Anneaux et corps. 1. Généralités. Définition. Remarques. Exemples. Chapitre 2

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1 Chpitre 2 Anneux et corps 1. Générlités Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne S et z. On dit que (A,S,z) est un nneu si et seulement si : i ) (A,S) est un groupe bélien. ii ) (A,z) est un monoïde. iii ) L loi z est distributive pr rpport à l loi S. c'est-à-dire distributive à guche: x,y,z A, x z ( y S z) (x zy) S (x zz) et distributive à droite: x,y,z A, (y S z) zx (y zx) S (z zx). Remrques Un nneu n'est jmis vide. Si l loi est commuttive l distributivité à guche entrîne l distributivité à droite et réciproquement. Une utre fçon d'énoncer l propriété iii) est de dire que, pour tout de A, les pplictions d : (A,S) (A,S) et g : (A,S) (A,S) sont des endomorphismes de groupes. t t t t Il existe une utre définition des nneux vec ii' ) u lieu de ii ) : ii' ) (A, ) est un mgm ssocitif. Générlement l loi donnnt l structure de groupe est notée dditivement et l'utre est notée multiplictivement. Lorsqu'il n'y ps d'mbiguïté, on dit que A est un nneu sns en préciser les lois. (,+, ) où et sont l'ddition usuelle et l multipliction usuelle. (D,+, ) où et sont l'ddition usuelle et l multipliction usuelle. ({,1},+, ) où et sont les lois définis pr les tbleux suivnts : ({},+, ) où et sont l'ddition usuelle et l multipliction usuelle. Cet nneu est ppelé un nneu nul. Soit E fonctions numériques définies sur (E,+, ) où et sont les lois usuelles : f g : et f g : x f (x) g(x) x f (x) g(x) 1 1 Frncis Wlzinski 1

2 Nottion Soit (A,+, ) un nneu. On note générlement ou A l'élément neutre de (A,+) et 1 ou 1 A l'élément neutre de (A, ). On prler d'opposé pour le symétrique d'un élément pour l loi +. On note A* A \ { A }. Exemple Dns (M 3 (),+, ), on : 1 1 I et Rppels Soient (A 1,+ 1, 1 ) et (A 2,+ 2, 2 ) deux nneux. On définit une loi + sur A 1 A 2 pr (x,y) + (x',y') = (x + 1 x',y + 2 y') (x,y),(x',y') A 1 A 2. On définit une loi sur A 1 A 2 pr (x,y) (x',y') = (x 1 x',y 2 y') (x,y),(x',y') A 1 A 2. Ces lois sont ppelés lois produits usuelles des lois de A 1 et A 2. On étend ces définitions à un produit (fini) de plus de deux ensembles. Soit (A i ) i1,n une fmille d'nneux. L'ensemble produit n A i muni des lois produits usuelles est un nneu. i=1 Un nneu (A,+, ) est dit commuttif si et seulement si l loi et commuttive. Les précédents exemples d'nneux sont des nneux commuttifs. Soit (G,+) un groupe bélien. Soit End(G) endomorphismes de G et o étnt l'ddition et l composition usuelle des fonctions. (End(G),+,o) est un nneu qui n'est générlement ps commuttif. Si n 2, lors (M n (),+, ) n'est ps non plus commuttif. Soient (A,+, ) un nneu et x un élément de A. On ppelle centrlisteur de x dns A l'ensemble des éléments de A qui commutent vec x pour l loi. On ppelle centre de A l'ensemble des éléments de A qui commutent vec tous les utres. Remrque Le centre d'un nneu A n'est jmis vide puisqu'il contient 1 A. Frncis Wlzinski 2

