Approximation polynomiale de la densité de probabilité

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1 Approximation polynomiale de la densité de probabilité Applications en assurance P.O. Goffard Axa France - Institut de Mathématiques de Marseille I2M Aix-Marseille Université Soutenance de thèse de doctorat

2 Contenu de la thèse Chap. 1: Motivations et applications des méthodes numériques en assurance. Chap. 2: Description de la méthode d approximation polynomiale. Chap. 3: Application de la méthode d approximation polynomiale à l évaluation des probabilités de ruine ultime dans le modèle de ruine de Poisson composé. Chap. 4: Application de la méthode d approximation polynomiale aux modèles collectifs multivariés: Exemple d application en réassurance. Chap. 5: Optimisation de l agrégation des portefeuille de contrats d assurance vie individuel de type épargne. 29 Juin 2015, Marseille 2/48

3 Les engagements de l assureur: Le modèle collectif Soit un portefeuille de contrats d assurance non-vie. Sur une période d exercice donnée, Le nombre de sinistres est modélisé par une variable aléatoire de comptage N, Les montants indemnisés forment une suite de variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées (U i ) i N. Les engagements de l assureur sont modélisés par X = N U i, i=1 la suite {U i } i N est indépendante de N. X admet une distribution de probabilité composée. 29 Juin 2015, Marseille 3/48

4 La dépendance des risques: Le modèle collectif multivarié Soit n portefeuilles de contrats d assurance non vie, Les risques sont modélisés conjointement via N1 X 1 j=1 U 1j. X n =. Nn j=1 U nj M + j=1 V 1j. V nj, N = (N 1,..., N n) est un vecteur composé de variables aléatoire de comptage, (U 1j ) j N,..., (U nj ) j N sont des suites de variables aléatoires positives, et i.i.d.. {V i } i N = {(V 1i,..., V ni )} i N est une suite de vecteur aléatoire i.i.d., M est une variable aléatoire de comptage, {V i } i N, N, M et (U j1 ) j N,..., (U jn ) j N, sont indépendants. 29 Juin 2015, Marseille 4/48

5 La théorie de la ruine: Une modèlisation dynamique Soit un portefeuille de contrats d assurance non-vie. soit un instant t 0, Le nombre de sinistres est modélisé par un processus stochastique de comptage {N t} t 0, Les montants indemnisés forment une suite de variables aléatoires positives, indépendantes et identiquement distribuées (U i ) i N. Les engagements de l assureur à l instant t sont égaux à N t X t = U i, i=1 la suite (U i ) i N est indépendante du processus {N t} t Juin 2015, Marseille 5/48

6 La théorie de la ruine: Une modèlisation dynamique Soit un portefeuille de contrats d assurance non-vie. La réserve financière allouée au portefeuille de contrats est donnée par N t R t = u + ct U i, u est la réserve initiale, c est le montant des primes reçues par unité de temps. i=1 Le processus d excédent de sinistre est défini par S t = u R t. 29 Juin 2015, Marseille 6/48

7 La théorie de la ruine: Une visualisation graphique 29 Juin 2015, Marseille 7/48

8 Méthodes numériques: Cartographie 29 Juin 2015, Marseille 8/48

9 EXECUTIVE SUMMARY Application de la méthode d approximation polynomiale à deux problèmes. 1. Évaluation de la probabilité de ruine ultime dans le modèle de ruine de Poisson composé. {N t} t 0 est un processus de Poisson simple d intensité λ. 2. Étude d un modèle collectif bivarié et application dans un contexte de réassurance. 29 Juin 2015, Marseille 9/48

10 Définition de la probabilité de ruine Probabilité de ruine à horizon de temps infini, ( ) ψ(u) = P inf R t < 0; R 0 = u. t 0 Probabilité de ruine à horizon de temps fini, ( ) ψ(u, T ) = P inf R t < 0; R 0 = u. t [0,T ] Probabilité de non ruine à horizon de temps fini et infini, φ(u) = 1 ψ(u) φ(u, T ) = 1 φ(u, T ). 29 Juin 2015, Marseille 10/48

