Analyse numérique fondamentale

Transcription

1 UNIVERSITÉ DE PAU MASTER 1 MMS Analyse numérique fondamentale SÉBASTIEN TORDEUX ET VICTOR PÉRON 013/014

2 Table des matières I La méthode des différences finies 4 1 Discrétisation des équations différentielles ordinaires d évolution Position du problème et réduction d ordre Théorème d existence et unicité Les schémas à un pas Etude de a-stabilité Stabilité d un schéma numérique (cas général) Consistance d un schéma numérique Convergence d un schéma numérique Exercices du chapitre La méthode des différences finies pour les problèmes aux limites statiques 18.1 Différences finies en dimension Quelques exemples de différences finies Différence finie décentrée à droite Différences finies décentrées à gauche Différence finie centrée Le schéma à trois points Discrétisation des problèmes de type elliptique en dimension Position du problème Discrétisation de l équation principale Discrétisation des condition aux limites Formulation vectorielle Méthode du point fantôme ou virtuel Discrétisation des problèmes de type elliptique en dimension Définition du problème continu Différences finies en dimension Approximation de l équation principale Approximation des conditions aux limites Formulation vectorielle Un exemple de problème à discrétiser, formulation non éliminée Technique du point virtuel ou fantôme Un exemple de formulation éliminée avec points virtuels Exercices du chapitre

3 3 Discrétisation des problèmes aux limites d évolution Discrétisation de l équation de réaction-advection-diffusion en dimension un d espace Semi-discrétisation en espace Formulation éliminée Discrétisation en temps Discrétisation de l équation des ondes Semi-discrétisation en espace Formulation éliminée Schéma à un pas Schéma à deux pas Analyse de stabilité de Von-Neumann La transformation de Fourier Principe de l analyse de Von Neumann Discrétisation de l équation de diffusion par le schéma d Euler explicite Application à l équation de diffusion discrétisé par le schéma d Euler implicite Application à l équation des ondes (schéma saute-mouton) Application à l équation des ondes discrétisées par une méthode des trapèzes implicites

4 Première partie La méthode des différences finies 4

5 Chapitre 1 Discrétisation des équations différentielles ordinaires d évolution 1.1 Position du problème et réduction d ordre Une équation différentielle ordinaire (EDO) est une équation différentielle ayant la forme y (p) (t) = f(t, y(t), y (t),, y (p 1) (t)). (1.1) avec y : R + R une fonction inconnue et f : R + R p R. On dit que (1.1) est une EDO d ordre p. Dans ce chapitre, nous nous intéressons plus précisément à la discrétisation des problèmes de Cauchy qui sont des problèmes aux données initiales Chercher y : R + R de classe C p tel que y (p) (t) = f(t, y(t), y (t),, y (p 1) (t)), t 0, y(0) = α 0, y (0) = α 1, y (p 1) (t) = α p 1. (1.) Ces problèmes de Cauchy d ordre p mettant en jeu des fonctions à valeurs scalaires peuvent prendre la forme d une EDO vectorielle d ordre 1. En effet, en notant Y (t) = (y(t), y (t),, y (p 1) (t)) T (1.3) nous avons Y (t) = y (t) y () (t) y (p 1) (t) y (p) (t) = y (t) y () (t) y (p 1) (t) f(t, y(t), y (t),, y (p 1) (t)) (1.4) 5

6 En notant α = (y(0), y (0),, y (p 1) (0)) T et F : R + R p R p la fonction définie par u 0 u 1 F (t, u p u p 1 ) = u 1 u u p 1 f(t, u 0, u 1,, u p 1 ), (1.5) le problème (1.) s écrit Chercher Y : R + R p de classe C 1 tel que Y (t) = F (t, Y (t)), t 0, Y (0) = α. (1.6) Nous allons après avoir étudié l existence et l unicité des EDO vectorielles d ordre 1, nous allons présenter les schémas numériques à un pas, puis en effectuer l analyse. 1. Théorème d existence et unicité Theoreme 1.1 (Cauchy-Lipschitz-Picard) Si α R p, F : R + R p R p est continue et vérifie L > 0 t > 0, U, V R p, F (t, U) F (t, V ) L U V (1.7) alors le problème (1.6) admet une unique solution. Preuve. Soit L : C 0 ([0, + [, R p ) C 0 ([0, + [, R p ) l application définie par LV (t) = α + Remarquons que Y est solution de (1.6) ssi Y est point fixe de L. t 0 F (s, V (s))ds (1.8) (i) Pour démontrer l existence d une solution de (1.6), nous allons démontrer, pour tout T 0, l existence et l unicité d un point fixe de L dans l espace de Banach avec X T k = {V C 0 ([0, T ], R p ) : V X T k < + } (1.9) V X T k = sup e kt V (t). (1.10) t [0,T ] Comme T est borné, l application L est continue sur Xk T. Montrons que L est contractante sur X T k pour k > L t e kt (LU(t) LV (t)) = e kt F (s, U(s)) F (s, V (s))ds (1.11) 0 6

7 D après (1.7), il suit l inégalité t e kt (LU(t) LV (t)) Le kt e ks e ks U(s) V (s) ds 0 Le kt ( t 0 Le kt ( t L k U V X T k ) e ks ds U V X T k ) e ks ds U V X T k (1.1) On peut passer au sup sur t. Il suit LU LV X T k L k U V X T k. (1.13) Comme k > L, l application L est bien contractante sur X T k. On utilise alors le théorème de point fixe de Picard!Y T X T k : LY T (t) = Y T (t) t [0, T ]. (1.14) Remarquons que pour T > T > 0, Y T [0,T ] Xk T et LY T (t) = Y T (t) pour tout t [0, T ]. Par unicité, on a l identité suivante Il suit que T > T > 0 Y T (t) = Y T (t) t [0, T ] (1.15) T t Y T (t) = Y t (t). (1.16) Ceci nous permet de définir la fonction Y C 0 ([0, + [, R p ) définie par qui vérifie (1.8) et donc (1.6). Y : [0, + [ R p t Y (t) = Y t (t). (1.17) (ii) Pour montrer l unicité, nous considérons deux solutions Y 1 et Y de (1.6). Comme Y 1 et Y sont des points fixes de L on a Il suit Y 1 (t) Y (t) = t Y 1 (t) Y (t) L En notant ψ(t) = exp( Lt) t 0 Y 1(s) Y (s) ds, on a l équation 0 F (s, Y 1 (s)) F (s, Y (s))ds (1.18) t 0 Y 1 (s) Y (s) ds (1.19) ψ (t) 0, ψ(0) = 0 et ψ(t) 0 = ψ(t) = 0. (1.0) On peut conclure à l unicité Y 1 = Y. 7

8 n = 0 x n = 0 1 δt n 1 δt (n 1)δt n n + 1 nδt (n + 1)δt FIGURE 1.1 Une grille uniforme de pas δt Remarque 1.1 Dans la preuve du théorème de Cauchy-Lipschitz-Picard nous avons introduit la forme intégrale du problème (1.6). L utilisation de cette formulation est fréquente. On se souviendra que le problème (1.6) est équivalent à sa forme intégrale Chercher Y : R + R n de classe C 0 qui vérifie t Y (t) Y (t ) = F (s, Y (s))ds (1.1) t Y (0) = α. 1.3 Les schémas à un pas On introduit une grille uniforme en temps, voir figure 1.1, définie par ses sommets t n = nδt, avec n N. On note Y n l approximation de Y (t n ). Y n Y (t n ). (1.) Un schéma à un pas est une méthode numérique permettant de calculer Y n+1 à partir de Y n Y n+1 = ϕ(t n, δt, Y n ) (1.3) avec ϕ : R + R + R p R p. La plupart des schémas est basée sur l approximation de la forme intégrale (1.1) écrite pour t = t n+1 et t = t n et sur une formule d intégration numérique du second membre Y (t n+1 ) = Y (t n ) + tn+1 t n g(t)dt avec g(t) = F (t, Y (t)). (1.4) Le schéma d Euler explicite. On utilise ici une méthode des rectangles à gauche pour calculer l aire séparant le graphe de g pour t allant de t n à t n+1, voir figure 1., tn+1 g(s)ds δt g(t n ) = δt F (t n, Y (t n )). (1.5) t n On en déduit le schéma d Euler explicite Y n+1 = Y n + δtf (t n, Y n ). (1.6) Le schéma d Euler implicite. On utilise ici une méthode des rectangles à droite tn+1 t n g(s)ds δt g(t n+1 ) = δt F (t n+1, Y (t n+1 )). (1.7) 8

