Interprétations géométriques des nombres complexes. Module et argument

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1 DOCUMENT 10 Interprétations géométriques des nombres complexes. Module et argument Les nombres complexes ont d abord été utilisés pour la résolution des équations algébriques mais dès la fin du XVIII e siècle ils ont eu une interprétation géométrique. L idée d associer à tout nombre complexe un point d un plan semble due à Wessel (1797) mais la méthode est plus connue sous le nom d Argand-Cauchy. Argand a développé cette technique vers Le plan d Argand-Cauchy Soit P un plan affine euclidien, P son plan vectoriel associé. A tout repère orthonormé R = (O, u, v ) de P on peut faire correspondre une application θ de C dans P et une application θ de C dans P définies pour tout z = a + ib C, a R, b R, par : θ(z) est le point M de P de coordonnées (a, b) ou encore M = O + a u + b v. θ(z) est le vecteur V de P de composantes a et b : V = a u + b v. On dit que M est le point image du nombre complexe z et que le vecteur V est le vecteur image de z. Le nombre complexe z est l affixe du point M et du vecteur V. Les notations précédentes seront utilisées dans tout le document. Il est clair que les applications θ et θ sont bijectives et que l on a θ(z) = θ(0) + θ(z). Le paragraphe suivant permettra d interpréter cette relation. Il est important de noter que les applications θ et θ dépendent du choix d un repère dans P. Deux repères différents conduisent à des applications θ et θ différentes. Cependant une partie importante des propriétés de cette correspondance entre nombres complexes et points ou vecteurs d un plan sont indépendantes du choix du repère. Muni de l addition, C est un groupe commutatif et l application de R C dans C, (λ, z) λz, vérifie les axiomes définissant les espaces vectoriels : λ(z 1 + z ) = λz 1 + λz, (λ + µ)z = λz + µz, λ(µz) = (λµ)z, 1.z = z. Le corps C est donc aussi un espace vectoriel sur R. (Plus généralement, tout corps est un espace vectoriel sur chacun de ses sous-corps.) Comme tout élément z de C s écrit de façon unique z = a.1 + b.i avec (a, b) R, la dimension de cet espace vectoriel est et (1, i) est une base de ce plan vectoriel. C est aussi de façon canonique un plan affine. Considérons maintenant l application de C dans R qui a (z 1, z ) fait correspondre si z k = a k + ib k, k = 1,. C est un produit scalaire sur le plan C : < z 1 z >= a 1 a + b 1 b < z 1 z >=< z z 1 > ; < λz 1 + µz z >= λ < z 1 z > +µ < z z > (λ R, µ R) ; 111

2 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES < z z > 0 et < z z >= 0 si et seulement si z = 0. Muni de ce produit scalaire, le plan C devient un plan vectoriel euclidien avec z =< z z > 1 = z. C est aussi un plan affine euclidien avec la distance d(z 1, z ) = z 1 z. Propriétés du produit scalaire et du module < z 1 z >= R(z 1.z ) = z 1z + z 1 z. La première égalité signifie que le produit scalaire est la partie réelle du produit hermitien sur C considéré comme espace vectoriel complexe. z =< z z > 1 = z : le module du nombre complexe z coïncide avec la norme associée au produit scalaire. Plusieurs propriétés du module sont des conséquences de ce résultat. Par exemple: z 0 et z = 0 si et seulement si z = 0. z 1 + z z 1 + z : c est l inégalité triangulaire dont on peut donner une démonstration indépendante du produit scalaire : z 1 + z = (z 1 + z )(z 1 + z ) = z 1 + z + (z 1 z + z 1 z ) = z 1 + z + R(z 1 z ) z 1 + z + z 1 z = z 1 + z + z 1 z = ( z 1 + z ). La base (1, i) est orthonormée. Lorsque C devra être orienté, on supposera toujours que cette base est directe. Proposition Pour tout plan affine euclidien P, l application θ est une isométrie affine de C sur P et θ est son isométrie vectorielle associée. On a déjá remarqué que θ(z) = θ(0) + θ(z). Montrons que θ est linéaire Soit z k = a k + ib k, k = 1,. On a : θ(z 1 + z ) = (a 1 + a ) u + (b 1 + b ) v = a 1 u + b 1 v + a u + b v = θ(z 1 ) + θ(z ), ce qui se traduit par : l image de la somme est la somme des images. soit λ R, z = a + ib C : θ(λz) = λa u + λb v = λ θ(z). L application θ est une isométrie vectorielle : avec les notations précédente < z 1 z >= a 1 a + b 1 b = θ(z 1 ). θ(z ) L application θ est donc une isométrie affine : si M k est l image de z k alors : d(m 1, M ) = M 1 M = z z 1 = d(z 1, z ). ( M 1 M est l image de z z 1 car, en utilisant la linéarité de θ, on a θ(z z 1 ) = θ(z ) θ(z 1 ) = OM OM 1 = M 1 M.) Remarques. 1) Il est clair que θ conserve le produit scalaire. La première partie de la preuve précédente est donc inutile si l on sait que toute application qui conserve le produit scalaire est linéaire. ) Après avoir montré que θ est linéaire on peut aussi dire que par cette application la base orthonormée (1, i) devient la base orthonormée ( u, v) et en conclure que c est une isométrie.

