Vecteurs et colinéarité. Angles orientés et trigonométrie

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE février 07 à 0:5 Vecteurs et colinéarité. ngles orientés et trigonométrie Table des matières Rappels sur les vecteurs. Définition Opérations sur les vecteurs Colinéarité de deux vecteurs Géométrie analytique Équation cartésienne d une droite 5. Vecteur directeur Équation cartésienne d une droite Équation réduite d une droite ngles orientés 7. Le radian Définition Mesure d un angle orienté Propriétés Trigonométrie 9. Définition Tableau des angles remarquables Relations trigonométriques Équations trigonométriques Lignes trigonométrie dans le cercle PUL MILN PREMIÈRE S

2 TLE DES MTIÈRES Rappels sur les vecteurs. Définition Définition : Un vecteur u ou est défini par : une direction (la droite (. un sens (de vers Une longueur : la norme du vecteur u ou Égalité de deux vecteurs = CD si et seulement si DC est un parallélogramme. C D. Opérations sur les vecteurs.. Somme de deux vecteurs La somme de deux vecteurs est définie par la relation de chasles : C = C Cette relation permet de décomposer un vecteur. On a l inégalité triangulaire : u v u v u u v v C Construction de la somme de deux vecteurs de même origine. On effectue un parallélogramme, afin de reporter le deuxième vecteur permettant d appliquer la relation de Chasles. O O O C Propriété : La somme de deux vecteurs : Est commutative : u v = v u Est associative : ( u v w = u( v w = u v w Possède un élélment neutre 0 : u 0 = u tout vecteur possède un opposé u : = PUL MILN PREMIÈRE S

3 . RPPELS SUR LES VECTEURS.. Multiplication d un vecteur par un scalaire Lorsqu on multiplie un vecteur par un réel k, appelé scalaire, le vecteur ainsi formé k u est tel que : Sa longueur est multiplié par k Si k > 0 son sens est inchangé Si k < 0 son sens est inversé. Si k = 0 on a : 0 u = 0 Propriété : ilinéarité. La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels. k( u v = k uk v (kk u = k uk v. Colinéarité de deux vecteurs Définition : On dit que deux vecteurs u et v sont colinéaires, si et seulement si, il existe un réel k tel que : v = k u Remarque : Le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur car : 0 = 0 u Propriété : La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l alignement. et CD colinéaires ( // (CD et C colinéaires,, C alignés Exemple : Voir figure ci-contre : Soit C un triangle, E, I et F tels que : E = C, CI = C et F = C. Démontrer que I, E et F sont alignés I C Exprimons EI et EF en fonction de. CI = C donc I = C. On en déduit que E = I donc que EI est un parallélogramme. On a alors : EI = F E PUL MILN PREMIÈRE S

4 TLE DES MTIÈRES De plus : EF = E F = C C = ( C C = On en déduit alors : EF = EI. Les vecteurs EF et EF sont colinéaires et donc les points E, F et I sont alignés.. Géométrie analytique Propriété : Mis à part les calculs de distance qui exige un repère orthonormé, les formules suivantes sont valable dans tout repère. Soit deux points (x ; y et (x ; y, les coordonnées du vecteur vérifient : = ( x x ; y y Soit deux points (x ; y et (x ; y, les coordonnées du milieu I du segment [] vérifient : ( x x I = y y ; On appelle déterminant de deux vecteurs u(x ; y et v(x ; y, le nombre : det( u, v = x x y y = xy x y Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est égale à 0 u et v colinéaires det( u, v = 0 Dans un repère orthonormal, la norme d un vecteur u et la distance entre les points (x ; y et (x ; y vérifient : u = x y et = (x x (y y Exemples : Dans un repère orthonormé (O, ı, j Soit ( ; et ( 5 ;. Calculer les coordonnées de de I =m[] et la longueur ( 5 = ( 5 ; = ( ; et I = ; = ( ; = ( ( = 0 = 0 On donne u( ; et v( ;. Les vecteurs u et v sont-ils colinéaires? det( u ; v = = 8 9 =. Comme det( u ; v = 0 les vecteurs ne sont pas colinéaires. Dans un repère quelconque CD est un parallélogramme. M, N, Q sont tels que : DM = D, 5 N =, CQ = CD PUL MILN PREMIÈRE S

