1 x. 5 2x 5 2x. 2 nde A EXAMEN BLANC de MATHEMATIQUES Nom : Mme Hobraiche

Transcription

1 2 nde A EXAMEN BLANC de MATHEMATIQUES Nom : Avril 2013 Durée : 2h Mme Hobraiche Prénom : La calculatrice est autorisée. Le sujet, noté sur 30, comporte 4 exercices indépendants les uns des autres. La note sera ramenée sur 20 Coefficient 3. Exercices 1 et 2 Exercice 4 Exercice 3 Equations La fonction carrée Vecteurs. Colinéarité Inéquations La fonction inverse Géométrie dans les repères Résolution de problème Comparaison de réels, encadrement. Equation de droites Exercice 1 6 points Résoudre dans IR l équation et l inéquation suivante. a) ( x-1) (3-2x) = (4-3x)( x-1) b) 5 2x 5 2x Exercice 2 4 points Soit un rectangle ABCD, avec AB = 6 et BC = 4. Le point S appartient au segment [DC], et on pose: DS = x 1. Pour quelles valeurs de x l aire du triangle ADS est-elle au plus égale à la moitié de l aire du triangle BCS? 2. Pour quelles valeurs de x l aire du triangle ABS est-elle strictement supérieure à la moitié de l aire du rectangle ABCD? Exercice 3 10 points 1) Dans le repère orthonormé ci-contre, placer les points suivants : A ( -4 ; -2), B ( 2 ; 0), C (1 ; 3 ), et D(-5 ; 1). Puis compléter la figure au fur et à mesure. 1) Prouver que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 2) Etudier la nature du triangle ABD. Qu en déduire pour le quadrilatère ABCD? 3) Déterminer les coordonnées de K milieu de [AB] et de L milieu de [AC]. 4) Déterminer une équation de la droite (AC) et une équation de la droite (DK). 5) Calculer les coordonnées du point d intersection de (DK) et (AC). 6) Démontrer que les points L, E et B sont alignés. O Tournez la page

2 Exercice 4 Fonctions de références. 10 points. 1) Retrouver la courbe représentative de la fonction carrée et celle de la fonction inverse dans le graphique ci-dessous. La troisième courbe est celle de la fonction racine carrée, son équation est y = x. Compléter les phrases. La fonction carrée est définie sur : Sa courbe s appelle.. et a pour équation Elle admet une symétrie par rapport à :. La fonction inverse est définie par : Sa courbe s appelle.. et a pour équation Elle admet une symétrie par rapport à :. La fonction racine carrée est définie sur.. La courbe de fonction racine carrée a pour équation y = x et n admet aucune symétrie. 2) Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : a) 1 x². S =.. b) x > x² S =.. x c) 1 x > x S =.. 3) Compléter les encadrements : (Aidez vous de la courbe) Si 2 x 6 alors.. x ².. Si 4 x 2 alors.. 1 x.. Si 1 x 3 alors.. x ².. Si 1 x 1 alors.. 1 x.. 4) Entourer la bonne réponse en vous aidant de la courbe de la fonction carrée : uestion Réponse A Réponse B Réponse C. Si x² 4 alors : -2 x 0 2 x - 2 x 2. Si x² 3 alors : x ]-3; -3[ x ]- ;- 3 ] U [ 3 ;+ [ x ]- ;- 3 [ U ] 3 ;+ [. Si 4< x² < 9 alors : x ]- ; -3[ U ] 2 ;+ [ x ]-3; 3[ U ] -2 ;2[ x ]-3 ; -2[ U ] 2 ; 3[. Si x² < 25 alors : x ]- 5; 5[ x ]- ;- 5 [ U ] 5 ;+ [ x ] - ; +5[

3 CORRECTION DE L EXAMEN BLANC DES SECONDES A : AVRIL 2013 Exercice 1 6 points a) ( x-1) (3-2x) = (4-3x)( x-1) (x 1) [ (3-2x) (4-3x) ] = 0 5 2x 5 2x (x 1) ( -1 + x) = 0 SI un produit est nul ALORS l un au moins 5 2x 5 2x de ses facteurs est nul. Soit x 1 = 0 Soit -1 + x = 0 () 2 (5 2x) 2 x = 1 x= 1 Cette équation a une unique solution dans IR qui est 1. S = {1} b) Résoudre dans IR 5 2x 5 2x Déterminons les valeurs interdites : 5-2x = 0 d où x = x = 0 d où x = 1. [() (5 2x)][(1 x) + (5 2x)] ( 5 + 2x)(1 x + 5 2x) ( 4 + x)(6 3x) Déterminons les valeurs qui annulent le numérateur : -4+x = 0 D où x = 4 6 3x = 0 D où x = 2 Dressons le tableau des signes x x x x x Bilan Les solutions de l inéquation sont les réels x appartenant à l intervalle ] - ; 1[ U [2 ; 5/2[ U [ 4 ; + [ Exercice 2 4 points Soit un rectangle ABCD, avec AB = 6 et BC = 4. Le point S appartient au segment [DC], et on pose: DS = x 1.A( ADS) = 4x/2 = 2x 2. A( ABCD) = 6.4 = 24 A( BCS) = 4(6-x) /2 = 2(6-x) = 12-2x On veut résoudre On résout : 2x 1 2 (12-2x) 2x 6- x 3x 6 x 2 L aire de ADS est inférieure ou égale à la moitié de celle de BCS pour x dans l intervalle [0 ;2]. 2x > x > 12 x > 6 Or x représente la distance entre D et S sur le segment [DC] dont la longueur est 6. Ici on trouve x>6, donc il n y a pas de position du point S possible qui réponde à cet exercice.

