COURS MPSI B1. VI. FONCTIONS USUELLES R. FERRÉOL 16/17

Transcription

1 VI) FONCTIONS USUELLES. ) FONCTIONS LOGARITHME a) Introduction. On recherche des fonctions transformant des produits en sommes, i.e. f (y) =f() +f (y) Rem : si une telle fonction est définie en 0, alors elle est nulle partout, ce qui est peu intéressant. D Par contre, on va démontrer le TH : Si alorsf() = 0 et il eiste une constantektelle que,y> 0 f (y) =f() +f (y) etf est dérivable sur ]0, + [ >0 f () = k D DEF : On désigne par ln (logarithme népérien) l unique primitive de la fonction autrement dit : dt ln = t sur ]0, + [, qui s annule en, REM : la conclusion du TH ci-dessus peut donc s énoncer : k R / f =k ln D3 b) Propriétés de la fonction ln. P,y> 0 lny = ln + lny P n N >0 ln n =n ln P3 >0 ln = ln P4 n Z >0 ln n =n ln P5 r Q >0 ln r =r ln P6 la fonction ln est strictement croisssante sur ]0, + [ P7 lim ln = +, lim ln = + 0 P8 >0 ln (à bien visualiser) P9 >0 ln ( ) ln P0 lim + P lim 0 ln = 0 ln ( +) P lim = 0 D4 c) Étude de la fonction ln et définition dee. = 0 (à savoir interpréter graphiquement)

2 PROP et DEF : il eiste un unique réele> tel que lne = ; la tangente à la courbe de ln au point de coordonnées (e, ) passe paro. D5 On démontre quee, (plus facile à retenir queπ!) d) Fonctions logarithme de base a. Le théorème D3 du ) est en fait une équivalence :,y> 0 f (y) =f() +f (y) f est dérivable sur ]0, + [ k R / f =k ln D6 DEF : sia>0 et=, la fonction logarithme de baseaest l unique fonction dérivablef sur ]0, + [ vérifiant,y>0 f (y) =f() +f (y) etf(a) = Notations : log a, log 0 = log (en python : ln s écrit log, et log : log0) PROP : P >0 log a = ln lna P a,b,c>0, a,b= log a b. log b c = log a c (relation de Chasles) D7 ) Notions sur les fonctions réciproques. DEF:f est une fonction derdansrdéfinie sur une partiei der(mais pouvant être définie surun ensemble plusgrand quei) ; soitj =f(i) ={y R/ R/y=f()} l image dei parf. On dit que la restriction de f à I possède une fonction réciproque si pour tout y de J il eiste un unique élément de I tel que y =f(). Dans ce cas, on définit la fonction réciproque f de f sur I comme la fonction qui à y de J fait correspondre cet élément. On a donc y =f() avec I =f (y) avecy J ATTENTION : ne pas confondref et /f!!!!! REM : M(,y) appartient à la courbe def suri ssin(y,) appartient à la courbe def surj : ces deu courbes sont symétriques par rapport à la première bissectrice. REM: sif est strictement monotonesuri, alorsf possèdesuri une fonction réciproque, mais laréciproque est fausse. D8 * Continuité def TH : sif est strictement monotone et continue sur unintervallei, alorsf est strictement monotone de même sens que f et continue surj. D 9 (pour la monotonie seulement). * Dérivabilité def. TH : sif est strictement monotone et dérivable sur unintervalle I, alorsf est dérivable en tout pointy=f() dej tel quef ()= 0 et alors f (y) = f () = f (f (y))