9 t n t n+1 t n t n+1 t n t n+1 FIGURE 1. Les méthodes d intégration numérique : rectangle à gauche, rectangle à droite, trapèze On aboutit au schéma Y n+1 = Y n + δtf (t n+1, Y n+1 ) Y n+1 δtf (t n+1, Y n+1 ) = Y n. (1.8) Le schéma des trapèzes implicites. La formule d intégration est celle des trapèzes tn+1 On aboutit au schéma t n g(s)ds δt g(t n+1) + δt g(t n) = δt F (t n, Y (t n )) + δt F (t n+1, Y (t n+1 )). (1.9) Y n+1 = Y n + δt F (t n, Y n ) + δt F (t n+1, Y n+1 ). (1.30) C est à dire Y n+1 δt F (t n+1, Y n+1 ) = Y n + δt F (t n, Y n ). (1.31) Le schéma des trapèzes explicites. Ce schéma consiste à reprendre (1.30) en remplaçant Y n+1 dans le second membre par Y n+1 une approximation calculée à l aide d une méthode d Euler explicite Y n+1 = Y n + δt F (t n, Y n ), Y n+1 = Y n + δt F (t n, Y n ) + δt F (t (1.3) n+1, Y n+1 ). Remarque 1. On parle de schéma explicite lorsque le calcul de Y n+1 à partir de Y n s effectue à l aide d une formule explicite. A contrario, lorsque le calcul de Y n+1 nécessite la résolution d un problème on parle de méthode implicite. Bien entendu pour le même δt, les schémas explicites nécessiterons beaucoup moins de temps de calcul que les schémas implicites. 1.4 Etude de a-stabilité Soit a > 0 un paramètre. L étude de a-stabilité consiste à étudier les propriétés d un schéma numérique y n+1 = ϕ(t n, δt, y n ) et y 0 = α. (1.33) 9

10 sur le problème suivant Chercher y de classe C 1 qui vérifie y (t) + ay(t) = 0 t 0, y(0) = α. (1.34) dont la solution y(t) = α exp( at) est décroissante en valeur absolue. On dira qu un schéma est a-stable si la suite y n est décroissante en valeur absolue et instable sinon. Notons qu ici F (t, y) = F (y) = ay. a-stabilité du schéma d Euler explicite. Reprenons le schéma (1.6) ( ) y n+1 = y n aδty n = 1 aδt y n (1.35) Notons que aδt > 0. La suite y n est une suite géométrique de raison 1 aδt. Pour que le schéma soit a-stable il faut que cette raison soit inférieur 1 en valeur absolue. Il suit que le schéma est stable si aδt < et instable sinon. a-stabilité du schéma d Euler implicite. Reprenons le schéma (1.8) ( ) 1 + aδt y n+1 = y n (1.36) La raison de la suite y n est (1+aδt) 1. Cette raison est toujours inférieure à 1 en valeur absolue. Le schéma d Euler implicite est inconditionnellement stable. a-stabilité du schéma des Trapèzes implicites. Reprenons le schéma (1.30) ( 1 + aδt ) ( y n+1 = 1 aδt ) y n (1.37) La raison de la suite y n est 1 aδt/. Cette raison est toujours inférieure à 1 en valeur absolue. 1+aδt/ Le schéma d Euler implicite est inconditionnellement stable. a-stabilité du schéma des Trapèzes explicites. Reprenons le schéma (1.3) Après simplification on a y n+1 = y n aδt y n = (1 aδt)y n, y n+1 = y n aδt y n aδt y n+1. y n+1 = (1.38) ) (1 aδt + (aδt) y n (1.39) La raison de la suite y n est 1 aδt + (aδt) qui est inférieur à 1 en valeur absolue si aδt <. Comme pour le shcéma d Euler explicite, le schéma est a-stable si aδt < et instable sinon. Remarque 1.3 Les schémas implicites sont en général plus robuste que les schémas explicites du point de vue leur stabilité. Ils auront moins tendance à être sujet à des phénomènes d explosion numérique. 10

11 1.5 Stabilité d un schéma numérique (cas général) Nous nous intéressons à la résolution d une équation donnée de la forme par un schéma à un pas de la forme Y (t) = F (t, Y (t)) pour t 0. (1.40) Y n+1 = ϕ(t n, δt, Y n ). (1.41) Soit N N. Nous considérons deux suites (Yn 1 ) n N et (Yn ) n N définies par le même schéma numérique et leurs données initiales YN 1 et Y N. { Y 1 n+1 = ϕ(t n, δt, Yn 1 ) pour n N avec YN 1 donné, Yn+1 = ϕ(t n, δt, Yn ) pour n N avec YN donné. (1.4) On dit que le schéma est stable pour l EDO (1.40) si C > 0 : n N δt > 0 Y 1 N R p et Y N R p et Y 1 n, Y n définis par (1.4) Y 1 n Y n C Y 1 N Y N (1.43) Cette propriété traduit le fait qu à deux conditions initiales proches correspondent deux approximations numériques proches. Remarque 1.4 En fait la a-stabilité n est rien d autre que la stabilité d un schéma numérique pour l équation y (t) + ay(t) = Consistance d un schéma numérique L erreur de consistance estime l erreur commise par le schéma au temps t n. Elle est définie par δ n = Y (t n+1 ) ϕ(t n, δt, Y (t n )). (1.44) avec Y (t) la solution du problème Y (t) = F (t, Y (t)) pour t 0 et Y (0) = α. (1.45) On dit que le schéma est consistant et d ordre m si C > 0 : δt > 0 n 0 δ n C (δt) m+1 (1.46) Passons à un exemple de calcul d ordre de consistance d un schéma numérique. Nous considérons le problème Chercher y : R + R de classe C 1 tel que y (t) = sin(y(t)) pour t 0, (1.47) y(0) = α. 11

