée E e j e E E 0os e j E e j e E 0 j ( t kz ) sine + j ( t kz ) onde irulaire gauhe j ( t kz ) j ( t kz ) E e j e j E e j e j ( t kz ) j ( t kz ) onde irulaire droite Les proessus d interation entre lumière et matière peuvent privilégier ertains états de polarisation, provoquant la polarisation partielle ou totale de la lumière observée Nous étudierons quelques as de e type au hapitre 6 et dans l ouvrage, H-Prépa, Optique ondulatoire, de année, où un hapitre est onsaré à la polarisation des ondes lumineuses 44

148 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide CQFR PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS LE VIDE Le ouplage des évolutions spatiale et temporelle des hamps életrique et magnétique est à l origine du phénomène de propagation des signau életromagnétiques Dans le vide, ette propagation est dérite par l équation de d Alembert (à trois dimensions) : ΔE ---- E et ΔB ---- B , t t où la vitesse aratéristique de ette propagation est Les ondes életromagnétiques se propagent dans le vide à la vitesse, quelle que soit leur fréquene, et dans tous les référentiels galiléens La vitesse est aussi la vitesse de propagation de l énergie assoiée à es ondes ONDES PLANES ÉLECTROMAGNÉTIQUES L epression générale des hamps életrique et magnétique d une onde plane éleromagnétique dans le vide se propageant parallèlement à un veteur unitaire u est : Ert (, ) E u r + t u r + E et t Brt (, ) B u r + t u r + B t Des relations lient E + et B + d une part et E et B d autre part Les veteurs E +, E, B + et B sont orthogonau à u : le hamps életromagnétique est dit transverse ONDES PLANES PROGRESSIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUES Le hamp életromagnétique d une onde plane progressive, qui se propage dans le vide à la vitesse dans la diretion du veteur unitaire u, est transverse : u E 0 et u B 0 Le hamp magnétique de l onde est lié à son hamp életrique par la relation de struture : u E B , ou E u B Les hamps életrique E et magnétiques B sont perpendiulaires entre eu et à la diretion de propagation : le trièdre ( E, B, u) est triretangle et diret ONDES PLANES PROGRESSIVES MONOCHROMATIQUES Relation de dispersion k et sont liés par la relation de dispersion k Relation de struture Le hamp magnétique d une onde plane progressive monohromatique életromagnétique, de pulsation et veteur d onde k, est lié au hamp életrique par la relation de struture : B k E , valable dans le vide et dans les milieu matériels Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 45

149 Ondes Le trièdre Polarisation ( E, B, k) CQFR d une onde plane progressive monohromatique dans le vide est triretangle et diret L état de polarisation le plus général d une onde plane progressive monohromatique orrespond à une polarisation elliptique Les états de polarisation retilignes, irulaires gauhe ou droite, en sont des as partiuliers remarquables Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Établir les équations de propagation des hamps E et B dans le vide à partir des équations de Mawell Qu est-e qu une onde plane? Quelle est la solution de l équation de d Alembert pour des ondes életromagnétiques planes? Donner la struture des ondes életromagnétiques planes progressives Qu appelle-t-on polarisation des ondes életromagnétiques planes progressives monohromatiques? Comment obtenir une polarisation irulaire droite? Quelle est la vitesse de propagation d une onde életromagnétique dans le vide? À quelle vitesse se propage l énergie? Du ta au ta (Vrai ou fau) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Le hamp életrique, solution de l équation de d Alembert s érit toujours : E E u r + t u r + E t Vrai Fau Une onde plane progressive est telle que : B Vrai Fau 3 Toute onde régressive est telle que : B u E Vrai u Ÿ E Fau 4 La superposition des deu ondes planes progressives dans deu diretions différentes est une onde plane Vrai Fau 5 Lorsque le déphasage entre les deu omposantes orthogonales du hamp életrique d une onde életromagnétique plane progressive est ±, la polarisation est irulaire π Vrai Fau 6 La polarisation peut être retiligne sans que l onde soit monohromatique Vrai Fau Solution, page 49 46

150 Eeries Superposition de deu ondes planes progressives monohromatiques Une onde plane progressive monohromatique életromagnétique de pulsation se propage dans le vide Son veteur d onde est : k k ( os e + sin e z ) Elle est polarisée retilignement, le hamp E étant parallèle à ( Oy) : E E 0 os ( t k r )e y ) Représenter graphiquement ette onde Que vaut k? Quel est le hamp magnétique assoié à ette onde? ) Une deuième onde, de mêmes fréquene, amplitude et polarisation, dont le veteur d onde est : k k ( os e sin e z ), est superposée à la première Ces deu ondes sont en phase à l origine du système de oordonnées artésiennes utilisé Représenter graphiquement ette onde 3) Eprimer les hamps életrique et magnétique de l onde globale La superposition des deu ondes planes progressives monohromatiques est-elle une onde plane progressive monohromatique? Réeption d ondes életromagnétiques par un adre «fermé» Un émetteur de puissane moyenne m 3 kw émet des ondes életromagnétiques monohromatiques de fréquene MHz de manière isotrope dans tout l espae À une distane r 50 km de l émetteur (à ette distane, N 00 spires on admettra que struture d une onde plane l onde a loalement la A B progressive à polarisation a 0 m retiligne), on plae un adre de réeption plan arré de ôté a 0 m sur lequel on a enroulé N 00 spires de fil onduteur Soit U la fem qui apparaît au bornes A et B du adre en iruit ouvert Ces deu bornes sont supposées très prohes l une de l autre (quelques millimètres) On herhe à obtenir une valeur effiae U eff de la fem U la plus grande possible : déterminer l orientation du adre ainsi que la valeur orrespondante de U eff Données : m s et H m Propagation d une onde transverse dans un âble oaial La propagation d ondes életriques dans une ligne a été étudiée au hapitre 3 On rappelle les epressions des apaité et indutane linéiques d un âble oaial dont l âme et la gaine ont pour rayons respetifs a et b : et 0 b ln --, où est la b a 0 r ln -- a permittivité diéletrique du manhon isolant en polyéthylène séparant les deu onduteurs âme gaine z ) Rappeler les équations de ouplage et de propagation vérifiées par le ourant I( z, et la tension V( z, Quelle est la élérité v des ondes se propageant dans la ligne életrique? ) Quelle est, en notation omplee, la forme générale des solutions I( z, et V( z, de es équations? On se propose de retrouver es résultats par une approhe életromagnétique, en admettant le aratère transverse des ondes étudiées : les hamps életrique et magnétique, se propageant dans la diretion de l ae ( Oz), sont perpendiulaires à elui-i On utilisera les oordonnées ylindriques 3) On admettra que le hamp életrique de l onde, pour ar b, s érit en notation omplee : Commenter e hoi I (z, I (z + dz, Λdz V(z, Γ dz V(z + dz, 4) Montrer que le hamp magnétique assoié à l onde est, dans l espae interarmatures du âble, de la forme : B( r,, zt, ) Brz (, ) e e jt, en préisant la valeur de : I + I E( r,, zt, ) Erz (, )e jt e r Brz (, ) en fontion de Erz (, ) ou de ses dérivées b a z z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 47

151 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5) Relier le hamp B au ourant I( z, irulant dans l âme du âble 6) Établir l équation différentielle vérifiée par la fontion Erz (, ), ainsi que la forme générale de ses solutions 7) Ces relations permettent-elles de retrouver la desription de la propagation à l aide des fontions I( z, et V( z,? 8) Caluler la puissane instantanée transportée par l onde életromagnétique à travers une setion d absisse z du manhon diéletrique Interpréter le résultat obtenu Onde életromagnétique et photons Orientation de la queue des omètes La réfleion d une onde életromagnétique sous inidene normale sur un métal «parfaitement» onduteur induit une pression de radiation P dont la valeur moyenne P est reliée à la densité moyenne d énergie de l onde inidente e i par P e i On se propose de retrouver e résultat, puis de le généraliser, en utilisant une théorie orpusulaire ) À l onde inidente, onde plane progressive monohromatique de fréquene, se propageant dans la diretion et le sens de l ae ( O), on assoie un faiseau de photons se propageant évidemment à la vitesse, parallèlement à l ae ( O) On rappelle qu un photon de fréquene possède une énergie h et une quantité de h mouvement de norme p (h désignant la onstante de Plank) a) Quelle densité partiulaire n de photons peut-on attribuer à l onde inidente? Eprimer n en fontion de, h et b) Retrouver la relation P e i en onsidérant des ollisions parfaitement élastiques des photons sur la paroi métallique ) Proposer une généralisation de l epression de la valeur moyenne de la pression de radiation dans le as d une inidene oblique sous un angle sur la surfae réfléhissante 3) Évaluer la fore subie par une petite partiule réfléhissante, assimilée à une sphère de rayon a, plaée dans un tel faiseau lumineu 4) Cette partiule, de masse volumique, est située à une distane r du entre du Soleil Caluler le rayon limite a 0 pour lequel la fore de radiation, due au rayonnement solaire, équilibre l attration gravitationnelle due au Soleil e i Données : 30 3 kg m 3; onstante de gravitation du Soleil G 667, 0 M 0 30 kg ; rayonnée par le Soleil kg masse puissane moyenne totale Cette étude permet-elle queue de d epliquer pourquoi le omète nuage gazeu, appelé queue, qui aompagne omète une omète est derrière la omète quand elle-i s approhe du Soleil et Soleil devant lorsqu elle s en éloigne? Chaun d entre nous aura pu le vérifier en observant la omète Hale-Bopp en avril 997 * Étude d un faiseau laser m 3 s S 40 6 W Un fin faiseau laser est mal représenté par une onde plane, néessairement d etension transverse infinie dans l espae libre On se propose de herher une approimation de l équation de propagation onvenant mieu à l étude partiulière d ondes lumineuses onservant une diretion prohe de l ae ( Oz), et d etension transverse finie Comme l onde est essentiellement dirigée selon l ae ( Oz), on érit le hamp életrique sous la forme : E(, y, z, uy,, z ( )e j ( t kz ) e y où k est égal à --- ) En supposant que la variation de u selon z est très petite devant les variations selon et y et aussi qu elle varie peu sur une longueur d onde, montrer que u satisfait à l équation : u u jk u y z, () ) Soit une onde sphérique émise du point de l ae d absisse z 0 a) Donner l epression eate de l amplitude omplee de l onde en fontion de, y et z u s b) Que devient ette epression dans l approimation z, y? On notera u s ette amplitude approhée ) Montrer que u s est solution de l équation () 3) On herhe une solution plus générale de l équation () sous une forme inspirée de elle de l onde sphérique : uy (,, z) Az ( ) e jk y qz ( ), ; où A et q sont deu fontions (a priori omplees) de z + 48

152 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide a) Montrer que l équation () implique que q et A sont de la forme : q qz ( ) q 0 + z et Az ( ) A qz ( ) b) On suppose qu en z 0, u est de la forme : + y a 0 uy0 (,, ) A 0 e ave a 0 onstante réelle donnée Mettre l amplitude sous la forme : uy (,, z) u Rz ( ) j e jk y Rz ( ) ka ( z) + e + y a ( z ) et eprimer les fontions réelles Rz ( ) et az ( ) Une telle solution est appelée un faiseau gaussien ) Que représente az ( )? Représenter az ( ) pour z 0 Montrer que, à une distane suffisante de l origine, le faiseau lumineu peut être onsidéré omme onique Caluler le demi-angle au sommet de e ône pour 63, 8 mm et a 0 03mm, d) Que représente R( z)? Pour quelle valeur z 0 de z, R est-il minimum? Caluler les valeurs numériques de z 0 et de R min en reprenant les valeurs de et de a 0 de la question 3) ) Corrigés Solution du ta au ta, page 46 Fau ; Vrai ; 3 Vrai ; 4 Fau ; 5 Fau ; 6 Vrai z E E sin 0 os os os t ey B E os t sin z sin sin sin e os os t z sin + os ose z ) L onde plane progressive monohromatique se propage dans le vide, et la relation de dispersion est k --- Le hamp magnétique de ette onde plane s obtient par la relation de struture : (os e B + sin e z ) E , E soit B os + z sin ( sin e + os e z ) os t , e qu on vérifie sur le shéma i-dessus ) On a de même k --- ; le hamp életromagnétique de la deuième onde plane progressive monohromatique est : os z sin E E 0 os t e que l on vérifie à nouveau sur le shéma i-dessous 3) Pour les deu ondes superposées, on a un hamp total : ey E B os z sin ( sin e + os e z ) os t , L onde globale se propage don dans la diretion, E est transverse dans un plan te, E (et B ) dépend de z, don l onde n est pas plane B possède une omposante dans la diretion de propagation La vitesse de propagation de ette onde sinusoïdale est os Remarque : est l onde TE qui eiste dans un guide d onde plan-plan (f hapitre 8) z y 0 B M B α α k k E E 0 e y E E 0 e y Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 49

153 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 50 Corrigés m représente le flu de la valeur moyenne P e r du veteur de Poynting à travers toute sphère de rayon r entrée sur l émetteur O (on suppose qu il n y a auune dissipation d énergie entre l émetteur et l endroit où se trouve le adre) Sahant que ne dépend que de r (rayonnement isotrope par hypothèse), il vient : r O m agrandissement M P P 4r adre On eamine les ordres de grandeur : la longueur d onde l de l onde életromagnétique est égale à l m Les dimensions du adre étant de a 0 m, on a bien a l La réeption par le adre est la meilleure possible si elui-i est orienté perpendiulairement au hamp B de l onde, puisqu alors le flu de B dans le adre est maimal On applique la loi de Faraday Sahant que le hamp B, de la forme : B B 0 os (t k), peut être supposé uniforme sur toute la surfae E pour en déduire : B 0 0 r Na m , d où : U 4 r eff 05mV, Un alul diret de e à partir de la irulation du hamp életrique de l onde est également possible ) Les équations de ouplage sont : I V et V I t z t z Les équations de propagation s en déduisent : I I et V V z t z t La propagation est aratérisée par la vitesse : v r r (qui n est pas la vitesse de la lumière dans le vide, ar diffère de ) M E B P A B r du adre (en effet ka -- a 40 est très peti, il vient : 3 d u() t s d B Na dt d t B 0 sin (t k) et U eff Na B 0 Na B 0 Il reste à érire la relation entre et B 0, soit : U eff 0 ) Cherhant des solutions omplees proportionnelles à e jt, on obtient par eemple I I z v Les solutions des équations ouplées prennent alors la forme : I ( r, z, I 0 e j(t kz) + I 0 e j(t + kz) I(z)e jt V(r, z, Z (I 0 e j(t kz) I 0 e j(t kz) V(z)e jt ave k --- et Z v --- 3) La solution proposée est en aord ave la modélisation du transport de signal életrique par le âble par une distribution de harges et de ourants à symétrie de révolution Le hamp életrique proposé est bien transverse et appartient au plans de symétrie, ontenant l ae (Oz), lié à ette desription B 4) L équation de Mawell-Faraday rot E , intégrée à un hamp t statiqueprèsquin estpasliéàl ondequisepropage,donne B rot E j Par identifiation, on en déduit ) Pour relier le ourant irulant dans l âme au hamp magnétique, on applique le théorème d Ampère généralisé : en hoisissant omme ontour un erle d ae (Oz), de rayon r ompris entre a et b Il vient rb(r, z)e jt 0 I(z,, soit B(r, z) 0 I(z) r 6) Dans un diéletrique linéaire de permittivité, l équation de Mawell- sont de la forme ave ave k --- : v ln b ā - + ) rot (E(r, z)e jt e r ) grad (E(r, z)e jt ) e r + E (r, z)e jt rot( e r ), E ave rot ( e r ) rot (grad (r)) 0, d où : rot (E ) e z j t e C B d r S( C) B ( r, z) E j z 0 j d S E d S, t + S( C) Ampère s érit rot B E t En oordonnées ylindriques, il vient (ar rot e --- 0) : r rot B rot rb( r, z) e --- B e r z r ( rb) e r z e jt, B soit, d après la question 5) : rot B e z j t e r E e j j t e z r On en déduit E(r, z) E ( r, z), ette équation étant aussi z v j vérifiée par B(r, z) et I(z) ave E B j I 0 z z Les solutions, ompatibles ave les équations ouplant es trois fontions, I(z, I 0 e j(t kz ) + I e j(t + kz ) 0 B (r, z, ( I r 0 e j(t kz ) + I 0 e j(t + kz ) ) e

154 5 Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide 7) Le hamp életrique est de la forme : 0 b E (r, z, grad ln - r ( I 0 e De sorte qu en notant V(z, la irulation du hamp életrique de r b (masse) à r a (âme), dans un plan z te, on retrouve : V(z, Z ( I 0 e j(t kz ) I 0 e j(t + kz ) ) et la desription de la ligne proposée au hapitre 3 ( l impédane aratéristique de la ligne) désignant 8) Pour aluler la valeur instantanée du veteur de Poynting, on revient au notations réelles, de la forme : Le veteur de Poynting est don : ) I 0 e j(t + kz ) )e r j(t kz I(z, I os (t kz+ ) + I os (t+ kz+ ) V(z, Z ( I os (t kz+ B (r, z, E B V ( z, I(z, ( r, z, e 0 r b z ln - a Son flu à travers une setion droite (entre les erles de rayons a et b) d absisse z du âble oaial vaut : V(z, I(z, (r, z, ds r r b d r V(z, I(z, r a setion ln - a Pour ette ériture, l interprétation du résultat en termes de puissane életrique transportée par le âble est naturelle Z ) I os (t+ kz+ )) 0 I(z, V(z, e et r E (r, z, e b r r ln - a b photon réfléhi photon inident 3) On travaille en oordonnées sphériques d ae (O) La fore élémentaire eerée sur un élément de sphère vu depuis O sous l angle solide d sin d d est df ( P os )(a d ) e r La fore subie par la bille de rayon a est don sans oublier de projeter sur : F --- d F a --- P sin os 3 d a P e faiseau inident S e e e ) a) On a diretement n h b) On onsidère l onde inidente, faiseau de photons de vitesse qui viennent se réfléhir sur une surfae S du matériau réfléhissant Chaque photon inident arrive sur la paroi ave une quantité de mouvement hv p i ---- e il s y réfléhit sans perte d énergie (ho parfaitement pe ; élastique), don sans hangement de fréquene et repart ave une quantité de mouvement p r pe Par suite, le photon transfère au miroir une quantité de mouvement égale à (p r p i ) pe (selon la loi de l ation et de la réation) Le nombre de photons rebondissant sur la paroi pendant l intervalle de temps dt est dn ns dt (à l instant t, es photons se trouvent en effet dans le ylindre de setion S et de longueur d Les ollisions de es photons induisent don sur la paroi une fore F, donnée par F dt dn pe, soit F nshe, de la forme F P Se ave P nh On retrouve bien P e i ) Dans le as d une inidene oblique, on doit modifier dn n(s os) dt et (p r p i ) p os e, et la pression de radiation devient : P P os e i photon inident e 4) Il faut omparer la fore pressante P a (qui donne un ordre de grandeur de la poussée eerée par le rayonnement, même si les poussières ne sont pas des réfleteurs métalliques) et la norme de la fore de gravitation due au Soleil : G M r 3 - a 3 Or la puissane S rayonnée par le Soleil orrespond au flu du veteur de Poynting moyen à travers une sphère de rayon r, soit : S GM Les deu fores sont égales si d où : r 3 - a 3 S 0 r a 0, 3 a S , m 6GM θ θ e r O photon réfléhi 4r 4r e i r P Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

155 Corrigés Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5 GM Les deu fores sont égales si d où : r 3 - a 3 S a 0, r 3 a S , m 6GM L influene de la pression de radiation l emporte sur l attration gravitationnelle pour des partiules de rayon inférieur à la valeur a 0 La «queue» d une omète est onstituée de partiules de très petite taille et le rayonnement solaire est apable de refouler elle-i, e qui eplique son orientation d où : ) Le hamp satisfait à l équation de propagation de d Alembert, u u u jk u k y z z u Ave k --- et en supposant u négligeable devant z k u z ) a) On a vu hapitre 4 (Appliation ) qu une onde sphérique, divergente à partir dupointo,possèdeuneamplitudedelaforme(ave r OM + y + z ): soit, pour une onde monohromatique, et en notation omplee : A E -- e j(t kr) ave r u e j(t kz) A u s s -- e r j k ( z r) b) Si z est très grand, on peut faire les approimations : r z au dénominateur ; r z - + y dans la phase ; on tient ompte ii des termes du seond ordre ---, y ---, ar kr r et la longueur d onde l émise par l le laser est petite (de l ordre du m), d où ) On peut vérifier que A u s -- e j k y z est solution z del équation () 3) a) En introduisant la fontion proposée dans l équation (), on trouve : u u, il vient : u u jk u () z y z z z z + E(, y, z, - f r t -, r qui doit être vérifiée quels que soient et y ; on en déduit : O u s u s surfae d onde + A -- e j k y z z k ---- d q ---- ( y q d z + ) jk d A , A d z q M z dq ----, d où, en intégrant, q q ( onstante) dz 0 + z q d A A d z A 0 - d où, en intégrant, q z, A A 0 q z ( onstante) q 0 k b) En z 0, on doit avoir j ( d où : q y + ) ---- ( + y ), 0 a 0 q 0 j k en posant - a k 0 j q q - a 0 Par suite, on peut érire u sous la forme : et on obtient bien l epression proposée en posant : (réel) ) L amplitude de l onde varie «latéralement» en ep + y ; a ( z ) a (z) aratérise en quelque sorte le rayon du faiseau lumineu à l absisse z Le shéma i-dessous représente l allure de e «rayon» en fontion de z Pour z assez grand, le faiseau lumineu est à peu près onique de demiangle au sommet tan l, soit 670, Ce faiseau a 4 rad 0 reste très fin d) S il n y avait pas de terme en a (z), l onde étudiée serait une onde sphérique (u ressemble à l amplitude u s de )b)) et R(z) z serait z en quelque sorte le rayon de ourbure de ette onde On note que R ( z ) est infini en z 0 Pour z 0 q, R passe par une valeur minimale : a R min q ka , soit z et l 0 045, m R min 089, m q 0 A 0 q q ( z ) q u j A 0 q j j k q z q + z - + y k - q + y ep q z ep q + z z z q u 0 j A 0 q, R(z) z + ---, a z (q ( z ) + z ) 4 z a kq k a 4 0 a a 0 O θ asymptote de pente ka 0 a 0 q z

156 Rayonnement dipolaire életrique PC-MP 6 Ayant étudié au hapitre 5 la propagation des ondes életromagnétiques, nous nous intéressons maintenant à une soure de rayonnement életromagnétique Le modèle proposé, elui d un dipôle rayonnant, orrespond souvent à l essentiel du rayonnement émis par des atomes Le rayonnement des antennes radio émettries peut aussi être dérit omme elui de dipôles rayonnants répartis le long de l antenne Ces aspets nous montrent l intérêt de l étude du rayonnement dipolaire La démonstration proposée ii, quoique élémentaire, nous montrera que l étude des solutions des équations de Mawell peut rapidement devenir ardue Nous nous attaherons à dégager l essentiel des résultats établis et à en préiser ertains aspets pratiques Rayonnement életromagnétique d un dipôle osillant Illustrations des résultats obtenus Équations de Mawell Propagation d ondes életromagnétiques dans le vide Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 53

157 Ondes Champ életromagnétique d un dipôle életrique variable Bases du alul Modélisation de la soure de rayonnement Dipôle élémentaire L image lassique élémentaire d un atome d hydrogène onsiste en un életron quasi pontuel, de harge q ( q e), gravitant autour d un proton quasiment fie Le moment dipolaire instantané de et atome est p() t qd (), t où d() t désigne la position relative du noyau par rapport à l életron (do a) Plus généralement, un atome ou une moléule peuvent présenter une séparation de harges : les baryentres A des harges positives et A des harges négatives, de harges respetives + qet q, sont séparés Il eiste alors un moment dipolaire instantané p() t qd (), t ave dt () A A + () t (do b) Dans le as d une répartition disrète de harges q i au points M i neutre q 0 i, p q indépendant du point O arbitraire i OM i i Etension de la notation : Un moment dipolaire instantané peut aussi être représenté par un doublet de harges fies mais variables (do ) pour lesquelles nous noterons : p() t qt ()d dq Il eiste alors un ourant életrique i entre les deu harges Mettant un dt grand nombre de dipôles élémentaires de e type bout à bout, nous pourrons alors modéliser un onduteur fin parouru par un ourant variable, est-àdire une antenne Par la suite, nous désignerons la soure de rayonnement par son moment dipolaire p() t, sans plus de référene à sa nature préise i p( a) b) ) q q( d q( O A Do Dipôle a Représentation élémentaire b Entité polarisée Etension d +q A d A + Position du problème Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Nous voulons déterminer le hamp életromagnétique rayonné par e dipôle, don résoudre les équations de Mawell Appliation Ondes életromagnétiques sphériques Nous herhons à résoudre en ondes sphériques l équation de d Alembert vetorielle et bien sûr tridimensionnelle onernant le hamp életrique E ) Rappeler e qu est par définition une onde sphérique ) Déterminer les trois équations au dérivées partielles vérifiées par les trois omposantes du hamp életrique 3) Résoudre es équations en utilisant les résultats établis dans le hapitre En utilisant la relation de Mawell-Gauss et l Annee, montrer que E r déroît en ---- r 54

158 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) 4) On ne s intéresse qu au ondes progressives Montrer qu à grande distane ette onde est transverse életrique Déterminer le hamp magnétique assoié Que peut-on dire finalement de la struture de ette onde sphérique à grande distane? Est-e étonnant? Données : Dans un hamp : e r Sur l équation de d Alembert donne : ( E t r ) 0 d où en intégrant partiellement par rapport au temps f 3 ( r)t + g 3 ( r) E r Le hamp ne se propage pas E r ne pouvant être E( r, E r ( r, e r + E ( r, e + E ( r, e e r, e, e étant les veteurs unitaires d un système de oordonnées sphériques, on a : dive ( r r r E r ) rot E ΔE ( re ; r r )e ( re r r )e ( re r r )e ( re r r )e ) Le hamp életrique omme le hamp magnétique ou plus généralement la grandeur onernée par l équation de propagation n est fontion que de r et de t par définition d une onde sphérique Le veteur hamp életrique est alors érit dans la base sphérique ave trois omposantes E r, E et E qui ne dépendent que de r et de t Il en est évidemment de même pour B ) et 3) Nous avons : ΔE ( re r r )e ( re r r )e L équation de d Alembert projetée sur ainsi : ( re r r ) ( E t ) 0 que l on peut érire : ( re r r ) ( re r t ) 0 ou enore : ( re r ) ( re t ) 0 d où la solution : E -- r f t r - r + g t + - omme nous l avons déjà vu (hapitres et 4) Nous obtenons de même : E -- r f t r - r + g t + - e donne infini, f 3 ( r) 0 dive 0 donne : r A ( E soit r r ) 0, E r ---- r r Le hamp déroît beauoup plus vite que et, ave r ; rappelons que e hamp ne se propage pas 4) Ainsi, à assez grande distane, pour une onde progressive se propageant dans le sens des r roissants : 0 -- r f t r - E est don transverse -- r f t r - Le hamp magnétique se détermine par l équation de Mawell-Faraday rot E B t E E qui donne, ave E( E r, E, E ) et B( B r, B, B ) ne dépendant que de r et de t : B r t B ( re r r ) t B ( re r r ) t E en remplaçant E r et et ompte tenu du fait que pour une onde seulement progressive ---- il vient : r , t B r 0 ; B ; r ---- f t r - B r ---- f t r - Soit finalement, pour r assez grand (pour que E r 0) : B -- u r E Nous retrouvons la struture d une onde plane pro- Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 55

159 Ondes Les équations de Mawell indépendantes des soures : rot E assurent l eistene de potentiels salaire V et veteur A : Ave le hoi de jauge de Lorentz : divb 0 (Mawell-Flu) B (Mawell-Faraday) t B rot A A E gradv t div A( M, V( M, 0, t les deu équations de Mawell liant le hamp au soures (Mawell-Gauss et Mawell-Ampère) onduisent au deu équations au potentiels : La détermination des solutions physiques de es équations nous permettra d en déduire le hamp életromagnétique engendré par un dipôle variable Nous ferons pour ela trois approimations que nous allons introduire en onsidérant les trois dimensions aratéristiques du problème 3 Approimations dipolaire et non relativiste ΔV ---- V t 0 Δ A ---- A t 0 j La distribution des harges (fies et mobiles) est dans un volume fini de taille maimale d (do ) Soit O un point quelonque hoisi dans e volume et servant d origine Les harges q i sont en A i En appelant A i la position de la harge q i de Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit la distribution, la première hypothèse onsiste à poser i OA i OM bien : nous sommes «loin» de la distribution C est l hypothèse «dipolaire» Si une harge plaée en A i, fie, pour simplifier les hoses, varie ave le temps, l effet de ses variations sur le hamp életromagnétique en M ne peut pas être instantané ar la propagation se fait à une vitesse finie Ce qui se passe en M à r l instant t provient notamment de e qui s est passé en A i à l instant t --- i, ave r i A i M r La deuième hypothèse onsiste à remplaer les retards vrais --- i par le seul r retard moyen - ( r i A i M, r OM) Si T est le temps d évolution typique de la distribution de harges (par eemple, la période d une évolution sinusoïdale du temps), la ondition s érit r i r T soit omme r est de l ordre de l etension de la distribution i r d -- T ou d T l ou q i A i O Do Approimations : dipolaire : OA i OM ; non relativiste : d d vt T l v r, soit M OM 56

160 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) d En supposant les harges mobiles de vitesse v i, l ordre de grandeur de v i est --- T La deuième hypothèse s érit don de façon équivalente v, est-à-dire que les partiules sont non relativistes Ainsi : Première hypothèse (dipolaire) : r d Deuième hypothèse (non relativiste) : l d (ou ( v ) Mais nous ne savons rien de r par rapport à l Appliation Disussion des approimations envisagées dans le adre du modèle de Bohr Dans le modèle de Bohr de l atome d hydrogène, un életron (harge e, masse m) suit une trajetoire irulaire de rayon R autour d un proton fie (masse M m, harge e) ) Eprimer l énergie inétique de l életron, l énergie potentielle d interation entre l életron et le noyau, et l énergie méanique en fontion de R et des onstantes du problème Le moment inétique L peut prendre une série de h valeurs multiples entiers de (h est la onstante de Plank : h 6, J s), soit L n n (n entier positif) Montrer que l hypothèse de quantifiation impose la quanti-fiation du rayon R R n, de l énergie n et de la vitesse v v n de l életron Données : e, 60 9 C; m 90, 3 kg ; F m 4 0 ) Les ordres de grandeur obtenus pour R et v vous semblent-ils suseptibles de justifier les deu approimations proposées préédemment e e ) Notons la onstante d interation életrostatique La fore eerée par le noyau sur 4 0 l életron est : e f e r r En projetion sur le veteur radial, la relation fondamentale de la méanique appliquée à l életron en trajetoire irulaire (uniforme) s érit : mv R R L énergie méanique de l életron vaut don : et son moment inétique : La ondition de quantifiation du moment inétique n entraîne elle : du rayon : R R n n R, où R ; me de l énergie : de la vitesse : e M K + P -- m v e R L n L mrv ( e mr) -- m n -----, où e 4 ; n v v e n ----, où v n e R Pour n, le rayon de la trajetoire est égal au rayon de Bohr : , R me m (unité naturelle de longueur pour la physique atomique), et la vitesse vérifie : v Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 57

161 Ondes ) La valeur numérique de R montre que la première approimation r R est aisément vérifiée Celle de v montre que l approimation de 37 harge non relativiste est satisfaisante Le modèle que nous développons ii permet de dérire assez onvenablement le rayonnement dipolaire életrique d un atome Les et 3 qui suivent vont établir les onséquenes de es deu hypothèses sur les aluls des potentiels veteur et salaire puis sur les hamps életrique et magnétique Les étudiants de PC peuvent passer diretement au où seront utilisés les résultats établis et où nous introduirons la troisième hypothèse Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Potentiels salaire et veteur Potentiels retardés Introdution qualitative Intéressons-nous à la ontribution, en M, V( M, à la solution de l équation au potentiel salaire, due à une harge élémentaire Qt () Ot (,)t ontenue dans un volume élémentaire plaé à l origine O du système de oordonnées (do 3) Le terme V( M, réé par et élément infinitésimal, quasi pontuel à l origine, doit être inhangé lors d une rotation autour d un ae passant par le point O, d où V( M, V( r, Pour r non nul, V vérifie l équation d onde de d Alembert : 0 Δ[ V( r, ] [ V( r, ] t ave Δ[ V( r, ] [ r V( r, ], dont nous savons (f hapitres, 4, r r Appliation ) que les solutions ne dépendant que de r et de t sont des ondes sphériques : V( r, -- r f t r - -- r g t r f Le terme «--» représente une onde sphérique divergente, se propageant depuis r le point soure à l origine Si nous onsidérons les solutions V liées à l eistene de la soure Q qui s est mise à fontionner à un instant origine donné, il est naturel de ne garder que e type de solution de l équation d onde, soit : V( r, -- r f t r - De plus, lorsque r tend vers 0, ette solution doit avoir un omportement Qt () asymptotique de type : V( r 0, , est attendue 4 0 r Q r t - Nous en déduisons la solution herhée : V( r, r δq( ρ(o, δτ r Do 3 Charge élémentaire Q() t en O O z M y 58

162 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) r Remarquons que la quantité - représente le temps mis par une interation pour se propager de O à M à la vitesse Potentiels retardés Nous admettrons qu il est possible d appliquer le résultat préédent au as d une distribution de harges et de ourants d etension finie, onsidérée omme une superposition d entités élémentaires, de positions repérées par un point P ourant sur la distribution Ainsi, au point M, le potentiel salaire prend la forme (do 4) : PM Pt, V( M, d PM Le raisonnement peut être repris pour le potentiel veteur, e qui onduit à : A( M, j PM P, t d PM Nous obtenons don des potentiels voisins de eu que nous avions obtenus dans le ours d életromagnétisme pour les régimes (quasi) permanents PM Ces epressions font intervenir le déalage temporel t : l état de la distribution en l un de ses points P est ressenti au point M ave un retard égal à Δt, que nous pouvons interpréter omme un retard à la transmission de l information, véhiulée à la vitesse de la lumière Pour ette raison, es solutions portent le nom de potentiels retardés ρ(p, dτ nous herhons les grandeurs életromagnétiques en M à la date t M P Do 4 Soure de rayonnement ( Pt,) permettant de aluler les grandeurs en M à la date t Potentiel veteur du dipôle Plaçons-nous dans le adre des deu approimations ( d r et d l ) L epression du potentiel veteur simplifie en : AMt (, ) j PM P, t d se PM j PM P, t d r j P, t - d ave r OM OM 4 r Le dipôle peut être représenté par une répartition de harges q i au points M i globalement neutre q 0 i où les j r P, t - r d qid v id t - harges q i d sont elles du volume d L intégrale j r P, t - d s eprime don simplement sous la forme : j r P, t - d ṗ r t - et ainsi : AMt (, ) r i AMt (, ) r q OM r i i t - q i v i t - i t p t r - i i d Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 59

163 Ondes 3 Potentiel salaire La détermination direte du potentiel salaire à partir de l epression du potentiel retardé néessite un développement limité au premier ordre de PM au voisinage de O utilisant les deu approimations d r et d l : un alul semblable à elui effetué pour le potentiel veteur onduit à V( M, 0! En utilisant les notations du doument 5 : Pt, ---- r Pt, - r Pt, grad ( r r i r r P r) formule généralisant le développement limité d une fontion à une variable f( + ) f( ) + f ( ) d où : r P r Pt, - grad r V( r, r Pt, - r Pt, e r e et r t r r P r OP r r Pt, - e d ---- r r 4 0 r Pt, - + OPd r P O d Do 5 Observation d une soure de rayonnement r P r P PM et OM r OP vers M e ---- r Pt, r La première intégrale est nulle (harge totale nulle), la deuième est égale au moment dipolaire p r t - de la répartition de harges et la troisième intégrale sa dérivée Nous obtenons alors le potentiel salaire : p r t - p r t - V( M, e 4 0 r r r Le premier terme est semblable au potentiel du dipôle életrostatique : V( M) p er 4 0 r r - OPd Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Les potentiels en M à la date t, assoiés à un dipôle variable pt (), d etension spatiale de l ordre de d au voisinage d un point O évoluant ave une éhelle de temps aratéristique T peuvent s érire : ṗ r t - AMt (,) 0 p r t - p r t et V( M, r 4 0 r r si les deu onditions suivantes sont vérifiées : d r, approimation dipolaire ; d l, approimation non relativiste Remarque Il est possible de vérifier que le ouple de potentiels approhés que nous venons de aluler satisfait à la jauge Lorentz diva V 0 t e r 60

164 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) Appliation 3 Calul du potentiel salaire dans le as d un dipôle harmonique On onsidère un dipôle p p 0 ostu z plaé en O dans le adre des deu approimations : distane d observation grande devant les dimensions de répartition de harges d r ; approimation non relativiste d l En utilisant l epression du potentiel veteur rée par e dipôle et la jauge du Lorentz, déterminer l epression du potentiel salaire div( fa) grad fa fdiva où f est un hamp salaire et A un hamp vetoriel p r t - La formule A( M, s érit : 4 r diva 0 A( M, 4r p t r sin - 0 uz sin r t p 4 0 grad r u z d après la formule donnée et : sin r t - grad r os r t - sin r t r r d où : r t - V os p t r sin r t u r r p r t - e r p r t - e r t r r d où l epression de V à une fontion indépendante du temps près : on retrouve l epression démontrée de façon générale u r u z 3 Champs életrique et magnétique Pour simplifier la détermination du hamp életromagnétique, nous supposerons désormais que le dipôle est osillant à la pulsation et de diretion l ae (Oz) Cei ne restreint pas la généralité de l étude Un dipôle quelonque est la superposition de trois dipôles sur les aes (O), (Oy) et (Oz) eu-mêmes somme de dipôles sinusoïdau d après l analyse de Fourier Les équations de Mawell étant linéaires, l effet du dipôle est identique à elui de ses omposantes (do 6) En utilisant la notation omplee, nous érivons : p p 0 e z e jt où p 0 est une onstante et p r t - p ave 0 e z ej ( t kr ) k --- r Alors ṗ t - et nous utiliserons, dans es onditions, jp e e j ( t kr ) 0 z les epressions suivantes des potentiels : V( M, A( M, j r r os p e j r p 0 e j ( t kr ) e z j ( t kr ) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 6

165 Ondes 3 Champ életrique Le hamp E est égal à E grad V A ; alulons es deu termes : t d une part : gradv( M, d autre part : Nous en déduisons le hamp életrique : Tout plan ontenant l ae ( Oz), don le dipôle, est plan de symétrie de la soure de e hamp életrique Nous vérifions que le veteur hamp életrique est situé dans es plans 3 Champ magnétique Utilisons l epression du rotationnel en oordonnées sphériques pour aluler il vient : V( M, e 4 0 r r + -- V( M, r e j j ose 4 0 r 3 r r r sine r 3 r p0 e A t E( M, B rota, 0 e j ( t kr ) j ( t kr ) ; p 4 r 0 e j ( t kr ) e 0 z p ( ose 4 r r sine ) B( M, j ose r 3 r r j sine r 3 r r p 0 e j r sin p e 0 r j ( t kr ) e j ( t kr ) Nous vérifions que le pseudo-veteur hamp magnétique est perpendiulaire au plans de symétrie ontenant l ae ( Oz) p z θ e z r O ϕ M eθ Do 6 Système d aes et de oordonnées sphériques e r e ϕ e ϕ y Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Rayonnement dipolaire életrique Champ de rayonnement Zone de rayonnement : dl r Les résultats i-dessus obtenus pour E et B vont se simplifier ave la troisième hypothèse dite de la zone de rayonnement où l on ompare r et l : La zone dite de rayonnement (ou zone lointaine) est définie par rl Nous avons don d l r Notant l nous onstatons que le hamp életromagnétique du dipôle ontient des termes proportionnels à : ----, r r r l et r rl 6

