1 Schéma R-K d ordre 3

Transcription

1 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Partiel 9 mars 006 Les appareils électroniques et les documents sont interdits. Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. 1 Schéma R-K d ordre 3 On considère le schéma : ( K1 u n+1 = u n + h 6 + K 3 + K ) 3 6 où K 1 = f(t n, u n ), K = f(t n + h, u n + h K 1 ), K 3 = f(t n + h, u n hk 1 + hk ). 1. Écrire le tableau de Butcher du schéma. Réponse : / 1/ /6 /3 1/6. Rappeler pourquoi ce schéma est consistent. Réponse : Car il satisfait la condition i b i = Pour la fonction f(t, y) = λy calculer K 1, K et K 3 en fonction de t n, u n et h. ( ) Réponse : K 1 = λu n, K = λu n 1 + hλ, K3 = λ ( 1 + hλ + (hλ) ) u n. 4. Trouver une condition sur z = hλ pour décrire l ensemble des z où ce schéma est stable. Montrer que cet ensemble est borné. { ( )} Réponse : u n+1 = 1 + z z 6 + z + 1 u n. La condition pour avoir la stabilité ( ) sera donc 1 + z z 6 + z + 1 < 1. En particulier cet ensemble est borné car ( ) 1 + z z 6 + z + 1 pour z donc en dehors d un certain voisinage de l ori- ( ) gine 1 + z z 6 + z + 1 est plus grand que 1. L ensemble de stabilité sera contenu donc dans un voisinage de l origine, donc sera borné. 5. Décider si l ensemble précédent contient un point z avec Re(z) < 0. ( ) Réponse : oui par exemple z = 1, car dans ce cas < 1 1

2 Décider si l ensemble précédent contient tous les points z avec Re(z) < 0. Réponse : non par exemple il ne contient pas z = Démontrer que ce schéma est au moins d ordre en calculant l erreur de troncature et un développement à l ordre 1 en h pour K 1, K et K 3. Indication : il faudra utiliser les formules des dérivées temporelles d ordre 1 et pour la solution exacte. Réponse : Soit y(t) la solution exacte. Alors en tout point t : y (t) = f(t, y), y (t) = f t (t, y) + f y (t, y) f(t, y) (1) Pour simplicité on note y n = y(t n ), y n+1 = y(t n + h), f n = f(t n, y n ), f tn = f t t=t n (t n, y n ), f yn = f y y=y n (t n, y n ). En utilisant la formule de Taylor à l ordre nous obtenons y n+1 = y n + hf n + h [f t n + f yn f n ] + O(h 3 ) () ou encore y n+1 y n = f n + h h [f t n + f yn f n ] + O(h ) (3) L erreur de troncature locale est par définition ( y n+1 y n K1 h 6 + K 3 + K ) 3 (4) 6 ou K 1, K et K 3 sont à calculer avec u n = y n : K 1 = f n, K = f(t n + h, y n + h K 1 ), K 3 = f(t n + h, y n hk 1 + hk ). Il ne reste plus qu à écrire les développements K = f n + h f t n + h K 1 f y n + O(h ) = f n + h f t n + h f n f y n + O(h ), K 3 = f n + hf tn + ( hk 1 + hk )f yn + O(h ) = f n + hf tn + ( hf n + hf n )f yn + O(h ) et rentrer dans Eq.(4) pour obtenir que l erreur de troncature est O(h ) (tous les termes d ordre inférieur se simplifient) Le schéma est donc d ordre au moins. Estimation d erreur sur une EDP Soit V un espace de Hilbert a(, ) : V V R une forme bi-linéaire, continue et elliptique (i.e., définie positive) sur V V et l V (V est le dual de V, c est à dire l ensemble des fonctionnelles linéaires de V aux valeurs réelles). A noter que la forme a n est pas forcement symétrique. On considère un problème écrit en formulation variationnelle : Trouver u V tel que a(u, v) = l(v), v V (5)