12 Nous approchons y à l aide de la méthode d Euler explicite y n+1 = ϕ(t n, δt, y n ) avec ϕ(t n, δt, y n ) = y n + δt sin(y n ). (1.48) Remarquons que la solution exacte y est de classe C puis que y (t) 1 et y (t) = y (t) cos(u(t)) 1. Calculons maintenant l erreur de consistance δ n = y(t n+1 ) ϕ(t n, δt, y(t n )) ( ) = y(t n+1 ) y(t n ) + δt sin(y(t n )) ( ) = y(t n+1 ) y(t n ) + δt y (t n ). (1.49) D après la formule de Taylor avec reste intégrale δ n = tn+1 Nous pouvons alors majorer pour conclure t n (t n+1 t)y (t)dt (1.50) δ n tn+1 Le schéma est donc consistant d ordre 1. (t t n )dt = (t n+1 t n ) t n = δt. (1.51) 1.7 Convergence d un schéma numérique On approche la solution de Chercher Y : R + R p de classe C 1 tel que Y (t) = F (t, Y (t)) pour t 0, Y (0) = α. (1.5) par un schéma numérique à un pas Y n+1 = ϕ(t n, δt, Y n ) n N. (1.53) On dit que ce schéma converge à l ordre m pour t T s il existe C : R + R continue tel que n N δt > 0 Y (t n ) Y n C(t n ) δt m. (1.54) Theoreme 1. (Principe de Lax) Si un schéma est stable et consistant d ordre m alors il converge d ordre m. Preuve. Pour tout n p, nous notons (Y p n ) n p la suite définie par Y p p = Y (t p ) et pour n p Y p n+1 = ϕ(t n, δt, Y p n ) (1.55) Soit n N tel que t n T. Il nous faut estimer e n = Y n Y (t n ) que nous décomposons sous la forme E n = Yn n Yn 0 = Yn n Yn n 1 + Yn n 1 Yn 1 + Yn 1 Yn 0 (1.56) 1

13 D après l inégalité triangulaire on a E n Yn n Yn n Yn k Yn k Yn 1 Yn 0. (1.57) Remarquons que les suites (Yn k ) n k et (Yn k 1 ) n k vérifient toutes deux et sont initialisées par Comme le schéma est stable, on a Y k n+1 = ϕ(t n, δt, Y k n ) et Y k 1 n+1 = ϕ(t n, δt, Y k 1 n ) (1.58) Y k k = Y (t k ) et Y k 1 k = ϕ(t k 1, δt, Y (t k 1 )) (1.59) Y k n Y k 1 n C Y (t k ) ϕ(t k 1, δt, Y (t k 1 )) (1.60) D autre part, comme le schéma est d ordre m on a On obtient en sommant n fois cette inégalité comme t n = nδt Y k n Y k 1 n C (δt) m+1. (1.61) E n C n (δt) m+1 C t n (δt) m. (1.6) 1.8 Exercices du chapitre 1 Exercice 1.1 (Etude de schémas d Euler) Soit a R +. On considère l EDO suivante avec la condition initiale y(0) = y 0 R. y (t) = ay(t), t > 0 (1.63) 1. Montrer que les schémas d Euler explicite et d Euler implicite sont consistants d ordre 1. On pourra utiliser le fait que la solution y est de classe C.. Etude de stabilité des schémas d Euler implicite et explicite : montrer que le schéma d Euler implicite est inconditionnellement stable puis que le schéma explicite est conditionnellement stable. Pour ce dernier, on précisera la condition de stabilité. 3. Démontrer que les deux schémas sont convergents d ordre au moins Cas vectoriel. Soit A R n n une matrice symétrique positive. On considère à présent l EDO suivante y (t) = Ay(t), t > 0 (1.64) avec la condition initiale y(0) = y 0 R n. Expliciter les schémas d Euler explicite et implicite associés. Etudier la consistance, stabilité et convergence de ces schémas. 13

14 Exercice 1. (Etude de stabilité et schéma du point milieu) Soit a > 0 et h > 0. On considère le schéma du point milieu où t n+ 1 y 0 = α, y n+ 1 = y n + h F (t n, y n ), y n+1 = y n + hf (t n+ 1, y n+ 1 ), = t n + h, pour discrétiser le problème { y (t) = F (t, y(t)), t > 0 y(0) = α. Déterminer sous quelle condition ce schéma (1.65) est a-stable si F (t, y) = ay. (1.65) Exercice 1.3 Pour tracer un cercle C de centre (0, 0) et de rayon r = 1, on peut tracer la courbe paramétrée {(x(t) = cos t, y(t) = sin t), t [0, π[} en utilisant un grand nombre de valeurs de t. 1. Montrer que l on obtient le cercle C en considérant le système différentiel suivant x (t) = y(t), y (t) = x(t), (1.66) x(0) = 1, y(0) = 0.. On pose h = π. Montrer que la méthode d Euler explicite appliquée à (1.66) conduit à n calculer ( les points ) P k de coordonnées (x k, y k ) T tels que (x k+1, y k+1 ) T = A h (x k, y k ) T où 1 h A h =. h 1 3. Montrer que A T h A h = A h A T h = ( 1 + h h 4. Montrer que x k+1 + y k+1 = (1 + h )(x k + y k ). En déduire que les coordonnées de P k vérifient x k + y k = (1 + h ) k. Les points P k sont-ils sur le cercle C? 5. Montrer que la méthode d Euler implicite conduit à calculer les points Q k dont les coordonnées vérifient dans ce cas x k + y k = 1 (1+h ) k. 6. On peut résoudre le problème { u (t) = f(t, u(t)), t > 0 u(0) = u 0, avec la méthode implicite du trapèze en posant, pour k 0 : ). u k+1 = u k + h (f(t k, u k ) + f(t k+1, u k+1 )). Montrer qu en l utilisant pour le problème (1.66), les points M k que l on calcule ont des coordonnées qui vérifient pour tout k, x k + y k = 1. 14

15 Exercice 1.4 (Etude de stabilité et schéma d Euler) On considère le système différentiel suivant u (t) = 7u(t) + 3v(t), t > 0 v (t) = 6u(t) 4v(t), t > 0 u(0) = α, v(0) = β. 1. Ecrire ce système sous la forme Y (t) = AY (t) où Y (t) = (u(t), v(t)) T.. Calculer la solution exacte de ce système, après avoir diagonalisé la matrice A. 3. Donnez la condition de stabilité pour la méthode d Euler explicite appliquée à ce problème. Exercice 1.5 (Méthode de Runge-Kutta) Les méthodes de Runge-Kutta s écrivent sous la forme suivante : q k i = f(t n + c i h, y n + h a i,j k j ), 1 i q, j=1 q (1.67) Φ(t n, y n, h) = b j k j, j=1 y n+1 = y n + hφ(t n, y n, h), où h > 0 et A = (a i,j ) est triangulaire inférieure stricte. q 1. Pour tout i, 1 i q, on pose y n,i = y n + h a i,j k j. Montrer que la méthode (1.67) peut s écrire y n,i = y n + h Φ(t n, y n, h) = j=1 q a i,j f(t n + c j h, y n,j ), 1 i q, j=1 q b j f(t n + c j h, y n,j ), j=1 y n+1 = y n + hφ(t n, y n, h). (1.68). Soit λ > 0 un paramètre réel. On applique cette méthode sous la forme (1.68) pour discrétiser le problème { y (t) = λy(t), t > 0 y(0) = y 0. (1.69) On pose Y n = [y n,1,, y n,q ] T, et e = [1,, 1] T R q. Montrer que le vecteur Y n vérifie le système de q équations (I + hλa)y n = ey n. 3. Montrer que la valeur approchée y n+1 de y(t n+1 ) vérifie où R(hλ) = (1 hλb T (I + hλa) 1 e). y n+1 = R(hλ)y n, 15

