Chapitre 4 : Applications linéaires

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Angèle Doucet
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1 Chapitre 4 : Applications linéaires I. Applications Dans ce paragraphe, on s intéresse à des applications allant d un ensemble à un autre (sans aucune structure d espace vectoriel). Un ensemble est un «regroupement» d une liste d éléments. Une application d un ensemble vers un ensemble est la donnée, pour chaque élément de, d un élément de. L application consiste à associer ainsi un élément de à chaque élément de. L élément de qu on associe à l élément de est appelé image de par l application, qu on va noter, et on écrit =(). est alors antécédent de par. Plus généralement, on appelle antécédent par de tout élément tel que =(). Si est une application de vers, tout élément de a une image par et elle est unique. Un élément de peut avoir 0, ou plusieurs antécédents. Soit :. est injective si et seulement tout élément de admet au plus un antécédent par. Soit :. est injective si et seulement si ( )=( ) = Soit :. est surjective si et seulement tout élément de admet au moins un antécédent. Soit :. est bijective si et seulement si est à la fois injective et surjective. est bijective si et seulement si tout élément de admet un unique antécédent par. MATHS2 chap4 Page

2 II. Applications linéaires On va s intéresser à des applications d un espace vectoriel à un autre espace vectoriel qui respecte les opérations existantes dans ces espaces vectoriels. Soit et 2 espaces vectoriels sur. Soit une application de vers. est dite linéaire si et seulement si : i., (+)=()+() ii. ()=() est linéaire si et seulement si elle transforme une combinaison linéaire en la combinaison linéaire des images, c'est-à-dire :,, Soit : une application linéaire. i. (0 )=0 ii. ( )= () (+)=()+() Notation : On note (,) l ensemble des applications linéaires de vers. Lorsque =, on appelle une application linéaire de vers un endomorphisme de et on note () au lieu de (,). Notation : Soit (,) et soit un sous-espace vectoriel. On note ()=(),. Soit un sous-espace vectoriel. On note ()=, () l image réciproque de. Dans l image réciproque, le en exposant est une notation et on ne suppose pas l existence d une application réciproque. Avec ces mêmes notations : Soit un sous-espace vectoriel de, () est alors un sous-espace vectoriel de. Soit un sous-espace vectoriel de, () est alors un sous-espace vectoriel de. ()= (0 )=0 MATHS2 chap4 Page 2

3 Soit (,). i. On appelle image de, noté, le sous-espace vectoriel de constitué des images de tous les éléments de, c'est-à-dire (). ii. On appelle noyau de, noté, le sous-espace vectoriel de constitué des antécédents de 0, c'est-à-dire (0 ). i. est surjective si et seulement si =. ii. est injective si et seulement si = 0 On se place désormais dans la situation où dim et dim sont finies. On appelle rang de (,), la dimension de l image de, noté, c'est-à-dire =dim. Théorème : formule du rang Soit (,). On a alors : dim=dim =dim =dim + Ce théorème sert très souvent dans les exercices. Il permet, si on connaît la dimension du noyau, de connaître celle de l image et réciproquement. i. est surjective si et seulement si =dim. ii. est injective si et seulement si dim =0. (cas particulier des endomorphismes) Soit (). Les propriétés suivantes sont équivalentes : i. est injective. ii. est surjective. iii. est bijective. C est une conséquence du théorème du rang. III. Applications linéaires et familles de vecteurs Soit (,). Soit ( ) un famille de génératrice de. Alors, la famille ( ) ( ) est une famille génératrice de () (attention : pas de lui-même). MATHS2 chap4 Page 3

4 L image d une famille génératrice de n est pas généralement une famille génératrice de. L image d une famille libre n est pas généralement une famille libre. L image d une famille liée est toujours une famille liée. L image par d une base de n est généralement pas une base de, ni même une base de (). On peut par contre déduire de la propriété une méthode pour calculer le rang de. Soit ( ) une famille génératrice de. Alors (( ) ( )) forme une famille génératrice de () Par échelonnement, on déduit une base de. D où : dim()=dim = Et en particulier, cette méthode peut partir d une base de. Soit (,). est entièrement déterminée si on connait les images des vecteurs d une base de. En effet, tout élément de est combinaison linéaire des vecteurs de base et transformant une combinaison linéaire en une combinaison linéaire des images, on obtient le résultat. (cas particulier des endomorphismes) Soit (). Alors est bijective si et seulement si l image par d une base de est une base de. IV. Applications linéaires et matrices Soit (,) avec dim= et dim=. Soit =,,, une base de et =,,, une base de. On a vu que si on connait ( ) ( ), on connait entièrement l application linéaire. Or : ( )= De même : = ( )+ ( )+ + ( ) Ceci pour =. on a ainsi coefficients. On appelle matrice de par rapport aux bases et respectivement de et la matrice dont les coefficients sont les. Il s agit d une matrice de (). Elle a autant de lignes que dim et autant de colonnes que dim. Cette matrice est obtenue colonne par colonne, chaque colonne correspondant à un vecteur de la base dont on donne les composants dans la base. MATHS2 chap4 Page 4

