EQUATIONS ET INEQUATIONS

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1 Chapitre 6 EQUATIONS ET INEQUATIONS 6. EQUATIONS 6.. Propriétés des égalités. L égalité est une relation d équivalence Réfleivité : a = a Symétrie : Si a = b, alors b = a = L égalité est une relation d équivalence. Transitivité : Si a = b et b = c, alors a = c. Lorsqu on ajoute (retranche) un même nombre au deu membres d une égalité, on obtient une nouvelle égalité. Si a = b, alors a + c = b + c et a c = b c. 3. Lorsqu on multiplie (divise) par un même nombre les deu membres d une égalité, on obtient une nouvelle égalité. Si a = b, alors a. m = b. m et a m = b m (m 0). 4. Lorsqu on additionne membre à membre des égalités, on obtient une nouvelle égalité. 6.. Equations Définition 6. a = b a = b a = b = a + a + a = b + b + b. Une équation est une égalité qui n est vérifiée que pour certaines valeurs données au lettres dites inconnues (variables) qu elle contient. Ces valeurs sont les solutions (ou racines) de l équation. Eemples Equation Solution(s) On écrit Type + = 0 = S = { } Equation du premier degré = 0 = et = 4 S = {; 4} Equation du deuième degré + 3 = 0 aucune S = Φ Equation impossible = 4 = S = { } Equation du premier degré 3( + ) + = Tous les réels S = IR Equation indéterminée 66

2 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 67 Remarque 6. Une identité est une égalité vérifiée pour des valeurs quelconques données au inconnues qu elle contient. Eemple : α IR : cos α + sin α = Pour résoudre une équation, on la remplace par des équations équivalentes de plus en plus simples. Définition 6.3 Deu équations sont dites équivalentes si toute solution de la première est solution de la seconde et réciproquement. Eemple 3 = 0 = 6 S = {3} S = {3} Comme S = S, on a 3 = 0 = 6 Dans la suite du cours, nous désignons par A, B, C des epressions contenant ou non les inconnues et pour lesquelles il faudra déterminer les domaines de définition Premier principe d équivalence : addition Enoncé Lorsqu on ajoute (retranche) une même quantité au deu membres d une équation, on obtient une équation équivalente à la première. Ainsi les équations A = B et A + C = B + C sont équivalentes. Restriction La quantité ajoutée au deu membres de l équation doit avoir un sens; ainsi les équations + 5 = 7 et = 7 + ne sont pas équivalentes. La première a pour solution = ; or pour =, les deu membres de la seconde n ont pas de sens, = n est pas solution de cette seconde équation. Conséquence Un terme peut passer d un membre d une équation dans l autre à condition d être changé de signe. Eemple : + 3 = 5 est équivalente à = Deuième principe d équivalence : multiplication Enoncé Lorsqu on multiplie (divise) les deu membres d une équation par une même quantité non nulle, on obtient une équation équivalente à la première. Ainsi, m IR 0, les équations A = B et A. m = B. m sont équivalentes.

3 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 68 Remarque Si m est une epression littérale, le principe est applicable à condition que les valeurs données au lettres (inconnues) n annulent pas cette epression. Conséquence Un facteur non nul d un membre d une équation peut devenir diviseur de l autre membre et réciproquement. Eemple : 5 = est équivalente à = 5 = 3 est équivalente à = Troisième principe d équivalence : produit nul Enoncé Les solutions de l équation ABC = 0 sont les solutions des équations A = 0, B = 0, C = 0. Ainsi, ABC = 0 A = 0 ou B = 0 ou C = 0 Restriction Ce principe est valable à condition qu une solution de A = 0 (par eemple) donne un sens à B et C : ne pas oublier de travailler dans le domaine de définition de l équation considérée! Eemple : l équation ( ). = 0 n a pas la solution = parce que pour =, Conséquence n a pas de sens. Les solutions de A = B sont les solutions de A = B et A = B. En effet, A = B A B = 0 (A B). (A + B) = 0 A = B ou A = B Eemple : l équation = 4 = ou = 6..6 Remarques importantes. Considérons l équation ( ) = 3( ) (6.)

