Contrôle 3 de mathématiques approfondies

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1 SIO 1 1 heure 11 janvier 217 Exercice I Contrôle 3 de mathématiques approfondies Une entreprise, qui fabrique et vend des ordinateurs sur commande, modélise le bénéfice en euros pour x ordinateurs fabriqués et vendus en une journée, par la fonction : f(x) = x 3 x 2 + 9x 5. L entreprise ne pouvant construire plus de 3 ordinateurs par jour, on aura x (a) Calculer le bénéfice pour 4 puis pour 1 ordinateurs. (b) Calculer f (x), où f désigne la fonction dérivée de f. (c) Dresser, après avoir étudié le signe de f, le tableau de variation de f. (d) En déduire combien d ordinateurs l entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour pour avoir un bénéfice maximal. Donner ce bénéfice. 2. La courbe donnée ci-dessous représente l évolution du bénéfice en fonction du nombre d ordinateurs fabriqués et vendus en une journée suivant le modèle choisi par l entreprise. 4 3 Bénéfice (en euros) Ordinateurs fabriqués (a) Par lecture graphique, déterminer combien l entreprise doit fabriquer et vendre d ordinateurs en une journée si elle veut un bénéfice d au moins 2 5 AC. (b) Une grande surface veut acheter des ordinateurs. Elle propose au choix deux contrats à cette entreprise : contrat A : acheter 3 ordinateurs à fabriquer en dix jours ; contrat B : acheter 1 ordinateurs à fabriquer en cinq jours. Quel contrat l entreprise a-t-elle intérêt à choisir? (Justifier votre réponse). Exercice II f est la fonction définie sur [ 1 ; 1] par f(x) = x2 + 5x 3x + 5. Déterminer une équation de la tangente à la courbe de f en x =. On pourra utiliser le résultat fourni par un logiciel de calcul formel :

2 Exercice III On s intéresse à la trajectoire d un ballon de basket-ball lancé par un joueur faisant face au panneau. Cette trajectoire est modélisée dans le repère ci-dessous. Dans ce repère, l axe des abscisses correspond à la droite passant par les pieds du joueur et la base du panneau, l unité sur les deux axes est le mètre. On suppose que la position initiale du ballon se trouve au point J et que la position du panier se trouve au point P. La trajectoire du ballon est assimilée à la courbe C représentant une fonction f. Les coordonnées du ballon sont donc (x ; f(x)). 1. Étude graphique En exploitant la figure ci-dessous, répondre aux questions suivantes : (a) Quelle est la hauteur du ballon lorsque x =,5 m? (b) Le ballon atteint-il la hauteur de 5,5 m? Hauteur en mètres J C P B A Distance en mètres 2. Étude de la fonction f La fonction f est définie sur l intervalle [ ; ] par f(x) =,4x 2 + 2,2x + 2. (a) Calculer f (x) où f est la dérivée de la fonction f. (b) Etudier le signe de f (x) et en déduire le tableau de variations de f sur l intervalle [ ; ]. (c) Quelle est la hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancer? 3. Modification du lancer En réalité, le panneau, représenté par le segment [AB], se trouve à une distance de 5,3 m du joueur. Le point A est à une hauteur de 2,9 m et le point B est à une hauteur de 3,5 m. Le joueur décide de modifier son lancer pour tenter de faire rebondir le ballon sur le panneau. Il effectue alors deux lancers successifs. Dans le premier lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction g définie sur l intervalle [ ; ] par g(x) =,2x 2 + 1,2x + 2. Dans le second lancer, la trajectoire du ballon est modélisée par la fonction h définie sur l intervalle [ ; ] par h(x) =,3x 2 + 1,8x + 2. Pour chacun de ces deux lancers, déterminer si le ballon rebondit ou non sur le panneau.

