et f(x) = Interprétation graphique : Une fonction est continue sur un intervalle, si on peut la dessiner d un seul trait sans lever le crayon.

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1 Continuité 1 Généralités 1.1 Continuité en un point Soit f une fonction d une variale réelle définie sur un intervalle I et x 0 I. En particulier, f est définie en x 0. Définition (Rappel) 1. Onditquef estcontinueenx 0 I sif admetunelimitefinieenx 0,cettelimiteétantnécessairement égale à f(x 0 ) : autrement dit si lim f(x) = f(x 0 ) x x 0. On dit que f est continue à gauche (resp. à droite) si lim f(x) = f(x 0 ) (resp. lim f(x) = f(x 0 )) x x 0 x x 0 < > Propriété : Soit x 0 un point intérieur à I. f est continue en x 0 ssi f est continue à droite et à gauche en x 0. e 1/x si x > 0 Exemple : Soit la fonction f(x) =. f est-elle continue au point 0? f(0) = 0 et lim x < 0 0 si x 0 f(x) = lim0 = 0 = f(0) donc f est continue à gauche en 0. 0 Puis limf(x) = lim x > 0 x 0 e 1/x = 0 = f(0) car 1/x x > 0 > conséquent f est continue en 0. x si x < 0 Autres exemples : f(x) = 1 si x = 0 e x si x > 0 1. Continuité sur un intervalle + ; donc f est continue à droite en 0, et par et f(x) = e 1 x si x 0 0 si x = 0 Définition On dit que f est continue sur un intervalle I si elle est continue en tout point de I. L ensemle des fonctions continues sur I est noté C(I) ou C 0 (I). Interprétation graphique : Une fonction est continue sur un intervalle, si on peut la dessiner d un seul trait sans lever le crayon. Exemples de références : Ces exemples peuvent être utilisés comme résultats de cours (donc sans démonstration). 1. Les fonctions x x n sont continues sur R pour tout n N donc toute fonction polynôme est continue sur R. Les fonctions x x n sont continues sur R et sur R + pour tout n N. Donc toute fraction rationnelle (= quotient de polynômes) est continue sur son ensemle de définition.. La fonction x lnx est continue sur R +et la fonction x e x est continue sur R. 3. La fonction x x est continue sur R La fonction valeur asolue x x est continue sur R. 5. Les fonctions cos, sin sont continues sur R. La fonction tan est continue sur R\ π +kπ,k Z}. Toutes les fonctions usuelles (hors partie entière) sont donc continues là où elles sont définies. 1.3 Opérations sur les fonctions continues Proposition Opérations algériques Soient f,g deux fonctions continues en x 0 (resp. sur I) et λ un nomre réel. Alors 1. f +g, λf et f g sont continues en x 0 (resp. sur I). 1