166 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) Suivant la valeur de la distane d observation, nous pouvons dégager un terme prépondérant et érire une forme approhée du hamp életromagnétique du dipôle Dans la pratique, l approimation r l est justifiée par les ordres de grandeur usuels : la longueur d onde (de l ordre du miromètre dans le domaine visible par eemple) sera fréquemment très faible devant la distane à laquelle le rayonnement est déteté Dans la zone de rayonnement, nous avons : , r 3 r l rl soit p don ṗ ṗ r 3 r r Une forme approhée du hamp életromagnétique rayonné par un dipôle est don : Remarque r 3 r , r p E e j ( t kr) sine 4 0 r B p 0 e j ( t kr) sine 4 r Les epressions trouvées orrespondent au hamp de rayonnement d un dipôle osillant, de pulsation, dirigé parallèlement à ( Oz) Elles sont eprimées dans la base des oordonnées sphériques d ae ( Oz) (f do 6) Elles peuvent être généralisées, par linéarité, à un dipôle quelonque : p() t p ()e t + p y ()e t y + p z ()e t z en identifiant le fateur j à une dérivation par rapport au temps, soit en notation réelle : E( M, B( M, ṗ r t - e r e r r ṗ t r - e r r où est le veteur unitaire dirigé du dipôle vers le point d observation M e r En notation réelle Dans les approimations : dipolaire : r d, non relativiste : l d, et dans la zone de rayonnement : r d soit don lorsque : r l d, un dipôle de moment dipolaire p p()e t z rée le hamp életromagnétique : ṗ r t - E sine 4 0 r r ṗ t - 0 B sine 4 r Struture du hamp rayonné Le hamp obtenu présente des analogies ave les ondes salaires sphériques divergentes : f r t - ( r, , r qui se propagent à vitesse ; la diretion loale de propagation étant indiquée e r par le veteur radial Sa struture loale est aussi remarquable : les hamps életrique et magnétique sont perpendiulaires au veteur et E( r, B( r, e r, ou B( r, e r E( r, , omme pour une onde plane progressive életroma- gnétique se propageant dans le vide parallèlement au veteur (do 7) e r e r p z ϕ θ r Do 7 Struture du hamp életromagnétique rayonné par un dipôle osillant B E e r Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 63

167 Ondes Dans la zone de rayonnement ( d r ), le hamp életromagnétique engendré par le dipôle p() t : déroît omme -- ; r est proportionnel à p r t - ; présente loalement une struture d onde életromagnétique plane progressive dans le vide se propageant radialement à partir du dipôle Le trièdre (E, B, e r ) est triretangle et diret, ave : E(r, B(r, Ÿ e r ou B( r, e r Ÿ E( r, Énergie életromagnétique rayonnée Diagramme de rayonnement Puissane rayonnée par unité d angle solide Le veteur de Poynting, veteur densité de ourant d énergie életromagnétique, orrespondant au hamp rayonné est (en notation réelle) : z dω M e r e ϕ E B E e 0 r Pour érire l epression de ette grandeur non linéaire, reprenons don la notation réelle «pt ()» Utilisons les oordonnées sphériques d ae (Oz), dirigé suivant le moment du dipôle rayonnant et entré sur elui-i (do 8) ; le veteur de Poynting devient : ( r, ṗ r t sin e r La puissane rayonnée à travers un élément de surfae ds r d de la sphère de entre O et de rayon r, vu sous l angle solide élémentaire d sindd (do 8), vaut : r p O ϕ θ r Do 8 Coordonnées sphériques, angle solide élémentaire e θ e ϕ y Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit d P ds P dse r r ( P e r )d La puissane rayonnée par le dipôle par unité d angle solide est : d d ṗ sin Remarque Ce résultat est remarquable, ar il ne fait pas intervenir la distane d observation La dépendane en -- du hamp de rayonnement (au lieu du fateur ---- r r des hamps statiques d une soure d etension finie) nous permet de déteter des signau émis à des distanes pouvant être etrêmement importantes Diagramme Nous pouvons symboliser la répartition spatiale du rayonnement émis en traçant, pour une diretion (, ) donnée, un segment OH dirigé dans ette dire- 64

168 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) tion et de longueur proportionnelle à la puissane rayonnée par unité d angle solide L ensemble des etrémités de es segments onstitue une surfae de révolution autour de l ae (Oz), représentée en oupe sur le doument 9 Le rayonnement du dipôle n est pas isotrope : la puissane est préférentiellement rayonnée dans les diretions per- d pendiulaires au veteur p ; dt il n y a pas d énergie rayonnée dans la diretion de e veteur p θ H Puissane totale rayonnée La puissane totale rayonnée s obtient par intégration sur toutes les diretions de la puissane rayonnée par unité d angle solide Sahant que sin 3 4 d --, et que d sindd, la puissane 0 3 totale rayonnée est : d ṗ d d 6 Appliation4 0 3 Pour s entraîner : e 4 et 5 O Do 9 Diagramme de rayonnement : d représenté par le segment OH est d proportionnel à sin Rayonnement d une partiule hargée On admet que le potentiel veteur d une partiule hargée se déplaçant au voisinage d un point O vérifie q v t r - A( M, dans le adre des trois 4 r approimations du rayonnement du dipôle ave r OM et v() t vitesse de la partiule à un instant t On suppose que la partiule se déplae suivant l ae (Oz) On note a() t son aélération et on repère la position du point M par ses oordonnées sphériques de entre O et d ae (Oz) ) Montrer que dans le adre de l approimation dipolaire B( M, 0 4r qa t r - sinu ) Déduire de l équation de Mawell-Ampère le hamp életrique rayonné 3) a) Caluler le veteur de Poynting orrespondant à l onde rayonnée à grande distane q b) En déduire la formule de Larmor a donnant la puissane rayonnée par une partiule hargée non relativiste ) La partiule hargée dérit une trajetoire irulaire de rayon R 0 à la vitesse uniforme v 0 et de période T 0 Caluler le rapport de l énergie inétique K à la puissane rayonnée en fontion de T 0 Appliation Caluler e rapport dans le as de l életron de l état fondamental dans le modèle de Bohr (Appliation ) T 0,5 0 6 s, e,6 0 9 C, m kg Conlusion ) Ave : q v t r - A( M, ( osu 4 r r sinu ) B rota r v t q sin r r sin r v t r - v r t - v t r - a r t - Comme , r t a r t - v r t - B 0 q sin u 4 r r Si le mouvement de la partiule est sinusoïdal de a pulsation, le rapport -- est de l ordre v + u Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 65

169 Ondes L approimation r l onsiste à négliger - devant -- v - a D où l epression : v a r r -- B( M, 0 4r qa t r - sinu ) L équation de Mawell-Ampère onduit à : E rot B t r osa t - a r t - 0 q u 4r r r sin r u a t r - a t r - Comme , l approimation r t E r l onduit à : q a t r sin u t 4 r t Soit, à une fontion indépendante du temps près, E 0 4r qa t r - sinu Nous remarquons que la struture des hamps est identique à elle du dipôle osillant ave ṗ qv 3) a) P E B 0 q a r t - E u 0 0 r sin u 6 r r q a r t sin u r r b) En alulant le flu du veteur de Poynting sur une sphère de rayon R : P P ds a ar sin 4 3 d ) Dans un mouvement irulaire à vitesse uniforme l aélération est a v , d où Σ 0 q 0 La grandeur alulée est homogène à un temps : K mR 0 3m T q v q 0 AN 4,3 0 s q a R t sin R sindd R R 0 q Ce rayonnement, appelé «rayonnement de freinage», diminue l énergie inétique de l életron Le temps aratéristique obtenu n est pas ompatible ave un modèle où le rayon de la trajetoire de l életron est onstant au éhelles de temps aessibles epérimentalement : les életrons auraient dû s éraser sur les noyau depuis longtemps Le modèle de Bohr n est pas satisfaisant et seule la méanique quantique a permis de modéliser la struture életronique de l atome d hydrogène v R 0 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Soures de rayonnement Pour des partiules relativistes, la formule de Larmor doit être modifiée, mais le prinipe reste : des harges aélérées produisent un rayonnement Cei limite les possibilités des aélérateurs de partiules L aélération des harges ontenues dans des faiseau irulant dans des anneau de stokage irulaires induit un rayonnement, don une perte d énergie Pour obtenir des jets de haute énergie, il faut minimiser ette aélération, entripète et inversement proportionnelle au rayon de l anneau, don augmenter le rayon de l anneau Le SPS (super proton synhrotron) au CERN a ainsi un rayon de km, soit environ 6 km de galerie souterraine passant sous la frontière frano-suisse À l inverse, des appareils sont onstruits dans le but d une prodution de rayonnement synhrotron Au soures de rayonnement onstruites en «parasitant» des anneau de ollisions ont suédé des appareils onstruits spéifiquement pour la prodution de rayonnement synhrotron Dans un 66

170 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) ondulateur (do 0), des életrons relativistes traversent un hamp magnétique à struture périodique L aélération périodique des életrons dans es mahines permet la prodution de faiseau intenses de rayons X bien utiles dans de nombreuses appliations : en physique et himie (analyse struturale de solides ristallins, étude de l organisation à ourte distane des solides amorphes et des liquides, aès à la struture interne du ortège életronique des atomes, ), en biologie et médeine (analyse de la struture de protéines, radiographies de haute préision, ), industrielle (radiographie, lithographie à haute résolution de iruits intégrés, tehniques de mirofabriation, ) 3 Diffusion du rayonnement életromagnétique aimant multipôle réant un hamp magnétique à struture périodique életrons rayonnement d aélération Do 0 Aélération d életrons par un hamp magnétique à struture périodique et prodution de rayonnement dans un ondulateur 3 La diffusion Le hamp d une onde életromagnétique (de la lumière par eemple) peut interagir ave un atome ou une moléule, qui absorbe une partie de l énergie du rayonnement inident Les dipôles életriques atomiques induits réémettent des ondes életromagnétiques dans des diretions pouvant différer de elle de l élairage inident : la lumière est diffusée (do ) Le modèle du rayonnement dipolaire permet de rendre ompte de la plus grande partie du rayonnement életromagnétique atomique 3 Interation atome-rayonnement : modèle de l életron élastiquement lié Nous nous proposons ii de onstruire un modèle phénoménologique dérivant, dans le adre de la méanique lassique, l interation entre un atome et le hamp d une onde életromagnétique inidente 3 Ation du hamp de l onde Lorsqu une onde életromagnétique arrive sur un atome, son hamp interagit ave les harges de l atome Celles-i sont non relativistes et le hamp B de E l onde est de l ordre de --- L influene du hamp életrique de l onde sur les harges est, dans es onditions, largement prépondérante Les életrons et le noyau ont des harges omparables, mais es derniers sont beauoup plus massifs : m p 000 m e L onde induit don un mouvement nettement plus important pour les életrons, dont les mouvements peuvent epliquer le rayonnement de l atome La longueur d onde du rayonnement inident (de l ordre du diième de m dans l UV, de 0,5 m dans le visible) est très supérieure à la taille aratéristique d un atome (de l ordre de 00 pm 0 4 m), de sorte que le hamp de l onde inidente apparaît quasiment uniforme à l éhelle d un atome Nous le désignerons, sans référene à la position partiulière de l atome onsidéré, par : 3 Életron élastiquement lié E E 0 ost Le hamp életrique de l onde est en prinipe très inférieur au hamp interne d un atome (le hamp életrique réé par un proton à une distane égale à 00 pm est de l ordre de 0 Vm ) Nous pourrons don tenter de rendre ompte de quelques résultats à l aide d un modèle linéaire (perturbation développée au premier ordre) lumière inidente atome lumière diffusée Do Diffusion de rayonnement par un atome Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 67

171 Ondes En absene de hamp perturbateur (elui de l onde életromagnétique), l életron dérit une trajetoire ontenue dans un volume V Le nuage de points représentant les positions suessives de l életron a son baryentre P au entre de e nuage, en oïnidene ave la position du noyau, supposé fie ar beauoup plus lourd Nous affeterons à e point P la harge q ( q e) et la masse m, masse de l életron (do ) Nous dirons que la position d équilibre de l életron est O Si l életron est éarté de sa «position d équilibre», le point P (baryentre des positions suessives de l életron) n est plus en oïnidene ave le point O Notons OP r (do 3) L életron n est alors soumis qu à la fore életrique qu eere le reste de l atome sur lui ; ette fore peut être modélisée par une F rappel fore de rappel élastique l életron à l équilibre Posons :, vers la «position d équilibre» qu oupe nuage életronique noyau O P Do À l équilibre, le baryentre des positions suessives de l életron est onfondu ave le entre du noyau nuage életronique noyau Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Le mouvement osillant de P, de part et d autre de O, finit toujours par s amortir : nous traduirons l amortissement du déplaement de l életron (en partiulier, lors de son déplaement, l életron rayonne une énergie életromagnétique prélevée sur son énergie méanique) par une fore de type frottement visqueu : F v m d ( OP) m d r m ṙ, Q dt Q d t Q où Q désigne le fateur de qualité de et osillateur amorti Le prinipe fondamental de la dynamique donne alors en n oubliant pas l ation du hamp életrique E de l onde : La réponse est, en régime sinusoïdal établi, en utilisant la notation omplee : q L epériene montre que l absorption d une onde életromagnétique par un atome est partiulièrement effiae lorsque la fréquene de l onde inidente est prohe de l une des fréquenes du spetre életromagnétique de l atome Le modèle que nous proposons ii, où haque életron est traité dans le adre de la méanique lassique et indépendamment des autres életrons du ortège atomique, permet de rendre ompte de ette observation si nous donnons à la pulsation 0 elle d une pulsation du spetre atomique et au fateur de qualité Q une valeur très élevée Remarque F rappel mṙ r m 0 OP m 0 r m 0 r m ṙ qe () t Q m j Q E e j t 0 Ce modèle phénoménologique reste très insuffisant Il ne rend pas ompte, par eemple, de l eistene de plusieurs pulsations de résonane, ni de leurs importanes relatives Une étude onvenable de l interation matière-rayonnement néessite l utilisation de la méanique quantique 0 F v P q + q Do 3 Hors équilibre, le baryentre P des positions suessives de l életron n est plus onfondu ave le entre O du noyau r O 68

172 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) 33 Influene de la fréquene de l onde eitatrie 33 Interation résonante La diffusion est partiulièrement importante si l amplitude du mouvement des életrons est grande, don lorsque la fréquene du rayonnement inident est prohe de l une des fréquenes propres de l atome (pour une pulsation voisine de 0 ) Le proessus porte alors le nom de diffusion résonante Ce fait peut être mis en évidene à l aide de l epériene de résonane illustrée par le doument 4 En hauffant les parois d une ampoule à vide ontenant un peu de sodium ave un be Bunsen, nous provoquons la vaporisation du sodium à l état atomique Élairons ette ampoule à l aide de la lumière issue d une lampe à vapeur de merure, dont le spetre ontient entre autres, un doublet jaune (l 577 nm et 579 nm) Nous observons une très légère émission jaune de la vapeur ontenue dans l ampoule Élairons maintenant ette vapeur atomique par le faiseau issu d une lampe à vapeur de sodium Nous observons ette fois une très forte émission jaune de la part du sodium ontenu dans l ampoule Le spetre de l élairage inident ontient alors des radiations (l 589, 0 nm et 589,6 nm) parfaitement adaptées (et pour ause!) à l eitation des atomes ontenus dans l ampoule, et nous observons les onséquenes de la diffusion résonante du rayonnement inident, dont l intensité est sans ommune mesure ave la diffusion obtenue dans la première partie de l epériene 33 Diffusion Rayleigh atmosphérique De nombreu atomes ou moléules de l atmosphère ont un spetre életromagnétique essentiellement situé dans l ultraviolet La lumière du spetre visible orrespond don à des pulsations très inférieures à la pulsation aratéristique 0 (située dans l ultraviole Dans es onditions, l aélération d un életron eité par l onde inidente prend don la forme simplifiée q m ave 0 r E ; et ainsi : j e j t q E 0 e j t m 0 Q 0 a ṙ 0 r q E m 0 e j t Comme le moment dipolaire est p qr() t (f Appliation 3), que la puissane est proportionnelle à ṗ, la puissane rayonnée par le dipôle est proportionnelle au arré de l aélération et elle varie don en 4, soit omme ---- Cette diffusion est appelée «diffusion Rayleigh» : son intensité varie omme ----, où l est la longueur d onde du rayonnement inident Dans le spetre de l 4 la lumière visible, l atmosphère diffuse nettement plus les radiations bleues que les radiations rouges Cette diffusion peut s appliquer à la diffusion de la lumière provenant du Soleil par les moléules onstituant l atmosphère Observons le Soleil (do 5a) dont le rayonnement présente un maimum dans le jaune-vert Nous perevons une lumière qui est appauvrie dans la partie 0 l 4 a) Hg b) Na vapeur de sodium Do 4 Élairage ave une soure spetrale a Cas du merure : diffusion très peu intense b Cas du sodium : diffusion résonante Cette epériene peut être aussi réalisée à l aide de deu lampes au sodium L et L par eemple Nous faisons hauffer les deu lampes ; une fois qu elles sont bien haudes, nous éteignons L que nous élairons ave L : nous visualisons le phénomène de diffusion résonante (le gaz de la lampe L devient opalesen, qui n eiste pas ave d autres lampes spetrales Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 69

173 Ondes bleu-violet du spetre visible du fait de la diffusion par les moléules atmosphériques Plus l épaisseur d atmosphère traversée est importante, plus e phénomène devient important : le Soleil a un aspet nettement plus rouge au ouhant qu au zénith (do 5a) a) Soleil au zénith Regardons le iel dans une diretion différente de elle du Soleil (do 5b) Nous perevons ette fois le rayonnement de diffusion atmosphérique de la lumière solaire : le iel est bleu Pour s entraîner : e et diffusion atmosphérique Soleil ouhant 34 Polarisation du rayonnement par diffusion 34 Diffusion d une onde polarisée retilignement Considérons un rayonnement inident, dirigé selon ( Oy), dont le hamp E est polarisé retilignement dans la diretion ( Oz) (do 6) Le moment dipolaire osillant induit est parallèle à la diretion de polarisation Le rayonnement de diffusion est polarisé retilignement Son intensité est importante dans les diretions voisines du plan ( Oy) (f ) Dans e plan, le dipôle émet de manière isotrope des ondes polarisées retilignement selon la diretion ( Oz) (do 6a) Son intensité est négligeable dans les diretions voisines de ( Oz) (do 6b) b) Soleil diffusion atmosphérique Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit a) onde inidente 34 Diffusion d une onde non polarisée La lumière naturelle n est pas polarisée Par suite, une onde lumineuse se propageant suivant ( Oz) induit des dipôles qui, omme le hamp inident, osillent de façon aléatoire dans toutes les diretions du plan ( Oy), et la distribution du rayonnement diffusé est alors de révolution autour de l ae ( Oz) Le rayonnement diffusé parallèlement à z dipôle rayonnant y E diffusé b) dipôle rayonnant E inident onde inidente Do 6 Diffusion d une OPPM polarisée retilignement : a Dans le plan ( Oy) : 0 b Dans un plan parallèle à ( yoz) : a quelonque ( Oz) n est pas polarisé, alors que le rayonnement diffusé perpendiulairement à ( Oz) est polarisé retilignement Dans des diretions intermédiaires ( différent de 0, --- et ; f do 6), le rayonnement diffusé est partiellement polarisé Ainsi la lumière diffusée par l atmosphère est partiellement polarisée : l observation de ette polarisation partielle est possible à travers des lunettes solaires à verres polarisants * La lumière solaire n étant pas polarisée, le degré de polarisation de la lumière diffusée est important lorsque les diretions de la lumière inidente et de la lumière diffusée sont quasiment perpendiulaires Sur le doument 7, la zone B du iel renvoie don à l observateur une lumière dont le degré de polarisation est plus important que elui des zones A et C z O α E // ( Oz) E diffusé y Do 5 Observation du Soleil et du iel a Rougissement du Soleil ouhant b Le iel est bleu *Les verres polarisants de es lunettes sont des polariseurs retilignes qui, lorsqu ils sont traversés par un faiseau lumineu, isolent un état de polarisation retiligne en éliminant l état orthogonal Ils utilisent le dihroïsme de ertains matériau, est-à-dire leur absorption séletive d un état de polarisation Ces polariseurs sont atuellement réalisés artifiiellement en étirant des films de polymères sur lesquels sont attahées des moléules de pigments Le substrat obtenu possède une ondutivité életrique parallèlement à la diretion dans laquelle les polymères ont été étirés, et absorbe effiaement l état de polarisation retiligne de hamp életrique parallèle à ette diretion ; il laisse passer l état de polarisation orthogonal (f H-prépa, Optique ondulatoire, de année) De nombreuses lunettes de plage sont onstituées de verres polarisants Les photographes utilisent parfois les propriétés de filtres polarisants 70

174 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) zone C zone B a) zone A lunettes solaires à verres polarisants a Le skieur voit nettement mieu l influene de la polarisation de la lumière diffusée par l atmosphère dans la «zone B» ( est-à-dire dans une diretion perpendiulaire à elle du Soleil) que dans les zones A et C Dans la «zone B», le polariseur étant vertial : le iel est lair Dans la «zone B», le polariseur étant horizontal : le iel est assombri Do 7 Observation du iel à travers des lunettes solaires à verres polarisants : en tournant ses lunettes d un quart de tour, le skieur «voit le iel s assombrir» Do 7b Deu photographies panoramiques du massif de la Meije (Alpes françaises) sur un angle d environ 90 ave le Soleil à droite, ave un filtre polarisant orienté dans les deu diretions à effets etrêmes Remarquons toutefois qu à ette lumière diffusée, obéissant au lois de la diffusion Rayleigh, se superpose une diffusion ne modifiant pas la fréquene et non polarisée due au partiules ou poussières eistant dans l atmosphère L observation de la polarisation de la lumière diffusée sera don beauoup plus nette en haute montagne (as du doument 7b) qu en ville où la pollution est malheureusement importante Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

175 Ondes Appliation 5 Degré de polarisation du rayonnement diffusé par un atome élairé par une onde non polarisée L onde inidente se propageant suivant l ae (Oz) est non polarisée : elle peut être dérite par deu ondes polarisées retilignement suivant (O) et (Oy) respetivement, de même amplitude E 0 et indépendantes l une de l autre ( est-à-dire inohérentes) Eprimer, en un point M du plan (Oz), éloigné de l atome situé au point O, repéré par r OM et l angle (do 8), les omposantes E // et E, respetivement parallèle et perpendiulaire à (Oz), du hamp életrique rayonné par l életron élastiquement lié (harge q), en fontion des omposantes de son aélération E Évaluer le rapport // et préiser les valeurs de E l angle orrespondant à un hamp de diffusion polarisé retilignement Notons t () et yt () les oordonnées de l életron dont le mouvement est induit par l onde inidente (le hamp életrique est dans le plan ( Oy)) Utilisant l epression du hamp rayonné obtenue au, nous avons (do 8) : E( M, ṗ r t - OM OM r 3 E // ( M, + E ( M, ave : E // ( Mt,) et E ( M, 0 q 4r ẏ t r - ey onde inidente Do 8 Champ rayonné Les évolutions de t () et yt (), induites par elles des omposantes du hamp inident, étant aléatoires et de même amplitude, nous aurons : Le hamp diffusé est polarisé retilignement pour perpendiulaires à 0 q ẋ r t - os ( ose + sine 4r z ) 0 q r ẋ t - ose 4r O don pour des diretions d observation M E E e E α // e r α E y ± ---, E // os E ( Oz ) onde diffusée z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 343 Quelques epérienes simples Première mise en évidene epérimentale En plaçant un réipient rempli d eau à laquelle nous avons mélangé un peu de lait, il est possible de mettre en évidene la polarisation par diffusion (do 9) Seonde mise en évidene epérimentale : epériene du ouher de Soleil Plaçons un réipient rempli d une solution de thiosulfate sur le trajet d un faiseau lumineu, parallèle, de lumière blanhe En ajoutant un peu d aide hlorhydrique à ette solution, il y a formation de soufre olloïdal (ave une inétique de réation relativement lente) qui diffuse la lumière en suivant les lois de la diffusion Rayleigh Il est alors possible de mettre en évidene la polarisation par diffusion, ainsi qu une ouleur bleutée, alors que la lumière transmise devient rouge (do 0) 7

176 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) polariseur faiseau parallèle quelques gouttes de lait dans de lʼeau soure lumineuse (rétroprojeteur) Do 9 Epériene mettant en évidene la polarisation de la lumière diffusée la solution devient bleue soure de lumière blanhe lumière transmise vire au rouge polariseur ette lumière diffusée est polarisée Do 0 Epériene du ouher de Soleil Quelques gouttes d aide hlorhydrique sont versées dans une uve ontenant une solution de thiosulfate Pour s entraîner : e MODÈLE ET APPROXIMATIONS Le potentiel veteur en M à la date t, assoié à un dipôle variable p() t, d etension spatiale de l ordre de d, au voisinage d un point O, évoluant à une éhelle de temps aratéristique T, peut être érit : ṗ r t - A( M, p r t - ṗ r t et V( M, e 4 r 4 0 r r r si les deu onditions suivantes sont vérifiées : d r: approimation dipolaire ; d l: approimation non relativiste CHAMP RAYONNÉ CQFR La zone dite de rayonnement (ou zone lointaine) est définie par r l Le hamp életromagnétique engendré par le dipôle (do i-ontre) dans les onditions : r l d : déroît omme -- ; r est proportionnel à ṗ r t -, don à l aélération de la partiule rayonnante ; présente loalement une struture d onde életromagnétique plane progressive dans le vide se propageant radialement à partir du dipôle p z ϕ θ r B E e r Struture du hamp életromagnétique rayonné par un dipôle osillant Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 73

177 Ondes Le trièdre ( E, B, e r ) est triretangle et diret, ave : PUISSANCE RAYONNÉE E( r, B( r, e r Le rayonnement du dipôle n est pas isotrope : CQFR e ou B( r, r E( r, la puissane est préférentiellement rayonnée dans les diretions perpendiulaires au veteur il n y a pas d énergie rayonnée dans la diretion de e veteur d p ; d t Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Quelle est la soure du rayonnement étudié dans e hapitre? Quelles sont les approimations utilisées pour trouver le hamp életromagnétique rayonné? Quelle est la struture loale de l onde életromagnétique rayonnée? Comment est réparti spatialement le rayonnement émis par le dipôle életrique? Comment peut-on aluler la puissane rayonnée par un dipôle osillant? Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Ce hapitre étudie le rayonnement dipolaire magnétique Vrai Fau L onde életromagnétique rayonnée est plane Vrai Fau 3 La relation en un point entre E et B est : e a E B e r b B r E Du ta au ta (Vrai ou fau) 4 La puissane rayonnée est isotrope Vrai Fau 5 Le bleu est environ seize fois plus diffusé que le rouge Vrai Fau Solution, page 77 74

178 Eeries 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) Diffusion Rayleigh (PC) Une onde életromagnétique monohromatique, de pulsation, de hamp életrique d amplitude réelle E 0, est diffusée par les életrons élastiquement liés des atomes ou moléules d un gaz, dans le domaine où la pulsation de l onde est très inférieure à la pulsation propre de es életrons élastiquement liés (f 333 : 0 ) ) En utilisant la formule de Larmor 0 e a , 6 déterminer la puissane moyenne totale rayonnée par un atome ) L onde inidente interagit ave les atomes ontenus dans un ylindre de setion S, perpendiulaire à la diretion de propagation ( O) de l onde inidente La densité partiulaire des atomes est notée n Le flu énergétique surfaique moyen de l onde inidente est noté Établir la loi d évolution ( ) 3) Dans les onditions usuelles de température et de pression, la fréquene propre d un gaz est de l ordre de 0 5 Hz Évaluer la longueur L aratérisant l atténuation du faiseau dans e gaz pour une pulsation orrespondant à un rayonnement visible Cet ordre de grandeur et le omportement de L vis-à-vis de la pulsation permettent-ils d avaner une epliation simple d un phénomène naturel observé haque soir par iel lair? Données : onstante d Avogadro harge de l életron e,6 0 9 C; masse de l életron N A 6,0 0 3 mol ; m 9, 0 3 kg ; m H m ; m s onde inidente S Setion effiae de diffusion de rayonnement életromagnétique (PC) ) Préliminaire : quelle est la dimension de la grandeur : e r e ? 4 0 m Un atome est soumis au hamp d une onde plane progressive monohromatique életromagnétique dont le hamp életrique est, en notation omplee, E E 0 e Pour rendre ompte de la réponse de l atome, on adopte le modèle de l életron élastiquement lié, assimilé à un osillateur spatial de pulsation propre 0 et de fateur de qualité Q Pour eprimer les résultats, il sera judiieu de faire apparaître la grandeur r e préédemment introduite, appelée rayon lassique de l életron ) Setion effiae de diffusion a) Établir l epression de la puissane moyenne rayonnée par l atome eité par l onde plane progressive monohromatique inidente en utilisant la formule de Larmor (f eerie ) b) En déduire l epression de la setion effiae de diffusion de rayonnement, définie omme le rapport entre le nombre moyen de photons diffusés par l atome «ible» et le flu de photons «projetiles» inidents par unité de surfae, ou enore le rapport entre la puissane moyenne diffusée et le flu surfaique moyen d énergie inident ) Traer l allure du graphe de ette setion de diffusion f( ), sahant que le fateur de qualité est très élevé 3) Quel phénomène évoqué dans le ours retrouve-t-on au voisinage de la pulsation 0? 4) Diffusion Rayleigh Quel est le omportement asymptotique de la setion effiae de diffusion à basse fréquene? À quel autre phénomène évoqué dans le ours peut s appliquer e résultat? 5) Diffusion Thomson Quel est le omportement asymptotique de la setion effiae de diffusion en haute fréquene? Cette diffusion est appelée diffusion Thomson Donnée : la puissane rayonnée par une harge non relativiste d aélération a est donnée par la formule de Larmor : q a j ( t kz ) Durée de vie d un état eité d un atome On adopte ii un modèle planétaire de l atome pour lequel l életron d un atome d hydrogène est assimilé à une partiule de masse m et de harge e qui gravite sur une trajetoire irulaire de rayon R autour d un proton, onsidéré omme infiniment massif, fie à l origine O ) Eprimer en fontion de R, m et e, la vitesse v, l aération a de l életron, la période T et l énergie Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 75

179 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit méanique du système Les évaluer pour R 53 pm, et disuter le aratère relativiste ou non de l életron Données : m 9, 0 3 kg, e,6 0 9 C et F m 4 0 À une distane r très grande devant l etension spatiale R de son mouvement, une partiule non relativiste, de harge q et d aélération a, émet un hamp életromagnétique de rayonnement, dont le hamp magnétique est (f Appliation 4) : qa r t - e B( r, r r ) Disuter la polarisation de l onde émise dans le plan de l orbite de l életron ou sur son ae de révolution 3) Établir la formule de Larmor donnant la puissane rayonnée par l életron dérivant sa trajetoire irulaire 4) Quelle est la onséquene de ette émission de rayonnement sur le mouvement de l életron? Disuter la rapidité de ette évolution en évaluant le rapport entre l énergie rayonnée pendant une révolution et l énergie méanique obtenue à la question ) 5) En utilisant les onlusions préédentes, proposer une loi d évolution du rayon R de la trajetoire életronique en fontion du temps En déduire une évaluation de la durée de vie du niveau eité p de l atome d hydrogène, sahant que l atome retombe, par émission de rayonnement, dans l état s On rappelle que les niveau d énergie de l atome d hydrogène sont donnés 3,6 par la loi de quantifiation n ev, où n désigne le nombre quantique prinipal Comparer la valeur obtenue à la valeur epérimentale de e temps de vie qui est,6 ns * Rayonnement d une antenne demi-onde L epression du hamp de rayonnement ( r l) d un dipôle plaé à l origine du système de oordonnées obtenue dans le ours (f ) est : E( r, B( r, e r ṗ r t - e ave B( r, r r Une antenne est onstituée d un fil d épaisseur négligeable, de entre O et de longueur L, oïnidant ave l ae n ( Oz), auquel un système életronique impose un ourant osillant : z izt (, ) I 0 os os (, L soit en notation omplee : z z izt (, ) I 0 os e L jt + L M θp On observe le rayonnement P de ette antenne en un point θ r M, repéré par ses oordonnées sphériques ( r, ) ) Epliquer l epression O du ourant izt (, ) dans i(z, L l antenne Indiquer la relation liant la longueur L de l antenne et la longueur d onde l assoiée au ourant izt (, ) ) Dans la zone de rayonnement ( r l), peut-on supposer aussi que la longueur d onde est très grande devant les dimensions de la soure, omme dans le as du rayonnement dipolaire? Déterminer le hamp de réé en M par un élément de longueur dz situé en un point P d absisse z de l antenne, puis son amplitude omplee de 3) Caluler le hamp életrique E rayonné au point M 4) Montrer que le veteur de Poynting moyen peut se mettre sous la forme Kf ( ) ---- r, où f ( ) (fontion dont r 3 la valeur maimale est ) est appelée indiatrie de rayonnement de l émetteur 5) Donner l allure du diagramme de rayonnement de l antenne 6) Caluler la puissane moyenne totale rayonnée, ainsi que la résistane de rayonnement R de l antenne, RI 0 définie par Caluler I pour une antenne 0 qui rayonne une puissane moyenne de kw Rayonnement d un dipôle magnétique osillant (MP) Dans la jauge de Lorentz, les potentiels salaire V et veteur A réés à grande distane par un dipôle magnétique de moment dipolaire M() t variable (plaé à l origine du système de oordonnées) sont : A( r, M r t - Ṁ r t e et 4 r r V 0 r 76

180 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) On onsidère un dipôle magnétique osillant dont le moment dipolaire est, en notation omplee : M M 0 e jt e z (on supposera M 0 réel) ) Eprimer le hamp életromagnétique réé par e dipôle dans la zone de rayonnement ( r l) Commenter la struture obtenue et la omparer à elle du hamp rayonné par un dipôle életrique osillant de la forme p p 0 e jt e z ) Quelle est la puissane moyenne rayonnée par le dipôle magnétique osillant? 3) Utilisant le modèle planétaire d un atome d hydrogène où l életron dérit une trajetoire irulaire de rayon a 53 pm à la vitesse v (état s, f eerie 3, 37 question )), évaluer les ordres de grandeurs de moments dipolaires életrique ou magnétique d un atome Comparer alors les importanes respetives des rayonnements de es deu types de dipôles, à fréquene d osillation identique Donnée : en oordonnées sphériques (r, q, j), le rotationnel d un hamp de veteurs A est : rot A ( sina ) A r sin A r rsin sin ( ra) r -- ( ra ) A r r r Corrigés Solution du ta au ta, page 74 Fau ; Fau ; 3 Vrai : a, b ; 4 Fau ; 5 Vrai (O) Dans une tranhe d épaisseur d, les nsd atomes diffusent en effet la puissane moyenne : d diffusée 0 e E ns d 6m 4 0 ) En régime sinusoïdal établi et en notation omplee, l aélération de l életron élastiquement lié est : E e 0 a e pour m j t e e j m j t E Q 0 0 La formule de Larmor donne alors la puissane moyenne diffusée par un atome (à un életron), soit en notation réelle : diffusée 0 e a 6 ave E - E 0 0 e E 6m 4 0 ) À l absisse, la puissane inidente moyenne est : inidente E S Sf 0 en supposant que l onde inidente a loalement la struture d une onde plane progressive monohromatique En fait, l amplitude de l onde inidente va déroître, ar ette puissane est partiellement absorbée par les atomes qui rayonnent à leur tour de l énergie, dans des diretions autres que elle de l ae E 0 <d diffusée> < inidente ()> < inidente ( + d)> ʼ + d L égalité inidente () inidente ( + d) + d diffusée traduit le bilan énergétique pour la tranhe élémentaire d épaisseur d f 6 m On en déduit df -- d ave L , puis : L n 0 e 4 f ( ) f 0 e -- L 3) Pour un gaz, dans les onditions usuelles de température et de pression, il y a une mole de partiules dans environ,4 L, don : 4 6,0 0 n ,7 0 5 m 3,4 0 3 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 77

181 Corrigés Pour une longueur d onde l 0,5 m, soit 3,8 0 5 s, la longueur aratéristique L est de l ordre de L 66 km (on obtiendrait moins en attribuant à haque atome ou moléule un nombre plus élevé d életrons diffusant le rayonnement életromagnétique) La longueur aratéristique L est proportionnelle à Sur une grande distane, telle que l épaisseur de l atmosphère traversée par les rayons issus du Soleil ouhant (de l ordre de quelques dizaines de kilomètres), l atténuation des hautes fréquenes est sensible, e qui eplique la ouleur rouge orangée du «Soleil ouhant» ) La quantité m est homogène à une énergie Si d désigne une e longueur, la quantité est l énergie d interation életrostatique de 4 0 d deu életrons séparés par la distane d La grandeur r e est don une longueur ) a) L aélération de l életron élastiquement lié est, en notation omplee (f 3) : σ ( ω) a e --- m E e j t j Q 0 0 diffusion résonante b) Le flu surfaique moyen d énergie de l onde inidente est : P i - 0 E 0 La setion effiae de diffusion est alors : 8 ( ) r P i 3 e ( 0 ) Q ) La fontion obtenue est de type «filtre passe-haut à forte résonane» Son graphe a l allure représentée sur le shéma (pour limiter la résonane, le shéma a été traé pour Q, e qui n est pas du tout réaliste, ette valeur devant être beauoup plus élevée) 3) Les fateurs de qualité aratérisant les modes d osillations des életrons atomiques sont très élevés, de sorte que la setion effiae possède une résonane aiguë au voisinage de la pulsation propre 0 Le graphe fait apparaître e omportement partiulier orrespondant à la diffusion résonante évoquée dans le ours (f 33) 4) À basse fréquene ( 0 ), la setion effiae est elle de la 8 diffusion Rayleigh : Rayleigh () - r qui permit d avaner une 3 e , 4 0 epliation de la ouleur bleue du iel 5) À haute fréquene ( 0 ), la setion effiae est elle de la 8 diffusion Thomson : Thomson () - r 3 e te Ce résultat, obtenu pour des rayonnements de haute énergie (domaine des rayons X durs), ne fait pas intervenir le ouplage de l életron à l atome (en effet, pour 0 fore de rappel et fore de frottement visqueu sont négligeables dans le modèle de l életron élastiquement lié) : il orrespond ainsi à une approimation d életron libre Hahette Livre H Prépa / Méanique du solide et des systèmes, e année, MP-PC-P La photoopie non autorisée est un délit 78 8πr e 3 La puissane moyenne du rayonnement de diffusion est, en utilisant la formule de Larmor : puisque diffusion Rayleigh a e e e E a m a Q 0 a a diffusion Thomson ω ω 0 ) Sur la trajetoire irulaire : m v e , et on en R 4 0 R déduit : e v ; a mr R R T mr3 ; v e - m v e e R 8 0 R AN : v la partiule n est pas relativiste ; 37 a 90 ms ; T,5 0 6 s; 3,6 ev ) On sait que le hamp életromagnétique de rayonnement possède une struture loale d onde plane, et on a : B (r, 0 e p r e E ( r, B e 0 e r a t - e r r r Le mouvement irulaire uniforme de l életron dans le plan (Oy) de la trajetoire est la superposition de deu mouvements retilignes osillants, v r e r a t ; r e ; 4 0 mr