5 Cette matrice est dépendantes des choix des bases et. Pour une même application linéaire, on peut avoir des matrices différentes si on choisit des bases différentes. Exemple : Soit :R R i. est-elle linéaire? + + =+ = 2(+ )+2(+)+(+ ) + (+ ) (+ )+2(+ ) = = =+ == = = est une application linéaire. ii. =? On cherche les éléments R tels que = 0 0 Ce qui se traduit par : 2+2+=0 +2=0 4 3=0 +2=0 On obtient un système échelonné de 2 équations à 3 inconnues. Par conséquent, les solutions forment un sous-espace vectoriel de dimension. MATHS2 chap4 Page 5

6 On garde comme paramètre, d où : Les solutions sont donc : = 3 4 = 2=3 4 2= = 3 = Le noyau est le sous-espace vectoriel de dimension de R dont une base est 3 4 iii. On applique le théorème du rang : dim =dim +dim On a donc : =dim =2 Donc est un sous-espace vectoriel de dimension 2 de R. Donc : dim =R est surjective (tout élément de R est atteint). iv. 0 0 On choisit sur R la base canonique 00 et sur R la base = 2 0 = 2 0 0= D où la matrice de par rapport aux bases canoniques de R et de R : = =2 0 Appelons cette matrice. On a bien (R) (autant de lignes que dim=dimr =2 et autant de colonnes que dim=dimr = = / / v. 2= =9 5 3 Or : 2= 2 2 (,) 2 2= (,) MATHS2 chap4 Page 6

7 Et plus généralement : = = Notation : la matrice (,) par rapport aux bases et est notée (). Le rang de (c'est-à-dire dim ) est égal au rang de (). Conséquences : Le rang de toute matrice représentant est le même, indépendamment du choix des bases. Soit (,) et, respectivement bases de et. On note = (). Soit () contenant les coefficients de la décomposition d un vecteur suivant. Alors () contenant les coefficients de la décomposition de () suivant est obtenue par : = Cas particulier d un endomorphisme : La matrice d un endomorphisme est une matrice carrée. Soit () avec dim=. On choisit une base de et on note = (). est bijective si et seulement si det 0. Soit () avec dim=. Soient et deux bases de et notons = () et = (). Alors : det =det On appelle déterminant d un endomorphisme () la valeur prise par le déterminant d une quelconque des matrices représentant dans une base de et on le note det. Un endomorphisme bijectif est appelé automorphisme. MATHS2 chap4 Page 7

8 V. Changement de base Soit un espace vectoriel de dimension sur. Soient et deux bases de. =,,, =,,, On peut écrire : = = = On appelle matrice de passage de la base à la base notée la matrice de () dont les coefficients sont les provenant des décompositions ci-dessus. Soient et deux bases de, espace vectoriel sur de dimension. Soit. = = Soit () contenant les coefficients de la décomposition de suivant. Soit () contenant les coefficients de la décomposition de suivant. Soit un espace vectoriel de et, deux bases de et la matrice de passage. Alors est inversible et =. Exemple : Soit =R. =(,0,0),(0,,0),(0,0,) =(,,0),(,,),(,0,0) = + +0 = + + = = Dans la base, le vecteur s écrit : Donc,, matrice représentant dans est 0. 0 MATHS2 chap4 Page 8

9 On calcule : = 00= On retrouve les coefficients de la décomposition de suivant. On veut connaitre : é On en déduit : = = +0 = + +0 Soit (,). Soient, deux bases de. Soient, deux bases de. Alors : ()= () Ou encore : ()= () Cas particulier d un endomorphisme : Soit (). Soient et deux bases de. On a alors : ()= () Conséquences : Ceci permet de vérifier que det ()=det (). En effet : det ()=det () =det det ()det Peut-on trouver un changement de base de manière à trouver une base suivant laquelle la matrice de est la plus simple possible? MATHS2 chap4 Page 9

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