OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG Paul Broussous

Transcription

1 OUTILS MATHEMATIQUES L1 SVG Paul Broussous

2 Paul Broussous Maître de Conférences, Département de Mathématiques Contact : Laboratoire de Mathématiques, Site du Futuroscope, Bureau 013 (Prendre rendez-vous par mail ou téléphone) Téléphone : Fax : Site Web : http ://www-math.spmi.univ-poitiers.fr/ broussou/

3 Chapitre I. Rappels de Trigonométrie Angles et mesures On munit le plan euclidien d un repère orthonormé (0, i, j). Le cercle de centre 0 et de rayon 1 est appelé le cercle trigonométrique. y j O i x Un angle orienté est une paire de demi-droites ((AX), (AY )). On visualise l angle en imaginant le mouvement de l axe (0X) se rabattant sur l axe (0Y ) Y X A Deux angles sont dits équivalents si l on peut appliquer l un sur l autre par une rotation suivie d une translation. 1

4 X A Y1 Y X Rotation Translation Y3 A X3 Un angle non orienté est la donnée d une paire de demi-droites ((AX), (AY )) où l ordre ne compte pas : on ne distingue pas ((AX), (AY )) de ((AY ), (AX)). Un tel angle est noté XAY. Par exemple : un triangle (ABC) possède trois angles non orientés BAC (angle en A), ÂBC (angle en B) et BCA (angle en C). Etant donné un angle orienté, on peut toujours le remplacer par un angle équivalent de la forme ((0x), (0M)), où M est un point bien déterminé du cercle trigonométrique. y Y j M O i I x

5 On appelle mesure de l angle ((0x), (0M)), M étant un point du cercle trigonométrique, la longueur d un chemin sur le cercle reliant le point I au point M. La longueur est comptée positivement si l on se déplace dans le sens inverse des aiguilles d une montre, négativement sinon. La mesure d un angle n est définie qu à un multiple de π près, car on peut toujours changer un chemin allant de I à M en rajoutant des tours de cercle complets (un tour de cercle mesurant π). Il existe une unique mesure appartenant à l intervalle [0, π[ : c est la longueur de l arc de cercle (MI) parcouru dans le sens trigonométrique. Plus généralement, étant donné un intervalle semi-ouvert de longueur π : ]a, a + π] ou bien [a, a + π], tout angle orienté possède une unique mesure dans cet intervalle. Pour insister sur le fait que la mesure d un angle n est pas unique, on écrit : mesure de ((0x), (0M)) = nombre + kπ, k Z ou bien mesure de ((0x), (0M)) = nombre modulo π. L entier relatif k est à ajuster si l on veut que la mesure tombe dans un intervalle fixé à l avance. Méthodologie Comment réduire une mesure d angle dans un intervalle de longueur π fixé à l avance. Cas général. On soustrait, ou on ajoute, π à la mesure, suffisament de fois pour tomber dans l intervalle choisi. Exemple : soit un angle de mesure 5, 37π. On veut une autre mesure dans l intervalle [ π, π[. On écrit 5, 37π, qui est à droite de l intervalle. On calcule 5, 37π π = 3, 37π (toujours hors intervalle) 3, 37π π = 1, 37π (toujours hors intervalle) 1, 37π π = 0, 63π, qui est cette fois-ci dans le bon intervalle! Cas d un multiple fractionnaire de π. Explication sur un exemple. On part d une mesure de 1515 π. L idée est d effectuer la division euclidienne de par 11 : 1515 = En divisant cette égalité par 11 et en la multipliant par π, on obtient : π = 137π π 3

