Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Chapitre 1 : Correction des Travaux dirigés"

Transcription

1 U.P.S. I.U.T. A, Département d Informatique Année Chapitre : Correction des Travaux dirigés. Soit v n n i0 qi la somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q, et de premier terme. (a) On utilise la formule de l exercice 9. du cours, avec a et b q. (b) Puisque q <, on a lim n q n 0. D après les règles algébriques sur les sommes et quotients de suites convergentes, la suite (v n ) est convergente et sa limite est /( q). (c) i0 (0 3 ) i 0 3 0, (a) Variations de la suite définie par u n+ exp(u 3 n), lorsque u 0 0 : On a u > u 3 0. Montrons par récurrence que pour tout n 0, u n+ > u n : - (initialisation) La propriété est vraie pour n 0 puisqu on vient de vérifier u > u 0. - (hérédité) Supposons que pour un certain n on ait : u n+ > u n. Montrons qu alors u n+ > u n+. En effet, f(x) exp(x) étant une fonction strictement croissante, 3 on a : u n+ > u n f(u n+ ) > f(u n ), d où u n+ > u n+. La propriété est donc vraie pour tout n supérieur ou égal à la valeur d initialisation, donc ici pour n 0. Si u 0, alors u f(u 0 ) e 3 < u 0. On montre la décroissante stricte de la même manière : on utilise que f étant croissante elle conserve les inégalités. Remarque : ce raisonnement prouve que toute suite définie par u n+ f(u n ) avec f croissante est une suite monotone, le type de monotonie (croissance ou décroissance) étant déterminé par l inégalité entre les deux premiers termes de la suite. (b) Convergence de ces suites. Montrons par récurrence que dans le premier cas, (u n ) est majorée par : n 0, u n <. - (initialisation) La propriété est vraie pour n 0 : u 0 0 <. - (hérédité) Supposons que pour un certain n on ait : u n <. Montrons qu alors u n+ < : u n+ f(u n ) < f() car f est croissante et f() e 3 <. La propriété est donc vraie pour tout n 0. Puisque (u n ) est croissante, et majorée par, elle est convergente et sa limite l (inconnue) vérifie l. Remarque : on peut parfois calculer la valeur de la limite en utilisant le résultat de l exercice 7, question (c) : l est solution de f(l) l. Hélas, dans le cas présent, on ne peut résoudre explicitement cette équation...

2 3. On considère la suite définie par u n ( n n 3 i i ). (a) Montrons la formule : n i i n(n + )(n + ) par récurrence : - (initialisation) La propriété est vraie pour n : 3. - (hérédité) Supposons que pour un certain n on ait : n i i n(n + )(n + ) ( hypothèse de récurrence ). Montrons qu alors cette propriété reste vraie à l ordre n + c est-à-dire, montrons : n+ i i (n + )(n + )(n + 3). En effet, d après l hypothèse de récurrence, le membre de gauche de l égalité vaut : n+ i i n i Or le membre de droite vaut i + (n + ) n(n + )(n + ) + (n + ) (n + )[(n(n + ) + (n + )] (n + )(n + 7n + ). (n + )(n + )(n + 3) (n + )(n + 7n + ) d où l égalité cherchée. La propriété est donc vraie pour tout n. (b) On a u n n 3 n i i n(n + )(n + ) n3 n 3 (n3 + 3n + n) 3 + n + n qui tend vers /3 d après les théorèmes sur les sommes de suites convergentes. 4. Une définition du nombre e. (a) a n+ a n (n+)! > 0 donc (a n) est croissante. b n+ b n ( + + n! + (n + )! + (n + )(n + )! ) ( + + n! + n n! ) (n + )! + (n + )(n + )! n n! n(n + )(n + )! < 0 n(n + ) + n (n + ) n(n + )(n + )! donc (b n ) est décroissante. (b n a n ) est positif et tend vers 0, puisque le dénominateur tend vers l infini. n n! Les deux suites sont donc adjacentes. On sait qu alors elles convergent et ont la même limite, qu on note ici e (il s agit bien du e de exp()). (b) a /! + /3! + /4! + /5!, 7... On peut majorer l erreur (e a 5 ) par b 5 a 5 /(5 5!) /00 0, 00...