3 Sif () = 0, alors la tangente à la courbe def enn(y,) est verticale. D0 (très partielle). Eemples : E : f () =, 3, 3 +, 3 3 (cf. eercice ) 3) FONCTIONS EXPONENTIELLE a) Définitions et propriétés de la fonction ep. DEF : la fonction ep est la fonction réciproque de ln : Justification de cette définition : D Propriétés : = epy y = ln D P,y ep ( +y) = epepy P ep ( ) = ep P3 r Q ep (r) = (ep) r P4 ep =e NOTATION : comme epr = e r pour r rationnel, ep est noté e pour tout réel ; les propriétés précédentes se réécrivent donc P,y e +y =e e y P e = e P3 r Q e r = (e ) r P4 e =e b) Étude de la fonction ep. PROP : l ensemble de définition de ep estr, et elle y est dérivable (donc continue). Calcul de ep : D3 ep y = epy CORO : les solutions de l équation différentielley =ay sont les fonctions du type λe a, λ R D4 D5 P6 lim + e = +, lim e = 0 e P7 lim = + (interprétation graphique) + P8 lim e = 0 e P9 lim = 0 3

4 c) Eponentielle de base a DEF : sia>0 et=, la fonction eponentielle en baseaest la réciproque de la fonction logarithme en basea: = ep a y (oua y ) y = log a PROP : R ep a =a =e lna log a (b ) = log a b D6 Remarque : il faut comprendre log a comme l eposant de a si l on eprime comme puissance de a ; par eemple, log(04) est le nombretel que 04 = 0 ; on trouve 04 = 0 3, d) Symbolea b. DEF : a 0 = quel que soita(y comprisa = 0) sibest unentier > 0a b =a.a...a quel que soita b fois 3 sibest unentier < 0a b = seulement poura= 0 a b 4 sia>0 etbquelconque,a b =e blna. REMARQUES : -a b n est donc défini pour toutbque sia>0 ; si vous devez étudier une fonction a() b() vous devrez toujours l étudier pour a() > est défini pour tout, tandis que /3 n est donc défini que pour>0!!!! PROPRIÉTÉS : a b+c =a b a c (a>0) a b c = ab a c (a>0) 3 a b c =a bc = (a c ) b (a>0) D7 Eemple de mésaventure pouvant arriver si l on ne prend pasa>0 : = ( ) = ( ) = ( ) = () = ATTENTION:a bc selita (bc),demême,enpython,a**b**cestinterprétécommea**(b**c)maisattention,surcertaines calculatrices,a b c est interprété comme (a b) c!!!! Moralité : en informatique, mieu vaut mettre les parenthèses. e) Fonctions puissances. Étude de la fonction α suivant les différentes valeur deα. D8 Eo : déterminer lim + α +β, puis lim suivant les valeurs deαetβ. +β > 0 α 4

5 4) FONCTIONS HYPERBOLIQUES a) Définitions. DEF : Les fonctions cosinus et sinus hyperbolique sont respectivement les parties paire et impaire de la fonction eponentielle : ch (ou cosh ) = e +e, sh(ou sinh) = e e Les fonctions tangente et cotangente hyperbolique sont définies par : th(ou tanh) = sh ch, coth = ch sh Remarque : th = e e e +e = e e + = e +e b) Propriétés. e. =ch + sh e =ch sh ch sh =. th = ch coth = sh ch (a +b) =chachb + shashb, ch (a b) =chachb shashb 3. sh (a +b) = sha chb +cha shb, sh (a b) = sha chb cha shb tha +thb tha thb th (a +b) =, th (a b) = +thathb thathb 4. ch = +t t, avect =th ch = ch 5. +ch = ch ch = + sh 6. ch = sh sh = shcosh = 7. sh = ch =ch + sh = +th th th th t t, avect =th D9 b) Étude de ch et sh. PROP : ch et sh sont dérivables surr, et ch = sh et sh =ch. REM : sh (0) =ch(0) = donc shu u. u 0 Tableau de variations et limites au bornes. REM : les courbes de ch et sh sont asymptotes en + à la courbe de e. Tracé des courbes. D0 5

