Données, Statistiques et traitement des données. Dans les chapitres précédents on est parti d une hypothèse «pessimiste» selon la

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1 Donnés, Statistiqus t traitmnt ds donnés Chapitr 4 M-S (MU-5) Dans ls chapitrs précédnts on st parti d un hypothès «pssimist» slon la qull ls obsrvations étaint a priori considérés comm ds réalisations d un ou d variabls aléatoirs, pour découvrir, au trm du procssus d analys qu lls n étaint pas si aléatoirs qu cla t qu lls contnaint n fait ds informations. Dans l présnt chapitr, on abandonn ctt hypothès pour considérr qu ls donnés, n pratiqu ds msurs, sont ds valurs échantillonnés d un fonction raisonnabl, par xmpl, continu t dérivabl ou avc un nombr fini d discontinuités limités. Cs msurs continnnt évidmmnt ds rrurs mais avc un rapport signal/bruit qui rst aussi dans ds limits raisonnabls. Ctt nouvll hypothès va nous donnr accès à un nsmbl d nouvaux outils mathématiqus, qu l on utilisra pour voir commnt on put modifir ls donnés pour n xtrair ls informations qui nous intérssnt t commnt gérr ls conséquncs du fait qu ls donnés sont nécssairmnt n nombr discrt t limité.. Passag au domain spctral, transformé d Fourir On a obsrvé qu un phénomèn régulir t périodiqu corrspondant à un variation sinusoïdal pouvait êtr décrit à partir d dux informations sa fréqunc t son calag n phas, c qui était plus simpl qu d donnr tout la suit ds valurs qu prnait c phénomèn dans l tmps ou dans l spac. On n a tiré l idé qu l on pouvait chrchr à décomposr un variation n un somm d variations qui s xprim par ds fonctions simpls. Ls fonctions sinus t cosinus (ou l xponntill corrspondant) s sont imposés comm ls plus simpls t on a montré qu un fonction périodiqu put êtr décomposé n séri (d Fourir). En généralisant on a défini la transformé d Fourir.

2 On considèr donc l spac à dimnsions (x,y) auqul corrspond un spac spctral (u,v) (pour plus d généralité on utilis ds notations à dimnsions quand ls xprssions n résultant n sont pas trop lourds). La transformé dirct F( u, v) f ( x, y) i ( uxvy) La transformé invrs s écrit : f ( x, y) F( u, v) i ( uxvy) dxdy dudv (nous nous référrons à ctt notation n distanc t fréquncs spatials car ll évit ls problèms d normalisation). Rappls complémntairs : Pour un fonction périodiqu g(t) d périod, la séri d Fourir corrspondant s écrit : int g( t) c n, avc cn g( t) int nt nt g( t) c ( an cos bn sin ), avc dt. Son écritur n cosinus t sinus étant : a n nt g t dt ( )cos nt, bn g t dt ( )sin t c ( a ib ) n n n Pour ls fonctions pairs on put aussi définir un transformé n cosinus t pour ls fonctions impairs un transformé n sinus. G( ) g( t)cos(t) dt, dont l invrs st g ( t) G()cos(t) d(), dont l invrs st ( t) G(t)sin(t) d() ou, G( ) g( t)sin(t) dt g.

3 - Conditions d xistnc d la transformé d Fourir (F) Pour qu la transformé d Fourir d un fonction xist, il faut t il suffit qu cll-ci soit borné, qu son intégral ait un valur fini ntr t, t qu ss discontinuités t ss xtrma soint n nombr fini. Ls phénomèns qu nous avons à décrir vérifint n général cs conditions. -3 Principals Propriétés -3- Dérivation En dérivant n x l mmbr d droit t l mmbr d gauch d la transformé invrs, on obtint : f ( x, y) F iuf( u, v), x Ctt propriété st l principal intérêt d la F. Ell prmt d rmplacr ds opérations compliqués d intégration ou d dérivation par ds divisions ou ds multiplications dans l domain spctral. Ell prmt aussi d étndr la notion d dérivation à ds ordrs non ntirs : par xmpl n multipliant F(u,v) par iu t n appliquant l F invrs on obtindra la dérivé d ordr ½ n x. Pour ds fonctions harmoniqus (qui vérifint l équation d Laplac), ll prmt d calculr ls dérivés dans un dimnsion à partir ds dérivés dans ls autrs dimnsions. f f f Ainsi si f, on aura automatiqumnt : x y z f z F 4 ( u v ) F( u, v). -3- ranslation 3