11 Définition alternative de la probabilité de ruine Instant de ruine et maximum du processus de surplus, τ u = inf{t 0 : R t < 0} = inf{t 0 : S t > u}, M = sup t 0 S t, M T = sup S t. t [0,T ] Probabilité de ruine à horizon de temps fini et infini, ψ(u) = P (τ u < ) = P (M > u), ψ(u, T ) = P (τ u < T ) = P (M T > u). 29 Juin 2015, Marseille 11/48

12 Le chargement de sécurité Le coût moyen des sinistres par unité de temps est 1 t E (X t) = λe(u). Le chargement de sécurité η est défini par, c = (1 + η)λe(u). Net Benefit Condition η > 0, Si η < 0 alors ψ(u) = 1, Si η > 0 alors ψ(u) < Juin 2015, Marseille 12/48

13 Probabilité de ruine ultime: La formule de Pollaczek-Khinchine Dans le cadre du modèle de ruine de Poisson composé, ψ(u) = P (M > u) M D = N V i, i=1 N suit une loi géométrique de paramètre p = λe(u) c < 1, P(N = n) = (1 p)p n. (V i ) i N est une suite de variables aléatoires positives, i.i.d. de densité, P(U > x) f V (x) =. E(U) (V i ) i N et N sont indépendantes. 29 Juin 2015, Marseille 13/48

14 Notations: Produit de convolution Soit U et V deux variables aléatoires indépendantes de densité f U et f V, f U+V (x) = f U (x y)f V (y)dy, = (f U f V )(x). Produit de convolution de f U et f V. Soit S = n i=1 U i, la somme de n variables aléatoires i.i.d., f S (x) =... f U (x y)f U (y)dy, = f ( n) U (x). f U convoluée n fois avec elle même. 29 Juin 2015, Marseille 14/48

15 Notations: Transformée de Laplace La transformée de Laplace d une variable aléatoire est définie par, L U (s) = E ( e su) = e sx f U (x)dλ(x). Ce qui donne pour la somme de variables aléatoires indépendantes: L U+V (s) = L U (s) L V (s), L S (s) = [L U (s)] n. 29 Juin 2015, Marseille 15/48

16 Distribution géométrique composée où et La variable aléatoire M = N i=1 U i admet une distribution composée, g M (x) = dp M (x) = P(N = 0)δ 0 (x) + dg M (x), = + n=1 + n=1 P(N = n)f ( n) V (x) (1 p)p n... f V (x y)f V (y)dy, ψ(u) = P(M > u) = + + u n=0 (1 p)p n... f V (x y)f V (y)dydx. 29 Juin 2015, Marseille 16/48

17 Transformée de Laplace de la probabilité de ruine La transformée de Laplace de M est donnée par, L M (s) = G N [L V (s)]. G N est la fonction génératrice des probabilités de N, Ce qui implique que puis G N (s) = E ( s N) = L M (s) = + k=0 1 p 1 pl V (s), L ψ (s) = 1 s [1 + L M(s)]. (1 p)p k s k 29 Juin 2015, Marseille 17/48

18 Méthode d approximation polynomiale en dimension 1 Soit X une variable aléatoire de loi de probabilité P X, de densité f X. ν est la mesure de probabilité de référence, de densité f ν. La loi de X est absolument continue par rapport à la mesure de référence, f X,ν (x) = dp X dν (x). {Q k } k N forme un système de polynômes orthonormaux par rapport à ν, < Q k, Q l >= Q k (x)q l (x)dν(x) = δ kl, k, l N. L idée est de projeter f X,ν sur la base de polynômes {Q k } k N. 29 Juin 2015, Marseille 18/48

19 Méthode d approximation polynomiale en dimension 1 La mesure de probabilité P X est absolument continue par rapport à la mesure de référence ν, Existence de dp X dν. L ensemble de polynômes est dense dans l ensemble L 2 (ν), Si dp X dν {Q k } k N forme une base de L 2 (ν). L2 (ν), alors avec dp + X dν (x) = a k Q k (x), x R, k=0 a k = E [Q k (X)], k N. 29 Juin 2015, Marseille 19/48

