COURS DE PROBABILITES DE DEA : MOUVEMENT BROWNIEN ET CALCUL STOCHASTIQUE

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1 COURS DE PROBABILITES DE DEA : MOUVEMENT BROWNIEN ET CALCUL STOCHASTIQUE 29 décembre 25

2 Table de matière 1 Le mouvement brownien : Réultat préliminaire : Vecteur gauien : Le théorème de Kolmogorov d exitence de probabilité ur le epace produit Un théorème de compacité de Prokhorov : Définition et première propriété : Contruction du mouvement brownien Première méthode L intégrale de Wiener Deuxième méthode Troiième méthode : le critère de Kolmogorov-Centov Comportement aymptotique : Régularité du mouvement brownien Variation quadratique du mouvement brownien Non-différentiabilité Propriété de Hölder Temp d atteinte Calcul tochatique d Itô L intégrale tochatique d Itô Généraliation de l intégrale d Itô Le formule d Itô : Première formule d Itô Proceu d Itô Formule d Itô avec dépendance en t Exercice Extenion de réultat à IR d :

3 TABLE DES MATIÈRES TABLE DES MATIÈRES Mouvement brownien et intégrale tochatique vectoriel Formule d Itô vectorielle Le inégalité de Burkholder-Davi-Gundy Théorème de repréentation de martingale Equation différentielle tochatique Introduction Etimation préliminaire Exitence et unicité de la olution Exemple Proceu d Orntein-Uhlenbeck Proceu de Black et Schole Dépendance par rapport aux condition initiale Propriété de la olution Propriété de Markov de olution de EDS Proceu de Markov Définition et exemple Propriété de Markov Générateur infinitéimal de olution de EDS La formule de Feynman-Kac

4 Chapitre 1 Le mouvement brownien : 1.1 Réultat préliminaire : Vecteur gauien : Lemme Si le couple de vecteur aléatoire X, Y et gauien, i X et non dégénéré et i on poe Σ Y X = IE [ Y IEY X IEX T et K X = IE [ X IEXX IEX T alor on a : Y + Σ Y X K 1 X X X et IE[X Y = IEY + Σ Y X K 1 X X IEX On peut uppoer X et Y centré pour implifier. On poe U = Y Σ XY K 1 X X alor le couple U, X et gauien car image de X, Y par une application linéaire et Σ UX = IEUX T = IEY X T Σ XY K 1 X XXT = Σ Y X Σ Y X K 1 X K X = Il en réulte que X et U ont indépendant et donc que IEU X = et remplaçant U par a valeur on trouve le réultat voulu 4

5 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : 1.1. RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES : Le théorème de Kolmogorov d exitence de probabilité ur le epace produit Soit E, F un epace meurable et pour k < n on note π n k la projection canonique de En ur E k ie π n k x 1,..., x n = x 1,..., x k. Celle-ciet également meurable par rapport aux tribu F n et F k. Définition Une famille de probabilité P t1,...,t n définie ur le produit E n, F n et indexée par le n-uplet, n IN, d un enemble T et une famille projective i elle atifait π n k P t1,...,t n = P t1,...,t k pour tout entier n, tout n-uplet t 1,..., t n T n et tout k < n. Théorème Théorème de epace produit de Kolmogorov Soit E un epace localement compact à bae dénombrable d ouvert et F a tribu borélienne. Si T et un enemble d indice, i P = P t1,...,t n et une famille projective de probabilité ur le produit fini E t1 E tn, i Ω, A et un epace meurable et X : Ω, A E T, F T et meurable alor il exite une unique probabilité P ur Ω, A telle que la loi temporelle de X ou P oit égale à P. On admettra la preuve de ce théorème Un théorème de compacité de Prokhorov : Théorème Si E et un métrique complet et éparable, de toute uite tendue P n n de probabilité ur E, on peut extraire une ou-uite qui converge étroitement. Si la uite P n n ne converge pa étroitement, on peut en extraire deux ou-uite qui convergent étroitement ver de probabilité ditincte. 5

6 1.2. DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS CHAPITRE : 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Réulte de théorème de Riez et Banach-Alaoglu. 1.2 Définition et première propriété : Définition Un proceu tochatique réel {B t : t } et appelé mouvement brownien tandard i le troi condition uivante ont atifaite : i Le proceu B et à accroiement indépendant ie pour tout n-uple t 1 t n d intant, le variable aléatoire B t1, B t2 B t1,..., B tn B tn 1 qu on appelle le accroiement de B ont indépendant. ii Pour chaque t la v.a.r B t uit la loi N, t. iii Le trajectoire t B t ω ont continue pour preque tout ω. Commençon par montrer que le propriété i et ii peuvent énoncer différemment. Propoition Un proceu B t, t IR +, dont le trajectoire ont p.. continue et un mouvement brownien i c et un proceu gauien centré de covariance inf, t. De plu le accroiement B t B, < t, d un mouvement brownien uivent la loi N, t. Suppoon d abord que B atifae aux condition de la définition A caue de ii et de l indépendance, la relation B t = B + B t B e traduit au niveau de fonction caractéritique par exp u2 t = exp 2 u2 φ Bt B u, 6

7 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.2. DÉFINITION : ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS : d où il uit que la fonction caractéritique de B t B et exp u2 t 2, ce qui montre la deuxième phrae de l énoncé. Pour montrer que B et gauien il faut montrer que pour de intant = t t 1 t n et de calaire a i quelconque la v.a. a i B ti et gauienne ; mai en remplaçant B ti par i k=1 Btk B tk 1 on voit que cette variable et une combinaion linéaire de gauienne indépendante et et donc gauienne. Finalement pour < t, Cov B t, B = IE [B B + B t B = IE [ B 2 = ce qui démontre l implication directe. Réciproquement, on peut d abord contater que i B et un proceu centré gauien de covariance inf, t, B t uit une loi N, t et il rete alor jute à montrer que le accroiement ont indépendant. Comme le proceu et gauien centré, il uffit donc de montrer que le accroiement ont orthogonaux, oit que pour t 1 t 2 t 3 t 4, or ceci réulte facilement de l hypothèe Cov B t2 B t1,b t4 B t3 =, Il et alor aié d obtenir le loi temporelle du mouvement brownien. Propoition Loi temporelle du mouvement brownien. Soit < t 1 < < t n < +. La loi temporelle du vecteur B t1,..., B tn et une loi normale à n dimenion, dont la denité conjointe fx 1,..., x n et donnée par : fx 1,..., x n = 1 1 2π n 2 t1 t 2 t 1 t n t n 1 e 2 x 2 «1 t1 + x 2 x xn x n 1 2 t 2 t 1 tn t n 1. 7

8 1.2. DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS CHAPITRE : 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Nou avon i f C b IR n : IE[fB t1,..., B tn = IE[fB t1, B t2 B t1 + B t1,..., B tn + B tn 1 B tn B t1 = fy 1, y 2 + y 1,..., y n + + y 1 IR n y 1 2 e t1 2πt1 e y 2 2 t 2 t 1 e yn 2 tn t n 1 2πt2 t 1 2πtn t n 1 = fx 1,..., x n 2π n 2 t1 t 2 t 1 t n t n 1 exp 1 x x 2 x x n x n t 1 t 2 t 1 t n t n 1 la dernière égalité obtenant par le changement de variable : x k = y 1 + y y k, k {1,..., n} et ceci nou donne le réultat voulu Une autre façon d énoncer ce réultat et de donner directement la matrice de covariance du vecteur B t1,..., B tn. Propoition Le vecteur B t1,..., B tn et centré et a matrice de covariance et donnée par : t 1 t 1 t 1 t 1 t 1 t 2 t 2 t 2 Γ = t 1 t 2 t 3 t t 1 t 2 t 3 t n On peut obtenir ce réultat à l aide de la propoition précédente mai il vaut mieux utilier la propoition qui donne directement le réultat 8

