DOSSIER N 77. Pour au moins l un de ces exercices, la résolution doit faire appel à l utilisation d une calculatrice.

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1 DOSSIER N 77 Question : Présenter un choix d exercices sur le thème suivant : Exemples d encadrement d une intégrale au moyen d un encadrement de la fonction à intégrer ; exemples d applications à l obtention d encadrements d une fonction. Pour au moins l un de ces exercices, la résolution doit faire appel à l utilisation d une calculatrice. Consignes de l épreuve : Pendant votre préparation (deux heures), vous devez rédiger sur les fiches mises à votre disposition, un résumé des commentaires que vous développerez dans votre exposé et les énoncés de vos exercices. La qualité de ces fiches interviendra dans l appréciation de votre épreuve. Le terme exercice est à prendre au sens large ; il peut s agir d applications directes du cours, d exemples ou contre-exemples venant éclairer une méthode, de situations plus globales ou plus complexes utilisant éventuellement des notions prises dans d autres disciplines. Vous expliquerez dans votre exposé (25 minutes maximum) la façon dont vous avez compris le sujet et les objectifs recherchés dans les exercices présentés : acquisition de connaissances, de méthodes, de techniques, évaluation. Vous analyserez la pertinence des différents outils mis en jeu. Cet exposé est suivi d un entretien (20 minutes minimum). Annexes : Vous trouverez page suivante, en annexe, quelques références aux programmes ainsi qu une documentation conseillée. Ces indications ne sont ni exhaustives, ni impératives ; en particulier, les références au programme ne constituent pas le plan de l exposé. 1

2 2 Références aux programmes : ANNEXE DU DOSSIER N 77 Extraits de programmes de Terminales S : Intégration Pour une fonction f positive sur [a, b], introduction de la notation b a f(x)dx comme aire sous la courbe. (...) On indiquera que l aire sous la courbe peut être approchée en l encadrant par deux suites adjacentes en quadrillant le plan de plus en plus finement. (...) (...) Linéarité, positivité, ordre, relation de Chasles. Inégalité de la moyenne. Intégration et dérivation. Notion de primitive. Théorème : si f est continue sur un intervalle I, la fonction F telle que F (x) = x a f(t)dt est l unique primitive de f sur I s annulant en a. On interprétera ces propriétés en terme d aire ou en terme de valeur moyenne pour les rendre conformes à l intuition. On démontera que F est une primitive de f dans le cas où f est continue et croissante, et on admettra le cas général. Les propriétés générales de l intégrale seront rapidement commentées et admises; les élèves s en serviront comme règles opératoires. Emploi des calculatrices programmables : l emploi des calculatrices programmables (...) en Mathématiques a pour objectif, non seulement d effectuer des calculs, mais aussi de controler des résulats, d alimenter le travail de recherche et de favoriser une bonne approche de l informatique. Les élèves doivent savoir utiliser leur matériel personnel (...). Les capacités suivantes (...) seules sont exigibles : Savoir effectuer les opérations arithmétiques sur les nombre et savoir comparer des nombres ; Savoir utiliser les commandes des fonctions qui figurent au programme de la classe considérée et savoir faire effectuer le calcul des valeurs d une fonction d une variable permis par ces commandes ; Savoir afficher à l écran la courbe représentative d une fonction ; Savoir programmer une instruction séquentielle ou conditionnelle et, en classe, de Terminale, une instruction itérative, comportant éventuellement un test d arrêt.

3 3 Il ne s agit en aucun cas d une correction, mais seulement de mon point de vue sur le sujet. Il s agit dans ce dossier de présenter des activités portant sur la relation entre inégalités et calcul intégral. Cette relation est particulièrement féconde, puisqu elle permet entre autre, d obtenir des approximations de π, le comportement au voisinage de zéro des fonctions trigonométriques et bien d autre choses. Cette fécondité tient à deux choses : 1-) la profondeur de la notion d intégrale qui interagit avec tous les objets de l analyse : nombres, suites, fonctions ; 2-) l importance de l obtention d inégalités en analyse ; l objet de l analyse est en effet, dans une grande mesure, l étude de comportements locaux ou asymptotiques, et ces études passent souvent par des comparaisons. Je me propose, dans ce qui suit de revenir sur la notion d intégrale dans le secondaire, sur sa relation avec les inégalités et sur l utilité de l obtention d inégalités en analyse. I. Calcul intégral et inégalités en Terminale. La définition d une intégrale en Terminale repose sur le calcul d aire. L intégration des inégalités est donc une conséquance directe de la positivité de l aire et de la linéarité. Aucune difficulté sur la notion d aire n est abordée : elle demeure intuitive. La relation avec le calcul différentielle est abordée par la suite ; c est elle qui permettra de faire des calculs : Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Alors la fonction F telle que F (x) = s annulant en a. x a f(t)dt est l unique primitive de f sur I L intégration des inégalités est alors une généralisation du théorème reliant variations et signe de la dérivée. On peut même y voir une justification. II. Encadrements et inégalités. Les propriétés de la relation d ordre de R sont d une importance fondamentale et d une certaine façon, elle caractérise le corps des réels. Rien d étonnant donc à ce que l obtention d inégalités joue un rôle primordial en analyse réelle. Elles vont servir à comparer des objets d étude, nombres, suites, fonctions, à des objets de références que l on sait mieux appréhender.