182 6 Rayonnement dipolaire életrique (PC-MP ) déphasés de ---, soit OP R ( oste on peut don + sinte y ); affirmer (en utilisant les résultats du 34) que : dans le plan de l orbite (Oy), la polarisation du rayonnement émis est retiligne (on a représenté le hamp B sur le shéma a) ; sur l ae de révolution du erle trajetoire, elle est irulaire (shéma b) a) O y R ( t ) 3 R (0) 3 4t e m On peut aussi érire ( 3 (0) 3 3t Le temps de m 3 e m vie du niveau p est 3 e ( AN : 3 4 ) 0 9 s 0 Malgré la naïveté du modèle lassique utilisé ii, on obtient un bon ordre de grandeur de Une étude orrete devrait faire appel à la méanique quantique Toutefois, si on trouve ii un ordre de grandeur onvenable, est aussi pare qu on a utilisé les onstantes physiques (e, m,, et la onstante de Plank h impliitement ontenue dans l epression de ) n b) O polarisation du hamp B du rayonnement émis polarisation du rayonnement émis y z ) Le ourant i(z, I 0 os os( représente une L onde de ourant stationnaire sinusoïdale vérifiant les onditions au limites (i 0 au etrémités) : e ourant peut don parfaitement s établir dans l antenne (f hapitre 3) La longueur L et la longueur l d onde l sont reliées par L -- ) Dans es onditions, on ne peut pas évidemment supposerl L et on doit PM traiter le retard ave soin dans le alul du hamp rayonné par l antenne L élément dz situé au voisinage de P est équivalent à un dipôle dp tel que d i d ṗ --- d z On peut don érire : d t d E 0 I sin P os z PM L PM sin t dzep On peut simplifier ette epression, ar r L, don P et e P e 3) Le veteur de Poynting de l onde rayonnée est : P E B e e a 0 r sin e r r, 0 E où désigne l angle entre le veteur aélération et la diretion d observation Le flu du veteur de Poynting à travers la sphère de rayon r et entre O donne la puissane rayonnée par la partiule : P r e dω e r a, e qui orrespond à la formule de Larmor (dans notre modèle, la norme a de l aélération de l életron est onstante) 4) L életron perd don de l énergie par rayonnement, son énergie méanique diminue, et le rayon R de la trajetoire életronique doit déroître Pendant une période de révolution T, l énergie rayonnée est T Le rapport entre ette perte d énergie et l énergie méanique du système vaut : T m R Ave les valeurs numériques préédentes, on onstate que e rapport est de l ordre de 0 6, très faible : l approimation d une trajetoire quasi irulaire dont le rayon R déroît lentement est aeptable d d R 4 5) , don , et en intégrant : dt d t 3 m R e e (Les différents hamps de ohérents vont interférer à l infini ; f H-Prépa, Optique ondulatoire, de année) PM r z os, don r - z os et sin P PM On a don d E d Ee, ave : 3) L amplitude omplee du hamp életrique est E de La détermination de l intégrale : L L -- L -- onduit à : sin P r de os z j z e L L j 0 I os dz sin P os z L e j t r - r L -- L e j z os z os dz -- - e j -----(os z + ) e jz (os ) + d z L -- e jz os dz L E j 0 I os os e j t r - e r sin L -- L z -- os --- os , sin 79 Hahette Livre H Prépa / Méanique du solide et des systèmes, e année, MP-PC-P La photoopie non autorisée est un délit

183 Corrigés Hahette Livre H Prépa / Méanique du solide et des systèmes, e année, MP-PC-P La photoopie non autorisée est un délit 4) Sahant que haque point P de l antenne rayonne un hamp db donné e par db r de (struture loale d onde plane progressive monohro- matique), on en déduit le hamp magnétique total B veteur de Poynting moyen : os P 0 I os e --- r 8 sin r Il est bien de la forme demandée ave : os --- os f ( ) et K 0 I sin 8 e r E , puis le 5) La puissane moyenne rayonnée par unité d angle solide dans la diretion ( ), est : d P ds P r 0 I dω dω 8 Le diagramme de rayonnement de l antenne a l allure suivante La puissane rayonnée est maimale pour ---, perpendiulairement à l antenne 6) On alule la puissane moyenne totale rayonnée dans tout l espae Sahant que d Ω sin d d, il vient : 0 I os --- os sin d d sin L intégrale peut être alulée numériquement :, 0 I La résistane de rayonnement est don R AN : R 73 Ω et I 0 5, A (indépendante de la pulsation ) ) Utilisant le système de oordonnées sphériques, on a, dans la zone de rayonnement l r, soit - ; r --- os --- os sin, A ( r j M et 4 0 e j t r - sin, e r V 0 z z θ Calulant les hamps à l ordre le plus bas de puissane de -, on obtient : r et B E Ce hamp possède loalement une struture d onde plane életromagnétique A t M 0 sin e j t r - 4 r qui se propage radialement Les orientations des hamps életrique et magnétique sont interverties par rapport au as du dipôle életrique rayonnant ) La valeur moyenne du veteur de Poynting est : P e (E B ) M 0 sin e r r, et la puissane moyenne rayonnée dans toutes les diretions vaut : elle orrespondant au dipôle életrique osillant est P 4 p ) L ordre de grandeur du moment dipolaire életrique est p 0 e a Celui e du moment dipolaire magnétique est M 0 -- a puisque T e v a On peut alors omparer les ordres de grandeur relatifs au rayonnements dipolaires életrique et magnétique : M v p p 0 4 e rot A M 0 sin e j t r - e 4 r E B e r, ) z b) p ϕ θ vt a r B E e r M Le rayonnement dipolaire életrique est nettement plus important M z ϕ θ 0 4 M M 0 r B E e r 80

184 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe 7 Nous avons essentiellement étudié dans les hapitres préédents la propagation d ondes solutions de l équation d onde lassique ou équation de d Alembert De nombreu phénomènes de propagation sont dérits par des équations différentes, mettant en jeu les phénomènes de dispersion d atténuation et d absorption Dans le as des ondes életromagnétiques, nous nous sommes limités à l étude de la propagation dans le vide Comment aratériser la propagation d une onde életromagnétique dans un milieu matériel? Nous disuterons et aspet dans le as d un milieu onduteur (métal, plasma) où eistent des harges libres, ou de ondution et nous ompléterons ette approhe, au hapitre 9, par l étude de la propagation d ondes életromagnétiques dans les milieu diéletriques Vitesse de phase, dispersion Paquets d ondes, vitesse de groupe Propagation du hamp életromagnétique dans un plasma Absorption Équations de Mawell Étude des solutions de l équation de d Alembert Ondes planes progressives monohromatiques ou harmoniques Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 8

185 Ondes Dispersion, atténuation et absorption Diverses équations de propagation Équation de d Alembert Dans les hapitres préédents, nous avons montré que l équation de propagation des ondes planes : déformation le long d une orde, surpression aoustique, hamps életrique et magnétique dans le vide, est l équation de d Alembert : t où est la vitesse aratéristique de la propagation Autres équations de propagation Sans dissipation d énergie Nous étudierons au la propagation d une OEM dans un plasma (un gaz ionisé) sans dissipation d énergie ; l équation différentielle vérifiée par le hamp E de l onde életromagnétique sera ( ) : Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit équation différente de l équation de d Alembert Lors de l étude de la propagation d une onde transversale sur une orde ave raideur (f eerie ), l équation différentielle obtenue est (g étant une onstante du matériau et m sa masse linéique) : équation enore différente de l équation de d Alembert Ave dissipation d énergie Le frottement de la orde ave l air introduit une dissipation d énergie La visosité de l air provoque une atténuation des sons lors de leur propagation De façon analogue, la propagation d une onde életromagnétique dans un milieu onduteur est aompagnée d une dissipation d énergie par effet Joule Ces termes dissipatifs peuvent être simplement modélisés par un terme orretif dans l équation de d Alembert sous la forme : où est un temps aratéristique t t Cette équation n est pas invariante par retournement du temps ( t, ei traduit l irréversibilité des phénomènes dissipatifs Conséquenes e ΔE E E , m 0 t , t Les diverses équations préédentes présenteront toutes les mêmes résultats générau : une disperssion (f 33), elle-i eistant que la propagation s aompagne ou non de dissipation d énergie ; une atténuation (f 34), eistant même si la propagation se fait sans dissipation d énergie (feerie ommenté et eerie 6) ; une absorption (f 34) liée à une dissipation d énergie 8

186 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe Nous baserons, par la suite, notre étude sur l équation de propagation : t t , qui diffère évidemment de l équation de d Alembert 3 Solutions de l équation de propagation 3 Utilité d une analyse harmonique du problème Les équations de propagation que nous venons d obtenir sont linéaires Nous admettrons qu une onde physique peut être déomposée en une superposition d ondes planes progressives monohromatiques disrète ou ontinue (le 3 nous en donnera une idée un peu plus préise) Une telle onde est solution de l équation de propagation, équation différentielle linéaire à oeffiients onstants, si haune de ses omposantes monohromatiques est, elle aussi, solution de l équation de propagation L analyse harmonique du problème, est-à-dire la reherhe de solutions harmoniques, est don d un grand intérêt pour l étude de e problème linéaire Nous herherons des solutions «ondes monohromatiques» ou «ondes harmoniques», en utilisant la notation omplee afin de simplifier l étude des équations différentielles mises en jeu Nous pouvons étudier un phénomène régi par des équations linéaires en utilisant l analyse harmonique 3 Nombre d onde omplee Cherhons une solution sinusoïdale, d amplitude omplee proportionnelle à e j t, de l équation de propagation : t t Notant (, ( )e jt, il vient : d ( ), d j ( ) 0 dont les solutions sont de la forme : ( ) e jk + e jk, où nous avons introduit un oeffiient k, nombre d onde omplee, lié à la pulsation par la relation de dispersion : k j L utilisation de la notation omplee failite la reherhe des solutions d une équation (différentielle, linéaire, à oeffiients onstants) de propagation : elle permet d obtenir une relation liant k à, relation de dispersion Pour une pulsation donnée, l équation de dispersion admet des solutions k omplees que nous noterons : k ( ) k ( ) jk ( ) ave k k et k k Une onde d amplitude omplee (, 0 e est solution de l équation de propagation si le nombre d onde k (en général omplee) k k jk, est lié à la pulsation de l onde sinusoïdale par la relation de dispersion obtenue à partir de l équation de propagation j(t k) Des équations de propagation non linéaires peuvent admettre des solutions qui se propagent sans se déformer, du type (, f t -- par eemple La vitesse de propagation de es ondes dépend alors de leur amplitude (nous avons étudié une solution de e type dans l eerie 7 du hapitre 3) De telles ondes sont appelées ondes solitaires : une ombinaison linéaire de es solutions n est pas a priori solution de l équation de propagation Plus généralement, la onnaissane de solutions d une équation de propagation non linéaire nous apporte assez peu d informations Par la suite, nous nous limiterons au as fréquents où une desription dans l approimation linéaire est aeptable Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 83

187 Ondes 33 Vitesse de phase Dispersion Étudions la solution partiulière (, 0 e j(t k ) où k e( k) est positive Nous avons (, 0 e k e j(t k ) 0 0 réel) : (, 0 e k os (t k ), soit en notation réelle (en supposant Le terme os( t k ) montre qu il y a propagation de l onde selon les roissants En posant t k, la phase de l onde, nous remarquons que le point de phase nulle vérifie la relation ---- t Ce point se déplae à une vitesse appe- k lée vitesse de propagation de la phase, ou vitesse de phase Elle dépend de la pulsation de l onde Le milieu de propagation sépare progressivement des ondes de pulsations différentes : est le phénomène de dispersion v ---- k Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La partie réelle du nombre d onde définit la vitesse de phase v k e(k) qui dépend généralement de Des ondes de pulsations différentes ne se propagent pas à la même vitesse : la propagation est dispersive 34 Atténuation Absorption Du fait du fateur e k, l amplitude de l onde varie au sein du milieu Contrairement au ondes progressives solutions de l équation de d Alembert, l onde se déforme en se propageant (do ) Remarque Nous garderons la notation «onde plane progressive monohromatique» pour désigner es ondes planes sinusoïdales qui ne sont plus véritablement «sinusoïdales», puisque leur forme évolue au ours de la propagation Pour l équation de propagation étudiée, la relation de dispersion impose la relation : k k -- m ( k ) Si la propagation a lieu dans le sens des roissants ( k 0), alors k est positif : l atténuation a lieu dans le sens de propagation de l onde L onde perd de l énergie au profit du milieu de propagation : il y a absorption Sa déroissane eponentielle est aratérisée par la longueur de pénétration : ---- k m ( k ) La partie imaginaire du nombre d onde implique une évolution eponentielle de l amplitude de l onde Pour une propagation ave atténuation (liée ou non à une absorption), la profondeur de pénétration ---- aratérise la déroissane eponentielle de l onde m ( k ) k 0,5 0 0,5 ψ Do Instantané de l amplitude d une onde se propageant en s atténuant (t fié) Dans le as d un milieu amplifiateur (intervenant dans la oneption de soures d ondes : les lasers par eemple), nous pourrons obtenir, au ontraire, k k 0 Le fateur e k n est pas toujours lié à une perte d énergie lors de la propagation : ainsi dans un pavillon aoustique eponentiel, les amplitudes de la vitesse et de la surpression diminuent, mais la surfae du pavillon augmente et la puissane moyenne transmise est uniforme (f eerie 6) 84

188 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe Appliation Équation des télégraphistes L équation des télégraphistes : est vérifiée pour la tension ou l intensité dans un âble oaial d indutane linéique, de apaité linéique et présentant une résistane de ligne linéique r et une ondutane de l isolant linéique g (f hapitre 3) ) Déterminer la relation de dispersion pour une onde de ourant de la forme i I 0 ep( j( t k) ) ) À quelle ondition y a-t-il propagation : a) sans atténuation, b) sans dispersion 3) Dans le as où il n y a pas dispersion, aluler la vitesse de phase et la partie imaginaire de k Que peut-on en déduire si l onde de ourant n est pas monohromatique? ) En remplaçant i par son epression dans l équation des télégraphistes, on obtient : qui est la rela- k + rg + j( r + g) tion de dispersion Nous remarquons que k est omplee et n est pas en général proportionnel à : le milieu est dispersif et absorbant ) En posant k k jk, nous obtenons par identifiation : Pour qu il n y ait pas atténuation, il faut que : don que : rg + ( r + g) t t k r 0 et g 0 La ligne doit être sans pertes rg ( ) k k ( r+ g) ( ) Pour qu il n y ait pas dispersion, il faut que proportionnel à k k 0, k soit En posant k ---- où v est la vitesse de phase nous obtenons : v v k ---- ( r + g ) d après (), et en reportant dans () : ---- rg ---- ( r + g ) 4 v Pour que v soit indépendant de, il est néessaire que : et rg ---- ( r + g ) 4 0 v Soit v et r g après simplifiations L absene de dispersion est obtenue si r g 3) La vitesse de phase est alors : et r g k est une onstante En notation réelle une onde de ourant sinusoïdale s érit alors : Une onde ourant quelonque peut être déomposée en fontions sinusoïdales En remarquant que pour une onde sinusoïdale : ave k onstante pour toute onde de ourant : e qui orrespond à une propagation atténuée à la vitesse v Le fateur e k est ii lié à une déperdition d énergie lors de la propagation de l onde v v it (, ) i 0 e k os t it (, ) i 0, t it (, ) i 0, t ---- v ---- v v e k e k Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 85

189 Ondes Propagation d une onde életromagnétique dans un plasma Modèle du plasma Un plasma est un gaz ionisé onstitué d ions positifs : atomes dont un ou plusieurs életrons sont manquants ; des életrons qui ont été arrahés des atomes L ensemble est globalement neutre : la densité volumique de harge est nulle Les plasmas peuvent être réés par une déharge életrique, dans les lampes à fluoresene par eemple, soit par des phénomènes photoéletriques, dans l ionosphère (ouhe de l atmosphère à environ 60 km d altitude) Nous prendrons un modèle de plasma onstitué de n ions (de masse M et de harge +e) et de n életrons de masse m et de harge e) par unité de volume Nous négligerons toutes les interations entre ions : ni attration ou répulsion életrostatique, ni hos Cette hypothèse est assez satisfaisante pour un gaz sous faible pression ou plasma peu dense Nous appellerons vitesse des ions leur vitesse mésosopique de façon à ne pas tenir ompte de la vitesse d agitation thermique Supposons qu un hamp életrique etérieur est appliqué au plasma La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un ion positif s érit M dv e E et pour un életron m d v d v M e E soit d V En ne dt d t d t m d t M tenant ompte que des termes dépendant du temps, v ---- V Le rapport m M des masses ---- est au moins égal au rapport de la masse du proton à elle de m M,7 0 l életron soit La vitesse des ions positifs est petite m 9, devant elle des életrons Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Les densités volumiques j dues au életrons, et J due au ions sont telles que j nev et J nev, soit J nev ---- m m m ---- j : omme ----, la M M M densité volumique de ourant dans le plasma est don égale à elle des életrons La masse des ions positifs étant très supérieure à elle des életrons : dans un plasma, seul le mouvement des életrons est à prendre en ompte ; la densité volumique de ourant est égale à elle des életrons ar la vitesse des ions positifs est négligeable Propagation d une onde plane progressive monohromatique dans un plasma Supposons qu une onde plane progressive monohromatique se propage dans le plasma étudié À ette onde sont assoiés des hamps életrique magnétique B vérifiant les équations de Mawell L équation du mouvement des életrons permet de déterminer la densité volumique de harge et de ourant Les équations de Mawell donnent alors un E et 86

190 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe système non linéaire ar j nev n est pas une fontion linéaire de E ar n et v dépendent a priori de E Il est néessaire d effetuer des approimations pour le résoudre Approimations Comparaison des effets des hamps életrique et magnétique Ces hamps agissent sur les életrons du plasma et les mettent en mouvement Si nous supposons qu il n eiste auun autre hamp que eu de l onde, l équation du mouvement d un életron s érit : m dv e ( E + v B ) dt E Raisonnablement, le rapport est du même ordre de grandeur que elui pour B E une onde plane progressive monohromatique dans le vide, est-à-dire , B nous vérifierons e résultat a posteriori Les életrons sont non relativistes don : v B B E La fore sur les életrons due au hamp magnétique d une onde plane progressive monohromatique est négligeable devant elle due au E hamp életrique ar les életrons sont non relativistes et que B Mouvement des életrons Soit un életron repéré par sa position OM e r e en mouvement au voisinage d un point M tel que OM r Si l amplitude du mouvement de l életron est petite devant la longueur d onde de l onde életromagnétique r e r l, le hamp életrique auquel est soumis l életron peut être onfondu ave elui en M Ce hamp est une fontion sinusoïdale du temps de pulsation, don en notation omplee, m dv e E devient j m v e E( r, L életron étant prohe de M, sa vitesse peut être onfondue ave elle d un dt életron en M, d où la relation hamp de vitesse pour les életrons vérifiant m v e E t Remarque (PC/PSI) jmv ( r, ee( r, L équation d Euler relative au mouvement d un életron s érit : Cei revient à assoier un Si l amplitude du mouvement des életrons est petite devant, l équation de la dynamique s érit m v e E t m v +( v grad)v ee Ave une vitesse de la forme v v t 0 e i ( t k ), Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 87

191 Ondes v est de l ordre de v alors que ( v grad)v est de l ordre de kv Ainsi t ( v grad)v v est don équivalent à k v t v La quantité --- l représente l élongation du mouvement des életrons, k La ondition r e m v e E t r l appliquée à l équation d Euler onduit diretement à Densité volumique de ourant La densité volumique de ourant est j nev ar la vitesse des ions positifs est négligeable Nous admettrons que la densité volumique d életrons et d ions reste onstante égale à n Dans e as la relation entre la densité volumique de ourant et le hamp életrique est linéaire et la densité volumique totale de harge est nulle Les équations de Mawell onduisent alors à des équations linéaires En supposant la densité volumique d életrons et d ions onstante et égale à n, la harge volumique globale est nulle et une équation linéaire j t n e E m Ave les approimations proposées les équations de Mawell s érivent : est dive 0 divb 0 ar 0 B rote t j ave B t rotb 0 j t n e E m En alulant rot( rote ) on obtient alors l équation différentielle de propagation de E : ne ΔE E E m 0 t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Équations de Mawell en notation omplee pour une onde plane progressive monohromatique Cherhons une solution partiulière en notation omplee sous la forme d une E E 0 e j( t k r ) onde plane progressive monohromatique : B B 0 e j( t k r ) 3 Struture de l onde plane progressive monohromatique La relation rote B onduit à : k E t B; est la relation de struture de l onde De même dive 0, onduit à k E 0, soit k E 0; et divb 0, à k B 0, soit k B 0 Les hamps életrique et magnétique d une onde plane progressive monohromatique dans un plasma peu dense sont transverses 88

192 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe L équation différentielle de propagation de E donne k p en ne posant p m 0 pente Dans un plasma peu dense, l équation de dispersion relative à une onde plane progressive monohromatique est l équation de Klein- Gordon : k p n e ave p n e m m s appelle la pulsation plasma p 4 Pulsation de oupure Nous remarquons que k est réel si Il y a alors propagation Si, k p est négatif, k est imaginaire pur soit k ± jk En notation réelle, le hamp életrique s érit E(, E 0 e ± k os( t + 0 ) pour une onde plane suivant l ae des Il n y a pas propagation ar les dépendanes spatiale et temporelle sont séparées L onde est dite évanesente Seules les ondes planes monohromatiques de pulsation propagent dans un plasma Dans le as ontraire, les ondes sont stationnaires et dites évanesentes (évolution eponentielle de l amplitude selon la diretion de l onde) 5 Struture de l onde plane progressive monohromatique dans le domaine de propagation Si nous plaçons dans le as nous remarquons que (do ) : k p relation non linéaire entre k et w La vitesse de phase est v n est pas onstante k p Le milieu est dispersif Cette vitesse est supérieure à Cei n est pas paradoal ar, omme nous le verrons dans le paragraphe suivant, ette vitesse ne orrespond pas à la vitesse de l information ou de l énergie k E En notation réelle B ar k est réel Le trièdre ( E, B, k) est k E E orthogonal diret et B --- E La struture de l onde est don sem- blable à elle de l onde plane progressive monohromatique dans le vide Nous remarquons que l approimation a posteriori se est vérifiée Dans un plasma peu dense, la struture d une onde plane progressive monohromatique de pulsation supérieur à est semblable à elle mais la vitesse de phase est différente de et dépend de : p v p v B B E dans le vide Le trièdre ( E, B, k) est orthogonal diret et B p p k ---E v p k p k p k p Do Nombre d onde et vitesse de phase en fontion de la pulsation pour un plasma de pulsation aratéristique p À haute fréquene k --- et, le omportement du plasma est v prohe de elui du vide à ause de l inertie des életrons Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 89

193 Ondes v --- k Le milieu est dispersif Il n y a auune dissipation d énergie dans e milieu La densité partiulaire des életrons dans l ionosphère est de l ordre de 0 0 m 3 à 0 m 3 Ce qui donne des fréquenes plasma : pour v 0 5 Hz v p l ionosphère joue le rôle de réfleteur : ei eplique la première liaison radio transatlantique réalisée par Maroni en 90 ; pour v 0 8 Hz v p l ionosphère est «transparente» Ces fréquenes sont utilisées pour ommuniquer ave les satellites Pour s entraîner : e, 3 et 4 p 3 Paquets d ondes (hors programme en PT) Sauf mention partiulière, nous négligerons dans e paragraphe, une atténuation éventuelle de l onde (liée ou non à un phénomène dissipatif) : le nombre d onde k sera don supposé réel Nous avons vu que ei peut orrespondre à des systèmes idéalisés ou à des domaines de fréquenes définissant des zones de transparene pour les systèmes réels t t 0 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Ondes physiques et outil «onde plane progressive monohromatique» Imaginons qu un epérimentateur impose une seousse à une orde vibrante (idéale omme au hapitre ) L onde, ii de type f t --, se propage le long de la orde à partir de l endroit où l eitation est imposée (do 3) Un observateur plaé près de la orde, en aval de l epérimentateur, voit e signal, d etension spatiale finie, passer devant lui pendant un intervalle de temps t lui aussi fini Un signal physique émis par une soure, et qui se propage, possède des etensions temporelle et spatiale finies Les ondes planes progressives monohromatiques sont des outils pratiques, utilisables pour analyser des phénomènes de propagation linéaires Il est ependant impossible de définir un instant, ou un endroit, où une onde de la forme (, 0 os ( t k) serait amorée ou finirait L énergie assoiée à ette onde serait de plus infinie! Une onde plane progressive monohromatique ne peut don pas représenter un signal physique L onde plane progressive monohromatique ou harmonique est un outil d analyse des phénomènes de propagation Elle ne saurait dérire à elle seule un phénomène physique observable Δ t t t t + Δt Do 3 Seousse imprimée à une orde : un eemple d émission et de propagation d un signal physique 90

194 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe 3 Transport de l information Le transport d information néessite un support : surpression pour les sons, hamp életrique ou magnétique qui se propage sous forme d onde sonore, életromagnétique De nombreuses méthodes permettent de transporter un grand nombre de données «simultanément» Une méthode effiae onsiste à moduler l amplitude ou la phase ou la fréquene d un signal initialement sinusoïdal de fréquene par le signal à transmettre f 0 Nous étudierons par la suite uniquement la modulation d amplitude qui est historiquement la première méthode de transport de l information Dans e as, le signal est omposé d une «porteuse» de fréquene f 0 dont l enveloppe (amplitude) varie ave un temps aratéristique grand devant ---- f 0 La formule du signal émis par la soure est alors du type : st () At () os( f 0 t+ 0 ) Ce signal n est pas sinusoïdal Plus la quantité d informations à transmettre est importante, plus le temps est petit et plus l etension temporelle de l enveloppe At () est petite (do 5) Une onde monohromatique ne transporte pas d information ar elle est d etension temporelle infinie L étude des ondes non monohromatiques est don néessaire pour omprendre le transport de données enveloppe porteuse 33 Obtention d une onde loalisée Rappelons que nous avons supposé ii que le nombre d onde 33 Superposition de deu ondes monohromatiques est réel Considérons une superposition de deu ondes monohromatiques de même amplitude, en phase en 0à t 0, de pulsations et (ave ) En notation réelle, nous l érirons : (, 0 os( t k ) + 0 os( t k ), où la relation de dispersion impose k k( ) et k k( ) Supposons les pulsations et voisines, et notons : m k m et ; m k + k k k ( et m ) k k L amplitude de l onde s érit alors : (, ( 0 os ( t k) ) os( m t k m ) m (, os( m t k m ) k( ) Un instantané de l onde (do 5) fait apparaître un phénomène de battement : l amplitude des osillations rapides de l onde, de pulsation spatiale k m, est lentement modulée à la pulsation spatiale k : le signal «rapide» os( m t k m ) se propage à la vitesse de phase v --- ; k l enveloppe du signal (fuseau de modulation) se propage à la vitesse d v g , appelée vitesse de groupe (f 34) k d k 33 Observation de superpositions d ondes sinusoïdales Une onde plane progressive monohromatique seule n est absolument pas loalisée faible Do 4 Enveloppe temporelle d etension importante, puis faible a) 0 b) ψ Do 5 Instantané d un paquet de deu ondes : traé de : f( ) (, t t 0 ) a Phénomène de battement b Agrandissement de la ourbe faisant apparaître vitesse de phase v et vitesse de groupe v g v g v ϕ t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

195 Ondes La somme de deu ondes sinusoïdales de fréquenes voisines est un signal osillant à la fréquene moyenne dont l amplitude évolue lentement : nous pouvons dire que l onde globale est essentiellement loalisée au voisinage des ventres des fuseau de modulation de son amplitude En superposant un nombre plus important d ondes planes progressives monohromatiques, nous pouvons essayer de réduire enore l etension de l enveloppe du signal Envisageons don un paquet de N + ondes planes sinusoïdales, de pulsations n voisines autour de la valeur moyenne m Notons n m + n ( N n N), en supposant que la largeur spetrale Δ N de e paquet vérifie Δ m Son amplitude est : N (, A 0 os( n t k n ) ; k n k( n ) n N Adoptons le point de vue d un observateur plaé en 0 qui regarde défiler devant lui e paquet d ondes (do 6) Dans tous les as, l observateur voit passer devant lui des «bouffées d onde» : il détete un signal osillant rapidement, dont l amplitude est lentement modulée Remarquons que la durée de es bouffées est d autant plus réduite que le nombre d ondes planes progressives monohromatiques superposées, et don la largeur spetrale Δ, sont importants paquets d ondes N N N Do 6 Observation du passage d un paquet de N + ondes en 0 : traé de : f() t ( 0t, ) N + ii : m 50 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 333 Paquets d ondes loalisés La superposition d un ensemble disret d ondes planes progressives monohromatiques de pulsations séparées de est une onde périodique, qui a la 4 même allure au instants t, t , t , et La modulation de son amplitude a une période temporelle : Δ Δ T Δ Une onde physique, loalisée dans le temps et l espae (la déformation imprimée par un epérimentateur à la orde vibrante par eemple), est non périodique Pour l obtenir, nous pouvons envisager la limite T tend vers +, soit tend vers 0 Pour maintenir l etension temporelle t du pi de modulation à une valeur finie, nous devons simultanément maintenir : Δ N 9

196 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe non nulle, don faire tendre le nombre d ondes superposées vers l infini Nous devons don superposer une infinité d ondes planes progressives monohromatiques de fréquenes infiniment prohes Un paquet d ondes loalisé dans le temps et l espae est une superposition d ondes planes progressives monohromatiques à répartition ontinue de fréquenes Il est d usage de noter l amplitude du paquet d ondes sous la forme omplee : (, ave A ( )ej ( t k ) d k k( ) 0 Nous pourrons aussi noter l amplitude réelle sous la forme (en supposant A a réel) : (, a( ) os( t k) d Sur le doument 7 sont représentées les amplitudes détetées par un observateur regardant le paquet passer en 0 dans deu as partiuliers a( ) a 0 spetre retangulaire Δ m 0 paquets d ondes à spetre ontinu a 0 Δ Δ 0 0,8 0,9,, m a b d m t spetre gaussien : a( w) a 0 e a 0 a 0 e 0,5 a( ) ( w w m ) Dw Δ m 0,8 0,9,, m Do 7 Paquets d ondes à spetre retangulaire ou gaussien 0 A a 0 Δ --- Ae 0, m Δ m t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 93

197 Ondes 34 Etension spatiale et temporelle d un paquet d ondes Prenons par eemple un paquet d ondes (do 7) à spetre retangulaire et adoptons le point de vue de l observateur plaé au point 0 qui regarde passer l onde Observons l évolution des phases des différentes omposantes sinusoïdales du signal au ours du temps () t tave Δ Δ À t 0 toutes ses phases sont identiques, les différentes omposantes se superposent de façon onstrutive À un instant t les phases prennent des valeurs omprises entre Δ min Δ t et e qui orrespond à une valeur ma t moyenne m 0 t et un éart Δ Δt Quand et éart est grand, les omposantes sinusoïdales ne se superposent plus de façon onstrutive mais «désordonnée», l amplitude du signal devient alors faible (do 8) Ce raisonnement qualitatif nous indique que dès que la différene de phase Δ devient de l ordre de grandeur de, l amplitude de l onde est négligeable La «bouffée» d onde observée en 0 au voisinage de t 0 a une eistene limitée dans le temps La durée aratéristique Δt orrespondante est telle que l éart des phases entre les ondes de plus haute et plus basse fréquene prend une valeur de l ordre de grandeur de, doit ΔtΔ ou ΔtΔv où Δv est l éart de fréquenes d a b Δ t min m ma Do 8 Corrélation entre les phases des ondes du paquet : (a) parfaite, (b) partielle, () faible, (d) nulle Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La durée Δt d un paquet d onde est d autant plus petite que la largeur Dv de son spetre en fréquene est grande : ΔtΔv Un raisonnement semblable peut être repris pour disuter de l etension Δ du paquet d ondes Une «photographie» à un instant t 0 donné du paquet d ondes présente une etension spatiale telle que ΔΔk Nous pouvons remarquer sur notre eemple que l enveloppe du signal est maimale au point où toutes les phases des ondes sinusoïdales qui le omposent sont identiques Ce résultat se généralise à n importe quel paquet d onde de pulsation moyenne m à etension temporelle limitée L enveloppe est maimale au point où la phase du signal dépend peu pour la pulsation ; ei se traduit par la relation d m ou la phase est etrémale d m en pour le point orrespondant au maimum de l enveloppe m 35 Propagation ave ou sans dispersion Pour une propagation régie par l équation de d Alembert, la relation de dispersion k --- donne une vitesse de phase v indépendante de Toutes les ondes planes progressives monohromatiques d un paquet se propagent à la même vitesse : la propagation n est pas dispersive Un paquet d ondes se propage, omme toutes les ondes planes progressives monohromatiques qui le onstituent, à la vitesse Deu instantanés du paquet d ondes à deu instants différents t et t sont don identiques, à une translation de v ( t t ) près (do 0a) Si les ondes planes progressives monohromatiques du paquet se propagent à des vitesses de phase qui diffèrent les unes des autres, la propagation est dispersive, et le paquet d ondes se déforme en se propageant Ce fait est illustré Do 9 Propagation non dispersive d un paquet d ondes 94

198 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe sur le doument 0, dans le as de la relation de dispersion de Klein-Gordon obtenue au 3 Pour une propagation dispersive, la vitesse de phase dépend de la pulsation de l onde et un paquet d ondes se déforme au ours de sa propagation La dispersion peut être nuisible Pour une transmission d informations sous forme binaire, ensemble de pis de durée t, le tau maimal de transfert d information est a priori d environ ---- bits par seonde En se propageant t dans un milieu dispersif, es impulsions se déforment (do ) L élargissement réduit le tau de transfert d information, ar il faut espaer nettement les pis suessifs pour que leur élargissement ne ause pas de reouvrement La dispersion peut être utile : dans le verre d un prisme, nous verrons au hapitre 9 que les ondes életromagnétiques du domaine visible ne se propagent pas à la même vitesse La dispersion de la lumière permet son analyse spetrale 35 Vitesse de groupe 35 Propagation de l enveloppe d un paquet d onde Pour s entraîner : e5 Considérons un paquet d ondes de pulsation moyenne d etension spetrale temporelle (ou spatiale) étroite Δ << m Modélisons son spetre par un profil retangulaire (f do 7) soit :, t Δ m Δ ( ) a 0 e m Comme Δ m, nous pouvons érire : dk k ( ) k( m ) d m ( ) ( t k ) d m m ou k( ) k m v g Do 0 Propagation dispersive d un paquet d ondes d ave k m k ( m ), m et v g dk L amplitude de l onde est alors approimativement (, a 0 e m t k m a sin Δ 0 t ---- v g soit après alul de l intégrale : (, e j ( m t k m ) t ---- L onde résultante orrespond à une onde moyenne de pulsation l amplitude est modulée par un fateur dont Comme F(, est une fontion de t ----, ette enveloppe se propage selon l ae des à la vitesse v g et présente un maimum pour v g t (do ) m Δ ( ) e j t v g Δ F(, v g d( ) v g v g m sin Δ t ---- v g t ---- tension 0 tension 0 Do Propagation d une impulsion életrique dans un âble oaial : le pi est élargi du fait de la dispersion (il est aussi atténué du fait de l absorption) t t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 95

199 Ondes Remarques Cette desription peut être généralisée à un spetre de profil quelonque si la largeur spetrale du paquet et la dispersion du milieu soient suffisamment faibles pour négliger les termes d ordre supérieur à un dans l epression de k( ) Dans le as ontraire, l enveloppe du paquet d onde se déforme au ours de sa propagation Nous avons remarqué dans le paragraphe préédent que le maimum d amplitude d un paquet d onde de pulsation moyenne m orrespond à une phase etrémale pour Cei se traduit ii par : dk 0 soit t d Nous retrouvons ainsi la loi d évolution du maimum de l enveloppe v g t Un paquet d ondes de faible largeur spetrale autour de déplae, dans un milieu où la dispersion n est pas trop importante, à d la vitesse de groupe v g dk 35 Transmission de l information Pour transmettre une information, nous pouvons disposer un émetteur (observateur seouant une orde, soure sonore ou lumineuse, ) et un réepteur détetant les ondes émises, séparés par une distane L (do 3) Si l émetteur envoie un signal à l instant t 0 que le réepteur détete à l instant t 0 + Δt, nous dirons que la vitesse de propagation de l information dans le milieu (supposé L homogène), siège du phénomène de propagation, est Δt La mesure, pour être signifiative, néessite l utilisation de signau de durée limitée (impulsions), don des paquets d ondes Le déteteur repère le passage de l onde en détetant l enveloppe du paquet d ondes qui se propage Nous aurons don Δ t d( t k) d L ---- v g m m m m m se t 0,5 0 0,5 t 0,5 0 0, v g v Do Vitesse de phase et vitesse de groupe : le maimum de l enveloppe ne se déplae pas à la même vitesse que le point de phase nulle Dans le as d un milieu peu dispersif, l enveloppe du paquet d ondes se déforme peu La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l information v g d d k Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Nous savons que l énergie assoiée à l onde est liée par une dépendane quadratique à son amplitude Or l énergie assoiée à l onde est loalisée dans le paquet d ondes : le paquet d énergie se propage à la vitesse de groupe Remarque Les mêmes préautions s appliquent plus à es affirmations qu à elles définissant la vitesse de propagation d un paquet d ondes Nous reviendrons sur ette diffiulté au hapitre 8 La vitesse de phase est la vitesse de propagation de la phase d une OPPM Une OPPM ne peut pas servir à véhiuler une information de type «émission d un signal» ou «réeption d un signal» : ette onde étant totalement déloalisée, on ne sait quand elle ommene ni quand elle s ahève Comme on vient de le voir, la vitesse de propagation de l information n est pas la vitesse de phase Obtenir une vitesse de phase supérieure à n est don pas en ontradition ave la méanique relativiste Pour s entraîner : e6 et 7 émetteur agrandissement v g L v g v ϕ réepteur Do 3 Mesure de la vitesse de propagation de l information 96

200 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe DISPERSION, ATTÉNUATION ET ABSORPTION Nous pouvons étudier un problème de propagation régi par des équations linéaires en utilisant l analyse harmonique L utilisation de la notation omplee failite la reherhe des solutions d une équation (différentielle, linéaire, à oeffiients onstants) de propagation Une onde d amplitude omplee CQFR (, 0 e j t k ( ) est solution de l équation de propagation si le nombre d onde k k jk, est lié à la pulsation de l onde sinusoïdale par la relation de dispersion La partie réelle du nombre d onde définit la vitesse de phase v qui dépend généra- e ( k ) lement de est le phénomène de dispersion Des ondes de pulsations différentes ne se propagent pas à la même vitesse : la propagation est dispersive La partie imaginaire du nombre d onde implique une évolution eponentielle de l amplitude de l onde Pour une propagation ave atténuation (liée ou non à une absorption), la profondeur de pénétration ---- aratérise la déroissane eponentielle de l onde (pour ) âble oaial, k k m ( k ) 0 plasma, métal ) Cette atténuation n est pas néessairement liée à une déperdition d énergie au profit du milieu k PAQUETS D ONDES, VITESSE DE GROUPE Un signal physique émis par une soure, et qui se propage, possède des etensions temporelle et spatiale finies L onde plane progressive monohromatique est un outil d analyse des phénomènes de propagation Elle ne saurait dérire à elle seule un phénomène physique observable Un paquet d ondes loalisé dans le temps et l espae est une superposition d onde planes progressives monohromatiques à répartition ontinue de fréquenes ( est aussi une porteuse modulée en amplitude) Pour une propagation dispersive, la vitesse de phase dépend de la pulsation de l onde et un paquet d ondes se déforme souvent au ours de sa propagation ; e paquet d ondes ne se propage pas ave la vitesse de phase Un paquet d ondes de faible largeur spetrale autour de m se déplae, dans un milieu où la dispersion n est pas trop importante, à la vitesse de groupe v g d dk m La vitesse de groupe est la vitesse de propagation de l information, et souvent de l énergie ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES DANS UN PLASMA La fore sur les életrons due au hamp magnétique d une onde plane progressive monohromatique est E négligeable devant elle due au hamp életrique ar les életrons sont non relativistes et que B Si l amplitude du mouvement des életrons est petite devant l, l équation de la dynamique s érit m v e E t En supposant la densité volumique d életrons et d ions onstante, la harge volumique globale est nulle j n e et E t m est une équation linéaire Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 97