3 1. LE PLAN D ARGAND-CAUCHY 113 (Toute application linéaire qui transforme une base orthonormée en un base orthonormée est une isométrie.) 1.1. Interprétation géométrique du module. On a introduit le module du nombre complexe z = a + ib par z = a + b = zz et on a vu que c est aussi la norme de z pour la structure de plan euclidien que l on a définie sur C. Considérons maintenant un autre repère orthonormé de P, (O, u, v ) (ou un repère dans un autre espace affine euclidien). Soit M l image de z = a + ib dans (O, u, v ). On a : OM = a u + b v, O M = a u + b v d où OM = a + b = O M et donc Proposition 10.. Soit R un repère orthonormé d origine O d un plan affine euclidien P et M le point de P qui est l image d un nombre complexe z. La longueur du vecteur OM est indépendante de P et de R et est égale au module de z. Remarques 1) La proposition précédente donne la possibilité d une définition géométrique du module : on montre que si M est l image de z alors OM ne dépend ni du plan euclidien P ni du repère R et on l appelle le module de z. Il est nécessaire ensuite d interpréter algébriquement cette quantité. ) On peut déduire de l interprétation géométrique du module une preuve géométrique de z 1 + z z 1 + z. Une preuve géométrique de l inégalité triangulaire est, avec les notations habituelles de la trigonométrie : a = b + c bc cos A b + c + bc = (b + c). En conclusion l application z z est un homomorphisme surjectif de (C,.) sur (R +,.) qui prolonge l application valeur absolue définie sur R. Il en résulte que z n = z n, z z = z z (n N, z C, z C ). une norme sur le plan vectoriel C : z 0 et z = 0 si et seulement si z = 0; λz = λ z ; z + z z + z. (λ R, z, z C.) De plus l on a : z = z ; Rz z avec égalité si et seulement si z R; Iz z avec égalité si et seulement si z = λi, λ R. Un exemple d intervention Soit z 1 et z deux nombres complexes. Montrer que : et interpréter géométriquement cette relation. z 1 + z + z 1 z = ( z 1 + z ) (1)

4 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES Solution. On a z 1 + z + z 1 z = (z 1 + z )(z 1 + z ) + (z 1 z )(z 1 z ) = z 1 + z + z 1 z + z 1 z + z 1 + z z 1 z z 1 z = ( z 1 + z ). Soit P un plan affine euclidien muni d un repère orthonormé, M 1 et M les images dans P de z 1 et z. Si l image de z 1 + z est M et l image de z 1 z est N alors OM = OM 1 + OM et ON = M M 1. Un première interprétation géométrique de (1) est donc OM + M 1 M = (OM 1 + OM ) Dans un parallélogramme, la somme des carrés des longueurs des diagonales est égale à la somme des carrés des longueurs des côtés. Lorsque le parallélogramme est un rectangle, on retrouve le théorème de Pythagore. Pour obtenir une deuxième interprétation géométrique, désignons par I le milieu de M 1 M. Le point I est l image de z 1 + z et OI est une médiane du triangle OM 1 M. La relation (1) peut s écrire : d où z 1 + z + z 1 z = z 1 + z OI + M 1M = OM1 + OM. On a retrouvé la relation qui donne la longueur de la médiane d un triangle. Rappelons que cette relation permet en particulier de déterminer l ensemble des points du plan dont la somme des carrés des distances à deux points fixes est constante. Remarques. 1) La relation (1) est une condition nécessaire et suffisante pour que la norme z z soit déduite d un produit scalaire. On a déjà remarqué qu il en est bien ainsi. ) On peut proposer l exercice suivant. (1) Démontrer que pour deux nombres complexes z 1 et z on a z 1 + z + z 1 z = z 1 + z. En déduire que pour trois nombres complexes z, a et b z a + z b = z a + b + a b. () Soit A et B deux points distincts d un plan affine euclidien. Quel est le lieu géométrique des points M tels que MA + MB = k, k R. 1.. L argument.