16 4. On suppose que la méthode est d ordre p. Montrer que la fonction de stabilité R(x) doit vérifier R(x) = 1 x + x! + + ( 1)p xp p! + O(xp+1 ). 5. Montrer en utilisant (1.70) que pour x assez petit, la fonction R vérifie R(x) = 1 + ( x) k b T A k 1 e. k=1 En déduire que les conditions suivantes sont nécessaires pour que la méthode soit d ordre p : b T A k 1 e = 1 k!, 1 k p. 6. On suppose que la méthode est explicite. Montrer en utilisant (1.71) que la fonction R vérifie R(x) = 1 x + x! + + ( 1)p xp p! + q k=p+1 ( x) k b T A k 1 e. Remarque 1.5 Si pour une norme matricielle donnée, B < 1, alors la matrice I B est inversible, et son inverse est donnée par la série géométrique (I B) 1 = B k (1.70) k=0 Si la matrice A M q (R) est strictement triangulaire inférieure, alors dès que j q, on aura A j = 0. (1.71) Exercice 1.6 (Une méthode multipas) Nous avons étudié en cours uniquement des méthodes à un pas. Dans ce cas, le calcul de y n+1 ne fait intervenir que les instants t n et t n+1. Il existe aussi des méthodes qui font intervenir des instants antérieurs. Il s agit des méthodes multipas. On s intéresse au problème de Cauchy suivant { y (t) = f(t, y(t)), t > 0 (1.7) y(0) = y 0. On choisit un pas h > 0, on définit les instants t n (t n+1 = t n + h), n 0, et on note f n = f(t n, y n ). Les méthodes multipas (à k+1 pas) linéaires associées au problème (1.7) s écrivent sous la forme suivante y n+1 + α 0 y n + + α k y n k = h(β 1 f n+1 + β 0 f n + + β k f n k ). (1.73) Ces méthodes sont dites linéaires car la formule (1.73) est linéaire par rapport à f. Dans cet exercice, on s intéresse à un schéma à pas défini par y n+1 + α 0 y n + α 1 y n 1 = hβf n+1. (1.74) 16

17 1. Le schéma (1.74) est-il implicite ou explicite? La formule (1.74) peut être utilisée pour n 1, le calcul de y 1 se faisant par exemple en utilisant la méthode d Euler implicite. Pour cette méthode, l erreur locale de consistance est donnée par τ n = y(t n+1 ) α 0 y(t n ) α 1 y(t n 1 ) hβf(t n+1, y(t n+1 )). Par définition, la méthode est d ordre p si τ n = O(h p+1 ).. On suppose que la solution y est de classe C 3 et : y(t n ) 0, y (t n ) 0 et y (t n ) 0. Déterminer les coefficients α 0, α 1 et β de sorte que la méthode (1.74) soit d ordre. 3. En déduire que la méthode s écrira y n y n 1 3 y n 1 = h 3 f n On étudie par la suite la stabilité de cette méthode en l appliquant au problème { y (t) = λy(t), t > 0 y(0) = y 0, (1.75) où λ > 0 est un paramètre réel. Vérifier que les y n satisfont la relation y n+1 (1 + λh 3 ) y n 1 3 y n 1 = Montrer qu il existe r 1, r R tels que les y n satisfont y n = a 1 r n 1 + a r n. 6. Conclure quant à la convergence de la méthode (1.74) d ordre appliquée au problème (1.75). 17

18 Chapitre La méthode des différences finies pour les problèmes aux limites statiques.1 Différences finies en dimension 1 La plupart des fonctions ne peuvent pas être représentées par des formules analytiques. Il est donc impossible de calculer leurs dérivées, même avec un code de calcul formel. La méthode des différences finies propose un moyen de calculer une approximation numérique des valeurs des dérivées d une fonction. On se place sur le segment [0, L] que l on discrétise à l aide de la grille définie par ses sommets x n = nh avec n [0, N ] et Nh = L. (.1) On dit que h est le pas de la grille. L écart h entre x n et x n+1 étant constant, on parle de grille uniforme. On considère une fonction régulière u : [0, L] R et on note u n la valeur de u en x n u n = u(x n ). (.) Une différence finie à p points est une combinaison linéaire de p u n. Elles ont pour vocation d approcher les dérivées de u au point x n. Soit Du une différence finie. On dit que Du approche u (l) (x n ) à l ordre q si il existe C > 0 et h 0 > 0 h [0, h 0 ] Du u (l) (x n ) Ch q. (.3) n = 0 x n = 0 1 h n 1 h (n 1)h n nh n + 1 (n + 1)h N 1 N L FIGURE.1 Une grille uniforme de pas h 18

19 . Quelques exemples de différences finies..1 Différence finie décentrée à droite A partir de la définition de la dérivée u u(x + h) u(x) (x) = lim, (.4) h 0 h on introduit pour approcher u (x n ) la différence finie décentrée à droite u n+1 u n. (.5) h Calculons l ordre en h de cette approximation Comme [0, L] est compact, notons que la fonction u C ([0, L]) ainsi que ses dérivées sont bornées en valeur absolue. On note v le maximum de v(x). Pour tout x [0, L] on a u(x) u, u (x) u, u (x) u. (.6) Nous allons utiliser le développement de Taylor pour déterminer l ordre de la différence finie. Comme u n+1 = u(x n+1 ) = u(x n + h) on a u n+1 = u(x n ) + hu (x n ) + h u (x n ) + h3 6 r(h), u n = u(x n ). (.7) avec r(h) u (3). En soustrayant il suit u n+1 u n h = u (x n ) + h u (x n ) + h r(h). (.8) 6 On conclut donc que dès que u (x n ) 0, la différence finie décentrée à droite u n+1 u n est une h approximation d ordre 1 de u (x n ). Cette approximation est au moins d ordre si u (x n ) = 0 ;.. Différences finies décentrées à gauche L idée est très similaire. On approche u (x n ) par u n u n 1. (.9) h Calcul de l ordre. Comme u n 1 = u(x n 1 ) = u(x n h), un développement de Taylor nous fournit u n = u(x n ), u n 1 = u(x n ) hu (x n ) + h u (x n ) + h3 r(h), (.10) 6 avec r(h) u (3). En formant la différence finie nous montrons que u n u n 1 est une h approximation d ordre 1 de u (x n ) si u (x n ) 0. u n u n 1 h = u (x n ) h u (x n ) + h r(h). (.11) 6 19

20 ..3 Différence finie centrée Afin d améliorer l approximation de u (x n ), nous définissons une différence finie bénéficiant de plus de symétrie que les deux précédentes u n+1 u n 1. (.1) h Calcul de l ordre On écrit le développement de Taylor à un ordre suffisant afin de faire apparaître l ordre optimal de la différence finie u n+1 = u(x n ) + hu (x n ) + h u (x n ) + h3 3! u(3) (x n ) + h4 4! u(4) (x n ) + h5 5! r(h), u n 1 = u(x n ) hu (x n ) + h u (x n ) h3 3! u(3) (x n ) + h4 4! u(4) (x n ) + h5 5! r(h), avec la fonction générique r vérifiant r(h) u (5). En formant la différence finie puis en simplifiant on a u n+1 u n 1 = u (x n ) + h h 3! u(3) (x n ) + h4 r(h). (.13) 5! On a obtenu que la différence finie est d ordre si u (3) (x n ) 0 et d ordre au moins 4 sinon...4 Le schéma à trois points On approche ici u (x n ) par la différence finie u n+1 u n + u n 1 (.14) h Cette différence finie s obtient à l aide d un raisonnement formel qui consiste à emboîter deux différences finies u (x n ) 1 ( ) u (x n + h/) u (x n h/) h 1 ( u(xn + h) u(x n ) u(x n) u(x n h) ) (.15) h h h u n+1 u n + u n 1 h Calcul de l ordre de cette différence finie On utilise encore une fois le développement de Taylor de la fonction u autour du point x n u n+1 = u(x n ) + hu (x n ) + h u (x n ) + h3 3! u(3) (x n ) + h4 4! u(4) (x n ) + h5 5! u(5) (x n ) + h6 6! r(h), u n = u(x n ), u n 1 = u(x n ) hu (x n ) + h u (x n ) h3 3! u(3) (x n ) + h4 4! u(4) (x n ) h5 5! u(5) (x n ) + h6 6! r(h), avec la fonction générique r vérifiant r(h) u (6). u n+1 u n + u n+1 = u (x h n ) + h 4! u(4) (x n ) + h4 r(h) (.16) 6! La différence finie à trois points est une approximation d ordre de u (x n ) si u (4) (x n ) 0. Elle est au moins d ordre 4 si u (4) (x n ) = 0. 0