3 s Soit (A,+, ) un nneu.. x A, x x. b. x,y A ( x) y x ( y) (x y). c. x,y A ( x) ( y) x y. Remrques n' de symétrique pour l loi que si 1. Les propriétés b. et c. sont ppelées "l règle des signes".. x A, x ( ) x x x. Donc x. Idem pour l'utre églité. b. x,y A y y (x ( x))y x y ( x) y Donc ( x) y est le symétrique de x y. x x x (y ( y)) x y x ( y) Donc x ( y) est ussi le symétrique de x y. c. x,y A ( x) ( y) (x ( y)) ( x y) x y Remrque importnte Soit (A,+, ) un nneu. Si l'élément neutre de l multipliction est le même que celui de l'ddition c'est-à-dire 1 lors x A, x1.x.x. Autrement dit, A est un nneu réduit à un seul élément. Un tel nneu ser ppelé un nneu nul. Les utres nneux seront dits unifères. Remrque Il existe une utre définition pour unifère lorsque l'on considéré ii' ) pour l définition des nneux. Dns ce cs un nneu unifère est un nneu (simple) comme nous le considérons. Soient et b deux éléments permutbles d'un nneu unifère A. Soit n un entier non nul. Alors, on l formule du binôme : n(n 1) n(n 1) ( + b ) n = n + n n 1 b + n 2 b b n 2 + nb n 1 + b 2 2 n = n + n 1 2 b + n 2 b 2 n (n 2) b n 2 n (n 1) C + b n 1 + b n n C n C n C n n = C nk n k b k où C nk = n!. k!(n k)! k= Frncis Wlzinski 3

4 Remrque k On peut trouver les C n grâce u tringle de Pscl suivnt : etc... L entier n correspond à l'indice de ligne et l'entier k à l indice de colonne. k 1 k Qui provient de l formule C nk = C n 1 + C n 1. k 1 k (n 1)! C n 1 + C n 1 = (k 1)!(n 1 (k 1))! + (n 1)! (k)!(n 1 k)! (n 1)! = (k 1)!(n k)! + (n 1)! (k)!(n 1 k)! = ( n 1)!%k (k)!(n k)! + ( n 1)!%(n k) Exemple = ( n 1)!%(k + n k) (k)!(n k)! (k)!(n k)! = n!. k!(n k)! = C n k ( + b) 5 = b b b 3 + 5b 4 + b 5. Pr récurrence : Vri u rngs 1 et 2. On suppose vri u rng n ( + b ) n+1 = ( + b )( + b ) n Corollire = ( + b )( n 1 + n 1 2 b + n 2 b 2 n (n 2) b n 2 n (n 1) C + b n 1 + b n n C n C n C n C n C n ) = n n 2 b + n 1 b 2 n (n 2) b n 2 n (n 1) C + 2 b n 1 + b n n C n C n C n C n C n + n 1 b + n 1 b n 2 b 2 n (n 2) b n 1 n (n 1) C + b n + b n+1 n C n C n C n C n C n = n+1 + n b + n 1 b 2 n+1 (n 2) b n 2 n+1 (n 1) + 2 b n b n + C b n+1 n. 1 2 C n+1 C n+1 C n+1 C n+1 Dns un nneu commuttif unifère l formule du binôme de Newton reste vlble. Soit (A,+, ) un nneu unifère. On dit qu'un élément est inversible si et seulement si il dmet un symétrique pr rpport à l loi c'est-à-dire x A et x inversible x A x x x x 1. On note u(a) l'ensemble des éléments inversibles de A (qui sont ppelés ussi des unités). Remrques x est noté x 1. Pour tout nneu unifère A, on u(a) A*. Frncis Wlzinski 4 C n+1 C n+1

5 u() { 1;1} et u() *. (E,+, ) où E fonctions numériques définies sur }, et sont l'ddition et l multipliction usuelles des fonctions. On u(e) fonctions numériques qui ne s'nnulent ps sur. (End(G),+,o) où (G,+) est un groupe et o sont l'ddition et l composition usuelles des fonctions. u(end(g)) Aut(G) {utomorphismes de G}. u([x]) = *. En effet, dns [X], deg (PQ) = deg (P) + deg (Q) Soit (A,+, ) un nneu unifère. L'ensemble u(a) des unités est un groupe pour l loi de A (loi induite). Stbilité : évident x,yu(a), x y (y 1 x 1 ) 1 Associtivité : évident (A, ) est un monoïde Elément neutre : évident Symétrique : évident pr définition de u(a) Exemple (,+, ) est un nneu dont les éléments inversibles sont les réels non nuls donc (*, ) est un groupe. (,+, ) est un nneu dont les éléments inversibles sont 1 et 1 donc ({ 1;1}, ) est un groupe. On dit qu'un élément d'un nneu A est nilpotent d'ordre k (entier non nul) lorsque k 1 A et k = A. On dit qu'un élément d'un nneu A est nilpotent s'il existe un entier k tel que soit nilpotent d'ordre k. On note n(a) l'ensemble des éléments nilpotents d'un nneu A. Remrque Pr convention 1 et est nilpotent d'ordre 1. Soit (A,+, ) un nneu commuttif unifère. Alors (n(a),+) est un groupe. Il suffit de montrer que n(a) est un sous-groupe de (A,+). n(a) cr n(a). xn(a), k / x k = A. D'où (x) k = (1) k (x k ) = (1) k A A. Soient x et y deux éléments nilpotents d'ordres respectifs r et s. r+s 1 C r+s 1 k= On ( x + y ) r+s 1 k = x r+s 1 k y k. Si k s 1, lors r + s 1 k r et donc x r+s 1 k =. Si k s, lors y k =. Frncis Wlzinski 5