9 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.3. CONSTRUCTION : DU MOUVEMENT BROWNIEN 1.3 Contruction du mouvement brownien Première méthode L intégrale de Wiener Comme nou allon le voir par la uite, un mouvement brownien n et p.. pa à variation bornée voir propoition et l on ne peut pa définir une intégrale par rapport à B t comme on peut le faire traditionnellement avec de fonction à variation bornée. Dan ce qui uit, L 2 IR + déigne l epace de clae de fonction preque partout égale de IR + dan IR atifaiant IR + f 2 t dt < et L 2 Ω = L 2 Ω; F; P. On note <.,. > le produit calaire uuel ur L 2 IR+. Théorème Etant donné un mouvement brownien B t, t, on peut aocier à chaque fonction f L 2 IR+ une clae de variable aléatoire : Bf = ft db t IR + telle que : Si f = 1 u;v u < v, alor Bf = B v B u. L application L2 IR+ L 2 Ω et linéaire et iométrique. On a aini : f Bf f, g L 2 IR+, IEBfBg =< f, g > Plu préciément le ou-epace vectoriel {Bf; f L 2 IR+} de L 2 Ω coïncide avec l epace gauien HB et la variable aléatoire Bf et caractériée par le deux propriété : i Bf HB ii IEB t Bf = f d Soit le ou-epace vectoriel de L 2 IR+ formé de fonction en ecalier et intégrable, ie de la forme : k f = a i 1 ti 1 ;t i, i=1 9

10 1.3. CONSTRUCTION DU MOUVEMENTCHAPITRE BROWNIEN1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : avec k IN et < t 1 < < t k, a i IR. Pour f de la forme précédente, on aocie la variable aléatoire : Bf = k a i B ti B ti 1. i=1 On peut remarquer que cela ne dépend pa de l écriture choiie pour f car 1 u;v = 1 u;w + 1 w;v, u < w < v. On a aini contruit une application L2 Ω qui et clairement f Bf linéaire. De plu, on a : IEBf = k 2 IEBf 2 = IE a i B ti B ti 1 = = i=1 k a 2 i t i t i 1 par l indépendance de accroiement de B i=1 IR + f 2 t dt Notre application et donc une iométrie et comme et dene dan L 2 IR+ on peut la prolonger en une iométrie linéaire de L 2 IR+ dan L 2 Ω. Il et facile de voir que HB et l adhérence de {Bf; f } et celle-ci coïncide avec {Bf; f L 2 IR+}. Pui comme {B t ; t } et total dan HB, on en déduit la dernière aertion Notation : Pour T > et f meurable de IR + dan IR telle que f 1 [;T L 2 IR+, on notera : T ft db t = B f 1 [;T. On obtient aolr la formule d intégration par partie uivante : 1

11 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.3. CONSTRUCTION : DU MOUVEMENT BROWNIEN Propoition Soit f C 1 IR +, T >. Alor : T ft db t + T f tb t dt = ft B T Si, de plu, ftb t P p.. quand t et f t t dt < alor : ft db t + f tb t dt =. IR + IR + On a trivialement : ce qui donne en intégrant pour T : ft dt + ft + T t T oit d aprè le propriété de l intégrale de Wiener : ou encore On obtient aini : IE[B Bf 1 [;T + IE[B Bf 1 [;T + T, IE T T t f u du f u dudt = ft f u minu, du = ft f uieb B u du = ft IEB T B. [ T Bf 1 [;T + f ub u du ft B T B =. Comme Bf 1 [;T + T f ub u du ft B T HB t, t T et que B t, t T en et un ou-enemble total, on a : d où la première aertion. Bf 1 [;T + T f ub u du ft B T = 11

12 1.3. CONSTRUCTION DU MOUVEMENTCHAPITRE BROWNIEN1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Pour la deuxième egalité, la eule choe à montrer vu la première partie et que le deux intégrale du membre de gauche convergent P p.., or : IE f ub u du = Ω B u uf u dpdu u IE B 1 f u u du 2 = f u u du π < Donc P p.., f ub u du converge. Pour la première intégrale, il uffit de montrer que f L 2 IR + : f 2 t dt = = = 2 f u du dt t f uf v dudv dt t t 1 {t minu,v} f uf v dudvdt minu, v f uf v dudv uv f uf v dudv u f u du < + Donc f L 2 IR + et la propoition et démontrée Deuxième méthode Introduction D aprè le théorème 1.3.3, i {ϕ n ; n IN} et une bae orthonormale de L 2 IR + alor la uite {ξ n ; n IN} définie par : ξ n = Bϕ n, n IN 12

13 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.3. CONSTRUCTION : DU MOUVEMENT BROWNIEN et une bae orthonormale de l epace HB et, en particulier, ont indépendante de loi N ; 1. Si on poe : ϕ n = ϕ n u du = < ϕ n, 1 [; > alor on obtient : 1 [;. = h IN ϕ n ϕ n. et comme cette dernière érie converge dan L 2 IR +, on a : B = n IN ϕ n ξ n. Nou allon nou ervir de ce remarque pour contruire le mouvement brownien d une façon plu théorique mai moin intuitive que précédemment. Deuxième contruction On e donne pour commencer : i Une bae orthonormale {ϕ n, n IN} de L 2 IR +. ii Une uite {ξ n, n IN} de variable aléatoire indépendante de loi normale centrée réduite. On définit : t, B t = ϕ n tξ n n IN où l on a gardé le même notation que dan l introduction, et comme la érie converge dan L 2 Ω, on a : 1. IEB 2 t = n IN ϕ nt 2 =< 1 [;t, 1 [;t> = t 2. IEB t = 3. IEB t B = n IN ϕ nt ϕ n =< 1 [;t, 1 [; > = mint, Donc {B t, t } et un proceu gauien centrée de covariance mint,. La eule choe retant à montrer d aprè la propoition et la continuité de trajectoire preque ûrement. On va prouver ceci en utiliant une bae particulière de L 2 IR +, la bae de Haar. Soit ϕ : IR IR définie par : ϕt = 1 i t ; 1/2 1 i t 1/2; 1 inon 13

14 1.3. CONSTRUCTION DU MOUVEMENTCHAPITRE BROWNIEN1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Pour chaque n, k IN, on définit : ϕ n,k t = 2 n/2 ϕ2 n t k, t On remarque que ϕ n,k t = pour t k2 n ; k + 12 n. Pui on définit le fonction : ψ k = 1 k;k+1, k IN. La famille de fonction {ψ k, k IN} {ϕ n,k, n, k IN} et une bae orthonormale de L 2 IR + appelée bae de Haar. On remarque que la primitive ϕ de ϕ et donnée par : t i t ; 1/2 ϕt = 1 t i t 1/2; 1 inon et que la primitive ϕ n,k de ϕ n,k et donnée par : ϕ n,k t = 2 n/2 ϕ2 n t k et annule en dehor de l intervalle k2 n ; k + 12 n [. Soit {η k, k IN; ξ n,k, n, k IN} une uite de variable aléatoire indépendante de loi normale centrée réduite. On définit : β t = ψ k tη k k IN B n t = k IN ϕ n,k tξ n,k, n IN B t = β t + n IN B n t, t On ait déjà que {B t, t } et un proceu gauien centrée de fonction de covariance mint, et qu il nou rete jute à montrer que P p.. le trajectoire ont continue pour avoir que ce proceu et un mouvement brownien. Remarquon tout d abord que ur chaque intervalle compact [; T, {β t } et chaque B n t et une combinaion linéaire finie de fonction continue, donc continue. Il rete à montrer que n Bn t converge uniformément ur [; T. Mai B n t = ϕ n,k tξ n,k, pour k2 n t k + 12 n 14

