UNE INTRODUCTION AUX ECOULEMENTS DIPHASIQUES Les équations de bilan des écoulements diphasiques

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1 UNE INTRODUCTION AUX ECOULEMENTS DIPHASIQUES Les équations de bilan des écoulements diphasiques HERVE LEMONNIER DTN/SE2T, CEA/Grenoble, Grenoble Cedex 9 Tél , herve.lemonnier@cea.fr INSTN, décembre 2009

2 ETABLISSEMENT DES ÉQUATIONS DE LA MÉCANIQUE DES MILIEUX CONTINUS 1. Principes fondamentaux (4+1) La règle de Leibniz et le théorème de Gauss. Volumes matériels et arbitraires. 2. Equations de bilan locales et instantanées monophasiques. Le problème de fermeture (I). Volume fixe avec une interface (surface de discontinuité). 3. Equations de bilan locales et instantanées de chaque phase et à l interface. Moyenne sur la section : les modèles 1D. Moyenne temporelle : CMFD, modèles 3D (à la Reynolds). Moyennes composites T/E : le modèle à deux fluides. 4. Le problème de fermeture (II). Equations de bilan des écoulements diphasiques 1/41

3 OUTILS MATHÉMATIQUES 5 K L L L K K Vitesse de déplacement d une surface S : ( ) M v S t Dépend du paramétrage. u,v Equation implicite : f(x, y, z, t) 0, dans V, f(x, y, z, t + t) = f(x 0, y 0, z 0, t), BN O J, J BN O J + f(m 0 ) M + f t t + Vitesse de déplacement géométrique (intrinsèque) : v S n = lim t 0 M t f = t f Equations de bilan des écoulements diphasiques 2/41

4 RÈGLE DE LEIBNIZ L 5 L 5 Extension de la règle de dérivation sous le signe somme : d f f dv = dt V (t) V (t) t dv + fv S n ds S(t) 8 J 5 J Théorème géométrique, S quelconque. n, toujours dirigé vers l extérieur. Usage 1 : commutation intégration espace-dérivation en temps, Usage 2 : énoncé des principes sur un volume matériel ou quelconque. Equations de bilan des écoulements diphasiques 3/41

5 THÉORÈME DE GAUSS 5 8 Divergence : flux par unité de volume : 1 B lim n B ds ɛ 0 V ɛ Théorème de la divergence, Gauss-Otstrodradski (Green) : B dv = n B ds V (t) S S(t) Théorème géométrique, S et V quelconques, n et du même coté. n, pointant vers extérieur. B tenseur quelconque. Usage : certaines intégrales de volume intégrales de surface. Equations de bilan des écoulements diphasiques 4/41

6 VOLUMES MATERIELS ET VOLUMES ARBITRAIRES Un volume matériel en MMC est un système fermé pour la thermodynamique. Soit V m (t), limité par S m (t), un volume matériel, v Sm n = v n, par définition. d f f dv = dt t dv + fv n ds V m (t) V m (t) S m (t) Soit V (t) arbitraire qui coincide avec V m (t) à l instant t. d f f dv = dt t dv + fv S n ds V (t) V (t) S(t) Identité (1) : quelque soit V (t) qui coincide avec V m (t) à t, d dt V m (t) f dv = d dt V (t) f dv + S(t) f(v v S ) n ds (1) Equations de bilan des écoulements diphasiques 5/41

7 EXEMPLE : LE BILAN DE MASSE Enoncé du principe : la masse d un volume matériel est constante. d ρ dv = 0 dt V m (t) Identité (1) avec f = ρ, d ρ dv + ρ(v v S ) n ds dt V (t) S(t) }{{}}{{} Masse de V, m Flux net quittant S, M = 0 Autre énoncé : la variation de la masse, m, de V (quelconque) égale le flux entrant, M. dm dt + M = 0, dm dt = M Les principes fondamentaux s expriment sur des volumes matériels ou arbitraires. Ces énoncés sont équivalents. Equations de bilan des écoulements diphasiques 6/41

8 LE BILAN DE MASSE La variation de la masse du volume V égale le débit masse entrant par sa surface S ( V ) d ρ dv = ρ(v v S ) n ds. (2) dt Cas particuliers, Le volume est fixe, v S n = 0, Pour un volume matériel, v S n = v n V S Equations de bilan des écoulements diphasiques 7/41