5 . ÉQUTION CRTÉSIENNE D UNE DROITE La parallèle à (MQ menée par N coupe C en P. Déterminer le coefficient k de colinéarité tel que P = kd. Faisons une figure, en prenant comme repère (;, D : D après l énoncé les coordonnées de M, N et Q sont : ( M 0; ( (, N 5 ; 0, Q ; N M P C D Q P est sur (C, son abscisse est. De plus comme k est tel que : P = kd, son ordonnée vaut k. Les coordonnées de P sont : P(; k Comme (NP // (MQ, le déterminant de MQ et NP est nul, on a : det( MQ, NP = 0 0 = 0 k 0 5 k 5 k 5 = 0 k = 5 k = 5 = 0 Équation cartésienne d une droite. Vecteur directeur Définition : Soit une droite d définie par deux points et. Un vecteur directeur u de la droite d est le vecteur. Remarque : Le vecteur u n est pas unique, car points quelconques de la droite définissent un vecteur directeur. Si u et v sont deux vecteurs directeurs de la droite d, alors les vecteurs u et v sont colinéaires. On a donc det( u, v = 0. Exemple : Soit la droite ( définie par : ( ; 5 et ( ; Le vecteur u = est un vecteur directeur de la droite (, on alors : u = ( ; ( 5 = ( ; 8 Théorème : Une droite est entièrement définie si l on connaît un point et une vecteur directeur u. Démonstration : La démonstration est immédiate car à partir du point et du vecteur directeur u, on peut déterminer un autre point tel que : u = PUL MILN 5 PREMIÈRE S

6 TLE DES MTIÈRES. Équation cartésienne d une droite Théorème : Toute droite d du plan peut être déterminée par une équation de la forme ax by c = 0, avec a et b non tous les deux nuls. Une telle équation est appelée équation cartésienne de la droite d. Réciproquement une équation du type ax byc = 0 définie une droite de vecteur directeur u( b ; a Démonstration : Soit la droite d passant par le point (x ; y et de vecteur directeur u( b ; a. Soit un point quelconque M(x ; y de la droite d. On a alors M et u colinéaires. Leur déterminant est alors nul. On a : M = (x x ; y y, donc : det( M, u = 0 x x y y b a = 0 a(x x b(y y = 0 axby (ax by = 0 On pose c = (ax by, on a donc : axbyc = 0 Réciproquement : Soit l équation axbyc = 0. Deux cas peuvent se présenter a = 0 ou b = 0, on obtient respectivement y = c b et x = c qui sont a respectivement une droite horizontale et une droite verticale. Si a = 0 et b = 0 on peut déterminer deux points de cette équation ( en prenant respectivement x = 0 et y = 0. On obtient alors les points 0 ; c et b ( c a ; 0 ( on obtient alors le vecteur directeur = c a ; c. Vérifions b que ce vecteur est colinéaire au vecteur u( b ; a det( c a ; u = c b b = cc = 0 a Exemple : Soit la droite d définie par les point ( ; et u( ;. Déterminer une équation cartésienne de la droite d. En posant M(x ; y, on a : det( M, u = 0 xy = 0 xy 8 = 0 x y = 0 (x (y = 0 L équation cartésienne d une droite n est pas unique. On peut toujours multiplier les coefficients par un facteur k non nul. Par exemple, on peut trouver pour la droite de l exemple : x y = 0 en multipliant par (. PUL MILN PREMIÈRE S

7 . NGLES ORIENTÉS. Équation réduite d une droite Théorème : Toute droite d non parallèle à l axe des ordonnées admet une équation de la forme y = mx p appelée équation réduite de d. Le vecteur u( ; m est un vecteur directeur de d ngles orientés. Le radian Définition : Le radian est une unité de mesure d un angle comme le degré. Il est défini comme la longueur de l arc entre points du cercle unité. Le demi cercle unité a un longueur de et donc correspond à un angle de radian. On a alors : 80 = rd La mesure en degré de radian vaut donc : rd = Remarque : Le radian est une grande unité qui n est pas intuitive contrairement au degré qui est notre unité première. j O rd ı Tableau des angles remarquables en radian : Degré Radian. Définition Définition 5 : Un angle orienté est défini par deux vecteurs u et v, noté( u, v. L angle est alors orienté de u vers v. Sur la figure ci-contre, on a représenté deux angles orientés, représentant le même angle ( u, v. Le premier est orienté dans le sens direct et l autre dans le sens indirect. v u PUL MILN 7 PREMIÈRE S