2 . Si en outre g ne s annule pas sur I, alors f g est continue en x 0 (resp. sur I). Proposition Composition Soient f une fonction continue en x 0 (resp. sur I) et g une fonction continue en f(x 0 ) (resp. sur un intervalle J contenant f(i)) alors g f est continue en x 0 (resp. sur I). Intérêt de ces propositions : se ramener à la continuité des fonctions usuelles. Exemples : 1. La fonction x xe x est continue sur R comme produit de deux fonctions usuelles continues sur R. Lafonctionx lnx x estcontinuesurr + commequotientdefonctionscontinuesdontledénominateur ne s annule pas.. Montrons que la fonction x f 3x 1 est continue sur [1;5]. On décompose f sous la forme f = h g avec g(x) = 3x 1 et h(x) = x. La fonction polynôme g est continue sur [1;5], g([1;5]) = [,14] R + et h est continue sur R + donc par composition, f est continue sur [1; 5]. ( 1+x 1) 3. Montrer que la fonction f(x) = x si x > 0 est continue sur R. 1+x si x 0 Etude sur ]0,+ [ : f est continue comme quotient de fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas. Etude sur ],0] : f est une fonction polynomiale donc continue. Prolème en 0 : on a déjà que f est continue à gauche. Il reste à vérifier la continuité à droite. Or d après le cours sur les limites, ( 1+x 1) x Conclusion : f est continue sur R. 1.4 Continuité et suites 1 x > 0 = 1 = f(0). Donc f est ien continue en 0. Proposition Si la suite (u n ) n N converge vers l R et si f est continue en l alors la suite (f(u n )) n N converge vers f(l). 1.5 Fonctions continues par morceaux Théorème prolongement par continuité Soit f une fonction définie sur I\x 0 }, non définie en x 0. Si f admet une limite finie l R en x 0 alors la fonction f définie par f(x) f(x) si x I\x0 } = l si x = x 0 est continue en x 0. C est le prolongement par continuité de f en x 0. Si de plus f est continue sur I\x 0 }, alors la fonction prolongée f est définie et continue sur I tout entier. Remarque : il est fréquent que l on appelle encore f la fonction prolongée (on confond f et f). Définition fonctions continues par morceaux On dit qu une fonction f est continue par morceaux sur [a;] si f est continue sur [a;] sauf peut-être en un nomre fini de points en lesquels elle possède des limites finies à gauche et droite. Autrement dit, s il existe une sudivision a 0 = a < a 1 <... < a n = telle que les restrictions de f à chaque intervalle ouvert ]a i,a i+1 [ admettent un prolongement continu à l intervalle fermé [a i,a i+1 ]. Exemple : La fonction partie entière est continue par morceaux sur [0,10] : elle est même constante par morceaux. La sudivision est alors de pas 1 : a 0 = 0, a 1 = 1,..., a 10 = 10. Pour tout x ]a i,a i+1 [, x = i, fonction qui se prolonge en a i et en a i+1 avec la valeur i.

3 Propriété des fonctions continues sur un intervalle.1 Théorème des valeurs intermédiaires Théorème L image d un intervalle par une fonction continue est un intervalle. Autrement dit, 1. Si f est continue sur [a;] alors f prend (au moins) toutes les valeurs comprises entre f(a) et f() : y [f(a);f()] (ou y [f();f(a)]), il existe x [a;] tel que f(x) = y. f() y f(a) a x. Si f est continue sur ]a,[ alors : y ]lim f(x),lim f(x)[ (ou y ]limf(x), lim f(x)[), x > a x a > il existe x ]a,[ tel que f(x) = y. Corollaire Soit f une fonction continue sur [a,]. Si f(a)f() 0, alors il existe c [a,] tel que f(c) = 0. Ce théorème permet donc d otenir l existence de solutions d équation du type f(x) = 0. Attention : il n y a pas forcément unicité de la solution! Car la seule hypothèse est la continuité (pas de stricte monotonie). Preuve du corollaire : construire deux suites adjacentes par dichotomie. Applications du TVI : 1. Que peut-on dire d une fonction continue qui ne s annule pas?. Soit f une fonction qui change de signe, mais qui n est pas forcément continue. Peut-on en conclure que f s annule? 3. soit f une fonction continue sur [0,1] et à valeurs dans [0,1]. Montrer que l équation f(x) = x admet au moins une solution (i.e. que la coure C f coupe au moins une fois la première issectrice). Introduire g(x) = f(x) x. g est continue sur [0,1] comme différence de deux fonctions continues. De plus, g(0) = f(0) [0,1] donc g(0) 0. Puis, g(1) = f(1) 1 0 car f(1) [0,1]. Donc g(0)g(1) 0 et par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe au moins un point x 0 [0,1] tel que g(x 0 ) = 0 autrement dit tel que f(x 0 ) = x 0. Remarques sur l intervalle image : 1. Considérons la fonction f : x x continue sur R. Alors f(] 1,]) = [0,4] : l image de l intervalle ] 1,] par f continue est ien un intervalle, mais il n est pas de même nature. (l un est fermé, l autre est semi-ouvert).. Considérons la fonction g : x 1 x continue sur ]0,1], intervalle orné. On trouve g(]0,1]) = [1,+ [ intervalle non orné, qui de plus n est pas ouvert du même côté! Donc l intervalle image n a pas nécessairement les mêmes propriétés que l intervalle de départ. Attention! Il n y a qu une seule méthode pour connaître l intervalle image : l étude des variations puis la lecture du taleau de variations. 3