6 L somme d'un élément inversible et d'un élément nilpotent d'un nneu commuttif unifère est inversible. Soit u un élément inversible. Soit un élément nilpotent d'ordre r d'un nneu commuttif unifère. Si u = 1, lors, puisque est ussi nilpotent d'ordre r, on : 1 = 1 ( ) r = (1 ( )) (1 + ( ) + ( ) ( ) r 1 ) = (1 + ) ( ( ) r 1 ) C'est-à-dire 1 + = u + inversible. Si u 1, lors soit ũ l'inverse de u. On u + = u (1 + ũ). Or ũ est nilpotent d'ordre r. D'près l première prtie de l preuve 1 + ũ est inversible. Et enfin, le produit de deux inversibles est inversible. Soit (A,+, ) un nneu unifère. Soient,b A*. Si b, on dit que est un diviseur de zéro à guche et que b est un diviseur de zéro à droite. Plus simplement, et b sont des diviseurs de zéro. (E,+, ) où E fonctions numériques définies sur }, et sont l'ddition et l multipliction usuelles des fonctions. Soient f et g les fonctions de E définies pr : f(x) si x g(x) 1 si x 1 sinon sinon On f g. Dns / 6, on 2%3 = Dns M 2 (), on =. 1 Un élément d'un nneu qui est nilpotent d'ordre k > 1 est un diviseur de zéro. On dit qu'un nneu unifère (nneu non nul) est intègre ou est un nneu d'intégrité si et seulement si il ne possède ps de diviseur de zéro. (,+, ) est un nneu intègre. (,+, ) est un nneu intègre. ([X],+, ) est un nneu intègre. (/ 5,+, ) est un nneu intègre ( et étnt les lois quotients). De fçon générl, (/ p,+, ) est un nneu intègre si et seulement si p est premier. Frncis Wlzinski 6

7 Remrques Un nneu A est intègre si et seulement si on l'impliction : (x,ya,) xy = x = ou y =. Dns un nneu intègre (A), tout élément non nul est simplifible. C'est-à-dire, x,y,za où x ; on xy = xz y = z et yx = zx y = z. De fçon plus générl, un élément d'un nneu est simplifible à guche (resp. à droite) si et seulement si ce n'est ps un diviseur de zéro à guche (resp. à droite). 2. Morphismes Soient (A,+, ) et (A',+, ) deux nneux. On ppelle morphisme d'nneux de A dns A' toute ppliction f (de A dns A') qui vérifie : x,y A, f (x y) f (x)f (y) et f (x y) f (x)f (y). f : (,+, ) (,+, ) z z g : ([X],+, ) (,+, ) P P() Remrque Un morphisme d'nneux est, fortiori, un morphisme de groupes pour les structures liées ux lois dditives. On, en prticulier, que, si f est un morphisme d'nneux de A vers A', lors f ( A ) A'. et, pour tout de A, f ( ) f (). Soit f un morphisme d'nneux de A dns A'. De fçon identique ux morphismes de groupes, on : Si f est bijectif, on dit que f est un isomorphisme. Si A' = A, on dit que f est un endomorphisme. Si f est bijectif et si A' = A, on dit que f est un utomorphisme. Remrques Si A et A' sont deux nneux, l'élément unité de A n'est ps nécessirement trnsformé en l'élément unité de A' pr un morphisme d'nneux de A vers A'. Pr exemple : f : A A' x f est bien un morphisme d'nneux et on f (1). Soient A et B deux nneux. On munit A B des lois produits usuelles. i : A A B x (x,) i est bien un morphisme d'nneux et on i(1) (1,). Frncis Wlzinski 7