3 Soit V h V un sous espace vectoriel de V et le problème discrétisé : Trouver u h V h tel que a(u h, v h ) = l(v h ), v h V h (6) 1. Démontrer qu il existe une constante C, à préciser en fonction de la forme a, telle que u vérifie : u V C l V. (7) Réponse Rappel : la norme de l V de l est le plus petit nombre réel tel que l(v) l V v V pour tout v V. Soit m la constante de ellipticité de a. Alors pour v = u dans (5) : m u a(u, u) = l(u) l V u V d où la conclusion en simplifiant par u V. C = 1/m.. Soit L V une autre forme linéaire sur V. Justifier pourquoi le problème dual : Trouver z V tel que a(w, z) = L(w), w V (8) admet une unique solution. Réponse : car la forme A(u, v) = a(v, u) est toujours linéaire, positive définie et continue, donc par le lemme de Lax Milgram A(z, v) = L(v), v V admet une solution. Mais ceci est équivalent à A(z, v) = a(v, z) = L(v), v V. 3. Démontrer que si la forme bi-linéaire a est symétrique et L = l alors z = u. Réponse : On obtient : a(u z, u z) = a(u, u z) a(z, u z) = l(u z) a(u z, z) = l(u z) l(u z) = 0 où nous avons utilisé la définition de u, de z et la symétrie de a. Il suffit maintenant de voir que a elliptique implique u = z = Justifier pourquoi le problème dual discrétisé : Trouver z h V h tel que a(w h, z h ) = L(w h ) pour tout w h V h admet une unique solution. Réponse : le même raisonnement que pour le cas continu i.e. vérifier les hypothèses du lemme de Lax-Milgram. 5. Démontrer que L(u u h ) = a(u u h, z z h ). Réponse : L(u u h ) = a(u u h, z) = a(u u h, z z h ) + a(u u h, z h ). Mais la dernière partie a(u u h, z h ) = l(z h ) l(z h ) = 0 par les définitions de u et u h. 6. En déduire, en utilisant si besoin les résultats de cours, qu il existe une constante C dépendant seulement de la forme bi-linéaire a (en fait des constantes de continuité et ellipticité de a) telle que l erreur L(u) L(u h ) sur une fonctionnelle L V admette la majoration : L(u) L(u h ) C min w h V h u w h V min w h V h z w h V Réponse : Soit M la constante de continuité de la forme a. L(u) L(u h ) = a(u u h, z z h ) M u u h V z z h V. On utilise ensuite le lemme de Céa et on obtient C = M 3 /m. 3

4 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen 5 juin 006 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Sauf quand c est explicitement mentionné, les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. 1 Consistance de schéma On considère une EDS dx t = a(t, X t )dt + b(x t )dw t (1) et un schéma numérique (Y n ) n qui propose un approximation Y n de X τn ( τ n = nh, h > 0) : avec W n = W τn+1 W τn n ) Y n+1 = Y n + a(τ n, Y n ) + a(τ n, Y EM et h + b(y n ) W n () Y EM n = Y n + a(τ n, Y n )h + b(y n ) W n (3) On note a n = a(τ n, Y n ), b n = b(y n ) et par A τn la filtration naturelle pour Y n. On considère dorénavant que b est bornée, a(t, X) = X et que Y n sont tous bornés. 1. calculer a(τ n, Yn EM ) a(τ n, Y n ) ; Solution : a(τ n, Yn EM ) a(τ n, Y n ) = Y n (a n h + b n W n ) + (a n h + b n W n ). calculer E ( Yn+1 Y n h Solution : E ( Yn+1 Y n h ) A τn a n ; ) A τn a n = Y n a n h calculer Y n+1 Y n E(Y n+1 Y n A τn ) b(y n ) W n ; ( ) a nh + b nh 1

5 Solution : Y n+1 Y n E(Y n+1 Y n A τn ) b(y n ) W n = hy n b n W n +h a n b n W n + hb n( Wn h). 4. décider si le schéma ()-(3) est fortement consistant. Solution : oui, en utilisant la définition de la consistance forte. Solutions faibles entropiques On considère le problème u(x, t) t + u(1 u) x = 0. (4) Trouver la solution (faible entropique) pour les données initiales : 1. u(x, 0) = u 0 (x) = { 1/3 pour x < 0 /3 pour x > 0 (5). Solution : Soit f(u) = u(1 u). La solution est un choc à vitesse f(1/3) f(/3) 1/3 /3 = 0. Donc u(x, t) = u(x, 0) t. u(x, 0) = u 0 (x) = { /3 pour x < a 1 pour x > a Solution : c est un choc à vitesse f(/3) f(1) =. Donc /3 1 3 { /3 pour x < a t/3 u(x, t) = 1 pour x > a t/3., a > 0 fixé. (6) 3. 1/3 pour x 0 u(x, 0) = u 0 (x) = /3 pour 0 x a 1 pour x a, a > 0 fixé. (7) Solution : il faut combiner les deux solutions précédentes : les chocs se rencontrent au temps T solution de a T/3 = 0 donc T = 3a/. Donc 1/3 pour x 0, t T u(x, t) = /3 pour 0 x a t/3, t T (8) 1 pour x a t/3, t T