5 1. LE PLAN D ARGAND-CAUCHY Argument d un nombre complexe de module 1. Précisons d abord la définition de l argument en supposant connu les fonctions sinus et cosinus. Définition Pour tout nombre complexe z de module 1, on appelle argument de z l ensemble : arg(z) = {t R z = cos t + i sin t} Propriétés élémentaires de l argument de z, z = 1. Pour tout z de module 1, arg(z). En effet si z = a + ib alors a + b = 1 et il existe t, que l on peut prendre dans [0, π[, tel que a = cos t et b = sin t. (Voir le document 17.) Pour tout t 0 arg(z), on a t arg(z) si et seulement si il existe k Z tel que t = t 0 + kπ. Ce résultat ne fait que traduire autrement l équivalence entre les deux affirmations : cos t = cos t 0 et sin t = sin t 0 ; il existe k Z tel que t = t 0 + kπ. On a donc arg(z) = {t 0 + kπ k Z}, ce que l on traduit avec un peu d ambiguité par : l argument d un nombre complexe est défini à π près. Un élément de arg(z) sera parfois appelé un argument de z. Soit z 1 et z deux nombres complexes de module 1, t 1 un argument de z 1, t un argument de z. On a z 1 z = (cos t 1 + i sin t 1 )(cos t + i sin t ) = cos t 1 cos t sin t 1 sin t + i(cos t 1 sin t + cos t sin t 1 ) = cos(t 1 + t ) + i sin(t 1 + t ). t 1 + t est donc un argument de z 1 z et arg(z 1 z ) = {t 1 + t + kπ k Z} (un argument du produit est la somme formée par un argument de chacun des facteurs) Si z est de module 1 alors pour tout argument t de z, t est un argument de 1 z = z. Plus généralement si t 1 et t sont des argumens de z 1 et z alors : arg( z 1 z ) = {t 1 t + kπ k Z} Remarque. L argument d un nombre complexe est en fait un élément du groupe quotient (R/πZ, +) et l application qui à un nombre complexe de module 1 fait correspondre son argument est un isomorphisme du groupe multiplicatif des nombres complexes de module 1 sur le groupe (R/πZ, +) Argument d un nombre complexe non nul. Si z est un nombre complexe non nul alors z est un nombre complexe de module 1 et on pose: z Propriétés élémentaires arg(z) = arg( z z )

6 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES Pour tout z non nul, arg(z) = {t R z = cos t + i sin t} = {t R z = z (cos t + i sin t}. z Si z = ρ(cos t + i sin t) avec ρ > 0 on dit que z est écrit sous forme trigonométrique. On a alors ρ = z et t est un argument de z. Pour tout argument t de z, z s écrit sous la forme trigonométrique z = z (cos t + i sin t). Si t 1 et t sont des arguments de z 1 et z alors t 1 + t est un argument de z 1 + z et t 1 t est un argument de z 1 z. (L application z arg(z) est un homomorphisme du groupe (C,.) sur (R/πZ, +) mais ce n est pas un isomorphisme) Revenons au plan affine euclidien P et considérons un autre repère R = (O, u, v ) de ce plan. Soit z = a+ib C, M et M les images de z dans P muni des repères R et R. Supposons les bases ( u, v) et ( u, v ) de même sens. C est dire que l isométrie f de P définie par f( u) = u et f( v) = v est une rotation. On a OM = a u + b v d où f( OM) = af( u) + bf( v) = a u + b v = O M. Les rotations conservant les angles orientés de vecteurs on a : ( u, OM) = (f( u), f( OM)) = ( u, O M ). Si maintenant les bases ( u, v) et ( u, v ) sont de sens contraires alors f est une symétrie et comme les symétries changent les angles orientés en leurs opposés : On voit donc que si P est orienté alors ( u, OM) = (f( u), f( OM)) = ( u, O M ). ( u, OM) est le même pour tous ses repères directs. ( u, OM) et l argument de z (qui sont tous