CHAPITRE 4 Théorème des Résidus
|
|
- Eloi Lesage
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 CHAPITRE 4 Théorème des Résidus 4. Résidus Définition 4.. Soit f : C C une fonction analytique au point z, et C= { z C / < z z <r } (Disque troué). On appelle résidu de f au point z, le cœfficient a du développement de Laurent de f au voisinage de z. Ce nombre est noté Res( f, z ) Remarque : Soit a n (z z ) n a = + a (z z ) + (z z ) + a + a (z z )+a (z z ) + n= le développement de Laurent de f au voisinage de z, comme ce développement existe toujours pour les fonctions analytiques au voisinage de z, donc a existe toujours et est FINI. Très important : Dans l exemple précédent on a trouvé que (z+)(z+3) = ( ) n ( ) n z n = z n+ 3 n+ z + z 3 + z 3+. Cela ne n= n= signifie pas que Res( f, )=, car ce développement ne se fait pas au voisinage de mais dans une couronne qui n est pas un disque troué. Par contre : donne Res( f, ) =. (z+)(z+3) = z+ ( z+3 = ( ) n ) z n = 3 n+ 3 3 z+ n= 4. Résidu à l infini Si f admet un développement de Laurent pour z très grand, alors on peut toujours définir le résidu de f au voisinage de l infini. Considérons l expression f (z) dz, si z est 3
2 au voisinage de l infini alors z se trouve au voisinage de. Posons t= ; on a donc z f (z) dz= ( ) t f dt, d où la définition : t Définition 4.. Soit f : C C une fonction analytique au point z, et C = { z C / z >R, R> }. On appelle résidu de f à l infini, le nombre Res( f, )=Res(g, ) avec g(z)= ( ) z f z Remarque 4.. Posons : a n z n = ( ) z f z D où l on tire : Res( f, )= a, et donc : = n Z a n z n+ Res( f, )+Res( f, )= ( Remarque 4.. Si f (z) se présente sous la forme f (z) = g alors ; z) Res( f, )= g () 4.. Points singuliers des fonctions analytiques Soit f une fonction analytique dans un ensemble ouvert connexe : Ω= { z C / z z <r r> } C ; soit a un point frontière deω, c est à dire a z =r. Si f peut être prolonger en une fonction analytique en a, on dira qu alors que le point a est un point régulier, f est donc bornée au voisinage de a ; sinon c est un point singulier types de singularités Soit le développement de Laurent d une fonction f au voisinage de a. c n (z a) n + n= n= d n (z a) n. Trois cas se présentent alors : er Cas : Tous les d n sont nuls. f est donc analytique en z=a. Le développement de Laurent coïncide avec la série de Taylor au voisinage de a. ème Cas : Un nombre fini de d n n est pas nul. Soit alors m le plus grand entier positif tel que d m. Alors (z a) m f (z) est analytique au point a. On dira alors que a est une singularité d ordre m, ou pôle d ordre m ; (pôle simple, double, triple,... pour m=,, 3,... ). 3 ème Cas : Un nombre infini de termes d n n est pas nul. a est appelé singularité essentielle de f. Pour tout entier positif m ; (z a) m f (z) n est pas borné au voisinage de a. M r AMROUN NOUR-EDDINE 4
3 4.. Théorème des résidus Théorème 4.. SoitΩun ouvert simplement connexe, et a, a,..., a n Ω. SoitΩ =Ω/{a, a,..., a n } et f :Ω C, analytique. alors γ : [a, b] Ω, un lacet quelconque dansω. f (z) dz=πi Res( f, a k ).I(a k,γ) γ k= Preuve : Posons D k = { z Ω / < z a k <r k } Ω, on choisira rk aussi petit que possible de telle manière que D k D k = pour k k ; et soit C k = D k \{a k }. f étant analytique dans C k admet donc un développement de Laurent dans cet ensemble : n= c n,k (z a k ) n = Posons alors g(z)= f (z) g est analytique dansω. Si z