3 5. Approximation décimale d un nombre réel. Un nombre décimal est un nombre rationnel de la forme p/0 n. Exemple :, /0 4. (a) Démontrer que pour tout réel x on a : 0[x] [0x] 0[x] + 9 : Puisque [x] x < [x] +, on a 0[x] 0x < 0[x] + 0. Donc :. 0[x] est un entier inférieur ou égal à 0x. [0x] étant le plus grand entier inférieur ou égal à 0x, on a : 0[x] [0x].. 0[x] + 0 est un entier strictement supérieur à 0x. [0x] + étant le plus petit entier strictement supérieur à 0x, on a : [0x] + 0[x] + 0, d où [0x] 0[x] + 9. (b) Pour n 0, on pose : p n [x 0 n ], d n p n 0 n et e n (p n + ) 0 n. Lorsque x, p 0 [ ], d 0 p 0, e 0 p 0 +. p [0 ] 4, d p 0, 4, e (p + ) 0, 5. p [00 ] 4, d p 0, 4, e (p + ) 0, 4. Ces suites (d n ) et (e n ) semblent encadrer en donnant les valeurs décimales tronquées à l ordre n par défaut et par excès, ce qu on va vérifier : (c) Vérifier que d n x < e n et montrer que les deux suites (d n ) et (e n ) sont des suites de nombres décimaux adjacentes qui convergent vers x : d n [x 0 n ] 0 n x 0 n 0 n x. e n ([x 0 n ] + ) 0 n > x 0 n 0 n x. d n+ d n [x 0n+ ] 0 n+ [x 0n ] 0 n [x 0n+ ] 0[x 0 n ] 0 n+ 0 d après la première inégalité de la question (a) utilisée en remplaçant x par x 0 n. (d n ) est donc croissante. e n+ e n [x 0n+ ] + 0 n+ [x 0n ] + 0 n [x 0n+ ] 0[x 0 n ] 9 0 n+ 0 d après la seconde inégalité de la question (a) utilisée en remplaçant x par x 0 n. (e n ) est donc décroissante. e n d n 0 n, et donc lim n (e n d n ) 0. Ces deux suites sont donc adjacentes. On sait qu elles convergent vers une même limite qui est ici x puisque d n x < e n pour tout n.. Approximation décimale d un nombre rationnel. (a) En effectuant la division, donner les premiers termes de la suite décimale illimitée par défaut du rationnel x 3/7. On obtient :, La suite des décimales 8574 semble se répèter à l infini. En effet, dans la division par 7, si la division ne s arrête pas, les restes successifs ne peuvent prendre que les valeurs de à. Nécessairement on retrouvera donc après au plus divisions, un reste déjà rencontré. La suite de la division se répète alors à l identique. 3

4 (b) Réciproquement, on considère un réel x dont le développement décimal est périodique à partir d un certain rang : 0, , , 7 + 0, , , donc, d après l exercice, question (c), 0, 7 + 0, 0048( ) 0, (7 999) On peut vérifier avec la calculatrice que le développement décimal de ce rationnel est bien celui dont on est parti. 7. Approximation d une racine carrée : méthode de Héron d Alexandrie. Soit a un nombre réel positif, et u 0 un nombre entier plus grand que a. On considère la suite (u n ) définie par u n+ f(u n ) avec f(x) (x + a x ). (a) Montrer que f est croissante sur [ a, + [ : f(y) f(x) (y x + ( a a)) ay ax [(y x) + ] (y x)( + a ). Or y x xy xy puisque x et y sont supérieurs à a (l un au moins strictement), xy > a et a < xy d où ( + a ) > 0. On en déduit que f(y) f(x) a le même signe que (y x) et xy donc que f est strictement croissante sur [ a, + [. On peut aussi étudier le signe de la dérivée : f (x) ( a ) x a. Le x x numérateur est strictement positif pour x > a et le dénominateur est toujours positif. (b) Démontrer par récurrence la propriété : a < u n < u n. En déduire que (u n ) est convergente. - Vérifions la propriété pour n : Puisque u 0 > a et f est strictement croissante, u f(u 0 ) > f( a) a. D autre part, u u 0 (u 0 + a u 0 ) u 0 a u 0 u 0 a u 0 u 0 qui est négatif puisque u 0 > a. On a donc a < u < u 0. - supposons que pour un certain n on ait : a < u n < u n, alors en appliquant f et en utilisant la croissance de f on obtient : f( a) < f(u n ) < f(u n ) c est-àdire : a < u n+ < u n. La propriété est donc démontrée pour tout n. La suite (u n ) étant décroissante minorée par a, elle converge vers une limite l (inconnue) qui vérifie l a. (c) Démontrer que la limite l de (u n ) vérifie : f(l) l et en déduire que l a : Le raisonnement qui suit est très général : 4

5 Puisque f est continue, si (u n ) tend vers l, f(u n ) tend vers f(l). Or f(u n ) u n+ est encore la même suite décalée d un indice ce qui ne change pas la limite : (u n+ ) tend aussi vers l. On a donc f(l) l et on obtient la valeur l en résolvant l équation f(x) x. Ici cela donne : (x + a x ) x x + a x x x + a x x a x ± a et puisqu on a vu que la limite vérifie l a, nécessairement l a. (d) Vérifier l égalité (u n+ a) (u n a) : u n+ a (u n + a u n a) u n + a au n (u n a). En déduire : (u n+ a) (u n a) : Si a > / (condition à rajouter dans l énoncé), > a > d où (u n+ a) (u n a). L erreur à l étape n + est celle de l étape n élevée au carré. Supposons qu on ait obtenu un résultat approché avec une décimale exacte, c est-à-dire une erreur inférieure à 0. A l étape suivante l erreur est majorée par (0 ) 0 ( décimales exactes), puis (0 ) 0 4 (4 décimales exactes), puis (0 4 ) 0 8 (8 décimales exactes), etc... (e) Ecrire une instruction Maple qui permet de calculer une approximation de avec 3 décimales exactes : D après ce qui précède, si on part d un intervalle de longueur 0, autour de a, il suffit de 5 itérations de f pour obtenir la précision de 0 3. La procédure utilisera donc une boucle for qui sera écrite et testée en T.P. 5

Convergence de suites. Suites récurrentes

Convergence de suites. Suites récurrentes Convergence de suites Les suites dont on donne ci-dessous le terme général sont-elles convergentes? cos n + 3n a) ln n + 2n g) sin n n b) 4n 2 + 5n + 6 2n c) en n h) 2 n ( 1) n n 2 d) sin n e n e) n 1

Plus en détail

Exercices type bac sur les suites.