6 Ensuite, en T = 3/a on aura u(x, T ) = { 1/3 pour x < 0 1 pour x > 0. Il y a formation de choc de vitesse f(1/3) f(1) 1/3 1 = 1/3, donc la solution sera : u(x, t) = { 1/3 pour x < (t T )/3, t T 1 pour x > (t T )/3, t T. 3 EDP par Euler implicite On considère une équation de la chaleur u(x, t) = u(x, t) + αu(x, t), α R t x (9) u(x, t = 0) = u 0 (x), donnée. (10) 1. Ecrire le schéma d Euler implicite pour cette équation et décider si ce schéma est stable pour α > 0.. Est le schéma stable pour α 0? Note : Les conditions aux limites ne seront pas prises en compte dans la définition du schéma. Le terme αu sera pris implicite aussi. Rappel : si on note par U j i une approximation numérique de u(idx, jdt), i = M,..., M, j = 0, 1,..., N = T/dt nous utilisons pour Euler implicite pour la dérivée spatiale l approximation f (x) f(x+dx)+f(x dx) f(x) alors que pour la dérivée en temps on utilise g (t) g(t+dt) g(t). (dx) dt Par ailleurs les valeurs propres d une matrice A de taille (M + 1) (M + 1) tri-diagonale avec seules entrées non nulles A l,l 1 = a, A l,l = b, A l,l+1 = c sont µ A k = b + ac cos( kπ M+ ). Solution : Soit Uj n une approximation pour u(jdx, ndt). Alors on obtient U n+1 = A 1 U n avec A tridiagonale et a = c = dt, b = 1 + dt αdt. Pour la stabilité dx dx il faut que toutes les valeurs propres de A 1 soit de module < 1 donc toutes les valeurs propres de A soit de module > 1. Les valeurs propres sont 1 + dt αdt + dx dt cos( kπ ). Pour α < 0 le schéma est donc stable mais pas pour α > 0. dx M+ 3

7 Calcul et analyse numérique : évolution Examen M1, ème session, 9/08/006 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. 1 Consistance de schéma implicite On considère une EDS dx t = a(t, X t )dt + b(x t )dw t (1) et un schéma numérique (Y n ) n qui propose un approximation Y n de X τn ( τ n = nh, h > 0) : Y n+1 = Y n + a(τ n+1, Y n+1 )h + b(y n ) W n () On note a n = a(τ n, Y n ), b n = b(y n ) et par A τn la filtration naturelle pour Y n. On considère dorénavant que h < 1, b est bornée, a(t, X) = X et que Y n sont tous bornés. a/ calculer Y n+1 en fonction de b(y n ), W n, h et Y n ; ( ) b/ calculer E Yn+1 Y n h A τn a n ; c/ calculer Y n+1 Y n E(Y n+1 Y n A τn ) b(y n ) W n ; d/ décider si le schéma () est fortement consistant. e/ que pouvez vous dire sur la convergence du schéma? Solutions faibles entropiques On considère le problème u(x, t) t + (u ) x = 0. (3) Trouver la solution (faible entropique) pour les données initiales : 1

8 a/ u(x, 0) = u 0 (x) = { 3/ pour x < 0 1/ pour x > 0 (4) b/ u(x, 0) = u 0 (x) = { 1/ pour x < a 0 pour x > a, a > 0 fixé. (5) c/ 3/ pour x 0 u(x, 0) = u 0 (x) = 1/ pour 0 x a 0 pour x a, a > 0 fixé. (6) 3 EDP par Crank-Nicholson On considère une équation de la chaleur u(x, t) = u(x, t) t x + αu(x, t), α R (7) u(x, t = 0) = u 0 (x), donnée. (8) On note par U j i une approximation numérique de u(idx, jdt), i = M,..., M, j = 0, 1,..., N = T/dt. a/ Montrer que le schéma de Crank-Nicholson pour cette équation se met sous la forme CU j+1 = C U j ou C et C sont des matrices à préciser. Note : Les conditions aux limites ne seront pas prises en compte dans la définition du schéma. Le terme αu sera pris explicite. b/ Trouver des conditions sur h et α > 0 tels que les valeurs propres de la matrice C ci-dessous soient toutes de module > 1 et celles de C de module < 1. c/ En déduire un résultat de stabilité pour le schéma numérique. Rappel : nous utilisons pour les dérivées spatiales l approximation f (x) alors que pour la dérivée en temps on utilise g (t) f(x+dx)+f(x dx) f(x) (dx) g(t+dt) g(t) dt. Par ailleurs les valeurs propres d une matrice A de taille (M +1) (M +1) tri-diagonale avec seules entrées non nulles A l,l 1 = a, A l,l = b, A l,l+1 = c sont µ A k = b + ac cos( kπ M+ ).

9 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Partiel 7 mars 007 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Sauf quand c est explicitement mentionné, les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. 1 R-K Nous considérons l équation x (t) = x(t)t dont nous calculons une solution numérique par la formule suivante : ( U n+1 = U n + h t n + h ) ( U n + ht ) nu n. (1) () 1. Sachant que nous avons utilisé un schéma de Runge-Kutta explicite de tableau de Butcher c 1 a 11 a 1 c a 1 a b 1 b trouver les entrées de ce tableau.. Est le schéma consistent? 3. Caractériser la région de stabilité du schéma. Solutions faibles entropiques On considère le problème u(x, t) t + u( u) x = 0. (3) Trouver la solution (faible entropique) pour les données initiales : 1

10 u(x, 0) = u 0 (x) = u(x, 0) = u 0 (x) = { pour x < 0 1 pour x > 0 { 1 pour x < a 0 pour x > a pour x 0 u(x, 0) = u 0 (x) = 1 pour 0 x a 0 pour x a (4), a > 0 fixé. (5), a > 0 fixé. (6) 3 Schéma R-K implicite d ordre Trouver α R pour que le schéma (implicite) de Runge-Kutta de tableau de Butcher α 0 α /3 1/3 (7) soit d ordre (au moins) pour le choix f(t, x) = x dans l équation x (t) = f(t, x(t)).