15 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.3. CONSTRUCTION : DU MOUVEMENT BROWNIEN d où et par conéquent : car max t T Bn t = 2 n 2 1 P max t T Bn t > a2 n 2 max k 2 n T ξ n,k, = P max ξ n,k > 2a k T 2 n T 2 n P ξ > 2a T 2 n e 2a2, i a 1 P ξ > 2a IE [ ξ 1 { ξ >2a} = e 2a2 a 2T 2a On choiit a = n : n 1 P max t T Bn t > n2 n/2 T n 12e 2 n < Il réulte alor du lemme de Borel-Cantelli que P pour preque tout ω Ω, nω, n nω, max t T Bn t n2 n/2 et la convergence uniforme découle alor du fait que n n2 n/2 <. On a aini redémontré l exitence du mouvement brownien Troiième méthode : le critère de Kolmogorov-Centov Reprenon le début du raionnement précédent juqu à obtenir l exitence d un proceu gauien centré B t, t de covariance min, t. Il ne nou retait alor qu à démontré l exitence d un tel proceu à trajectoire continue. Au lieu d utilier le bae de Haar, noou allon maintenant utilier un critère de continuité dû à Kolmogorov-Centov : 15

16 1.3. CONSTRUCTION DU MOUVEMENTCHAPITRE BROWNIEN1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Théorème Soit Ω, F, P, X t, t [, 1 un proceu aléatoire tel qu il exite de contante α, β, C > telle que pour tou, t [, 1, IE [ X t X α C t 1+β. Alor il exite un proceu X à trajectoire Hölderienne d ordre γ γ, β [, qui et une α modification de X. La première partie de la preuve va coniter à contruire le proceu X ur l enemble D de nombre dyadique. Pour cela, i γ, α/β[, on a : P max X X > 1 k=1...2 n k 2 n k 1 2 n 2 nγ = P 2 n k=1 2 n k=1 2 n k=1 2 n k=1 P { X k X k n 2 n 2 nγ } { X k 2 n X k 1 2 n α > 1 2 nαγ 2 nαγ IE X X k 2 n k 1 α 2 n 2 nαγ C = 2 n 2 nαγ C2 n nβ = C2 nαγ β } 1+β 1 vu le hypothèe 2 n d aprè l inégalité de Markov Comme γ, α/β[, on a n=1 C2nαγ β < donc d aprè le lemme de Borel-Cantelli, on a { P lim up max X X > 1 } = n k=1...2 n k 2 n k 1 2 n 2 nγ ce qui ignifie que : A F, P A = 1 tel que ω A, N ω IN, n N ω, X ω k 2 n X ω 1 k 1. 2 n 2 nγ Noton D m = { k, k 2 m} l enemble de dyadique d ordre m. Soit m, n IN tel que 2 m m > n N ω, et, t D m tel que < t, t < 1 2 n. 16

17 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.3. CONSTRUCTION : DU MOUVEMENT BROWNIEN Alor i = k 2 m, il exite a 1,..., a m n {, 1} tel que t = k 2 m + a 1 2 n a m n 2 m et on a X t ω X ω = X k 2 m + a 1 2 n a ω X ω m n 2 m k 2 m m n X k 2 m + a 1 2 n a j ω X k 2 n+j 2 m + a 1 2 n a j 1 ω 2 n+j 1 j=1 m n j=1 1 vu que ω A. 2 n+jγ Conidéron maintenant, t D tel que t 1. Soit alor n IN tel que t 1 et 2 Nω 2 n t > 1 et m > n tel que, t D 2 n+1 m. D aprè l inégalité obtenue précédemment, on a X t ω X ω m j=n jγ 2 γn+1 j= 2 jγ = 2 γn+1 2 γ 2 γ 1 2 γ t 2 γ γ 1 Comme la fonction t X t ω et γ-hölderienne ur D [, 1, on peut la prolonger ur [, 1 en une fonction toujour γ-hölderienne t X t ω. Pui i ω A, on poe X t ω =, t [, 1. Le proceu X aini défini et à trajectoire hölderienne d ordre γ. Il ne rete plu qu à montrer que X et une modification de X. Or i t D, comme X t ω = X t ω pour ω A et P A = 1 on a X t = X t P p.. pour t D. Si t D, on a ω A, X t ω = lim X ω D, t Soit donc n n une uite de D qui converge ver t. Comme IE [ X t X n α C t n 1+β, X n converge en probabilité ver X t et quitte à extraire une ou-uite on peut uppoer que X n converge P p.. ver X t. Par unicité de la limite, on a donc, ur un enemble de probabilité 1, X t ω = X t ω, et ceci achève la preuve 17

18 1.4. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE CHAPITRE : 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : 1.4 Comportement aymptotique : Théorème Soit B t t un mouvement brownien alor on a : B t lim t t = P p On a : t, Bt t = B [t [t [t t + Bt B [t t. D aprè la loi de grand nombre on a : B [t lim t [t = lim t [t k=1 B k B k 1 [t = IEB 1 = On poe pour n IN, ξ n = up B [n,n+1 B [. On obtient aini : t, Bt B [t t ξ [t. Comme le var ξ [t n, n IN ont iid et intégrable appliquer le inégalité maximale pour le martingale à B t, d aprè la loi de grand nombre, on a ξ n lim n n = P p d où le réultat Propoition Soit B t t un mouvement brownien alor on a : On a lim up t B t t = + et lim inf t B t t = P p { } { } B t B P lim up = + P lim up n = + = P t t n n M IN { } B t lim up M n t Or { } B n M IN, P lim up M n n lim up P B n M n n 18

19 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.4. : COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE : et P B n M { n = PB 1 } M >. D autre part lim up Bn n M et un évènement de la tribu aymptotique de va B n B n 1 n qui ont indépendante donc a pour probabilité ou 1, et vu ce qui précède cela ne peut être que 1 Corollaire On a : P p, x IR, t tel que B t = x. Ceci réulte facilement de la propoition précédente et du théorème de valeur intermédiaire La propoition et un premier réultat concernant le comportement aymptotique du mouvement brownien ne néceitant que peu de travail. On peut en fait démontrer, ou peine d effort upplémentaire, un réultat beaucoup plu fort : la loi du logarithme itéré, qui non eulement donne une répone ur le comportement de B t quand t ou t mai illutre aui l irrégularité de trajectoire du mouvement brownien, ce qui era l objet de la ection uivante. Théorème Loi du logarithme itéré : Soit B un F t -mouvement brownien. Alor on a : P lim up t B t 2t lnln1/t = 1 = 1 et P lim inf t B t 2t lnln1/t = 1 = 1. Soit θ, 1[, δ > et β >. On note et on poe pour n IN, h = 2 lnln1/ β n = βhθ n et α n = 1 + δ lnn β n. 19

20 1.4. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE CHAPITRE : 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : { } En appliquant l inégalité maximale à la martingale exponentielle exp α n B t α2 nt, t 2 on a P up exp α n B α2 n expβ n α n exp β n α n IE [ expα n B 1 α n/2 = exp β n α n d où on tire Or et comme n=1 1 n 1+δ P up B α n β n exp β n α n. 1 2 exp β n α n = exp βhθ n 1 + δ lnn βhθ n 1 = n 1+δ < on peut appliquer le lemme de Borel-Cantelli qui aure donc que { } P lim up up B α n /2 β n =. n 1 On en déduit qu il exite A F tel que P A = 1 et ω A, N ω IN, n N ω up B ω α n /2 β n. 1 Soit θ tel que h oit croiante ur l intervalle, θ [, ω A, n max on a B ω B ω αn 2 up = up + α n [θ n,θ n 1 h [θ n,θ n 1 h 2h 1 up B hθ n ω α n + α nθ n 1 [θ n,θ n 1 2 2hθ n β + α nθ n 1 2hθ n 1 + δ lnn = β + 4βθ lnlnθ n = β δ lnn 4βθ lnn + ln lnθ N ω, 1 + lnθ lnθ, 2