Cherchons maintenant un lien entre la mesure de deux des éléments de R/πZ). En supposant P orienté et le repère R direct, soit t une mesure de ( u, OM). On a OM = OM cos t u + OM sin t v et si M est l image de z = z (cos t + i sin t ) alors OM = z cos t u + z sin t v. Comme OM = z, on a cos t = cos t et sin t = sin t et donc il existe k Z tel que t = t + kπ : t est une mesure de ( u, OM) et t est un argument de z d où : arg(z) = mes( u, OM) (M = θ(z), repère direct) En particulier, si P = C alors arg(z) = mes( 1, z). On a démontré : Proposition Soit P un plan affine euclidien orienté muni d un repère orthonormé direct R = (O, u, v ). Si M est l image du nombre complexe z non nul alors l angle ( u, OM) est indépendant du repère orthonormé direct de P et pour tout repère orthonormé direct sa mesure est arg(z). Remarque. 1). La proposition précédente contient l idée d une définition géométrique de l argument d un nombre complexe non nul. On montre d abord que pour tout repère orthonormé

7 . LIGNES DE NIVEAU 117 direct de P, R = (O, u, v ) l angle ( u, OM) est indépendant du repère direct et on pose arg z = mes( u, OM). Il faut ensuite prouver l interprétation algébrique de l argument, à savoir arg z = {α z = z (cos α + i sin α)}. ). L argument de 0 n a pas été défini et on ne peut pas prolonger la fonction argument en 0 sans perdre sa propriété essentielle : l argument d un produit est la somme des arguments. En effet, soit f un homomorphisme de (C, ) dans un groupe (G, +) (par exemple (R/πZ, +)). On a f(0) = f(0.z) = f(0) + f(z) d où f(z) = 0. L application f est donc identiquement nulle et sans intérêt.. Lignes de niveau Soit E un espace affine et f une application de E dans K, K étant le plus souvent R. Les lignes de niveau de f sont les parties L k de E définies pour tout k K par L k = {M E f(m) = k} = f 1 ({k}). Déterminer les lignes de niveau de f consiste à caractériser géométriquement les ensembles L k. Lorsque f est une application de C dans K et P un plan affine euclidien muni d un repère orthonormé alors on peut associer à chaque k K l ensemble L k (P ) des points M de P dont l affixe appartient à L k. Nous allons déterminer de tels ensembles pour des applications f définies à l aide du module et de l argument. 1) f : C R est définie par f(z) = z a, a C. Il est clair que L k (P ) est vide si k < 0 et est le cercle de rayon k et ayant pour centre l image de a si k 0. En particulier, si a = 0 les lignes de niveau de z z sont vides si k < 0 et sont les cercles de centre O et de rayon k si k 0. ) f : C R est définie par f(z) = z a + z b, a, b C, a b. Soit A et B les images de a et b. Il est clair que M L k (P ) équivaut à MA + MB = k d où: si k < AB, L k (P ) = ; si k = AB, L k (P ) = [AB]; si k > AB, L k (P ) est l ellipse de foyers A et B et dont la longueur du grand axe est k. En remplaçant f par la fonction g définie par g(z) = z a z b on obtient, pour 0 < k < AB, des hyperboles. On peut aussi considérer la fonction h : z z a + z b. Si h(z) = k alors, en remplaçant dans l identité du parallélogramme donnée au début de ce document, z 1 et z par z a et z b on obtient k = z (a + b) + a b d où z a + b = 1 k a b ce qui montre que les lignes de niveau de h sont vides ou des cercles centrés au milieu de [AB]. On a donc démontré que l ensemble des points dont la somme des carrés des distances à deux points fixes A et B est vide ou est un cercle centré au milieu du segment AB.