11

12

13

14

15 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen 5 juin 007 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. 1 Consistance de schéma Soit α, β deux nombres réels et l EDS : dx t = ((X t ) + αx t ) dt + βx t dw t. Un schéma numérique (Y n ) n propose un approximation Y n de X τn ( τ n = nh, h > 0) : Y n+1 = Y n e α β «h+β W n + Y n h (1) avec W n = W τn+1 W τn ; on note, comme il est usuel, par A τn Y n. On considère dorénavant que les Y n sont tous bornés. la filtration naturelle pour 1. en utilisant si besoin la formule de Taylor e x = 1 + x + x + O(x3 ) montrer que «α β h+β W n ) e = 1 + (α β h + β W n + β W n + O(h h).. montrer que E (Y n+1 Y n A τn ) = h(y n + αy n ) + O(h h). 3. décider si le schéma (1) est fortement consistant. Solutions faibles entropiques : départ de deux feux rouges On considère le problème u(x,t) t partant de la donnée initiale : + u(1 u) x = 0 que nous cherchons à résoudre pour t [0, ] 1

16 { 1/ pour 0 x 1 et pour x 3 u(x, 0) = u 0 (x) = 0 sinon () 1. identifier les discontinuités et préciser la nature de la solution (choc ou onde de raréfaction) autour de celles-ci ;. écrire les équations des droites de choc (s il y en a) pour t ; 3. identifier les régions qui présentent de solutions de type onde de raréfaction ; 4. en utilisant les points précédents écrire la solution pour t ; 5. on interprète la donnée initiale comme étant la densité de deux groupes de voitures attendant devant deux feux rouges F 1 (situé en x = 1) et F (en x = 3) dont le départ est donné en t = 0. Expliquer si la voiture de tête de F 1 (partant donc de x = 1) rattrape la voiture situé à l arrière du feu F (partant donc de x = ) ; si oui préciser à quel moment. 3 Identification de schémas EDP Un étudiant se propose de résoudre l équation de la chaleur y(x,τ) = y(x,τ). Il dispose de τ x trois logiciels, P1, P et P3 qui prétendent résoudre ce problème, chacun à l aide d un schéma différent, dans la liste Euler Explicite, Euler Implicite, Crank-Nicholson. Cependant l étudiant ne sait pas quel logiciel correspond à quel schéma. Il fait les tests suivants : il choisit les paramètres de discrétisation δτ ) = 1/, δx = 1 et lance les trois programmes à partir de la même donnée initiale U 0 = ( Il obtient de vecteurs représentant la solution initiale ) et la solution ) numérique après un pas de temps : le programme ) P1 lui donne U 0 = ) ( 0 1/ 0 1/ 0 ( , U 1 = ( 1/6 4/6 15/6 4/6 1/6 et le programme P3 lui donne U 0 = utilise chaque programme., le programme P lui donne U 0 = ) ) ( , U 1 = ( 4/99 4/99 41/99 4/99 4/99 Note : il n y pas besoin de calculatrice pour mener à bien les calculs. Indication : on pourra raisonner comme suit : ( , U 1 =. Trouvez quel schéma 1. Rappeler les formules du schéma Euler explicite, implicite et Crank-Nicholson sous la forme M 1 U n+1 = M U n où M 1 et M sont des matrices spécifiques à chaque schéma à expliciter.. Identifiez ensuite les schémas dans l ordre Euler explicite, Euler implicite et Crank-Nicholson.

17

18

19

20

21

22

23 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen sept. 007 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. 1 Solutions faibles entropiques On considère le problème u(x,t) t suivants : + u(u+1) x = 0. Trouver la solution (faible entropique) dans les cas 1/ Condition initiale : u(x, 0) = u 0 (x) = / Condition initiale : u(x, 0) = u 0 (x) = { pour x < 0 1 pour x > 0 { 1 pour x < 1 a pour x > 1 pour x < 0 3/ Condition initiale : u(x, 0) = u 0 (x) = 1 pour 0 x 1 a pour 1 < x avec a > 1. avec a > 1. Dans cet dernier cas on interprète la solution comme étant la densité d un ensemble de particules situées sur une droite. Expliquer si (et si oui trouver à quel moment) la particule qui part de x = 0 (densité u(x = 0, t = 0) = 1) à l instant initial rattrape celle partant de x = 1 (densité u(x = 1, t = 0) = 1). Schémas pour lois des conservation Soit l équation u x avec donnée initiale u(x, 0) = u 0(x). Nous introduisons, comme dans le cours, une grille X j, j = 1,..., M en espace et une en temps t n, n = 0, 1,... La solution u(x j, t n ) sera approchée par Uj n ; on notera par U n le vecteur (Uj n) j=1,...,m. t + u 1/ Supposons que U n+1 est obtenue à partir de U n avec le schéma FTCS. Rappeler quelle est la 1