C k c n,k (z a k ) n + n= u k (z), donc : k= g(z)= ( f (z) u k (z) ) u j (z) j= j k n= c n,k (z a k ) n= comme pour j k le point a k est régulier pour u j (z), il l est aussi pour n= c n,k (z a k ) n + u k (z). u j (z) ; d autre part, par définition le point a k est régulier pour f (z) u k (z) donc il l est pour g. on peut donc prolonger g en une fonction analytique dansωtout entier, commeωest simplement connexe, le théorème de Cauchy donne d où la formule. γ g(z) dz=, j= j k 4... Calcul pratique du résidu d une fonction : Soit f (z) = n= a n (z z ) n le développement de Laurent de f au voisinage de z. L intégrale de f le long d un lacet ne dépend donc que d un cœfficient dans le développement de Laurent ; qui est a. On va montrer que dans beaucoup de cas on peut déterminer ce cœfficient sans passer par le développement de Laurent. 5 M r AMROUN NOUR-EDDINE
4 On va distinguer deux cas. er Cas :z est un pôle simple. Soit alors a z z + a + a (z z )+ (z z ) a + (z z )a + a (z z ) + =Res( f, z o )+(z z )a + a (z z ) + et par passage à la limite, on obtient : Res( f, z o )= lim z z (z z ) f (z). (4.) Si f (z) se présente sous la forme, alors : P(z) Q(z) où Q(z )= et Q (z ), (4.) Res( f, z )= P(z ) Q (z ) (4.3) Remarque 4..3 Si a =, la singularité est appelée «singularité apparente», «pôle apparent», ou «fausse singularité». Exemple 4.. sin z, on a lim z. ; est une singularité apparente de f. z z On peut le voir immédiatement en utilisant le développement de Laurent f. On a, sin z = ( ) n z n+ ( ) n z n z = = z z (n+)! (n+)! 3! + z4 5! z6 7! + n= n= On voit bien qu il n y a pas du tout de singularité. Exemple 4.. Donnons le résidu de ez z 3 + ; au point z =. z = est un pôle simple et f se présente sous la forme (4.) ; on a donc, e z ez e( ) (z 3 + ) = 3z= Res( f, )= 3( ) =e 3 ème Cas :a est un pôle multiple. Soit m l ordre de la singularité de z. Écrivons : a m a m+ (z z ) m+ (z z ) m + + a (z z ) + a + a (z z )+ = (z z ) m a m + a m+ (z z )+a m+ (z z ) + +a (z z ) m + a (z z ) m + En dérivant jusqu à l ordre m, on obtient : ((z z ) m f (z)) (m ) = (m )!a + a (m )!(z z )+ ; d où l on obtient : Res( f, z )= (m )! lim z z ( (z z ) m f (z) ) (m ). (4.4) Cette formule est intéressante seulement quand l ordre est ou 3 à la limite. Si l ordre est grand 4 ou plus, mieux faut utiliser le développement de Laurent. M r AMROUN NOUR-EDDINE 6
5 Remarque 4..4 Dans le cas où f (z) est le rapport de deux fonctions g(z) et h(z) ayant z comme zéros, alors il n est pas facile de donner immédiatement l ordre de la singularité de f. Dans ce cas, le procédé le plus sûr consiste dans le remplacement des fonctions g(z) et h(z) par un certain nombre de termes de leurs développements en série de Taylor au voisinage de z. Exemple 4..3 Trouver le résidu au point z = de la fonction d ordre ; on a : Res( f, )=! lim z ((z f (z)) = lim z Exemple 4..4 ( cos(z ) ) ( sin(z ) = lim z cos (z ) ; est un pôle z cos(z ) ) = sin cos Trouver le résidu au point z = i de la fonction cos z ; i est un pôle d ordre (z + ) 3 3 ; on a : Res( f, i)=! lim z i ((z i)3 f (z)) = ( ) cos z lim = ( ) (z+i) sin z 3 cos z z i (z+i) 3 lim z i (z+i) 4 = ( ) 6(z+i) lim sin z+( (z+i) ) cos z (3 sh 4 ch ) i = z i (z+i) 5 6 Exemple 4..5 Trouver le résidu au point z = de la fonction +z ; est un pôle d ordre z 6 (4+z) 6 ; Inutile de préciser qu on n utilisera pas la formule (4.4). On utilisera directement le