ANALYSE DE HILBERT ET DE FOURIER, IX

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1 ANALYSE DE HILBET ET DE FOUIE, IX MAC CHAPEON 20. La transformation de Fourier dans L 1 Proposition et définition. On définit une application linéaire continue F de norme 1 de L 1 () dans l espace C b () des fonctions complexes continues bornées sur (muni de la norme de la convergence uniforme), par 1 (54) Ff(ξ) := f(x)e 2πiξx dx =: f(ξ). On dit que F est la transformation de Fourier et que Ff = f est la transformée de Fourier de f. Démonstration. Pour tout ξ, la fonction 2 x f(x)e 2πiξx est mesurable comme produit de deux fonctions mesurables, et intégrable puisque f(x)e 2πiξx = f(x pour tout x. Il en résulte que f est bien définie et vérifie f(ξ) f(x)e 2πiξx dx = f 1 pour tout ξ, d où f l () et f f 1 ; comme F : L 1 () l () est linéaire par linéarité de l intégrale, elle est donc continue et de norme 1. Comme de plus f(0) = f(x) dx, il suffit de considérer des f positives pour voir que F est de norme 1. este à prouver que pour f L 1 () on a f C(), c est-à-dire que, pour toute suite convergente ξ n de limite ξ dans, la suite f(ξ n ) converge vers f(ξ) ; cela résulte immédiatement du théorème de convergence dominée puisque f(x)e 2πiξnx converge vers f(x)e 2πiξx pour tout x par continuité de l exponentielle et que son module est dominé (!) par la fonction intégrable x f(x). Date: 5 et 12 avril Les conventions varient : pour beaucoup d auteurs, ce qui est noté ici Ff(ξ) s appelle Ff(2πξ), voire 2πFf(2πξ). Le passage d une convention à l autre ne pose pas de problème particulier. 2 En appelant encore f un représentant de la classe f, comme d habitude. 93

2 94 MAC CHAPEON appels sur L 1 (T). Le complété L 1 (T) de C(T) pour la norme L 1 est constitué des classes de fonctions f : C mesurables pour la mesure de Lebesgue et de période 1 qui vérifient f 1 := 1 f(t) dt < ; 0 il s identifie donc à L 1 ([0, 1]) que l on note parfois L 1 (0, 1) puisque toute classe de L 1 ([0, 1]) contient des fonctions f telles que f(0) = f(1). Proposition. La transformation de Fourier F : f ( f m ) m Z =: f est bien définie sur L 1 (T) ; c est une application linéaire continue de norme 1 de L 1 (T) dans le sous-espace fermé c 0 (Z) de l (Z) formé des (a m ) m Z telles que lim m a m = 0. Démonstration. La preuve du fait que F est une application linéaire continue de norme 1 de L 1 (T) dans l (Z) est identique à ce que nous venons de faire pour L 1 () et l (). Pour voir qu elle est à valeurs dans c 0 (Z), remarquons que, puisque l espace P (T) des polynômes trigonométriques est dense dans C(T) pour la norme de la convergence uniforme, il y est dense pour la norme 3 L 1, d où il résulte que P (T) est dense dans L 1 (T) pour la norme L 1 : Scolie. Si D 0 est une partie dense d un espace topologique X et que D 1 D 0 est dense dans D 0, alors D 1 est dense dans X. Preuve. La densité de D 1 dans D 0 signifie que tout ouvert de X qui rencontre D 0 rencontre D 1 ; par conséquent, puisque tout ouvert de X rencontre D 0 (densité de celui-ci dans X), il rencontre D 1, qui est donc dense dans X. Or, la transformée de Fourier d un polynôme trigonométrique n a qu un nombre fini de termes non nuls, donc appartient à c 0 (Z) ; par conséquent, pour toute f L 1 (T), comme f est limite dans L 1 (T) d une suite P n de polynômes trigonométriques et que l on a Ff FP n f P n 1 car F est de norme 1, on voit que Ff est limite dans l (Z) de la suite FP n ; celle-ci étant à valeurs dans le sous-espace fermé 4 c 0 (Z), on a donc bien Ff c 0 (Z). Preuve du fait que c 0 (Z) est fermé dans l (Z). Il s agit de montrer que, pour toute suite a n = ( a n (m) ) m Z à valeurs dans c 0(Z), convergente et de limite a = ( a(m) ) m Z dans l (Z), on a a c 0 (Z) ; or, quel que soit ε > 0, il existe n ε N tel que l on ait a n a < ε 2 pour tout n n ε ; comme on a a nε c 0 (Z), il existe k ε N tel que, pour m k ε, on ait 3 Moins fine en raison de l inégalité f 1 f, f C(T). 4 Voir ci-dessous.