24 matrice M telle que U n+1 = MU n. / Toujours pour le schéma FTCS montrer que le schéma conserve la masse totale si et seulement si U1 n = U M n, c est à dire montrer que ( M j=1 U n+1 j = M j=1 U n j ) est équivalent à ( ) U1 n = UM n. (1) 3/ Montrer la même chose pour le schéma de Lax. 4/ Soit le schéma dit FTCS implicite Est ce schéma stable? U n+1 j U n j t + U j+1 n+1 U j 1 n+1 x = 0. () 4/ Soit maintenant le schéma dit Lax implicite Est ce schéma stable? U n+1 j U n j 1 +U n j+1 t + U j+1 n+1 U j 1 n+1 x = 0. (3) Indication : on pourra utiliser ici le fait que, si on note par ρ(x) la plus grande valeur propre de la matrice X alors ρ(xy ) ρ(x) ρ(y ), X, Y. 3 Schémas pour l équation de Black & Scholes On considère l équation de Black & Scholes, qui, après un changement de variable s écrit u t + σ u + x (r σ ) u x ru = 0 avec u(x, T ) = u T (x), donnée. On supposera r > σ. Nous introduisons, comme dans l exercice précédent, une grille en espace et une en temps ; la solution u(x j, t n ) sera approchée par Uj n. Soit le schéma suivant U n+1 j U n j t + σ U n j 1 + U n j+1 U n j ( x) + (r σ )Un j+1 U j 1 n ruj n = 0. (4) x Remarque : puisque la donnée finale est connue (et pas celle initiale) le schéma procède en arrière, c est à dire que à chaque pas en temps on suppose U n+1 connu et U n est calculé à partir de U n+1. 1/ Trouver U n en fonction de U n+1. / Est le schéma stable?

25

26

27

28 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen juin 008 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. Une feuille recto-verso manuscrite autorisée. Pas de calculatrices. 1 Schémas pour lois des conservation Soit l équation u + u t x 1. U n+1 k Uk n + U n+1 t. U n+1 k Un k 1 +Un k+1 = 0. Étudier la stabilité des schémas suivants k+1 +U k+1 n n+1 Uk 1 U k 1 n t + U n+1 4 x = 0. n+1 k+1 Uk 1 x = 0. Indication : on pourra utiliser ici le fait que, si on note par ρ(x) la plus grande valeur propre de la matrice X alors ρ(xy ) ρ(x) ρ(y ), X, Y. Notation : comme dans le cours la résolution numérique se fait sur une grille X j, j = 1,..., M en espace et une en temps t n, n = 0, 1,... La solution u(x k, t n) sera approchée par U n k. Erreur de troncature pour Black & Scholes On considère l équation de Black & Scholes V t + σ S V V + rs S S rv = 0 (1) avec donnée finale V (S, t = T ) = h(s) et le schéma numérique suivant pour la résoudre : U n+1 k Uk n δt + σ S k U n k+1 + U n k 1 U n k δs + rs k U n k+1 U n k 1 δs ru n k = 0. () 1

29 Ici, comme il est usuel, nous prenons U n k une approximation numérique de V (S k = S 0 + kδs, nδt) où S 0 est la plus petite valeur de S sur la grille. On supposera que V avec toutes ses dérivées soient bornées. 1. Calculer l ordre de l erreur de troncature sous la forme O(δS α + δt β ).. Supposons maintenant qu à l implémentation informatique une erreur s est glissée dans le code et que le schéma implémenté est en fait U n+1 k Uk n δt + σ S k 1 U n k+1 + U n k 1 U n k δs + rs k U n k+1 U n k 1 δs ru n k = 0. (3) Calculer l ordre de l erreur de troncature pour ce nouveau schéma (toujours sous la forme O(δS α + δt β )). Commenter. 3. Même question dans le cas où le schéma réellement implémenté est : U n+1 k Uk n δt + σ S k U n k + U n k 1 U n k δs + rs k U n k+1 U n k 1 δs ru n k = 0. (4) 3 Consistance de schéma EDS Dans tout ce qui suit on considère une EDS dx t = a(t, X t )dt + b(t, X t )dw t (5) Soit ξ n des variables aléatoires indépendantes entre elles, indépendantes de A τn et des W n avec P (ξ n = ) = 1, P (ξ n = 0) = 1. Nous étudions le schéma numérique (on considère que les Y n sont tous bornés) : Y n+1 = Y n + a n h + b n W n + h b nb n (ξ n 1). (6) 1. Calculer E (Y n+1 Y n A τn ). ( 1 ). Montrer que E Y n+1 Y n E(Y n+1 Y n A τn ) b n W n = O(h). h 3. Le schéma (6) est-il fortement consistant? Justifier. 4. Généraliser pour d autres variables ξ n (qui restent i.i.d. et indépendantes de W n ). 5. Le schéma (6) est-il faiblement consistant? Justifier. Rappels des notations : les coefficients a et b satisfont les conditions du cours pour l existence d un processus d Ito et nous supposerons a, b, b bornées, et de classe C. Rappel des notations : a n = a(τ n, Y n), b n = b(τ n, Y n), b n = Y n ; τ n = nh, h > 0. X b (τn, Yn) Wn = Wτ Wτn, Aτn la filtration naturelle pour n+1

