Stéphane Guyon Correction Plan de Travail équations de droites - pnuméro de page/statistiques Lycée Bellevue

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1 Correction Plan de travail équations de droites : Calcul du coefficient directeur d une droite Exercice 10: On considère (O; i ; j) un repère du plan. Déterminer, si possible, le coefficient directeur de la droite (AB) dans les cas suivants : 1. A( ; 1) ; B(5 ; ) m y B y A ( 1) 5. A ( 4 ; 1 ) m y B y A ( 1 ) 5 ( 4 ) B ( 5 ; ) A( ; ) B( ; 1) Comme x A x B, la droite est verticale, elle n a pas de coefficient directeur. Déterminer une équation d une droite Exercice 10: On considère (O; i ; j) un repère du plan. Déterminer l'équation de la droite (AB) dans les cas suivants : 1. A(0 ; 1) ; B(;) m y B y A ( 1) donc (AB): y x+ p On cherche p Comme A ( AB), x0 et y 1 vérifient l équation : 1 0+ p qui donne p 1 et au final : (AB): y x 1. A( ; ) ; B(4;1) m y B y A 1 ( ) 4 ( ) 4 6 donc (AB): y x+ p On cherche p Comme A ( AB), x et y vérifient l équation : ( )+ p qui donne p et au final : (AB): y x 5. A( ; 1) et B(4 ; 1) Comme y A y B 1, la droite est horizontale et (AB): y 1 4. A(;5) et B( ;7) Comme x A x B, la droite est verticale et (AB): x Exercice 11:

2 On considère (O; i ; j) un repère du plan. Déterminer le réel p tel que le point A(0 ; 1) appartienne à la droite (d ) d équation y x + p On a (d ): y x+ p. On cherche p Comme A (d ), x0 et y 1 vérifient l équation : p qui donne p 1 et au final : (d ): y x 1 Exercice 1: On considère (O; i ; j) un repère du plan. Déterminer l équation de la droite (d ) passant par le point A( ; ) et de coefficient directeur -. On a le coefficient directeur de (d ) qui vaut - donc m et (d ): y x+ p. On cherche p Comme A (d ), x et y vérifient l équation : + p qui donne p +6 et au final : (d ): y x + Exercice 1: On considère (O; i ; j) un repère du plan. Déterminer le réel m tel que le point A( 1;) appartienne à la droite (d ) d équation ym x 4 On a (d ): ym x 4. On cherche m Comme A (d ), x 1 et y vérifient l équation : m ( 1) 4 qui donne m 6 et au final : (d ): y 6 x 4 Points alignés et droites parallèles Exercice 14 : On considère (O; i ; j) un repère du plan. 1. Les points A( ; 1) ; B( 1; 9) et C (1; 5) sont-ils alignés? Pour savoir si les points A, B et C sont alignés, on cherche à savoir si les droites (AB) et (AC) sont parallèles. Comme x A x B et x A x C, les deux droites ne sont pas verticales, on peut calculer leur coefficient directeur : Pour (AB) : m 1 y B y A 9 ( 1) Pour (AC) : m y C y A 5 ( 1) 4 x C x A 1 On observe que m 1 m Par conséquent les droites (AB) et (AC) sont parallèles Les points A,B et C sont donc alignés. Les points D(5 ; 16 7 ) ; E (1 ;0) et F ( 9; 1 8 ) sont-ils alignés? Pour savoir si les points D,E,F sont alignés, on cherche à savoir si les droites (DE) et (DF) sont parallèles. Comme x D x E et x D x F, les deux droites ne sont pas verticales, on peut calculer leur coefficient directeur : Pour (DE) : m 1 y 0 ( 16 D y E 7 ) 16 x D x E Pour (DF) : m y D y F x D x F 8 ( 16 7 ) On observe que m 1 m Par conséquent les droites (AB) et (AC) sont pas parallèles Les points A,B et C ne sont donc pas alignés

3 Exercice 15 : On considère (O; i ; j) un repère du plan. Dans les cas suivants, dire si les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 1. A(5; 1) ; B( 1; ) ; C ( 5;) ; D(1;) Pour savoir si les droites (AB) et (CD) sont parallèles, on calcule leur coefficient directeur respectif : Comme x A x B et x D x C, les deux droites ne sont pas verticales, on peut calculer leur coefficient directeur : Pour (AB) : m 1 y B y A ( 1) Pour (CD) : m y C y D x C x D On observe que m 1 m. A( ; 1) ; B( ;7) ; C ( 5 ; ) ; D( 5;) Comme x A x B et x C x D, les deux droites sont verticales,. A(5; ) ; B( 1; ) ; C ( ; ) ; D(4; ) Comme y A y B et y C y D, les deux droites sont horizontales, Intersection de deux droites Exercice 16 : Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites d'équation : (d 1 ): y4 x 1 et (d ): y x + On cherche les couples de nombres (x ; y) qui vérifient à la fois (d 1 ): y4 x 1 et (d ): y x + M (x; y)(d 1 ) (d ) Cela revient à résoudre un système de deux équations à deux inconnues : y4 x 1 qui amène à l'équation 4 x 1 x+ { y x+ 6 x4 x si, x alors en remplaçant dans l'équation de (d 1 ): y4 x 1 y On vérifie que le couple ( ; 5 ) vérifie bien la deuxième équation du système : (d ): y Le système admet donc le couple ( ; 5 ) comme solution. Les deux droites sont donc sécantes en un point de coordonnées ( ; 5 ) Exercice 17 : Déterminer les coordonnées du point d'intersection des droites d'équation (AB) et (CD) tels que :

