Livret de mathématiques : vers la Terminale ES

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1 Livret de mathématiques : vers la Terminale ES Voici les 7 parties du programme de 1ES qui sont indispensables à maîtriser : I. Pourcentage II. Second degré III. Dérivation IV. Variations d une fonction V. Probabilités VI. Statistiques VII. Les suites Pour le cours tu peux t aider des sites suivants : I. Pourcentage. 1) Un lycée compte 1400 élèves dont 420 en seconde. Quel est le pourcentage d élèves en seconde? 2) On augmente le nombre 350 de 15%, quel nombre obtient-on? 3) Quel est le pourcentage d évolution correspondant au coefficient multiplicateur 0,73? 4) Quel coefficient multiplicateur applique-t-on si on effectue une augmentation de 22%? 5) On augmente un nombre de 30% et on obtient alors 318,5. Quel est ce nombre? 6) On applique deux hausses successives de 10% chacune. Quel coefficient multiplicateur doit-on appliquer finalement? 7) On applique successivement une hausse de 35% suivie d une baisse de 20%. Quel est le pourcentage global d évolution? 1/5

2 II. N 1. Résoudre : Second degré. a) 2x 2 + 5x 3 > 0 b) 2x² 5x + 2 x 3 0 N 2. Soit P le polynôme défini par : P(x) = 2x 3 3x 2 + 3x 10 a) Montrer que pour tout réel x, on a P(x) = (x 2)(2x 2 + x + 5) b) En déduire les solutions de l équation P(x) = 0 N 3. Une entreprise produit entre 2 et 50 appareils électroménagers par heure. Le coût horaire de production de x appareils, en euros, est donné par : C(x) = x² + 50x + 76, pour 2 x 50. Le prix de vente unitaire d un appareil est de 90 euros. On suppose que tout appareil produit est vendu. a) Exprimer en fonction de x la recette totale. b) En déduire que le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et vente de ces x appareils est donné par la fonction B définie par B(x) = x x 76. c) Dresser le tableau de variation de la fonction B et en déduire le nombre d appareil à produire pour que le bénéfice horaire soit maximum. d) Dresser le tableau de signes de x x 76. On donne les racines x 1 = 2 et x 2 = 38 de x x 76. L entreprise réalise-t-elle toujours des bénéfices? Justifier. N 4. On considère les fonctions f et g définies sur R dont on donne les représentations graphiques C f et C g. 1) Déterminer à l aide du graphique ci-dessous les coordonnées du sommet S de la parabole C f. 2) En déduire la forme canonique de f en utilisant la question1 et le point A de la courbe C f. 3) Déterminer graphiquement les solutions de l équation g(x) = 0 4) En déduire la forme factorisée de g en utilisant la question3 et le point B de la courbe C g. 5) Donner la forme développée des fonctions f et g. 6) Résoudre l équation 2x² 4x 4 = x 2 5x + 6 Comment peut-on contrôler les solutions obtenues sur le graphique? 7) En déduire, à l aide du graphique, l ensemble de solution de l inéquation f(x) < g(x). 2/5

3 III. Dérivation. N 5. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de la fonction f au point d abscisse a dans les cas suivants : a) f(x) = 3x² x + 1 avec a = 1. b) f(x) = 2x+1 x 2 avec a = 3. c) f(x) = x x avec a = 9 N 6. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x2 +2x 1 x On note C sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1) Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est horizontale. 2) Existe-t-il des points de la courbe C où la tangente est horizontale? 3) Déterminer les abscisses des points de la courbe C où la tangente est parallèle à la droite d équation y = 2 x 5. 3 IV. Variations d une fonction N 7. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x² + 6x + 5 1) Etudier les variations de f sur R. 2) Déterminer les coordonnées des points d intersection entre la courbe représentative de f et la droite D d équation y = 1 x 2. 2 N 8. Etudier les variations sur R de la fonction f définie par f(x) = 3x 4x 3. N 9. Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 4x 4 x²+2x+5 1) Etudier les variations de f sur R 2) Déterminer les coordonnées du point A, intersection entre la courbe représentative de f et l axe des abscisses. 3) Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de f au point A. 3/5