4 . Extrema d une fonction continue sur un segment Théorème Si f est continue sur un segment [a,], alors f est ornée sur [a,] et atteint ses ornes. Autrement dit, f possède sur [a,] un maximum M et un minimum m : il existe deux points α et β de [a,] tels que M = maxf = f(β) et m = min f = f(α) [a,] [a,] Alors f([a,]) est aussi un segment : f([a,]) = [m,m] M m a Conséquence : l image d un segment par une fonction continue est un segment. Démonstration Théorème que je décide d admettre Complément sur la remarque précédente : Il n y a que dans le cas d un intervalle fermé orné, que l intervalle image est toujours de même nature que l intervalle de départ. Attention : Ne pas confondre f([a,]) et [f(a),f()] différents en général (même si ces intervalles sont tous les deux fermés) Contre-exemple : soit f : x x continue sur R. f([ 1,]) = [0,4] pourtant [f( 1),f()] = [1,4] donc f([ 1,]) [f( 1),f()]. Deux cas particuliers cependant dans le cas d une fonction continue : 1. si f est croissante sur [a,] alors M = f() et m = f(a) donc f([a,]) = [f(a),f()]. si f est décroissante sur [a,] alors M = f(a) et m = f() donc f([a,]) = [f(),f(a)] 3 Théorème de la ijection 3.1 Théorème D après le théorème des valeurs intermédiaires, lorsque f est continue sur l intervalle I, f est une surjection de I sur f(i). De plus, lorsque f est strictement monotone sur l intervalle I, f est une injection de I dans R. On en déduit : Théorème de la ijection Soit f une fonction continue et strictement monotone sur I. Alors 1. f réalise une ijection de I sur f(i).. L intervalle f(i) est de même nature que I (c est-à-dire ouvert, fermé ou semi-ouvert comme I) et ses ornes sont les limites de f aux ornes de I. 3. f 1 est continue sur f(i), strictement monotone et sa monotonie est celle de f. Exemple La fonction x lnx est continue et strictement croissante sur R + donc elle réalise une ijection de R + sur ln(r + ). Pour déterminer ln(r + ), on calcule lim = et lim lnx = + ; x 0 +lnx x + l intervalle ln(r + ) étant ouvert (comme R + ) on otient ln(r + ) =] ;+ [= R. On note x e x sa ijection réciproque. Elle est donc continue et strictement croissante sur R et réalise une ijection de R sur R +! Remarque Si f est ijective de I sur f(i), le graphe de f 1 dans un repère orthonormé s otient à partir de celui de f par symétrie par rapport à la première issectrice (droite d équation y = x). En effet cette 4

5 symétrie transforme tout point (a,) en le point (,a) donc transforme tout point (x,f(x)) en le point (f(x),x). y=x x_0 y_0=f(x_0) f(x) y_0 x_0 3. Fonction arctangente La fonction tangente est continue et strictement croissante sur ] π, π [. D après le théorème précédent, la fonction tangente réalise une ijection de ] π, π [ sur ] lim tan(x), lim tan(x)[= R. Sa fonction x π x π réciproque est appelée fonction arctangente et est notée arctan : R ] π, π [. Elle est continue et strictement croissante sur R. Elle admet une asymptote horizontale d équation y = π en et une asymptote horizontale d équation y = π en +. Remarque : On peut montrer que la fonction arctan est impaire comme la fonction tan. Le taleau des valeurs remarquales pour la fonction tangente donne celui pour la fonction arctangente: en effet x ] π, π [, y R, tan(x) = y arctan(y) = x. D où x 0 1/ arctan(x) 0 π/6 π/4 π/3 x ] π, π [, arctan(tan(x))=x et x R, tan(arctan(x))=x. 3.3 Application à l étude des suites implicites Exercice : On pose pour tout n N, et tout x R, f n (x) = x 5 +nx Montrer que pour tout n N, il existe un unique réel u n tel que f n (u n ) = 0. Que vaut u 0?. Montrer que pour tout n N, 0 u n 1 n. Qu en déduit-on? 3. Montrer alors que lim nu n = 1 (on pourra s aider de la définition de u n ) n + 5