2 Systèmes linéaires & Matrices

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1 2 Systèmes linéaires & Matrices On appelle système linéaire toute famille d équations de la forme a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m Si tous les b i sont nuls, le système est dit homogène L ensemble des solutions d un système linéaire ne change pas si l on effectue sur les équations les opérations élémentaires suivantes : changer l ordre des équations; multiplier une équation par un nombre non nul; ajouter à une équation une combinaison linéaire des autres équations Méthode du pivot La méthode du pivot que l on appelle aussi méthode de Gauss consiste à effectuer des opérations élémentaires sur les lignes du système pour mettre celui-ci sous forme échelonnée Étant donné un système d équations linéaires, réduisons-le à un système plus simple de la manière suivante : ) échanger au besoin les équations, de telle sorte que la première inconnuex ait un coefficient non nul dans la première équation : ainsia 0 ; 2) pour chaque i >, appliquer L i a L i a i L c est-à-dire remplacer lai-ème équation linéairel i par l équation obtenue en multipliant la i-ème équation L i par a, et en soustrayant la première équation L multipliée par a i Nous obtenons alors un système équivalent plus simple : a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b a 2j2 x j2 + + a 2n x n = b 2 a mj2 x j2 + + a mn x n = b m Exemple Considérons le système d équations linéaires suivant : 2x + 4y z + 2v + 2w = 3x + 6y + z v + 4w = 7 4x + 8y + z + 5v w = 3 Éliminons l inconnue x dans la deuxième et la troisième équations en appliquant les combinaisons linéaires L 2 2L 2 3L et L 3 L 3 2L : Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 2

2 2x + 4y z + 2v + 2w = 5z 8v + 2w = 7 3z + v 5w = On remarque que l inconnue y a aussi été éliminée dans la deuxième et la troisième équations Dans cet exemple, c est l inconnue z qui joue le rôle de l inconnue x j2 À l exception de la première ligne, le système plus simple que l on a obtenu forme un système partiel qui a moins d équations et moins d inconnues que le système initial ) S il se présente une équation de la forme 0x + 0x 2 +0x n = b avec b 0, le système est alors impossible et n a pas de solution 2) S il se présente une équation de la forme 0x +0x 2 +0x n = 0, cette équation peut être supprimée, sans affecter la solution En réitérant le procédé de Gauss avec chaque nouveau sous-système, nous obtenons par récurrence soit un système impossible, soit un système réduit à la forme équivalente suivante : a x + a 2 x 2 + a 3 x a n x n = b a 2j2 x j2 + a 2,j2 +x j a 2n x n = b 2 a rjr x jr + a r,jr+x jr+ + + a rn x n = b r où < j 2 < < j r et a 0, a 2j2 0,, a rjr 0 On dit d un tel système qu il est échelonné Les inconnues x i qui n apparaissent pas au commencement d une équation (i,j 2,,j r ) sont appelées des variables libres Dans un système réduit à une forme échelonnée, on peut distinguer deux cas : ) r = n : il y a autant d équations que d inconnues; le système admet alors une solution unique 2) r < n : il y a moins d équations que d inconnues; on attribue alors un paramètre différent à chaque variable libre et obtient la solution générale du système Exemples 2x + y 2z + 3w = ) 3x + 2y z + 2w = 4 3x + 3y + 3z 3w = 5 L 3 L 3 3L 2 L 2 2L 2 3L L 3 2L 3 3L 2x + y 2z + 3w = y + 4z 5w = 5 0 = 8 L équation 0 = 8 montre que le système est impossible : S = 2x + y 2z + 3w = y + 4z 5w = 5 3y + 2z 5w = 7 Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 22