3 ANALYSE DE HILBET ET DE FOUIE, IX 95 a nε (m) < ε 2 ; nous avons donc montré l existence de k ε N tel que, pour tout m Z avec m k ε, on ait a(m) = a(m) a nε (m) + a nε (m) a(m) a nε (m) + a nε (m) a a nε + a nε (m) < ε 2 + ε 2 = < ε, c est-à-dire que a c 0 (Z). Théorème. La transformation de Fourier F : L 1 () C b () est à valeurs dans le sous-espace fermé C 0 () de C b () formé des fonctions continues f : C telles que f(x) = 0. lim x La preuve sera faite p. 101, le temps de définir un espace jouant vis-à-vis de L 1 () le rôle de P (T) vis-à-vis de L 1 (T). Exercice. Vérifier que l on a C 0 () C b () ; en s inspirant de ce qui vient d être fait pour c 0 (Z), montrer que C 0 () est fermé dans C b (). 21. Convolution et régularisation Les espaces K() et D(). appelons que le support d une fonction f : C est l adhérence supp f = supp(f) de l ensemble des points où elle n est pas nulle. Dire que f est à support compact revient donc à dire qu elle est nulle en dehors d un compact, ou encore qu il existe A > 0 tel que l on ait f(x) = 0 pour x A. Nous noterons K() le sous-espace vectoriel (exercice) de l espace vectoriel complexe C() formé des fonctions continues à support compact et D() le sous-espace vectoriel de K() formé des fonctions C à support compact. Tous deux sont inclus dans C b () on a en effet sup x ϕ(x) = sup x supp ϕ La norme L p sera notée p. ϕ(x) et dans L p () pour 1 p. Théorème et définition. On définit une application bilinéaire symétrique (θ, ϕ) θ ϕ de K() K() dans K() par (55) θ ϕ(x) := θ(x t)ϕ(t) dt = ϕ(x t)θ(t) dt; on dit que θ ϕ est la convolée de θ et ϕ et que est le produit de convolution. Il possède les propriétés suivantes : i) on a F(θ ϕ) = F(θ)F(ϕ) et supp(θ ϕ) supp(θ) + supp(ϕ) ii) pour 1 p, on a θ ϕ p θ 1 ϕ p iii) pour θ D() et ϕ K(), la fonction θ ϕ appartient à D() et ses dérivées sont données par (θ ϕ) (k) = θ (k) ϕ.