Exercices type bac sur les suites. Exercices type bac sur les suites Corrigés NB : On ne donne dans ce document que des indices, la preuve complète reste à faire Exercice D après sujet du baccalauréat Centres étrangers, juin 003 On définit,

Plus en détail

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6.

Exercice 5 Démontrer que pour tout entier naturel n, le nombre 3n² + 3n + 6 est un multiple de 6. Exercice 1 : Dire en justifiant si les suites (u n ) définies ci-dessous sont arithmétiques, géométriques ou ni l'un ni l'autre. Dans le cas où elles sont arithmétiques ou géométriques, préciser le premier

Plus en détail

9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ).

9 6 - x. On définit la suite (u n ) par u 0 = -3 et pour tout entier naturel n, u n+1 = f(u n ). Exercice 75 p 55 exercices sur les suites Symbole Belin 0 On s intéresse aux suites définies sur V et vérifiant la relation de récurrence u n+ = + u n². Une telle suite sera déterminée par son premier

Plus en détail

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel

1 Raisonnement par récurrence. 2 Suites arithmétiques, géométriques. ISEL - Année 1. Mathématiques. Suites - Rappel ISEL - Année Mathématiques Suites - Rappel Raisonnement par récurrence Soit une propriété P (n) dépendant d'un entier naturel n. Pour montrer que cette propriété est vraie à partie de l'entier n 0 :. on

Plus en détail

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions

CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions CHAPITRE 1 : Raisonnement par récurrence, suites et fonctions 1 Les suites numériques (rappel de première)... 4 1.1 Généralités... 4 1.2 Plusieurs méthodes pour générer une suite... 4 2 Exemples d algorithmes

Plus en détail

Résumé du cours sur les suites.

Résumé du cours sur les suites. Résumé du cours sur les suites. 1 Suites numériques réelles et principe de récurrence 1.1 Les deux façons de définir une suite numérique réelle Définition. On note n 0 un entier naturel (en général n 0

Plus en détail

Chapitre 1 : Les suites

Chapitre 1 : Les suites Chapitre : Les suites I. Exercices supplémentaires Partie A : Récurrence Exercice La suite est définie par et +2+ pour tout entier naturel. Démontrer par récurrence que pour tout. La suite est définie

Plus en détail

Suites numériques. Z, auctore. 4 octobre u n+1 = u n + r. (1) u n = u 0 + n r (2) u 0 + u 1 + u u n = (n + 1) u 0 + u n 2

Suites numériques. Z, auctore. 4 octobre u n+1 = u n + r. (1) u n = u 0 + n r (2) u 0 + u 1 + u u n = (n + 1) u 0 + u n 2 Suites numériques Z, auctore 4 octobre 005 1 Suites arithmétiques Définition. Une suite de nombres (u n ) n N est arithmétique lorsqu il existe un nombre r tel que pour tout entier n on ait Ce nombre r

Plus en détail

SUITES ET RÉCURRENCE

SUITES ET RÉCURRENCE SUITES ET RÉCURRENCE En première : une suite ( ) est une fonction particulière : son ensemble de définition est constitué d'entiers, on peut donc parler (contrairement aux fonctions en général) de l'image

Plus en détail

SUITES - RECURRENCE - SOMMES

SUITES - RECURRENCE - SOMMES SUITES - RECURRENCE - SOMMES Chapitre 1 I Généralités sur les suites Définition I.1 Une suite réelle est une fonction d une partie A de N dans R. u : A R n u(n) := u n l intervalle de définition peut donc

Plus en détail

Chapitre 3. Suites récurrentes

Chapitre 3. Suites récurrentes Chapitre 3 Suites récurrentes 3.1 Suites numériques Définition 3.1 On appelle suite de terme général u n et on note (u n ) n 0 ou plus simplement u la liste ordonnée des nombres u 0, u 1, u 2, u 3,....

Plus en détail

Suites - Récurrence 10X. 2 quiselit:sommedes 2 pouriallantde1à10vaut:

Suites - Récurrence 10X. 2 quiselit:sommedes 2 pouriallantde1à10vaut: Suites - Récurrence 1. Définitions - Rappels 1.1.Modes de définition d une suite La suite 0 =0 1 = =4 3 =6 peut être définiededeuxmanières: Définition explicite : ½ = Définition récurrente : 0 =0 +1 =

Plus en détail

Exercice n 114 page 128

Exercice n 114 page 128 Jeudi 28 Février 2013 DM de Maths Exercice n 114 page 128 1) a) Voir papier millimétré 1) b) D après la représentation graphique des premiers termes de la suite (u n ), on peut conjecturer qu elle est

Plus en détail

Etude de limites de suites monotones

Etude de limites de suites monotones Etude de ites de suites monotones I) Définition On dit que la suite ( ) est majorée lorsqu il existe un nombre réel M tel que, pour tout entier naturel n, M. On dit que M est un majorant de la suite (

Plus en détail

Fonctions à deux variables

Fonctions à deux variables Fonctions à deux variables Exercice 1 On note l'ouvert de défini par 1 3, 3 0,1 et l'application définie sur par :,, ² ² Montrer que est strictement négative sur., 1 1 Pour,, 1 0. Pour 01, 1 0. Comme et