20 Méthode d approximation polynomiale en dimension 1 La densité de la variable aléatoire X admet la représentation polynomiale, f X (x) = f X,ν (x)f ν (x) = + k=0 a k Q k (x)f ν (x). L approximation est obtenue par troncature d ordre K, f K X (x) = f K X,ν(x)f ν (x) = K a k Q k (x)f ν (x). Les approximations de la fonction de répartition et de la fonction de survie s obtiennent par intégration. k=0 29 Juin 2015, Marseille 20/48

21 Approximation polynomiale de la probabilité de ruine La mesure de probabilité associée à M = N i=1 V i s écrit dp M (x) = (1 p)δ 0 (x) + dg M (x). Si dg M dν L2 (ν) alors, dg M dν (x) = < dg M dν, Q k > Q k (x). k N L approximation de la probabilité de ruine est obtenue après troncature et intégration, ψ K (u) = K k=0 < dg M dν, Q k > + u Q k (y)dν(y). 29 Juin 2015, Marseille 21/48

22 Choix de la mesure de probabilité de référence dg M est une mesure de probabilité défaillante de support R +. La loi gamma Γ(m, r) admet un support sur R +, sa densité est donnée par dν(x) = x r 1 e x/m m r dλ(x) Γ(r) Les polynômes orthogonaux par rapport à la mesure gamma sont les polynômes de Laguerre généralisés. Le choix des paramètres m et r est très important. 29 Juin 2015, Marseille 22/48

23 Vérification de la condition d intégrabilité Théorème Soit X variable aléatoire continue, et positive. H1 Il existe γ X = inf{s > 0, L X (s) = + }. H2 Soit a 0, l application x f X (x) est strictement décroissante pour x a. Alors, pour x a, f X (x) < A(s 0 )e s 0x, 0 < s 0 γ X. Dans le cas de le probabilté de ruine, l hypothèse H2 est vérifiée, et γ M = inf{s > 0, L gm (s) = + } est solution de l équation L V (s) = p Juin 2015, Marseille 23/48

24 Vérification de la condition d intégrabilité La condition d intégrabilité s écrit [ ] 2 + dgm dν (x) dν(x) < + gm(x)e 2 x/m x 1 r dx < +. 0 Par application de la majoration de g M, pour s 0 < γ M, gm(x)e 2 x/m x 1 r dx < A(s 0 ) e x(2s 0 1 m ) x 1 r dx. On vérifie la condition d intégrabilité avec r (0, 1], 1 m (0, 2γ M). 29 Juin 2015, Marseille 24/48

25 Décroissance des {a k } k N : Premier résultat La perte quadratique suite à l approximation est donnée par L ( g M,ν, gm,ν K ) = [gm,ν(x) gm,ν(x) K ] 2 dν(x) = + k=k +1 a 2 k. Lien directe entre la décroissance et la qualité de l approximation en fonction de l ordre de troncature. Proposition H1 x g M,ν (x) continue, deux fois dérivable H2 g M,ν, g (1) M,ν, g(2) M,ν L2 (ν) a k = o ( ) 1, k +. k 29 Juin 2015, Marseille 25/48

26 Décroissance des {a k } k N : Etude de la fonction génératrice La densité de probabilité defaillante de M admet la représentation polynomiale g M (x) = + k=0 En prenant la transformée de Laplace L gm (s) = a k Q k (x)f ν (x). ( ) r ( ) 1 sm C, 1 sm 1 sm où C(z) = + k=0 a kc k z k, avec (k ) + r 1 c k =. k 29 Juin 2015, Marseille 26/48

27 Décroissance des {a k } k N : Etude de la fonction génératrice La fonction génératrice des coefficients s exprime en fonction de la transformée de Laplace, avec [ ] C(z) = (1 + z) r z L gm. m(1 + z) Obtention des coefficients par dérivation et évaluation en 0, a k = 1 [ ] C (k) (z). c k k! z=0 NB: Le choix de m et r permet d altérer la fonction génératrice pour la rendre plus simple. 29 Juin 2015, Marseille 27/48

28 Décroissance des {a k } k N : Cas des montants de loi Γ(1, β) Si U i Γ(1, β), alors L gm (s) = p 1 + β (1 p) s, et pm(1 + z)1 r C(z) = ( ). m + z m δ 1 p m = δ 1 p et r = 1 C(z) = p. a 0 = p, et a k = 0 pour k Juin 2015, Marseille 28/48