8 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES 3) f : C {b} R est définie par f(z) = z a, a, b C, a b. z b Soit toujours A et B les images de a et b. Il est clair que M L k (P ) équivaut á MA MB = k d où : si k < 0, L k (P ) = ; si k = 0, L 0 (P ) = {A} ; si k = 1, L 1 (P ) est la médiatrice du segment [AB] ; si k > 0, k 1, L k (P ) est le cercle ayant pour diamètre le segment [CD] où C et D sont les barycentres de ((A, 1), (B, k)) et ((A, 1)(B, k)). On trouvera une étude de ces lignes de niveau à l aide des nombres complexes dans le paragraphe ci-dessous. 4) f : C R/πZ est définie par f(z) = arg(z) Soit θ 0 [0, π[ et z 0 = cos θ 0 + i sin θ 0. On a pour tout z 0, argz = θ 0 + πz = argz 0 si et seulement si arg z z = 0 ; autrement dit si et seulement si est un réel λ > 0. Il en résulte z 0 z 0 que L θ0 = {z argz = θ 0 + πz} = {z z = λz 0, λ R + }. Dans le plan complexe, la ligne de niveau L θ0 est donc la demi-droite ouverte d origine 0 dirigée par le vecteur z 0. Dans un plan affine euclidien orienté muni d un repère orthonormé direct (O, u, v ), l image de L θ0 est la demi-droite ouverte d origine O et dirigée par le vecteur unitaire qui est l image de z 0. En utilisant l interprétation géométrique de l argument, cette demi-droite est l ensemble des points M tels que mes( u, OM) = θ0 + πz. 5) f : C {a, b} R/πZ définie par f(z) = arg z a, a, b C, a b. z b On suppose P orienté, muni d un repère direct (O, u, v) et on désigne par A et B les images de a et b. Si M P est l image de z alors arg z a z b = k mes ( MB, MA) = k et donc on a les trois cas suivants : si k = πz, L k (P ) est la droite AB privé du segment [AB] ; si k = π + πz, L k (P ) est le segment ouvert AB ; sinon, L k (P ) est un arc de cercle ouvert limité par les points A et B. Il existe une preuve géométrique de ces résultats mais on peut aussi en donner une (voir à la fin de ce document) qui utilise uniquement les nombres complexes en appliquant la méthode du paragraphe ci-dessous. 3. Utilisations des nombres complexes en géométrie L utilisation des nombres complexes pour résoudre des problèmes de géométrie plane comporte en général trois étapes : (1) On traduit à l aide des affixes des points les hypothèses du problème qui deviennent des relations entre nombres complexes. () On effectue (astucieusement!) des calculs sur les relations précédentes.

