1 Forme algébrique d un nombre complexe

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1 Chapitre 2 Nombres complexes 1 BCPST septembre 2011 Chapitre 2 Nombres complexes On suppose donné un nombre i n appartenant pas à R. 1 Forme algébrique d un nombre complexe Définition 1 Propriété 1 On définit le corps des nombres complexes C = {x + iy, (x, y) R 2 }. On définit sur cet ensemble une addition et une multiplication étendant celle de R en posant : (x + iy) + (x + iy ) = (x + x ) + (y + y )i (x + iy)(x + iy ) = (xx yy ) + (xy + x y)i On a donc en particulier i 2 = 1. Tout nombre complexe z s écrit de manière unique a+ib avec a, b R. On parle de la forme algébrique de z. Attention, il n y a unicité que si l on force a et b à être réels. Propriété 2 Exercice 1 Dans C comme dans R, l addition et la multiplication sont commutatives et associatives. De même, la multiplication dans C est distributive sur l addition. Tout nombre complexe z 0 a un unique inverse, noté 1, tel que z z 1 = 1. z Soient z, z C. On a zz = 0 (z = 0 ou z = 0). 1. Mettre sous forme algébrique (2 3i) Mettre sous forme algébrique 1 2+i. 3. Calculer i 19.

2 Chapitre 2 Nombres complexes 2 Définition 2 Soit z = a + ib un nombre complexe sous forme algébrique (on a donc a, b R). On appelle : partie réelle de z le nombre réel R(z) = a ; partie imaginaire de z le nombre réel I(z) = b ; conjugué de z le nombre complexe z = a ib ; module de z le nombre réel positif ou nul z = a 2 + b 2. Un complexe z est réel ssi sa partie imaginaire est nulle. Un nombre complexe est dit imaginaire pur si sa partie réelle est nulle. On note parfois ir l ensemble des imaginiares purs : ir = {z C, R(z) = 0}. Propriété 3 Propriété 4 Propriété 5 Conjugaison Soient z, z 1,..., z n dans C et p Z. z z n = z z n z 1 z n = z 1 z n En particulier, z p = (z) p. z = z Ç å 1 Si z 0, = 1 z z Module Soient z, z 1,..., z n dans C et p Z. z 1 z n = z 1 z n En particulier, z p = z p. Si z 0, alors 1 = 1. z z z = 0 z = 0 z.z = z 2 z z n z z n (inégalité triangulaire) Parties réelle et imaginaire Soient z, z 1,..., z n C. R(z) = 1 (z + z) 2 I(z) = 1 (z z) 2i R(z z n ) = R(z 1 ) + + R(z n ) I(z z n ) = I(z 1 ) + + I(z n ) R(z) z I(z) z Si λ est réel, R(λz) = λr(z). Si λ est réel, I(λz) = λi(z). Attention, la partie réelle d un produit (ou d un quotient) n est pas égale au produit (ou au quotient) des parties réelles. De même pour la partie imaginaire.

3 Chapitre 2 Nombres complexes 3 2 Exponentielle complexe 2.1. Forme trigonométrique Définition 3 Soit z = a + ib, avec a et b dans R, un nombre complexe. On définit l exponentielle de z par exp(z) = exp(a + ib) = e a (cos b + i sin b) Cette définition étend la fonction exponentielle aux nombres complexes ; on notera souvent e z pour exp(z). On remarque que 1 = e 0, i = e i π 2, 1 = e iπ et i = e i π 2. Propriété 6 Soient z, z C et n Z. On a e z+z = e z e z (e z ) n = e nz en particulier, 1 = e z e z e z = e z Exercice 2 Calculer (1 + i) Ces propriétés étendent celles de l exponentielle réelle. Attention cependant à la deuxième : si l on oublie que n doit être entier, on écrit facilement des absurdités du type i = e i π 2 = e 2iπ 1 4 = Ä e 2iπ ä 1 4 = = 1... Propriété 7 Soit θ R. On a e iθ = cos θ + i sin θ (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) (Moivre) cos θ = eiθ +e iθ (Euler) 2 sin θ = eiθ e iθ (Euler) 2i Exercice 3 Pour x R, exprimer : 1. cos(3x) et sin(3x) en fonction de cos x et sin x ; 2. sin 3 x en fonction de sin(3x) et de sin x. Exercice 4 Pour n N et x R, calculer n cos(kx) et k=0 n sin(kx). k=0

