Géométrie dans l espace. 1. Perspective cavalière

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1 Géométrie ans l espace 1. erspective cavalière La perspective cavalière permet e représenter en eux imensions (sur une feuille e papier, un tableau) es objets en trois imensions (un cube, un tétraère, etc...). Remarque 1. La perspective cavalière obéit à plusieurs règles : Les lignes visibles sont représentées en traits pleins, les lignes cachées en pointillés. Les éléments (angles, longueurs) es plans frontaux (en face ou perpeniculaires au regar e l observateur) sont représentés en vraies graneurs. Les roites parallèles au regar e l observateur (appelés fuyantes) forment un angle avec l horizontale fixé (appelé angle e fuite, souvent entre 30 o et 60 o ). en ehors es plans frontaux les angles et les longueurs subissent es éformations et ne sont pas les angles ou longueurs réels. Exemple 1. Un cube EF GH : H G Faces visibles : Faces cachées : E F Faces contenues ans es plans frontaux : roites fuyantes : ouples e roites non parallèles et non sécantes : angle e fuite ropriété 1. En perspective cavalière : Si eux roites sont parallèles, alors elles sont représentées par eux roites parallèles. Si trois points sont alignés, alors ils sont représentés par trois points alignés. Si eux roites sont sécantes, alors elles sont représentées par eux roites sécantes. Si un point est le milieu un segment, alors il est représenté par le milieu u segment. les propriétés réciproque es propriétés précéentes sont fausses en général. Exemple 2. La figure représente un prisme MNO QR. Le plan (MNO) est frontal et la roite (M ) est une fuyante. 1. Représenter les angles roits. 2. (MN) et ( ) sont-elles sécantes? 3. (MN) et (QR) sont-elles sécantes? 4. (QR) et ( ) sont-elles sécantes? 5. Représenter le centre u prisme 6. Volume u prisme? (V = b h). Q R N O M artie ours ES page 1

2 2. Notion e plan éfinition 1. Soient, et trois points non alignés e l espace. Le plan () est la réunion es roites parallèles à () qui passent par un point e (). () est onc l ensemble es points M tels que M = x + y où x, y R. En conséquence : ropriété 2. Si eux points istincts E et F appartiennent à un plan, alors la roite (EF ) est entièrement contenue ans. reuve. Notons = () : E et F onc il existe x, x, y, y R tels que E = x +y et E = x +y Si M (EF ), EF et EM sont colinéaires, onc il existe k R tel que EM = k EF. M = E + EM = E + k EF = E + k E + k F = = (1 k) E + k F = ((1 k)x + x ) + ((1 k)y + y ). onc M () : tout point e (EF ) appartient à (). ropriété 3. l existe un unique plan contenant : (a) trois points non alignés (b) eux roites sécantes (c) eux parallèles strictes () une roite et un point extérieur Exemple 3. Soit () un plan, E un point hors e (). Expliquer sans calcul pourquoi les roites () et (E) ne sont ni confonues, ni sécantes ni parallèles éfinition 2. es objets géométriques (points, cercles, roites, etc...) sont its coplanaires lorsqu ils sont contenus ans un même plan. Théorème 4. Les théorèmes e géométrie plane (ythagore, Thalès,...) sont applicables à es objets géométriques coplanaires. Exemple 4. Le volume une pyramie ou un cône est V = 1 b h où b est la surface e la 3 base et h est la hauteur (istance u sommet à son projeté orthogonal sur le plan e la base). éterminer le volume e la pyramie : S artie ours ES page 2

3 3. ncience ropriété 5. osition relative e eux roites eux roites e l espace et sont ans une et une seule es quatre situations suivantes : = (a) : = parallèles, coplanaires. (b) : et sécantes, un unique plan. (c) : et parallèles strictes, ans un unique plan. () : et non coplanaires et ni sécantes, ni parallèles reuve. Soient et eux roites et, istincts,. Si /(), on est ans le cas (), sinon, et sont coplanaires onc parallèles (ou confonues) ou sécantes. ropriété 6. osition relative une roite et un plan Une roite et un plan sont ans une et une seule es situations suivantes : = {} (a) : contenue ans (b) : coupe en un point (c) : est strictement parallèle à reuve. L intersection une roite et un plan compte 0, 1 ou au moins 2 points, ce qui correspon respectivement aux situations (a), (b) et (c) après la propriété 2. ropriété 7. osition relative e eux plans eux plans et sont ans une et une seule es situations suivantes : = (a) : et confonus (b) : et strictement parallèles (c) : = une roite Remarque 2. Le fait que l intersection e eux plans ne puisse être réuite à eux points est un axiome (un principe amis) e la géométrie ans l espace. Exemple 5. Sachant que (), J () et K (), représenter la section u tétraère par le plan (JK). (chercher pour chaque face eux points appartenant au plan e la face et à (JK)). J K Exemple 6. iter es roites et plans u cube l exemple 1 qui illustrent les propriétés 5 à 7. artie ours ES page 3

4 4. Théorèmes e parallélisme Théorème 8. Théorème u toit. Soient eux plans sécants contenant chacun une roite. Si les roites sont parallèles, l intersection es plans est une roite parallèle à chacune es roites. = // //, reuve. On note = () et = ( ) où est un point e l intersection es plans et () = est parallèle à ( ) =. après la éfinition 1, la roite passant par parallèle à est contenue ans (). ette roite est également parallèle à, car //. Elle est onc contenue ans ( ). L intersection es eux plans contient onc cette roite, et seulement cette roite : s il y avait un autre point, les plans seraient confonus après la propriété 3. Théorème 9. 1 Une roite parallèle à une autre roite contenue ans un plan est parallèle au plan. 2 Si eux roites sécantes un plan sont parallèles à un autre plan, alors les eux plans sont parallèles. 3 eux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux. 4 Si un plan coupe eux plans parallèles, les roites intersections sont parallèles. // 1 : 4 : 3 : Q + // = Q = Q Exemple 7. Soient, J, K, L, M les milieux respectifs e [], [], [], [] et []. Montrer que (J) // (LK) Montrer que (JK) // () Montrer que (JM) // () rouver // où = (JM) (L) et = () L) artie ours ES page 4

5 5. Solies 5.1. Section plane un solie Méthoe 1. our éterminer l intersection un polyère (solie composé e plusieurs faces) et un plan. On procèe face par face en 1 cherchant eux points communs entre le plan e coupe et le plan contenant la face étuiée. our cela, on prolongera parfois les arêtes e la face étuiée et les roites intersection es faces étuiées auparavant. (voir l exemple 5) 2 cherchant un point commun entre la face étuiée et le plan e coupe, et en utilisant le théorème 9, point 3 si on connaît éjà l intersection u plan e coupe avec une face parallèle à la face étuiée. (voir l exemple 8). 3 cherchant un point commun entre la face étuiée et le plan e coupe, et en utilisant le théorème 8, si l on sait que l intersection u plan e coupe et une face autre face est parallèle à une roite e la face étuiée. (voir l exemple 9). Exemple 8. Représenter la section u parallélépipèe suivant par le plan (MN ), sachant que M (E), N [GF ] et [G]. On justifiera soingeusement l intersection e (MN ) avec la face EH. H G N M E F Exemple 9. Représenter l intersection u tétraère avec le plan (JK), en justifiant soigneusement l intersection e (JK) avec la face (). Le point est le milieu e [] et J est le milieu e [], enfin K () : K J 5.2. Volumes e solies h h r risme, cylinre : V = h yramie, cône : V = 1 3 h Sphère : V = 4 3 πr3 artie ours ES page 5