4 96 MAC CHAPEON Démonstration. On a évidemment (θ ϕ) 1 (0) {x : t ϕ 1 ( ) θ(x t) = 0}; en passant aux complémentaires, cela s écrit autrement dit (θ ϕ) 1 ( ) {x : t ϕ 1 ( ) θ(x t) 0}, (θ ϕ) 1 ( ) {y + t : t ϕ 1 ( ) et y θ 1 ( )} = ϕ 1 ( ) + θ 1 ( ); l adhérence supp(θ ϕ) de (θ ϕ) 1 ( ) est donc dans l ensemble des limites de suites convergentes y n +t n avec t n ϕ 1 ( ) et y n θ 1 ( ), et a fortiori dans l ensemble des limites x de suites convergentes y n +t n avec t n supp ϕ et y n supp θ ; comme supp θ est compact, la suite y n a une sous-suite convergente y nk de limite y supp θ ; la suite y nk + t nk convergeant vers x, la suite t nk converge vers t = x y, qui appartient à supp ϕ car celui-ci est fermé ; on a donc x = y + t supp(θ) + supp(ϕ), d où l inclusion supp(θ ϕ) supp(θ) + supp(ϕ); le second membre, image du compact supp(θ) supp(ϕ) par l application continue (y, t) y + t, est compact ; il en résulte que θ ϕ est à support compact. Le théorème de convergence dominée entraîne sa continuité : pour toute suite convergente x k de limite x dans, la suite θ(x k t)ϕ(t) converge vers θ(x t)ϕ(t) quel que soit t, et les fonctions t θ(x k t)ϕ(t) sont dominées par la fonction intégrable t θ ϕ(t), d où θ ϕ(x) = lim θ ϕ(x k ). Enfin, la bilinéarité du k produit de convolution résulte de la linéarité de l intégrale. i) On a bien, d après le théorème de Fubini, F(θ ϕ)(ξ) = e 2πiξx θ ϕ(x) dx = e 2πiξx θ(x t)ϕ(t) dt dx = ϕ(t) θ(x t)e 2πiξx dx dt = ϕ(t)e 2πiξt θ(x t)e 2πiξ(x t) dx dt = ϕ(t)e 2πiξt Ff(ξ) dt = Ff(ξ) ϕ(t)e 2πiξt dt = Ff(ξ)Fϕ(ξ) puisque θ(x t)e 2πiξ(x t) dx = θ(y)e 2πiξy dy = Ff(ξ).

5 ANALYSE DE HILBET ET DE FOUIE, IX 97 ii) Le résultat est vrai pour p = puisqu on a x θ ϕ(x) = ϕ(x t)θ(t) dt ϕ(x t)θ(t) dt ϕ θ(t) dt = ϕ θ 1. Il est vrai pour p = 1 car on a, d après le théorème de Fubini, θ ϕ 1 = ϕ(x t)θ(t) dt dx ϕ(x t) θ(t) dt dx = ϕ(t) θ(x t) dx dt = ϕ(t) θ 1 dt = θ 1 ϕ 1. Il est vrai pour p = 2 car, toujours d après le théorème de Fubini, θ ϕ 2 2 = θ(t)ϕ(x t) dt 2 dx ( 2 θ(t) ϕ(x t) dt) dx = θ(t) ϕ(x t) dt θ(u) ϕ(x u) du dx = θ(t) θ(u) ϕ(x t) ϕ(x u) dx dt du ; or, d après l inégalité de Cauchy-Schwartz et l invariance par translation de la mesure de Lebesgue, quels que soient t, u, on a ϕ(x t) ϕ(x u) dx ϕ(x t) 2 dx ϕ(x u) 2 dx = ϕ(x) 2 dx d où le résultat annoncé : θ ϕ 2 2 θ(t) θ(u) ϕ 2 2 dt du = ϕ 2 2 ϕ 2 2, θ 2 1. Le cas des autres p est proposé en exercice. ϕ(x) 2 dx = ϕ 2 2, θ(t) dt θ(u) du = iii) Il suffit de le montrer pour la dérivée première, une récurrence évidente donnant ensuite le résultat général. Il s agit de prouver 5 que, θ ϕ(x+h) θ ϕ(x) pour tout x, tend vers θ ϕ(x) quand h 0 ; h 5 Si l on a oublié le théorème de dérivation sous le signe somme.

