APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE

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1 APPLICATIONS DU PRODUIT SCALAIRE Lycée Stendhal Première S M Obaton L équipe des professeurs de mathématiques Lycée Stendhal En mathématique, c est comme dans un roman policier ou un épisode de Columbo: le raisonnement par lequel le détective confond l assassin est au moins aussi important que la solution du mystère elle-même.» (Théorème vivant, Cédric Villani, éd. Grasset, Année Liste des savoirs et savoir-faire du chapitre : CODE INTITULE Bilan A EA NA Connaître et savoir utiliser les définition du produit scalaire. Connaître le produit scalaire de deux vecteurs colinéaires. Connaître le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux. Calculer le carré scalaire d un vecteur. Développer ou factoriser des expressions avec le produit scalaire. Norme d une somme ou différence de deux vecteurs. Calculer le produit scalaire d une somme de deux vecteurs par sa diff. Equation cartésienne d une droite perpendiculaire à une autre. Equation cartésienne d un cercle. Vecteur normal. Formule de la médiane Formule sde trigonométrie Compétences dans tous les chapitres : INTITULE Chercher Modéliser Représenter Calculer Raisonner Communiquer Bilan A EA NA

2 Contents 1 Applications Equation cartésienne d une droite perpendiculaire à une autre Equation cartésienne d un cercle Connaissant le centre et le rayon Connaissant deux points diamétralement opposés Formule de la médiane De nouvelles formules en trigonométrie Formules d addition Formules de linéarisation Formules de duplication Pour aller plus loin Formule d Al-Kashi Lignes de niveau Lignes de niveau du type M A + MB = k Lignes de niveau du type M A MB = k Lignes de niveau du type M A MB = k Aire d un triangle Formule des sinus

3 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S 1 Applications 1.1 Equation cartésienne d une droite perpendiculaire à une autre Dans un repère orthonormé, on note (AB) la droite passant par A(x A, y B ) et B(x B, y B ). On souhaite trouver une équation de la droite passant par C(x C, y C ) et perpendiculaire à (AB). M Il reste donc à utiliser la formulation (5) du produit scalaire pour pouvoir trouver l équation de la droite. M Exemple : Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice de [AB] avec A( 3;) et B(1;6) -3-

4 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S 1. Equation cartésienne d un cercle On note C un cercle dans un repère orthonormé et on souhaite trouver l équation du cercle. C est à dire la relation entre les abscisses et les ordonnées de tous les points sur le cercle. Il y a deux cas possibles : 1. Connaissant le centre et le rayon de C. Connaissant les coordonnées de deux points diamétralement opposés sur C 1..1 Connaissant le centre et le rayon Soit C le cercle de centre O(x O, y O ) et de rayon r. On note M(x, y) un point de C. M C On obtient donc (x x O ) + (y y O ) = r que l on nomme une équation cartésienne du cercle C. Exemple : Déterminer une équation cartésienne du cercle passant par A( 3; ) et re dayon R =

5 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S 1.. Connaissant deux points diamétralement opposés Soit C le cercle de diamètre [AB] avec A(x A, y A ) et B(x B, y B ). On note M(x, y) un point M C On obtient donc (x A x)(x B x) + (y A y)(y B y) = 0 que l on nomme une équation cartésienne du cercle C. Exemple : Déterminer une équation cartésienne du cercle de diamètre [AB] avec A( 3;) et B(1;6). -5-

6 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S 1.3 Formule de la médiane Propriété 1 Si M AB est un triangle et I le milieu de [AB] alors (1) M A + MB = M I + 1 AB () M A MB = M I B A (3) M A MB = M I I A = M I I B = M I 1 4 AB -6-

7 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S 1.4 De nouvelles formules en trigonométrie Formules d addition Propriété ar et b R on a ( Formules d addition ) (1) cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) () cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) (3) sin(a b) = sin(a)cos(b) sin(b)cos(a) (4) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) -7-

8 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S Démontrons la formule (1) : Calculons le produit scalaire OA OB de deux façons différentes : A l aide des coordonnées : A l aide du cos( OA, OB) : Conclusion : a R et b R on a cos(b a) = Démontrons la formule () : Il suffit de reprendre la formule (1) en remplaçant b par b. Démontrons la formule (3) : ( π ) (( π ) ) D après le chapitre précédent, on a sin(a b) = cos (a b) = cos a + b donc Démontrons la formule (4) : Il suffit de reprendre la formule (3) en remplaçant b par b. -8-