201 Ondes CQFR PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUE DANS UN MÉTAL Dans le adre du modèle du fluide de harges libres et à l approimation linéaire, la propagation d une onde plane transverse dans un milieu onduteur est régie par : v v e l équation du mouvement du fluide de harges libres (életrons) : E ; t m B E les équations de Mawell div E 0 ; div B 0 ; rot E ; rot B t 0 j , t où le veteur densité de ourant életrique réé par le mouvement des életrons de densité volumique n est j nev Cette propagation est dispersive et aompagnée d atténuation et/ou d absorption À l effet de peau obtenu à basse fréquene suède un omportement de plasma sans ollision à haute fréquene On pourra travailler ave profit l eerie ommenté traitant de la propagation d une onde életromagnétique plane dans un onduteur métallique Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Qu est e que la vitesse de phase? Qu est e que la dispersion? Qu est e qu un paquet d ondes? Qu est e que la vitesse de groupe? Quelle est l équation de dispersion dans un plasma? Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Si la vitesse de phase dépend de la fréquene, il y a dispersion Vrai Fau Il peut y avoir propagation a sans dispersion, mais ave atténuation b ave dispersion, mais sans atténuation sans dispersion, et sans atténuation d ave dispersion et ave atténuation Du ta au ta (Vrai ou fau) 3 Soit une onde plane progressive monohromatique de la forme : s(, s 0 e k e j( vt k ) eistant dans un milieu passif a k k 0 b la vitesse de phase est définie par v ---- k elle met en évidene une absorption d énergie Solution, page 07 98

202 Eerie ommenté Ondes planes progressives harmoniques dans un onduteur métallique ÉNONCÉ Dans un onduteur métallique, les életrons assurent la ondution et nous admettrons que leur mouvement est régi v v e par l équation : E où est un temps aratéristique reflétant l interation des életrons ave le réseau t m ristallin La densité volumique d életrons est notée n ) Montrer qu il est possible de définir une ondutivité omplee du métal si n est une onstante Donner le lien entre ondutivité en régime indépendant du temps et 0 Par la suite, la densité volumique d életrons notée n est supposée uniforme et onstante et on étudie la propagation d une onde plane progressive monohromatique en notation omplee ) a) Montrer que n te est équivalent à n étudier que les ondes transverses b) Montrer que l équation de propagation s érit ΔE ---- E j t t ) En déduire la relation de dispersion en fontion de n e d) On pose p Eprimer k en fontion de et, 0 m p Dans le as du uivre n 0 9 m 3, 0 4 s ( e,6 0 9 C, m 9, 0 3 kg ) e) Caluler les pulsations aratéristiques -- et À quel domaine d ondes orrespondent-elles? p 3) Étude des différents régimes limites On pose k k jk a) Traer l allure de k et k dans un diagramme «log log» en fontion de b) En déduire l eistene de trois régimes asymptotiques dont on préisera les aratéristiques 4) On se plae à basse fréquene -- a) Donner une epression simplifiée de k Eprimer les hamps életrique et magnétique pour une onde plane progressive monohromatique se propageant selon les z roissants et polarisées selon ( O) b) Montrer que l onde s atténue rapidement ave une profondeur aratéristique δ dont on donnera l epression en fontion de et 0 Caluler le veteur de Poynting et sa valeur moyenne Que remarque-t-on à la limite du très bon onduteur? 5) On se plae à haute fréquene a) Montrer que suivant les valeurs de, l onde peut ou ne peut pas se propager À quel domaine d ondes orrespond la transparene? b) Dans le as où il n y a pas propagation, aratériser l onde en eprimant ses hamps pour une onde plane monohromatique s atténuant selon les z roissants et polarisée selon ( O) Caluler son veteur de Poynting et sa valeur moyenne Comparer au résultat de 4) b) -- Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 99

203 Eerie ommenté ****** CONSEILS SOLUTION La notation omplee ne peut être employée que pour des relations linéaires Il faut don s assurer que est le as ii Si n dépend du hamp életrique, il serait impossible de l utiliser La seule solution serait de poser n n 0 + δn ave δn n 0 et d érire j n 0 ev Attention à ne pas oublier la harge du réseau ristallin : le métal est globalement neutre don la densité de harges positives est ne et 0 ) La densité volumique de ourant j nev La relation entre la vitesse et le hamp életrique est linéaire si n est onstante, la relation j et E est aussi linéaire et en notation omplee j E v v e En notation omplee E devient v j + soit : t m -- e --- E m n e j E ave m + j ne En régime indépendant du temps, 0, d où m ) a) La densité volumique de harge est nulle don l équation de Mawell- Gauss s érit dive 0 En notation omplee ave E E 0 e j( t ( k r )), elle s érit jk E 0 E est don orthogonal à la diretion de propagation Il est possible d utiliser les formes : rot E j k E rot B j k B pour éliminer B et obtenir diretement la relation de dispersion mais e n est pas le point de vue de l énoné et B b) En éliminant à l aide de l équation de Mawell-Faraday dans la dérivée t temporelle de elle de Mawell-Ampère, soit omme div E 0 : ΔE ---- E j ave t , j E t ) L équation de dispersion s érit aussi Δ E ---- E soit omme t j t Δ E k E : j rot ( rot E ) t ---- E t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Il est néessaire de onnaître l ordre de grandeur des domaines des ondes hertziennes, infrarouge, visible, ultraviolet, X et gamma Eprimer les parties réelle et imaginaire de k en fontion de onduit à des aluls inetriables Il faut savoir utiliser les outils numériques à votre disposition E je t et E E, k j t 0 ne d) d où m j p k 0 + j p j e) p 0 6 rad s e qui orrespond à une longueur d onde dans le vide l p nm : domaine ultraviolet p rad s e qui orrespond à une longueur d onde dans le vide l T 9 µm : domaine infrarouge 3) a) En utilisant une alulette ou Maple, on obtient le traé des parties réelle et imaginaire de k 00

204 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe k e(k) k 0 9 Jm(k) k k ω Do Évolution des parties réelle et imaginaire du nombre d onde omplee k pour le uivre (éhelle log-log) Sur es graphes, nous identifions des domaines de pulsations orrespondant à des omportements asymptotiques simples : pour --, et sont quasiment onfondus ; 04 rad s k k pour --, est très supérieur à (n oublions p 0 6 rad s k k pas que l éhelle est logarithmique) Le nombre d onde est imaginaire pur ; pour p, k est très supérieur à k, et le nombre d onde est réel Nous pouvons don dresser le tableau suivant (do ) domaine spetral ondes radio,, ondes mirométriques -- p infrarouge,, UV -- p UV lointain, rayons X -- p relation de dispersion k j0 0 k p nombre d onde ( k 0 ) k ( j) k j k p p N oubliez pas que -- lors des p simplifiations Les relations ( + j) j ou ( j) j sont souvent utilisées Le hoi e( k) 0orrespond à une onde se propageant selon les z roissants m( k) 0 signifie que l onde est atténuée eponentiellement ; Sauf as partiulier (avité laser par eemple) une onde ne peut pas être amplifiée ( m( k) 0) Ii k est omplee Par onséquent, les hamps életrique et magnétique ne sont pas en phase Ils sont orthogonau pour une onde plane progressive monohromatique polarisée retilignement, e ne serait pas le as pour une polarisation irulaire Le alul du veteur de Poynting néessite l ériture des hamps en notation réelle Do 4) Dans le domaine -- on a aussi L epression p k p j se simplifie don en k p j j soit : en posant δ k p ( j) j ( j) δ et en prenant la raine à partie réelle positive z -- j z t -- e δ u En notation omplee E E 0 ej ( t kz ) u E 0 e δ : z k E -- j t B E ar δ 0 e δ e δ u y j e 4 En revenant en notation réelle et en supposant E 0 E 0 réel, E z -- E 0 e δ os z t -- et (do 3) δ u B δ E -- 0 e δ z os t δ 4 uy b) On remarque une atténuation eponentielle des hamps ave une épaisseur aratéristique δ E B P E 0 δ 0 e z δ -- os t 0 z z z -- z t δ os δ 4 uz Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 0

205 Eerie ommenté Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 0 Si seule la valeur moyenne est demandée, on peut utiliser : P e E B La zone de transparene orrespond à une propagation ave une atténuation très faible Ii il n y a pas propagation, le hoi du signe de la partie imaginaire de k dépend des onditions au limites C est pour ette raison que l énoné préise : «une onde de plane monohromatique s atténuant selon les z roissants», don la partie imaginaire de k est négative b) ondes hertziennes ondes métriques à entimétriques fréquene ν 0 Hz km khz MHz GHz THz limite de validité de γ 0 4 Hz 300 km 300 m 30 m 300 μm 3 μm épaisseur de peau δ 6,5 m 50 Hz km,9 m 6,5 mm 0, mm 6,5 μm 0, μm γ 0 est très faible δ longueur d onde λ dans le vide Do 3 Évolution de l épaisseur de peau (pour le uivre) onde réfléhie onde inidente air métal onde évanesente Do 4 Réfleion d une sonde sur un métal Comme ost os( t + ) os--, P E 0 δ 0 e z δ -- u z Dans le as du très bon onduteur, tend vers 0 Le hamp életrique ne pénètre que dans une épaisseur très faible de onduteur De plus P tend aussi vers 0 ( lim e 0) Une onde est totalement réfléhie sans perte + d énergie Cette propriété est utilisée dans les guides d onde (f hapitre 8) 5) a) Dans le domaine --, l epression de k se simplifie en k p Cette forme est semblable à elle d une onde dans un plasma p, k est réel Il y a propagation sans atténuation (zone de transparene) Sinon k est imaginaire pur, l onde est stationnaire évanesente Remarque : Le modèle proposé possède des limites : il ne s applique pas dans le domaine des trop hautes fréquenes, en partiulier au rayons X b) Si p, posons δ Il y a atténuation selon les z roissants p z E E j 0 ej ( t kz ) -- u z E 0 e δ e j t u, don k -- et : δ z k E -- j t --- B s E δ 0 e δ e u y En revenant en notation réelle et en supposant : E 0 E 0 réel, E B E 0 e E 0 z -- δ z os( t ) u et e t t --- δ os uy E 0 δ e Nous sommes en présene d une onde évanesente Le veteur de Poynting orrespondant est : P E B E e z δ -- 0 δ de valeur moyenne nulle : il n y a pas propagation de l énergie La déroissane eponentielle observée diffère de elle obtenue pour l effet de peau, ar il n y a pas ii de dissipation de l énergie de l onde par le milieu Ce résultat semble paradoal : l onde ne perd pas d énergie au profit du milieu mais «disparaît»! Alors, où passe son énergie? Pour réer le hamp életromagnétique osillant, il faut envoyer une onde életromagnétique vers le métal (do 4) Nous pouvons prévoir que son énergie se retrouve intégralement dans une onde réfléhie par la surfae métallique (qui joue le rôle d une terminaison parfaite plaée au bout d une ligne) Pourleuivre,eomportementorrespondà 0 4 rad s 0 6 rad s, don à des longueurs d onde appartenant au domaine : 0,03 µm l 3µm, qui englobe le domaine visible : 04, ml0,8 µm La réfleion que nous avons évoquée eplique l élat d une surfae métallique (polie) La fabriation de miroirs optiques par dépôt d une ouhe d argent ou d aluminium utilise ette propriété z - t sin( t )u y os( t ) sin( u z

206 Eeries Influene de la raideur d une orde sur la fréquene de ses vibrations Une orde, de masse linéique m, de longueur L, fiée à ses etrémités, soumise à une tension T 0 vibre dans le mode propre d ordre n suivant la loi : (, Aos n tsinn L ave n entier Au hautes fréquenes, il faut tenir ompte de la raideur de la orde Dans le bilan des fores qui s eerent sur un élément de ordre de longueur d, ela revient à rajouter une fore supplémentaire dr qui tend à s opposer à la ourbure de la orde, et dont la projetion sur l ae ( Oy) s érit : dr y où est une onstante dépendant du matériau onstituant la orde ) Caluler le rapport e du module de dr y au y module de la omposante sur ( Oy) de la résultante de la fore de tension qui s eere sur l élément de orde de longueur d d a ) Appliquer la relation fondamentale de la dynamique O à un élément de orde de longueur d En déduire la pulsation T 0 n d, 3 de la vibration de la orde en fontion de -----, L, e et n 3) Caluler la orretion relative de la pulsation assoiée au mode n, introduite par la prise en ompte des effets de la raideur (on supposera ) Faire l appliation numérique pour n, et 0 Données L 0,5 m ; T N ; 0 N m 4) Établir la relation de dispersion f( k, ) d une onde sur ette orde Conlusions Osillations de la densité de harge dans un métal ou un plasma Pour dérire les propriétés életriques d un métal, on adopte le modèle du gaz d életrons libres (életrons de ondution) dans une matrie d ions positifs et fies plaés dans le vide Seule l interation du hamp életromagnétique ave les életrons est pour l instant onsidérée, le reste de la matière étant assimilé au vide Les életrons sont supposés non relativistes, leurs interations mutuelles sont négligées, les pertes d énergie par ollision ave le réseau sont modélisées par une fore d amortissement m v -- La densité életronique est n 0 à l équilibre ; sa valeur n hors équilibre reste très prohe de ette valeur n 0 ) Établir l équation différentielle liant le veteur densité volumique de ourant életrique et le hamp életrique E ) En déduire l équation régissant l évolution de la densité volumique de harge életrique au sein du milieu 3) Un milieu métallique est initialement perturbé : sa répartition de harges initiale fausse loalement sa neutralité életrique globale Quel ordre de grandeur peuton prévoir pour le temps de retour à la neutralité életrique du milieu métallique? 4) Montrer que si on néglige les fores d amortissement, il peut eister dans le gaz d életrons un mode propre d osillations de harges, de pulsation p à préiser ( p est la pulsation de plasma) 5) Caluler p pour le sodium et l aluminium (en onsidérant que tous les életrons de valene d un atome deviennent életrons de ondution) dont les onentrations atomiques sont C Na, m 3 et C Al 6,0 0 8 m 3 Z Na et Z Al 3 Situer es valeurs dans le spetre életromagnétique Données : pour l életron : e,6 0 9 C (module) et m 9, 0 3 kg 6) Pour un plasma, où les ollisions sont négligées, disuter l influene du possible mouvement des ions, de masse M et de harge e, sur la valeur de p Évaluer et ommenter l ordre de grandeur de la modifiation apportée à la valeur de la pulsation de plasma par la prise en ompte des mouvements des ions Ondes longitudinales et transverses dans un plasma Dans un plasma de densité életronique n 0 à l équilibre, on s intéresse à la propagation d une onde plane progressive monohromatique életromagnétique dont le hamp életrique est noté E( r, E 0 e j( t k r ) ) Érire l équation du mouvement des harges, non relativistes, les ollisions au sein du plasma étant négligées Pourquoi peut-on négliger le mouvement des ions? ) Établir, en régime sinusoïdal établi, l epression du veteur densité de ourant életrique en fontion du hamp de l onde Quelle est la ondutivité du plasma? v j v Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 03

207 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3) Quelle est la relation liant k, et E imposée par l équation de propagation de l onde? Epliiter elle-i en séparant les omposantes longitudinale E du hamp életrique, dont l amplitude est : E 0 E 0// + E 0 et transverse 4) Que peut-on dire des ondes longitudinales suseptibles d eister au sein du plasma? Commenter e résultat en liaison ave les résultats de l eerie 5) Quelle est la relation de dispersion aratérisant la propagation des ondes transverses? 6) Quelle serait l influene des phénomènes de ollision, modélisés par l ajout d une fore de dissipation d énergie m -- v dans l équation du mouvement des harges, sur les ondes longitudinales d une part, les ondes transverses d autre part? 7) Dans le as des ondes transverses, les graphes des parties réelle et imaginaire du nombre d onde omplee sont traés i-dessous en adoptant les valeurs numériques n 0 0 m 3 et 0 3 s Le premier diagramme fait apparaître le résultat d étude en diagramme log-log sur une large gamme de pulsations Le seond est traé en éhelle linéaire dans une zone plus restreinte e(k) (m ) m(k) (m ) 0 6 e(k) Que dire de l influene des ollisions pour es ondes? Définir une zone de transparene pour ette propagation Que peut-on penser de la dispersion pour des ondes transmises entre un satellite et la Terre à travers le plasma ionosphérique modélisé ii, si les fréquenes utilisées sont de l ordre du GHz? E // m(k) w (rad s ),8,6,4, 0,8 0,6 0,4 0, 0 e(k) (m ) m(k)(m ) m(k) Propagation d une onde dans le plasma interstellaire Le plasma interstellaire est onstitué d életrons de masse m, de harge életrique e, de densité partiulaire n, et d ions de harge életrique q et densité partiulaire N La densité de harge totale est nulle Le mouvement des ions est négligé et elui des életrons, non relativistes, est dérit par le veteur vitesse v Ave es hypothèses, on herhe des solutions des équations de Mawell (à l elusion de hamps statiques) sous la forme d ondes planes monohromatiques de veteur d onde k, dont le hamp életrique est noté : ) Montrer que le hamp magnétique de l onde est aussi dérit par une onde plane de mêmes pulsation et veteur d onde Quelle est la struture du trièdre ( E, B, k) de l onde? ) Déterminer l amplitude du veteur densité volumique de ourant j v de l onde j v ( r, j v0 e j( t k r ) en fontion de elle du hamp életrique de l onde 3) En étudiant le mouvement des életrons, eprimer la onstante a telle que j --- E e(k) E( r, E 0 e j t k r j v j v0 ( ) w (rad s ) 4) En déduire la relation de dispersion ( k) liant la pulsation de l onde et la norme de son veteur d onde 5) En posant 0 K, aluler les vitesses de phase et de groupe de l onde en fontion de k et K Quelle est la relation liant es vitesses? 6) Deu trains d ondes de longueurs d onde l et l sont émis au même instant par un objet stellaire situé à 04

208 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe distane L En supposant K l et K l, montrer que es signau sont reçus ave un déalage δt t t à déterminer en fontion de L, K, et des longueurs d onde l et l Paquets d ondes à spetre retangulaire ou gaussien Un signal physique non périodique représenté par une onde plane peut être mis sous la forme d une superposition ontinue d ondes planes progressives monohromatiques (un paquet d ondes), son amplitude pouvant s érire : (, e A( )e j( t k ( ) ) d La répartition A( ) des amplitudes des omposantes spetrales de l onde définit son spetre On supposera que la largeur spetrale Δ de e paquet d ondes est faible devant la pulsation «moyenne» m du paquet Ce domaine de pulsations est supposé orrespondre à une zone spetrale ontenue dans le domaine de transparene du milieu siège de la propagation de ette onde On notera v g la vitesse de groupe orrespondante Établir l epression de l amplitude du paquet d ondes Commenter la forme et l etension de e paquet en envisageant les deu as partiuliers suivants, où A 0 est un fateur réel : a) paquet d ondes à spetre retangulaire : A( ) A 0 Δ si, Δ m Δ m et A( ) 0 ; b) paquet d ondes à spetre gaussien : A( ) A e Δ ( 0 ) ( Δ) + Donnée : e ( + j ) d e pour tout réel et tout omplee tel que --- arg( ) Pavillon eponentiel, bilan énergétique Soit la propagation d une onde plane progressive monohromatique dans un pavillon de setion lentement variable On désigne par 0 la masse volumique du fluide au repos lorsque la pression est égale à P 0, pression atmosphérique On désigne les grandeurs suivantes à la ote : 4 S ( ), la setion du pavillon en ; Pt (, ) P 0 + pt (, ), la pression en à la date t, ave pt (, ) P 0 ; (, 0 + (,, la masse volumique en à la date t, ave (, 0 ; u(, ut (, )e, la vitesse du fluide en à la date t, ave ut (, ), vitesse du son dans un milieu infini setion S() ) Rappeler l epression de la vitesse de propagation d une onde plane dans un milieu infini, de masse volumique 0, sous la pression P 0 ) Étudier l équation de propagation de ut (, ) (vitesse du fluide) et de pt (, ) (surpression), en fontion de S ( ), setion du pavillon Faire apparaître dans ette équation 3) On suppose le pavillon de nature eponentielle, està-dire que S ( ) S 0 e m Montrer qu il eiste une pulsation de oupure l on eprimera en fontion de m, et Que se passe-t-il si :?? pt (, ) ote u(, 4) Faire un bilan énergétique dans les deu as que Propagation de l énergie dans un plasma peu dense On onsidère un plasma peu dense ontenant n életrons par unité de volume et on étudie la propagation d une onde plane progressive monohromatique selon les z roissants de pulsation p et polarisée suivant l ae ( O) ) Donner l epression des hamps életrique et magnétique et du veteur de Poynting ) Caluler la densité volumique d énergie életromagnétique et d énergie inétique des életrons e Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 05

209 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3) En déduire la vitesse de propagation de l énergie La omparer à la vitesse de groupe Propagation d onde dans un plasma soumis à un hamp B uniforme Dans tout l eerie, on onsidère un plasma d ions supposés immobiles et d életrons de harge e de masse m et de densité volumique n 0 On admettra que l approimation dv v dt t ) Pulsation Plasma est toujours justifiée On suppose que la densité volumique des életrons n est pas uniforme et s érit nr ( ) n 0 + δn ave δn n 0 Un hamp életrique E règne dans le plasma a) En utilisant l équation de Mawell-Gauss, l équation de onservation de la harge et l équation du mouvement d un életron plaé dans un hamp életrique l équation différentielle vérifiée δn déterminer b) En déduire que si E est sinusoïdal de pulsation n 0 e p , la densité volumique d életrons reste 0 m égale à n 0 en régime foré ) Pulsation ylotron Montrer que le mouvement d un életron dans un hamp magnétique B 0 uniforme dans le plan orthogonal à B 0 e B est irulaire de pulsation m Par la suite, une onde életromagnétique plane se propage dans un plasma Il règne de plus un hamp magnétique statique B 0 dans e plasma de diretion identique à la diretion de propagation de l onde notée Dans l équation du mouvement d un életron, on tiendra uniquement ompte du hamp életrique E de l onde et du hamp magnétique B 0 ( r, uniforme 3) Densité de ourant dans un plasma E, a) En utilisant l équation du mouvement d un életron, donner l équation différentielle vérifiée par la densité de ourant j dans le plasma en fontion de E et des pulsations plasma et ylotron u z b) L onde est supposée monohromatique de veteur d onde k ku z et de pulsation En utilisant les équations de Mawell en notation omplee, donner une deuième équation reliant j à E On posera E E 0 e i( t k r ) ) En déduire que E vérifie une équation du type ME inu z E où M et N sont des epressions réelles faisant intervenir k,, p, et 4) Ondes irulaires droites et gauhes Montrer qu en notation omplee, une onde irulaire droite ou gauhe se propageant suivant ( Oz) vérifie où vaut ± (préiser suivant la polari- E iu z E sation) 5) Équation de dispersion Déduire de e qui prééde que l équation de dispersion pour des ondes irulaires s érit : k ) Domaines de propagation Traer l allure de k en fontion de et préiser les domaines de fréquenes pour lesquels une onde peut se propager Appliation numérique : e,6 0 9 C, m 9, 0 3 kg, n e m 3, SI B T 7) Propagation d une onde polarisée retilignement On se plae dans le domaine de propagation des deu types d ondes irulaires a) Laquelle a-t-elle la vitesse de phase la plus grande? b) En déduire l évolution au ours de sa propagation d une onde de polarisation retiligne 8) Réfleion sur un plasma Une onde életromagnétique est émise dans la basse atmosphère (assimilable au vide) vers l ionosphère (assimilable au plasma prééden Disuter qualitativement des ondes réfléhies et transmises au niveau de l interfae entre les deu milieu p 06

210 Corrigés Solution du ta au ta, page 98 Vrai Vrai : a (âble dans les onditions de Heaviside), b (plasma),, d 3 Vrai : a, b Fau : ) Pour une orde sans raideur, la omposante sur y de la résulatnte de la fore de tension qui s eere sur un élément d de la orde s érit : T 0 ( ( + d, (, ) T d T d Sahant que , on en déduit n T 0 T L Ainsi pour les vibrations de hautes fréquenes (n grand), l influene de la raideur de la orde est de plus en plus importante ) La relation fondamentale de la dynamique appliquée à un élément de orde de longueur d onduit à : T soit : t , t n e qui impose, pour la solution (, Aos n tsin , la L ondition : n n ( + ) L 3) Pour une orde sans raideur 0n n, d où : n n 0 n -- n 0 n 0 n 0 n L éart relatif est plus important lorsque la fréquene du mode propre augmente, e qui est naturel Pour un mode de fréquene élevée, n l amplitude sin varie rapidement, la forme de la orde est plus L «tourmentée», et les effets de la raideur de la orde sont sensiblement plus importants 4) L équation différentielle (f ) permet d érire diretement en posant 0 ej ( t k ) : k --- k 4 et d obtenir la relation de dispersion : --- k 4 + k 0 ainsi k k k k T, 0 et k k T 0 L n T 0 L , 0 4, , 0 Comme k, il eiste bien un phénomène de dispersion : ette dispersion eiste, sans dissipation d énergie de l onde vers la orde ) L équation du mouvement des életrons est : Le veteur densité de ourant életrique est L équation différentielle liant et Es érit don ) L équation traduisant la onservation de la harge életrique est : v + div j En prenant la divergene de l équation différentielle t v 0 obtenue à la question ) et l équation de Mawell-Gauss, on obtient : 3) Cette équation peut aussi s érire v v où t t t p v 0, n v 0 e p est la pulsation de plasma du milieu métallique On reonnaît m 0 une équation d osillateur linéaire amorti Dans la mesure où p est très supérieure à - (f ours), les raines r et de son polynôme aratéristique r sont assimilables à r ---- ± j Le régime transitoire de retour à la p neutralité életrique du métal est don de type pseudo-périodique Le temps aratérisant la déroissane eponentielle des osillations est, de l ordre de pour un métal 4) Si les ollisions sont négligées ( ), ette équation devient v + où la pulsation propre est la pulsation de plasma du t p v 0, milieu 5) Sodium C Na e p , 0 5 rad s ; l m p , m 0 p appartient au domaine ultraviolet Aluminium 0 4 s v t m v e E m v t -- j v 3C Al e p , 0 6 rad s ; l m p , m 0 p est plus éloignée dans l ultraviolet v e 6) L équation du mouvement des életrons est E Celle des t m V e ions est E La densité ionique est, d après la neutralité globale t M du plasma, N 0 n 0 Le veteur densité de ourant életrique vaut : j v n 0 e v + N 0 e V, don j v - v n e t t m V 0 0 j v t nev n 0 ev j v j v t t n 0 e E m n 0 e N e E m M 07 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit

211 Corrigés Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit L équation régissant les osillations de la densité de harge au sein du milieu est (f question )) : v + ave t p v 0 p p + m M --- Cette nouvelle pulsation de plasma diffère fort peu de la valeur préédente puisque est de l ordre de l unité et que le rapport entre la masse M et la masse m est supérieur à 000 (rapport entre la masse du proton et elle de l életron) Cette orretion apparaît d un intérêt très limité, ar les approimations ayant amené à e résultat seront fréquemment du même ordre de grandeur que la orretion apportée ) Les approimations usuelles développées dans le ours (f ) permettent d érire l équation du mouvement des életrons sous la forme simplifiée : m v e E t ) Le plasma est supposé peu perturbé, et la densité életronique est assimilable à n 0 Le veteur densité de ourant életrique s érit : n j n 0 ev 0 e E jm en régime sinusoïdal établi, et en notation omplee La ondutivité orrespondante est : j n e, m qui est imaginaire pur Dans le plasma sans ollision, les hamps osillants j et E sont en quadrature 3) Des équations de Mawell : div B 0 ; rot E B ; t E div E ---- ; rot B 0 j , 0 t on déduit l équation de propagation du hamp életrique : j rot (rot E ) ---- rot B t t 0 E , t soit, pour l onde plane progressive monohromatique étudiée : jk ( jk E ) 0 0 ( n p ) E, ave 0 e p m 0 En projetion sur la diretion du veteur d onde et dans le plan perpendiulaire au veteur d onde, on obtient : ( p ) E Œ ( k ) E 0 0 ( p ) E 4) L eistene d ondes longitudinales est soumise à la ondition p On retrouve ii les osillations de plasma obtenues dans l eerie Ce modèle de propagation elut l eistene d ondes longitudinales lorsque la pulsation de l onde étudiée diffère de la pulsation propre du plasma 5) Pour les ondes transverses, la relation de dispersion est k p, relation de dispersion de type «Klein-Gordon», obtenue dans le ours 6) Pour les ondes longitudinales, osillations de pulsation p, l effet des ollisions induit une déroissane de l amplitude de es osillations (f eerie ) Pour les ondes transverses, la relation de dispersion est modifiée et devient : p k j ) La pulsation de plasma vaut p 5,6 0 7 rad s très supérieure à - ; la valeur - est très inférieure au valeurs apparaissant dans les domaines balayés sur les simulations Dans tous les as numériques représentés, les ollisions ont don fort peu d influene p apparaît lairement sur les graphes, limite de transition assez brutale entre une zone p ave e(k) m(k) et p ave e(k) m(k) Dans la zone p le plasma n est pas transparent : une onde, arrivant sur elui-i sera (quasimen totalement réfléhie (f hapitre 9) Dans la zone p, le plasma est transparent Pour des fréquenes de l ordre du GHz, soit p la dispersion est peu importante, ar k --- ) Intégrant par rapport au temps l équation de Mawell-Faraday : B rot E , t on obtient la relation de struture de l onde plane qui permet d eprimer son hamp : ave B 0 k E Le hamp magnétique obtenu est transverse Si la densité de harge du milieu reste nulle, la divergene du hamp életrique est nulle, et e hamp est lui aussi transverse (on peut aussi se rapporter à l eerie 3 pour se faire une idée plus préise du aratère transverse du hamp életrique) Les éléments néessaires sont dès lors réunis pour affirmer que le trièdre ( E, B, k) de l onde est triretangle et diret ) Utilisant l équation de Mawell-Faraday rot B 0 j v E, on obtient : t j v ( r, j v0 e j(t k r ), ave : j v0 B 3) Moyennant les approimations usuelles (f ours ), l équation du mouvementdeséletronsprendlaformesimplifiée m v ee, etonobtient: t j v n 0 ev j n 0 e n E, don 0 e m m 4) La relation de dispersion des ondes transverses dans le plasma s obtient en omparant les deu epressions préédentes de j v, d où : k p n e ave p ( ) la pulsation propre du plasma m 0 k E B v 0 e j(t k r ), jk B j 0 E 0 j 0 k E0 0 08

212 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe 5) On utilise la notation K La propagation au sein du plasma est possiblepour p Dansettezonedetransparene,lavitessedephaseest: p v K k et la vitesse de groupe vaut : Ces vitesses sont liées par la relation v v g v g K k ) Les trains d ondes se déplaent à la vitesse de groupe, et le déalage herhé vaut : L L L l t t t K l K , v g v g 4 4 K soit : t L ( si et 8 ) p p a) Pour le paquet d ondes à spetre retangulaire : (, A 0 e e j(t k()) d m Δ L etension spetrale du paquet d ondes étant restreinte, on peut érire, en posant m : dk t k [ m t k m ] + t d m [ m t k m ] + t ---, et mettre l onde sous une forme approhée faisant intervenir la vitesse de groupe v g : (, A 0 e e j( m t k m ) e j t v g d( ) Δ sin Δ t --- v g A 0 os ( m t k m ) Δ t --- v g Δ A 0 sin t --- os ( v g m t k m ) sin () en notant sin () la fontion «sinus ardinal» On peut définir la largeur aratéristique de ette fontion omme la distane entre les premiers zéros ( ± ) de ette fontion et son maimum ( 0), soit Δ On obtient ii une epression de l amplitude du paquet permettant de mieu erner l allure d un instantané du paquet d ondes traé dans le ours (f 333) v g Δ Le fateur de modulation du paquet d ondes est sin t --- v g La largeur temporelle du paquet d ondes est Δt , temps aratéristique Δ d eistene d un paquet qu un observateur, plaé à une absisse donnée, regarderait défiler devant lui La largeur spatiale du paquet, etension v aratéristique d un instantané (t fié) de l onde, est Δ g On Δ Δ k retrouveles relationsd ordredegrandeurduours : ΔΔk etδtδ b) Pour le paquet d ondes à spetre gaussien, (, est l amplitude, dont le shéma i-dessous représente un instantané (simulé dans le ours, 333) Le fateur de modulation ep enveloppe gaussienne du paquet d ondes, entré en ( 0 ) A e e j(t A k) e () d Δ Δ e e j( m t k m ) ep j( m ) t --- ( 0 ) d (Δ) 0,5 0 0,5 A 0 ep orrespond à une de largeurs ) Les équations différentielles pour une onde plane dans un tuyau de setion onstante sont (f hapitre 3) : (, 0 S p(, (transformation isentropique subie par la tranhe de fluide) ; (, t ) u(, + t (équation de onservation de la masse) u(, p(, (prinipe de la dynamique appliqué t à une tranhe de fluide) ; e qui donne les équations différentielles suivantes par élimination de (, : u(, p(, t t p(, u(, S t t et l équation de l Alembert vérifiée, par eemple par : v g Δ t --- os ( m t k m ) v g (Δ) t --- v g v g t, temporelle t et spatiale satisfaisant enore à Δ Δk Δt Δv p(, δ p(, --- p(, ave δ t 0 S et Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 09

213 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 0 Corrigés ) Étudions les équations différentielles pour une onde plane dans un tuyau de setion variable La relation (, 0 S p(, obtenueàpartirdeladéfinitionde S p P S n est pas modifiée L équation de onservation de la masse s érit : (, divu(, 0 t Rappelons que div u(, δ ( Δ) est égale à la vitesse de Δ δ t variation relative de volume Ainsi, en utilisant le doument i-dessous : tranhe de fluide au repos Δ S( )d ---- [ S( )u(, ]δ td et ainsi : soit : div u(, div u(, S ( )d ---- [ S( )u(, ]d S ( ) ---- [ S( )u(, ] L élimination de (, entre les deu équations : p, t onduit à : ( ) t 0 S [ S( )u(, ] ( ) La relation fondamentale de la dynamique s érit, pour l élément de fluide onsidéré,systèmefermésuividanssonmouvement,demasse dm 0 S( )d: dm d F t aval + df amont + df latérale (f shéma i-dessous) : en aval : df aval ( P 0 + p(, )S( )e ; --- p(, +d (, P 0 + p(, P 0 tranhe de fluide à la date t δ( Δ) S( + d)u( + d, δt S( )u(, δt (, t p(, S [ S( )u(, ] ( ) en amont : df amont ( P 0 + p( + d, ) S( + d)e ; les parois latérales, de révolution autour de l ae ( O), sont à l origine de : df latérale ( P 0 + p(, )( S( + d) S( ) )e df aval df amont surfae ds perpendiulaire à + d ( O) intervenant dans l epression de la résultante des efforts latérau : (, La somme de es trois termes orrespond à : u(, p(, , t relation identique à elle obtenue pour un tuyau de setion onstante Les équations différentielles ouplées sont don les suivantes : p t p ---- t 0 S ( δu) Les équations différentielles vérifiées par u(, et p(, sont : et p S p t S 3) On suppose que S( ) S 0 e m Posons u(, u 0 e j ( t k ) et herhons la relation f(, k) 0 u u 0 e jt d e d m d ( e d m e jk ) u 0 e jt d [ e d m ( m jk)e m e jk ] j k( m j k)u Ce qui donne la relation de dispersion : k + jm k On herhe k, solution du trinôme : j m Δ soit : k ± ave Δ m df latérale df aval + df amont + df latérale S( + d) ( p(, p( + d) )e S( ) p(, d e Ce qui permit d érire : u t S ( S u ) k + k jm m Il eiste bien une pulsation aratéristique telle que : 4 Δ --- ( )

214 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe Eaminons les solutions suivant les valeurs : k k j m --- m e j t k ( ) u(, u 0 e p(, u k 0 e m e j ( t k ) Il y a propagation ave atténuation des amplitudes : k j k ) u em - 0 E B k 0 0 E os t kz ( ) u e - nmv - n e E m 0 sin ( t kz) - 0 E p sin ( t kz) 3) z 0 setion S 4) Le veteur densité de flu de puissane est égal à p(, u(, e La puissane moyenne traversant la surfae S( ) est don égale à : ( ) p(, u* (, S( ) u ( ) - e e m - u k 0 e m - S 0 e m - 0 u k 0 S te m k ( ) est une onstante indépendante de Il y a transfert de puissane sans absorption ( ) - e j u k 0 e k u 0 e k S 0 e + m 0 L onde ne se propage pas Il n y a pas auun transfert de puissane ) Ave les approimations du En notation omplee pour l onde plane progressive monohromatique et une polarisation selon l ae ( O) E E 0 e et v e E j m On suppose E 0 E 0 réel, e qui donne en notations réelles : E E 0 os( t kz) u ke B os( t kz)u y v ee sin( t kz)u m u(, u 0 e k e jt j p(, u k 0 e k Il n y pas de propagation - e ( p(, u(, )S( ) j ( vt kz ) u e j t ke B e j t kz ave ( ) u y k p E B k et P E 0 os ( t kz) u z 0 0 Calulons l énergie traversant une surfae S orthogonale à ( Oz) pendant une durée Δt grande devant la période Cette énergie est elle du ylindre de hauteur v e Δt s appuyant sur ette surfae Comme Δt T v e Δt est suffisamment grande pour que : d où : 0 v e Δt z v e Δt d où une énergie - v e S Δ t 0 E 0 D après la définition du veteur de Poynting : P d S d t ; soit D où la vitesse de l énergie : d Dans le plasma v g dk v e Δt En différentiant k k, v g La vitesse de l énergie (életromagnétique et inétique) est don égale à la vitesse de groupe δne ) a) Mawell-Gauss dive (il y a une densité volumique n 0 d ions positifs) () 0 v os ( t kz) dz e Δt v ( u em + u e )dz e Δt E k Δ t 0 S v e v e Δt E 0 k k p δn Conservation de la harge divj e 0 () t 0 z p k S Δ t E v Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit

215 Corrigés Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Équation du mouvement d un életron dv v De plus j ( n 0 + δn)ev n 0 ev et dt t j n D où : e E t m En dérivant () par rapport au temps et en éliminant j : et d après () : δ n osille sinusoïdalement ave une pulsation b) En fait, les hos ave les ions introduisent un amortissement et e régime est transitoire Sous l ation d un hamp E sinusoïdal de pulsation, δ n a un régime foré à la pulsation En notation omplee, (3) donne : Si, δn 0 p δ n δ n 0 La densité volumique d életrons reste onstante et égale à n 0 si p ) L équation m dv ev B s érit en introduisant les veteurs dt 0 tangent T et normal N et le rayon de ourbure de la trajetoire : m v d v --- N T evb ar R d t 0 N v B 0 mv d où v te et R te eb 0 v e B Le mouvement est irulaire à la pulsation R m 3) a) p j Comme j n e v, (4) t 0 p E u z j b) (MG) n 0 e dive m n 0 e δ n 0 m (MA) ik B 0 j ie omme a ( b ) ( a )b ( a b) et k E 0 i---- k E 0 0 i E 0 j (4) s érit i j 0 p E + u z j En éliminant j et après réarrangement : m dv ee dt ( δn) t ( δ n ) t m dv e( E + v B dt 0 ) m v t (MF) ik E i k E 0 ib p E k i k uz E p (3) d où : M k et N ---- k ) En notation réelle une onde irulaire gauhe s érit : E E 0 [ os( t kz+ 0 ) u + sin( t kz+ 0 ) u y ] soit en omplee : E E 0 ei ( t kz ) ( u y i u ) i E Don une onde irulaire vérifie E iu z E, ave pour une irulaire gauhe et pour une droite (alul identique) 5) M E i Nu z E donne par identifiation M N ar soit : ou : k p D où la relation demandée : 6) 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 k (m ) u z Valeurs de annulant k p k Do Nombre d onde en fontion de la pulsation En ouleur, en noir E E 0 ei ( t kz ) ( u i u y ) p k ---- k p soit p p k --- (rad s )

216 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe pour + : + pour + : 9,6 0 6 rad s +,7 0 7 rad s,5 MHz,6 MHz 7,0 0 6 rad s, MHz : irulaire droite 0 + k + pas de propagation propagation Do : irulaire gauhe 0 k + + propagation pas de propagation propagation Do 3 7) a) D après le doument, k + k pour don v + v b) Une onde polarisée retilignement est la somme d une irulaire droite et d une irulaire gauhe de même amplitude La irulation gauhe va plus vite que la irulaire droite, don la diretion de polarisation tourne dans le sens diret Do 4 CG CD La irulation gauhe a pris de l avane par rapport à la irulation droite : le plan de polarisation a tourné 8) Pour une onde arrivant sur le plasma : CG z z z z z CD : CD réfléhie totalement CG en partie transmise en partie réfléhie ; + :onde totalement réfléhie ; + : CD partiellement transmise, CD totalement réfléhie ; : CD et CG partiellement transmise Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