4 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 69 (a) Si on divise les deu membres de l équation (6.) par, on obtient : = 3 Or l équation (6.) a pour solutions = 3 et =. Donc en divisant les deu membres de l équation (6.) par une epression qui s annule pour =, on n obtient pas une équation équivalente. Conclusion 6.4 Lorsqu on divise les deu membres d une équation par une quantité contenant l inconnue, on s epose à supprimer des solutions. (b) Pour résoudre l équation (6.), on procédera comme suit :. Soit l équation ou ( ) 3( ) = 0 ( )( 3) = 0 = 0. 3 = 0 = ou = = 0 (6.) ( ) = 0 Pour que l équation ait un sens, il faut que soit différent de 0 et de. Chassons les dénominateurs en multipliant les deu membres par ( ), ce qui donne une équation équivalente, étant supposé différent de 0 et de : ( ) = 0 ( ) + 4( ) = 0 ( )( + 4) = 0 ( )( + ) = 0 = 0 ou + = 0 = ou = La première valeur est à rejeter. La racine de l équation (6.) est. Conclusion 6.5 En multipliant les deu membres d une équation par une quantité contenant, on s epose à introduire des solutions étrangères (parasites) Règle Lorsqu on chasse des dénominateurs, il faut rejeter comme solution éventuelle toute valeur de qui annule un des dénominateurs de l équation donnée. 3. Soit l équation = élevons ses deu membres au carré, nous obtenons = 4 qui a pour solutions = et =. Conclusion 6.6 En élevant les deu membres d une équation au carré, on s epose à introduire des solutions étrangères (parasites). Règle Si on élève les deu membres d une équation au carré, il faut rejeter comme solution éventuelle toute valeur de qui donne au deu membres de l équation donnée, des signes contraires.

5 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS Eercices Eercice = = = = = = ( + 4) = 4( + ) ( 5) = ( + 4) 9. 5( + 0) = ( ) 0. 3( + 3) + 7 = 5 ( + 7) = = = = = 7( ) ( + ) = 0( ) = = ( 6) 5 = ( 4) + = = = = = = = = = = = ( + ) ( ) = 0 3. ( + ) ( 7) = ( + 9) ( ) = ( + 5) ( + 4) = + 4 ( 4) 35. ( 3)(6 8) = (3 )(4 9) 36. (6 3)(4 + 5) = (3 + 7)(8 ) 37. = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = 7 6. = 6. 3 = = = ( 3) 3 = = = , 0, 0 + 0, 4 = = , + + = 0

6 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 7 Eercice 6.8 Résoudre les équations suivantes.. + = = 4 = = = = = = = 3 0. (+) + + = (3 )(+) Eercice 6.9 Résoudre l équation Eercice = Déterminer le nombre a pour que les équations suivantes aient la solution indiquée = a (+) avec S = { } = (+a) avec S = { 0 } Eercice 6. Résoudre les équations suivantes. = = = = Eercice 6. Résoudre les équations suivantes :. ( ) =. ( ) + 3 = ( ) + 4 = ( + 3) + (+)(+3) = (+)(+3) Eercice 6.3. ( ) = 3. (+) +3 = ( 4) ( 6)( 5) = 4 ( 6)( 5) 4. (+5) +4 = Eercice 6.4 Résoudre les équations. (4t + )(7t ) + = 0. (7p + )(8p ) = p Eercice 6.5 Résoudre les équations

7 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 7. ( + 4) = ( 5). (y + 3y + 4) = (y + 5y + 4) Eercice 6.6 Résoudre l équation Eercice 6.7 ( + ) ( + + ) =. Transformer a 3 a a + en un produit de facteurs du premier degré en a.. Résoudre l équation a 3 a a + = 0 Eercice 6.8 Résoudre les équations. =. = Eercice 6.9. Calculer k pour que 4a + a + k soit le carré d un binôme du premier degré en a. En déduire les solutions de l équation 4a + a + 5 = 0 Eercice 6.0 On pose A() = Un des nombre,, 0,, est solution de l équation A() = 0. Lequel?. Factoriser A() et en déduire les solutions de A() = 0. Eercice 6.. Déterminer p pour que l équation en a 6a + ap 5 = 0 admette la solution 3.. Calculer les solutions de cette équation. Eercice 6. Calculer les solutions de l équation 4 + = 0 sachant qu elles ont la forme a + b 3, a et b étant des nombres entiers. Eercice 6.3 On donne l équation en a + b = 0. Calculer a et b pour que cette équation admette les solution et 4.. Résoudre l équation donnée pour les valeurs trouvées de a et b. Eercice 6.4 Détermine k pour que l équation en u 8u 9u + k = 0 admette deu racines telles que l une soit le double de l autre.

8 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS Les équations du premier degré à coefficients paramétriques Eemple 6.5 Résoudre l équation en où k est un paramètre réel. k + k = (k ) k Eemple 6.6 Résoudre l équation en où k est un paramètre réel. ( 3m) + = m ( ) Synthèse Pour résoudre une équation du premier degré à une inconnue, il faut isolerles termes en dans l un des membres, c est-à-dire, regrouper: les termes contenant l inconnue dans un des membres; les termes ne contenant pas l inconnue dans l autre membre: indépendants. ces termes s appellent termes Nous obtenons alors un équation du type a. = b:. si a n est pas nul, la solution s obtient en divisant les deu membres de cette équation par a;. si a est nul, l équation s écrit 0 = b. Après avoir remarqué que le produit de tout nombre réel par 0 est le nombre 0, nous déduisons que si b n est pas nul, l équation n a pas de solution (équation impossible); si b est nul, tout nombre réel est solution (équation indéterminée). Eercice 6.7 Résoudre chacune des équations en suivantes où m est un paramètre réel.. m + = 0. m + m = 0 3. (m 3) + m = (3m ) + 4. m(m ) + = m m 3 5. = m ( ) = m( ) 7. (m ) = (m ) + m 3 3m + 3m 9 8. m(m 4) + m( 5) = (m + m + ) = ( + ) + m 0. (m )( m) = + m Eercice 6.8 Déterminer m pour que l équation suivante en n admette pas de solution Eercice 6.9 m 4 m 3 = Déterminer a pour que l équation suivante en n admette pas une solution unique (a 3) + = 3