3 x + 3y + z = 2) 2x + 5y 4z = 3 2x + 6y + 2z = 22 L 3 L 3 L 2 L 4 L 4 2L 2 3) L 3 2L 3 L L 2L2 L 2 L 2 L L 3 L 3 2L L 4 L 4 2L y + 4z = 7 2z = 2 0 = 0 y + 4z = 7 z = x = y = 3 z = L L +3L3 L 2 L 2 4L 3 y + 4z = 7 y + 2z = 5 2y + 8z = 4 y + 4z = 7 2z = 2 x + 2y = 7 y = 3 z = On remarque d abord que le système est possible, puisqu il n y a aucune équation de la forme 0 = b avec b 0 De plus, puisque dans la forme échelonnée il y a trois équations et trois inconnues, le système admet une solution unique : S = {(;3;)} x + 2y 2z + 3w = 2 2x + 4y 3z + 4w = 5 5x + 0y 8z + w = 2 L 3 L 3 2L 2 L L +2L 2 L 2 L 2 2L L 3 L 3 5L x + 2y 2z + 3w = 2 z 2w = 0 = 0 { x + 2y w = 4 z 2w = x + 2y 2z + 3w = 2 z 2w = 2z 4w = 2 { x + 2y 2z + 3w = 2 z 2w = Le système est possible et, comme il y a plus d inconnues que d équations dans la forme échelonnée, le système a un nombre infini de solutions En fait, il y a deux variables libres : y et w On pose y = α et w = β La première équation donne x = 4 2α+β et la seconde z = +2β Ainsi S = {(4 2α+β;α;+2β;β) : α,β R} 2 Résoudre les systèmes linéaires suivants par la méthode du pivot : 2x + y z = 2x y + 3z = 4 ) x + 2y + z = 8 2) 3x + 4y z = 5 3x y + 2z = 7 x + 5y 4z = 9 2x + y + 3z = 3 { 3x y + 4z = 2 x 3y + z t = 0 3) 4) 4x + y z = 5 2x + y z + 2t = 0 x + y + z = 4 x + 2y 5z + 4t = x + 2y + 3z = 9 2x 3y + 2z + 3t = 8 5) x y + 4z = 5 6) 4x 7y + z 6t = 5 x + 7y 6z = 27 x + y z + t = Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 23

4 22 Pour quelles valeurs de k le système x + y z = 2x + 3y + kz = 3 x + ky + 3z = 2 a-t-il ) aucune solution? 2) une solution unique? 3) plus d une solution? 23 Quelle condition doit-on avoir sur a, b et c, de telle sorte que le système x + 2y 3z = a 2x + 6y z = b admette une solution? Cette solution est-elle unique? x 2y + 7z = c Matrices et systèmes d équations linéaires Le système d équations linéaires a x + a 2 x a n x n = b a 2 x + a 22 x a 2n x n = b 2 a m x + a m2 x a mn x n = b m est équivalent à l équation matricielle a a 2 a n x b a 2 a 22 a 2n x 2 = b 2 a m a m2 a mn ou simplement AX = B avec A = (a ij ), X = (x i ) et B = (b i ) La matrice A est appelée la matrice des coefficients du système linéaire Le système linéaire est complètement défini par sa matrice augmentée : a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 a m a m2 a mn b n Avec cette nouvelle notation, il est désormais possible de résoudre un système linéaire en effectuant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice augmentée du système, sans se soucier des variables, jusqu à ce qu elle soit échelonnée x n b n Exemple x + 2y 2z + 3w = 2 2x + 4y 3z + 4w = 5 5x + 0y 8z + w = 2 Échelonnons cette matrice : donne la matrice augmentée Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 24

5 L 3 L 3 2L 2 L 2 L 2 2L L 3 L 3 5L L L +2L Cette dernière matrice échelonnée réduite équivaut au système x + 2y w = 4 { x = 4 2y + w z 2w = z = + 2w 0 = 0 24 Résoudre les systèmes suivants en échelonnant leur matrice augmentée : ) 3) 4) x y z = 6 x + y + z = 9 x 2y 3z = 0 2) x + 2y + 3z = 4 5x + 6y + z = 2 3x + 2y + z = 22 x + y z + v w = 8 2x + y 2z + 3v = 6 3x 2y z + v + 2w = 8 x + 3y 2v 5w = x + 2y + 3z + v 3w = 3x 3y z + 2v 9w = 3 x y + 2z v 6w = 6 x y + z + v 6w = x + y z 2v + 7w = 3 Après avoir appliqué à maintes reprises la méthode du pivot, nous pouvons donner une définition formelle d une matrice échelonnée Une matrice est dite échelonnée si elle remplit les conditions suivantes : ) toutes ses lignes non nulles sont situées au-dessus de ses lignes nulles; 2) chaque élément de tête d une ligne se trouve dans une colonne à droite de l élément de tête de la ligne précédente; 3) tous les éléments de la colonne sous un élément de tête sont nuls On appelle les éléments de tête les pivots de la matrice échelonnée Exemple Voici des matrices échelonnées où les pivots ont été encerclés : Une matrice échelonnée est dite réduite si les pivots sont : ) les seuls éléments non nuls dans leurs colonnes respectives; 2) chacun égal à Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 25