8 Soient A et A' deux nneux et soit f un morphisme d'nneux de A dns A'. Si A et A' sont unifères et si f (1) 1, on dit que f est unitire. Remrque Soit f un morphisme d'nneux unitire de A dns A'. Puisque, x u(a), f (1 A ) f (x x 1 ) f (x 1 x) f (x)f (x 1 ) f (x 1 )f (x) = 1 A', on f (u(a)) u(b). De plus, l restriction de f à u(a) est un morphisme de groupes de (u(a),) dns (u(b),). Pour tout nneu commuttif unifère A, il existe un seul morphisme (d'nneux) unitire de dns A. Supposons qu'il existe un morphisme (d'nneux) unitire ϕ de dns A. On doit voir ϕ(1 ) = 1 A. Puisque, pour tout entier k =, k = , donc ϕ(k) = 1 A + 1 A A. Si k, k = ( k) = ( ), donc ϕ(k) = (1 A + 1 A A ). k fois k fois On retrouve (et pr l même on vérifie l'unicité) l'exemple fondmentle de morphismes de groupe entre et tout groupe. On vérifie (isément et/ou intuitivement) que p,q, ϕ(pq) = ϕ(p)ϕ(q). Soit (A i ) ii une fmille d'nneux unifères. Pour tout entier ji, l projection cnonique du produit k fois (muni des lois usuelles) sur A j est un morphisme d'nneu unitire. k fois A i ici 3. Sous-nneux Soit (A,+, ) un nneu. On dit qu'une prtie B de A est un sous-nneu de A si et seulement si : (i) (B,+) est un sous-groupe de A. (ii) B est stble pour l loi c'est-à-dire, x,y B, x yb. est un sous-nneu de (,+, ). 2 est un sous-nneu de (,+, ) Remrque : (2,+, ) n'est ps un nneu cr il n'y ps d'élément neutre pour l multipliction. fonctions numériques continues sur un intervlle I de est un sous-nneu de fonctions numériques définies sur un intervlle I de A et { A } sont des sous-nneux de l'nneu (A,+, ). Frncis Wlzinski 8

9 Remrques Soient (A,+, ) un nneu et B un sous-nneu de A. A unifère e/ B unifère. Pr exemple, { A } est un sous-nneu de tout nneu unifère. 2 est un sous-nneu de (,+, ) mis ne possède ps d'élément neutre pour l multipliction.. On dit qu'un sous-nneu B d'un nneu A est unitire s'il possède le même élément unité que A. Exemple est le seul sous-nneu unitire de (,+, ). Remrques Pour Bourbki et certins utres, il n'existe ps d'utre sous-nneu que ceux qui sont unitires et il n'existe ps d'utre morphisme que ceux qui sont unitires. Le centre d'un nneu A est un sous-nneu unitire de A. Trivil Un sous-nneu unitire d'un nneu est un nneu. Trivil Soit (A,+, ) un nneu. Soit (B i ) i I une fmille non vide de sous nneux (resp. sous nneux unitires) de A. Alors est un sous-nneu (resp. sous-nneu unitire) de A. 3 B i ici i I, B i est un sous-groupe de A donc est un sous-groupe de A. Stble pr multipliction x,y i I, xb i et yb i 3 ici 3 B i ici B i i I, xyb i xy3 B i ici ici, 1 A c I. Donc. 1 A c3 B i ici Frncis Wlzinski 9

10 Soit (A,+, ) un nneu et soit C une prtie de A. On ppelle sous-nneu engendré pr C et on note < C >, le plus petit (en terme d'inclusion) sous-nneu de A qui contient le sous-ensemble C. Soit (B i ) i I l'ensemble des sous nneux de A qui contiennent C. Cette fmille n'est ps vide cr A pprtient à cette fmille. est le plus petit sous-nneu de A qui contient C. 3 ici B i Soient (A,+, ) et (A',+, ) deux nneux et soit f un morphisme unitire d'nneux de A vers A'. L'imge directe d'un sous-nneu (resp. unitire) de A est un sous-nneu (resp. unitire) de A'. L'imge réciproque d'un sous-nneu (resp. unitire) de A' est un sous-nneu (resp. unitire) de A. Sous-groupe déjà fit. Stbilité pr multipliction évidente. Remrques En prticulier, Im f est un sous-nneu de l'nneu d'rrivée. Soient (A,+, ) un nneu et B un sous-nneu de A. L'injection cnonique de B dns A est un morphisme d'nneux Si B est unitire, ce morphisme est unitire. 4. Idéux Dns cette prtie qui concerne les idéux, nous ne considérerons que des nneux unifères commuttifs. Soit (A,+, ) un nneu (unifère commuttif) et soit I une prtie de A. On dit que I est un idél de A si et seulement si (i) (I,+) est un sous-groupe de A. (ii) x I, A, x I. 2 est un idél de (,+, ) De fçon plus générle, p est un idél de (,+, ) pour tout p. A et { A } sont des idéux d'un nneu (A,+, ). n(a) est un idél d'un nneu (A,+, ). {polynômes sns terme constnt} est un idél de [X]. fonctions numériques dérivbles sur un intervlle I de et telles que f'() = f'() = est un idél defonctions numériques définies sur un intervlle I de. Frncis Wlzinski 1