6 98 MAC CHAPEON en d autres termes, on veut montrer que pour toute suite h k de réels tendant vers 0, la suite θ ϕ(x+h k) θ ϕ(x) h k tend vers θ ϕ(x) quand k, ce qui est le cas d après le théorème de convergence dominée : on a θ ϕ(x + h k ) θ ϕ(x) θ(x + h k t) θ(x t) = ϕ(t) dt h k h k et la suite de fonctions t θ(x+h k t) θ(x t) h k ϕ(t) converge simplement vers la fonction t 1 0 θ (x t) ds ϕ(t), en étant dominée en module par la fonction intégrable t θ ϕ(t) d après le théorème des accroissements finis. Corollaire. Le produit de convolution s étend en une application bilinéaire continue de norme 1 de L 1 () L p () dans L p () pour 1 p. Il fait donc en particulier de L 1 () une algèbre normée commutative, et la transformation de Fourier est un homomorphisme de cette algèbre dans l algèbre 6 normée commutative C b (). Démonstration. Si p =, le même argument que pour K() s applique. Le cas 1 p < se déduit du résultat suivant, prouvé en principe dans le cours d intégration : Lemme. Pour 1 p <, l espace K() est dense dans L p (). En effet, le point (ii) du théorème et définition précédent entraîne que, pour chaque θ K(), l application linéaire ϕ θ ϕ de K() dans lui-même est continue et de norme θ 1 pour la norme L p ; d après le lemme, elle s étend donc en une unique application linéaire continue de même norme de L p () dans lui-même, que l on peut noter encore ϕ θ ϕ et qui dépend linéairement de θ. L inégalité θ ϕ p θ 1 ϕ p signifie donc que, pour tout ϕ L p (), l application linéaire θ θ ϕ de K() dans L p () est continue et de norme ϕ p pour la norme L 1 sur K() ; elle s étend donc en une unique application linéaire continue de même norme de L 1 () dans L p (), d où le résultat cherché. Théorème. Toute fonction ϕ K() est la limite uniforme d une suite ϕ n à valeurs dans D() telle que tous les supports supp ϕ n soient contenus dans un même compact K. Démonstration. Elle repose sur le Lemme 0. Il existe des fonctions u D() à valeurs dans + telles que u(t) dt = 1 et supp u = [ 1, 1]. 6 Pour le produit habituel des fonctions.

7 ANALYSE DE HILBET ET DE FOUIE, IX 99 Preuve. La fonction f : + définie par f(t) = {e 1 t 2 1 pour t < 1 0 sinon est C (exercice classique), donc u(x) = f(x)/ f(t) dt convient. Étant donnée une telle fonction u, pour tout n N, la fonction u n (t) := nu(nt) est C, positive, de support [ 1, 1 ] et n n u n (t) dt = u(nt) d(nt) = u(x) dx = 1. Lemme 1. La suite ϕ n := u n ϕ possède les propriétés requises. Preuve. Nous savons déjà (point (iii) du théorème et définition p. 95) qu elle est à valeurs dans D() et (point (i) du théorème et définition p. 95) que l on a supp ϕ n supp(u n ) + supp(ϕ) = [ 1, 1 ] + supp ϕ [ 1, 1] + supp ϕ n n pour tout n. Il reste donc simplement à prouver que lim u n ϕ ϕ = 0, n ce qui se fait comme dans la preuve du théorème de Fejér : pour tout x, on a u n ϕ(x) ϕ(x) = = = 1 n 1 n u n (t)ϕ(x t) dt ϕ(x) u n (t) dt u n (t) ( ϕ(x t) ϕ(x) ) dt u n (t) ( ϕ(x t) ϕ(x) ) dt,