29 Illustrations numériques: Cas des montants de loi Γ(α, β) Intensité du processus de Poisson: λ = 1, Montant de sinistres de loi Γ(2, 1), Primes périodiques: c = 5, Coefficient d ajustement: γ M = 1 24 La probabilité de ruine ultime est donnée par ( 19 ) 265. ψ(u) = e u e u. Plusieurs paramétrisations sont testées avec K = 40. La précision est mesurée à l aide de l écart relatif, ψ(u) = ψ Approx(u) ψ(u). ψ(u) 29 Juin 2015, Marseille 29/48

30 Illustrations numériques: Cas des montants de loi Γ(α, β) 29 Juin 2015, Marseille 30/48

31 Illustrations numériques: Cas des montants de loi Γ(α, β) 29 Juin 2015, Marseille 31/48

32 Illustrations numériques: Cas des montants de loi Γ(α, β) 29 Juin 2015, Marseille 32/48

33 Illustrations numériques: Cas des montants de loi U(α, β) Intensité du processus de Poisson: λ = 1, Montant de sinistres de loi U(0, 100), Primes périodiques: c = 80, Coefficient d ajustement: γ M = 0.013, Ordre de troncature des polynômes: K=40. La probabilité de ruine ultime n est pas disponible explicitement. L approximation via l inversion de la transformée de Fourier sert de référence. 29 Juin 2015, Marseille 33/48

34 Illustrations numériques: Cas des montants de loi U(α, β) 29 Juin 2015, Marseille 34/48

35 Deux assureurs et un réassureur: Modèle collectif bivarié. Soit 2 portefeuilles de contrats d assurance non vie associés à la même branche d activité et appartenant à deux assureurs. Les risques sont modélisés conjointement via ( X 1 X 2 ) = ( N1 j=1 U 1j N2 j=1 U 2j N 1 et N 2 sont supposées indépendantes, ) + ( M j=1 V 1j V 2j Approximation polynomiale de la densité jointe du vecteur (X 1, X 2 ). ), 29 Juin 2015, Marseille 35/48

36 Un contrat de réassurance non-proportionnelle global Le réassureur propose à l assureur i un contrat de réassurance non proportionnelle de seuil de rétention b i et de portée c i, pour i {1, 2}. La loi jointe de (X 1, X 2 ) est utile Tarifer le contrat de réassurance à seuils de rétention, et portées fixées. L étude de l exposition au risque du réassureur modélisé par Z = min [ (X 1 b 1 ) +, c 1 ] + min [ (X2 b 2 ) +, c 2 ], où (.) + désigne la partie positive. Value-at-Risk de Z et marge de solvabilité. 29 Juin 2015, Marseille 36/48

37 Méthode d approximation polynomiale en dimension 2 Soit (X 1, X 2 ) un vecteur aléatoire de loi de probabilité P X1,X 2, de densité f X1,X 2. ν est la mesure de probabilité de référence, construite via le produit de deux mesures, ν(x 1, x 2 ) = ν 1 (x 1 ) ν 2 (x 2 ), f ν (x 1, x 2 ) = f ν1 (x 1 ) f ν2 (x 2 ). {Q ν i k } k N forme un système orthonormal de polynômes par rapport à ν i, pour i {1, 2}. {Q k,l } k,l N forme un système orthonormale de polynômes par rapport à ν, avec Q k,l (x 1, x 2 ) = Q ν 1 k (x 1)Q ν 2 l (x 2 ), k, l N. 29 Juin 2015, Marseille 37/48

38 Méthode d approximation polynomiale en dimension 2 La méthode d approximation polynomiale s étend naturellement en dimension supérieure: Valide sous réserve de vérifier une condition d intégrabilité. Borne exponentielle pour la densité jointe, et choix ad hoc des paramètres de la mesure de référence. Lien entre la transformée de Laplace multivariée, et la fonction génératrice des coefficients de la représentation polynomiale. 29 Juin 2015, Marseille 38/48