21 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.4. : COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE : On poe εn = ce qui donne : On en déduit pour ω A lnn 1, donc εn lorque n. Pui on choiit β = 1+δ, lnn+ln lnθ 4θ B ω 1 + δ up [θ n,θ n 1 h 1 + εn. 4θ lim up B ω h lim up n 1 + δ 1 + δ 1 + εn = 4θ, δ >, θ, 1[. 4θ Choiiant θ 1 et δ on obtient : 1.1 P p.. lim up B ω h 1. On va montrer l inégalité invere. Soit maintenant θ, 1[ et β, 1 θ[, alor β n P B θ n B θ n+1 > β n = P B 1 > θn 1 θ = P B 1 > β 2θ n lnlnθ n θn 1 θ 2 lnlnθ n = P B 1 > β 1 θ = 1 2π q β 2 lnlnθ n 1 θ e x2 2 dx 1 1 θ β 4π lnlnθ n e lnlnθ n 1 1 θ 1 2β ln θ β2 1 θ π β 2 1 θ n β2 1 θ lnn car Or d aprè le critère de Bertrand, la érie 1 diverge. On a donc lnn n β2 1 θ P B θ n B θ n+1 > β n = n=1 x 2 dt e x 2 2 x e t2 21

22 1.4. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE CHAPITRE : 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : et comme le accroiement ont indépendant, on peut utilier la réciproque du lemme de Borel- Cantelli qui aure que P p.. on a pour une infinité de n, B θ n B θ n+1 > β n. D autre part, en appliquant la formule 1.1 à { B t, t } qui et aui un mouvement brownien, on obtient P p.. lim inf B ω h 1. En combinant ce deux réultat, on obtient que P p.., on a, pour une infinité de n, ce qui donne pour ce n là : B θ n β n hθ n+1 B θ n hθ n β hθn+1 hθ n β lnlnθ θ n 1 lnlnθ n = β θ1 + εn On en déduit d où P p.., lim up t P p.., lim up t et choiiant θ, on obtient la minoration : et ceci termine la preuve B h β θ, β, 1 θ[ B h 1 θ θ, θ, 1[ P p.., lim up t B h 1 Corollaire Soit B un F t -mouvement brownien. Alor on a : B t P = 1 = 1 et P 2t lnlnt lim up t lim inf t B t 2t lnlnt = 1 = 1. 22

23 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.4. : COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE : { Il uffit d appliquer le théorème au mouvement brownien tb 1 t }, t Corollaire Soit B un F t -mouvement brownien. Alor on a : P lim up h B t+h B t 2h lnln1/h = 1 = 1 et P lim inf h B t+h B t 2h lnln1/h = 1 = 1. Il uffit d appliquer le théorème au mouvement brownien {B t+ B t, } FIG. 1.1 Illutration par imulation de la loi du log itéré 23

24 1.4. COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE CHAPITRE : 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Exercice Soit f L 2 loc IR +, et X t = f db. On poe at = f 2 d et ct = inf {u ; au > t}. 1 Montrer que le proceu W t = X ct et pour t < f 2 d, un mouvement brownien. 2 Montrer que pour tout t, X t = W at P p.. 3 On conidère le proceu Z t = 1 t db 1, défini pour t < 1. Montrer que Z t tend preque ûrement ver quand t tend ver 1. Répone : 1 Il et clair que a et continue et croiante, donc que c et croiante et continue à droite. P p.., le proceu X ct et donc continu en tout point de continuité de c et i t n et pa un point de continuité de c, en poant x = lim t t ct, f = p.p. ur [x, ct raionner par l aburde et alor i t < t on a lim t t X ct X ct = lim t t = ct x ct ct f db f db = car f = p.p. ur [x, ct Donc X et un proceu à trajectoire continue P p.. De plu on a X c = car comme précédemment f et nulle ur [, c. Enuite comme W t HB, ce proceu et gauien. Il et facile de voir qu il et centré car X l et, pui CovW t, W = IE [ X ct X c [ ct c = IE fu db u fu db u = ct c = act c f 2 u du = act = t Finalement W et bien un mouvement brownien. 24

25 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.4. : COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE : 2 On a évidemment t, W at = X cat. Comme cat = inf {u ; au > at} et que a et croiante, on a cat t. Pui acat = at cat donc f = p.p. ur [t, cat et ceci implique aui que d où le réultat. X cat = = = cat = X t t f db f db + f db f 2 d = cat t f db 3 Le fait que 1 1 L2 loc IR + ne permet pa d appliquer directement le réultat précédent. Soit δ, 1[. Alor la fonction 1 Si on poe X t = at = Aini, on a montré que 1 1 [,δ L 2 loc IR [,δ db et que l on applique ce qui précède, on a { t 1 t i t [, δ δ 1 δ i t > δ δ < 1, W t = et ct = t 1+t t 1 + t pour t 1 1 d et un mouvement brownien ur [, δ 1 δ [ et Xt = W t 1 t avec t < δ < 1. En réumé, W t = t 1+t et un mouvement brownien et pour t < 1 on a 1 1 db, t 1 1 db = W t 1 t. [, δ 1 δ P p.. en appliquant la quetion 2 [ 25

26 1.5. RÉGULARITÉ DU MOUVEMENT BROWNIEN CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Utiliant le théorème 1.4.1, on a oit ce qui donne le réultat voulu 1 t lim t 1 t W t 1 t = P p.. Z t lim t 1 t = P p Régularité du mouvement brownien Variation quadratique du mouvement brownien Propoition , t IR, t, i k k et une uite de ubdiviion e [, t telle que le pa de ce ubdiviion tende ver alor le expreion T k = i B ti B ti 1 2 convergent en moyenne quadratique ver t. En e ervant du fait que pour une variable N, σ 2 le moment d ordre 4 et égal à 3σ 4 et que le accroiement B ti B ti 1 ont indépendant, on obtient que : [ T IE k t 2 = 2 t i t i k t et cette dernière expreion tend ver lorque k tend ver l infini i Traiton un ca particulier de ce dernier réultat : lorque le ubdiviion ont choiie de telle orte que k, k+1 oit plu fine que k. Dan ce ca-là on obtient la convergence preque ûre de T k. Pour implifier on choiit n IN, n = {, t,..., tk,..., t }. 2 n 2 n 26

27 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.5. RÉGULARITÉ : DU MOUVEMENT BROWNIEN Propoition Suppoon que n IN, n = {, t 2 n,..., tk 2 n,..., t } et oit T n = 2 n i=1 B it 2 n B ti 1 2 n 2. Alor T n converge ver t P p. Nou avon déjà calculé IE T n qui vaut t. Enuite nou avon : Var T n = = 2 n k=1 2 n k=1 = 3t2 2 n 2 Var B B kt 2 n tk 1 2 n 2 t 3 2 n Pui d aprè l inégalité de Tchebycheff,on a : T P n t 1 k 2 Var T n = k 2 3t2 k 2 n Comme la érie 1 converge on peut utilier le lemme de Borel-Cantelli qui aure que 2 n { T P lim up n t } 1 = n k On obtient aini : P k=1 lim up n et ceci aure que T n converge P p ver t { T n t } 1 = k Remarque : Il découle de la propoition qu un mouvement brownien n et p.. pa à variation bornée inon on aurait T k B t up B t k i B t k i 1 lorque k. i 27

28 1.5. RÉGULARITÉ DU MOUVEMENT BROWNIEN CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : où B t repréente la variation totale de B t Non-différentiabilité Propoition Preque toute le trajectoire du mouvement brownien ne ont nulle part différentiable ur IR +. Si l application f : IR + IR et différentiable en un point de [; T [, alor il exite n IN\{} tel que ft f nt pour t uffiamment petit et ceci entraîne que pour k uffiamment grand, i = [k + 1 et j entier tel que i < j i + 3, fj/k fj 1/k fj/k f + f fj 1/k 7n k car pour de tel j le différence de j et j 1 avec ont au plu de 4 et 3. En conéquence, i k k on poe D = {ω Ω; < T, t B t ω et différentiable en } alor on a Noton on a alor D n 1 F n,k = m 1 k m <i<t k+1 i<j i+3 <i<t k+1 i<j i+3 { B j k { B j k B j 1 7n k 4 B j 1 7n k 4 P F n,k T k P ξ 7n 3 k }, } d où 3 14n P F n,k T k = 14n3 k k 28