4 Chapitre 2 Nombres complexes 4 Théorème 8 Forme trigonométrique d un complexe Tout nombre complexe z peut s écrire sous la forme ρe iθ avec ρ 0 et θ R. Si θ, θ R et si ρ > 0 et ρ > 0, alors ρ = ρ ρe iθ = ρ e iθ et θ = θ + 2kπ, avec k Z On note usuellement θ θ [2π] ou θ θ mod 2π pour k Z, θ = θ + 2kπ. De même, θ = θ mod π signifie k Z, θ = θ + kπ. La condition ρ R + assure l unicité de ρ, qui est égal à z. Définition 4 Si z = ρe iθ, avec ρ 0, on dit que θ est un argument de z. On note alors arg(z) θ[2π] ou arg(z) θ mod 2π. 0 n a pas d argument. Parmi tous les arguments d un complexe z 0, un et un seul appartient à l intervalle ] π, π]. Cet argument est dit argument principal de z. Propriété 9 Argument Soient z, z C et n Z. arg(zz ) arg(z) + arg(z ) mod 2π arg(z n ) n arg(z) mod 2π arg Ä ä 1 z arg(z) mod 2π arg Ä ä z z arg(z) arg(z ) mod 2π Ces propriétés sont une simple traduction de celles déjà vues pour l exponentielle complexe Plan complexe Le plan muni d un repère orthonormé (O, u, v ) s identifie de manière naturelle à l ensemble C : à un point M(x, y) on fait correspondre le complexe z = x + iy appelé affixe de M, et réciproquement. Cette identification peut aussi se faire avec la forme trigonométrique de z en travaillant en coordonnées polaires : à un complexe non nul z = ρe iθ correspond le point du plan de coordonnées polaires (ρ, θ) (et donc de coordonnées cartésiennes (ρ cos θ, ρ sin θ)). Il est bon d avoir en tête une représentation géométrique d un certain nombre de définitions et propriétés sur les complexes. Dans ce qui suit, on a, comme souvent, effacé la distinction entre complexe z et point d affixe z. R correspond à l axe des abscisses. L ensemble ir des imaginaires purs correspond à l axe des ordonnées.

5 Chapitre 2 Nombres complexes 5 La partie réelle d un complexe z est son projeté orthogonal sur l axe des abscisses. La partie imaginaire d un complexe z n est pas son projeté orthogonal sur l axe des ordonnées. z z est la distance entre z et z. En particulier, z est la distance entre z et l origine. Si a C et r R +, l ensemble {z C, z a = r} est le cercle de rayon r et de centre a. Soient z et z deux complexes non nuls. arg(z ) arg(z)[2π] ssi z [Oz). Soient z et z deux complexes non nuls. arg(z ) arg(z)[π] ssi z (Oz). z est le symétrique de z par rapport à l origine. z est le symétrique de z par rapport à l axe des abscisses. Si r R +, la transformation z rz est une homothétie de rapport r et de centre O. Si θ R, la transformation z ze iθ est une rotation d angle θ et de centre O. Exercice 5 1. On considère deux complexes non nuls z 1 = ρ 1 e iθ 1 et z 2 = ρ 2 e iθ 2. Donner une condition nécessaire et suffisante sur θ 1 et θ 2 pour que z 1 +z 2 = z 1 + z 2. Comment cette condition s interprètet-elle géométriquement? 2. Même question en passant cette fois par la forme algébrique de z 1 et z 2. Un complexe peut aussi être vu naturellement comme un vecteur du plan. z correspondra au vecteur OM, où M est le point d affixe z. Réciproquement, à un vecteur AB de coordonnées (x, y), on fera correspondre le complexe z AB = x + iy dit affixe vectorielle de AB. Dans les propriétés suivantes, on a noté z A l affixe d un point A. z AB = z B z A AB = z AB = AB = z B z A Å ã ) AB, CD = arg ( z CD z AB AB est colinéaire à CD ssi ( z AB z CD AB est orthogonal à CD ssi ( z AB z CD 2.3. Complexes de module 1 Définition 5 Propriété 10 (pour A B et C D) ) R (pour A B et C D). ) est imaginaire pur (pour A B et C D). On note U l ensemble des nombres complexes de module 1. U = {z C, z = 1}. U = {e iθ, θ R} = {cos θ + i sin θ, θ R} = {a + ib tels que a, b R et a 2 + b 2 = 1}