39 Approximation polynomiale pour le modèle collectif bivarié La distribution de probabilité du vecteur aléatoire ( ) ( N1 ) ( X 1 j=1 = U M 1j N2 + X 2 = ( W 1 W 2 j=1 U 2j ) + ( Y 1 Y 2 j=1 ), V 1j V 2j ) admet de nombreuses singularités. 29 Juin 2015, Marseille 39/48

40 Choix de la mesure de probabilité de référence La distribution de ( W 1 W 2 ) = ( N1 j=1 U 1j N2 j=1 U 2j ), est donnée par dp W1,W 2 (w 1, w 2 ) = f N1 (0)f N2 (0)δ 0,0 (w 1, w 2 ) + dg W1 (w 1 ) dg W2 (w 2 ) + f N1 (0)dG W2 (w 2 ) δ 0 (w 1 ) + f N2 (0)dG W1 (w 1 ) δ 0 (w 2 ). Approximation polynomiale univariée de G Wi, pour i = 1, 2. Mesure de référence gamma et polynômes de Laguerre généralisés. 29 Juin 2015, Marseille 40/48

41 Choix de la mesure de référence La distribution de ( Y 1 Y 2 ) = ( M j=1 V 1j V 2j ), est donnée par dp Y1,Y 2 (y 1, y 2 ) = f M (0)δ 0,0 (y 1, y 2 ) + dg Y1,Y 2 (y 1, y 2 ). dg Y1,Y 2 est une mesure de probabilité défaillante de support R 2 +. La mesure ν est définie par le produit de deux mesures gamma. ν i est une mesure Γ(m i, r i ), pour i = 1, 2. {Q ν i k } k N est une suite de polynômes de Laguerre généralisés, pour i = 1, Juin 2015, Marseille 41/48

42 Illustrations numériques: Fonction de survie de (Y 1, Y 2 ) M est de loi géométrique N B(1, 3/4), (V 1, V 2 ) est de loi exponentielle bivariée DBVE(ρ, µ 1, µ 2 ), ρ = 1 4, µ 1 = µ 2 = 1, L approximation polynomiale est comparée à des approximations de Monte-Carlo. La paramétrisation conduit à et m 1 = 1 1, m 2 =, r 1 = r 2 = 1. (1 p)µ 1 (1 p)µ 2 C(z 1, z 2 ) = z 1 z 2 (p 2 ρ(1 p) 2 p), a k,l = [ p 2 ρ(1 p) 2 p ] k δkl, k, l N. 29 Juin 2015, Marseille 42/48

43 Illustrations numériques: Fonction de survie de (Y 1, Y 2 ) 29 Juin 2015, Marseille 43/48

44 Illustrations numériques: Distribution de (X 1, X 2 ) N 1 et N 2 sont de loi géométrique N B(1, 3/4), {U 1j } j N et {U 2j } j N sont des suites de variables i.i.d. de loi Γ(1, 1), Densité disponible explicitement pour la distribution géométrique composée exponentielle. Approximation de la fonction de survie de (X 1, X 2 ). Seuils de rétention: c 1 = c 2 = 1, Portées: b 1 = b 2 = 4, Approximation de la fonction de survie de Z = min [ (X 1 b 1 ) +, c 1 ] + min [ (X2 b 2 ) +, c 2 ]. Les approximations polynomiales sont comparées aux approximations de Monte-Carlo. 29 Juin 2015, Marseille 44/48

45 Illustrations numériques: Fonction de survie de (X 1, X 2 ) 29 Juin 2015, Marseille 45/48

46 Illustrations numériques: Coût de la réassurance z Monte Carlo approximation Polynomial approximation Juin 2015, Marseille 46/48

47 Conclusions et Perspectives La méthode d approximation polynomiale est une méthode numérique efficace: Approximation de la probabilité de ruine ultime dans le modèle de ruine de Poisson composée, Approximation de la densité jointe dans un modèle collectif bivarié avec des applications intéressantes en réassurance. Perspectives Applications à l approximation de fonctions en actuariat et dans d autres domaines des probabilités appliquées. Applications statistiques lorsque des données sont disponibles, Obtention d un estimateur semi-paramétrique de la densité de probabilité. 29 Juin 2015, Marseille 47/48