développement de Laurent. +z z 6 (4+z) = 4z 6 +z (+z/4) = 4z 6 (+z )( z/4+z /4 z 3 / ( ) n z n /4 n + ). Dans ce produit, seul le cœfficient de z 5 est utile, et qui est /4 5. D où Res( f, )=/4 ( )/4 5 = 4 6= 496. Exemple 4..6 tg z z Trouver le résidu au point z = de la fonction ; ici il n est pas facile ( cos z) de dire directement l ordre de la singularité ; on va utiliser la remarque (4..4). tg z z ( cos z) = 3 z3 + 5 z z7 + 4 z4 = 4 3 z z z3 + 4 z6 + est donc une singularité simple et on a Res( f, )= 4 3 Exemple 4..7 Trouver le résidu au point z = de la fonction z cos π z. On a z cos π z = z+cos(π/z) = z + n π n (n)!z n n= 7 M r AMROUN NOUR-EDDINE
6 ( ) = z π /3π4 /45π6 z+ z4 z 6+ = z π π6 z +π4 3z3 45z 5+ est donc une singularité essentielle, on a d après ce développement de Laurent que Res( f, )= π. 4.3 Application du théorème des résidus à des calculs d intégrales 4.3. Intégrale du type f (x) dx On suppose que f soit la restriction àrd une fonction f, qui est analytique dans un ensemble ouvert de la forme D = D {a, a,..., a n } où D contient le demi plan fermé Im z, et les a k sont des points du demi-plan ouvert Im z>. On considère alors un lacetγ, juxtapositionγ γ de deux chemins suivants : γ : t t, pour γ : t R e it, pour R t R. t π. Où le nombre R est pris tel que R> a k pour tous les indices k ; il est immédiat que l on a pour tout k,j(a k,γ)=. Le théorème des résidus permet d écrire, Si de plus, R R f (x) dx+ par passage à la limite on a donc : γ f (z) dz= lim R γ γ f (z) dz=πi f (z) dz=, Res( f, a k ). k= f (x) dx=πi Res( f, a k ). (4.5) k= Premier cas : P(z) où P et Q sont des polynômes premiers entre eux. Aucun des zéros de Q Q(z) n étant réel. Supposons en outre que l on ait, deg Q +deg P. La formule (4.5) est valable, les a k étant les zéros de Q tels que Im a k >. Exemple 4.3. Calculer l intégrale : M r AMROUN NOUR-EDDINE 8 x dx (x + )(x + 9)
7 Remarquons que x dx Posons alors, (x + )(x + 9) z (z + )(z + 9) Ici on a P(z)=z et Q(z)=(z + )(z + 9), et deg Q=4 +deg P=+=4. les racines de Q(z) sont i, i, 3i et 3i, donc aucune n est réelle, la formule (4.5) est donc applicable. Seuls i et 3i ont des parties imaginaires strictement positifs, d où z dz (z + )(z + 9) = πi( Res( f, i)+ Res( f, i) ) i et i étant deux pôles simples de f, appliquons la formule (4.3). Pour le pôle i on a : z Res( f, i)= lim(z i) z i (z + )(z + 9) = lim z z i ((z + )(z + 9)) z = lim z i ((z)(z + 9)+(z + )(z)) = (i)(8) = 3i Pour le pôle 3i on a : Res( f, 3i)= lim (z 3i) z 3i z (z + )(z + 9) = lim z 3i z ((z + )(z + 9)) z = lim z 3i ((z)(z + 9)+(z + )(z)) = 9 (6i)( 8) = 3i 3 D où, ( πi 3i + 3 ) = π 3i 8 Exemple 4.3. Calculer l intégrale : dx x + ix+ 4i Posons f (z) = z + iz+ 4i Les pôles de f sont simples et on a z z = 3i, Im(z )<, est à rejeter. Les conditions sont toutes vérifiées, on a alors, dx = πires( f, +i). x + ix+ 4i Res( f, +i)= lim (z i) lim (z i) z +i z +i z + iz+ 4i = lim Finalement, πi +4i = π 5 + iπ 5 Remarquons que, f (x) = d où l on déduit, z +i = +i et z+i = +4i x + ix+ 4i = (x + ) i(x 4) (x + ) i(4 x) (x + ) + (x 4) = x 4 + 8x 6x+, (x + )dx x 4 + 8x 6x+ = π 5, (4 x)dx x 4 + 8x 6x+ =π 5 9 M r AMROUN NOUR-EDDINE