30

31

32

33

34 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen e session 008 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. Une feuille recto-verso manuscrite autorisée. Pas de calculatrices. 1 Schémas pour lois des conservation Soit l équation u t + u x = 0. Étudier la stabilité des schémas suivants 1. U n+1 k. U n+1 Uk n t + U n+1 k+1 +U n k+1 n+1 Uk 1 U k 1 n k Un k 1 +Un k+1 3 t + U n+1 n+1 k+1 Uk 1 6 x = 0. x = 0. Indication : on pourra utiliser ici le fait que, si on note par ρ(x) la plus grande valeur propre de la matrice X alors ρ(xy ) ρ(x) ρ(y ), X, Y. Notation : comme dans le cours la résolution numérique se fait sur une grille X j, j = 1,..., M en espace et une en temps t n, n = 0, 1,... La solution u(x k, t n) sera approchée par U n k. Erreur de troncature pour Black & Scholes avec volatilité locale On considère l équation de Black & Scholes V t + σ S V V + rs S S rv = 0 (1) avec donnée finale V (S, t = T ) = h(s). On supposera que la volatilité σ dépende de S et t : σ = σ(s, t) (modèle dit de volatilité locale). La fonction σ est bornée ainsi que toutes ses dérivées. Nous considérons schéma numérique suivant : U n+1 k Uk n δt + σ (S k, t n )S k U n k+1 + U n k 1 U n k δs + rs k U n k+1 U n k 1 δs ru n k = 0. () 1

35 Ici, comme il est usuel, nous prenons Uk n une approximation numérique de V (S k = S 0 + kδs, nδt) où S 0 est la plus petite valeur de S sur la grille. On supposera que V avec toutes ses dérivées soient bornées. 1. Calculer l ordre de l erreur de troncature sous la forme O(δS α + δt β ).. Supposons maintenant qu à l implémentation informatique une erreur s est glissée dans le code et que le schéma implémenté est en fait U n+1 k Uk n δt + σ (S k 1, t n )S k 1 U n k+1 + U n k 1 U n k δs + rs k U n k+1 U n k 1 δs ru n k = 0. (3) Calculer l ordre de l erreur de troncature pour ce nouveau schéma (toujours sous la forme O(δS α + δt β )). Commenter. 3. Même question dans le cas où le schéma réellement implémenté est : U n+1 k Uk n δt + σ (S k 1, t n )S k 1 U n k+ + U n k 1 U n k δs + rs k U n k+1 U n k 1 δs ru n k = 0. (4) 3 Consistance de schéma EDS Dans tout ce qui suit on considère une EDS dx t = a(t, X t )dt + b(t, X t )dw t (5) Soit ξ n, η n des variables aléatoires indépendantes entre elles, indépendantes de A τn et des W n avec P (ξ n = ) = 1, P (ξ n = 0) = 1, P (η n = 1) = 1, P (η n = 1) = 1. Nous étudions le schéma numérique (on considère que les Y n sont tous bornés) : 1. Calculer E (Y n+1 Y n A τn ). Y n+1 = Y n + a n h + b n hηn + h b nb n (ξ n 1). (6). Le schéma (6) est-il faiblement consistant? Justifier. 3. Trouver l ordre de E( 1 ) h Y n+1 Y n E(Y n+1 Y n A τn ) b n W n. 4. Le schéma (6) est-il fortement consistant? Justifier. Rappels des notations : les coefficients a et b satisfont les conditions du cours pour l existence d un processus d Ito et nous supposerons a, b, b bornées, et de classe C. Rappel des notations : a n = a(τ n, Y n), b n = b(τ n, Y n), b n = Y n ; τ n = nh, h > 0. X b (τn, Yn) Wn = Wτ Wτn, Aτn la filtration naturelle pour n+1

36 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen juin 009 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. Une feuille recto-verso de formules autorisée. Pas de calculatrices. 1 R-K Nous considérons l équation x (t) = f(t, x(t)) avec f(t, x) = x t dont nous calculons une solution numérique par un schéma Runge-Kutta de tableau de Butcher /4 3/ (1) 1. Trouver la formule de U n+1 en fonction de U n.. Est le schéma consistant? 3. Quelle est la région de stabilité du schéma? Erreur de troncature pour Black & Scholes Nous considérons l équation de Black & Scholes, qui, après un changement de variables, s écrit u t + σ u σ + (r x ) u ru = 0 () x avec u(x, T ) = u T (x), donnée. Nous supposons que u avec toutes ses dérivées est bornée. Nous introduisons, comme dans le cours, une grille en espace de pas x et une grille en temps de pas t ; la solution u au point (X j, t n ) de la grille sera approchée par U n j. 1

