III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire 5

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1 Séries entières I Généralités I.A Définition I.B Lemme d Abel I.C Rayon de convergence d une série entière I.D Disque de convergence d une série entière I.E Théorème fondamental II Calcul pratique du rayon de convergence 3 III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire 5 IV Etude de la fonction définie par une série entière réelle 6 IV.A Intervalle ouvert de convergence IV.B Continuité IV.C Dérivabilité IV.D Intégration V Développement en série entière d une fonction 7 V.A Définition V.B Exemples à connaître VI Développement en série entière et développement limité 9 VIIExponentielle complexe 9 VII.ADéfinition VII.BPropriété fondamentale I I.A Généralités Définition Définition. Une série entière est une série de la forme a n z n, où (a n ) n N est une suite de C, et où z est un complexe fixé. On s intéressera dans ce chapitre tantôt à la convergence de la série pour z fixé, tantôt à la fonction : z a n z n définie sur l ensemble E = { z C / a n z n converge }. Une série entière réelle sera plutôt notée a n x n, où (a n ) n N est une suite de R, et où x est un réel fixé. Exercice Déterminer E = { z C / a n z n converge } dans les cas suivants : a) z n n! b) n= z n n 2 c) z n n n= d) n!z n e) nz n Pour la question c), on admettra que si z =, z, la série converge. [se20] Remarque. On observe donc sur ces exemples que l ensemble E, s il n est pas vide ou égal à C tout entier, semble être un disque avec éventuellement la totalité ou une partie de sa frontière. C est ce qu on va établir.

2 I.B Lemme d Abel Théorème. Soit r > 0 tel que la suite n a n r n est bornée. On a : z < r = a n z n est absolument convergente Démonstration. La suite n a n r n est bornée ; donc il existe A > 0 tel que pour tout n, on ait : a n r n A. Soit z tel que z < r. On a : a nz n = a n r n( z ) n ( z ) n A ( ) r r a nz n z n, est donc majoré pour tout n par A r qui est le terme général d une série géométrique, convergente car sa raison z r est strictement inférieure à. Donc la série de terme général anzn converge, ce qui est la convergence absolue de a nz n. Exercice 2 Soit une série entière a n z n. On pose : A = { r 0 / a n r n converge } B = { r 0 / a n r n n + 0} C = { r 0 / ( a n r n ) n N est bornée }. Montrer que A, B, C sont des intervalles qui contiennent Donner un exemple où A = [0, + [, et un exemple où A = {0}. 3. Quelles inclusions a-t-on entre A, B et C? 4. Montrer que A, B, C ont la même borne supérieure (éventuellement 0 ou + ). Pour cela, observer qu on a sup A sup C, et qu on ne peut avoir sup A < sup C, car dans ce dernier cas, l introduction de deux nombres x et y tels que sup A < x < y < sup C conduirait à une contradiction (utiliser le lemme d Abel). [se202] I.C Rayon de convergence d une série entière Définition 2. Soit a n z n une série entière. Le rayon de convergence de cette série est : R = sup { r 0 / a n r n converge } = sup { r 0 / a n r n n + 0} = sup { r 0 / ( a n r n ) n N est bornée } Remarque 2. L équivalence de ces trois définitions a été établie dans l exercice 2. R peut éventuellement être nul ou égal à +. I.D Disque de convergence d une série entière Définition 3. Le disque de convergence D d une série entière de rayon de convergence R est défini par : D = si R = 0. D = C si R = +. D = { z C / z < R } si 0 < R < +. 2