217 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Réfleion métallique d une onde életromagnétique Appliation au guidage des ondes Équations de Mawell Propagation d une onde életromagnétique dans un onduteur Dans le domaine des fréquenes basses à hertziennes v 0 3 Hz environ), les ondes életromagnétiques ne pénètrent quasiment pas dans un métal : il y a apparition d un «ourant de surfae» Dans es onditions, une surfae métallique réfléhit presque totalement une onde életromagnétique Ce phénomène permet de modéliser failement les dispositifs de guidage d ondes, dont nous disuterons un eemple simple 4

218 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur Réfleion sur un onduteur métallique Desription du problème Réfleion et transmission Lorsqu une onde életromagnétique arrive à l interfae séparant deu milieu de propagation différents ( est-à-dire un dioptre), l epériene montre que elle-i donne naissane à une onde réfléhie et à une onde transmise (do ) Nous retrouvons ii un phénomène analogue à eu dérits au hapitres 3 et 4 ou vus lors d epérienes optiques Nous assimilerons loalement l interfae air/métal à son plan tangent Nous noterons e z son veteur unitaire normal, dirigé du métal vers l air Analyse harmonique La réponse des milieu étudiés est linéaire Nous pourrons effetuer l étude par le biais d une analyse harmonique, et ainsi nous intéresser à des ondes planes progressives et monohromatiques, toutes de même pulsation imposée par l onde inidente (qui joue le rôle d eitation harmonique du système, dont nous étudions la réponse en régime sinusoïdal foré) Le 3 est destiné au élèves de MP Les et (non epliitement au programme de PC) peuvent être abordés par l ensemble des étudiants onde inidente air métal onde transmise onde réfléhie Do Réfleion et transmission à l interfae air/métal z e z 3 Milieu de propagation Nous assimilerons l air au vide, dans lequel nous avons déjà étudié la propagation des ondes életromagnétiques (f hapitre 5) Dans le onduteur métallique, les harges de ondution, mises en mouvement par le hamp de l onde életromagnétique, interviennent dans le proessus de propagation Nous pourrons rendre ompte de leur influene en utilisant le modèle marosopique de Drüde En pratique, nous nous limiterons à des fréquenes telles que la période de l onde est très grande devant le temps de relaation du métal (ou v 0 3 Hz ) Dans es onditions, la loi d Ohm statique est alors onvenablement vérifiée, et nous pouvons assimiler la ondutivité omplee du métal à sa valeur en régime statique : de l ordre de s m 0 pour le uivre Propagation dans les milieu Ondes inidente et réfléhie Elles se propagent dans l air assimilé au vide, où les équations de Mawell s érivent : B E div E 0, div B 0, rot E et rot B t t La propagation du hamp életromagnétique se traduit dans e milieu par l équation de d Alembert : Δ E ---- E , t qui impose la relation de dispersion des ondes planes progressives monohromatiques dans le vide : k Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

219 Ondes Onde transmise Bien que notre étude se limite par la suite au onduteur parfait, nous établissons ii les propriétés d un onduteur de ondutivité 0 grande Nous vérifierons ainsi que les propriétés du onduteur parfait s obtiennent à la limite 0 Dans le métal, la densité volumique de harge est nulle : en effet, le temps de retour à la neutralité életrique est très ourt : l équation de Mawell-Gauss dive ---- et l équation de onservation de la harge div j donnent 0 0 t ar j 0 t 0 E Le temps aratéristique de retour à la neutralité est de l ordre de 0 7 s Au fréquenes envisagées, le ourant de ondution (ii j largement supérieur au ourant de déplaement de Mawell module est égal à 0 E : Les équations de Mawell prennent don la forme approhée : 0 0 E ), est très 0 E , dont le t Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit B dive 0, divb 0, rot E et rot B t 0 E L équation de propagation s identifie, dans es onditions, à une équation de diffusion : E ΔE t Utilisant la notation omplee, nous voyons que ette équation impose au ondes planes progressives monohromatiques la relation de dispersion : soit k j e j---, k ± 0 0 e j--- 4 ± j, ave δ δ La grandeur δ est une longueur, appelée épaisseur de peau Ainsi, pour une propagation dans le sens des z déroissants dans le métal, le j nombre d onde à partie réelle négative k impose à l onde transmise δ dans le métal une amplitude proportionnelle à : e j ( t kz) e j t z -- δ e +z δ -- Dans le métal, la propagation de l onde transmise, ontenue dans le premier fateur eponentiel de module unité, s aompagne d une atténuation, ontenue dans le fateur eponentiel réel, qui déroît lorsque z diminue La propagation d une onde életromagnétique de période grande devant le temps de relaation du matériau (soit aussi v 0 3 Hz ) est aratérisée par l effet de peau : l onde ne pénètre dans le milieu que sur une épaisseur de l ordre de l épaisseur de peau d, d autant plus faible que la ondutivité du matériau et la fréquene de l onde sont élevées L onde est ii absorbée, du fait de l effet Joule au sein du onduteur, sur une épaisseur de l ordre de l épaisseur de peau δ 6

220 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur 3 Modèle du onduteur parfait La puissane dissipée par effet Joule et par unité de volume dans un onduteur est :, j E 0 E Jvol Dans le as limite d un onduteur parfait 0, il est néessaire que E tende vers 0 pour que ette puissane reste finie Le hamp életrique est nul dans un onduteur parfait D après l équation de Mawell-Gauss : dive ---- : 0 B D après l équation de Mawell-Faraday : rot E B : t t Seul un hamp magnétique statique peut eister dans un onduteur parfait 0 D après l équation de Mawell-Ampère E rot B 0 j , soit t j : seule une densité volumique de ourant volumique statique peut t eister dans un onduteur parfait En régime variable, un onduteur parfait est aratérisé par des hamps E et B nuls, et les densités volumiques de harge et de ourant j nulles Les harges et les ourants ne peuvent être que surfaiques 4 Du onduteur réel au onduteur parfait Envisageons le as d une onde életromagnétique de fréquene assez élevée se propageant dans un onduteur, sa longueur d onde dans le vide l 0 est de l ordre de quelques entimètres et sa fréquene de l ordre du GHz (ondes UHF) L utilisation de la ondutivité statique est ii justifiée De plus, pour un bon onduteur omme le uivre (pour lequel S m 0 ), l épaisseur de peau est etrêmement faible pour ette fréquene : 0 δ est de l ordre du µm L onde pénètre etraordinairement peu au sein du métal : le hamp életromagnétique de l onde transmise dans le métal est don quasiment nul au-delà de quelques miromètres, distane généralement très faible à l éhelle marosopique de l epériene Ainsi, au fréquenes de l ordre du GHz, une onde életromagnétique ne pénètre quasiment pas au sein d un matériau métallique, très bon onduteur Nous simplifierons l étude de la réfleion d une onde sur le métal, en utilisant un modèle limite, bonne approimation de la réalité: le modèle du onduteur parfait La limite du onduteur parfait orrespond à une épaisseur de peau nulle : d 0 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

221 Ondes 3 Conditions au limites 3 Interfae air/métal La tradution des onditions au limites que doivent satisfaire les ondes permet la détermination des ondes réfléhie et transmise à l interfae de séparation de deu milieu Dans le as des ondes életromagnétiques, nous utiliserons les onditions de passage du hamp életromagnétique à l interfae séparant les deu milieu notés et (do ) : N N Do Veteur unitaire normal à l interfae entre les milieu et E E ---- N et B B 0 j s N 0 Ces relations imposent, à la traversée de l interfae, la ontinuité : des omposantes tangentielles du hamp életrique : E T E T ; de la omposante normale du hamp magnétique : B N B N Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Conduteur réel et modèle volumique Nous savons qu une nappe surfaique de ourant modélise une répartition volumique de ourant, d intensité j, onfinée dans une «éore» de très faible épaisseur d, au voisinage de la surfae du métal Nous avons alors shématiquement j s jd, où d tend vers zéro et j (grandeur volumique) vers l infini pour un produit j s onstant (do 3) Pour un milieu de ondutivité, la puissane volumique dissipée par effet Joule est ---- (en notation réelle) La puissane dissipée dans un ylindre de setion S et d épaisseur d à la surfae du onduteur, est : et devient don infinie si nous envisageons la limite d Æ 0 à j s donné Ce résultat est absurde et elut l utilisation d un modèle surfaique de distribution de ourant pour un matériau de ondutivité finie Dans le as d un matériau de ondutivité finie, l épaisseur de peau est non nulle, une distribution surfaique de ourant n a pas de sens : j s 0 Remarque j 0, et il eiste une onde transmise au sein du métal Le hamp magnétique normal est toujours ontinu à l interfae de deu milieu Dans le as du onduteur réel, ses omposantes tangentielles le sont également 33 Conduteur parfait et modèle surfaique 0 j ---- Sd 0 j s S , 0 d Nous savons que pour un bon onduteur omme le uivre, et dans le domaine hyperfréquene, le modèle du onduteur parfait est numériquement bien justifié Nous nous limiterons par la suite à e as limite, pour lequel le modèle surfaique est aeptable et largement suffisant L épaisseur de peau est ii nulle et il n y a pas d onde transmise au sein du métal Nous n aurons ii à reherher que l onde réfléhie S air d onduteur Do 3 Représentation de l «éore» de ourant à la surfae du métal 8

222 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur Le hamp életromagnétique étant nul au sein du onduteur parfait, les onditions au limites à l interfae entre l air (assimilé au vide) et un métal parfaitement onduteur s érivent : [( ) ( 0) ] interfae ---- N, B air E air où N est le veteur unitaire normal au onduteur, dirigé vers l etérieur du onduteur (do 4) Sans herher néessairement à eprimer les harges et ourants surfaiques mis en jeu, nous pouvons simplement érire le résultat suivant En un point P situé au voisinage immédiat de la surfae d un onduteur parfait, les omposantes tangentielles du hamp életrique et la omposante normale du hamp magnétique, ontinues à la traversée de l interfae air/métal, sont nulles : On dit ouramment : «E 0 [( ) ( 0) ] interfae 0 j s N, E P, // 0, B P, ^ 0 est normale à la surfae du onduteur et N air E 0 B 0 onduteur parfait Do 4 Interfae air/onduteur parfait : orientation de la normale j s N B est tangent à la surfae du onduteur» Réfleion d une onde plane progressive monohromatique sur un onduteur parfait Pulsations et veteurs d onde Ondes inidente et réfléhie Nous avons prévu que la réponse du système au régime sinusoïdal imposé par l onde inidente est, elle aussi, sinusoïdale et de même pulsation, ar les équations sont linéaires : i r Dans le adre de notre analyse harmonique du phénomène de réfleion, nous noterons : E i E oi e j ( t k i r ) k et B i E oi i e j ( t k i r ), E r E or e j ( t k r r ) k et B r E r or e j ( t k r r ), les hamps életromagnétiques (omplees) des ondes planes progressives monohromatiques inidente et réfléhie, qui satisfont toutes deu la relation de dispersion k i k r des ondes planes progressives monohromatiques dans le vide Remarque Il est inutile de herher l onde réfléhie sous la forme d une superposition d OPPM de pulsation r et de veteurs d onde variés L uniité de la solution du problème nous permet de bâtir une onde réfléhie simple et de vérifier qu elle est ompatible ave les onditions au limites Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

223 Ondes Lois de Desartes pour l onde réfléhie Le veteur d onde et l amplitude omplee E or restent à déterminer en fontion des aratéristiques de l onde inidente En projetant onvenablement les équations traduisant les onditions au limites (de façon à ne pas faire intervenir d éventuelles harges et ourants surfaiques), nous obtiendrons les équations (do 5) : où r p Ces équations doivent non seulement être vérifiées à tout instant, mais aussi en tout point de l interfae ; les eponentielles doivent varier de la même façon, lorsque l etrémité du veteur position k r ( ) ( ) E oi // e j t k i r 0 E or // e j t k r r ; ( ) ( ) B oi e j t k i r 0 B or e j t k r r + 0 0, OP représente les oordonnées d un point quelonque P de l interfae r p OP se déplae de P vers P dans air métal k i P plan d inidene O Do 5 Les veteurs d onde appartiennent au plan d inidene N i r i k r P le plan de l interfae Soit pour tout veteur PP orthogonal à N : k i Don est olinéaire à N k i k r PP k r PP ou ( k i k r ) PP 0 Nous voyons ainsi que les veteurs d onde des ondes inidente et réfléhie ont même projetion sur l interfae séparant les deu milieu k i// k r// Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Le veteur d onde k i et la normale N au «dioptre» air/métal définissent le plan d inidene et l angle d inidene i La relation préédente nous indique que le veteur d onde appartient à e plan (do 5) Nous savons que e veteur d onde kr : a même norme --- que le veteur d onde inident ; est ontenu dans le plan d inidene ; orrespond à une onde qui s éloigne de l interfae Il fait don l angle i r i ave le veteur normal N, omme indiqué sur le doument 5 Nous retrouvons ii les lois de Desartes de l optique géométrique pour la réfleion d un rayon lumineu: le rayon réfléhi est dans le plan d inidene, et l angle i r est égal à l angle i Réfleion sous inidene normale sur un plan onduteur parfait Champ de l onde réfléhie k r Déterminons maintenant les amplitudes des ondes réfléhie et transmise en traduisant préisément les onditions au limites dans le as partiulier de l inidene normale : k i k r --- e, z pour un plan onduteur parfait d équation z 0 (do 6) La ondition au limites onernant le hamp életrique s érit : ( E i + E r ) z e z, 0 z onde inidente air e z onde réfléhie interfae z 0 métal onduteur parfait Do 6 Réfleion sous inidene normale 0

224 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur Le hamp életrique des ondes planes progressives monohromatiques inidente et réfléhie est transverse En inidene normale, nous avons : ( + ) z 0 0 et don 0 E i E r Le oeffiient de réfleion r relatif à l amplitude du hamp életrique est défini par le rapport entre l amplitude de l onde réfléhie et elle de l onde inidente à l interfae, don en z 0 Pour le as envisagé ii, nous avons r l Pour le hamp magnétique, nous obtenons : k ( B r ) r E r ( k z i ) ( E i ) z 0 ( B i ) z 0 Le oeffiient de réfleion relatif à l amplitude du hamp magnétique vaut don La réfleion d une onde életromagnétique sous inidene normale sur un onduteur parfait, est une réfleion totale ave un oeffiient de réfleion de (déphasage de π) pour le hamp életrique et un oeffiient de réfleion + (déphasage nul) pour le hamp magnétique Appliation z 0 Aspet énergétique de la réfleion Le oeffiient de réfleion énergétique R est défini à l aide des flu moyens d énergie à travers l interfae air/métal, relatifs au deu ondes, notés F i et F r F On notera ainsi : R r Dans le as de l inidene normale et dans le adre du modèle du onduteur parfait, quelle est la valeur de R? Nous avons e Soit ave B z E r E r : P r r e 0 z Courant surfaique F i E P r B r r Nous n avons pas enore utilisé la ondition au limites onernant le hamp magnétique : [( B i + B r ) z 0 0] 0 j s e z d où : Celle-i n apporte pas de ontrainte supplémentaire, mais nous permet de déterminer le ourant surfaique induit sur le plan onduteur parfait : e j z ( B i + B r ) z 0 e s z ( k i + E i + k r + E r ) z 0 E oi e 0 0 j t 0 et Nous avons de même et don R F r P r d S F r E r S E r S F i E i S Toute énergie véhiulée par l onde inidente se retrouve dans l onde réfléhie Le métal «parfait» ne dissipe pas d énergie et la réfléhit totalement : est un miroir idéal Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit

225 Ondes La réfleion d une onde plane progressive monohromatique sous inidene normale sur un plan onduteur parfait induit ainsi un ourant surfaique j s e ( E non nul de même diretion que le 0 oi e j t ) hamp inident ainsi qu une harge surfaique nulle 3 Superposition des ondes inidente et réfléhie Dans l air, le hamp életromagnétique résulte de la superposition des ondes inidente et réfléhie Notant k ---, nous obtenons (do 7) : j t kz E E i + E r E oi e ( + ) j t kz + E or e ( ) je oi sin( kz)e j t e B B i + B z E i e r z E r ( e z E oi ) os( kz) e j t Pour fier les idées, supposons que l onde inidente est polarisée selon (Oy) : E oi E 0 u y Nous obtenons alors : E je 0 sin( kz)e jt e y, soit E E 0 sin( kz) sin( e y E B os( kz) e j t E e, soit B os( kz) os( e Les dépendanes spatiale et temporelle sont séparées L onde résultante est don une onde stationnaire diretion de propagation E i B i De plus, E et B restent orthogonau mais sont en quadrature (déphasage de z ± --- ) spatiale et temporelle B r Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit L onde résultant de la superposition des ondes inidente et réfléhie est une onde stationnaire E et B sont orthogonau et en quadrature Revenons au as général Nous remarquons que : le hamp életrique est nul à tout instant dans les plans : z p ---, k p l -- ( p ) alors que le hamp magnétique y est etrémal ; le hamp magnétique est nul à tout instant dans les plans ( p ) alors que le hamp életrique y est etrémal Nous obtenons : des nœuds de hamp életrique et ventres de hamp magnétique pour z p l ; des nœuds de hamp magnétique et ventres de hamp életrique pour z ( p + ) l -- ; 4 l z ( p + ) -- où p est un entier positif Le doument 8 shématise es résultats dans le as d une onde inidente de polarisation retiligne E r diretion de propagation Do 7 Onde inidente et onde réfléhie en z 0 à un instant t z

226 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur E B Remarquons que le veteur de Poynting Π s annule dans les plans des nœuds de E ou B Il n y a globalement pas de propagation de l énergie, elle-i reste onfinée entre deu nœuds de E ou B onséutifs 0 E ventre de vibration de B l y B ventre de vibration de E Appliation z Do 8 Les nœuds de E orrespondent au ventres de B E et B sont de plus en plus en quadrature (propriété qui n apparaît pas ii) Champs réés par le ourant surfaique ) Rappeler l epression du hamp magnétique réé par une nappe (Oy) surfaique infinie de ourant de densité surfaique onstante j s j 0 u ) En tenant ompte des phénomènes de propagation, justifier l epression des hamps réés par la nappe (Oy) infinie parourue par j j 0 e jkt E E 0 e j t k z ; B ± B 0 e j t k z ( ) e 3) Une onde plane progressive monohromatique est réfléhie sous inidene normale par un plan onduteur parfait Son hamp életrique est : E i E 0 e Que peut-on dire de la superposition des hamps de l onde inidente et de l onde réée par le ourant surfaique : dans le vide ( z0), j ( t + kz ) e dans le onduteur ( z0)? ) B 0 j e ; y z 0 B 0 j e ; y z 0 ) Pour z 0, la propagation a lieu selon les z roissants, B est don raisonnablement de la forme B 0 j 0 j t kz e ( ) e y ( ) e y Pour z0, la propagation a lieu selon les z déroissants, don B 0 j 0 j t kz e ( + ) e y Ces ondes étant planes progressives dans les demiespaes z0 ou z0 z0, E B e z ; z0, E B ( e z ) Soit : z0 z0 E 0 j 0 j t kz e ( ) e B 0 j j t kz e ( ) e y E 0 j 0 j t kz e ( + ) e B 0 j j t kz e ( + ) e y E 3) Le ourant surfaique est j s e j t e qui 0 rée les hamps j E E 0 e ( t kz ) e z 0 E B 0 j t kz e ( ) e y identiques à eu de l onde réfléhie j E E 0 e ( t + kz ) e z0 E B 0 j t kz e ( + ) e y opposés à eu de l onde inidente Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

227 Ondes Les hamps résultants sont don : z 0 vide z0 métal j t kz E vide E 0 e ( ) e j ( t + kz ( + ) )e E B 0 j t kz vide e ( ) e j ( t + kz ( + ) )e y E métal 0 B métal 0 Dans le vide, on retrouve la superposition de l onde inidente et de l onde réfléhie, dans le métal les hamps sont nuls Le ourant surfaique du onduteur rée l onde réfléhie et «supprime» l onde inidente dans le métal 3 Ondes stationnaires entre deu plans métalliques Cherhons les pulsations des ondes planes monohromatiques pouvant eister entre deu plans parallèles z 0 et z a parfaitement onduteur Le hamp életrique de ette onde doit vérifier trois onditions : a) dive 0, b) ΔE ---- E , ) E( z 0) E( z a) 0 (ondition de ontinuité à la surfae d un onduteur t parfai La première ondition (a) impose que l onde soit transverse : E( z, E ( zt,)e + E y ( zt,)e y La deuième impose (b) en notation omplee (attention l onde n est pas progressive) pour : E E 0 ( z) e jt d, E E dz 0 0 La troisième ondition () impose A 0 et Bsinka 0 Il en serait de même pour Soit : E 0 ( z) Aoskz + Bsinkz ave k E 0y --- Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La ondition B z 0 sur les plans z 0 et z a est vérifiée ar B est transverse Pour que les hamps entre les plans onduteurs soient non nuls, il faut que p sinka 0, soit : ka p ou p, ; ave a 0 p a Les onditions au limites imposent une quantifiation des fréquenes propres d une avité Le hamp életrique eistant dans la avité peut s érire : E( z, E sin 0 p z (ave ), a e jp t a superpositions des modes propres de pulsation propre des ondes stationnaires p p 0 p : e sont a Pour s entraîner : e6 4

228 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur 3 Ondes guidées (MP) Une ligne életrique omposée de deu fils onduteurs est une façon ourante de transmettre un signal életromagnétique dans une diretion donnée C est la solution retenue par eemple pour transmettre un signal audiofréquene (quelques khz) À plus haute fréquene, la ligne életrique est souvent remplaée par un âble oaial Cependant le prinipe est identique : une onde de ourant se propage le long de l âme du âble et revient par la gaine Nous pouvons toutefois imaginer le guidage d une onde életromagnétique à l intérieur d une avité dans un onduteur unique : l onde se réfléhit à la surfae de la avité (do 9) Elle est ainsi guidée à l intérieur de la avité Ce onduteur est appelé «guide d onde» Nous modéliserons par la suite e guide d onde par deu plans parallèles parfaitement onduteurs L onde se propage entre les deu plans et reste onfinée à ause des réfleions sur les plans, miroirs (presque) parfaits L étude de l onde guidée pourrait être faite en s intéressant à la superposition des différentes ondes réfléhies par les deu plans Il est ependant plus simple de herher une onde se propageant entre les deu plans et vérifiant les onditions au limites sur eu-i guidage imposé par les parois Do 9 Confinement d une onde életromagnétique par des plans onduteurs parfaits 3 Propagation guidée entre deu plans métalliques parallèles 3 Position du problème Hypothèses Étudions la propagation selon l ae (Oz) entre deu plans parfaitement onduteurs 0 et a (parallèles à (Oyz)) (do 0) L espae entre es deu plans est assimilé au vide sans harges ( 0, j 0 ) Les seules harges et ourants sont surfaiques au niveau des plans onduteurs Nous restreindrons notre étude au ondes non planes progressives selon les z roissants et dont le hamp életrique est selon (Oy) E est alors transverse (orthogonal à la diretion de propagation (Oz)) Ces ondes sont dites TE (transverses életriques) D autres ondes peuvent être étudiées en partiulier elles où le hamp magnétique est transverse (ondes TM f eerie résolu) L analyse de Fourier nous permet de n étudier que les ondes monohromatiques ou harmoniques Nous herherons don une onde du type E E 0 ( )e j ( t kz ) u y (Oy) et que l onde se propage suivant z 3 Reherhe du hamp életrique Le hamp életrique doit vérifier : a) l équation de Mawell-Gauss : dive 0 ; ar le problème est invariant par translation suivant b) l équation de d Alembert : ΔE ---- E ; t a y Do 0 Propagation guidée entre deu plans métalliques parallèles Ce hamp omplee E ne orrespond pas à une onde plane don, a priori, k --- Une erreur très grave onsiste à roire qu en notation omplee : dive jk E et rote j k E en oubliant les deu points les plus importants : l onde doit être plane et progressive z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

229 Ondes ) les onditions au limites : E orthogonal au plans onduteurs soit pour 0 ou a, E est selon a) est vérifiée ar E y 0 y u Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit b) donne : d Soit : E k E0 0 d ) donne : Vérifions que la fontion f( ) telle que f ( ) + f( ) 0 peut s annuler deu fois si, et seulement si, Si 0 f( ) Ae r + Be r ave r f( ) 0 donne e r B --- qui a une ou zéro raine A Si 0 f( ) A + B qui a une raine Si 0 f( ) Aos( h + ) ave h qui a une infinité de raines En onlusion : E 0 ( ) A 0 sin( h) + B 0 os( h) ave h k 0 E 0 ( 0 ) 0 donne B 0 0 E 0 ( a) 0 donne h pour avoir une solution non nulle La propagation guidée d une onde par deu plans 0 et a impose une quantifiation des solutions À un entier m non nul orrespond un mode tel que : k m À haque mode orrespond une pulsation de oupure m : m si m , k 0, il n y a pas propagation a 33 Champs du mode TE m Pour le mode orrespondant à l entier m (mode TE sur le doument ) La méthode la plus simple pur obtenir Mawell-Faraday rot E j B, soit après alul : Le hamp magnétique d un mode TE m n est pas transverse Au niveau du plan : k E 0 ( ) 0 B j m E a 0 e j ( t kz ) e z d E E d E 0 ( 0) E 0 ( a) 0 0 m m a a m E E 0 sin e j t kz a B ( ) e y k m B E sin e a j m m os e a a z e onsiste à utiliser l équation de j ( t kz ) Une onde TEM eiste aussi entre deu plans métalliques parallèles : E E 0 e e E 0 j ( t kz ) j B e ave y e ( t kz ) k --- Cette onde est plane ; or nous avons restreint l étude au ondes non planes a 0 E E y Do Champ életrique du mode TE Attention au alul de rote ar l onde n est pas plane 6

230 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur a B j m ( ) m E a 0 ej ( t kz ) e z Ce hamp est tangent au plans onduteurs La ondition au limites B normal nul est vérifiée à la surfae des onduteurs L eistene d un hamp magnétique tangent à la surfae des onduteurs néessite la présene de ourants surfaiques (f Appliation ) 34 Vitesse de groupe des différents modes Considérons la propagation d un paquet d ondes de pulsation moyenne entre les deu plans étudiés m Tous les modes de oeffiient m tel que peuvent se propager dans a 0 le guide C est la façon dont le hamp életrique est émis à l entrée du guide qui fie l amplitude du hamp életrique des différents modes Sur les douments et 3, nous remarquons que pour une valeur vitesse de groupe v g d a d k m fiée, la dépend du numéro du mode Pour un signal émis en z 0 et omprenant plusieurs modes, les paquets d ondes orrespondant à haque mode ont des vitesses de groupe différentes Sur le doument 4, un paquet d ondes ontenant les modes et se dédouble au ours de sa propagation Dans es onditions, la transmission de signau suessifs est diffiile Ce problème, renontré aussi ave les fibres optiques, onduit à n utiliser que des guides monomodes Un hoi possible onsiste à hoisir en ne onservant que le a a mode k k 3 k k n n 3 n 4 n Traé de k() Do Relation de dispersion pour différents modes : v g tan g v tan n q j P q g k pente k Traé de (k) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

231 Ondes 3 v - vitesse de phase,5 n n n3 n 4 v 3 n 5,5 0,5 v v v g v g v g3 vitesse de groupe Traé de v et v g () Do 3 Pour une valeur de donnée, il eiste plusieurs modes de propagation possibles (ii 3) orrespondant à des valeurs de k différentes et don à des vitesses de phase et de groupe différentes f t z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit f t f t z 0 z f f Do 4 Dédoublement d un paquet d ondes dans un guide pour les modes TE et TE ave 0,5,5 8

232 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur 3 Propagation dans un guide d onde à setion retangulaire 3 Modes de propagation possibles Pour limiter omplètement l etension spatiale de l onde dans le plan (Oy), ajoutons enore deu miroirs métalliques plans, distants de b, perpendiulaires au préédents Nous obtenons ainsi un guide d onde à setion retangulaire, dont les parois sont les plans d équations 0, y 0, a et y b (do 5) Les onditions au limites imposées par les quatre parois ( E // et nuls sur les parois) sont bien vérifiées par l onde que nous venons de onstruire, limitée à la zone [ 0 a ; 0 y b] En effet, E est selon ( Oy) don normal au plans y 0 et y b B n a pas de omposante suivant ( Oy), don est tangent à es plans Ces modes ne sont pas les seuls possibles En effetuant la substitution : a e y y e y e y e b m n (les signes sont introduits pour onserver un trièdre dire ; les hamps : B y Do 5 Guide d onde à setion retangulaire Dans un guide d onde retangulaire, le mode TEM n eiste pas b O z a ny E E 0 sin e j t kz b ( ) e k n y jn n y B E sin e b y os e b a z e D autres modes transverses életriques eistent (f eerie 4) définis par deu indies, les modes TE m, n Les modes où le hamp magnétique est transverse (f eerie ommenté et eerie 4) sont notés TM m, n Pour es modes, l équation de dispersion est : ave ( mn, ) ( 00, ), m et n j ( t kz ) peuvent aussi se propager dans le guide ave k n b Ce sont les modes TE 0, n k m a n b C est une solution des équations de Mawell qui se propage dans la diretion ( Oz) imposée par le dispositif L utilisation de surfaes métalliques permet de analiser la propagation d une onde életromagnétique, don de onstituer un guide d onde Nous avons remarqué que le hamp életrique de ette onde non plane est transverse La solution est appelée mode de propagation transverse életrique, notée TE m, 0 où m est l entier entrant dans la relation de quantifiation que nous avons obtenue et où l indie 0 indique que le hamp ne dépend pas de la oordonnée y Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 9

233 Ondes Appliation 3 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Autre aspet de l onde TE m, 0 Soit deu ondes planes progressives monohromatiques de veteurs d ondes K et K dans le plan (Oz) et faisant un angle ave (Oz) Le hamp életrique de es ondes est tel qu au point O : On posera ) Déterminer les hamps életrique et magnétique de l onde résultante ) À quelle ondition sur, l onde résultante estelle ompatible ave la présene de deu plans onduteurs ± a -- Quelle interprétation peut-on donner au mode TE i, 0? 3) Montrer que les vitesses de phase et de groupe de l onde TE i, 0 s érivent v et v os g os En donner une interprétation géométrique ) Pour l onde : ( K K( ose z + sine )) Pour l onde : ( K K( ose z + sine )) K B E E ( ose sine z ) ej t K z + Don pour l onde résultante : ) Les onditions au limites sur un plan onduteur sont E // 0 et B 0 Soit ii en ± a : ondition -- os K sin a -- 0 sur E et B E E E 0 e jt e y K E E 0 e K B E E E 0 e j ( t Kosz K sin ) e y E ( ose + sine z ) ej t K z ( os K sin ) j ( t Kosz + K sin ) e y E E + E E 0 os( Ksin)e ( os K sin ) j ( t K os z ) e y E B B + B ( osos( K sin ) e + jsinsin( Ksin)e z )e os j ( t K z ) Par onséquent, n n n Ou sin (à ondition que sin ) Ka Ka En posant k Kos, nous retrouvons les hamps du mode TE i,0 pour n 0 La pulsation de oupure orrespond à sin soit : K a Dans e as, les ondes et sont perpendiulaires au plans onduteurs Le mode TE i,0 peut don être onsidéré omme la superposition de deu ondes planes progressives monohromatiques d amplitudes égales et se propageant ave un angle par rapport à l ae ( Oz) tel que sin a Remarquons que tous les modes impairs ( m n + ) peuvent être générés de ette façon Pour les modes pairs, il faut que les amplitudes des deu ondes au point O soient opposées 3) Pour le mode TE i0 : v --- k K sin a -- k a os v d v g os dk os (Attention os dépend de, il ne faut pas roire que k --- os orrespond à un milieu non dispersif ave ) v v g Interprétons la vitesse de phase (do 6) Considérons les deu planes (P ) et (P ) équiphase de phase nulle pour les ondes planes progressives monohromatiques () et () Le point M sur intersetion de es deu plans vérifie OM OM OM os os La vitesse de phase de l onde résultante est la vitesse de e point soit v os 30

234 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur Considérons deu photons orrespondant au ondes () et () partant à l instant initial de O L énergie qui leur est assoiée se déplae ave le plan M M La vitesse de l énergie (ou la vitesse de groupe si on admet qu elles sont égales) est elle du point H soit omme OH OM, os, v g os y O K K (P ) M H M z M Do 6 (P ) Remarque Le ours sur les interférenes de l interpéromètre de Mihelson montre que la différene de marhe dans une lame d air est donnée par δ d osi (do 7) Les interférenes sont onstrutives si δ n l 0 Nous remarquons que la relation traduisant le guidage K sin a s érit aussi : l 0 a osi ave i ---, l K 3 Aspet énergétique, vitesse de propagation de l énergie E B Le veteur de Poynting est P soit en déployant : en supposant réel Calulons le flu à travers une setion droite du guide situé en z 0 0 La densité d énergie életromagnétique est : m P k E 0 sin m os 0 a ( t kz)e z m m m E, a 0 sin os sin( t kz) os( t kz)e 0 a a E 0 E 0 ke 0 b a f P dse z d y s 0 sin m d 0 os 0 a ( t kz) ke b a ave 0 -- os ( t kz) k nous étudions e em -- 0 E B 0 m a pour le mode TE m,0 que e em -- 0 E 0 sin m os a ( t kz) -- k E sin m os 0 a ( t kz) m E 0 a 0 os m sin a ( t kz) Soit v e la vitesse de propagation de l énergie L énergie W traversant la setion droite du guide pendant une durée (grande devant la période) est ontenue i i d Do 7 La différene de hemin optique à l infini entre les rayons et est égale à δ d os i Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3

235 Ondes dans le ylindre de setion retangulaire et de longueur v e situé en amont de ette setion droite (do 8) D après la définition du veteur de Poynting : f dt Comme est grande devant la période T, et v e -- : k W f e em ddydz v e e em ddy Soit don l epression de la vitesse de l énergie : En utilisant la relation et de plus d où : f e em a 0 ke 0 a ab sin m d a e ddy em setion droite b W y 0 0 E 0 ab d après la relation de dispersion 4 k Nous en déduisons v e v g Appliation 4 0 v e os ( t + ) sin ( t + ) f e ddy em setion droite du guide E 0 sin m k m os m a a a os m d a 0 a -- ab E m k + a -- v e Do 8 L énergie W traversant la setion droite du guide est située dans le ylindre hahuré de hauteur v e La vitesse de l énergie est don égale à la vitesse de groupe pour le mode TE m,0 Ce résultat et généralisable à tous les modes d un guide d onde (f eerie ommenté) v e z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Charges et ourants surfaiques sur les faes d un guide d onde Le guide d onde est à setion retangulaire et dans le mode TE m,0 ) Rappeler l epression du hamp életrique ) En déduire la densité surfaique de harges des quatre faes : 0, a, y 0 et y b 3) Caluler le hamp magnétique orrespondant 4) En déduire la densité de ourant surfaique sur haque fae 5) Le doument 9 présente le traé des lignes de ourant sur les faes du guide à l instant t 0 et pour z variant de 0 à l pour le mode TE 0 k y b z B z a Do 9 Courants surfaiques dans le mode TE 0 A l l z 0 3

236 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur a) Est-e onforme au aluls préédents? b) Ce qui se passe au points A et B se renontre-til en régime permanent et dans l ARQS? ) Que fait en A à partir de t 0? et en B? Est-e onforme au aluls de )? 6) Comment évoluent es lignes de ourants en fontion du temps? 7) Un déteteur est introduit dans le guide en perçant une fente retiligne Sur quelle fae fait-on ette fente et selon quelle diretion de façon à perturber le moins possible les hamps? ) Pour les modes TE m,0 : m E E 0 sin os( t kz)e a z en prenant E 0 réel ) La ondition au limites E E ---- n ave l indie du vide et elui du métal Dans le métal parfait E 0 Sur la fae 0, n e, or E ( 0) 0 d où 0 Il en est de même sur la fae a Sur la fae y 0, n e y et don : m 0 E 0 sin os( t kz) a qui dépend don de, z et t Sur la fae y b, n e y et don : ( y b) ( y 0) 3) De rot E B t (f 33) : B k m --- E 0 sin os( t kz)e a m m E a 0 os sin( t kz)e a z 4) La ondition au limites est B B 0 j s n n ou j B s ar B 0 0 Sur la fae 0, n e, d où : j s m E a 0 sin( t kz)e y 0 Sur la fae a, n e, d où : 0 j s m m E a 0 os sin( t kz)e a y 0 ( ) m m E a 0 sin( t kz)e y + 0 Sur la fae y 0, n e y, d où : m m j s E a 0 os sin( t kz)e a k --- m E 0 sin os( t kz) a La valeur opposée sur la fae y b ( ) 5) a) Nous avons bien sur les faes 0 et a un ourant sur e y, es ourants sont égau ( m et ( ) m+ ) Les ourants sur les faes y 0 et y b sont bien opposés b) Tous les ourants arrivent en B d où aumulation de harge, e qui n eiste ni en régime permanent ni dans l ARQS Mais nous ne sommes dans auun de es as puisqu il y a propagation! Il en est de même en A ) À partir de t 0, la harge surfaique en A ommene par diminuer ar les ourants en partent don : d dt A ( t 0) 0 n a -- A () t 0 E a t sin os l l E 0 sint et d A ( t 0) 0 E dt 0 0 en B, augmente puisque les ourants y arrivent à d t 0 et don B 0 e que le alul montre dt aussi 6) Puisqu il y a propagation à la vitesse v --- k le système de harges et de ourants se déplae en blo selon les z roissants, à la vitesse 7) Les hamps et les ourants sont liés, don il ne faut pas perturber les ourants : il faut faire une fente parallèlement au ourants Ceu-i ne gardant la même diretion en un point au ours du temps que sur les faes 0 et a (do 9) Il faut faire une fente parallèlement à ( Oy) sur les faes 0 ou a v e y e y Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 33

237 Ondes 33 Guides d ondes 33 Propagation dans un guide Le mode partiulier que nous venons de onstruire, pour un guide d onde à setion retangulaire illustre quelques aratéristiques des ondes guidées Une étude générale de la propagation des ondes életromagnétiques dans un guide d onde onsiste à reherher des solutions des équations de Mawell dans le guide ompatible ave les onditions au limites imposées par ses parois Par eemple, pour une avité ylindrique (assimilée au vide) délimitée par des parois métalliques de génératries parallèles à ( Oz) (do 0) les équations à Do 0 Guide d onde de génératries résoudre sont : parallèles à (Oz) B div E 0 ; div B 0 ; rot E et rot B t E // B ave et nuls sur les parois La linéarité du problème permet une analyse harmonique Nous pouvons herher des solutions sous la forme d ondes monohromatiques guidées se propageant dans la diretion de l ae ( Oz) du guide, de la forme : et E(, y, z, E, y ( )e B(, y, z, B, y ( )e j ( t kz ) pour lesquelles les équations de Mawell imposent : j ( t kz ) div E 0 ; div B 0 ; rot E jb et rot B j ---- E Remarque : Il ne faut pas utiliser les identifiations de l OPPM «grad j ke z» et «rot j ke z», dans la mesure où l onde guidée n est pas plane a priori B t y z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 33 Équation de propagation et modes propres Nous savons que la divergene d un rotationnel est toujours nulle Les équations au divergenes préédentes sont don néessairement satisfaites par les hamps : j B --- rot E et E j ---- rot B Le hamp magnétique étant alulable à partir du hamp életrique de l onde, nous pouvons traduire les onditions au limites en termes de hamp életrique et reherher elui-i, qui satisfait ii l équation de propagation de d Alembert : ΔE ---- E t Notant Δ t l opérateur «laplaien transverse», nous voyons que y le problème posé revient à herher des solutions de l équation : Δ t E (, y) k E (, y) Il s agit d une équation au valeurs propres relative à l opérateur Δ t Sa résolution, ompte tenu des onditions au limites, onduit à un ensemble de modes propres 34