8 100 MAC CHAPEON car supp u n = [ 1 n, 1 n ], d où, puisque u n est positive, u n ϕ(x) ϕ(x) 1 n 1 n u n (t) ϕ(x t) ϕ(x) dt max ϕ(x t) ϕ(x) t 1 n max ϕ(y) ϕ(x) y x 1 n max ϕ(y) ϕ(x) ; y x 1 n 1 n 1 n u n (t) dt = u n (t) dt = il ne reste plus qu à remarquer qu une fonction continue à support compact est uniformément continue, donc que ε n := sup x max y x 1 n ϕ(y) ϕ(x) 0 quand n ; comme les inégalités précédentes entraînent u n ϕ ϕ théorème est prouvé. ε n, le Corollaire. L espace D() est dense dans L p () pour 1 p <. Démonstration. Il résulte du théorème que D() est dense dans K() pour la norme L p ; en effet, avec les notations de celui-ci, la suite ϕ n converge vers ϕ dans L p () puisque l on a ϕ n ϕ p p = ϕ n (x) ϕ(x) p dx = ϕ n (x) ϕ(x) p dx λ(k) ϕ n ϕ p, où λ est la mesure de Lebesgue. Le scolie p. 94, appliqué à X = L p (), D 0 = K() (lemme p. 98) et D 1 = D(), permet donc de conclure. K 22. La transformation de Fourier dans S() L espace de Schwartz S(). C est le sous-espace vectoriel complexe de C () formé des fonctions ϕ à décroissance rapide ainsi que toutes leurs dérivées : k N m N lim x xm ϕ (k) (x) = 0. Proposition. On a D() S() L p () pour 1 p, donc S() est dense dans L p () pour 1 p <.

9 ANALYSE DE HILBET ET DE FOUIE, IX 101 Preuve. La première inclusion est évidente et la seconde s obtient pour p = en se souvenant qu une fonction continue qui tend vers 0 à l infini est bornée (exercice p. 95). Pour 1 p < et ϕ S(), la définition de S() entraîne donc que ϕ(x) et x 2 ϕ(x) sont bornées, donc que (1 + x 2 ) ϕ(x) est majoré par une constante C, d où ϕ p p = ϕ(x) p dx C p (1 + x 2 ) p dx C p (1 + x 2 ) 1 dx = C p π. Enfin, la densité de S() dans L p () pour 1 p < résulte de celle de D() (corollaire p. 100). Théorème. La transformation de Fourier induit un isomorphisme de S() sur lui-même, qui est isométrique pour la norme L 2. L isomorphisme inverse est donné par F 1 ψ(x) = ψ(ξ)e 2πiξx dξ. emarque. La formule ϕ(x) = F 1 Fϕ(x) = ϕ(ξ) e2πiξx dξ est l analogue pour S() de la formule ϕ(x) = Z ϕ(m) e2πimx pour C (T). Avant de prouver ce théorème, tirons-en quelques conséquences. Corollaire 1. La transformation de Fourier F : L 1 () C b () est bien à valeurs dans C 0 (). Démonstration. D après la proposition précédente, toute ϕ L 1 () est limite d une suite ϕ n à valeurs dans S() ; la continuité de F entraîne donc que Fϕ n converge vers Fϕ dans C b () ; comme les Fϕ n appartiennent à S() C 0 () et que C 0 () est fermé dans C b (), on a donc bien Fϕ C 0 (). Corollaire 2. La transformation de Fourier induit un isomorphisme linéaire isométrique de l espace de Hilbert L 2 () sur lui-même. Démonstration. Puisque S() est dense dans L 2 (), les deux automorphismes linéaires F et F 1 de S(), qui sont continus pour la norme L 2 car isométriques, se prolongent en des applications linéaires continues de L 2 () dans lui-même, dont on voit sans peine qu elles sont isométriques et inverses l une de l autre. 23. Preuve du théorème p. 101 Commençons par admettre que F ( S() ) S(), vérification sans difficulté que nous ferons à la fin de la démonstration.