3 Remarques 3.. D est ouvert (la frontière n en fait pas partie). 2. D ne coïncide pas avec l ensemble E = { z C, / a n z n converge } ; en effet, il se peut que la série entière converge en certains points de la frontière de D, et on vient de voir que ceux-ci n appartiennent pas à D. 3. S il s agit d une série entière réelle, on a D =, ou R, ou ] R, R[. I.E Théorème fondamental Théorème 2. Soit a n z n une série entière de rayon de convergence R : Elle diverge (grossièrement) pour z > R. Elle converge absolument pour z < R. z > R : La série diverge z = R :? O z < R : La série converge (absolument) R Nature de la série a n z n Démonstration. Cela résulte immédiatement de la définition de R (voir I.C) et du lemme d Abel I.B. Remarque 4. La série a n z n peut converger en certains points, voire en tous les points du cercle z = R. II Calcul pratique du rayon de convergence Outre la définition du rayon de convergence, on peut utiliser quelques astuces :. Si a n+ a n+ z n+ l, alors l z et donc : a n a n z n { si l z < : la série est convergente. si l z > : la série est divergente. Donc R = l. On vérifie en particulier que si l = 0, le rayon de convergence est infini, et si l = +, on a R = 0. On a donc la règle de d Alembert pour les séries entières : a n+ a n l = R = (valable pour l = 0 ou l = + ) l 2. Si à partir d un certain rang, on a a n b n, alors R a R b (en désignant par R a et R b les rayons de convergence respectifs des séries a n z n et b n z n ). 3. Si a n z n 0 converge, mais pas absolument, alors R = z Si a n n + b n, alors R a = R b. 3

4 Remarque 5. La règle de d Alembert est bien une implication, et la réciproque est en général fausse : il est fréquent que a n+ n ait pas de limite, alors que le rayon de convergence existe bel et bien! a n C est en particulier le cas pour les séries lacunaires pour lesquelles une infinité de coefficients a n sont nuls. Exercice 3 Démontrer les points b), c), d). [se203] Exercice 4 Quel est le rayon de convergence de la série ln( + n)z n? [se204] Exercice 5 Quel est le rayon de convergence de la série 2 n z n? [se205] Exercice 6 Quel est le rayon de convergence de la série n? d(n)z n, où d(n) désigne le nombre de diviseurs de [se206] Exercice 7 Soit (a n ) n N une suite bornée qui ne tend pas vers 0. Quel est le rayon de convergence de a n z n? [se207] Exercice 8 On suppose lim a n+ = l ]0, + [. n + a n Quel est le rayon de convergence de a n z 2n? [se208] Exercice 9 { a n = 2 si n est pair On pose : a n = 3 si n est impair Quel est le rayon de convergence de a n z n? [se209] Exercice 0 Quel est le rayon de convergence de la série ( tan nπ 7 ) z n? [se20] Exercice Quel est le rayon de convergence de la série a n z n, où a n est la n ème décimale de π? 4

5 [se2] Exercice 2 Quel est le rayon de convergence de la série a n z n, où a n est la partie entière de π n? [se22] Exercice 3 Quel est le rayon de convergence de la série [ a n z n, où a n = cos π ] n 2 + n +? [se23] Exercice 4 Quel est le rayon de convergence de la série a n z n, où a n = n k= k? [se24] Exercice 5 Rayon de convergence et somme de la série entière réelle (cos nθ)x n. [se25] Exercice 6 Rayon de convergence et somme de la série entière réelle a n x n, avec : a 0 = 0 et n N, a n = ( + 2.2! + + n.n!) n! [se26] III Somme de deux séries entières, produit par un scalaire Théorème 3. Soit la série : (a n + b n )z n. Désignons par R son rayon de convergence, et par R a et R b les rayons de convergence respectifs des séries entières a n z n et b n z n. On a : R min(r a, R b ), et il y a égalité si R a R b Si λ 0, les deux séries entières a n z n et (λa n )z n ont le même rayon de convergence. Démonstration. Supposons d abord R a < R b. Si z < R a, la série (a n + b n)z n converge comme somme de deux séries convergentes. Si R a < z < R b, la série (a n + b n)z n diverge car elle est somme d une série divergente et d une série convergente. Enfin, si R b z 0, on ne peut a priori rien dire. Mais si la série (a n +b n)z n 0 convergeait, la série (a n +b n)z n convergerait pour tout z tel que z < z 0, d après l aspect de l ensemble de convergence d une série entière, et en particulier elle convergerait pour tout z dans la couronne R a < z < R b. On vient de voir que ce n est pas vrai. En résumé, la série (a n + b n)z n converge pour z < R a, et diverge pour z > R a. Son rayon de convergence est donc R a. Si R a = R b, il est clair que (a n + b n)z n converge pour z < R a, et donc que son rayon de convergence est au moins égal à R a. Mais il peut être strictement supérieur, comme le montre l exercice suivant. Exercice 7 5