Plus en détail

Fonction exponentielle

Fonction exponentielle Fonction exponentielle 1 Fonction exponentielle Définition et variation Théorème Définition Il existe une unique fonction définie et dérivable sur telle que et Cette fonction est appelée fonction exponentielle

Plus en détail

Suite récurrente définie par une fonction

Suite récurrente définie par une fonction Suite récurrente définie par une fonction Rédigé par un enseignant et un élève de l Ecole Polytechnique (Vincent Langlet). Niveau : Approfondir la Terminale S ou Première Année post bac Difficulté : Exercice

Plus en détail

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim

Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com. v n. lim. lim Limite d une suite - Terminale S Exercices corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompriscom Reconnaitre les formes indéterminées Dans chaque cas, on donne la ite de u n et v n Déterminer si possible,

Plus en détail

Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés

Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés Calcul intégral et suite numérique Intégration Exercices corrigés Objectifs abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : étudier le sens de variation d une suite

Plus en détail

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016

Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 Cours d analyse - Résumé sur les suites 2015/2016 CPUS I. Les suites numériques I.1. Premières définitions. Définition. Une suite réelle est une fonction dont l ensemble de départ est une partie de N du

Plus en détail

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles.

Pour chaque proposition, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier soigneusement la réponse. Les questions sont indépendantes entre elles. TS - Maths - D.S.5 Samedi 17 janvier 015-4h Spécialités : SVT - Physique Exercice 1 (5 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Pour chaque proposition, indiquer si elle

Plus en détail

Cours de terminale S Suites numériques

Cours de terminale S Suites numériques 0 - - de terminale S Suites s LPO de Chirongui 20 mai 2016 1 - Introduction- Introduction Principe de récurrence Exemple En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel

Plus en détail

Les suites numériques

Les suites numériques Les suites numériques chapitre 4 I Premier regard Définition : suite numérique Une suite numérique est une liste de nombres réels, numérotés généralement par des indices, entiers naturels consécutifs 0,

Plus en détail

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures

Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Nombres réels, bornes supérieures et inférieures Exercice 1 : Si et sont des réels positifs ou nuls, montrer que Allez à : Correction exercice 1 : Exercice 2 : Déterminer les ensembles suivants, mettre

Plus en détail

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle

Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle DOCUMENT 36 Une définition et des caractérisations des fonctions exponentielles à partir d une équation fonctionnelle Une propriété importante des fonctions exponentielles est qu elles sont solutions de

Plus en détail

Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Compléments sur les suites - Récurrence Exercices - Corrigé

Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Compléments sur les suites - Récurrence Exercices - Corrigé Compléments sur les suites - Récurrence Exercices - Corrigé Exercice Pour n N nn + ), on pose Hn) : k := + + 3 + + n =. k= Pour n =, les deux membres de l égalité valent et donc H) est vraie. Soit ensuite

Plus en détail

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites)

Exercices d entrainement pour le chapitre 02 (récurrence et suites) Exercices d entrainement pour le chapitre 0 récurrence et suites 0. Énoncés Exercice. Démontrer l inégalité n > n pour tout entier naturel n. Exercice. On définit, pour tout entier n, le n ième nombre

Plus en détail

Principe d une démonstration par récurrence :

Principe d une démonstration par récurrence : Chapitre Suites 1 Démonstration par récurrence Exemples introductif : Imaginons que des ouvriers construisant un immeuble aient toutes les instructions nécessaires pour construire un étage d immeuble sur

Plus en détail

Suites 4 : Raisonnement par récurrence

Suites 4 : Raisonnement par récurrence Suites 4 : Raisonnement par récurrence C' est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 193) que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Par contre, le nom de récurrence a vraisemblablement

Plus en détail

1 q. = 1 q n. (un + v n ) (l + l ) = (un l) + (v n l ) n n 0, u n + v n A.

1 q. = 1 q n. (un + v n ) (l + l ) = (un l) + (v n l ) n n 0, u n + v n A. 16 Proposition : La somme des n premiers termes d une suite géométrique de raison q 1 est : n 1 u 0 q k 1 q n = u 0 1 q k=0 Il suffit de calculer (1 q) n 1 k=0 qk = n 1 k=0 qk n 1 k=0 qk+1 = n 1 k=0 qk

Plus en détail

CH V : Généralités sur les suites réelles

CH V : Généralités sur les suites réelles CH V : Généralités sur les suites réelles I. Notion de suite I.1. Définition générale Définition Une suite de nombre réels u est une application de N dans R i.e. une fonction de N dans R telle que tout

Plus en détail

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES

EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES EABJM Bac Blanc Novembre 2009 MATHÉMATIQUES Terminales S - S2 N. Chiffot S. Coursaget J. Giovendo Durée : 4 heures. Nombre de pages : 7. L utilisation de la calculatrice est autorisée. Corrigé TS - TS2

Plus en détail

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite

Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Exercices 2 octobre 2014 Raisonnement par récurrence. Limite d une suite Raisonnement par récurrence Exercice 1 Prouver que pour tout entier n, 4 n + 5 est un multiple de 3. Exercice 2 Prouver que pour

Plus en détail

TD 3: Suites réelles

TD 3: Suites réelles Université Pierre et Marie Curie Année 2011/2012 LM115 TD 3: Suites réelles MIME Convergence des suites : Par définition, une suite (u n ) converge vers un réel l si : Pour tout ɛ réel strictement positif,