3 SIO 1 1 heure 11 janvier 217 Corrigé du contrôle 3 de mathématiques approfondies Exercice I Le bénéfice en euros pour x ordinateurs fabriqués et vendus en une journée, est : f(x) = x 3 x 2 + 9x (a) Calculons le bénéfice pour 4 puis pour 1 ordinateurs. f(4) = = 2 24, f(1) = 3 5. Le bénéfice pour 4 ordinateurs est de 2 24 euros et pour 1 ordinateurs de 3 5 euros. (b) Calculons f (x), où f désigne la fonction dérivée de f. f (x) = 3x 2 2x + 9 = 3x 2 12x + 9 (c) Pour étudier le signe de f (x), on calcule Δ = ( 12) = 3 >. Le polynôme admet deux racines : x 1 = 12 3 = 1 x 2 = = 3 Comme 3 >, la parabole est tournée vers le haut. f (x) est du signe de 3 (positif) sauf entre ses racines 1 et 3. Dressons maintenant, le tableau de variation de f. x f (x) f(x) (d) Pour avoir un bénéfice maximal, l entreprise doit fabriquer et vendre chaque jour 1 ordinateurs. Le bénéfice s élèvera alors à 3 5 euros. 2. (a) Par lecture graphique, déterminons combien d ordinateurs l entreprise doit fabriquer et vendre en une journée si elle veut un bénéfice d au moins 2 5 AC. Les solutions devant être entières, l entreprise doit fabriquer et vendre entre 5 et 1 ordinateurs par jour. (b) Une grande surface veut acheter des ordinateurs. Elle propose au choix deux contrats à cette entreprise : contrat A : acheter 3 ordinateurs à fabriquer en dix jours ; contrat B : acheter 1 ordinateurs à fabriquer en cinq jours. L entreprise a intérêt à choisir le contrat B. En effet si elle choisit le contrat A, cela l obligera à fabriquer trente ordinateurs par jour et perdra par jour 5 euros, tandis qu avec, le contrat B, elle fabriquera 2 ordinateurs par jour et ainsi elle gagnera 1 5 euros par jour.

4 4 3 Bénéfice (en euros) Ordinateurs fabriqués Exercice II f est la fonction définie sur [ 1 ; 1] par f(x) = x2 + 5x 3x + 5. Une équation de la tangente à la courbe de f en x = est D une part, y = f ()(x ) + f() f() = = Le résultat fourni par un logiciel de calcul formel nous permet de calculer f () : Une équation de la tangente demandée est Exercice III 1. Étude graphique f () = (2 + 5 ) ( 3) (3 + 5) 2 = 1 y = 1(x ) + y = x (a) La hauteur du ballon lorsque x =,5 m est d environ 3 mètres. Nous lisons l ordonnée du point d abscisse,5. (b) Le ballon n atteint pas la hauteur de 5,5 m car il n y a pas de points d intersection entre la courbe et la droite d équation y = 5,5. 2. Étude de la fonction f La fonction f est définie sur l intervalle [ ; ] par f(x) =,4x 2 + 2,2x + 2. (a) Déterminons f (x) où f est la dérivée de la fonction f. f (x) =,4 2x + 2,2 =,8x + 2,2.

5 (b) Étudions le signe de f (x). C est une fonction affine qui s annule en 2,75, positive avant et négative après. Si on veut le prouver, on résout par exemple,8x + 2,2 > qui équivaut à x < 2,2,8 = 2,75. Dressons le tableau de variations de f sur l intervalle [ ; ]. x f (x) 2,75 + f 2 5,25,8 (c) La hauteur maximale atteinte par le ballon lors de ce lancer est de 5,25 m. 3. Modification du lancer Pour chacun des deux lancers, déterminons si le ballon rebondit ou non sur le panneau. La hauteur g(5,3) ou h(5,3) doit être comprise entre 2,9 m et 3,5 m. premier lancer : calculons g(5,3). g(5,3) =,2 (5,3) 2 + 1,2 5,3 + 2 = 2,742. Le ballon ne rebondit pas sur le panneau. second lancer : calculons h(5,3). h(5,3) =,3 (5,3) 2 +1,8 5,3+2 = 3,113. Le ballon rebondit sur le panneau.