8 Deuxième cas : P(z) Q(z) eimz, m>; où P et Q sont des polynômes premiers entre eux. Aucun des zéros de Q n étant réel. Supposons en outre que l on ait, deg Q +deg P. La formule (4.5) est valable, les a k étant les zéros de Q tels que Im a k >. Exemple calculer l intégrale Soit à rejeter. sin x dx x + x+ e iz z + z+, on a deux pôles simples z = +i, et z = ice dernier est On a donc Res( f, +i)= lim Finalement, z +i e ix dx πie i x + x+ = i J= 4.3. Intégrale du type (z+ i) lim z +i (z+ i) e iz z + z+ = e i i =π e i =π e (cos i sin ) d où l on déduit, sin x dx x + x+ = π e sin, cos x dx x + x+ =π e cos. π π R(cosθ, sinθ) dθ Soit R(x, y) une fonction rationnelle en x et en y qui n a pas de pôles sur le cercle x + y =, alors on a : π π R(cosθ, sinθ) dθ= z = R ( z+z ), z z dz i iz L égalité (4.6) est justifiée par le changement de variables suivant : z=e iθ = cosθ+i sinθ= z = e iθ = cosθ i sinθ d où l on tire cosθ= z+z, sinθ= z z et dz=i e iθ dθ dθ= dz i iz Posons : iz ( ) z+z R, z z, on a alors : i πi Res ( ) f (z), z k, (4.6) où la somme est étendue à tous les pôles de f (z) tels que z k <. M r AMROUN NOUR-EDDINE 3
9 Exemple Calculer l intégrale Réponse : π dθ, et a> b. a+b sinθ Les pôles de par, z = a+ a b b iz a+b z z i = bz + aiz b bz + aiz b sont obtenus en résolvant bz + aiz b=et sont donnés i et z = a a b i, b seul z est à l intérieur du cercle, car z = a+ a b b = b a+ <, car a b a< b. Comme z z =, donc nécessairement z >. ce sont deux pôles simples, le résidu en z est donc ; Res( f, z )= lim (z z ) z z bz + aiz b = lim z z bz+ai = i, a b d où πi i finalement, a b Exemple Calculer : Réponse : π dθ a+b sinθ = π, et a> b. a b π cos nθ dθ 5+3 cosθ, n N. La formule de Moivre donne cos nθ= zn + z n, d où en substituant dans notre intégrale, on a : z n + z n iz z n + = i 5+3 z+z z n (3z + z+3) Pôles de f : z =, est un pôle d ordre n. 3z + z+3=(3z+)(z+3)=, deux pôles simples z = 3 et z = 3 ; seul z = 3 a un module supérieur à, d où : πi ( Res ( f (z), ) + Res ( f (z), /3 )). Calcul des résidus : Pour z = /3, il s agit d un pôle simple, donc ; 3 M r AMROUN NOUR-EDDINE
10 Res ( f (z), /3 ) = lim (z+/3) i(z n + ) z /3 z n (3z+)(z+3) = lim i(z n + ) +3n z /3 3z n = i( )n (z+3) 8.3 n Pour z =, qui est un pôle d ordre n, il est préférable de faire le développement de Laurent de f au voisinage de. z n + Remarquant que i z n (3z + z+3) = i z n (3z + z+3) i ( z n (3z + z+3) ) z n Comme n est pas un pôle de i, donc Res i (3z + z+3) (3z + z+3), =. D où Res ( f (z), ) ( ) = Res i z n (3z + z+3),. On a i z n (3z + z+3) = ( i 9 z n 3z + z+3 = i z 4 n +3z 4 ). Un développement en série entière au voisinage de zéro donne : +z/ z 4 +z/3 = 9 ( ) n 3 n z n ( ) n (z/3) n 4 4 n= n= = ( ( ) n 3 n+ ) z n, où z < n n= D où l on tire que ; Res ( f (z), ) = i ( 4 ( )n 3 n+ ). 3 n Finalement ( ; ( i πi 4 ( )n 3 n+ ) ) i( ) n +3n = π ( ) n 3 n 8.3 n 3 n π Intégrale du type I = cos nθ dθ 5+3 cosθ =π ( )n 3 n, n N. x α Q(x) dx. α est un réel strictement positif, R une fraction rationnelle n ayant pas de pôle réel positif ou nul, et telle que Q() et lim x x α Q(x) =. Si Q=P/S ou P et S sont deux polynômes, on a deg P<deg S α. On va considérer cette fois la fonction ( z) α Q(z) ( z) α = e (α ) Log( z) ou Arg(Log(z)) ] π,π[. On considère le lacetγ, juxtapositionγ γ γ 3 γ 4 de quatre chemins γ (t)=e iλt pour r t R γ (t)=r e it pour λ t π λ γ 3 (t)= e iλt pour R t r γ 4 (t)=r e i(π t) pour λ t π λ. x α Q(x) dx= π sinαπ Res ( ( z) α Q(z), z k ) où la somme est étendue à tous les pôles de la fraction R(z). M r AMROUN NOUR-EDDINE 3 z n