6 On tient compte du fait que 137 est impair : 137π = 136π +π = 68 π +π. Ainsi π = π + 8 π + multiple de π. 11 Donc une mesure de l angle dans [0, π] est (1 + 8/11)π = 19 π. Pour une 11 mesure dans [ π, π[, on prendrait : π π = 3 11 π. Finalement, si on veut visualiser l angle, le mieux est de convertir cette dernière mesure en radians (sachant que π radians correspond à 180 ). On obtient , 09. y j 49,09 O i I x Rappelons que le degré est une mesure d angle telle que 360 vaut π radians. Attention! Lors de calculs de trigonométrie avec une calculatrice électronique, toujours vérifier que l on travaille avec la bonne unité! L angle ((0x), (0x)) est dit nul, si sa mesure est 0 modulo π. L angle ((0x), (0y)) est dit droit, si sa mesure est π/ modulo π. Si les deux axes d un angle sont parallèles, il est dit plat, sa mesure est alors π modulo π. Deux angles sont dits complémentaires si la somme de leurs mesures vaut π/ modulo π. Dans un triangle rectangle, les angles non droits (convenablement orientés) sont complémentaires. 4

7 C π/ x x A B Deux angles sont dits supplémentaires si la somme de leurs mesures est π modulo π. Fonctions cosinus et sinus. Les fonctions cos et sin sont définies pour tout nombre réel. Elles vérifient les propriétés fondamentales suivantes : cos(x + π) = cos(x) et sin(x + π) = sin(x), pour tout nombre réel x. Plus généralement : cos(x + kπ) = cos(x) et sin(x + kπ) = sin(x) pour tout réel x et tout entier relatif k. On dit que les fonctions cos et sin sont périodiques de période π, ou encore π-périodiques. En particulier si ((AX), (AY )) est un angle de mesure x, alors cos(x) et sin(x) ne dépendent pas du choix de la mesure x. Ce sont le cosinus et le sinus de l angle. Si un angle est donné en position standard ((0x), (0Y )) sur le cercle trigonométrique et si M est le point d intersection de (0Y ) avec le cercle, alors M a pour abscisse cos(x) et ordonnée sin(x). 5

8 Y y sin(x) j M x O i x cos(x) Il est conseillé de connaître par coeur les valeurs des angles simples : Angle Cosinus Sinus π 6 π 4 π 3 Identités trigonométriques π 0 1 π 1 0 π 1 0 cos (x) + sin (x) = 1 (1) cos( x) = cos(x) et sin( x) = sin(x) () (La fonction cos est paire, la fonction sin est impaire.) cos( π x) = sin(x) et sin(π x) = cos(x) (3) (Le cosinus et le sinus de deux angles complémentaires sont échangés.) cos(x + π) = cos(x) et sin(x + π) = sin(x) (4) 6

9 (Ajouter π à un angle se visualise sur le cercle trigonométrique par une symétrie centrale.) Les fonctions cos et sin sont continues et dérivables en tout nombre réel : cos (x) = sin(x) et sin (x) = cos(x) (5) (Bien noter la dyssymétrie de ces formules). Il est amusant de noter que dériver revient à ajouter π : Angle double : cos(x + π ) = sin(x) et sin(x + π ) = cos(x) (6) cos(x) = cos x sin x et sin(x) = cos(x) sin(x) (7) Formules d addition : cos(a + b) = cos(a) cos(b) sin(a) sin(b) (8) cos(a b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) (9) sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) (10) sin(a b) = sin(a) cos(b) sin(b) cos(a) (11) Formules de linéarisation : cos (a) = 1 + cos(a) sin (a) = 1 cos(a) (1) (13) cos(a) cos(b) = 1 ( ) cos(a b) + cos(a + b) cos(a) sin(b) = 1 ( ) sin(a + b) sin(a b) sin(a) sin(b) = 1 ( ) cos(a b) cos(a + b) (14) (15) (16) 7

10 Equations trigonométriques Elles se résolvent en utilisant les deux principes suivants : x = y + kπ cos(x) = cos(y) si et seulement si ou x = y + kπ et sin(x) = sin(y) si et seulement si x = y + kπ ou x = π y + kπ Exemple. Trouver les solutions de cos(x) = 1 ] π, π[. qui se trouvent dans l intervalle On écrit 1 = cos(π/3). Première possibilité : x = π/3 + kπ. On a π < π/3 + kπ < π ssi 4π/3 < kπ < π/3 ssi /3 < k < 1/3 ssi k = 0. Donc x = π/3. Deuxième possibilité : x = π/3 + kπ. On a π < π/3 + kπ < π ssi π/3 < kπ < 4π/3 ssi 1/3 < k < /3 ssi k = 0. On trouve x = π/3. Les solutions du problème sont donc ±π/3. Il est conseillé d essayer plutôt, quand c est possible de faire un raisonnement géométrique en visualisant le cercle trigonométrique : +π/ π/3 0 1/ 1 π/ π/3 Méthodologie Déterminer une mesure d angle connaissant son cosinus et son sinus. En termes mathématiques, il s agit de trouver un nombre réel θ tel que cos(θ) = u et sin(θ) = v sont fixés. Ce problème à une unique solution à un multiple de π près, c est-à-dire que la solution est unique si on impose qu elle appartient à un intervalle semi-ouvert de longueur π fixé. Pour que ce problème ait une solution, il faut et il suffit que u + v = 1. 8