6 c) Étude de th et coth. PROP : th est dérivable surr, et th = ch = th (à savoir par coeur). coth est dérivable surr, et coth = sh = coth (inutile de retenir). D Tableau de variations et limites au bornes. Tracé des deu courbes dans le même graphique. Pourquoi des fonctions circulaires et hyperboliques? Car elles permettent de paramétrer, les premières un cercle, les deuièmes une hyperbole, en effet : +y = t R / y = t R / = cost y = sint =±cht y = sht 5) FONCTION RECIPROQUE DE sin. DEF : la fonction arcsin (ou sin ) est la fonction réciproque de la restriction de sin à π,π : = arcsiny y [, ] y = sin π,π Justification de cette définition : D Eemples de calculs : E PROP : l ensemble de définition de arcsin est [, ], elle y est continue, mais elle n est dérivable que sur ], [. D3 Calcul de arcsin : arcsin y = y D4 CORO : ], [ 0 dt t = arcsin D 5 PROP : la fonction arcsin est impaire : [, ] arcsin ( ) = arcsin D6 6) FONCTION RECIPROQUE DE cos. DEF : la fonction arccos est la fonction réciproque de la restriction de cos à [0,π] : = arccosy y [, ] y = cos [0,π] 6

7 Justification de cette définition : D7 Eemples de calculs : E3 PROP : l ensemble de définition de arccos est [, ], elle y est continue, mais elle n est dérivable que sur ], [. D8 Tracé de la courbe ; pb du point d intersection des courbes de cos et d arccos. Calcul de arccos : arccos y = y D9 PROP : on a les relations : [, ] [, ] arccos ( ) =π arccos arccos =π/ arcsin D30 Rem : la deuième relation montre que les deu courbes sont symétriques par rapport à la droite :... Ceci fait qu on utilise plutôt la fonction arcsin, qui est impaire. 7) Fonction réciproque de tan. DEF : la fonction arctan est la fonction réciproque de la restriction de tan à Justification de cette définition : D3 Eemples de calculs : E4 = arctany y = tan ] π/,π/[ π,π : PROP : l ensemble de définition de arctan estr, et elle y est dérivable (donc continue). D3 Calcul de arctan : D33 arctan y = +y CORO : D34 PROP : la fonction arctan est impaire : R 0 dt +t = arctan R arctan ( ) = arctan 7

8 PROP : arctan = arctana + arctanb = arctan a +b ab π arctan si>0 π arctan si<0 tout court siab< +π siab> etaetb>0 π siab> etaetb<0 D35 E5 : calculer arctan + arctan ; arctan + arctan 3. 3 Eercice : définir de la même façon la fonction arccot, réciproque de cot sur ]0,π[, et montrer la relation : R arccot =π/ arctan Suite HORS PROGRAMME : FONCTIONS HYPERBOLIQUES RÉCIPROQUES. 8) FONCTION RECIPROQUE DE sh. DEF : la fonction argsh (ou argsinh) est la fonction réciproque de sh : Justification de cette définition : D36 =argshy y = sh NOTE : arg est l initiale d argument, à prendre dans le sens suivant : l argument def() est. PROP : argsh est dérivable, donc continue surr. D37 Calcul de argsh : argsh y = +y D38 CORO : R 0 dt +t =argsh PROP : la fonction argsh est impaire. 9) FONCTION RECIPROQUE DE ch. DEF : la fonction argch est la fonction réciproque de la restriction de ch à [0, + [ : Justification de cette définition : D39 =argchy y [, + [ y =ch [0, + [ PROP : l ensemble de définition de argch est [, + [, elle y est continue, mais elle n est dérivable que sur ], + [. D40 8

9 Calcul de argch : argch y = y D4 0) FONCTION RECIPROQUE DE th. DEF : la fonction argth est la fonction réciproque de th : =argthy y ], [ y =th Justification de cette définition : D4 PROP : l ensemble de définition de la fonction argth est ], [, et elle y est dérivable (donc continue). D43 Calcul de argth : D44 argth y = y PROP : la fonction argth est impaire. EXERCICE : montrer les epressions eplicites : argth = ln +, argch = ln +, argsh = ln