9 BILAN (DE MASSE) DES ESPECES La variation de la masse du composant α contenue dans V (quelconque) égale (i) le débit masse de α entrant à travers S et (ii) la production dans le volume V ( V ). d dt V ρ α dv = S ρ α (v α v S ) n ds + V r α dv Le bilan de masse du mélange est la somme sur α des bilans des espèces. r α = 0. α Production : redistribution, pas de création de masse nette. Equations de bilan des écoulements diphasiques 8/41

10 BILAN DE QUANTITE DE MOUVEMENT La variation de la quantité de mouvement de V (quelconque) égale (i) le débit de qdm entrant à travers la surface S et (ii) les forces appliquées ( V ). d dt V ρv dv = S ρv(v v S ) n ds + T : Tenseur des contraintes, F S = n T. g : Forces de volume, par unité de masse. NB : le bilan de qdm est une équation vectorielle. S n T ds + V ρg dv (3) Equations de bilan des écoulements diphasiques 9/41

11 BILAN DU MOMENT DE QUANTITE DE MVT La variation du moment de la qdm de V (quelconque) égale (i) le débit de moment de qdm entrant à travers S et (ii) couples appliqués ( V ). d ρr v dv = ρr v(v v S ) n ds + r (n T) ds + r ρg dv (4) dt V S Lorsque les couples appliqués sont les moments des forces appliquées (fluides non polaires). Si 2 propositions sont vraies, la troisième aussi, Le tenseur des contraintes est symétrique. Le bilan de quantité de mouvement est vérifié. Le bilan du moment de la quantité de mouvement est vérifié. S V Equations de bilan des écoulements diphasiques 10/41

12 BILAN D ENERGIE (TOTALE) Enoncé du premier principe. La variation de l énergie interne d un système fermé égale (i) la puissance des efforts appliqués et (ii) la puissance thermique fournie au système. La variation de l énergie totale (interne et mécanique) de V (quelconque) égale la somme (i) de débit d énergie totale entrant à travers sa surface, (ii) la puissance des efforts appliqués, (iii) la puissance thermique apportée ( V ). d dt V ρ (u + 12 ) v2 dv = + ρ (u + 12 ) v2 (v v S ) n ds S (n T) v ds + ρg v dv S V S q n ds + V q dv q : sources volumiques de chaleur (effet Joule, absorption rayonnement, etc.). Exclure : celles d origine thermodynamique, chaleur de réaction, transition de phase de tout ordre (EOS)... L évolution est réversible ou irréversible. Equations de bilan des écoulements diphasiques 11/41 (5)

13 SECOND PRINCIPE ET BILAN D ENTROPIE Enoncé du second principe : la variation d entropie d un système fermé et isolé ne peut que croître. La variation d entropie du volume V égale la somme (i) du débit d entropie entrant à travers sa surface, (ii) de l entropie apportée au système de manière réversible, (iii) des sources d entropie. ( V ). d dt V ρs dv = S ρs(v v S ) n ds σ 0. S n j s ds + Dans ce cadre, le second principe est seulement, σ 0. Par définition, évolution réversible, σ = 0. V q T dv + V σ dv, (6) Equations de bilan des écoulements diphasiques 12/41

14 EQUATION DE BILAN GENERALISEE Les équations de bilan ont une forme analogue, d ρψ dv = n ρ(v v S )ψ ds dt V S S n j ψ ds + V φ ψ dv. Bilan ψ j ψ φ ψ Masse 1 Espèces α ω α j α r α Q. de mouvement v T ρg Momement QDM r v T R ( ) r ρg Energie totale u v2 q T v ρg v + q Entropie s j s σ + q T (*)R, R ij = ɛ ijk r k Equations de bilan des écoulements diphasiques 13/41

15 EQUATIONS LOCALES PRIMAIRES Règle de Leibniz, ρψ t dv = V S n ρvψ ds S n j ψ ds + Théorème de Gauss, V D f, [ ] ρψ + (ρvψ) + j ψ φ ψ t V Equations de bilan locale et instantanées, dites primaires, V dv = 0 φ ψ dv. ρψ t = (ρvψ) }{{} Convection j ψ }{{} Diffusion +φ ψ }{{} Source Bilan sur un volume fixe infinitesimal, strictement équivalent aux principes fondamentaux. Equations de bilan des écoulements diphasiques 14/41

16 FLUX TOTAL Forme dite des flux totaux (Bird et al., 2007), écoulements stationnaires. ρψ t = j t ψ + φ ψ Bilan flux total flux convectif flux diffusif j t ψ ρψv j ψ Mass n = ρv Species n α = ρω α v j α Momentum φ = ρvv T Total energy e = ρv ( u v2) q T v Entropy j t s = ρsv j s NB: Certains auteurs utilisent des conventions de signe différentes pour les flux diffusifs : pêche aux équations interdite... Equations de bilan des écoulements diphasiques 15/41