29 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.5. RÉGULARITÉ : DU MOUVEMENT BROWNIEN On en déduit alor que P lim inf F n,m lim inf P F n,m = par le lemme de Fatou n m et donc que P D =, ce qui prouve la propoition Propriété de Hölder Propoition α < 1, preque toute le trajectoire du mouvement brownien ont α- 2 hölderienne ur tout ou-enemble compact de IR, ie T >, up,t [;T ;< t <h B t B P p.. lorque h t α Reprenon le notation de la ection de la page 12. Soit T > et, t [; T, nou avon i < t par exemple : β t β = = T k= T k= ψ k u du η k T k= ψ k u du max k T η k 1 du max k T η k = t max k T η k ψ k u du η k 29

30 1.5. RÉGULARITÉ DU MOUVEMENT BROWNIEN CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : et aui Bt n B n 2 max u T Bn u 2 n T 1 = 2 max ϕ n,k uξ k,n u T k= 2 n T 1 2 ϕ n,k u Mai on a également max u T k= max ξ n,k max k<2 n T u T = 2 n/2 max k<2 n T ξ n,k B n t B n = max k<2 n T ξ n,k T ϕ n,k u x dx où k u et tel que u 2 n T 1 ϕ n,k tξ n,k ϕ n,k ξ n,k k= 2 n T 1 max ξ n,k k<2 n T 1 ϕ n,k u du k= t 2 n max ξ T 1 n,k ϕ n,k u du k<2 n T 1 k= max ξ n,k 2 n/2 du k<2 n T 1 2 n/2 t max k<2 n T 1 ξ n,k On a également démontré à la ection que P max ξ n,k > 2 n k<2 n T 2 n T e 2n k 2 ; k + 1 n 2 n et comme ce majorant et le terme général d une érie convergente, le lemme de Borel-Cantelli aure que pour preque tout ω Ω, nω IN, n nω, max k<2 n T ξ n,k 2 n. 3

31 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN 1.5. RÉGULARITÉ : DU MOUVEMENT BROWNIEN On a aini pour, t T : B t ω B ω β t ω β ω + Bt n ω Bb n ω n IN β t ω β ω + Bt n ω Bb n ω + f t, n<nω où fu = n IN 2 n min2 n/2, u2 n/2, u IR + Pour montrer notre propoition, il ne rete plu qu à montrer que fu = Ou α. Soit α < 1 2 alor δ > tel que α = 1 2 δ. Comme n2 nδ lorque n, il exite une contante C > telle que n IN, n2 nδ C. Soit u et n = min { n IN; u2 n /2 > 2 n /2 } alor ce qui démontre le réultat fu = n 1 2 nu2 n/2 + 2 n2 n/2 n=1 n=n = n 1 2u n2 n/ n2 n/2 n=1 n=n n 1 2u C2 n 1 +δ n=1 2Cu 2n 1 2 +δ δ 1 n=n C2 n 1 +δ 2n 2 + 2C δ δ = 2uC 2 n 1 2 +δ δ 1 + 2C 2 n δ 1 2Cu 1 = δ 1 u 2 δ 2C δ 1 u 1 2C = δ 1 + 2C u α, δ 1 2 δ 1 +δ 2 Propoition Pour α > 1, T >, P preque toute le trajectoire du mouvement brownien ne ont pa α-hölderienne ur l intervalle [; T 2. 31

32 1.5. RÉGULARITÉ DU MOUVEMENT BROWNIEN CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Reprenon le notation de la propoition de la page 26. Soit ω Ω tel que t B t ω oit α-hölderienne ur l intervalle [; T, où α > 1/2. Soit δ > tel que α = 1 + δ. On a 2 n T n 2 ω = Bti B ti 1 Donc i=1 C = C n t i t i 1 2α i=1 n t i t i 1 1+2δ i=1 T up t i t i 1 2δ i=1...n lorque n {ω Ω; t B t ω oit α hölderienne ur [; T } { ω Ω; T n ω en n } et ce dernier enemble et de probabilité nulle d aprè la propoition Le eul ca retant à traiter et le ca α = 1 2. Propoition Pour α = 1, P preque toute le trajectoire du mouvement brownien ne 2 ont pa α-hölderienne. On commence par une remarque. { Si {B t, t } et } un mouvement brownien alor il réulte du théorème à la page 18 que B t = tb 1, t et aui un mouvement brownien. Enuite, t d aprè la propoition page 18, on a P p.. : B u lim up = lim up t B1/t u u t = lim up t = + tb 1 t t 32

33 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : 1.6. TEMPS D ATTEINTE Enuite, i {B t, t } et un mouvement brownien alor pour > fixé, {B t+ B, t } et également un mouvement brownien et, appliquant ce qui précède, on obtient : P p.. lim up t et ceci uffit à prouver notre aertion B t+ B t = Temp d atteinte Soit B t t IR + un mouvement brownien, t F t la tribu engendrée par {B ; t} et pour a, b IR a < et b >, S ab, T a et T b le temp d arrêt défini par : S ab = inf {t IR + ; B t [a; b} T a = inf {t IR + ; B t < a} T b = inf {t IR + ; B t > b} Lemme Le temp d arrêt S ab, T a et T b ont fini P p.. On peut oit utilier le corollaire de la propoition page 18 oit raionner comme uit. On a : P S ab = + = P { t ; B t [a; b} P { n IN; B n [a; b} { B1 + B 2 B B n B n 1 = P n n IN et ceci nou donne P S ab = + =. [ a n ; lorque n d aprè le théorème de la limite centrale. } b n 33

34 1.6. TEMPS D ATTEINTE CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : Comme e λbt λ2 t 2 et une F t -martingale on peut appliquer le théorème d arrêt au temp d arrêt borné T b t et on alor : IE e λb t T b λ 2 t Tb 2 = 1 Or B t Tb b donc on a : λ, IE e λ 2 t Tb 2 e λb On peut alor utilier le théorème de Lebegue pour avoir : λ, IE e λ 2 Tb 2 e λb et comme on a en prenant l epérance : 1 {Tb <+ } e λ 2 Tb 2 P T b < + e λb, λ. En faiant tendre λ ver, on obtient :P T b < + = 1 et pour de raion de ymétrie du mouvement brownien on a aui P T a < + = 1 Propoition On a le propriété uivante pour le temp d arrêt S ab, T a et T b : IES ab = ab P T a < T b = b et P T b a b < T a = a b a La tranformée de Laplace de T b et donnée par : λ, IE e b λt = e 2λb La denité de T b et donnée par : ft = 2πt 3 e b2 2t En appliquant le théorème d arrêt à B t on a : IE B Sab t = et comme B Sab t max a, b on peut appliquer le théorème de Lebegue qui donne : IE B Sab =. 34

35 CHAPITRE 1. LE MOUVEMENT BROWNIEN : 1.6. TEMPS D ATTEINTE Noton P a = P T a < T b et P b = P T b < T a. On a : { { apa + bp b = P a + P b = 1 Pa = b b a P b = a b a Pui en appliquant le théorème d arrêt à la martingale B 2 t t et en utiliant le même argument que précédemment on obtient : IES ab = IEB 2 S ab = a 2 P a + b 2 P b = ab = ab. Enuite en reprenant la fin de la démontration du lemme précédent, on a : IE e λb t T b λ 2 t Tb 2 = 1 et d aprè le théorème de Lebegue l intégrand et majorée par e λb on obtient : IE e λb T b λ 2 Tb 2 = 1 oit IE e λ 2 Tb 2 = e λb d où le réultat 35

36 Chapitre 2 Calcul tochatique d Itô 2.1 L intégrale tochatique d Itô On uppoe à partir de maintenant que l on dipoe d un epace probabilié Ω; F; P muni d une filtration F t, t et ur lequel et défini un F t -mouvement brownien {B t, t }. On uppoe de plu que F contient tou le enemble de P-meure nulle. Définion alor une première clae d intégrand. Définition Un proceu tochatique ϕ t ω défini ur IR + Ω rep ur [, T Ω et dit progreivement meurable i t IR + rep t [, T l application :, ω ϕ ω de [, T Ω dan IR et B[, T F t meurable. On notera par la uite Λ 2 IR + rep Λ 2 [, T le ou-epace de L 2 Ω IR +, P dω dt rep L 2 Ω [, T, P dω dt contitué de clae de proceu progreivement meurable. Muni du produit calaire [ < ϕ, ψ >= IE ϕ t ψ t dt IR + ΛIR + rep Λ 2 [, T et un epace de Hilbert. Pour finir, on définit Λ 2 = T > Λ 2 [, T. [ T rep = IE ϕ t ψ t dt, 36