9 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S 1.4. Formules de linéarisation Dans les formules () et (4) précédentes, si on remplace b par a on obtient : Propriété 3 1. cos(a) = cos (a) sin (a) = cos (a) 1 = 1 sin (a). sin(a) = sin(a) cos(a) Formules de duplication Propriété 4 1. cos (a) = 1 + cos(a). sin (a) = 1 cos(a) -9-

10 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S 1.5 Pour aller plus loin Formule d Al-Kashi Propriété 5 (Al-Kashi X IV ième ) Si ABC est un triangle et si on note AB = c, AC = b et BC = a, ( AB, AC) = α, ( BC, B A) = β et ( C A, CB) = θ a = b + c bc cos(α) b = a + c ac cos(β) c = a + b ab cos(θ) Démontrons la première égalité : a = BC = BC BC = ( B A + AC) = ( AC AB) = AC + AB AC AB donc a = b + c AC AB cos( AC, AB) = b + c bc cos(α) a = b + c bc cos(α) 1.6 Lignes de niveau Lignes de niveau du type M A + MB = k On souhaite trouver l ensemble des points M connaissant A, B et k R tels que M A + MB = k. Pour cela on utilise la formule (1) du théorème de la médiane. On nomme I le milieu de [AB] et donc d après le théorème de la médiane on a M A + MB = M I + 1 AB donc M A + MB = k M I + 1 AB = k M I = k 1 AB M I = 1 k 1 4 AB Premier cas : Si 1 k 1 4 AB < 0 alors il n y a aucun point M possible donc E M = Deuxième cas :Si 1 k 1 4 AB > 0 on note λ = 1 k 1 4 AB donc il faut trouver M tel que M I = λ M I = λ ou M I = λ mais la deuxième solution est impossible en géométrie donc M I = λ 1 L ensemble des points M est donc le cercle de centre I et de rayon k 1 4 AB. Troisième cas :Si 1 k 1 4 AB = 0 alors M I = 0 donc M I = 0. On a donc E M = {I } -10-

11 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S 1.6. Lignes de niveau du type M A MB = k On souhaite trouver l ensemble des points M connaissant A, B et k R tels que M A MB = k. Pour cela on utilise la formule () du théorème de la médiane. On nomme I le milieu de [AB] et donc d après le théorème de la médiane on a M A MB = M I B A donc M A MB = k M I B A = k 1 M I B A = k M I B A = k 1 I M AB = k On note H le point de (AB) tel que I H AB = 1 k On a alors I M AB = I H AB ( I M I H) AB = 0 HM AB = 0 Donc l ensemble des points M est sur la droite perpendiculaire à (AB) et passant par H. De plus à l aide de I H AB = 1 k on peut placer le point H sur la droite (AB) Lignes de niveau du type M A MB = k On souhaite trouver l ensemble des points M connaissant A, B et k R tels que M A MB = k. Pour cela on utilise la formule (3) du théorème de la médiane. On nomme I le milieu de [AB] et donc d après le théorème de la médiane on a M A MB = M I 1 4 AB donc M A MB = k M I 1 4 AB = k M I = k AB Premier cas : Si k AB < 0 alors il n y a pas de solution : E M = Deuxième cas :Si k AB > 0 alors on pose λ = k AB On a donc M I = λ M I = λ ou M I = λ la deuxième solution étant impossible en Géométrie, on obtient M I = λ Donc l ensemble des points M est le cercle de centre I et de rayon λ. Troisième cas :k AB = 0 alors M I = 0 donc E M = {I } Aire d un triangle -11-

12 GÉnÉralitÉs sur les suites Classe de Première S Propriété 6 On note S la surface du triangle ci-dessus, alors : S = 1 bc sin(α) S = 1 ac sin(β) S = 1 ab sin(θ) Démontrons la troisème formule : Si AC H est aigu : On sait que S = 1 BC AH Or dans le triangle AHC rectangle en H on a AH=AC sin(θ) donc S = 1 ab sin(θ) Si AC H est obtu : On a sin( AC H) = sin(π θ) = sin(θ) donc on obtient la même formule Formule des sinus Propriété 7 Dans le triangle ci-dessus, on a : abc S = a sin(α) = b sin(β) = c sin(θ) On sait d après le paragraphe précédent que : S = 1 bc sin(α) = 1 ac sin(β) = 1 ab sin(θ) En multipliant les égalités par puis en prenant l inverse, on obtient les bonnes formules. abc -1-