238 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur L étude de la propagation des ondes életromagnétiques dans un guide onduit à la détermination de modes de propagation dans elui-i La nature de es solutions dépend de la géométrie du guide d onde, dont quelques eemples sont représentés sur le doument Dans le as du guide à setion retangulaire, nous avons onstruit l une de es solutions : le mode TE m,0 Un étude omplète permet de trouver d autres modes de propagation : modes transverses életriques de type TE 0, n (polarisés parallèlement à ( O) ave quantifiation selon ( Oy) ou modes TE mn plus omplees (quantifiation selon ( O) et ( Oy) ), ou bien enore TM m, n où est ette fois le hamp magnétique qui est transverse Les solutions des équations de Mawell dans le guide d onde sont des superpositions de es modes fondamentau Remarques La propagation d un mode TEM (transverse életromagnétique) n est possible que dans un guide d onde omposé de deu onduteurs (as a, e, f et g) Un mode de e type vérifie k et ne présente pas de pulsation de oupure (f Appliation 5) En revanhe, s il n y a qu un seul onduteur (asa, b et ), les modes TEM sont impossibles et il eiste une pulsation de oupure de l ordre de grandeur de (a dimension aratéristique de la setion du guide) a Pour une fréquene de oupure de 50 Hz, a 3000 km! Pour ette raison, il est préférable d utiliser une propagation guidée par des fils doubles (as f), dans une installation életrique domestique Pour une fréquene de oupure de 5 GHz, a 3m Les guides d onde de type (a, b et ) sont don adaptés à la transmission d hyperfréquenes ( 0 GHz) Appliation 5 z a b z d z e f g z Do Quelques guides d ondes : a guide d ae (Oz) ; b à setion retangulaire ; à setion irulaire d ligne oaiale ; e ligne ruban ; f ligne bifilaire ; g ligne bifilaire blindée z z z Mode TEM et propagation dans un âble oaial Nous pouvons nous demander s il peut eister un mode de propagation à la fois transverse életrique et magnétique, noté TEM, dans un guide d onde Pour un tel mode, le hamp életromagnétique : et E(, y, z, E (, y)e B(, y, z, B (, y)e j ( t kz ) j ( t kz ) n a pas de omposante artésienne sur l ae (Oz) ) Montrer que le hamp E (, y) est de nature életrostatique : E (, y) t V (, y) ) Quelle est l équation vérifiée par le potentiel V (, y) dans la avité du guide? 3) Quelle est la relation de dispersion d un mode TEM? 4) Comparer soigneusement les strutures des hamps d un mode TEM et d une onde plane progressive monohromatique dans le vide 5) Eiste-t-il un mode TEM se propageant dans le guide d onde à setion retangulaire envisagé dans le ours? 6) Dans le as d un âble oaial (f hapitre 3) dont l âme et la gaine ont des rayons égau respetivement à a et b, reherher une solution V (, y) à symétrie ylindrique Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 35

239 Ondes Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit vzt (, ) désignant la tension életrique entre l âme et la gaine à l absisse z et l instant t, eprimer le hamp életromagnétique du mode TEM orrespondant Déterminer le ourant izt (, ) transporté par le âble et monter que e mode de propagation est ompatible ave la desription du âble Pour ela, utiliser le modèle de la ligne à onstante répartie, étudiée au hapitre 3, pour laquelle vzt (, ) Z izt (, ) pour une onde se propageant à z roissants, l impédane aratéristique du âble étant : Z b ln -- a En ylindriques ) Pour le mode TEM : rot E d r d V r d r d r n a pas de omposante longitudinale Or nous avons : Nous en déduisons : rot E (, y) 0, et l eistene d un potentiel salaire V (, y) tel que : E (, y) gradv (, y) ) Le hamp étant transverse, nous avons : don dive (, y) 0, soit Δ t V (, y) 0 Le potentiel Laplae ΔV( r) est solution de l équation de 3) Le hamp E (, y) a les propriétés d un hamp életrostatique dans le vide, en partiulier : Δ t E (, y) ΔE (, y) 0 D après l équation de propagation du mode guidé ( 33), la relation de dispersion d un mode TEM, s il eiste, est don simplement : 0 E ( rot E ) y E z y 0 dive jb E y E e j( t kz) y ( rot E (, y) )e V (, y) j ( t kz ) E E e j t kz y k ( ), Nous en déduisons que la propagation d un mode TEM n est pas dispersive 4) Le hamp magnétique du mode TEM est : B La relation de dispersion et la struture de l onde TEM sont don analogues à elle d une onde plane progressive monohromatique Attention toutefois, le mode TEM ne orrespond pas à une onde plane 5) Sur la setion du guide, le potentiel vérifie l équation de Laplae Les onditions au limites (hamp sur elles-i) imposent au potentiel de rester onstant sur es parois perpendiulaire au parois, La solution unique, de e problème, est évidente : le potentiel V (, y) est uniforme sur toute la setion du guide j --- rot E j --- ( rot E jke z ) E e k E E (, y) Dans es onditions, le hamp du mode TEM est tout simplement nul : il faudrait au moins deu onduteurs différents (eistene d une différene de potentiel possible) pour qu un guide d onde puisse être le siège de la propagation d un mode TEM C est le as pour le âble oaial de la question suivante 6) Cherhant une solution de l équation de Laplae à symétrie ylindrique : V (, y) V ( r), où r est la distane à l ae (Oz) du âble, d où : ΔV d r d V r d r d r ΔV 0 onduit à r V B (B onstante) Nous r obtenons une solution de la forme : V ( r ) A+ Blnr, j ( t kz ) V (, y) soit, ompte tenu des onditions au limites : r ln -- a V ( r) V a + ( V b V a ) b ln -- a V (, y) 36

240 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur Le hamp életrique est dans le âble : E soit : E ( gradv )e ( V a V b ) e r --- e b ln -- a r v( zt,) E e r --- b ln -- a r j ( t kz ) Le hamp magnétique s en déduit : k E B j ( t kz ) v ( zt,) e ---- b ln -- a r, La densité surfaique de ourant portée par l âme est don : j s ( zt,) e r B( r a, z, (pour la gaine, il faut hanger a en b et le signe) Le ourant parourant l âme s en déduit : et orrespond bien à la relation : 0 v ( zt,) e z --- b 0 ln -- a a izt (, ) j s e z v( zt,) , b 0 ln -- a v( zt,) Z izt (, ) attendue Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 37

241 Ondes MODÈLE DU CONDUCTEUR PARFAIT La propagation d une onde életromagnétique dans un métal est aratérisée par l effet de peau : l onde ne pénètre dans le milieu que sur une épaisseur de l ordre de l épaisseur de peau, d autant plus faible que la ondutivité du matériau et la fréquene de l onde sont élevées Ainsi, au fréquenes de l ordre du GHz, une onde életromagnétique ne pénètre quasiment pas au sein d un matériau métallique, très bon onduteur La limite du onduteur parfait orrespond à une épaisseur de peau nulle : 0, ou une ondutivité infinie Un hamp életromagnétique variable ne peut pénétrer au sein d un onduteur parfait : B 0 dans un onduteur parfait CQFR Au sein du onduteur parfait nous avons 0et j 0, par ontre il peut eister des harges et des ourants surfaiques En un point P situé au voisinage immédiat de la surfae d un onduteur parfait, les omposantes tangentielles du hamp életrique et la omposante normale du hamp magnétique, ontinues à la traversée de l interfae air/métal, sont nulles : E P, // 0 et B P, 0 On dit ouramment «E est normal à la surfae et B est tangent à ette surfae» RÉFLEXION D UNE ONDE ÉLECTROMAGNÉTIQUE SOUS INCIDENCE NORMALE SUR UN PLAN CONDUCTEUR PARFAIT La réfleion d une onde életromagnétique sous inidene normale sur un onduteur parfait est une réfleion totale Le oeffiient de réfleion vaut (déphasage de ) pour le hamp életrique et + (déphasage nul) pour le hamp magnétique Le oeffiient de réfleion énergétique vaut L onde résultant de la superposition des ondes inidente et réfléhie est une onde stationnaire E 0 Elle présente un nœud de E et un ventre de B sur le métal Les nœuds de E et les ventres de B se l orrespondent et inversement La distane entre deu nœuds onséutifs est -- et Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit GUIDAGE DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES L utilisation de surfaes métalliques permet de analiser la propagation d une onde életromagnétique, don de onstituer un guide d onde Une étude générale de la propagation d onde életromagnétique dans un guide d onde onsiste à reherher des solutions des équations de Mawell dans le guide ompatibles ave les onditions au limites imposées par ses parois L étude de la propagation des ondes életromagnétiques dans un guide onduit à la détermination de modes de propagation dans elui-i La propagation dans un guide est fontion du mode onsidéré Elle est en général dispersive Ce sont les onditions au limites qui impliquent la dispersion et l eistene de modes 38

242 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Que peut-on dire des hamps, des harges et des ourants dans un onduteur parfait? Comment sont liés les harges surfaiques, les ourants surfaiques au hamps au voisinage de la surfae d un métal parfait? Que donne une onde életromagnétique plane progressive qui arrive sous inidene normale sur un onduteur parfait? Qu est-e qu un guide d onde? Qu impliquent les onditions au limites en général dans un guide d onde? Connaissant le hamp életrique dans un guide d onde, omment aluler B, P (veteur de Poynting), omment obtenir la relation de dispersion, la vitesse de phase, de groupe, de l énergie? Du ta au ta (Vrai ou fau) Dans un onduteur parfait pour les omposantes dépendant du temps : a les hamps E et B sont nuls b j est nul mais pas il y a de l effet joule À la surfae d un onduteur parfait : a les hamps E et B // sont disontinus b les hamps et sont disontinus et d et j s j s E // B peuvent être nuls sont, a priori, non nuls e il y a dissipation d énergie sur la surfae 3 Réfleion d une OEMPP sur un plan onduteur parfait sous inidene normale : a Toute l énergie inidente est réfléhie b La densité surfaique de harge est nulle Le hamp életrique réfléhi est opposé au hamp inident au voisinage de la surfae d Il en est de même du hamp magnétique e L onde stationnaire présente des nœuds de E et de B au mêmes endroits f L onde stationnaire propage de l énergie 4 Dans un guide d onde : a il y a toujours dispersion b la dispersion, est-à-dire les vitesses de phase et de groupe, dépend du mode l onde est toujours TEM d l onde est plane dans un guide d onde à setion retangulaire e il peut y avoir dédoublement du paquet d ondes dans un guide d onde Solution, page 46 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 39

243 Eerie ommenté Propagation de modes TM entre deu plans onduteurs ÉNONCÉ On s intéresse à la propagation d ondes életromagnétiques entre deu plans d onduteurs parfaits parallèles d équation ± -- On herhe une solution des équations de propagation dont le hamp magnétique est de la forme : B f( )e i ( t kz ) e y ) Montrer que la ompatibilité de ette solution et du hamp életrique assoié ave les équations de Mawell et les onditions au limites imposent une quantifiation et une relation de dispersion à déterminer ) Traer les graphes donnant la vitesse de phase et la vitesse de groupe en fontion de la pulsation de l onde guidée pour un mode donné 3) En onsidérant le flu moyen d énergie transporté par l onde dans sa diretion de propagation, définir et aluler la vitesse d énergie assoiée au mode n À quelle vitesse s identifie-t-elle? 4) Les modes étudiés ii sont transverses magnétiques (mode TM) : le hamp magnétique est perpendiulaire à la diretion de propagation Parmi eu-i, est-il possible de trouver une solution orrespondant à un mode transverse életrique et magnétique (mode TEM)? Caratériser la propagation d une telle onde dans le guide onstitué par les deu plans onduteurs d -- y z d -- CONSEILS ) Le hamp magnétique est orienté suivant l ae ( Oy) et ne dépend pas de y SOLUTION ) Le hamp magnétique proposé a bien une divergene nulle Nous pouvons aluler le hamp életrique (variable) de l onde à l aide de l équation de Mawell-Ampère : Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La divergene d un hamp de rotation est nulle Caluler le deuième rotationnel revient à effetuer le alul usuel «rot( rot B ) ( )» don à érire l équation de propagation C est évidement plus lourd au niveau aluls E rot B , d où E t ---- kf ( )e i df( ) e d z e i( t kz) Ce hamp a une divergene nulle Au lieu d érire l équation de Mawell-Faraday pour aluler un nouveau rotationnel, nous pouvons plus simplement érire l équation de propagation, qui n est autre ii que l équation de d Alembert : ΔB ---- B t d Nous en déduisons f( ) k f( ) 0 d La solution de ette équation est osillante si k, affine si k ou ombinaison linéaire de deu eponentielles réelles si k Sur les parois métalliques «parfaites», les omposantes tangentielles du hamp életrique, E y et E z, et la omposante normale du hamp magnétique, B, sont ontinues, don nulles La seule ontrainte non trivialement vérifiée ii est : df( ) d E z 0, don , en ± -- d 40

244 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur f( ) Ae r + B e r ou sa dérivée ne s annule qu une fois au plus Nous retrouvons une ondition de quantifiation analogue à elle obtenue dans le ours pour le mode TE Il faut éviter de ompliquer le alul en herhant diretement la valeur d( k) de dk Différenier au préalable la relation de dispersion rend les aluls plus aisés Le seul type de solution f( ) non triviale, dont la dérivée s annule en d ± --, est une solution osillante, que nous pouvons érire sous la forme f( ) A os( ) + B sin( ), en posant k Les onditions au limites imposent : pour d --, l équation : ; A sin d B d os pour + d --, l équation : A sin d -- + B d os Pour obtenir une solution différente de la solution triviale A 0 et B 0 ( està-dire : pas d onde!) le déterminant du système d équations doit être nul, soit : sin( d) 0, don n n --- Il eiste don une quantifiation, la relation d de dispersion est donnée par : k n d Remarquons que B n n n os A sin n Ainsi B n 0 pour n pair, et A n 0 pour n impair : ela nous permet de définir : f( ) f 0nos n ) La propagation est possible pour n, pulsation de oupure du n mode n : n d La vitesse de phase est v f k n Leurs graphes sont donnés i-ontre n d d + -- La relation de dispersion nous donne k dk est : v g d k n d k v f v d , don la vitesse de groupe v f v g Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 4

245 Eerie ommenté Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La manipulation de grandeurs non linéaires néessite quelques préautions Pour obtenir leur valeur instantanée, il faut a priori revenir en notation réelle Mais pour aluler la moyenne d une grandeur A quadratique omme le veteur de Poynting, l utilisation de A -- e (omplee, omplee onjugué) permet d obtenir aisément le résultat reherhé L onde életromagnétique est guidée par les parois métalliques, don renvoyée suessivement par deu bords et analisée dans la diretion de l ae ( Oz) Nous nous intéressons ainsi à l énergie propagée dans l intervalle Δ d entre les deu plans métalliques La vitesse de l énergie n est pas néessairement la vitesse de groupe pour une onde non plane ou pour une onde plane dans un milieu absorbant Lorsque la relation de dispersion est k ---, la vitesse de phase v est égale à ; indépendamment de la fréquene de l onde : la propagation n est pas dispersive 3) La moyenne temporelle du veteur de Poynting est : P e E B ( ) -- k f n 0 d d os + -- e z Le flu moyen d énergie transportée à travers une setion ΔΔy dδy perpendiulairement à la diretion de propagation de l onde est : -- k F P e z dδy f d Δ y 4 0 d -- La densité moyenne d énergie est : e -- e E E f 0 d B B k d sin k d + os + -- Nous pouvons don définir pour une setion ΔΔy dδy du guide, une énergie : d -- e dδy d d Δ y k f d Δ y 4 0 La vitesse de propagation de l énergie peut alors être définie par : v e flu moyen d énergie à travers une setion F k v énergie par unité de longueur dans le guide g La vitesse de propagation de l énergie s identifie don à la vitesse de groupe 4) Le hamp életromagnétique de l onde est de la forme : E f k d + -- d os e + isin + -- e z e d B f 0 os + -- e f 0 i ( t kz ) e y Nous voyons que le hamp életrique de ette onde transverse magnétique est lui aussi perpendiulaire à la diretion de propagation, est-à-dire l ae ( Oz), si 0 Ce mode partiulier est transverse életrique et magnétique (mode TEM), et sa relation de dispersion se réduit à : k --- i ( t kz ) La propagation de e type d onde guidée n est pas dispersive, 4

246 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Onde életromagnétique le long d un onduteur parfait Une onde progressive életromagnétique se propage parallèlement à un plan onduteur parfait La surfae plane du onduteur est le plan ( Oy) Le métal est semi-infini, et oupe la zone ( y0) z Le hamp életrique est de la forme : E ) Caratériser la forme générale aeptable du hamp életromagnétique orrespondant à des solutions de e type ) Quelles sont les harges et ourants portés par le onduteur parfait? 3) Définir et aluler la vitesse de propagation de l énergie Réfleion d une onde sur un métal «parfait» Pression de radiation Une onde plane progressive monohromatique à polarisation retiligne, se propage dans le vide dans la diretion ( O), dans le sens des roissants : E i E 0 e (on supposera E 0 réel positif) En 0, elle arrive sur la surfae plane d un miroir métallique parfaitement onduteur et donne naissane à une onde réfléhie se propageant dans le sens des déroissants : E r E 0r ej t + k E f( y) os( t k) j ( t k ) e y onde inidente onde réfléhie ( ) e y y O z y e z ) En érivant les onditions au limites que doivent vérifier les hamps E et B en 0, déterminer : a) l amplitude E 0r du hamp réfléhie en fontion de E 0 ; b) la harge surfaique et le ourant surfaique js qui peuvent se trouver sur la surfae métallique 0 ) Déterminer le hamp életromagnétique résultant de l onde réfléhie dans le demi-espae 0 Caratériser brièvement l onde résultante Caluler la valeur moyenne de son veteur de Poynting 3) Le hamp életromagnétique eere sur une surfae ds du miroir une fore df dont l epression est, en notation réelle : df -- ( E + j s B)dS a) Proposer une epliation de la présene du fateur -- b) En déduire que l onde eere une pression P sur le miroir dont on alulera la valeur moyenne P en fontion de la densité volumique moyenne d énergie e i de l onde inidente, puis en fontion de la densité volumique d énergie totale e totale au voisinage immédiat du plan ; P est appelée pression de radiation ) Caluler P pour une onde inidente fournie par un laser de puissane moyenne i 3mW, dont la setion droite est s 0,4 mm 4) Aspet orpusulaire a) Quelle est la densité moyenne d énergie életromagnétique assoiée à ette onde? Quelle densité équivalente de photons peut lui être assoiée? (Un photon de fréquene a une énergie h h et possède une impulsion p ) b) Cette onde de réfléhit totalement sur un plan onduteur parfait En onsidérant le rebond équivalent des photons sur la paroi métallique, évaluer la pression de radiation P subie par le plan métallique Poussée eerée par le rayonnement Un photon d énergie h possède une impulsion (ou quantité de mouvemen p ) Quelle densité volumique h n de photons peut-on assoier à une onde plane progressive monohromatique életromagnétique, se propageant dans le vide, dont le hamp életrique est noté E E 0 os( t kz)? 43

247 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit ) Vérifier que e résultat est analogue à elui obtenu an assoiant au hamp életromagnétique une impulsion volumique : g 0 E B 3) L onde progressive est réfléhie par une sphère parfaitement ondutrie, de entre O et de rayon R Eprimer le fore F eerée par les photons qui rebondissent sur la sphère 4) Comparer le résultat obtenu ave elui que donnerait l interation de l onde inidente ave une sphère parfaitement absorbante 5) AN : Caluler F pour une bille métallique de rayon R mm, subissant l influene d un faiseau laser de setion ylindrique de rayon R et de puissane m égale à mw Ce faiseau vous semble-t-il apable de maintenir en lévitation la bille? Sinon, quel rayon faudrait-il donner à la bille pour que ela devienne envisageable? * Modes de propagation dans un guide d onde à setion retangulaire On souhaite déterminer la forme des ondes életromagnétiques se propageant dans un guide d onde retiligne, de génératries parallèles à l ae ( Oz) Le métal onstituant les parois du guide est assimilé à un onduteur parfait Le hamp életromagnétique d une onde guidée de pulsation est noté : E(, y, z, E, y désigne l opérateur «laplaien transverse» Le veteur N N e + N y e y veteur normal au parois du guide, désigne un On note K k Le as K 0 orrespond à un mode TEM qui ne peut eister dans le guide d onde envisagé par la suite Il sera don elu ) Caratéristiques générales des ondes guidées a) Rappeler les équations satisfaites par le hamp életromagnétique dans le guide Préiser les onditions au limites imposées sur les parois du guide en faisant intervenir le veteur normal N ( )e B(, y, z, B, y L ériture Δ t y ( )e j ( t kz ) j ( t kz ) b) À l aide des équations de Mawell, montrer que les omposantes transverses E, E y, B et B y des hamps E (, y) et B (, y) peuvent être alulées à partir de leurs omposantes longitudinales et (plus préisément, à partir de leurs dérivées par rapport au oordonnées et y) ) Quelle est l équation satisfaite par les grandeurs E z (, z) et B z (, z)? d) Montrer que les onditions au limites imposent, sur les parois du guide : B E z 0 et N z B N z y e) Pourquoi peut-t-on affirmer qu une onde est généralement la superposition de modes de propagation dits transverses életriques (modes TE) et transverses magnétiques (modes TM) respetivement? On étudiera dorénavant les modes de propagation z dans un guide à une setion retangulaire, onstitué de quatre parois b a métalliques d équations y 0, y 0, a et O y b respetivement ) Modes TM ( B z 0) On peut, sans restreindre la généralité des solutions obtenues, herher la omposante longitudinale du hamp magnétique sous la forme d une solution à variables séparées, soit : E z (, z) F( )G ( ) a) Montrer que les fontions F et G sont néessairement des solutions osillantes, dont les pulsations spatiales sont quantifiées (on notera m et n les nombres entiers intervenant dans ette quantifiation) b) En déduire la forme du hamp életromagnétique du mode TM mn, Quelle est la relation de dispersion de e mode? 3) Modes TE ( E z 0) Reprendre rapidement les questions préédentes dans e as omplémentaire, en posant : B z (, z) f( )gy ( ) E z B z 4) Le guide d onde est plaé devant une petite antenne émettrie Comment peut-on s arranger pour n eiter que le seul mode TE 0, (on suppose ab)? 5) Propagation d énergie On s intéresse au mode obtenu à la question ) TM mn, 44

248 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur a) Déterminer la densité volumique moyenne d énergie e mn, assoiée à e mode (N B : la moyenne envisagée est ii une moyenne temporelle et spatiale, effetuée sur une setion d absisse z donnée du guide) b) Déterminer la valeur moyenne du flu d énergie à travers une setion d absisse z du guide ) Définir la vitesse de propagation de l énergie assoiée à e mode L eprimer en fontion de et À quelle grandeur s identifie-t-elle ii? ( mn, ) l atténuation de l onde, eprimée en déibel par mètre, si l 3m, a m et S m Données : L épaisseur de peau est : d ; 0 gain de puissane : G db 0 log Cavité résonante sortie entrée * Atténuation d une onde dans un guide métallique On s intéresse à la propagation d une onde progressive monohromatique dans un guide métallique d ae ( O), à setion arrée de ôté a (parois d équations y 0, y a, z 0 et z a), dans le mode TE 0 Le hamp életrique est polarisé dans la diretion de ) Le métal est supposé parfait Rappeler brièvement les aratéristiques des hamps E et B Déterminer, en partiulier : la valeur moyenne (temporelle et spatiale) du veteur de Poynting ; la valeur moyenne (temporelle et spatiale) du arré du ourant surfaique j s sur les parois du guide ) Le métal est de ondutivité grande, mais finie, et nous admettons que les grandeurs alulées préédemment sont presque eates Pour simplifier, nous onsidérons que le ourant volumique j est uniformément distribué sur une épaisseur égale à l épaisseur de peau δ Caluler, ave es hypothèses : la puissane dissipée sur une longueur ; e y Une avité a la forme d un parallélépipède retangle dont les ôtés OA a OB b et OC d sont portés par ( O) ( Oy) et ( Oz), O étant un sommet Les parois de ette avité vide sont faites d un métal parfait ) Trouver la relation reliant k k k 3 pour que le hamp életrique E de oordonnées : E E os( k + f ) sin( k y + f ) sin( k 3 z + f 3 ) ost, E y E sin( k + f ) os( k y + f ) sin( k 3 z + f 3 ) ost, E z E 3 sin( k + f ) sin( k y + f ) os( k 3 z + f 3 ) ost, satisfasse à l équation de propagation dans le vide ) Établir une relation entre k k k 3 et E, E, E 3 3) Déterminer les valeurs possibles de pour que E satisfasse au onditions au limites On eprimera en fontion de trois entiers n, n, n 3 On obtient ainsi les pulsations propres de la avité Caluler la plus petite pulsation propre ( ab d) 4) Déterminer le hamp magnétique dans la avité Satisfait-il au onditions au limites? Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 45

249 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 46 Corrigés ) Le hamp életromagnétique de l onde envisagé doit satisfaire les équations de Mawell dans le vide, ainsi que les onditions au limites imposées par le onduteur parfait, soit : Équations de Mawell dans le vide r 0 et j 0 div E 0 (M-G), div B 0 (M-), B E rot E (M-F), rot B (M-A) t t Conditions au limites (, y 0, z, E z (, y 0, z, 0, (, y 0, z, 0 Le hamp életrique proposé est de divergene nulle ; l équation (M-G) est satisfaite Le hamp magnétique de l onde s en déduit, par intégration de l équation (M-F) par rapport au temps, à un hamp statique ne se propagant pas près : B rot ( f( y) os( t k ) e t z ) df( y) os( t k ) e dy + kf( y) sin( t k )e y, d f( y) k don B sin( t k )e dy --- f( y) os( t k ) e y Construit à l aide d un rotationnel, e hamp magnétique vérifie naturellement l équation (M-) L équation de propagation peut être substituée à (M-A) et onduit, dans le vide, à l équation différentielle, définie dans la zone ( y 0) : f ( y) k f( y) 0 Les onditions au limites imposent de plus f( 0) 0 On doit don envisager trois as Si k ---, alors f ( y ) f, où 0 sh( Ky) K k Cette solution diverge pour y, e qui est inaeptable, sauf si f 0 0 Cette solution est don à rejeter Si k ---, alors f ( y ) F, qui est inaeptable, sauf si : 0 y F 0 0 ette solution est aussi à rejeter Si k ---, alors f ( y ) f, où 0 sin( Ky) K k Cette solution non divergente est aeptable On obtient alors : et Solution du ta au ta, page 39 Vrai : a ; Fau : b, Vrai : a,, d ; Fau : b, e 3 Vrai : a, b, ; Fau : d, e, f 4 Vrai : b, e ; Fau : a,, d E B y E f 0 sin( Ky) os( t k ), ave k + K e z K B f os( Ky) sin( t k) e K f sin( Ky) os( t k) e y (la propagation est disperdive) L onde obtenue n est pas plane, elle se propage dans la diretion ( O) et elle est stationnaire selon ( Oy) Son hamp életrique est transverse, mais pas son hamp magnétique ) On utilise les onditions au limites pour aluler les harges et ourants surfaiques portés par le plan onduteur parfait ( Oz) : 0 E y ( y 0 + ) 0 e et j y B( y 0 + ) K s f sin( t k )e 0 3) Le veteur de Poynling de l onde est : P E B K f sin ( Ky) os ( t k )e 0 0 f 0 K os( Ky) sin ( Ky) os ( t k ) sin ( t k )e 0 y Sa moyenne temporelle P K sin est dirigée dans la 0 ( Ky)e diretion de propagation de l onde La moyenne temporelle de la densité volumique d énergie de l onde est : e 0 E B f 0 - sin ( Ky ) f K os + ( Ky) k sin Ky ( ) Samoyennedansunplan te,vaut e 0 f t, y ,ar k + K On peut définir la vitesse d énergie omme le rapport entre le flu moyen d énergie à travers une surfae unité d un plan te et la moyenne de la densité volumique d énergie assoiée à l onde : v e P t, y k e e 0 0 k --- e K e v g e t, y ) a) Les hamps B i de l onde inidente et B r de l onde réfléhie sont donnés respetivement par : e B E i E i , soit B 0 ; i ---- e j ( t k ) e z e B E r r, soit B r E 0r e j ( t k ) e z À la surfae du métal, en 0, il y a ontinuité de la omposante tangentielle du hamp E (total), don ii de E, e qui onduit à : f 0 E i ( 0, + E r ( 0, 0, puisque le hamp est nul dans le métal (f hapitre 7) On en déduit E 0r E 0 ( E 0r est réel) b) On onsidère les autres onditions au limites : le hamp életrique étant tangent à la surfae du métal, on en déduit 0;

250 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur la ondition sur la omposante tangentielle du hamp magnétique B tangent 0 j s N ( N désigne le veteur unitaire normal sortant du métal) permet le alul du ourant surfaique ; il vient : j s E e, 0 j t e y 0 E 0 e j t e y soit en notation réelle : j s 0 E 0 os( e y ; le hamp magnétique étant tangent à la surfae du métal, la ondition sur la omposante normale de B, à savoir B normal 0, est automatiquement vérifiée ) Dans le demi-espae 0, le hamp életromagnétique s érit : E E i + E r E 0 e j ( t k ) e E e y 0 je 0 sin ke jt, E os( k) e, j t e z soit en notation réelle B E os( k) os( e z L onde résultante est une onde plane, stationnaire, monohromatique, à polarisation retiligne Pour eprimer la valeur moyenne du veteur de Poynling, on peut utiliser indifféremment la notation omplee ; on trouve évidemment pour une onde stationnaire P 0 3) a) Dans e modèle de métal parfaitement onduteur, il faut bien prendre garde à ne pas utiliser diretement, en 0, la fore de Lorentz : (soit ii df j s B ds, ar est nul) En effet, une densité surfaique de ourant j s ne peut eerer de fore sur elle-même (de même une densité surfaique de harge ne peut eerer de fore sur elle-même) Ii, la ontribution de dans l epression du veteur B n est pas nulle ; il est don impossible d érire df j s B ds En fait, il faut utiliser : df B réé par tous ds ave Bréé par tous - B les ourants total les ourants sauf j s sauf j s En effet, il ne faut pas prendre la valeur du hamp magnétique en 0, ni sa valeur en 0 + (qui est nul dans le métal) ; un «ompromis» non rigoureu onsiste à prendre la valeur moyenne : - ( B( 0,, + B( 0 +, ) - B( 0, e qui donne bien la relation demandée Prendre la demi-somme revient en quelque sorte à onsidérer la valeur moyenne du hamp sur «l épaisseur» (qui est forément non nulle, ar un ourant ou une harge surfaique ne sont j s j ( t + k ) e y soit en notation réelle E E 0 sin ksinte y ; E B B i + B 0 E r ---- e j t k ( ) e 0 z e B réé par tous les ourants sauf j s js j ( t + k ) e z df ( E + j s B)dS j s que des modèles obtenus et négligeant l épaisseur d un ourant ou d une harge volumique) du ourant qui eiste au voisinage de la surfae du métal En toute rigueur, l epliation finale permet simplement de dire qu il faut multiplier l epression ( E + j s B)dS par un ertain fateur inférieur à l unité pour obtenir la fore qui s eere sur le métal ; en auun as, elle ne permet de dire que e fateur doit être pris égal à - On admet don e résultat qu il est possible de justifier rigoureusement b) Par unité de surfae de métal, s eere don la fore réelle f - j, e qui permet de définir la pression s B( 0, Pe de radiation P Pour aluler sa valeur moyenne P, on peut enore utiliser indifféremment la notation réelle ou la notation omplee Ave la notation omplee : f e, d où - - j B s 0 E 0 e P 0 E 0 Une pression de radiation se mesure en Pa, est-à-dire en J m 3, omme une densité d énergie volumique On peut don relier P et la densité volumique moyenne d énergie de l onde inidente ; il vient : E e i i B i * B e 0 0 E i E i B i i e i -, 0 E 0 - P e qui permet aussi d érire P ) Pour l onde plane progressive monohromatique inidente, la puissane vaut i e i s, d où P ---- et on trouve, soit s i P Pa une valeur etrêmement faible! 4) a) La densité moyenne életromagnétique est : E e i i B i E L énergie d un photon est h, où h est la onstante de Plank On peut don assoier une densité partiulaire n par unité de volume) à l onde inidente b) L impulsion (ou quantité de mouvemen d un photon inident est : h h p i e, où k i Une fois réfléhi, e photon a l impulsion : h p r k r ( e ) La variation d impulsion du photon est don : Δp h e y Le nombre de photons, de vitesse, réfléhis pendant l intervalle de temps d t par une surfae d S du plan onduteur, vaut : d N nds( d La pression eerée sur la paroi est don donnée par : dn P dse Δ p +nhdse, dt soit P e i e totale e i e totale 0 E (nombre de photons h Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 47

251 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 48 Corrigés est : On en déduit : ) La densité volumique moyenne d énergie assoiée à ette onde e i n 0 E h ) La densité volumique d impulsion moyenne assoiée à l onde plane progressive monohromatique est : g 0 E B 0 E e 0 E, z e z et l on vérifie que l égalité g n h e redonne bien la même z epression pour la densité volumique de photon n 3) Les photons, d impulsion initiale p h e, z h ( os e r + sin e ) sont réfléhis par la sphère dans une diretion symétrique de (Oz) par rapport à la normale à la sphère ( i i r ) Leur impulsion après réfleion est : h p ( os e r + sin e ) h Leur variation d impulsion est p p ( os e r ) Le nombre de photons subissant la réfleion sur un élément de surfae ds R d RdRsind de la sphère entre t et t+ dt est : dn n( d ( ds) os La fore eerée sur la sphère est l opposée de la variation d impulsion des photons par unité de temps : --- F h os e r ( n R sin dd os ) 0 f 0 Sa seule omposante non nulle est : soit finalement F R 0 E e z 0 E F z n h R os 3 sind d R n h p f 0 e r dt p 4) S il y a absorption des photons, la variation d impulsion assoiée est h simplement p e, et on a : z e z F h e nombre de photons heurtant la sphère par unité de temps z h F n R e R E 0 e z z Le résultat est don le même, e qui signifie que l impulsion moyenne emportée par les photons réfléhis sur la sphère dans la question préédente est nulle (une étude plus préise montrerait que la diffusion élastique des photons par la sphère réfléhissante est une diffusion isotrope) 5) AN : Par unité de surfae, le laser transporte une puissane moyenne : m e R i 0 E , et l on en déduit F 0,33 0 kg m s Pour une bille métallique, on peut estimer que la masse volumique est de l ordre de quelque 000 kg m 3, e qui donne un poids : 4 mg - R, 3 3 g kg m s bien supérieur à une éventuelle poussée donnée par le faiseau La lévitation est don elue Elle devient possible pour R 4 e i - R, soit 3 3 g R 4,3 0 6 m La bille n est alors qu une poussière Remarque Des epérienes ont permis de piéger des atomes à l aide de faiseau laser ; les effets de l interation entre la matière et le rayonnement ompensent alors largement le poids, mais la desription de es phénomènes néessite l emploi de la méanique quantique ) a) Dans le guide, en l absene de harges et ourants, le hamp életromagnétique satisfait au équations de Mawell dans le vide : B E dive 0, divb 0, rot E et rot B t t Pour l onde étudiée, les équations au rotationnels s érivent : rot E jb ; rot B j--- E Les équations au divergenes sont dès lors évidemment vérifiées, puisque la divergene d un hamp de rotationnel est nulle Sur les parois du guide, assimilées à un onduteur parfait, le hamp életrique tangent et le hamp magnétique normal, sont ontinus, et doivent don s annuler : E n 0 et B n 0 sur les parois du guide b) Les équations au rotationnels s érivent : j E rot B jke z B équivaut au système : j E B z + j kb y y j E B z j kb ; y j E B B y z y

252 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur jb rot E jke z E équivaut au système : Il vient don : jb E z j ke y y E z jb y j ke E y E jb z z y K E j k E z j B z K B y j E z et y j k B z K E y j k E z j B z K y B y j --- E z j k B z y y Ces éritures montrent que les omposantes transverses du hamp sont déterminées par la donnée de ses omposantes longitudinales ) Le hamp de l onde satisfait l équation de propagation des ondes életromagnétiques dans le vide, est-à-dire l équation de d Alembert On en déduit en partiulier : Δ t E z + K E z 0 et Δ t B z + K B z 0 D autre part, la ondition au limites E z 0 implique F ( 0 ) F( a) 0 et G( 0) G( b) 0, imposée par les parois, Les fontions F et G sont don néessairement osillantes (C et C sont des onstantes négatives) et de la forme : F( ) F 0 sin( ) et G( y) G 0 sin( y) m n ave et , où m et n sont des entiers non nuls (si m ou a b n étaient nuls, alors E z aussi, et le hamp de l onde aussi : les modes TM 0n et TM m0 n ont pas d intérê E z (, y) E sin m a ny sin b b) On obtient Les relations établies en ) b) permettent d en déduire le hamp életromagnétique omplet de e mode TM mn : k m m E ---- E K a os a ny sin b E y j---- k n m E, K b sin a os ny b m E z E sin a sin ny b d) Les onditions au limites sur les parois sont E N 0, don : N E y N y E 0 et E z 0 et B N 0 d où N B + N y B y 0 On obtient don bien E z 0 Des autres équations, et en utilisant les epressions E et E y i-dessus, on déduit l autre ondition demandée : N B z N B z 0 y y e) À partir d une fontion E z (, y) satisfaisant l équation et les onditions au limites en ) ) et d), on peut onstruire (f ) b)) un mode de propagation du type ( E z (, y), B z 0) C est un mode transverse magnétique (TM) De même, à partir d une fontion (, y), on peut onstruire un mode de B z propagation du type ( E z 0, B z (, y) ) C est un mode tranverse életrique (TE) Plus généralement, les omposantes transverses du hamp se déduisent de ses omposantes longitudinales ( E z (, y), B z (, y) ) solutions (superposables) des équations ave onditions au limites établies en ) ) et d) L onde est alors une superposition de modes TE et TM On notera que les raisonnements préédents ne sont utilisables bien entendu que pour K non nul ) Modes TM a) De Δ t E z + K E z 0, on en déduit : F ( ) G ( y ) K F( ) G( y) Les deu membres de ette égalité, fontions des variables indépendantes et y, sont néessairement onstants, don : F ( ) F( ) C G et ( y ), ave G( y) C C + C K j n m B E K b sin a ny os b j m m B y E, K a os a sin ny b B z 0 ave K m La relation de dispersion s érit : a + n b k --- m a n b et fait apparaître une pulsation de oupure basse : ( m, n) 3) Modes TE De Δ t B z + K B z 0, on déduit : m --- a n + - b f ( ) g ( ) K, f( ) g( ) puis f ( ) et, ave f( ) C g ( ) g( ) C C + C K La ondition au limites N B z z, imposée par les parois, N B z 0 y y implique : d f df dg dg ( 0 ) ( a ) 0 et ( 0 ) ( b ) 0 d d dy dy Les fontions f et g sont don osillantes (ou éventuellement onstantes), de la forme : f( ) f os m et, a my g( ) g os b où m et n sont des entiers pouvant être nuls (mais pas simultanémen Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 49

