Chapitre 12. Suites récurrentes

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1 Chapitre 1 L'objectif de ce chapitre est de recenser les quelques théorèmes permettant l'étude des suites dénies par récurrence (u n+1 = f(u n )) et les diérentes méthodes s'appuyant dessus. I Quelques théorèmes utiles 1 Notion de point xe a) Dénition Dénition 1 Soit f une fonction de A R dans R. On dit que x A est un point xe de f si f(x) = x. L'ensemble des points xes de f est l'ensemble des solutions de l'équation f(x) = x, qu'on résout directement où dont on trouve le nombre de solutions avec le théorème de la bijection continue/monotone. b) Limite d'une suite récurrente Théorème 1 Soit f une fonction continue, et (u n ) une suite vériant la relation de récurrence u n+1 = f(u n ) pour tout n à partir d'un certain rang. Si (u n ) est convergente vers un réel l, alors l est un point xe de f (donc f(l) = l). Preuve u n l donc u n+1 l comme suite extraite de (un). f(l). D'autre part par continuité de f on a f(u n) On en déduit par unicité de la limite que f(l) = l. Suites monotones Théorème Toute suite croissante majorée (ou décroissante minorée) converge. La combinaison des deux propriétés précédentes est très puissante : une des grandes méthodes d'étude des suites récurrentes suit le plan suivant : - On montre que (u n) est croissante (ou décroissante). - On montre que (u n) est majorée (ou minorée). - On en déduit qu'elle converge. - On résout l'équation f(x) = x pour trouver sa limite. 1

2 3 Accroissements nis Théorème 3 Soit f une fonction continue sur un segment [a; b] et dérivable sur ]a; b[, vériant de plus : x ]a; b[, m f (x) M Alors pour tout c < d [a; b] : m(d c) f(d) f(c) M(d c) Soit f une fonction continue sur un segment [a; b] et dérivable sur ]a; b[, vériant de plus : x ]a; b[, f (x) k Alors pour tout x, y [a; b] : f(x) f(y) M x y En prenant x = u n et y = l un point xe de f cela donne : puis une récurrence donne : en rajoutant k < 1 on obtiendrait u n f(u n) f(l) = u n+1 l M u n l u n l k n u 0 l l par théorème de comparaison.

3 II Méthodes d'étude d'une suite récurrente Dans toute cette partie, on va étudier la suite dénie par : u0 = 0 u n+1 = u n +, n N 1 Intervalles stables L'étude de la fonction f permet d'obtenir des intervalles vériant f(i) I, appelés intervalles stables. les variations de f. Pour cela il faut étudier : l'équation f(x) = x. On a ici : f (x) = 1 > 0 sur ] ; + [, donc f est strictement croissante sur cet intervalle. D'autre x+ part : f(x) = x x + = x x = x + et x 0. x x = 0 et x 0 On a = = 9, et les solutions sont x = 1 (absurde) et x =, qui est donc la seule limite possible de la suite (u n ). x 0 + f(x) + 0 f(x) x On obtient trois intervalles stables : [ ; ], [0; ] et [; + [. Utilisation de la récurrence Lorsqu'on a une relation de récurrence, cela permet de démontrer des propriétés par récurrence. Cela paraît évident mais il est important d'y penser. a) Stabilité et bornétude de la suite Lorsqu'on a f(i) I u n0 I, on obtient u n I pour n n 0. Dans notre exemple, on a f([0; ]) [0; ] et u 0 = 0 donc on montre que u n [0; ] pour tout n N : Initialisation : u 0 = 0 [0; ]. Hérédité : si u n [0; ], alors f(u n ) f([0; ]) [0; ], donc u n+1 [0; ]. Conclusion : n 0, u n [0; ]. Cela donne 0 u n, et (u n ) est à la fois majorée et minorée. Cela a deux utilités : - si (u n ) est monotone, elle est convergente. - cela permet éventuellement d'exclure des points xes en tant que limites possibles. Ici le seul point xe est bien un élément de [0; ], il reste donc une limite possible. Étudions maintenant la monotonie de la suite. 3

4 b) Monotonie de la suite Lorsque la fonction f est croissante sur un intervalle stable I qui contient la suite, on peut obtenir la monotonie de la suite par récurrence : On a u 1 = f(u 0 ) = f(0) = > u 0. Composons par f : f(u 1 ) > f(u 0 ) par stricte croissance de f, et u > u 1. En fait la croissance de f permet de composer les inégalités sans changer le sens, et de montrer que la suite et monotone à partir de la comparaison de u 0 et u 1. Ici on a u 0 < u 1, montrons que pour tout n, u n < u n+1. Initialisation : déjà prouvée, u 0 < u 1. Hérédité : On suppose que u n < u n+1, on compose par f strictement croissante et on a : f(u n ) < f(u n+1 ) donc u n+1 < u n+. Conclusion : Pour tout n N, u n < u n+1 et la suite (u n ) est strictement croissante. s 1. On appliquera systématiquement cette méthode lorsque le premier terme de la suite, u 0, est une valeur connue.. On obtient alors que (u n) converge. 3. Ne pas confondre la croissance de f et celle de (u n). La croissance de f permet de ne pas changer les inégalités, et montre que (u n) est monotone, mais la croissance ou la décroissance de (u n) dépend du signe de u 1 u 0 : - Si u 0 < u 1, la suite est croissante. - Si u 0 > u 1, la suite est décroissante. 3 Signe de f(x) x Le signe de g(x) = f(x) x permet d'obtenir directement la monotonie. Dans notre exemple on a vu que u n [0; ] pour tout n, et que f(x) x 0 sur [0; ]. Obtention de ce signe : on a trouvé les 0 de f(x) x, on peut calculer des valeurs simples pour obtenir le signe de chaque côté de ces 0. Deuxième possibilité : on calcule f(x) x = x + x = ( x + x)( x + + x) x + + x = x + x 0 sur [0; ] x + + x (le numérateur avec le signe d'un trinôme, le dénominateur comme somme de nombre positifs). On applique ceci à x = u n : on obtient f(u n ) u n 0, donc u n+1 u n et la suite est croissante. On appliquera systématiquement cette méthode lorsque le premier terme de la suite, u 0, est une constante pas explicite, et quel que soit le signe de u 0 si le signe de f(x) x est déjà connu (ou plus généralement si on a posé précédemment une question, quelle qu'elle soit, sur f(x) x). Calcul des points xes Une fois qu'on a montré que la suite converge, le calcul des points xes donne la limite. Ici on a montré que (u n ) est croissante et majorée par, donc convergente. De plus sa limite f vérie f(l) = l l = (vu au début) donc lim u n =.

5 5 Etude directe par les accroissements nis On suppose qu'on a montré que u n [0; ] pour tout n, mais pas toute la suite. On étudie f (x) sur [0; ] : f (x) = 1 et on a 0 x, donc x + puis en composant par la racine carrée croissante, x+ x + ; on multiplie par : x + et enn on compose par la fonction inverse décroissante : 1 f (x) 1 = < 1 La fonction f est continue sur [0; ] et dérivable sur ]0; [ donc l'inégalité des accroissements nis donne f(u n ) f() u n donc : u n+1 u n Par récurrence sur n on montre alors : ( ) n n N, u n u0 Initialisation : u 0 = u 0 est évident. ( ) n Hérédité : On suppose que u n u0. Alors u n+1 u n ( ) n u0 Enn le théorème de comparaison donne u n ( ) n+1 u0. 0 donc u n 0 et enn u n. 5