9 3. UTILISATIONS DES NOMBRES COMPLEXES EN GÉOMÉTRIE 119 (3) On interprète géométriquement les résultats des calculs précédents. Donnons à partir d un problème simple et bien connu, un exemple de ces trois étapes. Problème: caractériser l ensemble E k des points M du plan affine euclidien P dont le rapport des distances à deux points distincts A et B est constant et vaut k > 0. (1) On désigne par z, a et b les affixes respectifs des points M, A et B. Ici la traduction sous forme complexe du problème est immédiate : les affixes des points de E k constituent z a la partie C k = {z C = k} de C. z b () On a : z C k z a = k z b z a = k z b (z a)(z a) = k (z b)(z b) z + a az az = k ( z + b bz bz) (1 k ) z + a az az k ( b bz bz) = 0 (1) (3) L interprétation géométrique de l équation (1) n est pas évidente. Si l on pose z = x + iy, l équation (1) sera équivalente à un système du type f(x, y) = 0 et g(x, y) = 0 mais maintenant le problème est devenu un problème de géométrie analytique où les nombres complexes sont absents. La suite du document va permettre d interpréter (1) en utilisant uniquement les nombres complexes Traduction complexe des propriétés d une configuration géométrique. Il est d abord nécessaire de savoir exprimer à l aide des nombres complexes les notions géométriques élémentaires comme la colinéarité, l orthogonalité, la distance de deux points, la mesure d un angle,... Il faut aussi connaitre la forme complexe des transformations géométriques classiques: translations, homothéties, rotations, symétries,... Ce dernier point fera l objet d un autre document. On a déjá vu la traduction de la distance de deux points à l aide du module de la différence de leurs affixes. Pour la traduction de la colinéarité et de l orthogonalité de deux vecteurs, considérons V 1 = θ(z 1 ), V = θ(z ), avec z k = a k + ib k. On a : z 1 z = a 1 a + b 1 b + i(a b 1 a 1 b ) = V 1. V + i det( V, V 1 ). On a obtenu la traduction complexe de la colinéarité et de l orthogonalité de deux vecteurs : V 1 et V colinéaires z 1 z R z 1 z = z 1 z V 1 et V orthogonaux z 1 z imaginaire pur z 1 z = z 1 z Remarquons aussi que V 1 et V sont orthogonaux si et seulement si < z 1 z >= 0. Cela est aussi une conséquence du fait que θ est une isométrie et que toute isométrie conserve l orthogonalité. La colinéarité de V 1 et V est aussi équivalente á l existence de λ R tel que z = λz 1. Si les vecteurs sont sous la forme AB et CD on obtient, en utilisant les relations précédentes, un caractérisation de leur orthogonalité ou de leur colinéarité en fonction des affixes a, b, c et d des points A, B, C, D.

10 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES On sait déjá traduire la mesure de l angle formé par le premier vecteur de base et un vecteur. Si A, B, C et D sont des points distincts d affixes respectifs a, b, c et d alors : ( AB, CD) = ( AB, u) + ( u, CD) = ( u, CD) ( u, AB) d où mes( AB, CD) = mes( u, CD) mes( u, d c AB) = arg(d c) arg(b a) = arg b a. Nous avons prouvé : mes( AB, CD) = arg d c b a 3.. Equations complexes des droites et des cercles. Soit f une application de C dans C. On dit que f(z) = 0 est l équation de la partie de C égale à {z C f(z) = 0}. Plus généralement, si Γ est une courbe du plan P alors on dit que f(z) = 0 est l équation complexe de Γ si M Γ équivaut à l affixe z de M vérifie f(z) = 0. Pour pouvoir interpréter géométriquement les résultats obtenus dans la deuxiéme étape de la résolution d un problème par l utilisation des nombres complexes, il est particulièrement important de connaitre les équations complexes des doites et des cercles Remarque. Il ne faut pas confondre équation complexe et équation cartésienne d une courbe. Par exemple, x + y 1 = 0 est l équation cartésienne du cercle trigonométrique de P et son équation complexe est zz 1 = Equation complexe d une droite. Soit D la droite de P pasant par le point M 0, d affixe z 0, et orthogonale au vecteur V d affixe a. On a : M D M 0 M. V = 0 (z z 0 )a + (z z 0 )a = 0 za + za (z 0 a + z 0 a) = 0 Donc l équation complexe de D est : za + za (z 0 a + z 0 a) = 0. On remarque que dans l équation précédente z 0 a + z 0 a R. Réciproquement, considérons donc la fonction f de C dans C définie par f(z) = za + za λ avec λ R et a C. Cherchons s il existe une solution de f(z) = 0 de la forme µa avec µ R (cette idée provient de l étude précédente: la droite D et la droite (O, V ) ont un point commun dont l affixe est de la forme µa, µ R. Ce point est la projection orthogonale de O sur D ). On doit résoudre: µaa+µaa λ = 0 d où une unique solution µ = λ a et un unique point M 0 d affixe z 0 = λa a. On a : f(z) = f(z) f(z 0 ) = za + za λ z 0 a z 0 a + λ = (z z 0 )a + (z z 0 )a et l équation f(z) = 0 équivaut á M 0 M. V = 0 si M et M 0 sont les points d affixes z et z 0 et V l image de a. L ensemble des points M P dont les affixes z verifient f(z) = 0 est donc une droite orthogonale au vecteur V, image de a. Cette doite passe par le point M 0 d affixe z 0 = λa. Finalement, une forme générale de l équation complexe d une droite D est : a za + za λ = 0, λ R ( D orthogonale á l image de a C )