11 Remrques L propriété (ii) peut ussi s'écrire AI I. Le seul idél de A qui contienne l'élément unité est A. Tout idél est un sous-nneu. L réciproque est fusse. est un sous-nneu de (,+, ) mis n'est ps un idél de ce même nneu. Lorsque A n'est ps commuttif, on peut définir des idéux à guche et des idéux à droite. Soit (A,+, ) un nneu et soit (I j ) j J une fmille non vide d'idéux de A. Alors est un idél de A. j J, I j est un sous-groupe de A donc est un sous-groupe de A. 3 I j jcj Stbilité pr multipliction pr un élément de A : x 3 I j j J, xi j jcj j J, x Ij A. 3 I j jcj x 3 I j jcj A. Soit (A,+, ) un nneu et soit C une prtie de A. On ppelle idél engendré pr C, le plus petit (u sens de l'inclusion) idél de A qui contient C. Soit (B i ) i I l'ensemble des idéux de A qui contiennent C. Cette fmille n'est ps vide cr A pprtient à cette fmille. est le plus petit idél de A qui contient C. Remrques 3 B i ici Crctéristion d'un idél engendré pr une prtie d'un nneu Soit C une prtie non vide d'un nneu (A,+, ). Soit E c 1 1 c 2 2 c n n où n* et i 1,n c i C et i A 1. Tout élément de E pprtient à l'idél engendré pr C dns A. 2. On peut vérifier que E est un idél de A qui contient C. En prticulier, pour tout élément d'un nneu A, A est l'idél engendré pr. Soient (A,+, ) et (A',+, ) deux nneux. Soit f un morphisme d'nneux de A vers A'. L'imge réciproque d'un idél de A' est un idél de A (contennt Ker f). En prticulier, Ker f est un idél de A. L'imge directe d'un idél de A est un idél de f (A) et ce ser un idél de A' si f est surjective. Frncis Wlzinski 11

12 Remrque En générl donc, l'imge directe d'un idél de A n'est ps un idél de A'. Schémtiquement, on : I A f(a) f(i) A' 1. Imge réciproque Sous-groupe déjà fit. Stbilité pr multipliction pr un élément de A. Soit I un idél de A', x f 1 (I) f (x) I A, f ( x) f () f (x) or f () A' et f (x) I donc f () f (x) I. C'est-à-dire x f 1 (I). 2. Ker f f 1 ({ A' }), { A' }est bien un idél de A'. 3. Imge directe : Sous-groupe déjà fit. Stbilité pr multipliction pr un élément de A. Soit I un idél de A, y f (I) x I / y = f (x) b f (A) A / y = f (x). b f (A) et y f (I) b y f () f (x) = f ( x) or A et x I donc x I. C'est-à-dire by f (I). Remrques On retrouve ici que si 1Ker f lors Ker f = A et f =. Soit f un morphisme d'nneux de A vers A' et soient x et y deux éléments de A. f (x) = f (y) f (x) f (y) = f (x y) = x y Ker f x = y + p où p Ker f. Pr exemple, on prend g : ([X],+, ) (,+, ) P P() On g(p) = g(q) P Q I où I est l'idél défini pr I = {XP où P [X]}. Une reltion R est dite comptible vec les lois d'un nneu (A,+, ) si et seulement si, pour tout, b, c et d de A, on : R b et c R d ( + c) R (b + d) et ( c) R (b d). Frncis Wlzinski 12