21 .3 Discrétisation des problèmes de type elliptique en dimension Position du problème Soit L > 0. Nous notons par x a(x), x b(x), x c(x) et x f(x) des fonctions de la droite réelle de classe C avec a(x) > a 0 > 0. Soient α, β, γ et δ des réels. On considère le problème de chercher u C ([0, L]) vérifiant P u(x) = f(x) x [0, L] L G u = α et L D u = β (.17) avec P, L G et L D des opérateurs différentiels définis par P u(x) = a(x)u (x) + b(x)u (x) + c(x)u(x), L G u = u(0), (condition de Dirichlet) ou u (0), (condition de Neumann) ou u (0) + γu(0) avec γ R, (condition de Fourier) L D u = u(l), (condition de Dirichlet) ou u (L), (condition de Neumann) ou u (L) + δu(l) avec δ R. (condition de Fourier) (.18) On parle d équation principale pour l équation P u = f et de conditions à la limite pour L G u = α et L D u = β. Définition.1 On dit que u a(x)u est la partie principale de l opérateur P. D autre part, on parle d opérateur elliptique si a(x) > a 0 > 0. Nous allons dans ce chapitre proposer des méthodes d approximation de la solution du problème (.17). Theoreme.1 Rappelons que a, b, c et f sont des fonctions C. Dans le cas où a(x) > a 0 > 0, le problème (.17) admet une unique solution (on dit aussi est bien posé ) ssi on a ( ) P v(x) = 0 x R L G v = 0 et L D v = 0 = v = 0. (.19) Nous allons dans la suite calculer une approximation de la fonction u à l aide de la méthode des différences finies. Nous ne pouvons pas calculer (à l aide d un ordinateur) toutes les valeurs de la fonction u (les ordinateurs ne peuvent traiter qu un nombre fini d opérations). Nous introduisons donc la grille définie par ses sommets x n x n = nh avec n [0, N ] et Nh = L. (.0) On approche ensuite la valeur de la fonction u en x n par u n u n u(x n ) (.1) Nous avons donc à déterminer N + 1 inconnues u n. Afin d avoir un système d équations bien posé nous avons besoin de N + 1 équations. Enfin, on note f n = f(x n ), a n = a(x n ), b n = b(x n ), c n = c(x n ). (.) 1

22 .3. Discrétisation de l équation principale Plaçons nous en 0 < x n < L, ie. 1 < n < N 1. Nous allons approcher l équation P u(x n ) = f(x n ) (.3) C est à dire a(x n )u (x n ) + b(x n )u (x n ) + c(x n )u(x n ) = f(x n ). (.4) On approche les dérivées u et u de u par des différences finies. Nous utilisons des différences finies centrées pour u et u (différence finie à trois points) ( un+1 u n + u ) n 1 a n h On obtient après avoir rangé les inconnues par indice croissant ( un+1 u ) n 1 + b n + c n u n = f n. (.5) h ( an h b ) ( n u n 1 + a ) ( n h h + c an n u n + h + b ) n u n+1 = f n. (.6) h.3.3 Discrétisation des condition aux limites On se place ici en n = 0 c est à dire x n = 0. Remarquons que la grille ne contient pas de points à gauche de x n. Il n est donc pas possible de considérer une différence finie centrée pour approcher u (0). Nous devons donc utiliser une différence finie décentrée à droite u (0) u 1 u 0 h (.7) Nous avons trois types possibles de conditions à la limite. Condition de Dirichlet : u(0) = α. C est la plus facile à discrétiser. Elle s écrit tous simplement u 0 = α. (.8) Condition de Neumann : u (0) = α. u 1 u 0 h = α c est à dire 1 h u h u 1 = α. (.9) Condition de Fourier : u (0) + γu(0) = α. u 1 u 0 h + γu 0 = α c est à dire (γ 1 h )u h u 1 = α (.30) On se place en n = N c est à dire x n = L. Nous ne disposons pas cette fois de points de grille à droite de x n. Il nous faut pour approcher u (L) une différence finie décentrée à gauche u (L) u N u N 1. (.31) h Il nous faut encore pouvoir discrétiser les trois types de condition à la limite Condition de Dirichlet : u(l) = β. u N = β. (.3)

23 Condition de Neumann : u (L) = β. u N u N 1 h Condition de Fourier : u (L) + δu(l) = β. = α c est à dire 1 h u N h u N = β. (.33) u N u N 1 h + δu N = α c est à dire 1 h u N 1 + (δ + 1 h )u N = β. (.34).3.4 Formulation vectorielle Forme non éliminée Les N + 1 valeurs u(x n ) de la solution de (.17) ont été approchées par les u n. Nous avons discrétisé l équation principale et les conditions aux limites et obtenu un système de N + 1 équations affines reliant ces u n. Nous mettons maintenant ces équations sous la forme AU = l (.35) avec A R (N+1) (N+1), U R N+1 et l R N+1. La première ligne (n=0) de (.35) contient, suivant la condition à la limite en x = 0, soit (.8), soit (.9), soit (.30). les lignes centrales (n = 1 à N 1) contiennent (.6). La dernière ligne (n = N) de (.35) contient suivant la condition à la limite soit soit (.3), soit (.33), soit (.34). Exemple. Nous allons exhiber la matrice A et le terme source l du problème suivant u (x) + u(x) = 1, x [0, L], u(0) =, (.36) u (L) = 3. La discrétisation sur une grille uniforme prend la forme suivante u 0 =, u n 1 u n +u n+1 + u h n = 1, pour n = 1 à N 1, u N u N 1 = 3, h ou sous forme ordonnée u 0 =, 1 u h n 1 + ( + 1)u h n 1 u h n+1 = 1, pour n = 1 à N 1, 1 u h N u h N = 3. (.37) (.38) Nous identifions maintenant avec (.35) qui s écrit sous sa forme développée N A n,i u i = l n, pour n = 0 à N. (.39) i=0 3

24 On obtient donc U = u 0 u 1. u N 1 u N, l = , (.40) h h h A = h h h. (.41) h h h h h Il ne nous reste plus qu à inverser la matrice A pour déterminer l approximation numérique de u. Forme éliminée Remarquons que la première ligne et la dernière ligne de A n ont pas du tout la même structure que les lignes centrales de cette matrice. Afin de corriger cette propriété, qui peut être gênante lors de l inversion numérique nous éliminons les inconnues u 0 et u N par de simple opérations algébriques. Reprenons les deux premières lignes de (.38) { u0 =, (.4) 1 u h 0 + ( + 1)u h 1 1 u h = 1. En éliminant u 0, on a ( h + 1)u 1 1 h u = 1 + h. (.43) De même à partir des deux dernières lignes de (.38) { 1 h u N + ( h + 1)u N 1 1 h u N = 1, 1 h u N h u N = 3, (.44) on élimine u N 1 h u N + ( 1 h + 1)u N 1 = h. (.45) On obtient donc la formulation éliminée A U = l A = U = u 1. u N 1, l = 1 + h h h h 1 h h h h h h h h Remarquons qu après élimination la matrice A est symétrique. 4, (.46). (.47)

