Limites de fonctions (2) Études de cas d indétermination

Transcription

1 TS Limites de onctions () Études de cas d indétermination Commentaire : quand on rencontre une FI, on est obligé de modiier l epression «originale» de la onction (on ait ce que l on appelle une «réécriture» de l epression). Le but de ce chapitre est de passer en revue quelques méthodes de réécriture. I. FI du type ) Méthode générale Réécriture avec mise en acteur du terme dominant. Eemples Eemple FI du type 3 3 (on peut «séparer» les racines car les deu acteurs du produit sont positis ou nuls) 3 (eplication : ) 3 (en eet : pour ) 3 : 3 4 D lim donc par limite d'un produit lim lim 3 ( n est pas une onction polynôme.) Déterminer lim. FI du type ) Cas particulier : onctions polynômes non nulles en + et en Règle du monôme de plus haut degré ) Technique de quantité conjuguée pour les onctions avec radicau Eemple 4 3 Eplication : : D Déterminer lim. lim 4 donc par limite d'un produit lim lim 3 3 Eemple : 3 D FI du type La technique générale de marche pas. quantité non nulle pour Déterminer lim.

2 lim donc par limite d'un quotient lim lim D 3 3 II. FI du type ) Méthode générale On met en acteur les termes dominants au numérateur et au dénominateur puis on simpliie. ) Cas particulier : onctions rationnelles non nulles en + et en On applique la règle du quotient simpliié des monômes de plus haut degré. III. FI du type ) Méthode générale Réécriture de la onction (on transorme l epression de la onction). ) Cas particulier : changement de variable IV. FI du type ) Méthode générale Réécriture de la onction. On actorise le numérateur et le dénominateur puis on simpliie. Eemple 3 : ; D \ Déterminer lim. lim 3 lim FI du type " " On ne peut pas appliquer la règle des monômes. lim 3 4 donc par limite d'un quotient lim lim ) Méthode particulière pour les onctions avec radicau : quantité conjuguée 3 ) Méthode par utilisation de la déinition d un nombre dérivé lim ' a ' a h a h a h Eemple-type : ROC sin : D Déterminer lim. lim sin FI du type " " lim h a a lim a a Le théorème des gendarmes ne permet pas de conclure ici. On va interpréter le quotient comme un tau de variation. On pose u sin On sait que. u. sin u u Donc on peut écrire On sait que la onction et u' cos. u sin est dérivable sur Donc par déinition du nombre dérivé de u en, on a :. 3 4

3 u u lim u' cos cos sin Donc lim. Cette limite est à présent considérée comme une limite de réérence. On peut désormais l utiliser sans reaire la démonstration. Même chose en. Mise en garde importante : Cette année, on eectuera ce travail (calcul de lim ) que lorsque l énoncé demande eplicitement de démontrer qu une courbe admet une branche parabolique en + ou en (aucune question à initiative personnelle ne sera posée cette année). V. Complément sur les branches ininies ) Eplication est une onction telle que lim. La courbe C présente une branche ininie lorsque tend vers +. On souhaite étudier la orme de cette branche ininie dans certains cas. M est un point quelconque de C d abscisse. On considère la droite (OM) (on ne peut pas vraiment dire que la droite (OM) est une «sécante» à la courbe). ym y O Le coeicient directeur de (OM) est égal à m. M O C M ) Retenir O Lorsque lim et lim, on dira que la courbe C présente une branche parabolique de direction (Oy) lorsque tend vers +. Lorsque lim et lim, on dira que la courbe C présente une branche parabolique de direction (O) lorsque tend vers +. Lorsque lim a a et lim a, on dira que la courbe C présente une branche parabolique de direction la droite d équation y = a lorsque tend vers

4 A : Transormations d écritures ; réécritures ) Factorisations ; actorisations partielles Eemple : 3 e 3e e e 3 Bilan sur les FI Diérentes techniques à connaître permet de déterminer la limite en +. ) Epression sans dénominateur epression avec dénominateur Eemple : e e permet de déterminer la limite en. e e Cas particulier des quantités conjuguées pour les epressions avec racines carrées 3) Somme de quotients mise au même dénominateur Eemple : permet de déterminer la limite en +. 4) Epression actorisée epression développée Eemple : e + e e permet de déterminer la limite en. 5) Quotient somme de quotients Eemple : e e permet de déterminer la limite en +. 6) Produit réorganisation de acteurs Eemple : e e e permet de déterminer la limite en. On peut aussi utiliser un changement de variable dans ce dernier cas. B : Quelques remarques ) Intervention de limites de réérence (FI de réérence) : bien retenir toutes les limites de réérence qui vont être étudiées au ur et à mesure des chapitres. Ces limites de réérence sont à utiliser dans leur «orme pure» ce qui nécessite parois de aire un changement de variable pour s y ramener. ) Les transormations d écriture eectuées imposent de préciser les domaines de validité. Lorsque l on étudie la limite d une onction en +, on peut toujours aire une réécriture «pour assez grand». On peut par eemple utiliser sans aucun inconvénient une réécriture pour positi. Lorsque l on étudie la limite d une onction en, on peut toujours aire une réécriture «pour assez petit». On peut par eemple utiliser sans aucun inconvénient une réécriture pour négati. 3) Les méthodes rappelées dans la partie A sont là pour donner des idées pour lever des cas d indétermination. Elles ne sont pas non plus ehaustives. Il aut surtout aire preuve d inventivité (en essayant par eemple de sentir ce qui l emporte). Eemple : sin Déterminer lim. sin On réécrit : sin (principe d englobement des carrés dans un seul carré). sin On utilise alors lim. On en déduit que C : Appendice : limites de réérence à connaître ln lim lim ln ln h lim h h e lim lim e e lim sin lim sin lim. 7 8

5 Pour commencer Quels sont les types de F.I. connues? FI du type FI du type F.I. du type " " F.I. du type " " Dans chaque cas, on a vu que l on pouvait tout trouver. On donne les onctions suivantes pour lesquelles on désire aire l étude de limite indiquée (à côté de chacune d elle). 3 : étude en : 3 4 étude en + étude en + : 3 3 étude en + : 4 er travail : Démontrer que l on rencontre chaque ois une FI pour déterminer la limite. Donner le type de FI que l on rencontre (en écriture symbolique avec des guillemets). Classer les onctions suivant le type de FI que l on rencontre (on pourra aire un tableau). e travail : Elaborer une technique pour déterminer le limite (lever l indétermination dans chaque cas). On pourra visualiser les courbes des diérentes onctions à l écran d un ordinateur (ou à déaut d une calculatrice) ou un logiciel de calcul ormel pour avoir une idée de la limite cherchée. 9

6 3 : : 3 4 Étude en Étude en F.I. du type " " FI du type

7 : 3 3 : 4 Étude en + Étude en FI du type FI du type 3 4

8 Classiication en tableau : FI du type FI du type FI du type FI du type Recherche de transormations algébriques permettant de lever l indétermination (on compleiie l epression pour pouvoir résoudre le problème). F.I. Réécriture à aire dépend de choses du type de FI que l on rencontre de la orme de l epression que l on rencontre Il peut arriver que l on utilise méthodes pour lever une indétermination 5