37 1. Calculer l ordre de l erreur de troncature (sous la forme O( x α + t β )) du schéma numérique suivant pour résoudre () : U n+1 j U n j t + σ U n j 1 + U n j+1 U n j ( x) + (r σ )Un j+1 Uj 1 n ruj n = 0. (3) x. Calculer l ordre de l erreur de troncature pour le schéma U n+1 j U n j t { + σ 1 Uj 1 n + Uj+1 n Uj n + 1 ( x) j+1 U n+1 j 1 x { +(r σ 1 ) Uj+1 n Uj 1 n + 1 U n+1 x 3. Calculer l ordre de l erreur de troncature pour le schéma U n+1 j U n j t { + σ 1 Uj 1 n + Uj+1 n Uj n { +(r σ 1 ) Uj+1 n Uj 1 n + 1 U n+1 x U n+1 j 1 + U n+1 n+1 j+1 U } j ( x) } r U n j + U n+1 j = U n+1 j 1 + U n+1 n+1 j+1 U } j ( x) ( x) j+1 U n+1 } j 1 ruj n = 0. x (4) (5) 3 Consistance de schéma EDS Dans tout ce qui suit on considère une EDS dx t = a(x t )dt + b(x t )dw t (6) Nous travaillons avec les notations du cours et nous supposons également que a,b et toutes leurs dérivées jusqu à l ordre 4 sont bornées. Soit le schéma numérique ( Y n+1 = Y n + a Y n + a n h + b n W n + b nb ( n W n h ) ) h + b(y n ) W n. (7) ( ) 1. Trouver l ordre de E Yn+1 Y n h A τn a n et dire si la première condition de consistance est satisfaite.. Trouver l ordre de Y n+1 Y n E(Y n+1 Y n A τn ) b n W n h consistant. et dire si le schéma (7) est fortement 3. Trouver l ordre de E ( 1 h (Y n+1 Y n ) Aτn ) b n et dire si le schéma (7) est faiblement consistant.

38

39

40

41 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen sept. 009 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. Une feuille recto-verso de formules autorisée. Pas de calculatrices. 1 R-K Nous considérons l équation x (t) = f(t, x(t)) avec f(t, x) = x t dont nous calculons une solution numérique par un schéma Runge-Kutta de tableau de Butcher /3 /3 0 1/ 1/ (1) 1. Trouver la formule de U n+1 en fonction de U n.. Est le schéma consistant? 3. Quelle est la région de stabilité du schéma? Erreur de troncature pour Black & Scholes Nous considérons l équation de Black & Scholes, qui, après un changement de variables, s écrit u t + σ u σ + (r x ) u ru = 0 () x avec u(x, T ) = u T (x), donnée. Nous supposons que u avec toutes ses dérivées est bornée. Nous introduisons, comme dans le cours, une grille en espace de pas x et une grille en temps de pas t ; la solution u au point (X j, t n ) de la grille sera approchée par U n j. 1

42 1. Calculer l ordre de l erreur de troncature (sous la forme O( x α + t β )) du schéma numérique suivant pour résoudre () : U n+1 j U n 1 j t + σ U n j 1 + U n j+1 U n j ( x) + (r σ )Un j+1 Uj 1 n ruj n = 0. (3) x. Soit f une fonction de classe C 4. Trouver α, β, γ tels que : 1 3 f (x) + 3 f (x + h) = αf(x + h) + βf(x) + γf(x h) h 3. Trouver α, β, γ tels que le schéma suivant soit d ordre O( t + x ) : αu n+1 j + βuj n + γu n 1 j t { +(r σ 1 ) Uj+1 n Uj 1 n + U n+1 3 x 3 { + σ 1 Uj 1 n + Uj+1 n Uj n 3 + ( x) 3 j+1 U n+1 j 1 x } r U n j + U n+1 j 3 + O(h ). (4) U n+1 j 1 + U n+1 n+1 j+1 U } j ( x) = 0. (5) 3 Consistance de schéma EDS Dans tout ce qui suit on considère une EDS dx t = a(x t )dt + b(x t )dw t (6) Nous travaillons avec les notations du cours et nous supposons également que a,b et toutes leurs dérivées jusqu à l ordre 4 sont bornées. Soit le schéma numérique Y n+1 = Y n + a(y n )h + b(y n + a n h) W n. (7) ( ) 1. Trouver l ordre de E Yn+1 Y n h A τn a n et dire si la première condition de consistance est satisfaite.. Trouver l ordre de Y n+1 Y n E(Y n+1 Y n A τn ) b n W n h consistant. et dire si le schéma (7) est fortement 3. Trouver l ordre de E ( 1 h (Y n+1 Y n ) Aτn ) b n et dire si le schéma (7) est faiblement consistant.