4 A(;4) ; B( ; ) ; C ( ; ) ; D(4;) On cherche une équation de la droite (AB) : Comme x A x B, la droite n est pas verticale, on peut calculer son coefficient directeur : m 1 y B y A donc (AB): y 7 x+ p On cherche p Comme A ( AB), x et y4 vérifient l équation : p qui donne p18 et au final : (AB): y 7 x+18 On cherche une équation de la droite (CD) : Comme x C x D, la droite n est pas verticale, on peut calculer son coefficient directeur : m y D y C x D x C 4 ( ) 1 6 donc (CD): y 1 x+ p On cherche p 6 Comme C ( AB), x et y vérifient l équation : p qui donne p+ 6 7 et au final : (CD): y 1 6 x+ 7 On cherche les couples de nombres (x ; y) qui vérifient à la fois (AB): y 7 x+18 et (CD): y 1 6 x+ 7 Cela revient à résoudre un système de deux équations à deux inconnues : { y 7 x+18 y 1 6 x+ 7 qui amène à l'équation 7 x x x x 94 4 si, x 94 alors en remplaçant dans l'équation de (AB): y 7 x+18 4 y On vérifie que le couple ( 94 4 ; 116 ) vérifie bien la deuxième équation du système : 4 (CD): y Le système admet donc le couple ( 94 4 ; 116 ) comme solution. 4 Les deux droites sont donc sécantes en un point de coordonnées ( 94 4 ; ) Synthèse équations de droites Exercice 18 : On considère dans un repère (O; i ; j) du plan, la droite d'équation : (d 1 ): y x 4 et la droite (d ) passant par le point P (; 5) et coupant (d 1 ) sur l axe des ordonnées. Déterminer une équation de la droite (d ) la droite (d ) coupe (d 1 ) sur l axe des ordonnées, donc elles ont toutes deux la même ordonnée à l origine : p 4

5 d où l équation de la droite (d ) est du type : (d ): ym x 4 or P (; 5) (d ) d où 5m 4 ce qui donne 1m et finalement m 1 on a donc : (d ): y 1 x 4 Exercice 19 : Dans un repère, on a les points A(- ;-), B(4 ;-) et C(;5) 1. Donner une équation de la droite (d), médiatrice de [AB].. a. Calculer les coordonnées de K milieu de [AC] b. Prouver que M(-;4) est équidistant de A et C. c. En déduire une équation de la droite (d'), médiatrice de [AC]. Déterminer les coordonnées du point I, centre du cercle circonscrit au triangle. 1. y B y A donc la droite (AB) est parallèle à l'axe des abscisses. La médiatrice de [AB] est donc parallèle à l'axe des ordonnées. Elle passe par J milieu de [AB]. J ( x A+x B ; y A+ y B ) On obtient J(1;-), l'équation de la médiatrice est donc : (d) : x1. K milieu de [AC], donc on sait que K ( x A+ x C ; y A+ y C ) d'où K ( 1 ; ). On calcule les distances AM et MC pour les comparer. On sait que AM (x M x A )²+( y M y A )² 7 de même, en appliquant la même formule, on montre que MC 7 AMMC donc M est équidistant de A et C 4. D'après la propriété vue en 6ème, comme M est équidistant de A et C, il appartient à la médiatrice de [AC], i.e. M (d ' ) K est le milieu de [AC] donc K (d ' ) On peut donc trouver l'équation de la droite (d') avec les coordonnées de deux de ses points, K et M : x K x M donc l'équation de (d') est de la forme ym x+ p m y 4 ( M y K ) 5 x M x K on a alors (d') : y 5 7 x+ p On cherche maintenant p : Comme I (d ' ), on remplace x par 1 et y par dans l'équation y 5 7 x+ p ce qui donne p d'où p et finalement (d') : y 5 1 x Le centre du cercle circonscrit d'un triangle est le point de concourance des médiatrices d'un triangle. I est donc le point d'intersection de (d) et (d') On note I(d ) (d ') { Le point I (x ; y) donc doit vérifier le système y 5 1 x+ 7 7 x1 il vient facilement { y8 7 x1 et I ( 8 7 ;1)