9 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 74 Eercice 6.30 Déterminer les réels a et b pour que l équation en a + = 3 + b. n admette pas de solution,. admette tout réel comme solution. 6. INEQUATIONS - TYPE SIMPLE - PREMIER DEGRE 6.. Propriétés des inégalités. Transitivité : a b b c } = a c. Lorsqu on ajoute (retranche) un même nombre au deu membres d une inégalité, on obtient une inégalité de même sens. Si a b, alors a + c b + c et a c { } strictement positif 3. Lorsqu on multiplie (divise) par un même nombre { strictement } négatif inégalité de même sens d une inégalité, on obtient une. inégalité de sens contraire c IR + 0 : a b ac bc c IR 0 : a b ac b c. les deu membres Conséquence : on peut changer les signes des deu membres d une inégalité à condition de changer le sens de l inégalité. 4. Lorsqu on additionne membre à membre des inégalités de même sens, on obtient une inégalité de même sens que les précédentes. a c b d = a + c b + d bc

10 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS Lorsqu on soustrait membre à membre des inégalités de sens contraires, on obtient une inégalité dont le sens est celui de la première inégalité. a b 6.. Inéquations Définition 6.3 c d = a c b d Une inéquation est une inégalité qui n est vérifiée que pour certaines valeurs données au lettres dites inconnues qu elle contient. Ces valeurs sont les solutions de l inéquation. Pour résoudre une inéquation, on la remplace par des inéquations équivalentes de plus en plus simples. Définition 6.3 Deu inéquations sont équivalentes si toute solution de la première est solution de la seconde et réciproquement. Eemple S =]3, + [ S =]3, + [ Comme S = S, on a Premier principe d équivalence : addition Enoncé Lorsqu on ajoute (retranche) une même quantité au deu membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente à la première. Ainsi les inéquations A B et A + C B + C sont équivalentes. Conséquence Un terme peut passer d un membre d une inéquation dans l autre à condition d être changé de signe. Eemple : est équivalente à Deuième principe d équivalence : multiplication Enoncé Lorsqu on multiplie (divise) les deu membres d une inéquation par un nombre { } de même sens on obtient une inéquation équivalente à la première. de sens contraire { strictement positif strictement négatif },

11 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 76 m IR + 0 : A B Am Bm m IR 0 : A B Am Bm Remarque Si m est une epression littérale, on peut discuter le signe de cette epression pour la faire changer de membre mais cette façon de faire est totalement déconseillée. Nous allons voir plus loin comment il vaut mieu procéder. Conséquence Un facteur non nul d un membre d une inéquation peut devenir diviseur de l autre membre et réciproquement, à condition que le sens de l inéquation soit changé, si le facteur (ou le diviseur) est négatif. Eemples : 5 est équivalente à 5 3 est équivalente à 6 5 est équivalente à 5 3 est équivalente à Troisième principe d équivalence : produit nul Préliminaires Considérons les inéquations : La première est vérifiée pour 8, la seconde pour 4. Les inéquations sont vérifiées simultanément par : 4 8. Ces valeurs de sont les solutions du système formé par les deu inéquations données. Enoncé Les solutions de l équation AB 0 ou A B 0 sont les valeurs de qui vérifient simultanément Les solutions de l équation AB 0 ou A B 0 sont les valeurs de qui vérifient simultanément { A 0 B 0 ou { A 0 B 0 { A 0 B 0 ou { A 0 B Remarques importantes. Soit l inéquation