25 .3.5 Méthode du point fantôme ou virtuel Les différences finies, utilisées lors de la dernière section, ont approché à l ordre l équation principale et seulement à l ordre 1 la condition à la limite. La méthode du point fantôme ou virtuel consiste à prolonger à tout R la solution du problème (.17) P u(x) = f(x) x R L G u = α et L D u = β (.48) puis de la discrétiser en utilisant une différence finie centrée lorsque la condition à la limite contient une dérivée. On devra dans ce cas ajouter un point de grille. Pour être plus concret, reprenons notre exemple. A gauche, nous devons approcher une condition de Dirichlet. La discrétisation de u(0) = s écrit u 0 =. (.49) Cette discrétisation est exacte. Nous n avons pas besoin de rajouter un point de grille. A droite afin de pouvoir discrétiser la condition à la limite u (L) = 3 à l aide d une différence finie centrée autour de 0 nous introduisons le point de grille x N+1 = L + h. (.50) Nous approchons u(x N+1 ) par u N+1. La condition u (L) = 3 s écrit u N+1 u N 1 h = 3. (.51) Afin de fermer le système nous devons discrétiser l équation principale en x n pour n = 1 à N. u n 1 u n + u n+1 h + u n = 1 pour n = 1 à N. (.5) Dans le cas d une formulation non éliminée avec point virtuel on a u 0 u 1 1 U =., l = u N 1. u N 1 3 u N+1, A = h h h h h h h h h h h (.53). (.54) 5

26 Pour une formulation éliminée avec point virtuel, il nous faut éliminer u 0 et u N+1. Pour u 0, le calcul a déjà été effectué auparavant. Pour u N+1, on a Il suit après élimination u N 1 u N + u N+1 + u h N = 1, u N+1 u N 1 = 3. h (.55) 1 h u N 1 + ( 1 h + 1 )u N = h. (.56) On peut alors identifier les matrices et les vecteurs u h U =. u N 1, l =. 1 u + 3 h N A = h h 1 h h h h h h h h, (.57). (.58).4 Discrétisation des problèmes de type elliptique en dimension.4.1 Définition du problème continu On se place sur le rectangle Ω = [0, L x ] [0, L y ], voir figure.. Ce rectangle a 4 côtés Γ g = {0} [0, L y ], ( g comme gauche) Γ d = {L x } [0, L y ], ( d comme droit) (.59) Γ b = [0, L x ] {0}, ( b comme bas) Γ h = [0, L x ] {L y }, ( h comme haut) Dans ce cours nous considérons la résolution numérique de problèmes scalaires aux dérivées partielles ayant la forme suivante P u(x) = f(x) pour x Ω, avec L g u(x) = f g (x) pour x Γ g, L d u(x) = f d (x) pour x Γ d, L b u(x) = f b (x) pour x Γ b, L h u(x) = f h (x) pour x Γ h, 6 (.60)

27 Γ h Γ g Ω Γ d Γ b FIGURE. Le domaine de calcul D P un opérateur différentiel en espace ayant la forme P u(x) = α i,j i j u(x) + i=1 j=1 β i i u(x) + γu(x). (.61) i=1 où α i,j, β i et γ sont des réels tels que α i,j = α j,i. On dit que A est un opérateur elliptique si C > 0 : α i,j ξ i ξ j C ξi. (.6) i=1 j=1 L opérateur P peut se mettre sous la forme plus compacte ( ) P u(x) = div αgrad u (x) + β grad u(x) + γu(x) (.63) avec α = [ ] α1,1 α 1, α,1 α, et β = i=1 [ β1 β ] (.64) L g, L d, L b, L h un opérateur différentiel défini sur les traces d une fonction u sur Ω. Ces opérateurs peuvent être soit de Dirichlet, soit de Neumann, soit de Fourier Condition de Dirichlet L g u(x) = u(x), L d u(x) = u(x), L b u(x) = u(x), L h u(x) = u(x). (.65) 7

28 Condition de Neumann L g u(x) = L d u(x) = L b u(x) = L h u(x) = α 1,j j u(x), j=1 α 1,j j u(x), j=1 α,j j u(x) j=1 α,j j u(x). j=1 Cette condition s écrit aussi plus succinctement (.66) L a u(x) = n a (α grad u(x)), avec a = g, d, b ou h. (.67) avec n la normale sortante au domaine [ ] [ ] 1 1 n g = sur Γ 0 g, n d = 0 [ ] [ ] 0 0 n b = sur Γ 1 b, n h = 1 Condition de Fourier ou encore L g u(x) = L d u(x) = L b u(x) = L h u(x) = sur Γ d, sur Γ d. α 1,j j u(x) + δ g u(x), avec δ g R, j=1 α 1,j j u(x) + δ d u(x), avec δ d R, j=1 α,j j u(x) + δ b u(x) avec δ b R, j=1 α,j j u(x) + δ h u(x), avec δ h R. j=1 (.68) (.69) L a u(x) = n a (α grad u(x)) + δ a u(x), avec a = g, d, b ou h. (.70) f, f g, f d, f b, f h des fonctions de classe C définies sur Ω, Ω g, Ω d, Ω b, Ω h. Pour la première ligne de (.60) on parle d équation principale. Pour les lignes suivantes, on parle de conditions à la limite..4. Différences finies en dimension Nous introduisons une grille uniforme définie par ses sommets de coordonnées x i = ih x et y j = jh y avec i [1, I ] et j [1, J ]. (.71) 8

29 j : J J 1 IJ j + 1 j j 1 n+i 1 n+i n+i +1 n 1 n n + 1 n I 1 n I n I +1 1 I i 1 i i + 1 I 1 I I i : 1 i 1 i i + 1 I 1 I Nous notons u i,j les valeurs d une fonction u C (Ω) au point (x i, y j ). Nous appelons différences finies à p points les combinaisons linéaires de p u i,j. Ces différences finies ont pour vocation d approcher les dérivées partielles de u au point (x i, y j ). Approximation des dérivées premières Pour approcher la dérivée partielle suivant x (resp. y), il suffit de fixer y (resp. x) et d utiliser les différences finies 1D. On a donc Différences finies décentrées à droite et en haut à points d ordre 1 u x (x i, y j ) u i+1,j u i,j, h x u y (x i, y j ) u i,j+1 u i,j. h y Différences finies décentrées à gauche et en bas à points d ordre 1 u x (x i, y j ) u i,j u i 1,j, h x u y (x i, y j ) u i,j u i,j 1. h y Différences finies centrées à points d ordre u x (x i, y j ) u i+1,j u i 1,j, h x u y (x i, y j ) u i,j+1 u i,j 1. h y 9 (.7) (.73) (.74)

30 Approximation des dérivées secondes Les dérivées partielles u x et u s obtiennent aisément à partir de la différence finie à 3 y points en dimension 1. Différences finies centrées à 3 points d ordre : u x (x i, y j ) u i+1,j u i,j + u i 1,j, (.75) h x u y (x i, y j ) u i,j+1 u i,j + u i,j 1, (.76) L approximation de la dérivée seconde croisée s obtient en emboîtant des différences finies centrées h y u x y (x i, y j ) xu(x i, y j+1 ) xu(x i, y j 1 ), h y h y u(x i+1, y j+1 ) u(x i 1, y j+1 ) 4h x h y u(x i+1, y j 1 ) u(x i 1, y j 1 ) 4h x h y. (.77) On aboutit à la différence finie centrée à 4 points d ordre u x y (x i, y j ) u i+1,j+1 u i 1,j+1 u i+1,j 1 + u i 1,j 1 4h x h y. (.78) Les u i,j sont au nombre de N = IJ. Nous allons écrire donc N équations linéaires les reliant afin de les déterminer..4.3 Approximation de l équation principale Nous approchons l équation principale en chaque point intérieur i [, I 1] et j [, J 1] k=1 α k,l k l u(x i,j ) + l=1 β k k u(x i,j ) + γu(x i,j ) = f(x i,j ) (.79) par des différences finies centrées (afin d obtenir un schéma d ordre ) k=1 α 1,1 u i+1,j u i,j + u i 1,j h x α, u i,j+1 u i,j + u i,j 1 h y α 1, u i+1,j+1 u i 1,j+1 u i+1,j 1 + u i 1,j 1 4h x h y +β 1 u i+1,j u i 1,j h x + β u i,j+1 u i,j 1 h y + γu i,j = f i,j. (.80) 30