6 Chapitre 2 Nombres complexes 6 La représentation naturelle d un complexe de module 1 (à utiliser dans 99% des cas) est e iθ, θ R. Dans le plan complexe, U correspond au cercle unité (aussi appelé cercle trigonométrique). Exercice 6 Soit z C. Montrer que z = 1 z = 1 z. Théorème 11 Racines de l unité Pour tout n N, l équation z n = 1 a exactement n solutions dans C, appelées racines n-èmes de l unité. On a {z C, z n = 1} = { e 2ikπ n, k 1, n } Les racines deuxièmes de l unité sont 1 et 1, les racines quatrièmes 1, 1, i et i. Les racines troisièmes de l unité sont e 2iπ 3, e 2iπ 3 et 1. On note souvent j pour e 2iπ 3 et ces racines s écrivent alors j, j 2 et 1(= j 3 ) Formules de trigonométrie Propriété 12 Pour tous a, b R, on a : cos 2 a + sin 2 a = 1 cos(a + b) = cos a cos b sin a sin b sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos() = cos 2 a sin 2 a = 1 2 sin 2 = 2 cos 2 a 1 sin() = 2 sin a cos a cos a + cos b = 2 cos Ä ä Ä ä a+b 2 cos a b 2 sin a + sin b = 2 sin Ä ä Ä ä a+b 2 cos a b tan 2 1 a =, quand ces expressions ont un sens. cos 2 tan a + tan b tan(a + b) =, quand ces expressions ont un sens. 1 tan a tan b Il faut savoir que ces formules existent et, au choix, être capable de les retrouver rapidement ou les connaître par cœur. 3 Complexes et équations 3.1. Équations du second degré à coefficients réels Soient a, b, c R avec a 0. On considère l équation (E) d inconnue z C : (E) : az 2 + bz + c = 0 On pose = b 2 4ac ( est donc un réel que l on appelle discriminant de (E)).

7 Chapitre 2 Nombres complexes 7 Théorème 13 Si > 0, l équation (E) admet deux solutions réelles distinctes b et b + Si = 0, l équation (E) admet une unique solution réelle (dite double) b Si < 0, l équation (E) admet deux racines complexes non réelles distinctes b i et b + i Si < 0, les deux solutions complexes de (E) sont conjuguées. Propriété 14 Somme et produit des racines d un trinôme Soient z 1 et z 2 les deux solutions (éventuellement confondues) de (E). On a z 1 + z 2 = b a et z 1 z 2 = c a 3.2. Équations du type z n = a Si a est un complexe non nul, l équation z n = a possède exactement n racines distinctes dans C. Une méthode possible pour les déterminer est exposée dans l exemple suivant. Exemple 7 Résolvons dans C l équation (E) : z 4 = 2 + 2i 3, d inconnue z. On commence par mettre le membre de droite sous forme trigonométrique. On a 2 + 2i 3 = = 4, on cherche donc θ R tel que cos θ + i sin θ = 1 + i 3. D après les valeurs 2 2 remarquables de sin et cos, on peut prendre θ = 2π, on a donc 2 + 2i 3 = 4e 2iπ 3 3. On cherche z sous forme trigonométrique z = ρe iα. Comme les solutions sont clairement non nulles, on a (E) Ä ρe iαä ρ 4 = 4 (1) = 4e 2iπ 3 4α 2π [2π] (2) 3 Comme ρ est forcément un réel positif, la seule solution de (1) est ρ = 4 4 = 2. L équation (2) s écrit k Z, 4α = 2iπ + 2kπ, ce qui équivaut à k Z, α = 2π + k π. Cette équation a quatre solutions dans [0, 2π[ qui sont π, 2π, 7π et 5π. Les autres solutions dans R sont toutes égales à l une de ces solutions modulo 2π et ne donnent donc pas de nouvelles solutions pour (E). Finalement, l ensemble des solutions de (E) est donc { iπ 2iπ 7iπ } 5iπ 2e 6, 2e 3, 2e 6, 2e 3. Si, pour une raison quelconque, on peut facilement déterminer une solution particulière z 0 de l équation (E) : z n = a, on peut facilement trouver les autres en résolvant l équation (qui est alors équivalente à (E)) ( z z 0 ) n = 1. Nous verrons un exemple en travaux dirigés (exercice 14).