Plus en détail

Devoir surveillé 5 mathématiques

Devoir surveillé 5 mathématiques Devoir surveillé 5 mathématiques BCPST 205-206 Exercice. Soit t un réel strictement positif. On définit la suite ( n N par la donnée de x 0 = t et la relation de récurrence : n N, + =.. (a Soit g la fonction

Plus en détail

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions

Cours de terminale S - Généralités sur les fonctions les fonctions LPO de Chirongui - Exercices : Savoir Faire (livre)- Déterminer une ite Interprétation graphique Livre Indice BORDAS - Page 45 Exercice 34, 35, 36 et 37 page 56 - Limite finie à l infini

Plus en détail

Etude de limites de suites définies par

Etude de limites de suites définies par Etude de limites de suites définies par récurrence u n+1 = f(u n ) I) Généralités 1) Définition Une suite définie par récurrence est une suite définie par son premier terme et par une relation de récurrence,

Plus en détail

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés

Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Intégration Encadrement d intégrale Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : encadrer une intégrale Exercice 2 : donner un encadrement

Plus en détail

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1

Fonctions trigonométriques - Corrigé. 2 2 cos 1 Exercice 1 : Fonctions trigonométriques - Corrigé 1. a. est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur et =1 cos On sait que, pour tout réel et donc en particulier pour tout, cos 1 donc 0 et

Plus en détail

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique

TS - Maths - D.S.4 - Correction Spécialités : SVT - Physique TS - Maths - D.S. - Correction Spécialités : SVT - Physique Samedi 05 Décembre 05 - h Exercice ( points) Commun à tous les candidats Une usine produit de l eau minérale en bouteilles. Lorsque le taux de

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques

UNIVERSITÉ DE CERGY Année U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques 1 UNIVERSITÉ DE CERGY Année 2012-2013 U.F.R. Économie & Gestion Licence d Économie et Mathématiques MATH104 : Mathématiques Chapitre V : Suites numériques 1 Un peu de topologie de R On a vu dans le chapitre

Plus en détail

Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de mathématiques (Terminale S) Terminale Scientifique (S) : Cours de mathématiques (Terminale S) I. Chapitre 01 : Les suites 1. Etude globale d une suite A. Les suites majorées, minorées, bornées La suite ( ) est majorée si et seulement

Plus en détail

TS Rappels sur les suites Cours. Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m

TS Rappels sur les suites Cours. Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m 1 TS Rappels sur les suites Cours I. Définitions Une suite est une fonction définie sur l ensemble des entiers naturels ou sur privé des premiers entiers 0, 1, 2,, m L image u(n) de l entier n est notée

Plus en détail

Suites. 1 Suite géométrique. Chapitre I. 1.1 Définition. 1.2 Propriétés

Suites. 1 Suite géométrique. Chapitre I. 1.1 Définition. 1.2 Propriétés Chapitre I Suites Exercices 8, 9, 0, 3, 4, 6, 3, 3, 34 page 34 pour revoir les notions de première sur les suites (récurrence, sens de variation...) Suite géométrique. Définition Définition Une suite u

Plus en détail

Suites. Chapitre 2. 1 Généralités sur les suites. Sommaire. 1.1 Définition d une suite. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques

Suites. Chapitre 2. 1 Généralités sur les suites. Sommaire. 1.1 Définition d une suite. 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques Chapitre 2 Suites Sommaire 1 Généralités sur les suites....................................... 1.1 Définition d une suite...................................... 1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques..........................

Plus en détail

Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente

Fonction homographique - tangente à une courbe - suite récurrente f est la fonction définie sur D = ]- ;3[ ]3 ;+ [ par f(x) = x + 1 3 - x. 1) a) Etudier les variations de f sur D, ses limites aux bornes de D puis construire sa représentation graphique C f dans un repère

Plus en détail

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE

RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Exemple: RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Montrons par récurrence que pour tout n N *, P (n) : i=n i = 1 + + 3 +...+ ( n -1) + n = n n1 n n1 Initialisation : pour n = 1 i =1 et = 111 =1 donc P(1) est vraie.

Plus en détail

Suites numériques (1 re partie)

Suites numériques (1 re partie) Chapitre 1 Suites numériques (1 re partie) I Prérequis I.1 Définition d une suite Définition. Une suite numérique est une liste de nombres réels «numérotés» par les nombres entiers naturels. N R On peut

Plus en détail

Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle

Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Correction Devoir à la maison commun Saint-Charles La Cadenelle Exercice On considère les matrices 0 5 0 0 5 0 0 0 0 0 0 4 ; 0 2 ; 0 2 0 ; 0 0 4 0 4 0 0 2 0 0 2 0 0 0 ) Soit la matrice 4 0 4 2 a) Prouver

Plus en détail

Terminale S Suites numériques

Terminale S Suites numériques Terminale S Suites numériques Raisonnement par récurrence. Introduction En Mathématiques, un certain nombre de propriétés dépendent d un entier naturel n. Par exemple, la n(n + ) somme des entiers naturels

Plus en détail

Continuité des fonctions réelles

Continuité des fonctions réelles Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles 2.1 Généralités Définition 2.1.1. Une fonction réelle f est une application d une partie D de R dans R. La partie D est appelée ensemble (ou domaine) de définition

Plus en détail

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques

UFR Mathématiques Année CAPES. Suites numériques Université de Rennes 1 Ronan Quarez UFR Mathématiques Année 2008-2009 CAPES 1 Critère de Cauchy 1.1 QCM Suites numériques a) Toute suite de Cauchy, d entiers relatifs, converge dans Z? b) Toute suite de

Plus en détail

u k S n = u n Déterminer la nature d une série signifie qu il faut déterminer si la série est convergente ou divergente. u k =

u k S n = u n Déterminer la nature d une série signifie qu il faut déterminer si la série est convergente ou divergente. u k = Analyse : Chapitre 4 I Généralités sur les séries Définitions Séries numériques Définition Soit u une suite réelle. On appelle série de terme général u n, et on note u n, la suite (S n ) n N définie par

Plus en détail

Fiche de cours 2 - Suites de réels.

