Exercice n 19 : Fonctions exponentielles

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1 Eercice n 9 : Fonctions eponentielles D-. a. Trace le graphique de la fonction f() =. b. Indique le domaine et l image de la fonction. c. Si les valeurs de augmentent, qu arrive-t-il au valeurs de y?. a. Trace les graphiques des fonctions f( ) = et f( ) =. b. Décris les similitudes entre les deu graphiques. c. En quoi les deu graphiques sont-ils différents?. a. Trace le graphique de la fonction f() = ( ). b. Indique le domaine et l image de la fonction. c. Trouve l abscisse et l ordonnée à l origine de la fonction. 4. Trace les graphiques de f() = 5, de g() = 5, et de h() = 5 sur la même série d aes. 5. À partir du graphique de f() =, calcule la valeur de : a., b. 5, 6. À partir du graphique de f() =, trouve la valeur de k si on te donne les coordonnées suivantes : a. (k, 6) b. (k, 0) 7. a. Trace les graphiques de f() = 4, de g() = 4 et de h() = 4. b. En quoi ces trois graphiques sont-ils différents? 8. a. Trace le graphique de la fonction f() =. b. Trouve la réciproque de f() = et trace son graphique. 9. Prouve l identité suivante : cos + tan θ = sin θ θ cos θ 0. Trouve la valeur de θ dans l équation suivante si 0 θ π : tan θ + sec θ =.. Trace le graphique de y = sin 4 si 0 π. π. Trace le graphique de y = cos θ si 0 θ π. page 44 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S

2 Eercice n 9 : Fonctions eponentielles D-. Trace le graphique de y=. 4. Trace les graphiques des fonctions suivantes : a. y= + b. y= + 5. Trace le graphique de y= 4. y 6. Ce graphique représente y = f(). Trace le graphique de y = f(). (, 0) (, 0) (0, ) π 7. Soit sin (t) = ; trouve les coordonnées de de P(t) si π t Trouve la valeur de θ si sin θ = cos θ pour l intervalle 0 θ π. ( 4, ) 9. Ce graphique représente y= f( ). Trace le graphique de y= f( ). (4, 0) (0, ) π 5π 9π 0. Un courbe sinusoïdale passe par les points, et, et atteint 4 0, 4 0, 4, 0 π une valeur maimale au point,. Trouve une équation pour cette courbe en 4 termes de sinus et une deuième équation en termes de cosinus. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 45

3 Eercice n 0 : Résolution d équations eponentielles D- Pour les questions à 8, trouve la valeur de dans l équation donnée.. =. 5 = = = = ( ) = = = 6 9. Seulement deu des trois fonctions données sont équivalentes. Détermine lesquelles. a. y = b. y = c. y = 0. Utilise le graphique de la fonction f() = 4 pour tracer le graphique de g() = 4 et de h() = 4.. Trace le graphique de la fonction f() =. Indique l abscisse et l ordonnée à l origine.. Trace le graphique de la fonction f() =. Indique l abscisse et l ordonnée à l origine, les asymptotes, le domaine et l image.. Prouve l identité suivante : sec csc sec = page 46 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S

4 Eercice n 0 : Résolution d équations eponentielles D- 4. Si f( ) = 9, trace le graphique de y=. f 5. Indique si tan θ est une fonction paire ou impaire en utilisant l équation tan ( θ) = tan (0 θ). ( ) π 6. Si sin + + cos + 5 π θ θ 6 de A et de B. = A sin θ + B cos θ, trouve les valeurs numériques 7. Trace le graphique de y = sinθ pour l intervalle π θ π. 8. Trace le graphique de y = cos (θ π) pour l intervalle 0 θ π. 9. Ce graphique représente la fonction y = f(). Trace le graphique de la fonction y = f(). 0. Utilise le graphique de la question 9 pour tracer le graphique de y = f() +. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 47

5 Eercice n : Fonctions logarithmiques D-, D-4. Eprime chacune des équations suivantes sous forme logarithmique : a. 4 = 8 b. 6 = 4 c. = 4 6 d. = 8. Eprime chacune des équations suivantes sous forme eponentielle : a. log 6 = 4 b. log 4 64 = c. log 0 0,0 = d. log 5 = 5. Calcule chacune des epressions suivantes : a. log 4 6 b. log 9 c. log 8 d. log (log 9) 4. Trace le graphique de f() = et de sa réciproque, f (). 5. Trace le graphique de f() = log ( ) et indique le domaine, l image, les coordonnées à l origine et les asymptotes. 6. Trace le graphique de f() = log 5 () + et indique le domaine, l image, les coordonnées à l origine et les asymptotes. 7. Trace le graphique de f() = log 4 ( ) et indique le domaine, l image, les coordonnées à l origine et les asymptotes. 8. Trace le graphique de f() = log 4 ( ) + et indique le domaine, l image, les coordonnées à l origine et les asymptotes. Pour les questions 9 à, trouve la valeur de dans les équations données. 9. = = 64. = 64 4 page 48 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S