31 type de frontière coin haut gauche coin haut droit coin bas gauche coin bas droit bord gauche bord droit bord bas bord haut approximation de u x u i+1,j u i,j h x u i,j u i 1,j h x u i+1,j u i,j h x u i,j u i 1,j h x u i+1,j u i,j h x u i,j u i 1,j h x u i+1,j u i 1,j h x u i+1,j u i 1,j h x approximation de u y u i,j u i,j 1 h y u i,j u i,j 1 h y u i,j+1 u i,j h y u i,j+1 u i,j h y u i,j+1 u i,j 1 h y u i,j+1 u i,j 1 h y u i,j+1 u i,j h y u i,j u i,j 1 h y TABLE.1 Approximation des dérivées premières au coin.4.4 Approximation des conditions aux limites Les points du bord sont soit des coins soit des points intérieurs à Γ g, Γ d, Γ b, Γ h. Pour approcher les dérivées partielles apparaissant dans les conditions à la limite on utilise dès que possible une différence finie centrée. Si ce n est pas possible, on utilise une différence finie décentrée à droite ou à gauche, voir table.1. Les quatre coins appartiennent à deux bords (le coin bas droit appartient à la fois à Γ b et Γ d ) il faut donc sélectionner quelle condition à la limite discrétiser. On peut appliquer les règles de la table. (en respectant les signes apparaissant dans les définition de L g, L d, L b, L d )..4.5 Formulation vectorielle L algèbre sur les matrices n étant pas pratique d utilisation nous allons faire correspondre à chaque tableau de valeurs u i,j le vecteur (U n ) n [[1,N]] défini par U n = u i,j (.81) avec n [1, N ] relié de manière bijective au couple (i, j) [1, I ] [1, J ] par n = i + (j 1)I. (.8) 31

32 Cond. bord 1 Cond. bord Equation à discrétiser P 1 u(x) = f 1 (x) P u(x) = f (x) Dirichlet Dirichlet P 1 u(x) = f 1 (x) Dirichlet Neumann P 1 u(x) = f 1 (x) Dirichlet Fourier P 1 u(x) = f 1 (x) Neumann Neumann P 1 u(x) + P u(x) = f 1(x) + f (x) Neumann Fourier P 1 u(x) + P u(x) = f 1(x) + f (x) Fourier Fourier P 1 u(x) + P u(x) = f 1(x) + f (x) TABLE. Equation à discrétiser au coin On a alors le tableau de correspondance u i 1,j 1 = U n I 1, si i > 1 et j >, u i,j 1 = U n I, si i > 1 et j >, u i+1,j 1 = U n I+1, si i > 1 et j >, u i 1,j = U n 1, si j > 1, u i,j = U n, u i+1,j = U n+1, si j < J, u i 1,j+1 = U n+i 1, si i > 1 et j < J, u i,j+1 = U n+i, si j < J, u i+1,j+1 = U n+i+1, si i < I et j < J. (.83) On écrit alors l ensemble des équations discrétisées sous la forme AU = F (.84) avec A R N N, U = (U n ) 1 n N et F R N. Bien entendu on peut utiliser des formulations éliminées ou non éliminées. 3

33 .4.6 Un exemple de problème à discrétiser, formulation non éliminée Nous cherchons à approcher la solution du problème x [0, 1], y [0, 1], u(x, y) + u (x, y) + u(x, y) = x, x u(0, y) = 0, u (x, 0) + u(x, 0) = 0, y u (1, y) = 0, x u(x, 1) = x. (équation principale) (bord gauche) (bord bas) (bord droit) (bord haut) (.85) Discrétisation de l équation principale. Nous considérons les (i, j) qui vérifient 1 < i < I et 1 < j < J. La discrétisation du laplacien = + est basée sur celle des deux dérivées x y secondes u(x i, y j ) = u i 1,j u i,j + u i+1,j h On aboutit au schéma à 5 points 1 ( h u i,j h 1 ) ( 4 ) u i 1,j + h h + 1 u i,j ( + u i,j 1 u i,j + u i,j+1 h. (.86) 1 h + 1 ) u i+1,j 1 h h u i,j+1 = x i. (.87) On peut maintenant passer à la formulation vectorielle en faisant correspondre l indice n au couple (i, j) 1 ( h U n I + 1 h 1 ) ( 4 ) U n 1 + h h + 1 U n ( + 1 h + 1 ) U n+1 1 h h U n+i = x i. (.88) Discrétisation du bord gauche Nous nous plaçons en i = 1 et 1 < j < J et nous devons discrétiser la condition u(0, y) = 0. u i,j = 0. (.89) Avec l indice n cela devient U n = 0 (.90) Discrétisation du bord bas. Le bord bas correspond à 1 < i < I et j = 1. Nous discrétisons la condition à la limite y u(x, 0) + u(x, 0) = 0 C est à dire u i,j+1 u i,j h 1 h U n+i + + u i,j = 0. (.91) ( 1 h + 1 ) U n = 0 (.9) 33

34 Discrétisation du bord droit Le bord droit correspond à i = I et 1 < j < J. Il nous faut discrétiser la condition x u(1, y) = 0 u i,j u i 1,j h = 0. (.93) Grâce à l indice n cela devient U n U n 1 = 0. (.94) h Discrétisation du bord haut. On est ici en 1 < i < I et j = J. On discrétise la condition u(x, 1) = x u i,j = x i. (.95) A l aide de l indice n cela devient U n = x i (.96) Discrétisation du coin bas gauche. On est ici en i = 1 et j = 1. Au coin bas gauche, les conditions aux limites des bords gauche et droit coexistent. En respectant les règles de a table. on doit discrétiser la condition u(0, 0) = 0 u i,j = 0 c est à dire U n = 0. (.97) Discrétisation du coin bas droit. On est ici en i = I et j = 1. On discrétise la moyenne entre les deux conditions à la limite x u(1, 0) y u(1, 0) + u(1, 0) = 0 u i,j u i 1,j h u i,j+1 u i,j h + u i,j = 0 c est à dire 1 h U n h U n 1 h U n+i = 0. (.98) Discrétisation du coin haut droit. On est ici en i = I et j = J. On discrétise la condition de Dirichlet u(1, 1) = 1 u i,j = 1 c est à dire U n = 1. (.99) Discrétisation du coin haut gauche. On est ici en i = 1 et j = J. On discrétise la condition de Dirichlet u(0, 0) = 0 u i,j = 0 c est à dire U n = 0. (.100) Construction de la matrice A et du terme source b. Nous notons n = n(i, j) = i + (j 1)I. La matrice et le terme source sont définis par A n,m = 0 sauf pour les valeurs suivantes A n,n I = 1, h (.88) = (i, j) [, I 1] A n,n 1 = 1 h 1 h, A n,n = 4 h + 1, A n,n+1 = 1 h + 1 h, A n,n+i = 1 h, b n = x i. (.101) (.90) = i = 1 et 1 < j < I { An,n = 1, b n = 0. (.10) 34