11 Exemple Calculer l intégrale Réponse : dx 3 x(+x) Ici on aα = et doncα=/3. On a ici Q(z)=, un seul pôle z=. 3 z+ dx π 3 = x(+x) sin(/3π) Res( ( z) /3 Q(z), ). ( ) Res ( z) /3 z+, = lim z (z+)( z) /3 z+ =, π sin(/3π) = π = π 3 3/ Intégrale du type I = Q(x) Log x dx. Q une fraction rationnelle n ayant pas de pôle réel positif ou nul, Q() et telle que lim xq(x)=. x En gardant le lacet précédent et en considérant le fonction Q(z) Log z. Les intégrales surγ etγ 4 tendent vers zéro lorsque r et R. Et à la limite quandλ, log z=log x surγ, et Log z=log x+πi surγ 3. On obtient ainsi la relation, Q(x) Log x dx Q(x)(Log x+πi) dx=πi Res ( Q(z) Log z ), d où Q(x) Log x dx πi Q(x) dx= Res ( Q(z) Log z ). La somme est étendue à tous les pôles de la fraction Q(z). Dans le cas où, Q est une fonction réelle, on obtient deux intégrales. Q(x) Log x dx = Re( Res ( Q(z) Log z )), Q(x) dx = π Im( Res ( Q(z) Log z )). Remarque 4.3. En intégrant la fonction Q(z) Log z, on obtiendrait de la même manière la formule Q(x) dx= Res ( Q(z) Log z ). Posons I n = Q(x) Log n x dx, en intégrant la fonction Q(z) Log n+ z, on obtiendrait une relation de récurrence entre I n, I n,, I, et I. (πi) n p p I n+ p= p= Res ( Q(z) Log n+ z ). 33 M r AMROUN NOUR-EDDINE
12 Exemple Calculer : Log x dx (x+) 3 Réponse : Ici Q(x)=, toutes les conditions sont vérifiées, d où (x+) 3 ou encore, Log x (x+) dx (Log x+πi) 3 (x+) 3 4πi Log x 4π (x+) 3 ( ) dx=πires (z+) 3 Log z,, ( ) dx=πires (z+) 3 Log z,. Comme ( est un pôle) triple, pour le résidu on a donc, Res (z+) 3 Log z, = ( )) lim ((z+) 3! z (z+) 3 Log z = ( lim Log z ) Log z = lim! z z z = Log( ) = (+iπ) = iπ. ( ) Finalement, Log x dx 4πi (x+) 3 dx+4π (x+) 3= πi( iπ)=πi+π. Conclusion, Log x dx (x+) 3 = dx (x+) 3 = M r AMROUN NOUR-EDDINE 34
Exercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailFonctions Analytiques
5 Chapitre Fonctions Analytiques. Le plan complexe.. Rappels Soit z C, alors!(x,y) IR 2 tel que z = x + iy. On définit le module de z comme z = x 2 + y 2. On peut aussi repérer z par des coordonnées polaires,
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailFonctions holomorphes
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Fonctions holomorphes Christine Laurent-Thiébaut Ceci est le second volet de l étude des fonctions d une variable complexe, faisant suite au chapitre
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détail4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailCours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre
Cours arithmétique et groupes. Licence première année, premier semestre Raphaël Danchin, Rejeb Hadiji, Stéphane Jaffard, Eva Löcherbach, Jacques Printems, Stéphane Seuret Année 2006-2007 2 Table des matières
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCours de mathématiques Première année. Exo7
Cours de mathématiques Première année Eo7 2 Eo7 Sommaire Logique et raisonnements 9 Logique 9 2 Raisonnements 4 2 Ensembles et applications 9 Ensembles 20 2 Applications 23 3 Injection, surjection, bijection
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailMéthodes Mathématiques Master 1 Mécanique-Physique & Ingénierie Aix-Marseille Université, 2014-2015. Uwe Ehrenstein
Méthodes Mathématiques Master Mécanique-Physique & Ingénierie Aix-Marseille Université, 204-205 Uwe Ehrenstein 25 novembre 204 Table des matières Fonctions d une variable complexe 3. Fonction analytique
Plus en détailCHAPITRE 10. Jacobien, changement de coordonnées.