6 Eercice n : Fonctions logarithmiques C-, C-4. = Trace le graphique de f() =. Indique les asymptotes, l abscisse et l ordonnée à l origine, le domaine et l image. 4. Trace le graphique de f() =. Indique le domaine, l image, les asymptotes et l ordonnée à l origine. 5. Trace le graphique de y = sin(θ + π) pour l intervalle 0 θ π. 6. Trace le graphique de y = Trace le graphique de y = Trace le graphique de y = Résous l équation : sin θ + sin θ cos θ = 0 si 0 θ π. 0. Si cos θ = 0,49 où 0 θ 4π, trouve toutes les valeurs possibles de θ. Arrondis les réponses à décimales près. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 49

7 Eercice n : Théorèmes des logarithmes I D-5. Écris les epressions suivantes sous forme d un logarithme simple : a. log + log 4 4 b. 4 log log( + )+ log ( ). Écris les epressions suivantes sous forme d un logarithme simple : a. log08 b. log log y 4log t+ log b. Utilise la loi des logarithmes pour réécrire chacune des epressions suivantes : a. log ( y) 4 b. log y 6 z c. log ( 6) 6 d. log 5 ( y) 4. Prouve que log a MN = log a M+log a N. 5. Trace le graphique de y = log log 5 6. Eprime log 6 en termes de log Soit log 8 = 0, et log 8 = 0,58 ; utilise les propriétés des logarithmes pour trouver log 8 et log ab 8. Écris l epression suivante en termes de log a, log b et log c : log. 6 5c 9. Eprime chacun des énoncés suivants sous forme logarithmique : a. 6 4 = 96 b. 5 = 5 0. Eprime chacun des énoncés suivants sous forme eponentielle : a. log 8 64 = b. log 4 = 64 page 50 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S

8 Eercice n : Théorèmes des logarithmes I ( ) = ( ). Trace le graphique de f log à l origine et les asymptotes de la fonction.. Trouve la valeur des epressions suivantes : D-5. Indique le domaine, l image, les coordonnées a. log 64. Trouve la valeur de 9 : =. 7 b. log 8 = 4. Trouve la valeur de : 9 = Trouve le domaine, l image, l abscisse à l origine et l ordonnée à l origine pour les graphiques de y= et de y= ( ). 6. sec tan Prouve l identité suivante : = sin. + cot 7. Résous l équation tan θ + sec θ = si 0 θ π. 8. a. Trace le graphique de y = sin π. b. Quelle est la période de cette fonction? 9. a. Trace le graphique de y = cos( + π). b. Quelle est la période de cette fonction? c. Quel est le déphasage (translation horizontale)? 0. a. Trace le graphique de y =. b. Trace le graphique de y = +. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 5

9 Eercice n : Théorèmes des logarithmes II D-5. Écris chacune des epressions suivantes sous forme d un seul logarithme : a. log 5 + log 7 + log 6 b. log log 5 6 log 5. Écris chacune des epressions suivantes sous forme d un seul logarithme : ( ) a. log 7 log 4+ log 5 b. log 4 + log 7. Soit log b = 0,00; log b = 0,477; log b 7 = 0,845. Trouve la valeur des epressions suivantes : a. log b 6 b. log b 4 c. log b 4 d. log b Prouve que : log b = log log a a b 5. Vrai ou fau? log a log b = log a log b 6. Calcule log 8 7 à si places décimales. 7. Développe l epression suivante sous forme d une somme et d une différence d epressions logarithmiques. b c+ log a 4d 8. Eprime l énoncé suivant sous forme d un seul logarithme. 4 log log y + log t 4 log k 9. Trouve la valeur de : 5 + = 5 0. Trouve la valeur de : + = 6 page 5 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S

10 Eercice n : Théorèmes des logarithmes II D-5. Eprime l équation suivante sous forme de logarithme : =. Eprime l équation suivante sous forme eponentielle : log = 5. Trouve la valeur de θ dans l équation suivante si le domaine correspond à l ensemble des nombres réels. cos θ + sin θ + sin θ = 4 4. Trace le graphique de y = 4 cos(π + π). 5. a. Trace le graphique de y =. b. Trace le graphique de y =. c. Trace le graphique de y =. 6 Trace le graphique de y = + sin. 7. Trouve la valeur de θ en degrés Si f() = +, trouve f (). 9. Question à choi multiple. Laquelle des équations suivantes représente une relation où y est une fonction de? a. + y = b. + y = c. + y = y d. y = 6 0. Trace le graphique de ( ) = 9. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 5