4 V. Probabilités N 10. On a effectué une étude sur les ventes dans un grand magasin vendant des lots de 4 chaises et des tables. Chaque client achète au maximum un lot de 4 chaises et la table. On notera les événements : «T» : le client a acheté une table et «C» : le client a acheté un lot de 4 chaises. On a ainsi obtenu les résultats suivants : Evènement T C T C T C T C Probabilité 0,2 0,3 0,35 p 1) Que signifie la notation T C? 2) Calculer p. 3) Que signifie C T? Calculer p(c T). 4) Le lot de 4 chaises est vendu 220 et la table 170. On note X la variable aléatoire donnant la dépense d un client entrant dans le magasin. Compléter le tableau de la loi de probabilité de X. Valeur de X 0 Probabilité 0,2 5) La fréquentation du magasin est en moyenne de 140 clients par jour. Calculer l espérance de X et en déduire la recette moyenne journalière du magasin. 6) Le magasin est ouvert exceptionnellement un dimanche de décembre et la fréquentation augmente alors de 20% car le magasin a affiché une remise de 15% sur l ensemble des articles. Quelle recette peut espérer faire le magasin avec l ouverture de ce dimanche? VI. Statistiques N 11. Pour étudier l efficacité d un traitement médical permettant de réguler le rythme cardiaque, on a effectué plusieurs tests sur un lot de 200 patients. 1) La première série de mesures s effectue sur ces patients en utilisant le traitement n 1. Nombre de pulsation par minute Nombre de patients Effectifs cumulés croissants Compléter la dernière ligne du tableau, puis déterminer la médiane, le 1 er quartile puis le 3 ème quartile en justifiant les réponses. 2) Avec la calculatrice et sans justifier les calculs, déterminer la moyenne et l écart type arrondis aux dixièmes. 3) On effectue une autre série de tests ave un traitement n 2 et on a obtenu les résultats suivants : x 2 69,1 et σ 2 3,3. Le diagramme en boîte avec ce second traitement est donné ci-dessous. Peut-on dire qu au moins 150 patients ont un rythme cardiaque inférieur à 67 pulsations par minute? (justifier) 4) Représenter le diagramme en boîte correspondant au traitement n 1 sur le même graphique. 5) En utilisant les résultats de la moyenne et de l écart type, quelles observations peut-on faire? 6) Quelles observations peut-on faire en comparant les deux diagrammes en boîte? 4/5

5 VII. Les suites N 12 : 1. On considère la suite (u n ) définie par son terme général. Soit, pour tout entier naturel n, u n =3n 2 +2n 1. a. Calculer les termes de rang 0, 1, 2 et 3. b. Déterminer le sens de variation de u n. 2. La suite (v n ) est définie par son terme initial et une formule de récurrence : v 0 =10 et v n+1 = 2v n +1. Calculer les quatre termes qui suivent le terme initial. N 13 : Étudier la variation des suites (u n ), (v n ), (w n ) et (t n ) définies pour tout entier n, par : a. u n =2n 2 n² +3 b. v n = c. w n = 2n d. t 0 =100 et t n+1 = - 2 t n n 1 n N 14 : Le premier terme u 1 d'une suite arithmétique est 4 et sa raison est Calculer les quatre termes suivants. 2. Exprimer u n en fonction de n. 3. En déduire le terme u 20. N 15 : Soit la suite (u n ) définie pour tout entier n par : u n = 4n Calculer les quatre premiers termes. 2. Montrer que la suite (u n ) est arithmétique. 3. Donner le sens de variation de la suite (u n ). N 16 : Une suite géométrique de premier terme 100 a pour raison 1. Calculer les quatre termes suivants. 2. Exprimer u n en fonction de n N 17 : Le nombre d arbres d une forêt, en milliers d unités, est modélisé par la suite (u n ) où un désigne le nombre d arbres, en milliers, au cours de l année ( n). En 2010, la forêt possède arbres. Afin d entretenir cette forêt vieillissante, un organisme régional d entretien des forêts décide d abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter arbres. 1. Montrer que la situation peut être modélisée par : u 0 = 50 et pour tout entier naturel n par la relation : u n + 1 =0,95u n Montrer que la suite (u n ) n est ni arithmétique, ni géométrique. 3. On considère la suite (v n ) définie pour tout entier naturel n par v n = 60 u n a. Montrer que la suite (v n ) est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme v 0 =10. b. Déterminer l expression de v n en fonction de n. c. Démontrer que pour tout entier naturel n, u n =10x0,95 n Déterminer le nombre d arbres de la forêt en On donnera une valeur approchée arrondie à l unité. 5/5