48 Mes Publications Pierre-Olivier Goffard and Xavier Guerrault. Is it optimal to group policyholders by age, gender, and seniority for BEL computations based on model points? European Actuarial Journal, pages 1 16, Pierre-Olivier Goffard, S. Loisel, and D. Pommeret. Polynomial approximations for bivariate aggregate claim amount probability distributions. Working Paper, Pierre-Olivier Goffard, S. Loisel, and D. Pommeret. A polynomial expansion to approximate the ultimate ruin probability in the compound Poisson ruin model. Journal of Computational and Applied Mathematics, Juin 2015, Marseille 48/48

49 Méthode d approximation 1: l algorithme de Panjer Famille de Panjer N admet une distribution de Panjer si f N (k + 1) = ( a + b k ) f N (k) Et son algorithme récursif Si U admet une loi de probabilité discrète alors V et M aussi et G N (f U (0)) si k = 0 f M (k) = ( ) 1 k 1 af V (0) j=1 a + bj k f V (j)f M (k j) si k 1 29 Juin 2015, Marseille 48/48

50 Méthode d approximation 2: Inversion de Fourier Défnition de la transformée de Fourier Soit x g(x) avec x R, sa transformée de Fourier est donnée par L g (is) = + 0 e isx g(x)dx Et sa formule d inversion Si + L g(is) ds < +, et g fonction continue et bornée alors g(x) = 1 2π + e isx L g (is)ds 29 Juin 2015, Marseille 48/48

51 Méthode d approximation 2: Inversion de Fourier Soit { e ut ψ(u) Si u 0 g(u) = g( u) Si u < 0 alors puis ψ(u) = 2eua π + { ψ(u) = 2eua π h 1 2 R [L ψ(a)] + 0 cos(uy)r [L ψ (a + iy)] dy + k=1 cos(ukh)r [L ψ (a + ikh)] } 29 Juin 2015, Marseille 48/48

52 Méthode d approximation 3: Moments exponentiels Approximation de la fonction de répartition par une binomiale mélange Y une variable aléatoire continue, à valeur sur [0, 1] et de loi P Y Paramètre d une loi binomial mélange de fonction de répartition B n,py (y) = = = ny 1 k=0 ny k=0 ny 0 k=0 j=k ( ) n z k (1 z) n k dp Y (z) k ( ) n E [ Y k (1 Y ) n k] k n ( n j )( j k ) ( 1) j k E ( Y j) 29 Juin 2015, Marseille 48/48

53 Méthode d approximation 3: Moments exponentiels La méthode est basée sur le résultat de convregence suivant 1 ny ( ) n 1 z k (1 z) n k dp Y (z) 1 z<y dp Y (z), n + k 0 k=0 La fonction de répartition est approchée par F Y (y) ny n k=0 j=k ( n j )( j k 0 ) ( 1) j k E ( Y j). X variable aléatoire sur R +. Changement de variable Y = e cx avec 0 < c < 1, ne cx n ( )( ) n j F X (x) ( 1) j k L X ( jc). j k k=0 j=k 29 Juin 2015, Marseille 48/48

54 Comparaison: Monte Carlo VS Polynômes Exemple: Distribution de Poisson composé [P(2), Γ(3, 1)], Ordre de troncature: K=75 20 sec, simulations de Monte Carlo. 29 Juin 2015, Marseille 48/48

55 Comparaison: Monte Carlo VS Polynômes 29 Juin 2015, Marseille 48/48

56 Application Statistique: Définition de l estimateur Soit X 1,..., X n un échantillon de taille n. L approximation polynomiale de la densité admet la forme f K X (x) = f K X,ν(x)f ν (x) = K a k Q k (x)f ν (x). La formule d approximation se transforme en estimateur de la densité, avec f K X (x) = f K X,ν (x) f ν (x) = La procédure d estimation comprend, k=0 K â k Q k (x) f ν (x). k=0 1. une estimation paramétrique de la mesure de référence, 2. une estimation non paramétrique des coefficients de la représentation polynomiale. 29 Juin 2015, Marseille 48/48