13 Soit I un idél d'un nneu (A,+, ). L reltion R définie pr R b b I est une reltion d'équivlence comptible vec les lois de A. L'ensemble quotient est noté A /I. De plus, I = A. Réflexive x x = I cr I sous groupe de A. Donc xr x. Symétrique xr y x y I y x I cr I sous groupe de A donc stble pr symétristion. yr x. x yci Trnsitive xr y et yr z e (x y) + (y z)ci y zci x z I xr z. Donc cette reltion est bien une reltion d'équivlence. A = {x A / xr A } = {x A / x A I} = {x A / x I} = I. On suppose R b et cr d c'est-à-dire b I et c d I. # ( + c) (b + d) = b + c d I cr I sous groupe de A. ci ci donc ( + c) (b + d) I c'est-à-dire ( + c)r ( b + d). # c bd = c bc + bc bd = ( b)%c + b% (c d) cr I est un idél de A (commuttif). Remrque ci ci donc ( c) (b d) I c'est-à-dire ( c)r ( b d). On peut donc définir deux lois ppelées lois quotient sur A /I en posnt x + y = x + y et x%y = x%y. A /I muni de ces lois est un nneu. Exemple Cs prticulier (A,+, ) = (,+, ) et I = 6. = {x / xr } = {x / x 6} = {x / x = + 6p où p } 1 = {x / xr 1} = {x / x 1 6} = {x / x = 1 + 6p où p } 2 = {x / xr 2} = {x / x 2 6} = {x / x = 2 + 6p où p } etc... 2 et 3 sont des diviseurs de zéro ( 2%3 = 6 = ). L'nneu n'est ps intègre. 4 ne possède ps de symétrique pour l loi. Remrque Dns le cs des idéux triviux, on A /{} = A et A /A = = 1. En prticulier, même si A est unifère, ce n'est ps nécessirement le cs de l'nneu quotient. Frncis Wlzinski 13 ci ci

14 Soit (A,+, ) un nneu. On définit l'indice d'un élément de A (noté i()) pr : Si n*, n lors i(). Sinon i() est le plus petit entier non nul p tel que p. Dns /12, i( 2) 6 et i( 3) 4. Dns, i(1). Soit (A,+, ) un nneu. Soit J l'ensemble des indices des éléments de A. Si J est mjoré, le ppcm de ces indices est ppelé crctéristique de l'nneu A et est noté (A). Si J est non mjoré, on dit que l'nneu est de crctéristique nulle. () =. (/2) = 2. Soit (A,+, ) un nneu. Soit µ : A p p.1 A L crctéristique de A est l'unique entier nturel tel que ker µ = p. 5. Corps On ppelle corps tout nneu unifère tel que tout élément non nul soit inversible. C'est-à-dire, si (A,+, ) est un nneu unifère, on : A corps (A*, ) est un groupe Si, de plus l loi est commuttive, on dit que le corps est commuttif. Remrque Autrement dit, si (A,+, ) est un nneu unifère, on : A corps A* = u(a). (,+, ) et ([X],+, ) ne sont ps des corps. (,+, ), (,+, ) et ((X),+, ) sont des corps. /5 est un corps. Frncis Wlzinski 14

15 Tout corps est intègre. Tout élément non nul est symétrisble et n'est donc ps un diviseur de zéro. Un nneu fini intègre est un corps. On suppose A {}. Soit donc A \ {}. Nous devons montrer que est inversible. Soient les pplictions : d : A A g : A A x x et x x Les implictions d et g sont injectives cr A est intègre. Puisque A est fini, elles sont ussi surjectives. Il existe un unique élément b de A tel que.b = 1 A et il existe un unique élément c de A tel que c. = 1 A. Tout élément de A est donc inversible à droite et à guche : il est inversible. Remrques (,+, ) est un nneu intègre mis ps un corps. Problème : soit A un nneu, existe-t-il un corps K contennt A? Vri dns le cs A = : il suffit de prendre pr exemple K =. Fux dns le cs A = /4 : ce n'est ps un nneu intègre. Un sous-corps d'un corps K est une prtie de K qui munie des mêmes lois que K est ussi un corps. Exemple est un sous-corps de (,+, ). Soit A un nneu commuttif intègre. L reltion R définie sur A A \ {} pr (,b) R (c,d) d = bc est une reltion d'équivlence. b = b donc (,b) R (,b) pour tout (,b) de A A \ {}. Soient (,b) et (c,d) dns A A \ {} (,b) R (c,d) d = bc cb = d (c,d) R (,b) Frncis Wlzinski 15