253 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 50 Corrigés Le hamp du mode TE m, n est de la forme : jk m B ---- B K a os m a ny sin b et B y j jk n ---- B K b sin m a ny os b B z B os m a ny os b La relation de dispersion est la même que pour le mode TM m, n : La relation de dispersion s érit : k --- m a n b et fait apparaître une pulsation de oupure basse : ( m, n) Remarque j n m E B K b os a ny sin b j m m E y B K a sin a os ny b E z 0, m --- a n + - b Un mode qui orrespondrait à la fois à un mode TE et à un mode TM serait, d après les résultats des questions préédentes, dérit par un hamp életromagnétique identiquement nul : il n y a pas de mode TEM dans le guide d onde envisagé 4) Si a b, le mode TM 0, possède la pulsation de oupure la plus petite Si l antenne est alimentée à une pulsation supérieure à b elle-i, mais inféreieure au fréquenes de oupure des autres modes, alors ( ) on pourra séletionner e mode d eitation du guide d onde 5) a) La densité moyenne d énergie est :, - e t setion 0 E B E 0 soit e t, setion k K K 0 E K b) La moyenne temporelle du veteur de Poynling est : P t, setion E B 0 setion P t, setion e ( E B y E y B )e z setion 0 et P k E 8 0 K 0 e z ) La vitesse de propagation de l énergie peut alors être définie omme : flu moyen d énergie à travers une setion P v e énergie par unité de longueur dans le guide e La relation de dispersion du mode est : k ( m, n ),, setion k don et v g (, ) ---- La vitesse de propagation de l énergie s identifie don à la vitesse de groupe ) Le hamp életrique est : La moyenne du veteur de Poynting est : k E e 4 0 Sur les faes normales à e y, en y 0 et y a : don v ( m, n) Sur les faes normales à e z, en y 0 et z a E , don j 4a s j ) La puissane dissipée par unité de volume est vol δ La puissane, pour haque plaque, est dissipée dans un volume aδ, soit : al dissipée E δ 0 a La puissane moyenne rayonnée à travers la setion d absisse du guide est : rayonnée ( ) k E a 4 0 Celle-i déroît du fait des pertes : d a d rayonnée ( ) dissipée E δ d 0 a Il vient don : soit ( ) rayonnée ( 0)e L m n v z E E sin os( t k ave a )e y k a Les omposantes du hamp magnétique sont : j s B + z os----- sin( t k a a ) B y 0 k B z z --- E 0 sin----- os( t k a ) R temps spatiale B + B z B rayonnée E d rayonnée E k E , 4 a E a ( ) rayonnée ( ) d, L -- k j s

254 8 Réfleion et guidage d une onde par un onduteur La longueur L aratérisant l atténuation dans le guide est : δ L 0 k a k a a a AN : L 80 m, d où une atténuation de 0,05 db par mètre ) Chaque omposante artésienne du hamp E vérifie l équation de d Alembert soit : d où : k + k + k On obtient la même relation (de dispersion) en onsidérant puis ) On a dive 0 Le alul onduit à : k E + k E + k 3 E 3 0 3) On doit avoir E tangentiel 0 sur haune des si faes soit : fae 0 E y ( 0, y, z, 0 pour tout y, z, t E z ( 0, y, z, 0 d où sinf 0 et don f 0 (hoisir f revient à hanger les signes de E et E 3 ) ; fae a E E E E y z t E y ( a, y, z, 0 pour tout y, z, t E z ( a, y, z, 0 d où sin k a 0 et don k a n ave n ; pour les faes y 0 et y b f 0 et k b n ; pour les faes z 0 et z d, f 3 0 et k 3 d n 3 E y E z En reportant dans la relation de dispersion, les seules pulsations pouvant eister ompatibles ave les onditions au limites dans la avité sont : n, n, n 3 n n +, a n b d pulsations propres dépendant de trois entiers n, n, n 3 Il semblerait que la plus petite pulsation propre s obtient en prenant n 0 n 0 n 3 puisque d b a D où k 0 et k 0 et E E y E z 0 Lapluspetitepulsationpropreestalorsobtenuepourletriplet ( 0,, ), alors : E E sin --- y b sin --- z oste d qui satisfait bien au onditions au limites en y 0 et b en z 0 et d et à dive 0; remarquons que les parois 0 et a ne servent à rien Ces modes propres sont aussi eu que l on trouve dans un guide d onde à setion retangulaire quand il n y a pas propagation ( k 0) 4) B s obtient par intégration de l équation de Mawell Faraday rote B t On obtient : k B 3 E k E sin k os k y os k 3 z sint k B E 3 k 3 E y os k sin k y os k 3 z sint k B E k E os k os k y sin k 3 z sint On doit avoir B Normal 0 sur haque fae don : sur la fae 0 B 0 e qui est vérifié n sur la fae a B 0e qui est vérifié ar k et sin k a a 0 et de même sur les autres faes Ainsi les onditions au limites pour B n apportent rien de plus Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 5

255 Ondes 9 életromagnétiques dans un milieu diéletrique PC Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Modèle de polarisation, indie Dispersion et absorption dans un milieu diéletrique Lois de Desartes Coeffiients de réfleion et de transmission Osillateur harmonique amorti Propagation Dispersion et absorption Nous avons abordé au hapitre 7 les phénomènes de dispersion et d absorption d une onde, en partiulier en étudiant un modèle élémentaire de propagation des ondes életromagnétiques dans un milieu onduteur Un milieu isolant ne ontient pas de harges de ondution (appelées également harges libres, ar elles peuvent se déplaer au sein de l ensemble du matériau) mais des harges dites liées, ar leurs mouvements sont d etension limitée Sous l ation du hamp életromagnétique d une onde, es harges (életrons, atomes, ) osillent «sur plae» à la fréquene de l onde Les fréquenes aratéristiques assoiées au osillations de es harges liées se manifestent, au niveau marosopique, par l eistene de zones multiples d absorption et de transparene Dans e hapitre, nous tenterons de rendre ompte de es phénomènes, en général omplees, en utilisant le modèle élémentaire de la «harge élastiquement liée» Nous étudierons ensuite la propagation d une onde életromagnétique dans un tel milieu diéletrique et le omportement à la surfae de séparation de deu milieu (lois de Desartes) 5

256 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) Epliitement au programme des élèves de la filière PC, le travail de e hapitre est reommandé à tous les étudiants Polarisation d un milieu matériel Phénomène de polarisation dans les milieu isolants Un milieu onduteur ontient des harges életriques (életrons ou ions) suseptibles de se déplaer dans l ensemble du matériau onduteur Pour ette raison, es harges sont appelées harges libres ou harges de ondution À l éhelle marosopique, elles sont responsables des densités volumiques de harge et de ourant qui apparaissent dans les équations de Mawell Dans un milieu isolant, enore appelé milieu diéletrique, de telles harges libres n eistent pas : les életrons sont liés au atomes ou au moléules, les ions sont liés les uns au autres et pour ette raison es harges sont appelées harges liées Cependant, es harges ne sont pas omplètement immobiles, elles peuvent se déplaer légèrement (sur des distanes mirosopiques de l ordre des dimensions atomiques) autour de leur position moyenne sous l ation d un hamp életrique par eemple Ces déplaements de harges peuvent provoquer l apparition de moments dipolaires induits : on dit que le milieu se polarise Il eiste divers types de polarisation : életronique, dipolaire et ionique Polarisation életronique ou atomique Un matériau isolant, initialement neutre, peut être onstitué d atomes ou de moléules présentant une symétrie telle qu ils ne possèdent pas de moment dipolaire életrique permanent (moléule de dihydrogène H, de dioygène O ou de diazote N par eemple) En revanhe, lorsqu il est plongé dans un hamp életrique E, e dernier déforme les atomes ou les moléules (les nuages életroniques sont déformés et les noyau beauoup plus lourds sont légèrement déplaés)) et provoque ainsi l apparition de moments dipolaires «induits» par E (do ) j p miro a) b) b + b Do Moment dipolaire E 0 E p miro induit par le hamp E Par suite, à l éhelle mésosopique, un volume d de l ordre du entième de m 3 par eemple et ontenant un très grand nombre de partiules, présente, sous l ation du hamp E, un moment dipolaire d p somme de tous les moments élémentaires p miro ontenus dans d : d p p miro Un tel milieu présente une polarisation életronique ou atomique b b + p miro En l absene de hamp, les baryentres b + et b des harges positives et négatives sont onfondus En présene du hamp E, ils sont distints Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 53

257 Ondes Appliation Modèle de polarisation életronique d un atome On modélise un atome d hydrogène par un nuage életronique sphérique de entre O et de rayon R, dont la harge e est uniformément répartie, et un noyau pontuel situé en O de harge +e Plaé dans un hamp életrique uniforme E, on admet que le nuage életronique se déplae, sans se déformer, d une distane d par rapport au noyau ( d R) Déterminer le moment dipolaire atome induit par le hamp E et E de et en fontion de 0, R Le noyau est soumis à l ation des hamps életriques E etérieur et E n réé par le nuage életronique À l équilibre, le noyau se trouve en N à une distane d de O, entre du nuage életronique (do ) et nous pouvons érire : ee En appliquant le théorème de Gauss sur une sphère de entre O et de rayon d, nous pouvons déterminer le hamp E n ( N) : 4d E n + ee n ( N) 0 q int 0 p miro ed , 0 R 3 d où E n ( N) où u désigne un veteur unitaire olinéaire à E et de même sens Nous déduisons ainsi le moment dipolaire induit : p miro edu 4 0 R 3 E de la forme : est appelé polarisabilié de l atome, son ordre de grandeur est elui du volume de l atome, e que onfirme l epériene a) O E 0 p 0 p miro ed u, 4 0 R 3 b) noyau E n 0 E Do a Atome d hydrogène en l absene de hamp b Déplaement du nuage életronique de l atome sous l ation d un hamp életrique E O d sphère de Gauss u N E 0 p 0 E Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Polarisation dipolaire ou polarisation d orientation Un matériau isolant, initialement neutre, peut être onstitué d atomes ou de moléules asymétriques présentant un moment dipolaire életrique permanent p 0 miro, omme les moléules d eau H O, de hlorure d hydrogène HCl ou d ammonia NH 3, (do 3) À l éhelle mésosopique, dans le volume d, elles-i sont en mouvement désordonné et se heurtent les unes ontre les autres, en raison de l agitation thermique De e fait, les moments dipolaires sont orientés de manière aléatoire et il n apparaît pas dans le volume d de moment dipolaire En revanhe, en présene d un hamp életrique, elui-i eere un ouple G p 0 miro E qui a tendane à orienter haque dipôle dans la diretion de E Dans le volume d, il apparaît alors un moment dipolaire dp induit par E et a) O H 0 H p b) Do 3 Moment dipolaire de la moléule d eau et de l ammonia N H H H p 54

258 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) qui résulte des effets antagonistes du hamp E et de l agitation thermique (do 4) Cet effet se superpose à la déformation des partiules dérites au Un tel milieu présente une polarisation dipolaire (ou polarisation d orientation) 3 Polarisation ionique Un matériau isolant, initialement neutre, peut être onstitué de ations et d anions (s il s agit d un ristal ionique) répartis en général suivant un ordonnanement régulier, et, un volume d de e ristal, ne présente pas de moment dipolaire permanent Plongé dans un hamp életrique E,les ions se déplaent légèrement autour de leurs positions moyennes, la régularité est rompue et un volume d de ristal présente alors un moment dipolaire induit par le hamp (do 5) :un ristal présente une polarisation ionique Signalons que E déforme également les ions et que les deu effets se superposent d déplaement en sens ontraire d d p a) d Do 4a En l absene de hamp, l orientation des dipôles élémentaires est aléatoire b) d d p Do 4b Moment dipolaire d p induit (mésosopique) en présene du hamp E : les dipôles ont tendane à s orienter davantage dans la diretion de E E Do 5a Volume d de ristal en l absene de hamp Veteur polarisation L apparition de moments dipolaires au sein du milieu isolant sous l ation d un hamp életrique aratérise le phénomène de polarisation induite (le milieu se polarise sous l ation du hamp) On aratérise l état du milieu en tout point M par son moment dipolaire volumique P( M), défini par : dp P Do 5b Moment dipolaire d p induit (mésosopique) par le hamp E dans le ristal P( M)d Le veteur P, appelé veteur polarisation dépend a priori du point M où on le onsidère et de l intensité du hamp életrique en e point (do 6) Notons que, si le hamp dépend du temps, P dépendra également du temps La polarisation P se mesure en C m : elle est don homogène à une densité surfaique de harges Remarque :Tous les veteurs ( E, P, ) de e hapitre sont des veteurs «marosopiques» définis omme des valeurs moyennes spatiales dans des volumes mésosopiques d de veteurs mirosopiques orrespondants Nous ne nous E En l absene de hamp imposé, les ions du ristal sont régulièrement répartis et le baryentre des harges positives se onfond ave elui des harges négatives Mais, en présene du hamp E, les anions et les ations sont déplaés en sens ontraires et le baryentre des harges positives n est plus onfondu ave elui des harges négatives d M milieu isolant d p P d Do 6 Le veteur polarisation P E Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 55

259 Ondes poserons, dans et ouvrage, auune question sur la manière dont peuvent être faites es valeurs moyennes Plongé dans un hamp életrique, un milieu diéletrique se polarise : haque volume mésosopique d de matière aquiert un moment dipolaire életrique d p induit par le hamp, aratérisé par un moment dipolaire volumique P appelé veteur polarisation et défini par d p P d La polarisation d un milieu métallique est quasiment toujours négligeable Remarques En général, la polarisation du milieu disparaît lorsque le hamp életrique est supprimé Cependant, ertains ristau présentent alors une polarisation lorsque le hamp a disparu : es ristau présentent alors une polarisation permanente et sont appelés ferroéletriques Nous pouvons définir omme préédemment pour es milieu ristallins un veteur polarisation P qui, à la différene des milieu isolants usuels, n est pas nul lorsque le ristal n est soumis à auun hamp D autres ristau (parfois les mêmes) peuvent présenter une polarisation sous l effet d une ontrainte méanique et peuvent se déformer sous l ation d une polarisation induite par un hamp életrique Ces ristau appelés piézoéletriques, ont de nombreuses appliations : mesure de fores ou de pressions, prodution et réeption d ultrasons, le quartz, piézo-életrique, est également utilisé dans les montres 3 Charges et ourants de polarisation équivalents dans le vide Nous nous proposons de vérifier sur deu modèles très simples (voire simplistes) qu il est possible d étudier l état életrique d un milieu matériel polarisé en définissant une densité volumique de harges liées, dans le vide a) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 3 Modèle unidimensionnel 3 Cas d une polarisation non uniforme Considérons un diéletrique ristallin, életriquement neutre et sans polarisation permanente Ce ristal ontient n ations de harge +q et n anions de harge q répartis «symétriquement» par unité de volume Plongé dans un hamp életrique E, de diretion fie olinéaire à un ae (O) de veteur unitaire e et de mesure algébrique dépendant de, soit E E( )e (on peut, pour simplifier l eposé, supposer E 0), le milieu ristallin se polarise En effet, les ations se déplaent dans le sens du hamp d une distane mirosopique et les anions dans le sens opposé d une quantité (les distanes et étant définies positives) à partir de leurs positions moyennes Un ouple d ions prend don un moment dipolaire induit (do 7a et b) : p miro ( q + ( q) ( ))e q( + )e, et apparaît par unité de volume une polarisation : P np miro nq( + )e b) distane distane Do 7 Déplaement des ions sous l ation du hamp E a Répartition des ions en l absene de hamp b Répartition des ions en présene du hamp E E E( )e

260 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) Notons que, omme le hamp E, les déplaements et et par suite la polarisation P dépendent de : P P( )e À l éhelle marosopique, nous pouvons onsidérer qu un ristal, initialement neutre, omporte des harges positives de densité volumique + et des harges négatives de densité volumique Lorsque le ristal n est pas soumis à l ation d un hamp életrique, es deu distributions de harges sont uniformes et opposées, est-à-dire : + 0 et 0 Lorsque le ristal est plongé dans un hamp E E( )e, les harges positives subissent des déplaements moyens + ( ) dans le sens du hamp et les harges négatives des déplaements ( ) dans le sens opposé au hamp ( + et étant positifs) Par onséquent, le ristal présente une polarisation P( ) 0 ( + + )e par unité de volume Considérons alors un volume mésosopique d Sd de ristal (ontenant un très grand nombre d ions) d épaisseur d et de setion S ; initialement neutre, et élément omporte une harge positive 0 Sd et une harge négative 0 Sd Lors de l établissement du hamp harge életrique dq (do 8) En effet, du fait des déplaements de harges : en, il entre une harge positive 0 S ( ) ; E, et élément de volume aquiert une et il sort une harge négative en + d, il sort une harge positive 0 S + ( + d) et il entre une harge négative 0 S ( + d) Nous en déduisons : dq dp S d, d e qui nous permet de définir une densité volumique de harges due à la polarisation du milieu : dp pol d Soit divp ar P ne dépend que de pol pol est appelée densité volumique de harges de polarisation ou densité volumique de harges liées 3 Modèle tridimensionnel Nous supposerons que le résultat du 3 est général et nous admettons que, à l éhelle marosopique, la polarisation P (induite ou permanente) d un milieu matériel quelonque est équivalente à la densité volumique de harges de polarisation surfaique de harges de polarisation 0 S + ( ) 0 S( + ( ) + ( ) ) + 0 S( + ( + d) ( + d) ) SP ( ( ) P ( + d) ) pol divp (à laquelle on ajoute éventuellement la densité pol P N ) Ainsi, dans un milieu volume mésosopique Do 8 Charge équivalente dq ontenue dans un élément mésosopique de diéletrique E E( )e + ( ) + ( + d) + d ( ) ( + d) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 57

261 Ondes matériel, nous pourrons utiliser les équations de Mawell «dans le vide» à ondition de tenir ompte des densités volumiques de harges de polarisation pol et surfaique pol 33 Cas du régime variable Reprenons le modèle du 3 Supposons maintenant que le hamp életrique est aussi fontion du temps E(, Sous l ation de e hamp variable, les ations de ote aquièrent ( une vitesse v + )(, e et les anions une vitesse t v (, e t Ce mouvement rée une densité volumique de ourant : nqv + + n( q)v nq P(, e t t t Nous faisons ainsi apparaître une densité volumique de ourant : appelée densité volumique de ourant lié ou densité volumique de ourant de polarisation Nous supposerons ii enore que e résultat est général et nous admettrons que, à l éhelle marosopique, dans un milieu matériel quelonque, on peut faire orrespondre à une polarisation dépendante du temps, une densité volumique de ourant de polarisation : Remarque j pol( M, P( M, t P( M, j pol( M, P( M, t Nous pouvons failement vérifier que la densité volumique de harges de polarisation pol et la densité volumique de ourant de polarisation l équation loale de onservation de la harge : j pol vérifient Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit pol div j pol t Lors de l étude, à l éhelle marosopique, du hamp életromagnétique dans un milieu matériel, on peut substituer à la polarisation P du milieu les harges et ourants suivants «dans le vide» : une densité volumique de harges de polarisation : pol divp une densité surfaique de harges de polarisation : ( N étant orienté vers l etérieur du milieu matériel) ; une densité volumique de ourant de polarisation : pol P N P j pol t en régime variable Ainsi, dans un milieu matériel, nous pouvons utiliser les équations de Mawell «dans le vide», à ondition de tenir ompte de es différentes densités volumiques de harges et de ourants ; 58

262 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) Les milieu diéletriques, homogènes et isotropes (lhi) Permittivité diéletrique d un milieu matériel Milieu linéaire La plupart des milieu ne présentent pas de polarisation permanente Pour es milieu, lorsque l intensité du hamp életrique E (variable éventuellement dans le temps) n est pas trop importante, le lien entre la polarisation P milieu et E reste linéaire Lorsque les variations du hamp életrique sont rapides, la polarisation induite ne suit pas toujours instantanément les variations du hamp ; les omposantes de E et P sont liées par des équations différentielles linéaires Lorsque le hamp E varie sinusoïdalement dans le temps, on adopte la notation omplee ( est toujours possible pour un système linéaire, grâe à l analyse de Fourier) Les omposantes de E et P sont alors liées par des relations linéaires du type : P P y P z e ey ez E 0 ey eyy eyz E, y ez ezy ezz E z soit, sous forme ondensée : P 0 [ e ]E [ ] est l opérateur suseptibilité diéletrique omplee du milieu linéaire e Milieu linéaire,homogène et isotrope (lhi) Le milieu linéaire est homogène si ses propriétés ne dépendent pas du point M ; les oeffiients de la matrie [ e ] ne sont pas fontions de la position Il est isotrope si la matrie [ ] est salaire (pas de diretion privilégiée) e du Dans un milieu linéaire homogène et isotrope, la relation entre P et E est : P 0 e E où e est la suseptibilité (sans dimension) fontion de la pulsation du hamp életrique Étude d un modèle de polarisation Pour eprimer la permittivité diéletrique d un milieu, grandeur marosopique, nous devons étudier, à l éhelle mirosopique, l interation du hamp életromagnétique ave les harges liées du milieu : életrons ou noyau onstituant les atomes ou les moléules du milieu, ions d un ristal ionique, À ette éhelle (mirosopique), une telle étude néessite l emploi de la méanique quantique, qui sort du adre de et ouvrage Nous nous proposons d utiliser un modèle lassique élémentaire qui permet de rendre ompte assez onvenablement des observations epérimentales Modèle de la harge élastiquement liée Nous avons déjà utilisé e modèle, dû au physiien hollandais Hendrik Antoon Lorentz (853-98), pour rendre ompte de la diffusion du rayonnement solaire par les moléules atmosphériques (f hapitre 6) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 59

263 Ondes Le hamp d une onde életromagnétique met en mouvement les harges liées du milieu matériel, où elle se propage Si la réponse est linéaire, une onde monohromatique fore les osillations de es harges à sa pulsation Dans le adre de e modèle, une harge liée (masse m et harge q) est soumise à : une fore de rappel élastique, proportionnelle à son déplaement r par rapport à sa position d équilibre : f kr ; une fore destinée à rendre ompte des phénomènes dissipatifs d énergie (ollisions, rayonnement, ) soit, en introduisant un temps de relaation : la fore de Lorentz réée par le hamp életromagnétique de l onde, où nous négligeons lassiquement, pour une harge non relativiste, l influene du terme magnétique : f qe Remarques Le hamp de l onde est uniforme à l éhelle de la moléule si la longueur d onde est nettement supérieure au dimensions des partiules du milieu (les dimensions d un atome sont de l ordre de 0, nm) Pour un milieu peu dense (as d un gaz), nous négligeons a priori l influene des hamps réés (ar ils peuvent être statiques) par les atomes ou les moléules voisines Le as éhéant (liquide, solide) nous admettrons que le fait de les négliger ne hange pas fondamentalement les résultats que nous nous proposons de trouver L équation du mouvement de la harge est don : f m --- v ; ma kr m -- v + qe, soit ṙ ṙ qe + +, Q 0 r m Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit k où est la pulsation propre de et osillateur amorti et Q son m 0 fateur de qualité En régime sinusoïdal établi, le déplaement de la harge est, en notation omplee : q m r E j Q 0 Polarisation en régime sinusoïdal Le milieu étudié est globalement neutre Au déplaement r de la harge q est assoié un moment dipolaire élémentaire p qr, soit en notation omplee p E, où est appelée la polarisabilité Le veteur polarisation du milieu lhi, ontenant N harges liées (supposées identiques) par unité de volume, est P Np Nous obtenons don : 0 P 0 e E ave e , j Q

264 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) Nq où est la suseptibilité diéletrique statique ( 0 ) m 0 0 e est omplee ; posons e j ave : Remarque et Nous ne faisons pas de distintion entre le hamp életrique nous permettant auquel la polarisation est liée par P 0 e E : E, et le hamp életrique le premier est un hamp à signifiation mirosopique, hamp loal «vu» par l entité qu il polarise ; le seond est le hamp életrique marosopique, hamp intervenant dans l ériture des équations de Mawell dans le milieu Cette onfusion peut sembler onvenable dans le as de milieu dilués, de faible suseptibilité, pour lequel le hamp réé par les autres partiules du milieu perturbera peu le hamp appliqué à la matière Dans le as de milieu denses, ette onfusion, douteuse, perturbe ependant peu les onlusions simples de notre étude Le modèle de la harge élastiquement liée permet de rendre ompte de la dépendane de la suseptibilité diéletrique, omplee, d un milieu diéletrique vis-à-vis de la pulsation du régime sinusoïdal envisagé Appliation ( ) Q Q ( ) Q 0 d eprimer le moment dipolaire élémentaire p 0 e Puissane moyenne dissipée dans le modèle de la harge élastiquement liée En repartant de l équation du mouvement de la harge montrer que la puissane fournie par le hamp életrique fait varier l énergie inétique et l énergie potentielle de ette harge mais est aussi dissipée Quelle est alors la puissane moyenne dans le temps dissipée par unité de volume? L eprimer en fontion du hamp életrique, de sa pulsation et de On sait (f H-Prépa, Életromagnétisme, re année) que la puissane volume est j E Vérifier que l on a bien ii j pol E Nous multiplions salairement par v l équation du mouvement d où : d qe v ---- dt -- m v + -- kr + m-- v v La puissane moyenne dissipée par unité de volume est N m --- v v P Nous avons P Np Nqr d où r et don : Nq P r e E ( j )E Nq Nq Nq Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 6

265 Ondes On pose E E 0 e jt d où : Ainsi la puissane dissipée est bien liée à infini ou Q non infini ou non nul non r 0 E ( Nq ost + sin et don : P Nous savons que j pol Nqv d où : t v 0 E ( sint + Nq os N --- m 0 E ( N q + ) -- Nq et de Q : 0 m 0 0 et : soit ompte tenu de -- 0 e E Q E 0 j pol E Nq 0 E ( sint + Nq os E 0 ost d où : j pol E -- 0 E 0 e qui est le même résultat Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Traçons les graphes représentatifs des variations de et en fontion de la pulsation (do 9) lorsque le fateur de qualité Q est élevé (e qui est généralement le as ; Q 0 3 à 0 4 ) Nous onstatons que s annule pour 0 alors que est maimale pour une valeur de très prohe de 0 (d autant plus prohe que Q est grand) Nous pouvons vérifier que la valeur aratéristique de la zone spetrale, entrée sur 0, dans laquelle es grandeurs varient notablement est, pour un fateur de qualité élevé : Δ M 0 m Q L appliation nous a montré que la puissane dissipée au sein du milieu diéletrique est diretement liée à la partie m ( e ) de la suseptibilité omplee du milieu Dans ette zone spetrale, est importante et l absorption d énergie életromagnétique par le milieu l est également En dehors de ette zone, est très faible et la dissipation d énergie életromagnétique aussi 3 Polarisation totale du milieu Le plus souvent, un milieu ontient plusieurs types de harges liées suseptibles de se déplaer sous l ation du hamp életrique d une onde életromagnétique : les életrons des atomes ou des moléules du milieu (et dans un atome, les életrons profonds n ont pas les mêmes aratéristiques que les életrons périphériques) ; les noyau (de masse sensiblement égale à elle de l atome orrespondan ; les ions si le milieu est un solide ionique Toutes es harges liées, différentes, de harge q i, de masse m i se répartissent alors en plusieurs types d osillateurs, de pulsations propres 0i et de fateur de qualité Q i, dont les déplaements s érivent : r i r i q i m i i E j Q i 0i 0 i a) b) M Q Q M Do 9 Modèle de la harge élastiquement liée et suseptibilité diéletrique (simulation pour Q 0) a) Partie réelle e ( e ) Les etremums sont obtenus pour :, 0 ± Q b) Partie imaginaire m( e ) m Q Q m ma 0 Q Δ Q 0 0 M m 6

266 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) En supposant qu une partiule élémentaire (atome, moléule ou ion) possède a i harges liés de même masse m i, de même harge q i, de même pulsation propre 0i et de même fateur de qualité Q i (ainsi, par eemple, tous les életrons périphériques d un atome peuvent avoir le même omportemen, et que le milieu ontient N partiules élémentaires par unité de volume, alors le veteur polarisation du milieu s érit : P a i q i E m i 0i j Q i 0i À haque type d osillateur orrespond une zone d absorption Entre es zones, la dissipation d énergie au sein du milieu est faible 4 Ordres de grandeur Intéressons-nous au pulsations aratéristiques : les pulsations aratéristiques de la polarisation életronique 0e sont situées dans le domaine visible et l ultraviolet (fréquenes de l ordre de 0 4 Hz à 0 5 Hz) ; les pulsations propres assoiées au mouvements des atomes d une moléule ou des ions d un ristal ionique, beauoup plus massifs que les életrons, sont nettement plus faibles ; les pulsations aratéristiques de la polarisation atomique ou ionique 0i, suivant les as, apparaissent dans le domaine infrarouge (fréquenes de l ordre de 0 Hz à 0 4 Hz) Les fateurs de qualité assoiés sont élevés (0 4 en moyenne), de sorte que nous observons des zones d absorption distintes orrespondant au polarisations életroniques et ioniques Le doument 0 suggère l allure des graphes de ( ) et de ( ), en ne onsidérant qu une seule pulsation de haque type, notées 0e et 0i respetivement L absorption est importante dans les zones où est non négligeable (et dans laquelle varie notablemen En dehors de es zones, dans des domaines assez larges, est quasiment nulle (et varie peu en fontion de la pulsation) L absorption est insignifiante : le milieu est transparent à l onde életromagnétique La ourbe en pointillés suggère l influene d une polarisation d orientation ou polarisation dipolaire Dans l infrarouge lointain et dans le domaine hertzien, pour un milieu onstitué de moléules polaires, est toute la moléule qui peut osiller dans le hamp de l onde (l appliation 3 en propose une modélisation) Ainsi, l eau présente : N une zone de transparene dans le domaine visible ; i des zones d absorption dans l ultraviolet (transitions entre niveau életroniques de la moléule) et dans l infrarouge (modes de vibration de la moléule) ; une absorption dans le domaine des ondes entimétriques à la base du fontionnement des fours à miro-ondes qui «éhauffent» l eau ontenue dans les aliments (do ) Notons enfin que dans le domaine des rayons X (à de très hautes fréquenes, de l ordre de 0 7 Hz à 0 0 Hz), e est réelle et tend toujours vers zéro par valeurs négatives La plupart des milieu sont ainsi relativement transparents au rayons X 0i 0 χ χ polarisation dʼorientation 0 ω0i domaine hertzien ω 0i IR polarisation ionique polarisation életronique ω 0e visible ω 0e UV Do 0 Intervention des divers types de polarisation (représentation shématique, l ae des pulsations étant gradué en éhelle logarithmique) Do Dans un four à miro-ondes, les ondes életromagnétiques entimétriques réées par le magnétron «éhauffent» les moléules d eau ontenues dans les aliments ω ω Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 63

267 Ondes Un milieu présente des domaines de fréquenes dans lesquels la suseptibilité est réelle ( ª 0) et varie lentement en fontion de la fréquene Ces domaines sont séparés par des zones d absorption dans lesquelles la suseptibilité, omplee, varie rapidement en fontion de la fréquene Appliation 3 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Modèle de Debye de la polarisation ) Plongé dans un hamp életrique permanent et uniforme, un milieu lhi de suseptibilité statique 0, possède une polarisation P 0 uniforme Lorsque l on supprime le hamp életrique, l epériene montre que la polarisation du milieu ne disparaît pas instantanément mais déroît suivant une loi eponentielle de onstante de temps : P P 0 e Inversement, lorsqu il est plongé dans un hamp uniforme, la polarisation P tend eponentiellement vers P 0 ave la même onstante de temps a) Préiser la valeur P 0 b) Quelle est l équation différentielle qui régit l évolution du veteur polarisation P? ) Le milieu est maintenant traversé par une onde életromagnétique sinusoïdale de pulsation a) En admettant que l équation différentielle préédente reste valable (on néglige l influene du hamp B ), et en adoptant la notation omplee, quelle est la suseptibilité diéletrique omplee e j de e milieu? Traer les ourbes ( ) et ( ) b) Montrer que les valeurs et obtenues en utilisant le modèle de la harge élastiquement liée sont identiques à elles que l on obtient ii moyennant des approimations à epliiter ) a) Par définition de la suseptibilité diéletrique statique 0, P E 0 t - dp P b) L équation différentielle est lors dt dp P de la dépolarisation, ou dt de la polarisation du milieu E 0 E 0 lors ) a) En régime sinusoïdal établi, et en adoptant la P 0 e jt, l équation diffé- notation omplee P rentielle impose : j + -- P E, soit : P E + j 0 e E Nous en déduisons : et +( ) ( ) Leurs variations sont représentées sur le doument,0 0,8 0,6 0,4 0, 0 χ χ 0 ωτ ,5 0,4 0,3 0, 0, χ 0 b) Le modèle de la harge élastiquement liée onduit au mêmes résultats que le modèle de Debye à ondition de négliger le terme d aélération dans l équation du mouvement Cei revient à négliger les termes en devant les autres termes dans l epression de la suseptibilité életrique, soit : , 0 j j Q Q 0 identique à l epression préédente en posant : Q 0 0 χ ωτ Do Suseptibilité diéletrique du modèle de Debye (qui eplique les parties en pointillés des ourbes () et () du doument 0) 64

268 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) 3 Propagation d ondes életromagnétiques dans un milieu lhi 3 Équation de propagation Les équations de Mawell dans un milieu matériel isolant sont obtenues en remplaçant par pol et j par j pol, soit : et ave divb 0 rot E dive B t pol 0 E rot B 0 j pol t pol équations de struture qui ne hangent pas P divp et j pol t Ce milieu est supposé linéaire homogène et isotrope d où la relation en omplee P 0 e E Les équations de Mawell, linéaires, réérites en omplee (ave pour e milieu lhi : P 0 e E ), donnent : divb 0 rot E B jb t div( + )E 0 e rot B 0 0 ( + e ) E t 0 0 j ( + e )E Ce sont les mêmes équations (omplees) que pour le hamp életromagnétique dans le vide en remplaçant 0 par 0 ( + ) + e est noté r et s appelle la permittivité relative omplee du milieu lhi C est une fontion de la pulsation de l onde 0 r est la permittivité omplee du milieu lhi Les équations de propagation du hamp életromagnétique s en déduisent immédiatement : r ΔE ---- E et ΔB r ---- B t t Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope (lhi), le hamp d une onde életromagnétique monohromatique satisfait, en notation omplee, à l équation de d Alembert : r DE ---- E et D B r ---- B t t e Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 65

269 Ondes 3 Relation de dispersion Indie d un milieu Pour une onde de pulsation et de veteur d onde omplee k, l équation de propagation impose la relation de dispersion : Envisageons une onde plane progressive monohromatique de pulsation se propageant par eemple selon l ae des roissants, de veteur d onde k ke Son nombre d onde k est lié à sa pulsation par une relation que nous érivons sous la forme : en définissant n omme la raine à partie réelle positive ou nulle de l équation n La grandeur n est appelée indie du milieu r Cet indie est en général omplee et fontion de la pulsation de l onde Cette relation de dispersion implique don des phénomènes de dispersion et d absorption tels que nous les avons dérits au hapitre 7 Nous noterons : k r d où 0 ( + ) et n n 0 n n Le hamp életrique d une onde plane progressive monohromatique se propageant dans le sens et la diretion de l ae (O) s érit : k n --- r j n n jn,, E E 0 e k e j( t k ) (ave k n --- et k positifs), n --- soit en revenant à une notation réelle (et en supposant E 0 réel : E 0 E 0 ) : E E 0 e k os( t k ) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit L indie n est l indie de réfration, que nous utilisons en optique Il permet d eprimer la vitesse de phase d une onde plane : v , n où n aratérise la dispersion du milieu (si n dépend bien de ) k Le oeffiient n aratérise l absorption de l onde par le milieu C est l indie d etintion Les ourbes traées sur le doument 3 indiquent les variations des indies de réfration n et d etintion n du milieu dans le adre du modèle de la harge élastiquement liée, en fontion de la longueur d onde dans le vide Ces ourbes ressemblent fortement à elles du doument 9 (où sont représentés et en fontion de ) : des zones de transparene assez larges ave faible dispersion sont séparées par des fenêtres relativement étroites où la dispersion et l absorption sont importantes 66

270 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) a) n b) n,04 0,0,0 0,08 0,06 0,98 0,04 0,96 (0 4 rad s ) ω 0,0 0 (0 4 rad s ) ω ) n d) n 0,0,04,0 0,98 0, λ (μm) 0,08 0,06 0,04 0,0 Le modèle élémentaire que nous avons proposé est disutable, mais onfirmé par les observations epérimentales : le doument 4 donne les ourbes epérimentales relatives à l eau dans l infrarouge 0 Do 3 Simulation des ourbes n et n pour 0 0 (milieu dilué) ave une seule pulsation propre 0 orrespondant à 0 3 m (IR, polarisation atomique) et Q 0 (pour la lisibilité des ourbes) λ (μm) a) n f() b) n f() ) n f(l) d) n f(l) 33 Dispersion et absorption 33 Zone de transparene Une zone de transparene orrespond à un domaine de pulsation où l absorption est très faible Les traés du doument 3 montrent que : n est pas prohe d une pulsation propre ; n varie peu ave la fréquene, don la dispersion est faible Nous pouvons alors érire r L indie du milieu s identifie à son indie de réfration : n n n En onsidérant un milieu ne omportant qu un seul type de harges liées, nous pouvons utiliser la forme approhée : r r ave, r 0 0 où le terme d amortissement a été négligé (e qui revient à prendre Q ),5,4,3, n n visible λ (μm) Do 4 Courbes epérimentales n () et n () pour l eau, de l ultraviolet prohe ( 0,6 m) à l infrarouge prohe ( 8 m) Nous retrouvons les absorptions dans l IR et l UV signalées auparavant Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 67

271 Ondes Dans un domaine de fréquenes où l indie optique du milieu est réel, une onde életromagnétique se propage sans atténuation : le milieu est transparent à ette onde La dispersion est alors relativement faible Ainsi, le verre, l eau et l atmosphère sont transparents à la lumière visible Appliation 4 Formule de Cauhy pour l indie d un verre Dans le domaine visible, la permittivité relative d un verre est orretement définie par la relation préédente, la pulsation propre 0 se situant dans l ultraviolet lointain Montrer que, dans e domaine de fréquenes, l indie du verre obéit à la loi de Chauhy : n B C A l 4 En supposant 0 : l n r La longueur d onde dans le vide est l , don : n ( + 0 ) La formule de Cauhy dérit très bien la dispersion de nombreu verres utilisés en optique Notre modèle élémentaire ne pouvant suffire à rendre ompte des phénomènes omplees intervenant dans l interation entre l onde et le milieu, les oeffiients A, B et C sont en fait déterminés epérimentalement La formule approhée n B A s avère souvent suffisante l l 0 l 4 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La variation de l indie de réfration eplique la dispersion de la lumière par un prisme de verre (do 5) La déviation roît ave l indie du prisme, don du rouge au violet (f formule de Cauhy, Appliation 4) C est aussi la dispersion de la lumière blanhe issue du soleil par les fines gouttelettes d eau ontenues dans l atmosphère humide qui provoquent les ars-en-iel après une forte pluie (do 6) L indie variant relativement peu en fontion de la fréquene, un paquet d ondes se propageant dans un tel milieu sera peu déformé Utilisant la relation de dispersion, nous avons : k n --- d, don dk n d n d La vitesse de groupe d un paquet d ondes est don : v g en introduisant la vitesse de phase L indie restant supérieur à, hormis à de très hautes fréquenes (et éventuellement dans les zones d absorption), la vitesse de phase v est en général inférieure à v d dk n d n d n d n d v -- n lumière blanhe rouge jaune vert bleu violet Do 5 Dispersion de la lumière par un prisme fine pluie fin Soleil Soleil Do 6 L ar-en-iel est dû à la dispersion de la lumière solaire par les fines gouttelettes d eau 68

272 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) Dans e domaine de transparene, n est une fontion roissante de la pulsation (f loi de Cauhy par eemple), de sorte que v g est aussi inférieure à Dans es zones où vitesses de phase et de groupe sont inférieures à, la dispersion est dite «normale» Dans une zone de transparene, la vitesse de groupe d un paquet d ondes orrespond à la vitesse de propagation de l énergie assoiée à e paquet d ondes, inférieure à Appliation 5 Relation de Rayleigh entre vitesse de phase et vitesse de groupe Quelle est la relation liant les vitesses de groupe v g et de phase v, la longueur d onde l milieu, dans le l d v milieu, définie par l milieu -- et la dérivée ? n d l milieu désigne bien sûr la longueur d onde dans le vide En utilisant le tableau de données numériques relatif au sulfure de arbone, milieu transparent et très dispersif dans le domaine des ondes lumineuses, aluler la vitesse de groupe v g pour la longueur d onde l 550 nm Comparer la valeur obtenue à elle que donne l epériene, soit : v g ,77 l (nm) indie n,68,640,65 La vitesse de groupe est : d d ( v v g k ) v d k dk k d v d k Utilisant k n , nous obtenons la for- mule de Rayleigh : l milieu dv v g v l f milieu dl milieu En affetant les indies, et 3 au différentes valeurs du tableau (de la gauhe vers la droite), nous pouvons aluler : dv v g v l milieu n l n n l n 3 dl milieu n l ---- n ,768 Nous retrouverons, à 0, % près, la valeur epérimentale 33 Zone d absorption Nous nous plaçons dorénavant dans une zone de fréquenes située au voisinage d une pulsation propre 0 du milieu Les parties imaginaires de la permittivité diéletrique et de l indie du milieu ne sont plus négligeables L amplitude d une onde életromagnétique de pulsation qui se propage dans le milieu dans la diretion et le sens de l ae (O) déroît eponentiellement ave la distane parourue dans le milieu, ar elle est proportionnelle à : e k e n Dans un domaine de fréquenes où la permittivité relative d un milieu r est omplee (l indie défini par n r l est aussi), le milieu absorbe les ondes életromagnétiques qui le traversent Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 69