4 Lorsqu on rmplac dans l xprssion d la transformé invrs x par (x-a), on obsrv qu cla rvint à multiplir sous l intégral par un xponntill. On a F f ( x a) ia F( u, v) -3-3 Similitud En calculant dirctmnt la transformé on obtint qu : F u f ( ax, y) F(, v) a a -3-4 Rôl d la distribution d Dirac suivants : Appliqué la transformé d Fourir à un distribution d Dirac conduit aux résultats F( u, v) F( u, v) ( x, y) i ( uxvy) ( x a, y b) dxdy i ( uxvy) dxdy i ( uavb) -3-5 Exrcics à fair n D ) étant donné qu la transformé d Fourir st a priori un fonction complx, qulls doivnt êtr ss caractéristiqus pour qu son original soit rél. Vérifir qu la règl st rspcté par la dérivation. ) Calculr ls F d g( t) acos(t), puis d h( t) bsin(t) -4 ransformés d fonctions utils -4- fonction port Si l on considèr dans l domain fréquntil la fonction port G(ν)= (ν) tll qu G(ν)= si µ µ t G(ν)= aillurs, son original a pour xprssion l sinus cardinal : 4

5 sin t g( t) µ t -4- fonction pign, Pgn(x) Si l on considèr la fonction k g( t) ( t ) où k st un ntir, ll admt pour spctr ( ) ( n G ) où n st ntir. Ctt fonction jou un rôl incontournabl puisqu tout numérisation équivaut à un produit par un fonction pign fonction gaussinn g( t) t F G( ) -4-4 ransformé d un droit dans l plan Si l on considèr un droit passant par l origin (pour simplifir) son xprssion sra y=ax, la fonction f(x,y) qui lui corrspondra sra δ(y-ax) car la valur d f(x,y) st null u partout sauf là où y=ax. L application d la transformé d Fourir aboutit à ( v ) qui a corrspond dans l plan spctral à un droit «prpndiculair» puisqu d pnt ( ). a -4-5 Exrcics à fair ) calculr la transformé d Fourir d un point du plan x=a, y=b ) calculr la transformé d Fourir d la droit y=ax+b Filtrag linéair, Convolution 5

6 L mot filtrag rcouvr touts ls forms d transformation ds donnés, on parl d filtrag linéair si la rlation d linéarité st vérifié : filtrag (λa+µb)= λfiltrag d A+µ filtrag d B L opération mathématiqu par laqull on réalis ctt opération s appll l produit d convolution, ll fait intrvnir dux fonctions, la fonction à filtrr t la fonction filtr. On put l introduir d la façon suivant. Supposons qu nous voulions réalisr un moynn glissant sur 5 points pour lissr un séri d donnés bruités. On part donc pour la fonction à filtrr f(t) d un séri d N valurs d f à f N. La fonction filtré g(t) va êtr calculé au point i n rmplaçant la valur courant f i par : g i =(f i- +f i- +f i +f i+ +f i+ )/5 c qui put s écrir : g h i j i j f i, avc h i j qulqu soit j. 5 Cci put êtr généralisé d un part n considérant qu la valur d la fonction h put varir avc i-j, d autr part n rmplaçant i-j par x t la somm par un intégral. On a donc comm définition général du produit d convolution : g ( x) f ( ) h( x ) d, qu l on not g=f*h C produit d convolution st commutatif (on put invrsr ls rôls d f t h). Quand on appliqu la transformé d Fourir à un produit d convolution on obtint dans l spac spctral l produit simpl ds transformés, c st l théorèm d Planchrl. F f ( x) * h( x) F( u) H ( u) héorèm très util car il st baucoup plus simpl d réalisr un produit simpl qu un produit d convolution. On appll la fonction H(u) : «caractéristiqu du filtr», «répons fréquntill» t (par abus) «fonction d transfrt». On appll h(x) la «répons impulsionnll», n fft : 6