11 Eercice n 4 : Équations eponentielles et logarithmiques I D-6. Résous et vérifie ta réponse : a. log 5 = b. log 5 = c. log 6 4 =. Résous et vérifie ta réponse : a. log 4 = b. log 4 = 4 c. log 7 =. Lesquelles des équations suivantes ont la même solution? a. log 6 = 4 b. log = c. log 6 = d. log = 5 4. Effectue les calculs suivants : a. log = b. 7 log 9 = ( ) c. log log = Résous et vérifie ta réponse pour chacune des équations suivantes : a. log 5 = 4 b. log log 4 = log c. 5 = 6. Résous et vérifie ta réponse : log 5 ( 4) = 7. Résous et vérifie ta réponse : log = 8. Résous et vérifie ta réponse : log( + ) + log = 9. Quelles sont les deu fonctions équivalentes parmi les fonctions suivantes : a. f() = b. f() = 4 c. f() = 4 0. Trouve la valeur de : 4 6 = 64 page 54 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S

12 Eercice n 4 : Équations eponentielles et logarithmiques I D-6. Trouve les valeurs de cot θ si cos θ = et que sin θ < Trace le graphique de y = log ( ) et indique le domaine, l image, les coordonnées à l origine et les asymptotes.. Prouve l identité suivante : tan + tan = sec csc π 4. Trace le graphique de y= sin Trace le graphique de y =. 6. Trace le graphique de y = Résous l équation suivante : ( + ) = ( ) Trouve l équation du graphique de cette fonction. π π,0 π,0 π π 9. Trouve la réciproque de la fonction f( ) =. 0. Montre que log( sin 60º ) = ( log log 4). MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 55

13 Eercice n 5 : Équations eponentielles et logarithmiques II D-6 Pour les questions à 5, résous et vérifie ta réponse.. log ( 4)+ log ( ) = 4. log log 5. log + log Pour les questions 6 à 8, résous et arrondis à deu places décimales = = 8. log ( + ) log ( ) = log + log log = 9. Résous : = 5 0. Vérifie que : log = log 5 5 Pour les questions à 4, trouve la valeur de.. log 0 0 =. log 7 = 9 7. log 0 0,000 = ( ) = ( ) ( ) = ( ) = 4. log 6 + log 9 = log page 56 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S

14 Eercice n 5 : Équations eponentielles et logarithmiques II D-6 5. Résous : π 8 6. Si 0 < θ < et sin θ =, trouve la valeur eacte de P(θ) sur le cercle 9 unitaire. 7. Trace le graphique de y =. = 8. Trace le graphique de y = + ( ). 9. Effectue la conversion de 5,5 radians en degrés. 0. Certaines fonctions trigonométriques de θ, en radians, pour un intervalle 4π 0 θ π valent. Une de ces valeurs est sin. Trouve toutes les autres réponses possibles. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 57

15 Eercice n 6 : Logarithmes naturels. Trouve la valeur de : a. e 5,4 b., e 067 c. ln(9,4) d. ln(0,006) D-7, D-8. Trace le graphique de f() = et de g() = sur les mêmes aes. À quel endroit s inscrirait le graphique de h() = e?. Trace le graphique de f() = e, g() = e et de h() = e. Indique le domaine, l image, les coordonnées à l origine et les asymptotes de chacune de ces fonctions. 4. Trace le graphique de f() = e. Trace le graphique de la réciproque de f() = e. Indique le domaine, l image, les coordonnées à l origine et les asymptotes de chacune de ces fonctions. 5. Utilise les lois des logarithmes pour formuler ln(f()) sous forme d une epression de logarithmes naturels. a. f( )= + 6. Résous : ( ) ( + ) ( ) b. f( ) = a. e 0,0 = 7 b. e ln( ) = ( ) c. ln e + = d. e 0, t 7. Une substance radioactive se désintègre selon la formule y= A e où y représente la quantité de matière restante après t années. a. Si la quantité initiale de matière A est de 80 grammes, quelle est la quantité qui reste après années? b. La période radioactive ou demi-vie d une substance est le temps nécessaire à la moitié de ses atomes pour se désintégrer. Trouve la demi-vie de cette substance si A = 80 grammes. 8. Supposons qu un montant de 000 $ est placé à un tau de 0 %, et que les intérêts sont capitalisés de façon continue. Combien faudra-t-il de temps avant que la valeur de ce placement double? 9. Trouve la valeur de n : 5 n + = 65 ( ) page 58 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S = 5 +