16 Soient (,b), (c,d) et (e,f) dns A A \ {} (,b) R (c,d) d = bc (c,d) R (e,f) cf = de dcf = bcde fcd = becd fc = bec cr d Si c, lors f = be et (,b) R (e,f). Si c =, lors d = et = de = et e = D'où f = be et (,b) R (e,f). Nottion Soit A un nneu commuttif intègre. L clsse d'équivlence d'un couple (,b) de A A \ {} pour l reltion définie dns l propriété précédente est noté. b Remrques xa \{}, on (1,1) R (x,x) ce que l'on peut ussi écrire 1. 1 = x (,b)a A \{}, ka \{} on (k,kb) R (,b) ce que l'on peut ussi écrire k%. k%b = b x,ya \{}, on (,x) R (,y) ce que l'on peut ussi écrire x = y. Soit A un nneu commuttif intègre. L'ensemble A /R des clsses d'équivlence de l reltion définie dns l propriété précédente muni des lois (, b) + (c, d) = (d + bc, bd) et (, b)%(c, d) = (c, bd) est un corps commuttif ppelé corps des frctions de A. Remrque On peut écrire ces opértions : et. b + c = d + bc d bd b % c d = c bd En premier lieu, il fut vérifier que ces opértions sont bien définies. C'est-à-dire, si (,b) et (',b') sont dns l même clsse d'équivlence, de même pour (c,d) et (c',d') lors (d + bc,bd) et ('d' + b'c',b'd') sont à nouveu des représentnts d'une même clsse, de même pour (c,bd) et ('c',b'd'). (,b) R (',b') b' = b' (c,d) R (c',d') cd' = dc' On et (d + bc)b'd' = db'd' + bcb'd' = b'dd' + bb'cd' = b'dd' + bb'dc' = bd('d' + b'c') c b'd' = b'cd' = b'dc' = bd 'c'. Frncis Wlzinski 16

17 + loi de composition interne : pr définition Associtivité de l loi + : b + c d + e = d + bc + e (d + bc)f + bde = = df + bcf + bde f bd f bdf bdf b + c d + e = + cf + de df + b(cf + de) = = df + bcf + bde f b df bdf bdf Commuttivité de l loi + : b + c = d + bc = cb + d = c d bd db d + b Elément neutre de l loi + : b + 1 = %1+b% = b b Symétrique pour l loi + : b + b = %b+( )%b = b 2 b = 2 1 loi de composition interne : pr définition Associtivité de l loi : b % c d % e f = c bd % e f = ce bdf = (c)e bdf b % c d % e = f b % ce df = (ce) = ce bdf bdf Commuttivité de l loi : b % c d = c bd = c db = c d % b Elément neutre de l loi : b % 1 1 = %1 b%1 = b Distributivité de l loi pr rpport à l loi + : b % c d + e = % cf + de (cf + de) = = cf + de f b df bdf bdf b % c d + b % e f = c bd + e = cbf + bde b(cf + de) = = cf + de bf bdbf b(bdf) bdf Symétrique d'un élément non nul pour l loi :. b % b = b b = 1 1 Le corps des frctions de [X] est (X). Pr récurrence, on peut construire le corps des frctions à n indéterminées X 1, X 2,..., X n. Soit A un nneu commuttif intègre. L'ensemble des clsses d'équivlence du corps des frctions de l forme est un nneu isomorphe à A. 1 Il suffit de considérer ϕ : A A /R 1 ϕ est un morphisme d'nneux. On Im ϕ =. 1 / ca De plus le morphisme ϕ est injectif et surjectif. Remrque Soit p un nombre premier. L'ppliction ϕ : /p est un morphisme d'un nneu dns un corps. Frncis Wlzinski 17