273 Ondes Le verre absorbe le rayonnement ultraviolet dont la longueur d onde est inférieure à 30 nm (les lunettes solaires protègent ainsi les yeu du rayonnement UV ontenu dans la lumière solaire) (do 7) L ozone et le dioygène possèdent également une zone d absorption dans l ultraviolet, e qui eplique le rôle proteteur de l ozone et de l atmosphère L eau absorbe le rayonnement infrarouge dont la longueur d onde est supérieure à 400 nm Le dioyde de arbone possède également une zone d absorption dans l infrarouge Cette propriété permet d epliquer l effet de serre atmosphérique : les rayons solaires traversant l atmosphère sont absorbés par le sol ; elui-i s éhauffe et émet un rayonnement infrarouge est e rayonnement infrarouge qui, absorbé par la vapeur d eau et le dioyde de arbone ontenus dans l atmosphère, éhauffe elle-i À une éhelle réduite, une serre de jardin utilise le même prinipe, ar le verre absorbe le rayonnement infrarouge de longueur d onde supérieure à 500 nm Dans une zone d absorption, n peut être inférieur à, et la vitesse de phase dn v peut être supérieure à D autre part, la dérivée peut k n d prendre des valeurs négatives En etrapolant l epression de la vitesse de groupe obtenue dans le as de la dispersion normale (f 33), nous onstatons que la vitesse de groupe orrespondante peut aussi devenir supérieure à Ces résultats surprenants onduisent à parler ii de dispersion anormale En fait, dans une zone d absorption, la dispersion est très importante Un paquet d ondes est don fortement déformé au ours de sa propagation si bien que son amplitude («sommet» de l enveloppe) peut ne plus être définie d Même si nous la définissons par v g , la vitesse de groupe n a plus de d k signifiation physique simple (et sa valeur numérique peut être supérieure à!) et ne orrespond surtout pas à la vitesse de propagation de l énergie du paquet d ondes UVA UVB UVC Soleil ozone ristallin 90 ornée atégorie % de lumière transmise 80 % à 00 % 43 % à 80 % 8 % à 43 % 8 % à 8 % 3 % à 8 % rétine Do 7a Pénétration du rayonnement utilisation Do 7b Classes de protetion des lunettes solaires selon les normes CE Dans une zone d absorption, une onde est atténuée et la dispersion très importante La vitesse de groupe n a plus de signifiation physique réelle Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 4 Réfleion et réfration des ondes életromagnétiques 4 Lois de la réfleion et de la réfration 4 Desription du problème, ondition au limites Considérons deu milieu diéletriques et, linéaires, homogènes, isotropes d indies n et n, séparés par une surfae plane (à la limite, loalement plane à l éhelle de la longueur d onde) immobile Cette surfae est souvent appelée dioptre en optique géométrique Nous nous plaerons ii dans des zones de transparene ; les indies n et n sont réels Une onde plane progressive monohromatique inidente, de pulsation, se propage dans le milieu En arrivant sur la surfae de séparation (plane) entre les deu milieu, l epériene montre que ette onde donne naissane, en 70

274 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) général, à une onde réfléhie et à une onde transmise (do 8) que nous pouvons supposer planes, progressives monohromatique de même pulsation que l onde inidente Cette dernière hypothèse ne doit pas nous surprendre : les ondes réfléhies et transmises résultent de l onde inidente de pulsation et des ondes rayonnées par tous les dipôles osillants, que onstituent les atomes ou moléules des milieu linéaires et eités à la pulsation de l onde inidente (f hapitre 6) Dans haun des deu milieu diéletriques les phénomènes de polarisation dus au hamp életrique des ondes qui se propagent font apparaître des harges et des ourants de polarisation Mais les équations de Mawell-Faraday et de Mawell flu appelées «équations de struture» ne font pas intervenir les harges et les ourants, elles restent les mêmes Nous avons vu que es deu équations impliquent la ontinuité de la omposante tangentielle de E et de la omposante normale B (f H-Prépa, Életronique, nde année) Nous utiliserons l une ou l autre de es onditions pour établir les lois de Desartes Des harges surfaiques de polarisation peuvent apparaître et ei onduit à une disontinuité de la omposante normale de E En revanhe, il n y a pas de ourants surfaiques de polarisation ; ainsi le hamp magnétique tangentiel sera alors aussi ontinu Nous utiliserons e dernier résultat au 4 pour établir les oeffiients de réfleion et de transmission des ondes 4 Ondes inidente, réfléhie et réfratée (ou transmise) L onde plane progressive monohromatique inidente se propage dans la diretion du veteur unitaire u dans le milieu Le hamp életromagnétique de ette onde plane progressive harmonique s érit : E E 0 e j ( t k r ) u et B n E ave k n --- u L onde plane progressive monohromatique réfléhie dans le milieu se propage dans la diretion du veteur unitaire u : n n onde inidente onde réfléhie onde transmise Do 8 Réfleion et réfration d une onde sur un dioptre E E 0 e j ( t k r ) u et B n E ave k n --- u L onde plane progressive monohromatique transmise dans le milieu se propage dans la diretion du veteur unitaire : E E 0 e j ( t k r ) u et B n E ave k n --- u Ces trois ondes satisfont, par «onstrution», au équations de Mawell, dans leurs milieu respetifs Il reste à vérifier que les onditions au limites sur l interfae séparant les deu milieu sont effetivement satisfaites Si tel est le as, es ondes vérifient alors toutes les onditions du problème posé et forment néessairement la solution de elui-i 43 Les lois de Desartes Les lois de Desartes sont énonées dans le ours d optique géométrique (f H-Prépa, Optique, re année) Le veteur d onde k de l onde inidente et le veteur unitaire N normal à la surfae plane de séparation entre les deu milieu définissent le plan d inidene (do 9) u k plan d inidene i N n T interfae n Do 9 Mise en évidene du plan d inidene ( k, N ) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 7

275 Ondes Traduisons l une des onditions au limites, la ontinuité de la omposante tangentielle E T de E en tout point M 0 ( r 0 OM 0 ) de la surfae de séparation et à tout instant ; il vient : ( ) E 0T e j t k r 0 ( ) Remarque : La ontinuité doit être vérifiée à tout instant, don les trois ondes ont la même pulsation Mettons la relation préédente sous la forme suivante : En prenant l origine O sur le plan de séparation (le veteur r 0 est alors un veteur quelonque de e plan), nous pouvons affirmer que ette relation est vérifiée si les différenes de phases ( k k ) r 0 et ( k k ) r 0 sont indépendantes de, e qui est réalisé si : E 0T e j t k r 0 + E 0T e j t k r 0 E 0T E 0T e j ( k k )r + 0 E 0T e j k k r 0 r 0 ( ) ( k k ) r 0 ( k k ) r 0 0 ( ) Ainsi, les veteurs ( k k ) et ( k k ) doivent être olinéaires à N, d où : k k + N et k k + N ave et onstantes réelles Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Les veteurs d onde k et k des ondes réfléhies et réfratées sont, dans le plan d inidene, définis par les veteurs k (veteur d onde de l onde inidente) et N (normale loale au dioptre) En optique géométrique, les rayons lumineu s identifient au diretions des veteurs d ondes orrespondantes Nous pouvons énoner (do 0) la première loi de Desartes Le rayon réfléhi et le rayon réfraté sont dans le plan d inidene En déomposant haque veteur d onde en un veteur tangent à la surfae de séparation et un veteur k N normal à ette même surfae, les relations préédentes imposent (do 0 et ) kt k T k T Les omposantes tangentielles k T, k T et k T des veteurs d onde des ondes inidente, réfléhie et réfratée sont égales : k T k T k T Introduisant le veteur unitaire T tangent à la surfae de séparation et situé dans le plan d inidene, nous pouvons aussi érire les onditions imposées au veteurs d onde réfléhi k et transmis k sous la forme : k T k sini T k T k sini T k T k sini T k T n i i n Do 0 Le rayon réfléhi et le rayon réfraté sont dans le plan d inidene ( k, N ) k N i N i i n n n > n i k T T plan d inidene k interfae Do il y a ontinuité des omposantes tangentielles k k T k des trois veteurs d onde k, k et k k T k T k T k 7

276 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) Dès lors, en utilisant les relations de dispersion dans les milieu et, soit : k k n --- et k, n --- nous pouvons énoner la seonde loi de Desartes Les angles de réfleion et d inidene sont égau : i i Les angles de réfration et d inidene vérifient : n sini n sini Notons que le rayon réfléhi est le symétrique du rayon inident par rapport à la normale au dioptre Remarques La ondition au limites pour B n apporte rien de plus n a pas servi Si on l epliite, elle On pourrait utiliser seulement la ondition au limites pour B On obtiendrait les mêmes résultats, et la ondition au limites sur E n apporterait alors rien de plus 4 Coeffiients de réfleion et de transmission en inidene normale Déterminons les amplitudes des hamps réfléhi et transmis en fontion de elle du hamp inident dans le as partiulier de l inidene normale : i 0 et don selon les lois de Desartes i i 0 4 Coeffiients de réfleion et de transmission en amplitude Reprenant le as des deu diéletriques d indies n et n séparés par le plan d équation 0 (do ), les hamps életromagnétiques s érivent : pour l onde inidente dans le milieu : E E 0 e j( t k ) n et B ---- e ( ) ; E 0 e j( t k ) k n --- pour l onde réfléhie dans le milieu : E E 0 e j( t + k ) et B n ---- e ; E 0 e j( t + k ) pour l onde transmise dans le milieu : E E 0 e j( t k ) n e y et B ---- e ( ) E 0 e j( t k ) k n --- Par rapport à la surfae de séparation 0, les hamps sont tangentiels ; la ontinuité de E et B en 0 onduit à : E 0 + E 0 E 0 ; n e E 0 n e E 0 n e E 0 ; multiplions vetoriellement haque membre par, et simplifions : n E 0 n E 0 n E 0 Nous en déduisons les oeffiients de réfleion en amplitude, définis respetivement par : ( E) n E 0 r ( E) E 0, d où r n ( E) ; n + n n E 0 ( E) E 0, d où ( E) n + n e r ( E) et de transmission n n z B E k B E k kʼ Eʼ Bʼ y Do Cas de l inidene normale i i i 0 (nous avons supposé les ondes polarisées retilignemen Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 73

277 Ondes Dans le as de milieu transparents, les indies n et n sont réels et les oeffiients et le sont également ; nous onstatons que : E ( ) est toujours positif : il n y a pas hangement de phase lors de la transmission ; r ( E) peut être positif ou négatif : si n n, la réfleion n introduit pas de déphasage ; si n n, la réfleion introduit un hangement de signe, est-à-dire un déphasage de (puisque e j ) Remarque r ( E) ( E) Les résultats que nous avons trouvés sont formellement identiques au oeffiients de réfleion et de transmission en amplitude d une onde sonore à la traversée d une interfae entre deu fluides : r v ( ) et pour la vitesse + ( v) v + En inidene normale, les oeffiients de réfleion et transmission en amplitude valent : r E n n n ( ) et n + n ( E) n + n 4 Coeffiient de réfleion et de transmission en puissane E Le veteur de Poynting de l onde inidente est P B des notations réelles 0 en revenant à n Comme B n ---- e, de valeur E P E 0 0 os ( t k) e moyenne dans le temps P E 0 0 e P e n La puissane moyenne transportée par ette onde à travers une setion S de l interfae est F P S Nous obtenons de même : Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit F P S ave P n E 0 0 et F P S ave P E 0 0 n En inidene normale, les oeffiients de réfleion et de transmission en puissane valent : R F E r n n E 0 ( E) n + n F F T 4n n n ( E) ( n + n ) F n R et T vérifient R+ T qui traduit la onservation du flu d énergie lors de la traversée de l interfae et 74

278 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe (PC ) POLARISATION D UN MILIEU Plongé dans un hamp életrique, un milieu matériel se polarise : haque volume mésosopique dde matière aquiert un moment dipolaire életrique CQFR dipolaire volumique P appelé veteur polarisation et défini par dp P d induit par le hamp, aratérisé par un moment Lors de l étude, à l éhelle marosopique, du hamp életromagnétique dans un milieu matériel, on peut substituer à la polarisation P du milieu les répartitions suivantes «dans le vide» : une densité volumique de harges de polarisation : ( N étant orienté vers l etérieur du milieu matériel) ; une densité volumique de harge de polarisation div P ; dp pol P N pol une densité volumique de ourant de polarisation j pol P t en régime variable LES MILIEUX LHI Pour des hamps életriques pas trop intenses, le lien entre P et E peut être modélisé par la relation linéaire entre grandeurs omplees : est la matrie suseptibilité diéletrique omplee du milieu linéaire Lorsque e milieu est de plus isotrope, ette relation s érit P 0 e E où e est un salaire qui ne dépend pas de l endroit si le milieu est de plus homogène P 0 [ e ]E où [ e ] Le modèle de la harge élastiquement liée permet de rendre ompte de la dépendane de la suseptibilité diéletrique e, omplee, d un milieu diéletrique vis-à-vis de la pulsation du régime sinusoïdal envisagé : e ( ) ( ) j ( ) Un milieu présente des domaines de fréquenes dans lesquels la suseptibilité est réelle ( 0) et varie lentement en fontion de la fréquene Ces domaines sont séparés par des zones d absorption dans lesquelles la suseptibilité, omplee, varie rapidement en fontion de la fréquene PROPAGATION DANS UN MILIEU DIÉLECTRIQUE Dans un milieu linéaire, homogène et isotrope (lhi) le hamp d une onde életromagnétique monohromatique satisfait, en notation omplee, à l équation de d Alembert : r ΔE ---- E et ΔB ---- B t t L indie optique n du milieu (lhi) est la raine à partie réelle positive de n r ; n est a priori omplee, et dépend de la pulsation de l onde monohromatique r Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 75

279 Ondes DISPERSION ET ABSORPTION Zone de transparene Dans un domaine de fréquene où l indie optique du milieu est réel, une onde életromagnétique se propage sans atténuation : le milieu est transparent à ette onde La dispersion est alors relativement faible Dans une zone de transparene, la vitesse de groupe d un paquet d onde orrespond à la vitesse de propagation de l énergie assoiée à e paquet d onde, inférieure à Zone d absorption CQFR Dans un domaine de fréquene où la permittivité relative d un milieu r est omplee (l indie nl est aussi), le milieu absorbe les ondes életromagnétiques qui le traversent Dans une zone d absorption, une onde est atténuée et la dispersion très importante La vitesse de groupe n a plus de signifiation physique réelle Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit LES LOIS DE DESCARTES Le veteur d onde réfléhi et le veteur d onde réfraté sont dans le plan inident défini par le veteur d onde inident et la normale au dioptre (do i-ontre) Les angles de réfleion et d inidene sont égau : i i Les angles de réfration et d inidene vérifient : n sini n sini LES COEFFICIENTS DE RÉFLEXION ET DE TRANSMISSION EN INCIDENCE NORMALE En amplitude : en puissane : r E n n n ( ) et ; n + n ( E) n + n dioptre n < n R et T vérifient R+ T qui traduit la onservation du flu d énergie lors de la traversée de l interfae n k n i R r n n ( E) n et T 4n ---- n n + n n ( E) ( n + n ) k N i i k 76

280 7 Dispersion, absorption, paquets d ondes, vitesse de groupe (PC ) Contrôle rapide Avez-vous retenu l essentiel? Citer quelques phénomènes de la polarisation de la matière Définir le veteur polarisation P Eprimer les densités volumiques de harges et de ourant équivalentes dans le vide (en fontion de P ) pour aluler E et B Qu est-e qu un milieu lhi? Qu est-e que la suseptibilité diéletrique? e Quelle est la relation entre r et e? Entre n et r? Qu est-e qu une zone de transparene? Donner les deu lois de Desartes relatives à la réfleion et à la réfration Donner les epressions des oeffiients de réfleion et de transmission, en amplitude puis en puissane, pour une onde arrivant à inidene normale sur un dioptre Du ta au ta (Vrai ou fau) La densité volumique de harge de polarisation équivalente dans le vide est : a b divp Il n y a jamais de harges de polarisation surfaiques a Vrai b Fau 3 La densité volumique de ourant de polarisation est : P a j pol P b j pol t pol P n pol pol j pol divp P t 4 a Il n y a pas de dispersion dans une zone de transparene Vrai Fau b Il n y a pas d absorption dans une zone de transparene Vrai Fau Il y a peu de dispersion dans une zone de transparene Vrai Fau d Il y a peu d absorption dans une zone de la transparene Vrai Fau e Dans une zone de transparene Vrai Fau v g f Il y a dispersion dans une zone d absorption Vrai Fau g Il n y a pas de transparene dans une zone d absorption Vrai Fau Solution, page 80 Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 77

281 Eeries Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit Propagation d un paquet d ondes dans le verre Un verre d utilisation ourante a pour indies : n,5 pour la longueur d onde bleue l 486 nm ; n,54 pour la longueur d onde rouge l 656 nm Dans e domaine, le verre est totalement transparent au ondes lumineuses dn ) Évaluer l ordre de grandeur de la dérivée dl ) À partir de la relation de dispersion entre le nombre d onde k et la pulsation, k n ---, trouver une relation entre la vitesse de groupe v g, la vitesse de phase v, n et, puis entre v g, v, n et l 3) Caluler l ordre de grandeur de la distane d que doit parourir un paquet d ondes de longueur d onde moyenne l 0 (omprise entre l et l ) pour que la phase de l onde varie de au maimum du paquet (on pourra désigner par n 0 l indie du verre pour la longueur d onde l 0 ) * Propagation dans un milieu isotrope soumis à un hamp magnétique statique :effet Faraday On onsidère un modèle simplifié d atome dans lequel le nuage életronique est représenté globalement par son entre d inertie G, de masse m de harge q Le entre d inertie du noyau est fie dans le référentiel ( O ; e, e y, e z ) supposé galiléen On pose r G + G Le mouvement de sera étudié en admettant d une part l eistene d une fore de rappel d origine életrique entre G + et G, du type F sr et d autre part d une fore de type frottement visqueu F h dr, où s et dt h sont des onstantes positives (modèle de la harge élastiquement liée) On soumet par ailleurs le système à l ation d un hamp életrique sinusoïdal de représentation omplee : et à elle d un hamp magnétique statique ave B 0 0 ) Établir la relation matriielle liant r et E du type r ( M)E omplee) G G + E ( E e + E y e y + E z e z )e jt B 0 B 0 e z en régime sinusoïdal foré (et en notation ) Le milieu homogène et isotrope renferme N atomes du type préédent par unité de volume ; le veteur polarisation életrique P dipolaire, soit ii P est égal à la densité volumique de moment Montrer que le veteur déplaement életrique D (en notation omplee) défini par peut se mettre sous la forme : 0 r j 0 b 0 D E ave ( ) j 0 b 0 r 0, r où 0 est la permittivité du vide Pour résoudre ette question, on admettra que : r Eprimer et b On admettra dans la suite du problème que la fore d amortissement est faible devant les autres (on néglige don tout phénomène d absorption) et on montrera que, dans es onditions, r et b peuvent être assimilés à des nombres réels dont on préisera les epressions 3) Dans le milieu préédent, de perméabilité magnétique 0, se propage une onde életromagnétique dont le hamp életrique s érit : où et sont des onstantes éventuellement omplees et k désigne une onstante réelle positive a) À quelle ondition peut-on utiliser la relation matriielle liant D et E de la question ) b) Montrer que, néessairement, et vérifient : soit ave k k g ; soit E 0 je 0y ave k k d Caluler et N qr D 0 E + P ( qb 0 ) s m + jh E ( E e + E y e y )e jt ( E 0 e + E 0y e y )e E 0 E 0 k d E 0y je 0y k g E 0 Quelle figure est dérite dans un plan d onde par l etrémité du veteur réel E dans haun des deu as? ) Que se passe-t-il si un tel milieu est soumis à un hamp magnétique de même valeur mais de signe opposé? 4) On applique à l entrée d un tel milieu (en z 0) un hamp életrique présentant une polarisation retiligne E E 0 oste (en notation réelle) Déterminer le hamp obtenu après un parours de longueur d dans le milieu Comment évolue l état de polarisation sur la distane d? E 0y j ( t kz ), 78

282 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC ) Inidene de Brewster Une onde életromagnétique, plane, monohromatique se propage dans un milieu diéletrique transparent d indie n et arrive ave une inidene i sur un milieu diéletrique transparent d indie n L onde est polarisée retilignement, le hamp életrique étant : soit dans le plan inident (as a) ; soit perpendiulairement au plan inident (as b) Montrer qu il eiste pour l une des polarisations (a) ou (b) une valeur partiulière i B de l angle i pour laquelle l onde inidente est totalement transmise Caluler i B en fontion de n et n Réfleion totale Un milieu transparent d indie n (n réel ) oupe le demi-espae 0 tandis que l air (d indie ) oupe le demi-espae 0, omme l indique le shéma i-après E E i k i r k r n θ z y E t k t Couhe antireflet Un verre d indie n (réel) est reouvert d une mine ouhe transparente d épaisseur a et d indie N (réel) omme l indique le shéma i-dessous air d indie 4 3 y O a ouhe antireflet d indie N verre d indie n Une OPPM () de pulsation, à polarisation retiligne ( E 0 réel), de hamp noté E E 0 ej ( t kz ) e (ave, dans l air d indie, k --- ) arrive sur la ouhe transparente sous inidene normale Cette onde donne nais- sane, par réfleion et transmission, au OPPM notées (), (3), (4) et (5) de même pulsation ) Donner l epression générale des hamps életromagnétiques de es ondes (en notation omplee) ) Érire, pour es hamps, les onditions au limites en z 0 et za En déduire l amplitude E 0 du hamp életrique réfléhi par la ouhe en fontion de n, N, ak, et E 0 3) À quelles onditions doivent satisfaire N et n d une part, a d autre part, pour qu il n y ait pas d onde réfléhie dans l air ( E 0 0)? On eprimera a en fontion de la longueur d onde l (dans le vide) et N 5 z Une onde inidente plane, monohromatique, de pulsation, de veteur d onde k i, se propage dans le milieu d indie n Sa polarisation est retiligne, perpendiulaire au plan d inidene : E i E i e z E 0 e j t k i r E 0 (on pourra supposer réel) L angle d inidene est tel que sin -- n Données : k n ---, os, sin et sin n Cette onde inidente donne naissane à une onde réfléhie plane et à une onde transmise, monohromatique, de pulsation, et de polarisation analogue à elle de l onde inidente : et E t E t e z E 0t e j t k t r ) Déterminer les veteurs d onde k i, k r et k t des ondes inidente, réfléhie et transmise en fontion des données ) Déterminer omplètement les ondes réfléhie et transmise 3) Comparer le module de E 0r et E 0 Conlure quand au transfert d énergie 4) Caratériser au mieu l onde transmise pour : n,5 ; 60 ; l 589 nm Cette onde transporte-t-elle de l énergie? n ( ) e z E r E r e z E 0r e j t k r r ( ) e z ( ) e z Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 79

283 Corrigés Solution du ta au ta, page 77 Vrai : Fau : a, b Fau 3 Vrai : b Fau : a, 5 Vrai : b,, d, e, f Fau : a, g dn d n n ) est de l ordre n ,7 0 4 m dl d l l l ) La relation demandée est établie dans le ours( 33) : v g d n n d d d l Sahant que entraîne , la relation préédente l l s érit également v g v l - d n n d l 3) Le paquet d ondes met un temps t d pour parourir la distane d telle que : l d v g t d v t d , n 0 ar un déphasage de orrespond à une demi-période spatiale de la phase l 0 n 0 v g (la phase possède une période spatiale égale à ---- dans un milieu d indie n 0 ; la présene du signe se justifie par le fait ) n En éliminant t d, on déduit d et en utilisant les résultats de v ---- v la question ) : g d d n d l On trouve une distane très petite de l ordre de d 0 µm l 0 v v On en déduit : q( s m + j h) E ( s m + j h) q B 0 j q B E ( s m + j h) q y B 0 j q y B E ( s m + j h) q B 0 q( s m + j h) E ( s m + j h) q y B 0 q z E s m z + j h On vérifie ainsi que r et E sont effetivement liés par une relation matriielle du type : r ( M) E ) En supposant ( q B 0 ) s m + j h, on peut simplifier les epressions préédentes : q s m + j h E j q B + 0 ( s m + j h) E y j q y B 0 ( s m + j h) E q s m + j h E y q z E s m z + j h Le veteur déplaement életrique (en notation omplee) : D 0 E + P 0 ( E N qr) peut effetivement se mettre sous la forme : 0 r j 0 b 0 D ( ) E j 0 b 0 r 0 E r Nq ave r ( s m + j h) et b N q 3 B ( s m + j h) Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit ) On applique le théorème du entre d inertie au nuage életronique : m d r dt q E d r B dt 0 sr h dr dt En régime sinusoïdal foré et en notation omplee, on herhe une solution de la forme r r 0 e jt, d où : m r q( E + j r B 0 ) sr jhr, et en introduisant les omposantes omplees (, y, z) de r : ( s m + j h) + j qb 0 y qe j qb 0 + ( s m + j h) y qe y ( s m + j h)z qe z Lorsque le terme d amortissement est négligeable ( h 0 ), on onstate que et b sont réels : r Nq r r ( s m ) b b N q 3 B 0 0 ( s m ) 3) a) Pour pouvoir utiliser la relation liant D et E obtenue préédemment, il faut négliger l influene de la fore magnétique due au hamp B de l onde sur le nuage életronique des atomes, est-à-dire supposer : E d r B dt Cette approimation est tout à fait justifiée : E B étant de l ordre de grandeur de -- et la vitesse d r du nuage d t életronique très faible devant et 80

284 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC) b) Des équations de Mawell, on déduit l équation de propagation en alulant B rot ( rot E ) grad ( div E ) ΔE rot D t , ar t E rot B 0 j pol t P 0 t E D 0 t t D où, en notation omplee : (puisque div E 0 ) ΔE div D 0 D t 0 ( ) E t onduit ii, ave le hamp proposé transverse, à En introduisant le hamp E ( E 0 e + E 0y e y ) e l équation de propagation, on obtient : k r E 0 j b E 0 y 0 dans Le système admet deu solutions et non nulle si, et seulement si, son déterminant est nul, d où : Le hoi du signe «+» impose E 0 j E 0 y, soit : k k g --- ave r + b r b Le hoi du signe impose E 0 je 0y, soit : k k d --- r b En revenant à une notation réelle (et en supposant hamp életrique s érit : dans le as du signe «+» : Le hamp présente une polarisation irulaire gauhe ; dans le as du signe : Le hamp présente une polarisation irulaire droite ) Si le sens de est inversé, le signe de b hange B 0 j ( t kz ) réel), le 4) On peut déomposer le hamp életrique en la somme de deu hamps életriques à polarisations irulaires de sens opposées ( E z 0) : j b E 0 k + r E 0y 0 E 0 E 0y k r ± E E E 0 os( t k g z) E y E 0 sin( t k g z) E E E 0 os( t k d z) E y E( 0, E g ( 0, + E d ( 0, E 0 sin( t k d z) E 0 E 0 E( 0, E 0 oste E os t + E ost E 0 E ---- sint sint Après une distane d, le hamp devient : E( d, E g ( d, + E d ( d, On onstate que le hamp életrique présente une polarisation retiligne dont la diretion dans le plan d onde fait ave l ae ( O) un angle défini par : E tan y k ---- g k tan d d En se propageant, le hamp életrique onserve une polarisation retiligne, sa diretion tournant autour de l ae ( Oz), l angle de rotation étant proportionnel à la distane d parourue par l onde Le doument i-dessous représente les diretions des hamps E et B des ondes inidente et transmise dans le as où le hamp életrique E de l onde inidente se trouve dans le plan inident (do a) et dans le as où E( d, est perpendiulaire au plan inident (do b) Do Inidene de Brewster E os ( t k g d) + E os( t k d d) E 0 E ---- sin( t k g d) sin( t k d d) soit : E( d, E E k g k d k d t g + k os d d os E E y E k g k d k sin d t g + k d d E z 0 y z a est dans le plan inident : possible b est perpendiulaire au plan inident : impossible E a) b) E E B n n E k i i B k E E B n n E k i B i k E Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 8

285 Corrigés Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit La ondition au limites sur le plan de séparation pour le hamp B, soit B B ( 3 ), nous indique lairement que ette relation n est possible que si le hamp B de l onde inidente est perpendiulaire au plan inident (as a)) Dans e as a), la ondition au limites pour les omposantes tangentielles et normales du hamp E donne : pour la omposante tangentielle : pour la omposante normale : E os i E os i n E sin i n E sin i Nous en déduisons n tan i n tan i, d où ompte tenu de la loi de Desartes ( n sin i n sin i ) : n os i n os i En multipliant les deu dernières équations membre à membre, nous obtenons : sin i sin i, d où i --- i ( i et i sont ompris entre 0 et --- et i est évidemment différent de ) i Nous en déduisons finalement : i B tan i tan ; ---- ; est l angle de Brewster Par suite, une onde lumineuse (non polarisée), arrivant sous l inidene de Brewster, donne naissane à une onde réfléhie polarisée retilignement, le hamp életrique réfléhi étant perpendiulaire au plan inident Sous une inidene différente, l onde réfléhie est partiellement polarisée (puisque r // et r sont différents) Cette propriété est bien onnue des photographes qui utilisent des filtres polarisants (f H-Prépa, Optique ondulatoire, nde année) pour réduire la lumière réfléhie (don parasite) (do ) Certaines lunettes solaires utilisent également des verres polarisants pour la même raison reflet parasite Do Photographie d un poisson dans un aquarium : à l inidene de Brewster, l utilisation d un filtre polarisant permet d éliminer le reflet parasite i B n n filtre polarisant ) Dans l air : onde inidente () : E E E 0 e j ( t kz ) e et B e (la polarisation étant retiligne, on suppose réel) ; onde réfléhie () : E E E 0 ej ( t kz ) e et B e j t kz ( + ) e y Dans la ouhe : onde à «z roissants» (3) : E 3 E 03 e j ( t Nkz ) e et B 3 N E e j t Nkz ; ( ) e y onde à «z roissants» (4) : E 4 E 04 e j ( t + Nkz ) e et B 4 N E e j t Nkz ( + ) e y Dans le verre : onde transmise (5) : E 5 E 05 e j ( t nkz ) e et B 5 n E e Remarques : Il n y a pas d onde réfléhie dans le verre qui est supposé d etension infinie vers les z roissants Tous es hamps,de divergene nulle dans les milieu traversés,sont transverses On a vu ( ) que la réfleion et la réfration onservent a priori l état de polarisation des ondes : on a don supposé que toutes les ondes avaient la même polarisation retiligne ) Il y a ontinuité des omposantes tangentielles des hamps E et B au diverses interfaes (milieu isolants non hargés) Sous inidene nulle, les hamps sont tous tangents On en déduit : en z 0 : E 0 + E 0 E 03 + E 04 ; E 0 E 0 NE 03 NE 04 ; en z a : E 03 e jnka + E 04 e jnka E 05 e jnka ; NE 03 e jnka NE 04 e jnka ne 05 e jnka On en déduit (après quelques aluls) : j ( t kz ) e y ( N n) ( + N)e E jnka + ( N+ n) ( N) 0 ( N n) ( N)e jnka + ( N+ n) ( + N) E 0 3) E 0 0 si le numérateur de l epression i-dessus est nul (sans que le dénominateur le soi La partie imaginaire est nulle si sin( Nka) 0 ; il vient alors : soit os( Nka) et la partie réelle ne peut s annuler (si l on suppose bien sûr N différent de et n) ; soit sin( Nka) et la partie réelle s annule si N n La ouhe antireflet remplit don son offie si Nka ( p + ) (ave p entier), soit a ( p+ ) l Son fontionnement n est a priori 4N assuré que pour une longueur d onde donnée Pour éviter sa remise en ause trop rapide lorsque l varie, il faut hoisir une épaisseur faible : l épaisseur l optique du milieu est souvent prise égale à Na - 4 Les traitements antireflet font appel à l utilisation de ouhes mines En pratique, on utilise des dépôts multiples de diéletriques pour rendre le traitement presque ahromatique E 0 j ( t nkz ) e y 8

286 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique (PC) Un objetif photographique ou des lunettes traitées antireflet sont reonnaissables au fait qu ils présentent un reflet pourpre (bleu violaé) en lumière blanhe En effet, le traitement antireflet est alulé pour une longueur d onde jaune (pour laquelle l œil est plus sensible) ; il est don moins effiae pour les longueurs d onde situées au etrémités du spetre visible (bleu et rouge) ) Les onditions au limites sont vérifiées, à t donné, en tout point du plan de séparation des deu milieu, de sorte que les veteurs d onde ont la même projetion sur e plan : k it k rt k tt ksine y + 0e z ave k n --- Leur troisième omposante artésienne (omposante normale à l interfae ii) est déterminée par la relation de dispersion relative à haque k N milieu : Pour l onde réfléhie, k rn 0 Pour l onde transmise dans l air s étendant dans toute la zone 0, on gardera la solution donnant une amplitude de l onde non divergente Finalement, les veteurs d onde sont : ) Utilisant la relation de struture des OPPM, on peut aluler les hamps magnétiques des trois ondes Les hamps életromagnétiques sont de la forme : et et k rn k + n --- sin n et k + tn n --- sin k i n--- ( os e + sin e y ) k( e + e y ) k r n--- ( os e + sin e y ) k( e + e y ) k t et B t e j t e k j k y ( e + j e y ) ( j n sin e + n sin e y ) k( je + e y ) E i E 0 e jt e j k jky e z ne B 0 i e j t e j k j k y ( e e y ) E r E 0r e jt e B r ne r e j t e E t E 0t e jt e k ne 0t +jka jky e z ( e + e y ) +jka jky jky e z Les onditions au limites en 0 onduisent à : la ontinuité de la omposante tangentielle de E (ou de la omposante normale de B ) : E 0 + E 0r E 0t ; la ontinuité de la omposante tangentielle de B : ( E 0 + E 0r ) je 0t On en déduit : E 0r j et, j E 0 0t j e qui ahève la détermination des ondes réfléhie et transmise 3) On onstate que E 0r peut s érire e jφ E 0, et don E 0r E 0 Ces égalités montrent qu il y a réfleion totale (toute l énergie de l onde inidente se retrouve dans l onde réfléhie), la réfleion introduisant un déphasage de l onde réfléhie par rapport à l onde inidente Le déphasage vaut en inidene rasante 4) Le as proposé orrespond bien à sin - n Le hamp életromagnétique de l onde transmise est : E t j E e k 0 e j ( t ky ) e z B t ne0 e j k e j ( t ky ) ( e + j e y ) Cette onde se propage le long de la surfae de séparation ave la vitesse de phase v inférieure à k n sin, Dans la diretion ( O), perpendiulaire à sa diretion de propagation, son amplitude évolue eponentiellement : ette onde, qui n est pas plane, est appelée onde évanesente Elle pénètre très peu dans l air puisque le fateur e k permet de définir une profondeur aratéristique de pénétration : l nm k n sin n sin Cette épaisseur est don généralement très faible À la limite de la réfleion totale, lorsque sin tend vers -, ette épaisseur diverge n La moyenne temporelle du veteur de Poynting de ette onde est : P t - e E t B t n E e k L onde transporte de l énergie guidée le long de l interfae ; e y Hahette Livre H Prépa / Ondes, e année, MP-PC-PSI-PT La photoopie non autorisée est un délit 83

287 Annee Formulaire On désigne par U et V des hamps salaires : U U( M, et V V( M, On désigne par A et B des hamps de veteurs : A A( M, et B B( M, Divergene Rotationnel div A A A y A z y z Quelques relations utiles grad( UV) U grad V + V grad U rot( UA) U rot A + grad U A div ( UA) U div A + grad U A div( A B) B rot A A rot B rot ( grad U) 0 div( rot A ) 0 ΔU div( gradu) Δ A grad ( div A ) rot ( rot A ) rot A A z A y y z A A e z z ey + A y A y ez Laplaien d un hamp salaire ΔU U U U y z Laplaien d un hamp de veteurs ΔA ΔA ΔA y ΔA z A A A y z A y A y A y y z A z A z A z y z Hahette Livre H Prépa / Physique La photoopie non autorisée est un délit ou rot ( rot A ) Δ A + grad ( div A ) Utilisation des oordonnées artésiennes OM e + ye y + ze z U( M, U(, y, z, A( M, A (, y, zt, )e + A y (, y, zt, )e y + Gradient A z (, y, zt, )e z gradu e z O e z e y U U U e e y y e z z M y Utilisation des oordonnées ylindriques OM re r + ze z U( M, U( r,, zt, ) A( M, A r ( r,, zt, )e r + A ( r,, zt, )e Gradient + A z ( r,, zt, )e z U grad U e r r -- U U e r q q e z z z O θ r M e z e θ e r e θ e r y 84

288 Annee Divergene Rotationnel rot A div A -- ( rar) A q A z r r r q z -- A z A q A e r A r q z r z e z r q -- ( ra q) A r e r r r q z Laplaien d un hamp salaire Δ U r U ---- U U r r r r z Quelques résultats utiles en oordonnées ylindriques du grad ( U( r) ) e dr r OM e r div ; rot r e e rot ; div e q r r Δ( U( r) ) d r d U r d r d r Utilisation des oordonnées sphériques re r U( M, U( r, t,, ) A( M, A r ( r, t,, )e r + A ( r, t,, )e + A ( r, t,, )e e r z O ϕ θ r M e r e ϕ e θ e ϕ y Gradient grad U Divergene div A r ( r A ) r r Rotationnel rot A r sin U e r r -- U e r U e r sin Laplaien d un hamp salaire ΔU sin A ( ) r sin A r sin ( sin A ) A e r A r ( ra ) e r sin r + -- r ( ru) r r sin U r sin ( ra ) A r e r Quelques résultats utiles en oordonnées sphériques Δ( U( r) ) grad ( U( r) ) du e dr r div e r ; rot r e e r r rot r sin -- d ru ( ) r dr -- d U d U r d r d r ---- d r d r U r sin r d U d r Hahette Livre H Prépa / Physique La photoopie non autorisée est un délit 85

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291 La olletion de référene des lasses préparatoires sientifiques Ondes e année MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT* Introdution à la propagation d'ondes : ondes sonores longitudinales dans une tige solide Corde vibrante : équation d'alembert 3 Câble oaial : notion d'impédane 4 Propagation d'ondes sonores dans les fluides 5 Propogation d'ondes életromagnétiques NOUVEAU PROGRAMME 6 Rayonnement dipolaire életrique 7 Dispersion, absorbtion, paquets d'ondes et vitesse de groupe 8 Réfleion et guidage d'une onde par un onduteur 9 Ondes életromagnétiques dans un milieu diéletrique le savoir-faire Hahette au servie des prépas MATHÉMATIQUES Algèbre-Géométrie MP-MP* Analyse MP-MP* Analyse MP-MP* Algèbre-Géométrie PC-PC* PSI-PSI* Analyse PC-PC* PSI-PSI* PHYSIQUE Optique ondulatoire MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT* Ondes MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT* Életromagnétisme MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT* Thermodynamique MP-MP* PC-PC* PSI-PSI* PT-PT* Méanique du solide et des systèmes MP-MP* PC-PC* Méanique des fluides PC-PC* PSI-PSI* Életronique PSI- PSI* CHIMIE Chimie PC-PC* Chimie MP-MP* PT-PT* Chimie PSI-PSI* (parution janvier 005) EXERCICES & PROBLÈMES Des rappels de ours et de nombreu eeries orrigés pour s'entraîner toute l'année et pour préparer les onours TOUT LE PROGRAMME EN UN SEUL VOLUME wwwhahette-eduationom ISBN :