7 h ( x) ( ) h( x ) d - caractéristiqus d filtrs On appll «pass-bas» un filtr où H(u) st null pour u u, c qui corrspond par xmpl par à la fonction port d largur u. On appll «pass-band» un filtr où H(u) st non null pour u u u On appll «pass-haut» un filtr où H(u) st null pour u u Rmarqu : Dans l domain spctral, on considèr ds fréquncs négativs, il n st pas très facil d imaginr à quoi d tlls fréquncs puvnt physiqumnt corrspondr, n fait cla résult du choix d utilisr ls xponntills complxs plutôt qu ds sinus ou cosinus comm fonctions d bas t cla prmt d tnir compt d un façon simpl t élégant ds déphasags. Dans la pratiqu ls spctrs qu l on considèr, étant ds spctrs d fonctions rélls, ont un parti réll pair t un parti imaginair impair. La connaissanc du spctr pour ls fréquncs positivs fix automatiqumnt ss valurs pour ls fréquncs négativs. 3 raitmnt d donnés numériqus Dans la pratiqu, ls donnés qu l on manipul sont ds valurs discrèts n nombr fini. On n a jamais accès à f(x) on n connaît qu l produit : f(x).pgn(x).π(x) Dans l domain spctral, c st la mêm chos, ls valurs sont discrèts t n nombr limité mais n général on part d donnés dans l spac t/ou l tmps. Ctt limitation a baucoup d conséquncs qu l on abord dans ls paragraphs suivants. 3- «Périodisation» F * (u) n étant plus un fonction continu mais un suit d valurs discrèts, on doit la considérr comm la suit ds cofficints d un séri d Fourrir dont l original st alors un 7

8 fonction périodiqu. Si f(x) st connu ntr L / t L/ t qu ls cofficints sont calculés à partir ds valurs sur ct intrvall, on aurait n l absnc d limitation par la fonction port, un répétition ds valurs vrs clls ntr L/ t L/ t ainsi d suit. comm vrs : ls valurs ntr L/ t 3L/ répétraint On a d la mêm façon un «périodisation» du spctr. En rprnant plus formllmnt l problèm d la périodisation, on écrit : soit un fonction pign d fréqunc d échantillonnag u : ( ) k Pgnu x ( x ), u k u la multiplication par c pign d f(x) aboutit à, f * ( x) f ( x) u k k k k ( x ) f ( ) ( x ). u u u u k La transformé d Fourir d ctt fonction va êtr l produit d convolution d la transformé d f par la transformé du pign : F( u) * ( u nu) F( u nu) n n On rtrouv bin la périodisation, l spctr F(u) st répété d périodisation du spctr st la conséqunc d l échantillonnag. à avc un pas d u. La Cs périodisations n corrspondnt dirctmnt à aucun prt d informations mais lls puvnt induir ds difficultés. 3- Phénomèn d Gibbs, «ovrshooting» Si (par malhur) f(-l/) diffèr d f(l/) il xist dans la fonction périodisé un discontinuité. Rndr compt corrctmnt d ctt discontinuité nécssitrait qu l spctr puiss êtr défini pour u, c qui n st pas possibl puisqu l nombr d valurs du spctr st limité. La discontinuité n put donc êtr corrctmnt décrit t l spctr calculé 8

9 brutalmnt corrspond à ds sur-oscillations au voisinag d + t L/, c st l phénomèn d Gibbs. Pour évitr ctt difficulté il faut fair n sort qu f(-l/)=f(l/). Dux solutions sont classiqumnt adoptés ) multiplir la fonction f(x) par un «fnêtr» qui ramèn cs dux valurs à zéro. x On put par xmpl utilisr la fonction p( x) ( cos( )) dit d Hanning. L La variation bass fréqunc d la fonction st alors légèrmnt modifié. ) Complétr la fonction connu par qulqus points qui ramènnt progrssivmnt ls valurs à la moynn (f(-l/)+f(l/))/. C faisant on «rallong» l intrvall ou f st connu t on modifi (légèrmnt) son spctr. Ds fonctions du typ gaussinns (dont on prnd ls partis positivs rspctivmnt négativs slon l xtrémité qu l on trait) sont d bonns candidats pour c fair. 3-3 Choix du pas d échantillonnag, théorèm d Shannon L spctr d F(u) st répété d à avc un pas d u,. Si c spctr st non nul jusqu à un valur u M, sa «largur» compt tnu ds valurs négativs sra d u M.. Pour qu la répétition n modifi pas l allur du spctr il faut qu : u u M C st l critèr d Nyquist qui résult du théorèm d Shannon. L rspct d c critèr st xtrêmmnt important, s il n st pas vérifié la valur du spctr pour ls fréquncs supériurs à u s trouv modifié, on a un «rplimnt d spctr», n anglais «aliasing». Rmarqu : Si l critèr d Niquist n st pas rspcté, la fonction échantillonné montr un fft d pépit dans son variogramm ; réciproqumnt, l calcul du variogramm ou du spctrogramm (cf infra) prmt d vérifir qu l échantillonnag st corrct. 9