4 Exercice 3 10 points 1) Dans le repère orthonormé ci-contre, placer les points suivants : A ( -4 ; -2), B ( 2 ; 0), C (1 ; 3 ), et D(-5 ; 1). Puis compléter la figure au fur et à mesure. 1) Prouver que le quadrilatère ABCD est un parallélogramme. 2) Etudier la nature du triangle ABD. Qu en déduire pour le quadrilatère ABCD? 3) Déterminer les coordonnées de K milieu de [AB] et de L milieu de [AC]. 4) Déterminer une équation de la droite (AC) et une équation de la droite (DK). 5) Calculer les coordonnées du point d intersection de (DK) et (AC). 6) Démontrer que les points L, E et B sont alignés. O 1).Il s agit de montrer que les vecteurs AB et DC sont égaux. Calculons leurs coordonnées : AB 2 ( 4) = 6 1 ( 5) = 6 DC deux vecteurs ayants les mêmes coordonnées sont égaux. 0 ( 2) = = 2 On a bien AB = DC ce qui implique que ABCD est un parallélogramme. 2). Calculons les longueurs des trois côtés du triangle ABD. AD 2 = AB 2 = BD 2 = On remarque que AD 2 +AB 2 = DB 2 donc d après la réciproque du théorème de Pythagore, on conclut que le triangle ABD est rectangle en A. 3) K milieu de [AB] : L milieu de [AC] : 4) Equation de la droite (AC) : L équation réduite de la droite (AC) est de la forme y = ax +b avec a 0 et b deux réels. De même, l équation de la droite (DK) : Déterminons le coefficient directeur : a = y C y A = 3 ( 2) x C x A 1 ( 4) = 5 5 =1 L équation s écrit y = x +b Déterminons le coefficient b : Comme C appartient à la droite (AC) alors ses coordonnées vérifient l équation, c est à dire : y C = x C +b 1 = 3 + b D où b = -2 Conclusion : l équation de (AC) est y = x -2

5 5) Les coordonnées (x ; y) du point E intersection entre (AC) et (DK), vérifient les deux équations à la fois : y = y = D où. =.. Déterminons l abscisse x en résolvant cette équation : Déterminons y, en remplaçant x par sa valeur dans l une des équations, on trouve : 7) Pour montrer que L, E et B Sont alignés, vérifions si les vecteurs LE et EB sont colinéaires. Calculons leurs coordonnées : LE LB Utilisons le critère de colinéarité : xy x y = Conclusion :

6 Exercice 4 Fonctions de références. 10 points. 1) Retrouver la courbe représentative de la fonction carrée et celle de la fonction inverse dans le graphique ci-dessous. La troisième courbe est celle de la fonction racine carrée, son équation est y = x. Compléter les phrases. La fonction carrée est définie sur :IR Sa courbe s appelle une PARABOLE et a pour équation y = x 2. Elle admet une symétrie par rapport à l axe (Oy) La fonction inverse est définie sur : IR- {0} = ]- ; 0[ U ] 0 ; + [ Sa courbe s appelle une HYPERBOLE et a pour équation y = 1/x. Elle admet une symétrie par rapport à O. La fonction racine carrée est définie sur [ 0 ; + [. La courbe de fonction racine carrée a pour équation y = x et n admet aucune symétrie. 2) Résoudre graphiquement les inéquations suivantes : a) 1 x x². S = ]- ; 0[ U [1 ; + [ b) x > x² S = ]0 ; 1[ c) 1 x > x S = ]0 ; 1[ 3) Compléter les encadrements : (Aidez vous de la courbe) Si 2 x 6 alors 0 x ² 36. Si 4 x 2 alors -1/4 1 x -1/2. Si 1 x 3 alors 0 x ² 9. Si 1 x 1 alors 1 ]- ; -1[ U ] 1 ; + [. x 4) Entourer la bonne réponse en vous aidant de la courbe de la fonction carrée : uestion Réponse A Réponse B Réponse C. Si x² 4 alors : -2 x 0 2 x - 2 x 2. Si x² 3 alors : x ]-3; -3[ x ]- ;- 3 ] U [ 3 ;+ [ x ]- ;- 3 [ U ] 3 ;+ [. Si 4< x² < 9 alors : x ]- ; -3[ U ] 2 ;+ [ x ]-3; 3[ U ] -2 ;2[ x ]-3 ; -2[ U ] 2 ; 3[. Si x² < 25 alors : x ]- 5; 5[ x ]- ;- 5 [ U ] 5 ;+ [ x ] - ; +5[