Fiche de cours 2 - Suites de réels. Licence de Sciences et Technologies EM1 - Analyse Fiche de cours - Suites de réels. Généralités sur les suites. Définition : Une suite est une fonction u : N R, définie à partir dun certain rang au moins.

Plus en détail

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches.

F 3 Reproduire cet arbre et placer les probabilités F 2 sur les branches. Sujet Centres Étrangers 203 EXERCICE. [6 pts] Lois continues Un industriel fabrique des vannes électroniques destinées à des circuits hydrauliques. Les quatre parties A, B, C, D sont indépendantes. Partie

Plus en détail

Pour remettre un peu d ordre dans R

Pour remettre un peu d ordre dans R Arnaud de Saint Julien - MPSI Lycée La Merci 016-017 1 1 Relation d ordre sur R 1.1 Vocabulaire Pour remettre un peu d ordre dans R Sur R, on dispose de la relation de comparaison. On dit que c est une

Plus en détail

Corrigé du Concours Blanc

Corrigé du Concours Blanc Corrigé du Concours Blanc Exercice : On considère la fonction f définie par : f(x = x + 2 2 ln(e x + et on note (C la courbe représentative de f dans un repère orthonorrnal.. Etude de la fonction f. a.

Plus en détail

N K, n 0 < n 1 < n 2 <

N K, n 0 < n 1 < n 2 < Chapitre 1 Suites réelles et complexes Dans ce chapitre, K désigne le corps R des nombres réels, ou le corps C des nombres complexes. Pour x K, nous noterons x le module de x (égal à la valeur absolue

Plus en détail

TERMINALE S Chapitre 1 : Les suites

TERMINALE S Chapitre 1 : Les suites Généralités 1. Mode de génération ( ) ( ) La La ( ) définie par ( ) définie par 2. Monotonie REMARQUE5 Si une suite ( ) est définie de maniére explicite telle que ( ) suivent celles de f =f(n) pour tout

Plus en détail

Quelques notions vues au collège et en seconde

Quelques notions vues au collège et en seconde IUT Orsay Mesures Physiques Cours du 1 er semestre Quelques notions vues au collège et en seconde (complément destiné au travail personnel : non traité en amphi) A. Résumé simplifié sur la zoologie des

Plus en détail

Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés

Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Suites Raisonnement par récurrence Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l exercice pour un accès direct) Exercice 1 : expression du terme général d une suite Exercice 2 : majoration

Plus en détail

ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N

ETUDE des SUITES RECURRENTES. 1 Intervalle stable par f - Existence et encadrement des termes de (u n ) n N Lycée Dominique Villars ECE COURS ETUDE des SUITES RECURRENTES On appelle suite récurrente toute suite (u n ) n N telle qu il existe une fonction réelle f : I R telle que : n N, u n+ = f(u n ) On va voir

Plus en détail

Des démonstrations en analyse

Des démonstrations en analyse Préparation au CAPES (IUFM/ULP) Nicole Bopp Strasbourg, novembre 007 Des démonstrations en analyse 1. Caractérisations équivalentes du fait que R est complet L une des trois propriétés ci-dessous est admise

Plus en détail

Examen de mathématiques 1 Septembre Corrigé de l examen et remarques

Examen de mathématiques 1 Septembre Corrigé de l examen et remarques Université Pierre et Marie Curie DEUG MIAS 1 Examen de mathématiques 1 Septembre 00 Corrigé de l examen et remarques Questions de cours On trouvera bien sûr la réponse et des détails dans le cours, mais

Plus en détail

Les nouveaux programmes de terminales S conseillent d introduire la fonction exponentielle avant la fonction logarithme.

Les nouveaux programmes de terminales S conseillent d introduire la fonction exponentielle avant la fonction logarithme. Introduction ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE y = y & FONCTION EXPONENTIELLE Les nouveaurogrammes de terminales S conseillent d introduire la fonction exponentielle avant la fonction logarithme. Nous allons montrer

Plus en détail

DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire.

DS 9 Correction EXERCICE Etude d'une fonction auxiliaire. DS 9 Correction EXERCICE On considère la fonction déterminée sur 0, par : ln On se propose dans cet exercice d'étudier la fonction et de la représenter relativement à un repère orthonormal,,, l'unité choisie

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Liban 31 mai 2016

Corrigé du baccalauréat S Liban 31 mai 2016 Corrigé du baccalauréat S Liban 3 mai 6 Exercice points Commun à tous les candidats A. P. M. E. P.. a) Le triangle AI E est rectangle en I. Par le théorème de Pythagore, on en déduit E I = AE AI. D autre

Plus en détail

Polynômes et fractions rationnelles

Polynômes et fractions rationnelles Polynômes et fractions rationnelles Exercice 1. Factoriser dans [ ] et dans [ ] le polynôme Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Soit Factoriser dans [ ], puis dans [ ] et enfin dans [ ] Allez à