10 3-4 Intrpolation On put souhaitr connaîtr la valur d la fonction considéré n un point différnt d cux qui corrspondnt à l échantillonnag. Il xist baucoup d méthods prmttant d intrpolr à partir ds valurs voisins (linéair n prnant ls dux plus prochs, paraboliqu, ) mais la pris n considération du spctr prmt d définir un façon rigourus d intrpolr. En fft pour rpassr d un fonction discrèt n x à un fonction continu, il faut t il suffit, puisqu la transformé d Fourir d un fonction st uniqu, d rtrouvr l spctr initial F(u) n supprimant la répétition c qui s fait aisémnt n multipliant par un port d largur total u. ( ) ( ) u u F( u F u nu n A c produit corrspond n x l produit d convolution : ) sin( ux) u * u x u k f ( k u ) ( x k u ) f ( x) C résultat (intllctullmnt très satisfaisant) n st pas très pratiqu à mttr n œuvr car la fonction sinus cardinal décroît trop lntmnt. En pratiqu on utilis la fonction cubiqu r(x) qui coll aux trois archs cntrals du sinus cardinal : si x, r ( x),5 x,5 x, 3 si x r ( x),5 x,5 x 4 x, aillurs r ( x) Exrcics à fair ) A partir d valurs n 4 points régulièrmnt spacés, intrpolr un valur d l intrvall cntral avc la cubiqu.

11 4 Spctr d énrgi t corrélation Si l on s intérss au carré d la fonction f qui rprésnt l «énrgi» contnu dans la msur, l princip d consrvation d l énrgi impos qu f ( x) dx F( u) du, formul d Parsval. Si l on considèr la fonction d autocorrélation d f(x) (autocovarianc normalisé) on écrit : c ( h) f ( x) f ( x h) dx, Il suffit d changr h n h pour rconnaîtr un produit d convolution. On voit alors qu la transformé d Fourir d la fonction d autocorrélation sra l carré d la transformé d Fourrir d f(x), applé dnsité spctral: C( u) F( u), t on a i uh c( h) F( u) du. Cs approchs sont parallèls à clls utilisés pour la covarianc t l variogramm, lls prmttnt d raisonnr n fréqunc plutôt qu n distanc. Dans l spctrogramm, l comportmnt au voisinag d u =u / corrspond au comportmnt à l origin du variogramm t réciproqumnt l comportmnt n u= donn l comportmnt à grand distanc du variogramm. On aura donc n u= la valur d la varianc a priori t n cas d rplimnt d spctr la valur n u / sra l doubl d l fft d pépit (l rplimnt multipliant par la valur d F(u /) original. 5 Ls autrs transformés S il a l mérit d la simplicité t du fait qu il st aisé d définir la transformé invrs, l usag ds fonctions sinusoïdals comm fonctions d bas n st pas optimum dans

12 tout ls cas. Il n st pas toujours facil non plus d ffctur ds traitmnts sur ds spctrs ayant un parti imaginair. Bin ds phénomèns physiqus n ont aussi aucun raison d êtr considérés sur l intrvall [-, + ]. D autrs transformés ont donc été proposés qui répondnt miux à ds applications particulièrs. 5- ransformé d Laplac t transformé n Z G pt ( p) g( t) dt Ctt transformé, qui utilis comm fonction d bas l xponntill réll décroissant, st plus prtinnt qu la transformé d Fourrir pour décrir ls phénomèns qui s déploint dans l tmps, qui ont un début (il st toujours délicat d prétndr rmontr jusqu à t ). L calcul ds transformés invrss par contr nécssit l usag d tabls (ou un passag par la transformé d Fourir n cosinus). Ell a pratiqumnt ls mêms propriétés qu la transformé d Fourir. La transformé n Z st l adaptation aux fonctions à tmps discrt (qui ont été multipliés par un pign) d la transformé d Laplac En rprnant ls mêms xprssions qu précédmmnt on écrit (p étant la fréqunc d échantillonnag): k k G( p) ( t ) f ( ) p p p k pt dt, n échangant la sommation t l intégration t n posant z p p, on obtint k G( z) f ( ) z p p k k 5- ransformé d Hankl A dimnsions quand un symétri d révolution st rspcté, f(x,y)=f(r) avc r x y, on a intérêt à utilisr la transformé d Hankl