35 (.9) = 1 < i < I et j = 1 (.94) = i = I et 1 < j < I (.96) = 1 < i < I et j = I A n,n = 1 + 1, h A n,n+i = 1 h, b n = 0. A n,n 1 = 1, h A n,n = 1 h, b n = 0. { An,n = 1, b n = 0. (.103) (.104) (.105) (.97) = i = 1 et j = 1 (.98) = i = I et j = 1 (.99) = i = I et j = I { An,n = 1, b n = 0. A n,n 1 = 1 h, A n,n = 1 h + 1, A n,n+i = 1, h b n = 0. { An,n = 1, b n = 1. (.106) (.107) (.108) (.100) = i = 1 et j = I { An,n = 1, b n = 0. (.109).4.7 Technique du point virtuel ou fantôme Elle consiste à ajouter une rangée de points dès que cette rangée permet d utiliser un différence finie centrée puis d associer à chaque point une équation à discrétiser. On se référera à la table.3. On discrétise d autre part l équation principale en tout point intérieur, une condition à la limite pour chaque point extérieur sauf au coin Neumann-Neumann, Neumann-Fourier ou Fourier-Fourier où on effectue le plus souvent la discrétisation suivante. (coin bas gauche) u 0,0 + u 1,1 = u 1,0 + u 0,1 (coin bas droit) (coin haut droit) (coin haut gauche) u I+1,0 + u I,1 = u I,0 + u I 1,1 u I+1,J + u I,J+1 = u I,J + u I+1,J+1 u 0,J + u 1,J+1 = u 1,J + u 0,J+1 (.110) Cette n est nécessaire que dans le cas de la présence d une dérivée croisée dans l équation principale. Au niveau de la formulation vectorielle, on utilise en général une formulation éliminée qui permet de ne pas considérer les points fantômes dans la résolution du système linéaire. 35

36 Bord Bord 1 Condition de Dirichlet Condition de Neumann ou de Fourier Points de grille originaux * Points de grille virtuels ou * Discrétisation de la condition de bord 1 ou * Discrétisation de la condition de bord * Condition de coin virtuel (.110) * * * * * * * * * * * * * * * * FIGURE.3 Règle d introduction des points virtuels * 36

37 .4.8 Un exemple de formulation éliminée avec points virtuels Nous considérons la solution du système d équations aux dérivées partielles x [0, 1] et y [0, 1], u(x, y) = 1, (équation principale) u(0, y) = 0, (bord gauche) u(x, 0) = 0, (bord bas) x u(0, y) = 1, (bord droit) y u(x, 1) + u(x, 1) = 0. (bord haut) (.111) que nous discrétisons sur une grille régulière avec h = h x = h y. x i = ih i [0, I ] et y j = ih j [0, I ] avec Ih = 1. (.11) On va utiliser pour discrétiser ce problème une formulation vectorielle éliminée, voir figure.4. Discrétisation de l équation principale On est ici en i [, I 1] et j [, I 1] L équation principale s écrit après discrétisation u i,j 1 u i 1,j + 4u i,j u i+1,j u i,j+1 h = 1. (.113) Discrétisation de la condition à la limite sur le bord gauche On se place ici en i = 1 et j [, I 1]. On discrétise les équations u(h, y) = 1 et u(0, y) = 0. En injectant cette expression dans (.113) u 0,j = 0. (.114) 1 h u 1,j h u 1,j 1 h u,j 1 h u 1,j+1 = 1. (.115) Discrétisation de la condition à la limite sur le bord bas On se place ici en i [, I 1] et j = 1. On discrétise u(x, 0) = 0 en u i,0 = 0. (.116) Puis en injectant dans (.113) 1 h u i 1,1 + 4 h u i,1 1 h u i+1,1 1 h u i, = 1. (.117) Discrétisation de la condition à la limite sur le bord droit On est ici en i = I et j [, I 1]. On discrétise la conditions à la limite x u(1, y) = 1. Après élimination de u I+1,j dans (.113) on a 1 h u I+1,j 1 h u I 1,j = 1. (.118) 1 h u I,j 1 h u I 1,j + 4 h u I,j 1 h u I,j+1 = 1 + h. (.119) 37

38 y = 0 y = 1 y = 0 y = 1 * * * * * * * * * * * * * * * * * * variables limins point de grille intrieur condition de Dirichlet condition de Neumann condition de Fourier condition de Neumann et de Fourier * points virtuels point de grille intrieur FIGURE.4 Les points de grille 38

39 Discrétisation de la condition à la limite sur le bord haut On est ici en i [, I 1] et j = I. On discrétise la condition à la limite y u(x, 1) + u(x, 1) = 0 u i,i+1 u i,i 1 h + u i,i = 0. (.10) On peut alors éliminer u i,i+1 h u i,i 1 1 h u i 1,I + ( 4 h + h) u i,i 1 h u i+1,i = 1. (.11) Discrétisation au coin bas gauche Au voisinage du point i = 1 et j = 1, on a les conditions de Dirichlet u 0,1 = 0 et u 1,0 = 0. (.1) En injectant dans (.113), on a 4 h u 1,1 1 h u,1 1 h u 1, = 1. (.13) Discrétisation au coin bas droit On se place ici en i = I et j = 1 où la fonction u vérifie u(1, 0) = 0 et x u(1, h) = 1 u I,0 = 0 et u I+1,1 u I 1,1 h = 1. (.14) En injectant dans (.113), on a h u I 1,1 + 4 h u I,1 1 h u I, = 1 + h. (.15) Discrétisation au coin haut droit On est ici en i = I et j = I. Nous allons discrétiser les conditions à la limite x u(1, 1) = 1 et y u(1, 1) + u(1, 1) = 0 u I+1,I u I 1,I h En injectant dans (.113), on a h u I,I 1 h u I 1,I + = 1 et u I,I+1 u I,I 1 h + u I,I = 0. (.16) ( 4 h + h) u I,I = 1 + h. (.17) Discrétisation au coin haut gauche On est ici en i = 1 et j = I. On dicrétise les conditions aux limites u(0, 1) et y u(h, 1) + u(h, 1) = 0. u 0,I = 0 On élimine alors u 0,I et u 1,I+1 de (.113) h u I,I 1 + et u 1,I+1 u 1,I 1 h + u 1,I = 0. (.18) ( 4 h + h) u I,I 1 h u I+1,I = 1 + h. (.19) Construction de la matrice A et du terme source b. On pose n = i + (j 1)I et u i,j = U n. (.130) 39

40 Nous mettons le système d équations ( ,.117,.119,.11,.13,.15,.17,.19) sous la forme AU = b avec A R N N, U = (U n ) n [[1,N]], b R N (.131) Remarquons qu aucun n ne correspond aux rangées i = 0 et j = 0. A n,n I = 1, h A n,n 1 = 1, h A n,n = 4, h (.113) = i [, I 1] et j [, I 1] A n,n+1 = 1, h A n,n+i = 1 h, b n = 1. A n,n I = 1 h, A n,n = 4, h (.115) = i = 1 et j [, I 1] A n,n+1 = 1, h A n,n+i = 1 h, b n = 1. A n,n 1 = 1 h, A n,n = 4 +, h h (.117) = i [, I 1] et j = 1 A n,n+1 = 1, h A n,n+i = 1, h b n = 1. A n,n I = 1, h A n,n 1 =, h (.119) = i = I et j [, I 1] A n,n = 4, h A n,n+i = 1 h, b n = 1 + h. A n,n I = h, A n,n 1 = 1, h (.11) = i [, I 1] et j = I A n,n = 4 +, h h A n,n+1 = 1, h b n = 1. A n,n = 4, h A n,n+1 = 1, h (.13) = i = 1 et j = 1 A n,n+i = 1, h b n = (.13) (.133) (.134) (.135) (.136) (.137)