11 La méthode est la suivante. On prend une des deux équations et on la résout, ce qui donne deux valeurs possibles modulo π. L autre équation permet de trancher entre ces deux valeurs. Il est fortement conseillé de faire un dessin pour visualiser dans quel quart de cercle on se trouve, et de se servir de la table des petits angles. Exemple. Résoudre le système : { cos(θ) = 1 sin(θ) = 3 où θ [0, π[. Ici le cosinus est > 0 et le sinus est < 0, on se trouve donc dans le quatrième quart de cercle : nd quart : cos<0 et sin>0 1er quart : cos >0 et sin >0 1/ 3è quart : cos<0 et sin <0 4è quart : cos>0 et sin <0 L équation cos(θ) = 1/ a pour solutions θ = π/3 + kπ, ou θ = π/3 + kπ. Celles qui donnent la bonne valeur du sinus sont π/3+kπ. La solution qui se trouve dans [0, π[ est π/3 + π = 5π/3. 9

12 La fonction tangente La fonction tangente est définie par la relation : tan(x) = sin(x) cos(x) Elle est définie lorsque cos(x) ne s annule pas, c est-à-dire pour x π/+kπ. La fonction tangente est impaire : Elle est périodique de période π : tan( x) = tan(x) tan(x + π) = tan(x) La fonction tangente est continue et dérivable sur son domaine de définition, de dérivée donnée par tan (x) = 1 cos (x) = 1 + tan (x). Visualisation géométrique d une tangente. On considère un angle x que l on inscrit comme d habitude sur le cercle trigonométrique. On écrit le Théorème de Thalès pour les droites sécantes (OI) et (OQ) et les droites parallèles (verticales) (PM) et (IQ). Les rapports du type grand segment petit segment sont tous égaux : c est-à-dire d où QI = sin(x) cos(x) = tan(x). QI MP = 0I OP QI sin(x) = 1 cos(x) 10

13 Q M Angle x c=cos(x) s=sin(x) t=tan(x) x s t O c P I Formulaire de la fonction tangente. Formule d addition : tan(a + b) = tan(a)+tan(b) 1 tan(a) tan(b) Angle double : tan(a) = tan(a) 1 tan (a) Expression du cosinus, sinus et tangente en fonction de l angle moitié. En posant t = tan(a/), on a : cos(a) = 1 t 1+t, sin(a) = t 1+t, tan(a) = t 1 t Résolution d équations On résout les équations faisant intervenir la fonction tangente, en utilisant le principe suivant : tan(x) = tan(y) si et seulement si x = y + kπ. 11

14 Exemple. Résoudre l équation tan(3x π 3 ) = tan(x) Donner les solutions comprises dans l intervalle [0, π[. Solution. On remarque que pour cette équation ait un sens, il faut que x π/ modulo π et 3x π/3 π/ modulo π, c est-à-dire x 5π/18 modulo π/3. On écrit 3x π/3 = x + kπ, où k est un entier relatif. Ceci s écrit de façon équivalente : x = π/3 + kπ, c est-à-dire x = π/6 + kπ/. On a ssi ssi 0 π/6 + kπ/ < π π/6 kπ/ < (11/6)π 1/3 k < 11/3 = 3, Donc k peut valoir 0, 1, ou 3. Ce qui donne x = π/6, ou π/6+π/ = π/3, ou 7π/6, ou 5π/3. 1