CHAPITRE 10 Jacobien, changement de coordonnées ans ce chapitre, nous allons premièrement rappeler la définition du déterminant d une matrice Nous nous limiterons au cas des matrices d ordre 2 2et3 3,
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailSuites numériques 4. 1 Autres recettes pour calculer les limites
Suites numériques 4 1 Autres recettes pour calculer les limites La propriété suivante permet de calculer certaines limites comme on verra dans les exemples qui suivent. Propriété 1. Si u n l et fx) est
Plus en détailUniversité Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010. Applications
Université Paris-Dauphine DUMI2E 1ère année, 2009-2010 Applications 1 Introduction Une fonction f (plus précisément, une fonction réelle d une variable réelle) est une règle qui associe à tout réel x au
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailUne forme générale de la conjecture abc
Une forme générale de la conjecture abc Nicolas Billerey avec l aide de Manuel Pégourié-Gonnard 6 août 2009 Dans [Lan99a], M Langevin montre que la conjecture abc est équivalente à la conjecture suivante
Plus en détailRepérage d un point - Vitesse et
PSI - écanique I - Repérage d un point - Vitesse et accélération page 1/6 Repérage d un point - Vitesse et accélération Table des matières 1 Espace et temps - Référentiel d observation 1 2 Coordonnées
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailAmphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues
Amphi 3: Espaces complets - Applications linéaires continues Département de Mathématiques École polytechnique Remise en forme mathématique 2013 Suite de Cauchy Soit (X, d) un espace métrique. Une suite
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailMoments des variables aléatoires réelles
Chapter 6 Moments des variables aléatoires réelles Sommaire 6.1 Espérance des variables aléatoires réelles................................ 46 6.1.1 Définition et calcul........................................
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailn N = u N u N+1 1 u pour u 1. f ( uv 1) v N+1 v N v 1 1 2 t
3.La méthode de Dirichlet 99 11 Le théorème de Dirichlet 3.La méthode de Dirichlet Lorsque Dirichlet, au début des années 180, découvre les travaux de Fourier, il cherche à les justifier par des méthodes
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailOnveutetudierl'equationdierentiellesuivante
Quelques resultats sur l'equation des ondes Onveutetudierl'equationdierentiellesuivante (Ondes) @tu xu=f surr Rd: C'est dratique une equation +jj designature(;d).cettenoteestorganiseedela hyperbolique
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailIntroduction. Mathématiques Quantiques Discrètes
Mathématiques Quantiques Discrètes Didier Robert Facultés des Sciences et Techniques Laboratoire de Mathématiques Jean Leray, Université de Nantes email: v-nantes.fr Commençons par expliquer le titre.
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détail4. Martingales à temps discret
Martingales à temps discret 25 4. Martingales à temps discret 4.1. Généralités. On fixe un espace de probabilités filtré (Ω, (F n ) n, F, IP ). On pose que F contient ses ensembles négligeables mais les
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailÉVALUATION FORMATIVE. On considère le circuit électrique RC représenté ci-dessous où R et C sont des constantes strictement positives.
L G L G Prof. Éric J.M.DELHEZ ANALYSE MATHÉMATIQUE ÉALUATION FORMATIE Novembre 211 Ce test vous est proposé pour vous permettre de faire le point sur votre compréhension du cours d Analyse Mathématique.
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailFonctions de plusieurs variables. Sébastien Tordeux
Fonctions de plusieurs variables Sébastien Tordeux 22 février 2009 Table des matières 1 Fonctions de plusieurs variables 3 1.1 Définition............................. 3 1.2 Limite et continuité.......................
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détail