6 Dans l exemple précédent, la seconde matrice est réduite, mais pas la première La méthode du pivot permet, suite à une série d opérations élémentaires sur les lignes, de mettre toute matrice sous forme échelonnée réduite On appelle rang d une matrice le nombre de lignes non nulles de la matrice échelonnée équivalente (une ligne est nulle si tous ses éléments sont nuls) 25 Mettre les matrices suivantes sous forme échelonnée, puis sous forme échelonnée réduite; déterminer leur rang ) ) Matrice inversible Théorème Soit A une matrice carrée d ordre n Les conditions suivantes sont équivalentes : ) la matrice A est de rang n; 2) le système linéaire AX = B possède une solution unique pour toute matrice colonne B; 3) la matrice A est inversible Preuve L équivalence des deux premières affirmations est une reformulation des remarques faites à propos de la méthode du pivot à la page 22 Montrons que 3) implique 2) : existence : l équation AX = B admet la solution X = A B, étant donné que AX = A(A B) = (AA )B = IB = B; unicité : si Y vérifie aussi l équation AY = B, alors Y = IY = (A A)Y = A (AY) = A B = X Enfin, l existence de la matrice inverse est explicitée ci-dessous avec l exposé de la méthode de Gauss-Jordan Calculer le rang de la matrice A = 2 3 de l exercice 22 et montrer 4 3 qu elle n est pas inversible Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 26

7 Méthode de Gauss-Jordan Soit A une matrice carrée d ordre n inversible L inverse de A est une matrice carrée X d ordre n telle que AX = I n, c est-à-dire a a 2 a n x x 2 x n 0 0 a 2 a 22 a 2n x 2 x 22 x 2n = 0 0 a n a n2 a nn x n x n2 x nn 0 0 Trouver X revient donc à déterminer les solutions densystèmes denéquations à n inconnues : a x + a 2 x a n x n = a 2 x + a 22 x a 2n x n = 0 a n x + a n2 x a nn x n = 0 a x n + a 2 x 2n + + a n x nn = 0 a 2 x n + a 22 x 2n + + a 2n x nn = 0 a n x n + a n2 x 2n + + a nn x nn = Il est possible d exprimer ces systèmes d équations par une seule matrice, en augmentant la matrice A de la matrice identité I n : a a 2 a n 0 0 a 2 a 22 a 2n 0 0 a n a n2 a nn 0 0 Pour résoudre ces systèmes d équations, on utilise la méthode de Gauss- Jordan Elle consiste à effectuer des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice A augmentée de la matrice identité I n, jusqu à mettre la matrice A sous forme échelonnée réduite Dès lors que la matrice A est de rang n, on obtient la matrice identité I n dans le bloc de gauche et l inverse de A dans le bloc de droite ( A In ) ( In A ) Exemple À titre d exemple, reprenons la matrice A = ( ) L2 3L 2 2L 2 0 ( ) L L+2L ( ) 3 2 de l exercice 9 2 ( ) L 3 L L 2 L 2 ( ) Il en résulte A = ( ) Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 27

8 27 Déterminer si les matrices qui suivent sont inversibles et calculer, quand c est possible, leur inverse ( ) ( ) ) 2) 3) ) ) ) a 28 À quelle condition la matrice 0 b 0 est-elle inversible? c 0 0 Quel est alors son inverse? 29 À quelle condition la matrice Quel est alors son inverse? ( ) a b est-elle inversible? c d Méthode de résolution d un système linéaire par matrice inverse La preuve de la page 6 a montré que si une matrice A est inversible, alors tout système d équations AX = B possède l unique solution X = A B { ( ) 3x + 2y = 3 2 x Exemple Le système 2x + y = 8 s écrit matriciellement = 2 )( y ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) x Alors = = = y ( ) 8 20 Résoudre les systèmes suivants en utilisant la méthode de la matrice inverse 2x + 2y + 3z = 5 3x + 5y + 4z = 3 ) x + z = 2 2) 4x + 5y + 4z = 0 x + y + z = 3 x y z = 2 2x + y + 5z + t = 5 x + 2y + 3z = x + y 3z 4t = 3) 2x y 2z = 5 4) 3x + 6y 2z + t = 8 3x + 5y + z = 0 2x + 2y + 2z 3t = 2 Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 28

9 Réponses 2 ) S = {(;2;3)} 2) S = {( α; 2+α;α) : α R} 3) S = 4) S = {(2α 5β;3α 4β;7α;7β) : α,β R} 5) S = {(3 α; 2+α;3α) : α R} 6) S = {(; ;2;3)} 22 ) k = 3 2) k 3 et k 2 3) k = a 2 b c = 0 ; le système ne peut pas avoir de solution unique 24 ) S = {(3; 2; )} 2) S = {(4+α;5 2α;α) : α R} 3) S = {(3;5; 2;;3)} 4) S = {(2+α+3β;α; 3+2β;2+β;β) : α,β R} ) r = 2 2) r = r = 2 < 3 27 ) 28 abc 0 ( 7 ) 3 2 4) non inversible 5) 0 0 c 0 0 b 0 0 a 29 ad bc 0 ad bc 2) non inversible 3) ( ) d b c a 2 6) ) S = {( ;5; )} 2) S = {( 3;8; 7)} 3) S = {(2;; )} 4) S = {(2; 5 ;0; 4 5 )} Algèbre linéaire : systèmes linéaires & matrices 29