6 Déterminer les rayons de convergence des séries : (2 n + 3 n )z n et ( ( 2 n ) + 2 n) z n. [se27] IV Etude de la fonction définie par une série entière réelle réelle. IV.A Il s agit de la fonction f : x a n x n, où (a n ) n N est une suite réelle, et où x est une variable Intervalle ouvert de convergence C est ] R, R [, ou, ou R tout entier. Evidemment, l ensemble de définition de la fonction f ne coïncide pas forcément tout à fait avec cet intervalle ouvert. Cet ensemble de définition peut être par exemple [ R, R], [ R, R[, ] R, R], {0}. x n Par exemple, pour la fonction x, l ensemble de définition est [, ] et l intervalle ouvert n2 n= de convergence de la série est ], [. x n Pour la fonction x, l ensemble de définition est [, [ et l intervalle ouvert de convergence n n= de la série est ], [. Pour la fonction x n!x n, l ensemble de définition est {0} et l intervalle ouvert de convergence de la série est. n= IV.B Continuité Théorème 4. La fonction f : x a n x n est continue sur l intervalle ouvert de convergence ] R, R[ :. Si 2. Si a n R n converge, elle est continue sur ] R, R]. a n ( R) n converge, elle est continue sur [ R, R[. Démonstration. Ce théorème est admis. IV.C Dérivabilité Théorème 5. Soit la fonction f : x a n x n (rayon de convergence R > 0). f est de classe C sur ] R, R[ ; les dérivations se font terme à terme ; les séries obtenues sont toutes de rayon de convergence égal à R. Démonstration. Ce théorème est admis. 6

7 Exercice 8 Montrer que k N, on a : a k = f (k) (0) (c est important!). [se28] Exercice 9 On se propose de calculer la somme A de la série ( ) n 2n +. Montrer que cette série est convergente. ( ) n 2. On pose f(x) = 2n + x2n+. En calculant f (x), montrer qu on a : x ], [, f(x) = arctan x 3. Quel est l ensemble de définition de la fonction f? Montrer que f est continue sur cet ensemble. En déduire la valeur de A. [se29] Remarque 6. Méditer la méthode, qui sera souvent utilisée : on a deux fonctions f et g, qui coïncident sur ], [, mais qui en fait sont définies sur ], ] (au moins), et continues sur ce dernier ensemble. Alors elles coïncident sur ], ], et en particulier f() = g(). IV.D Intégration Théorème 6. Soit la fonction f : t a n t n (rayon de convergence R > 0). On a : x ] R, R[ : x 0 et cette dernière série a un rayon de convergence égal à R. ( ) x f(t)dt = a n t n a n dt = n + xn+ 0 Démonstration. Ce théorème est admis. Remarque 7. Noter l échange des signes (somme infinie) et, ce qui n est nullement trivial! On retiendra que l intégration d une série entière se fait terme à terme, sur tout segment [0, x] inclus dans l intervalle ouvert de convergence, et plus généralement sur tout segment [a, b] inclus dans l intervalle ouvert de convergence. V V.A Développement en série entière d une fonction Définition Définition 4. On dit que f, définie au voisinage de 0, est développable en série entière (en 0), s il existe un intervalle I contenant 0 et non réduit à {0}, et une suite (a n ) n N, tels que l on ait : x I, f(x) = a n x n 7