57 Application Statistique: Définition de l estimateur L expression des coefficients de la représentation polynômiale est a n = E [Q k (X)], k N. Un estimateur sans biais de a k est donné par Z k = 1 n n Q k (X i ), k = 1,..., K, i=1 sa variance est notée σk,n 2 = V(Z k). les coefficients de la représentation polynomiale sont estimés par â k = w k Z k, où w = (w 1,..., w K ) est le modulateur. Permet une optimisation de l erreur moyenne quadratique intégrée. Dans la suite K = n. 29 Juin 2015, Marseille 48/48

58 Application Statistique: EQMI L Erreur Quadratique Moyenne Intégrée est donnée par 2 EQMI( f X,ν n, f X,ν) n = E [ fx,ν (x) f X,ν (x)] dx = + n (1 w k ) 2 ak 2 + k=1 n wk 2 σk,n. 2 k=1 + ak 2 k=n+1 L Erreur Quadratique Moyenne Intégrée modifiée est optimisée, EQMI( f n X,ν, f n X,ν) = n n wk 2 σk,n 2 + (1 w k ) 2 ak. 2 k=1 k=1 29 Juin 2015, Marseille 48/48

59 Application Statistique: EQMI Les quantités ak 2, et σ2 k,n sont estimés sans biais via σ 2 k,n = 1 n(n 1) n [Q k (X i ) Z k ] 2, k = 1,..., n, i=1 a 2 k = max ( Z 2 k σ 2 k,n, 0 ), k = 1,..., n. L Erreur Quadratique Moyenne Intégrée est estimée par ) ÊQMI ( f n X,ν, f X,ν n = n wk 2 σ n k,n 2 + (1 w k ) 2â2 k. k=1 k=1 29 Juin 2015, Marseille 48/48

60 Application Statistique: Modulateur SME La classe M SME désigne les modulateurs de Sélection de Modèle Emboités tels que w = (1,..., 1, 0,..., 0). Optimisation en calculant l EQMI w M SME. Illustration: Estimation de la densité d une distribution Inverse Gaussian, IG(λ, µ), de densité λ(x µ) 2 λ x f X (x) = 3 e 2µ 2 x 2π, x > 0, 0, Sinon. Temps de passage à un niveau fixé d un mouvement brownien avec drift, pour l exemple λ = 2, et µ = Juin 2015, Marseille 48/48

61 Application Statistique: Visualisation des données 29 Juin 2015, Marseille 48/48

62 Application Statistique: EQMI 29 Juin 2015, Marseille 48/48

63 Application Statistique: Obs=10 29 Juin 2015, Marseille 48/48

64 Application Statistique: Obs= Juin 2015, Marseille 48/48

65 Application Statistique: Obs= Juin 2015, Marseille 48/48

66 Application Statistique: Obs= Juin 2015, Marseille 48/48

67 Application Statistique: Distribution Composé Echantillon de charges totales: (X 1,..., X n ), Echantillon de nombre de sinistres: (N 1,..., N n ), Echantillon de montants de sinistres: (U 1,..., U N1,..., U N N n ). La taille de l échantillon pour les charges totales, et les nombres de sinistres est potentiellement faible. Beaucoup d observations sont disponibles pour les montants de sinistres. 29 Juin 2015, Marseille 48/48

68 Application Statistique: Distribution Composé Full Parametric Tests d adéquation pour calibrer la loi des montants et des fréquences, Inférence statistiques de paramètres, Méthode d approximation. 29 Juin 2015, Marseille 48/48

69 Application Statistique: Distribution Composé Full NonParametric Inférence des paramètres de la mesure de référence, Sur la base de quelles observations? Coefficients de la représentation polynomiale estimés à l aide de (X 1,..., X n ). 29 Juin 2015, Marseille 48/48

70 Application Statistique: Distribution Composé Semi-Parametric Calibration d une loi pour la fréquence des sinistres. Inférence des paramètres de la loi pour la fréquence, Utilisation de (N 1,..., N n). Coefficients de la représentation polynomiale estimés à l aide de (U 1,..., U N1,..., U N N n ), et d une relation de récurrence entre les moments de X, N, et U. 29 Juin 2015, Marseille 48/48