10 102 MAC CHAPEON Preuve de la formule d inversion de Fourier. L idée est de se ramener au cas périodique : étant donnée ϕ S(), on définit une fonction f C (T) par f(t) := k Z ϕ(t + k); en effet, la périodicité est évidente et il résulte facilement de la définition de S() que la suite des sommes partielles k n f(t + k) converge au sens C ; on a donc f m = 1 0 = k Z = + k Z ϕ(t + k)e 2πimt dt = k Z k+1 k 1 ϕ(x)e 2πim(x k) dt = k Z ϕ(x)e 2πimx dx = ϕ(m) ϕ(t + k)e 2πimt dt 0 k+1 k ϕ(x)e 2πimx dx pour tout m Z. Comme la série de Fourier de f est sommable au sens C, on a f(t) = f m Z m e 2πimt ; d après le calcul précédent et la définition de f, c est pour t = 0 la formule sommatoire de Poisson (56) ϕ S() ϕ(m). k Z ϕ(k) = m Z Étant donnée ψ S(), la fonction ϕ ξ,x : y e 2πiξy ψ(x + y) appartient évidemment à S() quels que soient les réels x et ξ ; en lui appliquant (56), on obtient (57) e 2πikξ ψ(x + k) = e 2πi(ξ+m)x ψ(ξ + m) m Z k Z puisque e 2πimy e 2πiξy ψ(x + y) dy = e 2πi(ξ+m)(t x) ψ(t) dt = e 2πi(ξ+m)x ψ(ξ + m). En intégrant les deux membres de (57) par rapport à ξ sur [0, 1], on obtient ψ(x) = 1 m+1 e 2πi(ξ+m)x ψ(ξ + m) dξ = e 2πiξx ψ(ξ) dξ m Z 0 m Z m = + e 2πiξx ψ(ξ) dξ,

11 ANALYSE DE HILBET ET DE FOUIE, IX 103 ce qui prouve la formule d inversion de Fourier ; en effet, nous venons de montrer que cette formule définit un inverse à gauche de F, mais c est aussi un inverse à droite puisque F 1 ϕ(x) = Fϕ( x). Preuve du fait que F est isométrique pour la norme L 2. Quelles que soient ϕ, ψ S(), le théorème de Fubini et la formule d inversion de Fourier donnent ϕ ψ 2 = e 2πiξx ϕ(x) dx ψ(ξ) dξ = ϕ(x) e 2πiξx ψ(ξ) dξ dx = Preuve 7 de l inclusion FS() S(). ϕ(x)ψ(x) dx = ϕ ψ 2. Lemme 1. Quelle que soit ϕ S(), la transformée de Fourier ϕ est C et, pour tout k N, sa dérivée k-ième ϕ (k) est la transformée de Fourier de la fonction x ( 2πix) k ϕ(x), qui appartient à S(). Démonstration. Il suffit d appliquer le théorème de dérivation sous le signe somme. Lemme 2. Quels que soient ϕ S() et k N, on a ϕ (k) C b () et (58) ϕ(k) (ξ) = (2πiξ) k ϕ(ξ) ; en particulier, ϕ (ainsi que les ϕ (l), l N) est à décroissance rapide. Démonstration. On a ϕ (k) C b () d après la proposition et définition p. 93 puisque l on a ϕ (k) S() L 1 (). Pour établir (58), il suffit de le faire pour k = 1 et c est facile : d 0 = dx( e 2πiξx ϕ(x) ) dx = 2πiξ e 2πiξx ϕ(x) dx + e 2πiξx ϕ (x) dx. Enfin, pour en déduire que ϕ est à décroissance rapide, il suffit de remarquer que, pour tout k N, puisque ξ k+1 ϕ(ξ) est bornée, ξ k ϕ(ξ) tend vers 0 quand ξ. 7 appelons que nous avons admis le résultat dans ce qui précède.

12 104 MAC CHAPEON Fin de la preuve. Quelle que soit ϕ S(), sa transformée de Fourier ϕ est C d après le lemme 1 et chacune des dérivées ϕ (k), étant la transformée de Fourier d un élément de S() (toujours d après le lemme 1), est à décroissance rapide d après le lemme 2 ; cela prouve que l on a ϕ S().