8 V.B Exemples à connaître Il faut retenir et savoir utiliser dans les exercices les développements en série entière suivants : x ], [, x = x k, R = x ], [, + x = ( ) k x k, R = Démonstration. Il s agit de séries géométriques. x ], [, ln( + x) = ( ) k xk+ k +, R = Démonstration. On a : t ], [, + t = ( ) k t k Soit x ], [. D après le théorème d intégration terme à terme d une série entière sur tout segment inclus dans son intervalle ouvert de convergence (IV.D), on peut écrire : x dt x ( ln( + x) = 0 + t = ( ) k t k) x dt = ( ) k t k dt = ( ) k xk+ 0 0 k + ce qui est le résultat souhaité. x R, e x = x k, ch x = x 2k (2k)!, sh x = x 2k+ (2k + )!, R = + Démonstration. Le premier résultat est connu, les deux autres s obtiennent en considérant respectivement la partie paire et la partie impaire de x e x. x R, cos x = ( ) k x2k (2k)!, sin x = ( ) k x 2k+ (2k + )!, R = + Démonstration. Ces résultats se démontrent à l aide de l inégalité de Taylor-Lagrange, comme on l a fait au chapitre pour l exponentielle. α R, x ], [, ( + x) α = + Démonstration. C est l objet de l exercice suivant. Exercice 20 Soit α R, fixé. On pose pour x > : k= f(x) = ( + x) α α(α )... (α k + ) x k, R =. Former une équation différentielle du premier ordre dont f est solution. 2. Trouver une fonction g définie par une série entière : g(x) = a k x k, telle que g soit solution de l équation différentielle précédente et vérifie g(0) =. 3. Quel est le rayon de convergence de la série obtenue? 4. Conclure en utilisant l unicité de la solution d une équation différentielle linéaire du premier ordre vérifiant une condition initiale donnée. [se220] 8

9 VI Développement en série entière et développement limité Soit f une fonction de R dans R, développable en série entière en 0. Cela veut dire qu il existe R > 0, et une suite de réels (a k ) k N tels que : x ] R, R[, f(x) = a k x k On a vu qu une telle fonction f est de classe C sur ] R, R[, et qu on a pour tout entier k : a k = f (k) (0). Soit maintenant n un entier positif fixé. Comme f est de classe C, la formule de Taylor-Young fournit son développement limité en 0 à l ordre n : ou encore : Quand x 0, f(x) = n Quand x 0, f(x) = f (k) (0) x k + o(x n ) n a k x k + o(x n ) Même si les coefficients sont les mêmes, il faut bien comprendre la différence d esprit entre les deux formules. n La première est globale et dit que pour n importe quel x de ] R, R[, on a f(x) = lim a k x k. ( La seconde est locale et dit que lim x 0 x n f(x) n a k x k) = 0, n étant fixé. n + VII Exponentielle complexe VII.A On pose : Définition z C, e z = Cela a un sens car on sait que le disque de convergence de cette série est C tout entier (rayon de convergence infini). Remarquons que cette définition prolonge le résultat établi pour x réel : Enfin, si z = iy, avec y réel, on retrouve : e x = x k z k e iy = cos y + i sin y VII.B Propriété fondamentale Théorème 7. z, z C, e z+z = e z e z Démonstration. Cette propriété est admise : on peut toutefois avoir une idée de sa démonstration si l on admet que les séries entières se multiplient comme les polynômes, en groupant les termes de mêmes degrés. 9