11 3. UTILISATIONS DES NOMBRES COMPLEXES EN GÉOMÉTRIE 11 Il existe d autres formes pour l équation d une droite. Par exemple, en multipliant par i les deux membres de l équation précédente, on obtient une équation du type zb zb µ = 0 avec µ imaginaire pur. Remarque. Dans C, les droites passant par l origine sont les hyperplans du plan vectoriel euclidien C. Ce sont donc les noyaux des formes linéaires non nulles. Autrement dit, pour toute droite D passant par O il existe a C tel que z D 0 =< z a >= 1 (za + za) 0 = za + za Pour une droite quelconque, il existe b R tel que z za + za = b On a retrouvé, de façon moins élémentaire, les résultats précédents. On peut aussi trouver l équation complexe d une droite en remplaçant dans son équation cartésienne ux + vy + w = 0 la variable x par z + z et y par z z. i 3... Equation complexe d un cercle. Soit C le cercle de P de centre Ω, d affixe a, et de rayon R. Un point M de P appartient à C si et seulement son affixe z vérifie z a = R ce qui équivaut à zz az az + a R = 0 qui est donc l équation de ce cercle. On remarque que a R R. Réciproquement, soit f l application de C dans C définie par f(z) = zz az az + k avec a C et k R. On a f(z) = (z a)(z a) a + k = z a a + k. L équation f(z) = 0 est donc équivalente à z a = a k d où les deux possibilités : a k < 0 : aucun z ne vérifie f(z) = 0, {z f(z) = 0} =. a k 0 : l ensemble des points M dont les affixes z vérifient f(z) = 0 est le cercle dont le centre est l image de a et le rayon est a k. Finalement une forme générale de l équation complexe d un cercle est zz az az + k = 0, a k 0 (centre : image de a, rayon : a k) Exemple. Revenons au problème initial : trouver l ensemble E k des points M du plan affine euclidien P dont le rapport des distances à deux points distincts A et B est constant et vaut k > 0. On a vu que M E k si et seulement si son affixe z vérifie (1 k ) z + a az az k ( b bz bz) = 0 (1) Distinguons deux cas : k = 1. L équation devient ce qui s écrit : a az az ( b bz bz) = 0 (a b)z + (a b)z a + b = 0 () On reconnait l équation d une droite orthogonale à l image BA de (a b). Le milieu de [AB] appartient à cette droite car son affixe a + b verifie (). Ainsi, E 1 est la droite

12 1 10. INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES orthogonale à AB et passant par le milieu de [AB]. C est (comme prévu!) la médiatrice de ce segment. k 1. On peut écrire l équation (1): (1 k ) z (a k b)z (a k b)z + a k b = 0 On reconnait l équation d un cercle ou de l ensemble vide. C est un cercle si et seulement si A = a k b (1 k ) a k b 1 k 0. a k b (1 k ) a k b 1 k 0. a k b ( a k b )(1 k ) 0 a + k 4 b k ab k ab a + k a + k b k 4 b 0 a + b ab ab 0 a b 0. La dernière affirmation étant toujours vraie, il en est de même pour la premiére et (1) est donc l équation d un cercle. Le rayon de ce cercle est A et sont centre Ω a pour affixe γ = a k b 1 k. On a : (1 k ) OΩ = OA k OB ce qui montre que Ω est le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, k ). En particulier Ω appartient á la droite AB. La droite AB rencontre le cercle E k en deux points C et D diamétralement opposés et l on a CA CB = DA = k et, comme C D, on a DB par exemple CA CB = DA = k ce qui équivaut á CA k CB = 0 et DA+kDB = 0. Les DB points C et D sont donc les barycentres de ((A, 1), (B, k)) et ((A, 1)(B, k)). Notons que C et D sont les points de la droite AB qui partagent le segment [AB] dans le rapport k. En résumé : L ensemble des points d un plan affine euclidien dont le rapport des distances à deux points A et B est constant et vaut k 1 est un cercle centré sur la droite AB. Ce cercle a pour diamètre [CD] où C et D sont donc les barycentres de ((A, 1), (B, k)) et ((A, 1)(B, k)). 4. Ensemble des points M tels que ( MA, M B) soit constant. Soit A et B deux points d un plan affine euclidien orienté P. On veut étudier les lignes de niveau de l application M P \ {A, B} ( MA, MB). Soit (O, u, v ) un repère orthonormé direct de P tel que O soit le milieu de [A, B] avec OA et u colinéaires et de même sens. On désigne par a > 0 l affixe de A (l affixe de B est donc a) et par z l affixe d un point M de P distinct de A et B. Démontrons d abord un lemme.

