FONCTIONS DE R p DANS R n

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1 CALCUL DIFFÉRENTIEL DES FONCTIONS DE R p DANS R n 1. Di érentiabilité, dérivées partielles, classe C Des classiques Exercice 1.1. Soit ' R 2! R continue et f R 2! R dé nie par Z x µz y f(x; y) = ' (u; v) dv du 1. Montrer que f est de classe C Donner des conditions su santes portant sur l existence et la continuité de certaines dérivées partielles de ' pour que f soit de clase C 2 ; de classe C 3 ; etc... Exercice 1.2. Soit f R! R et g R 2! R dé nie par g(x; y) = ( f(x) f(y) x y si x 6= y f 0 (x) si x = y 1. Montrer que g est de classe C 0 sur R 2 si f est de classe C 1 2. Montrer que g est de classe C 1 sur R 2 si f est de classe C 2 Exercice 1.3. Soit f dé nie par f(x; y) = Montrer que f est de classe C 1 sur R 2 x sin y y sin x x 2 +y 2 si (x; y) 6= (0; 0) 0 si (x; y) = (0; 0) 1.2. Calcul di érentiel en géométrie Exercice 1.4. On appelle inversion de pôle O et de rapport k 2 R du plan euclidien P; l application F qui à tout m 2 P fog associe le point M de la droite Om tel que OmOM = k 1. Montrer que F est di érentiable sur P fog et calculer sa di érentielle. 2. En déduire que F est une application conforme. Exercice 1.5. Soit E; F; G; H des espaces vectoriels normés, les trois premiers étant de dimension nie, B une forme bilinéaire (continue) de F G dans H; f; g deux applications d un ouvert U E dans F; G respectivement. 1. On suppose que f et g sont di érentiables en a 2 U ; montrer que B (f; g) est di érentiable en a et déterminer sa di érentielle. 2. Applications? P. Estézet 1

2 Exercice 1.6. Soit f 2 L R 3 et F R 3! R 3 dé nie par F (x) = x ^ f (x) pour tout x 2 R 3 Montrer quef est di érentiable sur R 3 et calculer sa di érentielle. Exercice 1.7. Pour n 2 N; on considère, pour k 2 R où kk désigne la norme euclidienne dans R n f R n fog! R n x 7! k x kxk 2 1. Montrer que f est di érentiable sur R 3 fog et calculer sa di érentielle. On procédera par composition. 2. Donner une interprétation géométrique de df x = f 0 (x) Exercice 1.8. Soit N une norme sur R n ; n 1 ; montrer que N n est pas di érentiable en 0 R n Exercice 1.9. Soit (E; kk 2 ) un espace préhilbertien réel ou complexe ; montrer que kk 2 est di érentiable sur E fo E g et calculer sa di érentielle Calcul di érentiel en algèbre linéaire Exercice Soit det M n (R)! R l application déterminant ; 1. Montrer que det est di érentiable et même de classe C 1 sur M n (R) 2. Montrer qu on a le formule ³ D M (det) (A) = d A (det) (M) = tr eam où e A = t Com (A) 3. Application déterminer la dérivée de l application  A t 7! det (A ti n ) Exercice Soit n 2 N 1. Montrer que GL n (R) est un ouvert de M n (R) 2. Montrer que l application f GL n (R)! GL n (R) X 7! X 1 est di érentiable et calculer sa di érentielle. Exercice Soit f M n (R)! M n (R) X 7! X 2 Montrer que f est di érentiable et calculer sa di érentielle. Généraliser à X 7! X k Exercice Soit f M n (R)! M n (R) A 7! t AA 1. Montrer que f est di érentiable et calculer sa di érentielle. 2. Établir que le noyau de df A est dé ni par ker df A = H 2 M n (R) ; t AH est antisymétrique ª Exercice Soit f R 2! R 2 de classe C 2 1. On suppose que pour tout M 2 R 2 ; df M 2 SO R 2 Montrer que f est une rotation a ne du plan. 2. Et si pour tout M 2 R 2 ; df M 2 O R 2? P. Estézet 2

3 Exercice Soit (E; h; i) un espace euclidien. On dit que f E! E; de classe C k k 2; est une isométrie in nitésimale de E; si pour tout M 2 E; df M 2 O (E) 1. Montrer que la condition précédente peut s écrire En déduire que pour tout u; v; w 2 E 8M 2 E; 8u; v 2 E; hd u f (M) ; D v f (M)i = hu; vi D 2 w;uf (M) ; D v f (M) D u f (M) ; D 2 w;vf (M) = 0 2. Lemme des Tresses soit ' E 3! R trilinéaire, symétrique en v; w et antisymétrique en u; v Montrer que ' = 0 3. Appliquer ce qui précède à (u; v; w) 7! D u f (M) ; D 2 w;vf (M) En déduire que, df M étant injective, que pour tout w; v D 2 w;uf (M) = 0; puis que f est a ne et en n que f est une isométrie a ne de E 2. Laplacien et fonctions harmoniques Dé nition 2.1. On appelle laplacien d une application f U! R (x; y) 7! f(x; y) (resp. f U! R (x; y; z) 7! f(x; y; z) ) de classe C 2 sur un ouvert U de R 2 (resp. R 3 ); l application notée f et dé nie par f ). Dans ces conditions f est dite harmonique si f = 0 Exercice 2.1. Exemples. 1. Soit f R 2! R dé nie par f(x; y) = ln e ze z z = x + iy Montrer que f est harmonique sur R 2 2. Montrer que si f est harmonique et de classe C 3 @y sont harmoniques sur R2 3. Véri er que f (x; y; z) 7! arctan y x + arctan z y + arctan x z est harmonique sur R R R Exercice 2.2. On considère f la composition On suppose que F est de classe C ; R 3 r F! R! R (x; y; z) 7! p x 2 + y 2 + z 2 7! f((x; y; z)) = (F ± r) ((x; y; 2 2 ; en fonction de df 2 ; ; en fonstions de d2 F dr ; df 2 dr et r P. Estézet 3