17 FORME CONVECTIVE Combinaison avec le bilan de masse, Développer les produits, ρψ t ρ t = (ρv) = (ρvψ) j ψ + φ ψ ρ ψ t + ψ ρ t = ψ (ρv) ρv ψ j ψ + φ ψ Définition de la dérivée convective: Df Dt = f t + v f ρ Dψ Dt = j ψ + φ ψ Bilan sur un volume matériel infinitésimal. Seulement les flux diffusifs. Utile pour les équations secondaires. Equations de bilan des écoulements diphasiques 16/41

18 ORGANIGRAMME DES EQS DE LA MECANIQUE DES MILIEUX CONTINUS Pour un fluide pur, volume de contrôle arbitraire, Bilan de masse (2) Bilan de quantité de mouvement (3) Bilan du moment de la qdm (4) Bilan d énergie totale (5) Inégalité entropique (6) Equations de bilan locales et instantanées primaires, (2) Bilan de masse (7) (3) Bilan de quantité de mouvement (8) (4) Symétrie du tenseur des contraintes (5) Bilan d énergie totale (9) (7) Inégalité entropique (10) Equations de bilan des écoulements diphasiques 17/41

19 EQUATIONS LOCALES INSTANTANÉES PRIMAIRES Rappel de la forme générale : ρψ t + (ρvψ) + j ψ φ ψ = 0 ψ, quantité transportée, j ψ, flux diffusif, φ ψ, sources volumiques. Bilan ψ j ψ φ ψ Masse (7) 1 Esp. α ω α j α r α Q. de mouvement (8) v T ρg Energie totale (9) u v2 q T v ρg v + q Entropie (10) s j s σ + q T Equations de bilan des écoulements diphasiques 18/41

20 EQUATIONS DE LA MMC (SUITE) Equations de bilans dites secondaires, pour un fluide pur, Bilan d énergie mécanique, (11) v bilan de qdm. Bilan d énergie interne (12), bilan d énergie totale (9)-(11). Bilan d enthalpie (13). (12), h u + p/ρ Bilan d entropie (14), (11), du = T ds pdv (Gibbs). (14) comparé avec l inégalité entropique (9), fournit j s and σ. Equations de bilan des écoulements diphasiques 19/41

21 LE PROBLEME DE FERMETURE (I) Dans équations de bilan, Variables locales, v, v α, p, u, etc. Flux inconnus, j α, T, q, j s. NB: T = pi + V Sources inconnues, r α, σ. Les principes fondamentaux ne fournissent aucune expression pour ces flux. Les équations de la MMC ne sont pas fermées. Une interprétation du second principe, Fournit les sources d entropie. Pour un fluide pur, T σ = q T + V : v. Fournit les conditions d équilibre thermodynamique, σ = 0, Contraint les fermetures pour assurer le retour à l équilibre. Hypothèse de linéarité, propriétés de transport, T = µ( v + v ) + (ζ 2 µ) vi, q = κ T, µ, ζ, κ 0 3 les propriétés de transport doivent être mesurées ou modélisées en dehors de la MMC. Equations de bilan des écoulements diphasiques 20/41

22 EQUATIONS DE BILAN DIPHASIQUES ) J 8 J ) E J 8 J ) J d dt Règle de Leibniz, V 1 (t) mobile : d ρ 1 ρ 1 dv = dt V 1 V 1 t dv + Exemple : bilan de masse, V = V 1 V 2, A = A 1 A 2 fixes. Interfaces : zones de discontinuité. d ρ dv = ρv n ds, V dt V Contributions V 1 et V 2, pour V 1 : ρ dv + d ρ dv = ρv n ds ρv n ds V 1 dt V 2 A 1 A 2 A i (t) A ρ 1 v Ai n 1 da Théorème de Gauss : A 1 ρv 1 n 1 ds = V 1 (ρ 1 v 1 ) dv A i ρ 1 v 1 n da Même procédure pour V 2, somme des deux contributions, Equations de bilan des écoulements diphasiques 21/41