Plus en détail

Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths. Chapitre 3. Suites numériques

Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths. Chapitre 3. Suites numériques Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Maths Chapitre 3 Suites numériques p. 2 Remarque importante. Ce cours n est pas indépendant du cours de Mathématiques pour tous. Ce document

Plus en détail

Fonctions logarithmes

Fonctions logarithmes La fonction logarithme népérien. Définition et propriétés Fonctions logarithmes La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R. Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires

Plus en détail

SUITE. Il existe deux grands moyens de dénir une suite : 2. Représentation graphique,variation, suite majorée, minorée

SUITE. Il existe deux grands moyens de dénir une suite : 2. Représentation graphique,variation, suite majorée, minorée SUITE I ) Rappels et dénition 1. N est l'ensemble des entiers naturels : 0,1,2... Une suite numérique est une fonction de N (ou une partie de N) dans R u : N R n u n Exemple : suite de Fibonnacci : 1,

Plus en détail

Type bac janvier Corrigé

Type bac janvier Corrigé Exercice (Métropole 24) Commun à tous les élèves Type bac janvier 27 - Corrigé Partie A ) L image de par la fonction f est : f () +e. Le point d abscisse sur la courbe C, représentative de la fonction

Plus en détail

Convergence des suites

Convergence des suites Convergence des suites Cours maths Terminale S Dans ce module consacré à l étude de la convergence d une suite, on commence par redéfinir rigoureusement la notion de limite finie d une suite. Ensuite,

Plus en détail

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION

TS - Maths - D.S.3 - CORRECTION TS - Maths - DS3 - CORRECTION Samedi 4 Novembre 20-2h Exercice Les parties A et B sont indépendantes Un site internet propose des jeux en ligne On donnera une valeur approchée à 0 2 près des résultats

Plus en détail

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme.

Une condition nécessaire de convergence Considérons une série de terme général. Supposons cette série convergente. Soit sa somme. Séries numériques I) Définitions - Notions essentielles.) Séries numériques Définition Soit une suite numérique. On appelle série de terme général la suite dont les termes successifs sont : ₀ ₀ ₁ ₀ ₁ ₂

Plus en détail

Devoir Surveillé /Evaluation

Devoir Surveillé /Evaluation Lycée Pierre-Gilles de Gennes BCPST Mathématiques 4-5 Devoir Surveillé /Evaluation Le 4 septembre 4 Documents écrits, électroniques, calculatrices et téléphones portables interdits La plus grande attention

Plus en détail

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003

MPSI 2 : DL 03. pour le 12 décembre 2003 MPSI : DL 03 pour le décembre 003 Problème L objet du problème est de calculer eplicitement la limite de la suite des moyennes arithmétiques-géométriques pour certaines valeurs initiales. On considère

Plus en détail

Sujets de bac : Intégration

Sujets de bac : Intégration Sujets de bac : Intégration Sujet n 1 : Liban juin 2006 Partie A : étude d une fonction Soit la fonction définie sur l intervalle 0; par ln 1 Sa courbe représentative dans un repère orthogonal ; ; est

Plus en détail

TD 3 Analyse (Bolzano-Weierstrass, fonctions numériques, point fixe, Newton)

TD 3 Analyse (Bolzano-Weierstrass, fonctions numériques, point fixe, Newton) Centre Condorcet 1 TD 3 Analyse (Bolzano-Weierstrass, fonctions numériques, point fixe, Newton) Divers exercice 1 Soit a ]0, 1[ fixé. Il s agit de trouver toutes les applications f : IR IR continues en

Plus en détail

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis

Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis Limite, continuité, théorème des valeurs intermédiaires, dérivabilité, théorèmes de Rolle et des accroissements finis I Limites Continuités Exercice 1 : Soit ] [ la fonction définie par : Déterminer les

Plus en détail

Exercices : Fonctions continues

Exercices : Fonctions continues Eercices : Fonctions continues Eercice 1 Sur quels ensembles les fonctions suivantes sont elles continues? sin() si 0 1) f : 2) f : E() 2 si = 0 3) f : sin(π)e() 4) f : sin() sin( 1 ) si 0 0 si = 0 Eercice

Plus en détail

Des outils pour les suites

Des outils pour les suites Des outils pour les suites Suites arithmético-géométriques Définition : ppelle suite arithmético-géométrique toute suite récurrente de la forme : où a et b sont des nombres réels. Quelques cas particuliers

Plus en détail

LES SUITES 3. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Représentation graphique (n ;u n ) 4

LES SUITES 3. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Représentation graphique (n ;u n ) 4 LES SUITES 3 I Généralités 3 1.1 Définitions 3 Exemple : 3 1. Différentes façons de définir une suite 3 a ) Par une formule explicite 3 3 3 b ) Par récurrence 4 ex 4 II Utilisation de la calculatrice Représentation

Plus en détail

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0

a) ln(x + 1) ln(2 x) = 0 b) ln(x + 1) ln(2 x) 0 c) ln x + ln(3x + 2) > 0 Savoir calculer avec des logarithmes Simplifier les expressions suivantes : Fonction logarithme : Exercices Corrigés en vidéo avec le cours sur jaicompris.com a) ln 6 ln 2 b) ln e 2 c) ln 1 e x d) e ln