8 TLE DES MTIÈRES. Mesure d un angle orienté Pour mesurer un angle orienté, il faut une unité (degré ou radian et un sens de parcours. Un même angle peut avoir des mesures différentes, comme dans la figure ci-dessus. Ces mesures sont alors équivalentes. Elles sont égales à près, on dit alors qu elles sont égales modulo. Définition : On dit que les mesures (en radian θ et θ d un même angle orienté ( u, v sont égales modulo, s il existe un entier relatif k tel que : θ = θ k on écrit alors θ = θ [] Exemple : 5 = [] en effet, 5 = 5 = Définition 7 : On appelle mesure principale d un angle orienté ( u, v, la mesure θ avec θ ], ]. On appelle mesure positive d un angle orienté( u, v, la mesure θ avec θ [0, [ Exemple : Voici ci-dessous le cercle trigonométrique avec les angles remarquables exprimés en mesure principale. 5 O Propriétés Les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si : ( u, v = 0 [] ou ( u, v = [] Relation de Chasles : Soit trois vecteurs u, v et w, alors : Soit les vecteurs u et v, alors on a : ( u, v( v, w = ( u, w ( v, u = ( u, v ( u, v = ( u, v ( u, v = ( u, v ( u, v = ( u, v PUL MILN 8 PREMIÈRE S

9 . TRIGONOMÉTRIE Exemple : D après la figure suivante, déterminer à l aide des propriétés des angles orientés : (, C (, C = (, C ( C, C relation de Chasles = [(, C = = 9 = ]( C, C inversion des vecteurs Remarque : On aurait pu retrouver cet angle de façon "classique" en faisant le complément à C Trigonométrie. Définition Définition 8 : Dans un repère orthonormal direct, α est l angle orienté dans le cercle unité, on a alors : cos α = projection de l angle sur l axe des abscisses sin α = projection de l angle sur l axe des ordonnées sin α O α cos α tan α tan α = projection de l angle sur la droite tangente au cercle. Tableau des angles remarquables α 0 sin α 0 cos α 0 tan α 0 PUL MILN 9 PREMIÈRE S

10 TLE DES MTIÈRES. Relations trigonométriques.. Relations de base On a les encadrements suivants : sin α et cos α On vérifie facilement avec le théorème de Pythagore dans le cercle unité, la relation : sin αcos α = On vérifie avec le théorème de Thalès, la relation : tan α = sin α cos α À l aide des relations précédentes, on déduit que : tan α = cos α.. Relations de symétrie vec l angle opposé : sin( α = sin α cos( α = cos α tan( α = tan α vec l angle supplémentaire : sin( α = sin α cos( α = cos α tan( α = tan α α α sin α cos α O sin α cos α α α vec l angle diamétralement opposé : sin( α = sin α cos( α = cos α tan( α = tan α Remarque : On peut constater que les fonction sinus et tangente sont impaires tandis que la fonction cosinus est paire... Relations de déphasage vec le complémentaire ( sin α = cos α ( cos α = sin α α cos α α α vec un déphasage d un quart de tour ( sin α = cos α ( cos α = sin α sin αo ( Exemple : Simplifier : = cos x cos ( x sin( x l aide des formules de symétrie et de déphasage, on a : ( = sin x cos x sin x = sin x sin x sin x = sin x sin α PUL MILN 0 PREMIÈRE S

11 . TRIGONOMÉTRIE. Équations trigonométriques Résolution des équations dans R : cos x = a et sin x = a Si a >, il n y a pas de solution. Si a, on a les solutions pour : cos x = a cos x = cos α On détermine α [0; ] tel que α = arccos a à l aide du cercle trigonométrique. D après les règles de symétrie : x = α ou x = α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de cos x = a x = α k ou x = α k, k Z Remarque : l expression x = α k peut s écrire x = α [] qui se prononce "x = α modulo " Exemple : Résoudre dans R : cos x = 0 cos x = 0 cos x = = cos x = cos Les solutions dans R sont : x = k ou x = k, k Z sin x = a sin x = sin α [ On détermine α ; ] tel que α=arcsin a à l aide du cercle trigonométrique. D après les règles de symétrie : x = α ou x = α On trouve toutes les solutions réelles en ajoutant les multiples de sin x = a x = α k ou x = α k, k Z Exemple : Résoudre dans R : sin x = 0 sin x = 0 sin x = sin x = sin x = k ou Les solutions dans R sont : x = k = k k Z utre exemple Résoudre dans R l équation : cos x = On visualisera les solutions sur le cercle trigonométrique. cos x = cos x = cos Les solutions dans R sont donc : x = k x = k x = k x = k 5 k Z 5 PUL MILN PREMIÈRE S

12 TLE DES MTIÈRES.5 Lignes trigonométrie dans le cercle PUL MILN PREMIÈRE S