43 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen juin 010 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. Une feuille recto-verso de formules autorisée. Pas de calculatrices. 1 R-K Nous considérons l équation x (t) = f(t, x(t)) avec f(t, x) = x + t dont nous calculons une solution numérique par A/ le schéma Euler explicite B/ un schéma Runge-Kutta de tableau de Butcher / 1/ /6 /3 1/6 (1) Pour chacun de ces deux schémas : 1. donner la formule de U n+1 en fonction de U n.. Sachant que U 0 = 0 et h = 1 calculer U 1. Schémas pour lois des conservation Soit l équation u x avec donnée initiale u(x, 0) = u 0(x). Nous introduisons, comme dans le cours, une grille X j, j = 1,..., M en espace et une en temps t n, n = 0, 1,... La solution u(x j, t n ) sera approchée par Uj n ; on notera par U n le vecteur (Uj n) j=1,...,m. t + u A/ Soit le schéma FTCS-Crank-Nicholson U n+1 j U n j t + U n j+1 U n j 1 4 x + U n+1 j+1 U n+1 j 1 = 0. () 4 x A1/ Montrer si le schéma est stable ou pas. Pour rappel le schéma est stable si les vecteurs U n restent bornés. 1

44 A/ Montrer que l erreur de troncature est d ordre O( t + x ). B/ Calculer l ordre de l erreur de troncature du schéma numérique suivant U n+1 j U n j 1 +U n j+1 t + U n j+1 U n j 1 4 x + U n+1 j+1 U n+1 j 1 = 0. (3) 4 x 3 Consistance de schéma EDS Dans tout ce qui suit on considère une EDS dx t = a(t, X t )dt + b(t, X t )dw t (4) Nous travaillons avec les notations du cours et nous supposons également que a,b et toutes leurs dérivées jusqu à l ordre 4 sont bornées. Soit ξ n, η n des variables aléatoires indépendantes entre elles, indépendantes de A τn et des W n avec P (ξ n = ) = 1, P (ξ n = 0) = 1, P (η n = 1) = 1, P (η n = 1) = 1. Nous étudions le schéma numérique (on considère que les Y n sont tous bornés) : 1. Trouver l ordre de E ( Yn+1 Y n h. Trouver l ordre de Y n+1 = Y n + a n ξ n h + b n hηn (5) ) A τn a n et dire si la première condition de consistance est satisfaite. Yn+1 Yn E(Yn+1 Yn Aτn ) bn Wn h et dire si le schéma (5) est fortement consistant. 3. Trouver l ordre de E ( 1 h (Y n+1 Y n ) Aτn ) b n et dire si le schéma (5) est faiblement consistant.

45

46

47

48

49

50 Université de Paris Dauphine Calcul et analyse numérique : évolution, M1 Examen sept 010 Les solutions devront être rédigées de manière rigoureuse. Lorsque des résultats du cours seront utilisés, ils devront être clairement énoncés. Les réponses sans justification complète ne seront pas prises en compte. Une feuille recto-verso de formules autorisée. Pas de calculatrices. 1 R-K Nous considérons l équation x (t) = f(t, x(t)) avec f(t, x) = xt dont nous calculons une solution numérique par A/ le schéma Euler explicite B/ le schéma Euler implicite C/ un schéma Runge-Kutta de tableau de Butcher / 1/ /6 /3 1/6 (1) Pour chacun de ces trois schémas : 1. donner la formule de U n+1 en fonction de U n.. Sachant que U 0 = 1 et h = 1/10 calculer U 1. Schémas pour lois des conservation Soit l équation u t + u x avec donnée initiale u(x, 0) = u 0(x). Nous introduisons, comme dans le cours, une grille X j, j = 1,..., M en espace et une en temps t n, n = 0, 1,... La solution u(x j, t n ) sera approchée par Uj n ; on notera par U n le vecteur (Uj n) j=1,...,m. A/ Soit le schéma FTCS-Crank-Nicholson à pas multiples U n+1 j U n j t + U n j+ U n j 8 x + U n+1 j+ U n+1 j = 0. () 8 x 1

51 A/ Montrer que l erreur de troncature est d ordre O( t + x ). B/ Calculer l ordre de l erreur de troncature (sous la forme O( x α + t β )) du schéma numérique suivant U n+1 j U n j 1 +U n j+1 t + U n j+ U n j 8 x + U n+1 j+1 U n+1 j 1 = 0. (3) 4 x 3 Consistance de schéma EDS Dans tout ce qui suit on considère une EDS dx t = a(t, X t )dt + b(t, X t )dw t (4) Nous travaillons avec les notations du cours et nous supposons également que a,b et toutes leurs dérivées jusqu à l ordre 4 sont bornées. Soit ξ n des variables aléatoires indépendantes entre elles, indépendantes de A τn et des W n avec P (ξ n = ) = 1, P (ξ n = 0) = 1, P (η n = 1) = 1. Nous étudions le schéma numérique (on considère que les Y n sont tous bornés) : 1. Trouver l ordre de E ( Yn+1 Y n h. Trouver l ordre de Y n+1 = Y n + a n ξ n h + b(y n + a n h) W n (5) ) A τn a n et dire si la première condition de consistance est satisfaite. Yn+1 Yn E(Yn+1 Yn Aτn ) bn Wn h et dire si le schéma (5) est fortement consistant. 3. Trouver l ordre de E ( 1 h (Y n+1 Y n ) A τn ) b n et dire si le schéma (5) est faiblement consistant.