23 BILAN DE MASSE DIPHASIQUE Somme des contributions, V, 2 k=1 V k ( ) ρk t + (ρ kv k ) dv A i (ρ 1 (v 1 v i ) + ρ 2 (v 2 v i )) da = 0 Bilan de masse local, k = 1, 2, en tous points de V k (EDP), ρ k t + (ρ kv k ) = 0 En tous points de l interface, relation de saut, ρ 1 (v 1 v i ) n 1 + ρ 2 (v 2 v i ) n 2 = 0 }{{}}{{} ṁ 1 ṁ 2 Bilan de masse de l interface, ṁ k = ρ k (v k v i ) n k. Equations de bilan des écoulements diphasiques 22/41

24 FORME GÉNÉRALE DES BILANS Même démonstration pour tous les bilans, V 2 k=1 V k ( ρk ψ k A i t + (ρ k ψ k v k ) + (j ψk ) φ k ) dv 2 (ṁ k ψ k + n k j ψk + φ i ) da = 0 k=1 En tous points de chaque phase, ρ k ψ k t En tous points de l interface, + (ρ k ψ k v k ) + (j ψk ) φ k = 0 2 (ṁ k ψ k + n k j ψk + φ i ) = 0 k=1 φ i : source d entropie à l interface. Equations de bilan des écoulements diphasiques 23/41

25 BILANS LOCAUX INSTANTANÉS Bilan de masse, ρ 1 (v 1 v i ) n 1 + ρ 2 (v 2 v i ) n 2 = 0 ṁ 1 + ṁ 2 = 0 Pas de changement de phase : ṁ k = 0 ṁ 1 = ṁ 2 = 0 On admet : pas de glissement à l interface (φ i = 0) (v 1 v i ) n 1 = 0, (v 2 v i ) n 2 = 0 (v 1 v 2 ) n 1 = 0 v 1 = v 2 Equations de bilan des écoulements diphasiques 24/41

26 BILANS AUX INTERFACES Bilan de quantité de mouvement, ṁ 1 v 1 + ṁ 2 v 2 n 1 T 1 n 2 T 2 = 0 Cas particulier, pas de viscosité, T = pi + V, v = v t + v n, v n = n(v n), ṁ 1 (v1 n v2 n ) + (p 1 p 2 )n 1 = 0 v1 t = v2 t Cas général, ṁ 1 (v 1 v 2 ) + (p 1 p 2 )n 1 (V 1 V 2 ) n 1 = 0 Equations de bilan des écoulements diphasiques 25/41

27 BILANS AUX INTERFACES Cas particulier : 1D, v k (x) interface : ṁ 1 (v 1 v 2 ) n 1 + (p 1 p 2 ) n 1 (V 1 V 2 ) n 1 = 0 1D incompressible, dv k dx = 0 V k = 0, ṁ 1 (v 1 v 2 ) n 1 + (p 1 p 2 ) = 0 Bilan de masse, définition : ṁ k = ρ k (v k v i ) n k, ṁ 1 ( 1 ρ 1 1 ρ 2 ) = (v 1 v 2 ) n 1 A l interface, saut de pression, force de recul, p 1 p 2 ρ 1 ρ 2 pour ṁ 1 <> 0. p 1 p 2 = ρ 1 ρ 2 ρ 1 ρ 2 ṁ 2 1. Equations de bilan des écoulements diphasiques 26/41

28 PRISE EN COMPTE DE LA TENSION DE SURFACE ) J + J 8 J ) E J ) J 8 J Bilan de quantité de mouvement. Forces : = σn dl + C(t) n k T k ds + A 1 A 2 ρ k F k dv. V 1 V 2 Théorème de Gauss Aris (1962), Delhaye (1974) : σn dl = ( S σ nσ S n) ds C(t) A i (t) S : gradient de surface, S : divergence de surface. Bilan de quantité de mouvement à l interface : ṁ 1 v 1 + ṁ 2 v 2 n 1 T 1 n 2 T 2 = S σ + nσ S n S σ : effet Marangoni, nσ S n: surpression capillaire, loi de Laplace. H : courbure moyenne de la surface. nσ S n = 2Hn Equations de bilan des écoulements diphasiques 27/41

29 CAS PARTICULIER 2D PLAN Bilan de quantité de mouvement l interface ṁ 1 v 1 + ṁ 2 v 2 n 1 T 1 n 2 T 2 + dσ dl τ σ R n = 0 Exemple fluide non visqueux n 1 (p 1 p 2 ) + dσ dl τ σ R n = 0 Loi de Laplace, : (p 1 p 2 ) = σ R n n 1 Incohérence, // : µ k = 0 dσ dl = 0 Effet Marangoni, fluides visqueux, σ(t ), σ(c). (n 1 V 1 + n 2 V 2 ) τ + dσ dl = 0 Equations de bilan des écoulements diphasiques 28/41