4 4 Pour l étude d un nombre, les nombres décimaux, rationnels, quadratiques ou algébriques pourront être nos références. Pour l étude d une suite, ce seront, par exemple, les suites (n α ) n N. Pour l étude d une fonction, les fonctions affines, polynomiales ou les fonctions usuelles. Dans ces différents contextes, l obtention d inégalités ou d encadrements nous permettra d aboutir à : des approximations d un nombre tout encadrement donne une approximation ; ce seront alors des approximations décimales, rationnels... des résultats de convergence d une suite et des informations sur la rapidité de convergence ; des comportements asymptotiques ou locaux d une fonction calcul de limite, dérivabilité, branche asymptotique... J ai choisi d organiser mes exercices en fonctions des diverses applications que l on peut faire des inégalités et encadrements que l on va obtenir. Dans le cadre de notre dossier, nous allons donc pouvoir, à l aide de l intégration d inégalités, obtenir des valeurs approchées d une intégrale. Lorsque on connaitra la valeur de cette intégrale, nous aurons obtenu des approximations de ce nombre. Si la valeur de notre intégrale n est pas connue, il conviendra de faire remarquer que la primitive d une fonction, même élémentaire, n est pas toujours exprimable à l aide des fonctions usuelles ; calculer des valeurs approchées de son intégrale sur un intervalle sera alors crucial. Pour ce qui est de l obtention d encadrements de fonctions, ce seront nécessairement des encadrements de primitives de fonctions que l on a pu encadrer. On pourra alors, comme précédemment, obtenir des approximations des valeurs prises par notre primitive. On pourra également utiliser ces encadrements pour étudier des problèmes de limites ou de dérivabilité.

5 5 EXERCICES : Exercice 1 : Inégalité de la moyenne et méthode des rectangles. Terracher 98 TS, pages 240 & 241 et n 126 page ) Soit a et b deux réels avec a < b et f une fonction continue croissante de [a, b] dans R. Pour tout entier strictement positif n, on considère la subdivision [x i, x i+1 ] de l intervalle [a, b] en n intervalles de même longueur (b a)/n : pour tout entier i compris entre 0 et n 1, x i = a + i b n a. On définit les réels u n et v n par : u n = n 1 i=0 v n = n i=1 f(x i ) b a n f(x i ) b a n a) Montrer que : u n b a f(x)dx v n. b) Quelle est la nature de la suite (v n u n ) n N? c) En déduire que : lim u n = lim v n = b f(x)dx. n + n + a 2-) Quelle approximation de 1 0 e t2 dt obtient-on ainsi en subdivisant [0, 1] en 10 intervalles? Exercice 2 : Approximation de π ou ln 2. Terracher 98 TS, page 237 & n 139 page ) Montrer que pour tout entier n et tout réel positif t, on a l inégalité suivante : 2n+1 ( 1) k t k t 2n ( 1) k t k 2-) En déduire un encadrement de ln 2 pour tout entier n. Donner une approximation de ln 2 à 10 2 prés. 3-) Donner une approximation de t 2 dt à 10 2 prés. Exercice 3 : Un problème de dérivabilité. Transmath 98 TS n 56 page ) Par intégrations successives, montrer que pour tout entier n et tout réel positif x, on a les inégalités suivantes : 2n+1 2n ( 1) k x2k cos x ( 1) (2k)! k x2k (2k)! 2n+1 ( 1) k (2k x2k+1 sin x 2n ( 1) + 1)! k (2k x2k+1 + 1)! 2-) On considère la fonction f définie sur [0, π/2] par : f(x) = 0 si x = 0, = 1 sin x x 1 sinon.

6 6 Calculer la limite de f lorsque x tend vers 0 par valeurs supérieures? La fonction f est-elle dérivable en 0? Exercice 4 : Etude d une suite définie par des intégrales. Transmath 98 TS n 50 page 231. Pour tout entier n N, on considère l intégrale : 1 e nx I n = 0 e x + 1 dx 1-) A l aide d un encadrement de e nx e x pour x [0, 1], donner un encadrement + 1 de I n. 2-) En déduire les limites des suites (I n ) n N et( I n e n ) n N.