13 F( ) f ( r) J ( r rdr, où ) u v t où J st la fonction d Bssl d prmièr spèc t d ordr. La transformé invrs a xactmnt la mêm xprssion qu la transformé dirct (on pass d Fourir à Hankl n appliquant la rlation J ir cos( ) ( r) d ). 5-3 ransformés n ondltts Cs transformés sont adaptés au cas où l phénomèn étudié n xist qu dans un fnêtr d tmps (ou d spac) défini n dhors d laqull il st nul. Ells ont historiqumnt été introduits pour traitr ds signaux n prospction sismiqu, signaux transitoirs qui sont d courts impulsions. L ondltt d Morlt corrspond, par xmpl, à la multiplication d un sinusoïd par un gaussinn. On a bin un nsmbl d fonctions d bass orthogonals (ls sinusoïds) t la fnêtr où on ls considèr st défini par la gaussinn. On appll ctt ondltt un ondltt mèr, on l écrira : t t t ( ) s ( ) cos( ) s s, n faisant intrvnir un paramètr d dilatation (ou d comprssion, ou d échll), s (s>), invrs d la fréqunc t un paramètr d translation qui définit l cntr d la fnêtr, τ. Un autr xmpl d ondltt mèr st l ondltt d Haar où ψ vaut ntr - t, ntr t,5, - ntr,5 t t ntr t. Un ondltt mèr doit êtr d moynn null, cntré au voisinag d t d énrgi fini. L xprssion général d la transformé n ondltts d un fonction g(t) st défini par: t G (, s) g( t) ( ) dt s s 3

14 On put avc un ondltt choisir l intrvall d tmps (ou d spac) analysé, c qui prmt d suivr l évolution du contnu spctral du signal au cours du tmps (analys tmpsfréqunc). 5-4 ransformé d Hilbrt Dans ls calculs précédnts avc la transformé d Fourir on a utilisé ds xponntills complxs pour simplifir (ou facilitr) ls calculs : à un signal physiqu, f(t), un cosinus, on a fait corrspondr un signal analytiqu, a f (t), un xponntill complx, dont l signal physiqu st la parti réll. Mais ls spctrs d cs dux fonctions sont différnts t l spctr du signal analytiqu st nul pour ls fréquncs négativs : l spctr d un cosinus st constitué d dux pics symétriqus par rapport à d amplituds ½ alors l spctr d l xponntill complx st constitué d un pic d amplitud dans ls fréquncs positivs. En généralisant ctt démarch, il put êtr pratiqu (c st notammnt l cas dans ls problèms d modulation /démodulation n radio) d fair corrspondr à un fonction réll qulconqu, f(t), un signal analytiqu a f (t) dont l spctr n xist qu pour ls fréquncs positivs. La transformé d Hilbrt (qui s limit au domain tmps t pour laqull on n considèr pas d transformé invrs) prmt d réalisr ctt opération. En définissant la transformé d Hilbrt d un fonction f(t) par : H ( f ( t)) f ( ) d, on réalis l produit d convolution f(t) par t, t n définissant t l signal analytiqu par : a f (t)=f(t)+ih(f(t)) on construit un fonction dont l spctr vaut : A(ν)= si ν<, A()=F() t A(ν)=F(v) si ν>, F(ν) étant l spctr d f(t). La transformé d Hilbrt d sinus st cosinus t la transformé d Hilbrt du cosinus st sinus. La transformé d Hilbrt d t st t t c qui a un application 4

15 intérssant n géophysiqu dans l calcul ds anomalis magnétiqus ds structurs cylindriqus. Exrcic : Vérifir qu la transformé.d Fourir d t vaut i si ν> t i si ν< (on appliqura l fait qu sin t dt si ν st positif t π si ν st négatif) t 5