30 BILANS AUX INTERFACES Bilan d énergie totale : ṁ 1 (u ( 2 v2 1 )+ṁ 2 u ) 2 v2 2 +q 1 n 1 +q 2 n 2 n 1 T 1 v 1 n 2 T 2 v 2 = 0 Bilan d énergie totale (enthalpie), Le changement de phase est l effet dominant La variation d énergie cinétique peut être négligée L effet du saut de pression et des contraintes visqueuses peut être négligé, ṁ 1 h 1 + ṁ 2 h 2 + q 1 n 1 + q 2 n 2 = 0 Equations secondaires (Delhaye, 1974). Condition d équilibre thermodynamique de l interface : v1 t = v2, t T 1 = T 2, g 1 g 2 = 1 ( 1 2ṁ2 1 ρ 2 1 ) ( n2 V 2 n 2 2 ρ 2 n ) 1 V 1 n 1 1 ρ 2 ρ 1 Equations de bilan des écoulements diphasiques 29/41

31 PROBLÈMES RÉSOLUS PAR LES ÉQUATIONS LOCALES Bilan globaux, principes fondamentaux Equations locales phasiques Relations de saut aux interfaces Problèmes simple Ecoulement d un film liquide Croissance d une bulle (ébullition nuclée, cavitation etc.) Problèmes diphasiques en général, Interfaces multiples, déséquilibres Fluctuations, intermittence, évolution des grandeurs moyennes. Equations locales moyennées en espace (sur la section) thermohydraulique 1D Equations locales moyennées en temps (codes 3D) Equations locales moyennées en espace (sur la section) et en temps, codes système Equations de bilan des écoulements diphasiques 30/41

32 EQUATIONS MOYENNÉES SUR LA SECTION Rappel moyenne sur la section < f k > 2 = 1 A k A k f k da Bilan pour les valeurs moyennes? Bilan local intégré sur A k. Exemple, bilan de masse, + ρ k t + (ρ kv k ) = 0 Intégration sur la section, ρ k t da + (ρ k v k ) da = 0 A k A k + ) + Théorèmes de commutation, Leibniz et Gauss (formes limites) ρ k da + + ρ k w k da + = 0 t A } k z A {{}} k {{} A k <ρ k > 2 A k <ρ k w k > 2 Equations de bilan des écoulements diphasiques 31/41

33 OUTILS MATHÉMATIQUES + Forme limite de la règle de Leibniz, f k f k da = t A k t da + dl f k v i n k C k n k n kc A k Forme limite du théorème de Gauss, BdA = B n z + n k B dl A k z A k C k n k n kc Identité utile (1), B = n z A k z = n k n z C k dl n k n kc + ) + Identité utile (2), B = pi p da = pn z da + A k z A k dl pn k C k n k n kc Equations de bilan des écoulements diphasiques 32/41

34 BILAN SUR LA SECTION Intégration sur la section, ρ k t da + (ρ k v k ) da = 0 A k A k Théorème de Gauss et règle de Leibniz, t A k < ρ k > 2 + z A k < ρ k w k > 2 = C k ṁ k dl n k n kc Production de la phase k par unité de longueur de conduite (homogénéisation) dl Γ k = ṁ k C k n k n kc Pas de changement de phase : ṁ k = 0 Γ k = 0 De plus, bilan interface, ṁ 1 + ṁ 2 = 0 Γ 1 + Γ 2 0 le bilan de masse 1D n est pas fermé Equations de bilan des écoulements diphasiques 33/41

35 FORME GÉNÉRALE Forme générale des bilans, t A k < ρ k ψ k > 2 + z A k < n z ρ k v k ψ k > 2 + z A k < n z j ψk > 2 A k < φ k > 2 dl dl = (ṁ k ψ k + n k j ψk ) n k j ψk C i n k n kc C k n k n kc Contour : C i C k, C k périmètre de la paroi mouillée par la phase k, C i interface. + ) + + E E Equations de bilan des écoulements diphasiques 34/41