4 3. Montrer que pour tout r 6= 0 et pour tout M(x; y; z) 2 R 3 on a f = d2 F dr r df dr 4. En déduire toutes les fonctions F telles que f est harmonique sur R 3 Exercice 2.3. Soit f R 2! R de classe C 2 et R 2! R 2 (r; µ) 7! (x; y) x = r cos µ y = r sin µ Expliciter les dérivées partielles secondes de F = f ± En déduire que f F r 2 + qu on appelle l expression du laplacien en coordonnées polaires. 3. Équations aux dérivées partielles Exercice 3.1. Soit (a; b; c) 2 R 3 f(0; 0; 0)g ; existe-t-il ( ; ) 2 R 2 6= tel que le changement de variable R 2! R 2 u = x + y (x; y) 7! (u; v) v = x + y telle que (e) f 2 = 0 () Résoudre (e) dans ce cas ; envisager le cas particulier b 2 ac = 2 = 0 f = F ± Exercice 3.2. Résoudre les E D P suivantes, en utisant le changement de variable indiqué 1 = p x 2 + y 2 ; 2 = x = 0 3 = 2 y f 4 = x = 0 en passant en polaires. x = u x > 0 y = uv x = = 2 y2 x 2 + v 2 y = u + v u = x y x > 0; y > 0 v = xy 4. Extremum Exercice 4.1. Déterminer les extrema de la fonction f R! R (x; y) 7! xy(1 x y) Soit T le compact dé ni par T = f(x; y); x 0; y 0; x + y 1g ; interpréter le résultat en termes de produit des distances du point de coordonnées (x; y) aux côtés du triangle délimitant T P. Estézet 4

5 Exercice 4.2. On considère, dans un espace a ne euclidien orienté de dimension 3; les droites non coplanaires D 1 = D(A;! u ) et D 2 = D(B;! v ) Pour M = A +! u et P = B + ¹! v ; montrer que la fonction F ( ; ¹) =! MP atteint un minimum dont on précisera la valeur en fonction de! AB;! u ;! v pour un unique couple (M 1 ; P 1 ) 2 D 1 D 2 tel que la droite M 1 P 1 soit perpendiculaire commune aux deux droites D 1 et D 2 Exercice 4.3. Déterminer les extrema des fonctions f (x; y) 7! f(x; y) dé nies par les expressions suivantes 1 x 2 + xy + y 2 + 2x + 3y 2 x 3 + 3xy 2 15x 12y 3 xy 2 (1 x y)) 2 4 x 3 + y 3 15xy 5 x 4 + y 4 4 (x y) 2 6 x 2 y x 1 3 y 7 x 2 y + ln(1 + y 2 ) 8 x 2 (1 + y) 3 + y 4 9 2x 4 3x 2 y + y 2 Exercice 4.4. Soit f (x; y; z) 7! f(x; y; z) dé nie par l expression suivante f(x; y; z) = x2 2 + xyz + y z 1. Montrer que f n admet qu un seul point critique M 0 = (1; 1; 1) 2. Établir que f n admet pas d extremum local sur R 3 Exercice 4.5. Véri er que f(0; 0; 0) est un minimum local pour f x 7! x 2 + y 2 + z 2 2xyz Exercice 4.6. Déterminer les extrema de la fonction f (x; y; z) 7! xye z + yze x + zxe y. Exercice 4.7. Une boîte en forme de parallélépipède rectangle, sans couvercle, a une q surface totale q égale S à S Trouver, en fonction de S; les dimensions optimisant son volume (Rep x = y = 3 et z = 1 S 2 3 ). Exercice 4.8. Comment doit-on choisir un triangle A 1 A 2 A 3 (véritable! ) pour que la somme des distances d un point intérieur au triangle aux trois côtés de celui-ci soit constante? Indication! n 1 ;! n 2 ;! n 3 désignant des vecteurs unitaires orthogonaux à des côtés bien choisis et convenablement orientés, on di érentiera f(m) =! n 1! MA 1 +! n 2! MA 2 +! n 3! MA 3 et on interprétera géométriquement la condition! n1 +! n 2 +! n 3 =! 0 P. Estézet 5