3 Classifications, discriminations Construire des mondes est un jeu d enfant... 32

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1 TABLE DES MATIÈRES Avant-propos 7 Introduction : Potentiels et horizons 9 1 Michel Parreau, mathématicien Riemann et ses surfaces Classifications, discriminations Construire des mondes est un jeu d enfant Intermède Forme de l univers, cosmo(géo)métries et cosmophysiques Michel Parreau et l autonomisation du travail mathématique Physique fictive sur les surfaces de Riemann Parreau à l horizon par procuration Lectures de Michel Parreau L affaire Parreau

2 268 TABLE DES MATIÈRES ÉCRITS MATHÉMATIQUES DE MICHEL PARREAU 79 I THÉORIE DES FONCTIONS ANALYTIQUES 81 1 Introduction : compléments de topologie et d analyse Connexion Définitions et propriétés générales Composantes connexes Ensembles connexes de R Ouverts connexes de R n Arcs rectifiables Arcs paramétrés Arcs rectifiables Abscisse curviligne Arcs continûment différentiables Arcs rectifiables dans R n Intégrales curvilignes Intégrales de Stieltjes Intégrales curvilignes Propriétés des intégrales curvilignes Cas d une courbe fermée Nombres complexes. Fonctions élémentaires d une variable complexe Nombres complexes Définition des nombres complexes Nombres complexes conjugués. Module Représentation géométrique des nombres complexes Angles Mesure des angles. Argument Corps projectif C. Sphère de Riemann

3 TABLE DES MATIÈRES Fonctions rationnelles d une variable complexe Fonctions linéaires Fonctions homographiques Fonction exponentielle et fonctions transcendantes qui s en déduisent Fonction exponentielle Fonctions hyperboliques et trigonométriques Fonctions réciproques des fonctions usuelles Premières notions sur les fonctions multiformes Fonction logarithme Fonction puissance Fonctions trigonométriques inverses Fonctions holomorphes Holomorphie en un point. Conditions de Cauchy-Riemann Holomorphie en un point Conditions de Cauchy-Riemann Fonctions holomorphes dans un domaine Holomorphie à l infini. Fonctions méromorphes Représentation conforme locale Conservation des angles orientés dans une transformation holomorphe Réciproque Dilatation en un point Séries entières Holomorphie de la somme d une série entière Formule de Taylor Application à la fonction exponentielle et aux fonctions qui s en déduisent

4 270 TABLE DES MATIÈRES 4 Théorème et formule de Cauchy. Singularités isolées des fonctions analytiques. Calcul des résidus Différentielles exactes ; différentielles localement exactes Intégrales curvilignes dans C Différentielles exactes Différentielles localement exactes Condition nécessaire et suffisante d exactitude locale, dans le cas où p et q sont continûment différentiables Homologie. Ordre de connexion Chaînes. Cycles Indice d un cycle par rapport à un point Cycles homologues à zéro. Homologie Domaines simplement connexes. Ordre de connexion Courbes de Jordan. Bord orienté d un domaine relativement compact Formule de Cauchy. Applications Théorème de Cauchy-Goursat Formule de Cauchy Analyticité des fonctions holomorphes Théorème de Morera Isolement des zéros d une fonction holomorphe Branches uniformes de logf (z) et de (f (z)) α Inégalités de Cauchy. Théorème de Liouville Principe du maximum Lemme de Schwarz Singularités isolées des fonctions holomorphes. Théorème des résidus Points singuliers isolés. Série de Laurent Classification des points singuliers isolés Théorème des résidus Résidu à l infini Étude locale des fonctions holomorphes ou méromorphes