13 4. ENSEMBLE DES POINTS M TELS QUE ( MA, MB) SOIT CONSTANT. 13 Lemme Pour tout nombre complexe Z R, arg Z = θ + πz équivaut à Z = Ze iθ avec sin θ et I(Z) de même signe. Preuve. Si arg Z = θ + πz alors Z = Z e iθ d où Z = ZZe iθ et Z = Ze iθ. Il est clair que sin θ et I(Z) = Z sin θ ont le même signe. Réciproquement, supposons Z = Ze iθ avec sin θ et I(Z) de même signe. Posons Z = Z e iϕ. On a Z = Z e iϕ e iθ = Z e θ ϕ d où θ ϕ = ϕ+kπ et θ = ϕ+kπ. Comme I(Z) = Z sin ϕ, sin θ et sin ϕ doivent être de même signe. L entier k est donc pair d où θ+πz = ϕ+πz = arg Z. Le point M appartient à la ligne de niveau définie par la mesure θ + πz, θ πz, si et seulement si arg z + a = θ + πz et le lemme entraine que cette condition équivaut à z a z + a z a = z + a z a eiθ (1) avec le même signe pour sin θ et I( z + a ). La relation (1) équivaut à z a zz(1 e iθ ) az(1 + e iθ ) + az(1 + e iθ ) a (1 e iθ ) = 0 () Comme θ πz, () équivaut encore à ce qui peut encore s écrire zz az 1 + eiθ 1 + eiθ + az 1 eiθ 1 e iθ a = 0 zz iaz cot θ + iaz cot θ a = 0 (3) L équation (3) est celle du cercle de centre z 0 = ia cot θ et de rayon R = a + a cot θ = a sin θ. On a I( z + a z a ) = 1 i (z + a z a z + a z a ) = 1 az az. Le signe de cette expression est donc i z + a celui de I(az) qui est encore celui de I(z). Finalement I(z) doit être du signe de sin θ. L ensemble des points M du plan P tels que mes( MA, MB)) = θ + πz, θ πz, est donc l arc ouvert, d extrémités A et B, contenu dans le demi-plan des points ayant une ordonnée du signe de sin θ, du cercle d équation complexe donnée par (3). Remarques. 1) L ensemble des points M tels que mes( MA, MB)) = 0 est la droite AB privée du segment [AB]. L ensemble des points M tels que mes( MA, MB)) = πz est l intérieur du segment [AB]. ) On a sin(θ + π) = sin θ et cot(θ + π) = cot θ. L ensemble des points M du plan P tels que mes( MA, MB)) = θ + π + πz, θ πz, est donc l arc ouvert, d extrémités A et B, contenu dans le demi-plan des points ayant une ordonnée du signe de sin θ, du cercle d équation complexe donnée par (3). Il en résulte que l ensemble des points M tels que mes( MA, MB) = θ + πz (angle orienté de droites), θ πz, est le cercle d équation complexe donnée par (3), privé des points A et B.

14 INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE DES NOMBRES COMPLEXES 3) Soit A, B, C, D quatre points distincts de P d affixes a, b, c, d. Ces points sont cocycliques ou alignés si et seulement si ( CA, CB) = ( DA, DB) ou ( CA, CB) = ( DA, DB)+ angle plat ce qui se traduit par : arg b c a c = arg b d b c ou arg a d a c = arg b d a d + πz. Cela équivaut à : Le rapport b c a c / b d a d b c a c / b d a d R. est appelé le bi-rapport de (a, b, c, d).