37 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ 2.1. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE D ITÔ Soit E l enemble de clae de proceu de la forme : n 1 ϕ t ω = X i ω 1 ti,t i+1 t, t i= avec n IN, < t 1 <..., < t n et X i F ti -meurable et de carré intégrable pour i n 1. On remarque facilement que ϕ et progreivement meurable. Pour ϕ E de la forme précédente, on définit le proceu tochatique intégral Bϕ t = = n 1 ϕ db X i B t ti+1 B t ti, t i= Lemme Si ϕ E, alor t >, Plu généralement, i < < t, IEBϕ t = et IE [ Bϕ 2 t = IE [ ϕ 2 d IE [Bϕ t Bϕ F = IE [ [ Bϕ t Bϕ 2 t F = IE ϕ 2 r dr F, t. Si ϕ t ω = n 1 i= X iω 1 ti,t i+1 t alor IEBϕ t = n 1 IE [ X i B t ti+1 B t ti i= = car X i B t ti+1 B t ti Pour la deuxième égalité, on remarque tout d abord pour i < j donc t i+1 t j IE [ X i X j B t ti+1 B t ti B t tj+1 B t tj = IE [ IE [ X i X j B t ti+1 B t ti B t tj+1 B t tj F tj = IE [ X i X j B t ti+1 B t ti IE [ B t tj+1 B t tj F tj 2.1 = 37

38 2.1. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE D ITÔ CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ et de là, on en déduit : n 1 2 IE X i B t ti+1 B t ti = IE i= = IE = = [ n 1 Xi B B t ti+1 t t i 2 i= [ n 1 i= n 1 i= n 1 [ +2IE X i X j B t ti+1 B t ti B t tj+1 B t tj i<j Xi B B t ti+1 t t i 2 vu 2.1 [ IE X i IE Bt ti+1 B 2 t t i car X i B t ti+1 B t ti IE Xi 2 t ti+1 t t i i= [ = IE ϕ 2 d Pui i < < t, oit n IN tel que t n et t n 1 <, alor IE [Bϕ t F = IE = = = [ n 1 X i B t ti+1 B t ti F i= n 1 IE [ X i B t ti+1 B t ti F i= n 1 i= n 1 i= IE [ n 1 X i B t ti+1 B t ti F + IE [ n 1 X i B ti+1 B ti F + = IE [Bϕ F + n 1 i=n IE [ X i B t ti+1 B t ti F i=n IE [ IE [ X i B t ti+1 B t ti F ti F i=n IE [ X i IE [ B t ti+1 B t ti F ti F = IE [Bϕ F car B t ti+1 B t ti et centrée et F ti La dernière égalité e montre de façon analogue 38

39 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ 2.1. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE D ITÔ { Il réulte du lemme précédent que {Bϕ t, t } et Bϕ 2 t } t ϕ2 d, t F t -martingale. De plu, en utiliant le inégalité maximale pour le martingale, ie P max M t λ λ p IE M T p, t T ont de et le théorème de Fubini, on obtient pour une martingale continue {M t, t } et pour 1 < p, q < tel que = 1, p q 2.2 up t T M t L p Ω q M T L p Ω. Si on choiit p = q = 2 et que l on applique ceci à {Bϕ t+ Bϕ, t }, qui et une martingale, on obtient [ T IE up Bϕ t+ Bϕ 2 4IE ϕ 2 r dr t T Cette formule nou era utile par la uite pour étendre l intégrale tochatique à Λ 2, via le lemme uivant Lemme Pour tout ϕ Λ 2, il exite une uite ϕ n E IN telle que T > dan Λ 2 [, T. ϕ n 1 [,T ϕ 1 [,T n 1, on conidère l opérateur linéaire P n de L 2 IR + dan lui-même défini par n 2 i n P n ft = n f d 1 i t. i=1 D aprè l inégalité de Cauchy-Schwarz, on a i 1 n n, i+1 n i P n f 2 n i t n f 2 d, t i 1 n, i + 1, 1 i n 2 n n 39

40 2.1. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE D ITÔ CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ et De plu, i f L IR +, on a P n f L 2 IR + f L 2 IR +. P n f f L 2 IR +, lorque n En effet, on le montre facilement pour de fonction continue à upport compact grâce à de argument de continuité uniforme et la ca général en déduit par de argument de denité et le fait que P n et une contraction. Soit maintenant ϕ Λ 2 IR +, alor n 1, P n ϕ E car n 2 i n P n ft = n ϕ d i=1 i 1 n 1 i n, i+1 n t et i n i 1 n ϕ d et F i -meurable. n et Mai on a P n ϕ ϕ Λ 2 IR + = IE P n ϕω ϕω L 2 IR +. P n ϕω ϕω L 2 IR + P p.. et P n ϕω ϕω 2 L 2 IR + 4 ϕω 2 L 2 IR + donc le théorème de convergence dominée de Lebegue aure que P n ϕ ϕ Λ 2 IR + lorque n. De façon imilaire, i ϕ Λ 2, T >, on a P n ϕ ϕ Λ 2 [,T lorque n Remarque Dan le ca d un élément de Λ 2 IR + qui et P p.. continu et atifait up t IEϕ 2 t <, on peut approximer ϕ par au lieu de P n ϕ n 2 ϕ t n = ϕ i 1 n i i= n, i+1 n t. Nou pouvon maintenant énoncer la 4

41 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ 2.1. L INTÉGRALE STOCHASTIQUE D ITÔ Propoition ϕ Λ 2, il exite une martingale continue qui vérifie Bϕ t = IEBϕ t = et IE [ Bϕ 2 t et plu généralement, i < < t, ϕ db, t = IE [ ϕ 2 d IE [ [ Bϕ t Bϕ 2 t F = IE ϕ 2 r dr F, t, Si de plu ϕ Λ 2 IR +, alor Bϕ t Bϕ = ϕ db IR + P p.. et dan L 2 Ω lorque t. Soit ϕ Λ 2 et ϕ n n IN E IN une uite qui converge ver ϕ dan chaque Λ 2 [, T, T >. D aprè le lemme 2.1.2, n IN, {Bϕ n t, t } et une martingale { continue. D autre part, toujour d aprè le lemme 2.1.2, i ϕ E alor Bϕ 2 t } t ϕ2 r dr, t et une martingale continue et d aprè la formule 2.3, on a aui [ IE up Bϕ n t Bϕ m t 2 t T T 4IE ϕ n, ϕ m, 2 d = ϕ n ϕ n Λ 2 [,T lorque minm, n Il enuit que la uite Bϕ n et une uite de Cauchy dan l epace L 2 Ω; C[, T, T > qui et un epace complet. Soit {Bϕ t, t } a limite dan cet epace. On peut facilement vérifier que la limite ne dépend pa de la uite d approximation ϕ n n choiie et que {Bϕ t, t } et un proceu à trajectoire continue F t -adapté. De plu, comme t, Bϕ n t Bϕ t dan L 2 Ωet que l epérance conditionnelle et un opérateur continu de L 2 Ω dan lui-même, on obtient le deuxième,troiième et quatrième égalité en utliant le lemme