36 BILAN DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT Note sur le bilan de quantité de mouvement, équation vectorielle, t A k < ρ k v k > 2 + z A k < ρ k w k v k > 2 z A k < n z T k > 2 A k < ρ k g k > 2 dl dl = (ṁ k v k n k T k ) + n k T k C i n k n kc C k n k n kc Projection sur n z, w k = v k n z, décomposition tenseur des contraintes, t A k < ρ k w k > 2 + z A k < ρ k wk 2 > 2 + z A k < p k > 2 z A k < n z V k n z > 2 dl dl A k < ρ k g z > 2 = (ṁ k w k n k T k n z ) + n k T k n z C i n k n kc C k n k n kc Identité (1), < p k > 2 = p C dl p k n k n z = p C n k n z C k C i n k n kc C k C i dl A k =< p k > 2 n k n kc z Autres choix possibles, excès de pression, p i, p C =< p k > 2 +p i Equations de bilan des écoulements diphasiques 35/41

37 BILAN DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT Bilan de quantité de mouvement, pressions égales, t A k < ρ k w k > 2 + z A k < ρ k wk 2 > 2 +A k z < p k > 2 z A k < n z V k n z > 2 dl dl A k < ρ k g z > 2 = (ṁ k w k n k V k n z ) + n k V k n z C i n k n kc C k n k n kc Transferts transverses dominants, écoulements quasi établis, z A k < n z V k n z > 2 ( ) w ν t 0 z z Donner un exemple où ce terme ne peut être négligé. Fermetures nécessaires: interactions à l interface et à la paroi (frottement pariétal). Equations de bilan des écoulements diphasiques 36/41

38 EQUATIONS MOYENNÉES EN TEMPS B J 6 6 Rappel moyenne temporelle conditionnée par X k, f X = 1 T f k dt = X kf k dt T k [T k ] T X = X kf k kdt X k Moyenne temporelle, J J J J J J f = 1 fdt J 6 T T 6 Equation aux valeurs moyennes : ex. bilan de masse, intégré sur [T k ], ρ k t dt + (ρ k v k ) dt = 0 [T k ] Théorèmes de commutation, formes limites, Leibniz et Gauss ρ k dt + + ρ k v k dt + = 0 t [T k ] } {{ } T k ρ X k [T k ] [T k ] } {{ } T k ρ k v X k Equations de bilan des écoulements diphasiques 37/41

39 OUTILS MATHÉMATIQUES Forme limite de la règle de Leibniz (dérivation sous le signe somme), f k [T k ] t dt = f k dt v i n k f k t [T k ] v i n k disc. [T ] }{{} ±1 Forme limite du théorème de Gauss B k dt = [T k ] [T k ] B k dt + disc. [T ] n k B k v i n k Bilan de masse moyenné, source interfaciale homogénéisée (source volumique), α k ρ k X t + ( α k ρ k v k X ) = 1 T disc. [T ] ṁ k v i n k Bilan généralisé moyenné, point de départ de la décomposition de Reynolds α k ρ k ψ k X t ( ) ( ) X X X 1 + α k ρ k v k ψ k + α k j ψk α k φ k = T disc. [T ] ṁ k ψ k + n k j ψk v i n k Equations de bilan des écoulements diphasiques 38/41

40 MOYENNES COMPOSITES Exemple du bilan de masse,espace, puis temps Temps puis espace t A k < ρ k > 2 + z A k < ρ k w k > 2 = t A< α kρ k X > 2 + z A< α kρ k w k X > 2 = A< C k ṁ k dl n k n kc 1 T disc. [T ] ṁ k v i n k > 2 Membre de gauche identiques, commutation des opérateurs de moyenne Commutativité des termes d interaction, Aire interfaciale volumique, γ = 1 T disc. [T ] 1 v i n k Fermeture des termes d interaction : flux moyen-aire interfaciale, 1 T disc. [T ] ṁ k v i n k = ṁki T disc. [T ] 1 v i n k = γṁ ki Equations de bilan des écoulements diphasiques 39/41

41 POUR EN SAVOIR PLUS Les équations de bilan en écoulement monophasique (Bird et al., 2007). Un livre de référence, pas un formulaire... Les équations de bilan des écoulements diphasiques (Delhaye, 2008). Equations de bilan des écoulements diphasiques 40/41

42 REFERENCES Aris, R Vectors, tensors, and the basic equations of fluid mechanics. Prentice-Hall. Bird, R. B., Stewart, W. E., & Lightfoot, E. N Transport phenomena. Revised second edn. John Wiley & Sons. Delhaye, J. M Jump conditions and entropy sources in two-phase systems, local instant formulation. Int. J. Multiphase Flow, 1, Delhaye, J.-M Thermohydraulique des réacteurs nucléaires. Collection génie atomique. EDP Sciences. Equations de bilan des écoulements diphasiques 41/41