12 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 77 Pour résoudre cette inéquation, on ne divise pas les deu membres par dont on ne connaît pas le signe, mais on procède comme suit : 0 ( ) 0 Règle : pour résoudre une inéquation d un degré supérieur à, on groupe les termes dans un même membre, on factorise ce membre, on étudie le signe de chaque facteur.. Pour résoudre une inéquation fractionnaire, on la met sous la forme : et on étudie les signes de A et de B. A B Eercices Eercice 6.33 Résoudre les inéquations suivantes : ( ) Eercice 6.34 (Inéquations paramétriques) Résoudre les inéquations paramétriques suivantes où m est un paramètre réel.. m( ) + 3. ( + 3) m( + 4) 3. (m + ) (m ) m m + + 3m 6. m + 3 (m + )( + ) 7. (m ) (+) m (m )(m + ) (m ) + 3 Eercice 6.35 (Inéquations paramétriques) Résoudre les équations et les inéquations paramétriques suivantes où a et b sont des paramètres réels, l inconnue.. a 3a b = 0. a 3a b 0 3. a 3 4. a = a + b 5. a( a) + b( + b) = 0 6. a( ) = + b + 7. a(a ) = 4 b a + b 9. a + 4 b 3a 0. ab( ) + b = 3(a + ) + b

13 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS INEQUATIONS - TYPE GENERAL Eercice introductif 6.36 Résoudre l inéquation suivante Rappels - Etudes du signe Le binôme du premier degré La forme générale d un binôme du premier degré est a + b où { a ( 0) est le coefficient de ; b est le terme indépendant. La racine de a + b est b a. L étude du signe de la fonction f() = a + b se résume par b a a + b SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a Le trinôme du second degré La forme générale d un trinôme du second degré est a ( 0) est le coefficient de ; a + b + c où b est le coefficient de ; c est le terme indépendant. On a = ρ = b 4ac.. Si 0, alors le trinôme du second degré admet deu racines réelles distinctes : = b + a et = b a Connaissant les racines d un trinôme du second degré, il est alors facile de faire l étude du signe de la fonction f() = a + b + c : a + b + c SIGNE DE a 0 SIGNE CONTRAIRE DE a 0 SIGNE DE a. Autrement dit, un trinôme du second degré du type a + b + c est toujours du signe de a sauf entre ses racines.. Si = 0, alors le trinôme du second degré admet une racine double : = = b a. Pour rappel, on appelle racine d un polynôme P () tout réel qui annule ce polynôme, c est-à-dire toute valeur de qui vérifie l équation P () = 0. En supposant que.

14 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 79 Dans ce cas l étude du signe de la fonction f() = a + b + c se résume par b a a + b + c SIGNE DE a 0 SIGNE DE a 3. Si 0, alors le trinôme du second degré n admet pas de racine. Dans ce cas, l étude du signe se simplifie et devient + a + b + c SIGNE DE a PARTOUT! Etude du signe d un produit ou d un quotient Pour étudier le signe de f().g().h() ou f().g(), h() on doit étudier le signe des fonctions f(), g() et h(). Ensuite on fait le PRODUIT des signes. Pour le QUOTIENT, il ne faut pas oublier de REJETER les valeurs de qui ANNULENT (éventuellement) h(). Soulignons également les deu propriétés suivantes : Si n est pair, f() n 0 Dom f. Si n est impair, f() n a le même signe 3 que f() ( Dom f) Eercices Eercice 6.37 Résoudre les inéquations suivantes :. ( )( + 3) ( 9) Eercice 6.38 Résoudre les inéquations suivantes :. + ( ) +. (3 + )( )( 5) ( )(+) (+) 0 (+) ( ) 9 0 ( 3)(+3) (6 9 ) 0 ( )( ) ( 3)( 4) 0 7. ( 9) 9 8. ( + 3)(5 6 ) ( + 4)(4 5) ( + 3)(4 5) Mathématiquement, on pourrait écrire : Dom f : f() n. f() 0.

15 CHAPITRE 6. EQUATIONS ET INEQUATIONS 80 Eercice 6.39 Résoudre les inéquations suivantes : ( )( 3) ( ) ( ) ( ) ( 3) 3 ( 3) ( 3) ( )(3 ) 8. (3 + ) Eercice 6.40 Résoudre les inéquations suivantes :. ( 3 + 3) ( + 3 ). ( + )( 9 + 7) (4 3) ( ) ( ) ( 3)(+) ( 3) (+) (+) Eercice 6.4 Dans ZZ, résoudre l inéquation + 0 Eercice 6.4 Dans un circuit électrique, deu résistances R et R montées en parallèle sont équivalentes à une résistance R dont la valeur est donnée par la formule R = R + R Une résistance se mesure en ohms (Ω). Si R = 5Ω, trouve les valeurs permises de R pour que R soit supérieure à 3ω. Eercice 6.43 Les longueurs des côtés d un triangle (notées a, b et c) sont données en fonction d une variable. Détermine les valeurs que peut prendre cette variable si. a =, b =, c = + 3. a = 3, b =, c = + Eercice 6.44 (Inéquations paramétriques) Quelle(s) valeur(s) faut-il donner au paramètre réel m pour que les inéquations soient vérifiées pour tout valeur réelle de?. + m + m 6. (m ) + 8 8(m + ) 0 3. ( m) + (m ) 5m (m + ) + m + m m+ 0