10 Il résulte de cette propriété que z C, e z 0 (faire le produit e z e z ), et aussi que pour x et y réels, on a : e x+iy = e x (cos y + i sin y) (formule admise en sup). Correction de l exercice = z. Si on pose u n = z n un+ n!, on a u n n+ 0, et donc la série de terme général u n converge n + d après la règle de d Alembert pour les séries à termes positifs. Ce qui n est rien d autre que la convergence absolue de la série proposée, et cela quel que soit z. On a donc E = C. 2. Pour z, la série est absolument convergente car z n n 2 n, et la série 2 n converge. Pour 2 z >, la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0 : sa valeur absolue tend même vers +, d après les croissances comparées des suites n z n et n n 2. E est donc ici le disque fermé de centre 0 de rayon. 3. Pour z <, la série est absolument convergente d après la règle de d Alembert appliquée à la série de terme général z n n. Pour z >, la série diverge car son terme général ne tend pas vers 0 (même argument qu en b)). Pour z =, la série converge sauf pour z =, d après l indication fournie. E est donc ici le disque fermé de centre 0 de rayon, privé du point. 4. Hors le cas z = 0, la suite n n!z n ne tend pas vers 0. En effet, si l on pose u n = n! z n, le calcul de un+ u n montre que la suite (u n ) est strictement croissante à partir d un certain rang, et elle ne peut donc tendre vers 0. En résumé, la série est grossièrement divergente pour z 0, et E = {0}. 5. Pour z <, la série est absolument convergente (règle de d Alembert pour les séries à termes positifs) ; et pour z, le terme général ne tend pas vers 0, et la série est donc divergente. Ici, E est le disque ouvert de centre 0 et de rayon. Correction de l exercice 2. Il est évident que 0 A, car on a : a 0 + n= a n 0 n = a 0. Pour montrer que A est un intervalle, on utilise la propriété suivante, caractéristique d un intervalle de R : si x y z et si x, z A, alors y A. Et c est clair car pour tout n, 0 a n y n a n z n, et la série a n z n converge : donc la série a n y n converge, et y A. A est donc un intervalle qui contient 0, plus précisément du type [0,... ; on procède de la même manière pour B et C. 2. Si pour tout n, a n = n!, alors A = [0, + [. Si pour tout n, a n = 0, alors A = {0}. 3. A B C. 4. Comme A C, il est clair qu on a : sup A sup C. Si on avait une inégalité stricte, on pourrait introduire deux nombres x et y tels que sup A < x < y < sup C. Mais on aurait alors y C, autrement dit la suite ( a n x n ) serait bornée. Mais alors, d après le lemme d Abel, la série a n x n serait absolument convergente, en contradiction avec le fait que x / A. Donc sup A = sup C, et bien sûr : sup A = sup B = sup C. Correction de l exercice 3 b) z < R b = bn z n converge = a n z n converge (terme général majoré par b n z n ) = z R a On a donc l implication : z < R b = z R a, d où bien sûr : R b R a. c) z ne peut être que sur le pourtour du disque de convergence (voir le schéma page 3). 0

11 d) On a an b n an b n 3 2, ou encore : 2 b n a n. Donc, si n est suffisamment grand, n b n. D après b), la première inégalité montre R a R b, et la deuxième montre R b R a. Correction de l exercice 4 Rayon de convergence égal à, par la règle de d Alembert pour les séries entières. Correction de l exercice 5 Rayon de convergence égal à 2, par la règle de d Alembert pour les séries entières. On peut aussi, plus directement, remarquer qu il s agit d une série géométrique de raison 2z, et que cette série converge si et seulement si 2z <. Correction de l exercice 6 Si on pose a n =, b n = d(n), c n = n, on a pour tout n, a n b n c n d où R c R b R a. Comme il est clair que R a = R c =, on conclut que R b =. Correction de l exercice 7 Soit A > 0 tel que n, a n A. Le rayon de convergence R a de la série a n z n est supérieur ou égal à celui de la série Az n, et celui-ci est. Donc R a. Par ailleurs, pour z =, la série a n z n est grossièrement divergente, donc R a. Finalement, R a =. Correction de l exercice 8 Si on pose Z = z 2, la série a n Z n a un rayon de convergence égal à l ; donc elle converge absolument pour Z < l, et elle diverge pour Z > l. La série a n z 2n converge donc absolument pour z 2 < l, c est-à-dire pour z < l, et elle diverge pour z > l. Le rayon de convergence est l. Correction de l exercice 9 On peut utiliser l argument de l exercice VII.B, avec 2 a n 3, ou bien celui de l exercice VII.B, car la suite (a n ) est bornée et elle ne tend pas vers 0 : le rayon de convergence est. Correction de l exercice 0 L argument est celui de l exercice VII.B : la suite n tan nπ 7 elle ne tend pas vers 0. Le rayon de convergence est. est bornée, car elle est périodique, et Correction de l exercice L argument est ici aussi celui de l exercice VII.B : la suite des décimales de π est bornée, entre 0 et 9, et elle ne tend pas vers 0 ; en effet, comme il s agit d une suite d entiers, si elle tendait vers 0, elle stationnerait à 0, ce qui ferait de π un nombre décimal! Le rayon de convergence est.

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