42 2.2. GÉNÉRALISATION DE L INTÉGRALE CHAPITRE D ITÔ 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ Pour finir, i ϕ Λ 2 IR +, on a IE[Bϕ t Bϕ 2 = IE ϕ 2 r dr lorque min, t Donc Bϕ t converge dan L 2 Ω quand t. Comme Bϕ t et aui une martingale continue bornée dan L 2 Ω, elle converge P p.. ver a limite Bϕ Remarque Il découle de la linéarité de ϕ Bϕ t, du lemme et de identité de polariation que pour ϕ, ψ Λ 2, < t IE [Bϕ t Bϕ Bψ t Bψ F = IE ϕ u ψ u du F. 2.2 Généraliation de l intégrale d Itô Nou auron beoin de définir de intégrale tochatique avec de intégrand plu généraux que ceux conidéré précédemment. Notation Pout T, on notera Λ 2 loc [, T l epace de proceu progreivement meurable qui vérifient : et T ϕ 2 t dt < P p.. Λ 2 loc = T > Λ 2 loc[, T On va maintenant définir l intégrale tochatique {Bϕ t, t } pour ϕ Λ 2 loc. Pour cela, on va introduire de temp d arrêt Lemme Soit ϕ Λ 2 loc. Pour n IN, on définit τ n par Alor τ n et un temp d arrêt. τ n = inf { t ; } ϕ 2 d n. 42

43 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE 2.2. D ITÔ GÉNÉRALISATION DE L INTÉGRALE D ITÔ En effet, on a : {τ n t} = { ϕ 2 r dr > n 1 } k 1 [,t IQ k F t Lemme Soit τ un temp d arrêt. Le proceu { 1 [,τ t; t } et progreivement meurable. Soit T >, il faut montrer que l application ψ : Ω [, T IR ω, t 1 [,τω t et F T B[, T -meurable. Conidéron le deux application ϕ: Ω [, T IR IR ω, t t, τω T et χ: [, T [, T IR u, t 1 {u<t}. Elle ont repectivement F T B[, T meurable et B[, T B[, T meurable et ψ et la compoée de ce deux fonction et et donc elle-même F T B[, T meurable Il découle du lemme précédent que n IN, ϕ Λ 2 loc, 1 [,τnϕ Λ 2 IR +. On peut alor définir pour tout n, Bt n = Il faut donc montrer que pour tout T >, Bt n n. Le proceu limite era alor noté B t ϕ = 1 [,τnϕ db, t converge P p.. uniformément pour t [, T en ϕ db, t. 43

44 2.2. GÉNÉRALISATION DE L INTÉGRALE CHAPITRE D ITÔ 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ Or cette convergence réulte du fait que lorque n on a τ n P p.. et du lemme uivant Lemme Soit ϕ Λ 2 et τ un temp d arrêt. Alor 1 [,τ ϕ Λ 2 et P p.. 1 [,τ ϕ db = τ ϕ db, t. D aprè le lemme [,τ ϕ Λ 2. Pui l égalité annoncée et équivalente au même réultat avec le temp d arrêt borné t τ. Mai tout temp d arrêt borné et limite décroiante d une uite de temp d arrêt ne prenant chacun qu un nombre fini de valeur. En effet, pour chaque n IN et k N, où N = up { k IN; k < t }, oit t k 2 n n = k et t N+1 2 n n = t. Alor la uite τ n définit par τ n ω = N+1 k=1 1 A k n ωt k n où A k n = { t k 1 n < t τ t k n}, et une uite de temp d arrêt qui convergent ver t τ. Maintenant il uffit d établir l égalité uivante pour tout n : 1 [τn,tϕ db = t τ n ϕ db qui réulte de t k n 1 A k n ϕ db = 1 A k n ϕ db, t k n oit pour < t, A F, ϕ Λ 2, 1 A ϕ r db r = 1 A ϕ r db r. 44

45 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE 2.2. D ITÔ GÉNÉRALISATION DE L INTÉGRALE D ITÔ Or [ IE 2 1 A ϕ r db r 1 A ϕ r db r F [ 2 = 1 A IE 1 A 1ϕ r db r F [ A cie 1 A ϕ r db r F [ = 1 A IE 1 A cϕ 2 r dr = [ + 1 A cie 1 A ϕ 2 r dr F Propoition ϕ Λ 2 loc, T >, Bn t ϕ converge P p.. uniformément ur [, T lorque n. Soit n < m. Alor τ n < τ m et le lemme appliqué à 1 [,τmϕ et τ n aure que : B n t = = τn 1 [,τn 1 [,τmϕ db 1 [,τmϕ db et cette dernière quantité ne dépend pa de m n. Fixon T >. Sur Ω n = {τ n T }, la uite {B n t ϕ; t T }, m = n, n + 1,... et contante et égal à a limite. Le réultat découle alor du fait que Ω n Ω P p.. Nou pouvon maintenant réumer le propriété de l intégrale d Itô obtenue. Propoition Pour tout ϕ Λ 2 loc, il exite un proceu continu B t ϕ = ϕ db, t, 45

46 2.2. GÉNÉRALISATION DE L INTÉGRALE CHAPITRE D ITÔ 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ { qui et tel que pour tout n IN, i τ n = inf t; } t ϕ2 d n, alor Bt n = τ n ϕ db, t et une martingale convergeant P p.. uniformément ur [; T, T > ver B t ϕ et vérifiant pour < < t : IE [Bt n B n F = IE [ [ t Bt n B n 2 F = IE 1 [,τnϕ 2 r dr F. La variable aléatoire B t ϕ n et pa néceairement intégrable mai vérifie : 2.4 Si de plu ϕ Λ 2 loc IR +, alor B t ϕ B ϕ = IE [ B t ϕ 2 [ IE ϕ 2 d. ϕ db P p.., lorque t. La première partie réulte de la contruction. L inégalité 2.4 et triviale i le membre de droite et infini, inon ϕ Λ 2 [, T et on a l égalité. Pour finir, i ϕ Λ 2 loc IR +, oit B n = τn ϕ db. Comme Ω n = {τ n = } Ω P p.., on peut définir B par B = B n ur Ω n, n IN. Alor le rete de affirmation découle de la propoition Le réultat uivant era trè utile par la uite. Propoition Soit ϕ Λ 2 [, T. Alor M, a > T P up B t ϕ a P ϕ 2 t dt M + 1a [ T IE infm, ϕ 2 t T 2 t dt 46

47 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE 2.2. D ITÔ GÉNÉRALISATION DE L INTÉGRALE D ITÔ { Soit τ M = inf t; } t ϕ2 d M. Alor { T {τ M < T } } ϕ 2 t dt M. On a aui { } { } up t T B t ϕ a {τ M < T } up t T B t ϕ a {τ M T }, et P up t T B t ϕ a, τ M T où ϕ M = ϕ 1 [,τm, d où le réultat P up t T B t ϕ M a 1 a IE [ B 2 T ϕ M 2 déjà vu pour le martingale = 1 [ T a IE ϕ 2 2 t 1 [,τm t dt 1 T [infm, a IE ϕ 2 2 t dt Nou pouvon maintenant énoncer un théorème de convergence qui réulte directement de la propoition précédente. Théorème Soit ϕ n n IN une uite de Λ 2 loc [, T et ϕ Λ2 loc [, T. Suppoon que Alor T ϕ n t ϕ t dt en probabilité lorque n. up B t ϕ B t ϕ n en probabilité. t T 47

48 2.3. LES FORMULES D ITÔ : CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ 2.3 Le formule d Itô : Conidéron tout d abord x C 1 IR +, et Φ C 1 IR. Alor la formule de dérivation de fonction compoée donne Φxt = Φx + Φ x dx. Notre objectif dan cette ection va être d obtenir une formule analogue i l on remplace x par un mouvement brownien Première formule d Itô Propoition Première formule d Itô : Soit Φ C 2 IR. Alor ΦB t = Φ + Φ db Φ B d. Soit Φ Cb 2IR et tn i un élément aléatoire θi n = i n ΦB t = Φ + = Φ + Φ + t, n IN. D aprè la formule de Taylor, il exite pour chaque i n t n i 1, t n i [ tel que n i=1 [ ΦB t n i ΦB t n i 1 n Φ B t n i 1 B t n i B t n i i=1 Φ B db n Φ B θ n i B t n i B t n i 1 2 i=1 Φ B d, en probabilité lorque n, car le deux omme convergent en probabilité, ce que nou allon montrer. 48