18 6. Idél principl et idél mximl Dns cette prtie qui concerne à nouveu les idéux, nous considérerons uniquement les nneux unifères commuttifs. Soit (A,+, ) un nneu et soit I un idél de A. On dit que I est un idél principl si et seulement si I est engendré pr un seul élément. (2,+, ) est un idél principl de (,+, ). C'est le plus petit idél de qui contient 2. I (X 1)Q(X) où Q[X] est un idél principl de ([X],+, ) C'est le plus petit idél de [X] qui contient X 1. Remrque Si A est un nneu, les idéux principux sont les ensembles de l forme {λ / λa} où est un élément fixé de A. Cet ensemble est noté (). On dit qu'un nneu est principl si et seulement si tous ses idéux sont principux. On montre que et [X] sont principux lors que [X,Y] n'est ps principl (pour ce dernier cs, on considère l'idél des polynômes sns terme constnt. Lemme Soit K un corps et soient A,B deux polynômes de K[X]. Il existe un unique couple de polynômes (Q,R) tels que A = BQ + R et deg R < deg B. Unicité On suppose qu il existe un deuxième couple ( Q, R ) de polynômes tels que deg R < deg B et A = B Q + R. On donc B (Q Q ) = R R. Comme un corps est intègre, deg B + deg (Q Q ) = deg (R R ) Or deg (R R ) sup(deg (R),deg ( R )) donc deg (R R )< deg B. D où deg B + deg (Q Q ) < deg B. Ce qui implique deg (Q Q ) =. C'est-à-dire Q = Q. A = B Q + R = BQ + R. BQ + R = BQ + R R = R Frncis Wlzinski 18

19 Existence Pr récurrence sur deg A ( +). # Si deg A =, A = vec cr A non nul. # Si deg A < deg B, le couple (,A) convient. # Si deg A deg B, lors B = b vec b et donc le couple, convient. b En effet, = b % +. b # On suppose l proposition vri pour tout k n 1. Si deg A = n, # Si deg A < deg B, le couple (,A) convient. # Si deg A deg B, A = + 1 X n X n B = b + b 1 X b p X p vec n p Soit A 1 = A n X n p B. On deg A 1 n 1. b p Donc il existe un couple (Q 1,R 1 ) de polynômes tels que deg R 1 < deg B et A 1 = BQ 1 + R 1. Or A = A 1 + n X n p B. b p n b p n b p D où A = BQ 1 + R 1 + X n p B = B (Q 1 + X n p ) + R 1. Si K est un corps lors K[X] est principl. Soit I un idél de K[X], on donc I sous-groupe dek[x]. si I = {}, on bien I =.K[X]. si I {}, soit A un polynôme non nul de degré miniml dns I. Un tel polynôme existe cr l'ensemble des degrés est une prtie de. B I, R,Q K[X] / deg R < deg A et B = AQ + R. Or AQ I cr A I, Q K[X] et I idél. D'où R = B AQ I cr B I, AQ I et I idél donc sous-groupe. On donc R I, deg R < deg A et A de degré miniml dns I. Donc R = et B = AQ c'est-à-dire I A.K[X]. On vérifie isément que I A.K[X] donc I = A.K[X]. On dit qu'un idél (A) est mximl dns un nneu A s'il n'existe ps d'utre idél (A) qui le contienne. Exemple 2 est un idél mximl de. Soient A un nneu, K un corps et f un morphisme unitire surjectif de A dns K Alors Ker f est un idél mximl dns A. Frncis Wlzinski 19

20 Soit I un idél tel que Ker f C I. Nous llons montrer que I = A. Pour cel, il suffit de vérifier que 1 A I Il existe I tel que Ker f c'est-à-dire f (). Soit x l'inverse de f () dns K. Puisque f est surjectif, xim f. Il existe ba tel que x = f (b). Nous vons donc f (1) = 1 = f () x = f () f (b) = f (b) D'où 1 bker f I. Puisque I et que I est un idél, bi et donc 1I. Si I est un idél mximl d'un nneu A, lors A /I est un corps. Soit A /I tel que. On donc I. L'ensemble J = {b + i / ba et ii} est un idél de A. En effet : - J est non vide : il suffit de prendre i b. - (b + i) (b' + i') = (b b') + (i b') J b,b'a et i,i'i - (b + i) c = (bc) + ic J ba, ii et ca De plus, J contient strictement I : il suffit de prendre b pour l'inclusion et J vec I pour le strict. Donc J = A et nécessirement 1 A J. Il existe donc ba et ii tels que 1 = b + i. D'où 1 = b + i = b + i = b. On obtient que b est l'inverse de. Les idéux mximux de sont les p vec p premier. On [X]/(X 2 + 1) donc (X 2 + 1).[X] est un idél mximl. On [X]/(X) donc X.[X] est un idél mximl. Plus générlement, si K est un corps et si est un élément de K fixé, l'ppliction de K[X] dns K qui, à tout P de K[X], ssocie P() est un morphisme d'nneu surjectif. Le noyu de ce morphisme est (X ).K[X] qui est donc un idél mximl. Frncis Wlzinski 2