16 Eercice n 6 : Logarithmes naturels D-7, D Eprime l équation suivante sous forme logarithmique : = 6.. Prouve l identité suivante : cos θ sec = cos θ θ. Trouve la valeur de. Vérifie ta réponse : log 8 =. Trouve la valeur de. Vérifie ta réponse : log 5n 5n = 4. Trouve la valeur de. Vérifie ta réponse : log ( + )+ log ( ) = Trouve la valeur de. Vérifie ta réponse : log( ) log( + + ) = 6. Développe l epression suivante en utilisant les lois des logarithmes. ( ) ( ) log Trace le graphique de y = + sin θ Résous : = Trouve les valeurs de A, B et C de façon que le maimum de y = A sin( + B) + C soit situé au point (0,0). π 7π 0. Si sin θ + + cos θ = P sin θ + Q cos θ, trouve les valeurs numériques de 4 6 P et de Q. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 59

17 Eercice n 7 : Applications de la fonction eponentielle D-8. Transforme chaque epression en logarithmes d une epression simple. a. ln ln( ) ln +. Trouve la valeur de k. Eprime ta réponse en termes de logarithmes naturels. a = 50e k b. ( ) b. ln( ) ln( + + ). Un investissement de $, placé à un tau de 8,4 %, rapporte des intérêts composés mensuellement. a. Quelle est la valeur de cet investissement après un an? b. Quelle est la valeur de cet investissement après 0 ans? c. Combien d intérêts ont été versés en di ans? d. Quel montant faudrait-il investir maintenant pour disposer de $ dans cinq ans, si le tau est de 8,4 % et que les intérêts sont composés mensuellement? 4. La population de rats des sables d un champ peut être représentée par l équation : P = 00(,) n où n est mesuré en années. Trace le graphique de cette équation pour une période de di ans. Combien y aura-t-il de rats des sables après 0 ans? Combien faudra-t-il de temps pour que la population de rats des sables double? 5. Supposons qu un montant de 000 $ est placé à un tau de 8 % composé continuellement. Combien faudra-t-il de temps pour que ce placement triple? 6. Une substance radioactive se désintègre selon la formule : y = Ae k où représente le temps écoulé en années. La quantité initiale de matière A est de 0 grammes, et il en reste 8 grammes après 5 ans. a. Trouve la valeur de k. (Eprime ta réponse sous forme de logarithmes naturels.) b. Calcule la quantité de matière qui reste après 0 ans. A = Ae 4k c. Trouve la demi-vie de cette substance au diième d année le plus proche. page 60 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S

18 Eercice n 7 : Applications de la fonction eponentielle D-8 7. Lorsqu on a étudié pour la première fois la croissance démographique d une ville quelconque, sa population était de 000 habitants. Cinq ans plus tard, elle est de habitants. Si la population croît de manière eponentielle, combien faudra-t-il de temps pour qu elle double? 8. Le ph d une substance est défini par l équation : + + ph log H où H représente la concentration des ions d hydrogène en moles + par litre. Trouve sa concentration en ions H si le ph d une substance est de 6,6. = [ ] [ ] 9. a. Trace le graphique de la fonction suivante : y = b. Indique l abscisse et l ordonnée à l origine. 0. Prouve l identité suivante : sin csc + cos sec =. Résous l équation suivante et vérifie ta réponse : log = 9 7. Résous l équation suivante et vérifie ta réponse : log = 5 5. Si 5( ) = 47, trouve la valeur de : a. en utilisant les logarithmes à la base 0 ; b. en utilisant les logarithmes à la base e. 4. Trace le graphique de y =. 5. Dans le même système de coordonnées, trace les graphiques de : y = ; y = et y =. Qu' observes - tu? (L' utilisation de la calculatrice à affichage graphique est recommandée.) 6. Si f() =, trouve f (). 7. Trouve toutes les valeurs possibles de θ, pour l intervalle 0 θ π de façon que 5 sin θ cos θ + 0 = 0. MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S EXERCICES CUMULATIFS page 6

19 Eercice n 7 : Applications de la fonction eponentielle D-8 8. Si a+ b= 8, et que ab= 0, trouve la valeur de +. a b 9. Question à choi multiple. Laquelle des epressions suivantes n est pas équivalente à tan? a. tan( + π) b. tan( π) π c. cot π d. cot + 0. Trouve la valeur de : 5 = 7 page 6 EXERCICES CUMULATIFS MATHÉMATIQUES PRÉ-CALCUL 40S