49 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ 2.3. LES FORMULES D ITÔ : D aprè le théorème 2.2.8, on a n Φ B t n i 1 B t n i i=1 B t n i 1 Φ B db en probabilité. Pui n Φ B θ n i Φ B t n i 1 B t n i B t n i 1 2 i=1 up Φ B θ n j Φ B t n j 1 1 j n up up 1 j n t n j 1 tn j n B t n i B t n i 1 2 i=1 Φ B Φ B t n j 1 en probabilité lorque n Finalement il ne rete jute qu à montrer que n Φ B t n i 1 B t n i B t n i 1 2 en probabilité. Or i=1 Φ B d = lim n i=1 Φ B d n B t n i B t n i 1 2 i=1 n Φ B t n i 1 t n i t n i 1 P p.. donc aui en probabilité i=1 et on calcule alor n a n = IE Φ B t n i 1 B t n i B t n i 1 2 ce qui donne i=1 2 n Φ B t n i 1 t n i t n i 1, n 2 a n = IE Φ B t n i 1 [B t n i B t n i 1 2 t n i t n i 1 = i=1 n IE [Φ B t ni 1 2 [B t B ni t ni 1 2 t ni t ni 1 2 i=1 n 2 up Φ x 2 t n i t n i 1 2 x IR i=1 lorque n 49

50 2.3. LES FORMULES D ITÔ : CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ Donc n Φ B t n i 1 B t n i B t n i 1 2 i=1 converge ver en probabilité et on peut alor en déduire que n Φ B t n i 1 B t n i B t n i 1 2 i=1 n Φ B t n i 1 t n i t n i 1 i=1 Φ B d en probabilité. Si maintenant Φ C 2 IR, il exite une uite Φ n n C 2 IR IN convergeant implement ver Φ et telle que Φ n x = Φx, x [ n, n. Appliquant ce qui précède, on obtient : n IN, Φ n B t = Φ n + Φ n db Φ nb d. Mai on ait que Φ n B t ΦB t P p... Enuite oit T n = inf {t ; B t > n},τ n = inf {t ; B t > n} et τ n = inf {t ; B t > n}. On a T n maxτ n ; τ n. Or d aprè la propoition 1.6.2, on a et P τ n < M = n=1 = = P τ n < M = M n=1 M M M < n=1 n=1 2πt3 e n2 2t M dt 2πt3 e n2 2t 2πt3 e n 2t 2πt e 1 2t 2πt3 e n2 2t dt dt dt d aprè le théorème de Tonnelli dt et en utiliant alor le lemme de Borel-Cantelli, on en déduit que τ n P p.., de même pour τ n et par uite de T n. 5

51 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ 2.3. LES FORMULES D ITÔ : Soit maintenant Ω n = {T n > T }. Vu ce qui précède, on a Ω n Ω P p.., et ur Ω n, on a t T, Φ nb t = Φ B t donc ce qui implique que T T et d aprè le théorème on ait qu alor T Φ nb t Φ B t dt = Φ nb t Φ B t dt en probabilité Φ nb db T Φ B db en probabilité On a aui 1 t Φ 2 nb d = 1 Φ B d ur Ω n 2 ce qui implique toujour la convergence en probabilité. On obtient donc le réultat en invoquant l unicité de la limite en probabilité Noton que le calcul différentiel d Itô diffère du calcul différentiel uuel par l apparition du terme de la dérivée econde Φ qui et due au fait que le mouvement brownien a une variation quadratique non nulle Proceu d Itô Nou généralion maintenant la formule d Itô ci-deu en remplaçant le mouvement brownien par une clae plu générale de proceu. Définition Un proceu {X t ; t } et appelé proceu d Itô il et de la forme 2.5 X t = X + ψ d + ϕ db où X et une variable aléatoire F -meurable, ψ et ϕ ont de proceu progreivement meurable qui vérifient ψ d < P p.., t et ϕ Λ 2 loc 51

52 2.3. LES FORMULES D ITÔ : CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ Il en découle qu un proceu d Itô et preque ûrement continu et progreivement meurable. Lemme Soit X une variable aléatoire F -meurable, ϕ Λ 2 loc et < < t. Alor Xϕ r db r = X ϕ r db r Reprenon un travail déjà fait : Si A F, ϕ Λ 2, alor car [ 2 IE 1 A ϕ r db r 1 A ϕ r db r F 1 A ϕ r db r = 1 A ϕ r db r, [ 2 = 1 A IE 1 A 1ϕ r db r F [ A cie 1 A ϕ r db r F [ = 1 A IE 1 A cϕ 2 r dr = Enuite i ϕ Λ 2 loc, on applique ce qui précède à ϕ 1 [,τn Λ 2, on a alor et en faiant tendre n ver on obtient 1 A ϕ u 1 [,τn db u = 1 A ϕ u 1 [,τn db u 1 A ϕ u db u = 1 A ϕ u db u. [ + 1 A cie 1 A ϕ 2 r dr F Par linéarité, on en déduit que le réultat rete vrai pour le fonction étagée, pui i X et une variable aléatoire F -meurable alor elle et limite preque ûre d une uite de fonction étagée F -meurablex n n. Comme ϕ u X ϕ u X n d X X n ϕ u du P p.. 52

53 CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ 2.3. LES FORMULES D ITÔ : le théorème permet de conclure Théorème Deuxième formule d Itô Soit {X t ; t } un proceu d Itô de la forme 2.5 et Φ C 2 IR. Alor P p.. : ΦX t = ΦX + Φ X ψ d + Φ X ϕ db expreion que l on peut aui écrire ou la forme plu concie uivante : Φ X ϕ 2 d, t, dφx t = Φ X t dx t Φ X t ϕ 2 d. Fixon t > et oit Φ Cc 2 IR. En utiliant le théorème 2.2.8, il uffit de prouver le réultat pour une uite ϕ p d élément de Λ 2 loc telle que Choiion ϕ p ϕ 2 d en probabilité quand p. 2p 1 ϕ p = 2 p i=1 it 2 p i 1t 2 p ϕ d 1 i 1t 2 p, it 2 p, aini on peut dorénavant uppoer que ϕ et borné et contant ur chaque intervalle En utiliant la formule de Taylor comme dan la propoition précédente, on obtient n n ΦX t = ΦX + Φ i X t n i 1 ψ d i=1 t n i 1 n n + Φ i X t n i 1 ϕ db + 1 n Φ X θ n t n 2 i X t n i X t n i 1 2. i 1 i=1 On va montrer maintenant que chacune de omme converge ver le terme déiré. i=1 i 1t, it 2 p 2 p 53

54 2.3. LES FORMULES D ITÔ : CHAPITRE 2. CALCUL STOCHASTIQUE D ITÔ La première de omme et une omme de Riemann pour la meure ignée µ = ψ d ur le compact [, t donc n i=1 n Φ i X t n i 1 ψ d t n i 1 Φ X ψ d P p.. quand n. Pour la econde, on remarque que, Φ X étant continue P p.., n i=1 Φ X t n i 1 1 t n i 1,t n i converge P p.. uniformément ur [, t ver Φ X, d où t n Φ X t n i 1 ϕ 1 t n i 1,t n i Φ X ϕ d en probabilité i=1 et ceci entraîne d aprè le théorème que n Φ X t n i 1 ϕ 1 t n i 1,t n i db i=1 Φ X ϕ db en probabilité. Or d aprè le lemme on a n Φ X t n i 1 ϕ 1 t n i 1,t n i db = i=1 n i=1 n Φ i X t n i 1 ϕ db t n i 1 Ceci traite donc le ca de la deuxième omme. En ce qui concerne la dernière omme, remarquon tout d abord que X t n i X t n i 1 2 = n i t n i 1 2 n i t n i t n 2 i ψ d + 2 ψ d ϕ db + ϕ db t n i 1 t n i 1 t n i 1 et la omme ur i de deux premier terme du membre de droite et majorée en valeur abolue par n i t n i up ψ d + ϕ db ψ d, i t n i 1 expreion qui tend ver P p.. lorque n. Donc il ne rete qu à étudier la limite de t n i 1 n n Φ i X θ n i i=1 t n i 1 ϕ db 2, 54