Plus en détail

Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay

Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay Math 104 ANALYSE (première partie) Université Paris Sud Orsay 2015 2016 Notes de cours de José Montesinos préparées à partir du précédent Polycopié de Math 104 de Thierry Ramond Table des matières 1 La

Plus en détail

Mathématiques 11ème Sciences Production de Mathematikos Votre Ticket pour l Excellence en Maths. Exemple. Exemple

Mathématiques 11ème Sciences Production de Mathematikos Votre Ticket pour l Excellence en Maths. Exemple. Exemple Classe : 11 ème Sciences CHAPITRE 5 SUITES NUMÉRIQUES Domaine : Sciences, Mathématiques et Technologies Compétences : Résoudre une situation problème Composantes : Diagnostiquer la situation problème,

Plus en détail

Nombres réels. Exercice 3 : Déterminer les ensembles suivants, mettre ces ensemble sous la forme d un intervalle de R ou une réunion d intervalles.

Nombres réels. Exercice 3 : Déterminer les ensembles suivants, mettre ces ensemble sous la forme d un intervalle de R ou une réunion d intervalles. Nombres réels Exercice 1 : Si a et b sont des réels positifs ou nuls, montrer que Allez à : Correction exercice 1 : a + b a + b Exercice : Montrer que pour tous réels a et b strictement positifs 1 a +

Plus en détail

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot

DÉRIVABILITÉ. 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée. 1.1 Définitions et premières propriétés. Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot DÉRIVABILITÉ 1 Dérivabilité en un point, fonction dérivée 1.1 Définitions et premières propriétés Définition 1.1 Dérivabilité en un point Soient f : I R une application et a I. On dit que f est dérivable

Plus en détail

2(xex ) = 2 0 = 0 ( croissances comparées ) x x lim. f 3

2(xex ) = 2 0 = 0 ( croissances comparées ) x x lim. f 3 Corrigé - Baccalauréat blanc TS - 03 EX : (4poi nt s Commun à tous les candidats ( 6 points Partie A - Étude d une fonction. On considère la fonction f définie sur R par f (x = (x + e x.. Déterminer la

Plus en détail

Les séries numériques

Les séries numériques Les séries numériques Généralités. Séries à termes réels ou complexes.. Notion de série numérique Étant donnée une suite (u n ) n n0 de nombres réels ou complexes, on appelle série des u n et on note u

Plus en détail

Cours d Analyse I : les réels et les fonctions

Cours d Analyse I : les réels et les fonctions Introduction à R Suites numériques Cours d Analyse I : les réels et les fonctions Université Lyon 1 Institut Camille Jordan CNRS UMR 5208 FRANCE Automne 2014 - Licence L1 Introduction à R Suites numériques

Plus en détail

Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2008

Corrigé du baccalauréat S Asie 18 juin 2008 Corrigé du baccalauréat S Asie 8 juin 28 www.mathoman.com Exercice Commun à tous les candidats A - Vrai ou faux? Dans l espace soient P, P 2 et P 3 trois plans distincts et D une droite. ) Si P P 2 et

Plus en détail

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites

Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Chapitre 12 : Étude locale des fonctions : limites Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R, x 0 R, f est une fonction définie sur son domaine de définition D f à valeurs réelles. C f désigne

Plus en détail

Autour du nombre d'or

Autour du nombre d'or Autour du nombre d'or Alain Niveau : Approfondir la Terminale S Diculté : Intermédiaire / Dicile Durée : plus d'une heure Rubriques) : Analyse Suites - Trinôme - Étude de fonctions) La petite histoire

Plus en détail

Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS. 2 1 n. n ) n

Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS. 2 1 n. n ) n Correction du Contrôle commun de Mathématiques - Sujet A - TS Exercice 5 points. n N, u n = n n( n + = n ) n( + = n ) n + n Or par somme, on a lim n = et lim + n =. Ainsi par quotient, lim u n = réponse

Plus en détail

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005

DENOMBRABILITE. P. Pansu 14 mai 2005 DENOMBRABILITE P. Pansu 14 mai 2005 1 Motivation Il y a t il plus de réels dans ]1, + [ ou dans l intervalle ]0, 1[? Oui, bien sûr. Des droites passant par l origine dans le plan, il y en a-t-il autant

Plus en détail

Logique, ensembles, raisonnements

Logique, ensembles, raisonnements Bibliothèque d exercices Énoncés L1 Feuille n Logique, ensembles, raisonnements 1 Logique Exercice 1 Soient les quatre assertions suivantes : (a) x R y R x + y > 0 ; (b) x R y R x + y > 0 ; (c) x R y R

Plus en détail

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2

Université Denis Diderot Paris 7 ( ) Devoir maison 2 Université Denis Diderot Paris 7 (03-04) Maths, Agro & Véto Devoir maison Exercice [Sujet Analyse 03] Soit la fonction d une variable réelle f définie sur D = [0,+ [ par f(x) = xe x +x. On appelle Cf la

Plus en détail

UNIVERSITÉ DE PARIS 8. Département de Mathématiques et Informatique. Cours d analyse

UNIVERSITÉ DE PARIS 8. Département de Mathématiques et Informatique. Cours d analyse UNIVERSITÉ DE PARIS 8 Département de Mathématiques et Informatique Cours d analyse Pierre-Louis CAYREL inspiré par les documents de : Guy Laffaille, Christian Pauly et Arnaud Bodin Cours Intensif 009-010

Plus en détail