8 Chapitre 2 Nombres complexes 8 Travaux dirigés Exercice 8 Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique : z 1 = (5 3i) 3 z 2 = 4 3i 4 + 3i z 3 = 1 (4 i)(3 + 2i) z 4 = (3 + i)(2 3i) 5 + 2i Exercice 9 Soit θ [0, 2π[. Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants : z 1 = 1 + e iθ z 2 = 1 e iθ z 3 = 1 eiθ 1 + e iθ z 4 = (1 + i) 3 z 5 = 1 4i 1 + 5i z 6 = 1 + 4i 1 5i z 7 = (1 + i)2. 1 i Exercice Soit θ un réel. Résoudre les équations d inconnue réelle x suivantes : cos(x) = cos(θ), sin(x) = sin(θ) et tan(x) = tan(θ). 2. Soit n N. Résoudre dans ]0, π[ l équation cos(nx) = Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 2 cos(2x + π 3 ) = 3; sin(x) 1 2 ; cos(2x) 0; tan(x) 1; tan(x + π 4 ) > 1; 2 cos 2 (x) + 3 cos x + 1 = 0; sin 2 x + 3 cos x 1 < 0; cos(2x) 3 sin(2x) = 1; sin 2 (2x + π 6 ) = cos2 (x + π 3 ). Exercice 11 Montrer que : Interpréter géométriquement le résultat. Identité du parallélogramme (z, z ) C 2, z + z 2 + z z 2 = 2( z 2 + z 2 ). Exercice Linéariser les expressions suivantes : cos 6 x; cos 2 x sin 4 x; sin 5 x; cos 3 (2x) sin 3 x; cos(2x) cos 3 x. 2. Soit α un réel. (a) Calculer cos(5α) et sin(5α) en fonction de cos(α) et sin(α). (b) En déduire la valeur de cos π 10.

9 Chapitre 2 Nombres complexes 9 Exercice Calculer pour tout entier naturel n et pour tous réels a et b les sommes suivantes. ) n k=0( 1) k( n cos(ka + b) k ( ) n n k sin(ka) k k=0 Exercice 14 Déterminer les nombres complexes z tels que : 1. z 2 3z + 4 = 0 2. z 4 + z 2 6 = 0 3. z z + z + z = 4 4. z 4 i = 0 5. z 3 = (2 + i) 3 6. z = z 6 + 5i 7. z + i = 2 8. z(2 z + 1) = 1 9. z 2 = z z + 4i 10. 5z 3 R Ç å z R = 0 z + 1 Exercice 15 Soit n N. On pose u = e 2iπ n. Montrer que z C, n Ä z + u k ä n = n(z n + 1) k=1 Exercice 16 Soient a, b et c trois nombres complexes de module 1 tels que a + b + c = 1. Le but est de montrer que l un au moins des trois nombres vaut Montrer que = 1. a b c 2. En déduire que ab + bc + ac = abc. 3. Montrer que (1 a)(1 b)(1 c) = 0 et conclure. Exercice 17 On note E = {z C, I(z) > 0} et F = {z C, z < 1}. 1. Montrer que : z C, z E z i z+i F. 2. On définit alors l application : f : E F z z i z + i (a) Montrer que tout nombre complexe Z de F admet un antécédent par f dans E. (b) En déduire que f est bijective et déterminer f On pose E 1 = {z E; R(z) = 0} et E 2 = {z E; z = 1} et on munit le plan d un repère orthonormé direct. (a) Déterminer l ensemble f (E 1 ) et le représenter graphiquement. (b) Déterminer l ensemble f (E 2 ) et le représenter graphiquement.