5 TABLE DES MATIÈRES Principe de la variation de l argument Cas où γ est le bord orienté d un domaine Propriétés locales des fonctions holomorphes ou méromorphes Application du théorème des résidus au calcul de certaines intégrales définies Remarques générales Calcul d une intégrale du type 2π R(cosθ,sinθ)dθ, où 0 R est une fraction rationnelle Calcul d une intégrale du type + f (x)dx, où f est une fraction rationnelle n ayant aucun pôle réel Calcul des intégrales du type + R(x)eiax dx, où a est un nombre réel > 0, et R une fraction rationnelle nulle à l infini et n ayant pas de pôle réel Cas où f a des pôles simples sur l axe réel Calcul des intégrales du type + x α 1 R(x)dx, où α est un nombre réel compris entre 0 et 1, et R une fraction rationnelle n ayant pas de pôle réel positif Calcul des intégrales du type + logx R(x)dx, où R est 0 une fraction rationnelle n ayant aucun pôle réel positif Familles de fonctions holomorphes. Représentation des fonctions entières et des fonctions méromorphes dans C. Théorème de Riemann Familles de fonctions holomorphes Théorème de Weierstrass Théorème de Hurwitz Fonctions holomorphes définies par une intégrale Représentation des fonctions méromorphes dans C Théorème de Mittag-Leffler Représentation des fonctions méromorphes Fonction 1 sin 2 z Fonction cotgz Fonction 1 sinz

6 272 TABLE DES MATIÈRES Fonctions doublement périodiques Fonction (z) Représentation des fonctions holomorphes Décomposition d une fonction entière en un produit de facteurs primaires Ordre d une fonction entière. Théorème de Hadamard- Borel Représentation des fonctions entières d ordre fini Exemple : développement eulérien de sin z Fonction gamma Familles normales. Théorèmes d Ascoli et de Montel Convergence compacte dans un espace localement compact dénombrable à l infini Théorème d Ascoli Théorèmes de Montel et de Stieltjes-Vitali Représentation conforme simple. Théorème de Riemann Fonctions univalentes ; transformations conformes simples Suites de fonctions univalentes Représentation conforme des domaines simplement connexes Représentation conforme simple de C ou C sur luimême Fonctions harmoniques. Formule de Poisson Fonctions harmoniques Propriété de moyenne ; principe du maximum Formule de Poisson Problème de Dirichlet Applications de la formule de Poisson

7 TABLE DES MATIÈRES 273 II REPRÉSENTATIONS CONFORMES DES SURFACES DE RIEMANN PLANES 203 Représentations des surfaces de Riemann Calcul différentiel sur les surfaces de Riemann Surfaces de Riemann Formes différentielles sur une surface de Riemann Opérations, différentiation, forme adjointe Formes fermées, cofermées, exactes, harmoniques, analytiques Intégration Espace de Hilbert des différentielles de carré intégrable. Décomposition de de Rham Différentielles de carré intégrable Lemme de Weyl. Décomposition de de Rham Construction de formes différentielles harmoniques et analytiques ayant des singularités et un comportement à la frontière imposés Différentielles avec singularités Théorème d existence Différentielles analytiques associées à ω Propriétés extrémales de α, β, γ, δ (cas plan) Convergence de α et β dans l approximation de S par des ouverts connexes régulièrement immergés Représentation conforme d une surface de Riemann plane S sur des domaines à fentes parallèles Représentation conforme de S sur un domaine à fentes horizontales Propriété extrémale de la fonction w Autre démonstration du théorème Représentation conforme de S sur des domaines à fentes parallèles Fonction 1 2 (w 0 + w π/2 ) Classe 0 AD

8 274 TABLE DES MATIÈRES 5 Fentes circulaires et radiales Représentation conforme d une surface de Riemann plane S sur un ouvert de C limité par des fentes circulaires ou radiales Représentation sur un disque, muni de fentes circulaires ou radiales Représentation sur une couronne munie de fentes circulaires Représentation conforme d une surface de Riemann plane de connexion finie sur un ouvert limité par des cercles III THÉORÈME DE FATOU ET PROBLÈME DE DIRI- CHLET POUR LES LIGNES DE GREEN DE CERTAINES SURFACES DE RIEMANN 237 Théorème de Fatou et problème de Dirichlet Représentation d une surface de Riemann régulière sur un disque fendu Extension du théorème de Fatou Problème de Dirichlet Fonctions de caractéristique bornée POSTFACE 249 Michel Parreau : un itinéraire La réussite d un jeune d origine modeste, très politisé «Le plus jeune doyen de France» La Cité scientifique et les «événements de mai 1968» L après 68 : le combat continue! L ALIAS et le Centre régional de culture scientifique L université du Littoral