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1 - freemathsfr Analyse I, e édition - Alain Piller Analyse II - Alain Piller Suites, T S - freemathsfr Fonctions, Intégrales, T S - freemathsfr Thème sur freemathsfr ( ) Suites, T S Fonctions, Intégrales, T S Probabilités Discrètes, T S Géométrie dans l Espace, T S freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 05

2 EXERCICE: Vrai ou Faux? ( 8 points ) C est faux Pour le justifier, nous allons calculer V sachant que, pour tout entier naturel n : V n + = n V n V =, V = x => V =, V = x => V = D où: V = 6 Donc l affirmation est fausse C est faux D après l énoncé: U 0 =, U n + = U n +, º n ı *, V n = e U n, º n ı D après le cours, nous savons que: + q + q + + q n = - q ( n + ) - q, º n ı Ici: V 0 + V + V + + V n = e U 0 + e U + e U + + e U n, º n ı = e + e + + e + + e e n + = e x [ + e + e + e + + e n ] = e x [ + q + q + q + + q n ], avec: q = e freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

3 => V 0 + V + V + + V n = e x - q ( n + ) - q cad: V 0 + V + V + + V n = e x - e ( n + ) - e Dans ces conditions: lim ( V 0 + V + V + + V n ) = lim n g + n g + e - e ( n + ) - e = + En effet : lim n g + e ( n + ) = +, - e < 0 Ainsi: lim ( V 0 + V + V + + V n ) = + n g + e - e Donc l affirmation est fausse C est vrai Ici: f est dérivable et strictement croissante sur [ 0 ; + [: º x ı [ 0 ; + [, f ( x ) > 0 º x ı [ 0 ; + [: g ( x ) = e - f ( x ) g est dérivable sur comme fonction " exponentielle ", donc dérivable sur [ 0 ; + [ Donc, g est dérivable sur [ 0 ; + [ comme composée de fonctions dérivables sur [ 0 ; + [ Ainsi, nous pouvons calculer g pour tout x ı [ 0 ; + [ freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

4 Pour tout x ı [ 0 ; + [: g ( x ) = - f ( x ) x e - f ( x ) Or: f ( x ) > 0 et e - f ( x ) > 0 pour tout x ı [ 0 ; + [ D où: º x ı [ 0 ; + [, g ( x ) < 0 <=> g est strictement décroissante sur [ 0 ; + [ Donc l affirmation est vraie 4 C est faux Soient: P x, le prix du bien en 000, P y, le prix du bien en 00, avec: P y = ,, le taux d augmentation du prix chaque année, avec: = 5% D après le cours: P y = ( + ) n x P x <=> P y = ( + ) 0 x P x <=> = (, 05 ) 0 x P x => P x = (, 05 ) 0 cad: P x Au total, le prix du bien immobilier en 000 est d environ: Donc l affirmation est fausse 5 C est vrai Soit l équation: ( ) e x + = e x <=> (e x ) - ( e x ) + = 0 <=> X - X + = 0, avec: X = e x = 44-4 => = 0 > 0, d où solutions dans pour X freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

5 X = > 0, car: 0 < et donc: X ı ] 0 ; + [ 4 X = > 0, et donc: X ı ] 0 ; + [ Dans ces conditions, l équation ( ) admet bien solutions réelles: x = ln ( X ) x = ln ( X ) ( avec: X ı ] 0 ; + [ et X ı ] 0 ; + [ ) Donc l affirmation est vraie 6 C est vrai En effet: la droite ( d ) a pour équation: y = le point H 8 5 ; - 5 ı ( d ) car: - 5 = - 4 x le point F (0; - ) ı ( d ) De plus: la droite ( ) passe par les points: A ( 4 ; ) et H 8 5 ; - 5 Dans ces conditions: FH = 8 5 ; et AH = - 5 ; Enfin, les droites ( d ) et ( ) sont perpendiculaires car: FH AH = 8 5 x x <=> FH AH = 0 Au total: Le point H ı ( d ) et le point H ı ( ) Les droites ( d ) et ( ) sont perpendiculaires en point freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

6 [ ce point ne peut être que H ] 5 Donc l affirmation est vraie 7 C est faux La justification est évidente L algorithme retourne: 5 6 Donc l affirmation est fausse 8 C est vrai Ici: f ( x ) = ( x + x + ) e x Df = Calcul de : Posons: f = f x f, avec: f ( x ) = x + x + et f ( x ) = e x f est dérivable sur comme fonction polynôme f est dérivable sur comme fonction " exponentielle " Donc, f est dérivable sur comme produit ( x ) de fonctions dérivables sur Ainsi, nous pouvons calculer f pour tout x ı Pour tout x ı : f ( x ) = ( x + ) x e x + ( x + x + ) x e x => f ( x ) = ( x + x + ) e x L équation de la tangente à la courbe de au point = : D après le cours, elle s écrit: y - f ( ) = f ( ) ( x - ) freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

7 <=> y - ( e ) = ( 6 e ) ( x - ) 6 => y = ( 6 e ) x x - e ( T ) Intersection entre la tangente ( T ) et l axe des abscisses: ( T ) coupe l axe des abscisses quand: y = 0 <=> 6 x = => x = 0, 5 Donc l affirmation est vraie 9 C est vrai Soient les événements: C = " la gélule est non conforme ", et C = " la gélule est conforme " On désigne par X le nombre de gélules non conformes sur 0 gélules prises au hasard Nous sommes en présence de 0 épreuves aléatoires indépendantes, avec: = { C, C } et X ( Ω ) = { 0,,,, 0 } La variable aléatoire discrète X représentant le nombre de réalisations de C suit donc une loi binômiale de paramètres: n = 0 et p = % Et nous pouvons noter: X B ( 0 ; % ) En fait, on répète 0 fois un schéma de Bernoulli Dans ces conditions, il s agit de calculer: P ( C ) [ 9 ou 0 gélules conformes = 0 ou gélule non conforme ] Or: P ( C ) = P ( C = 0 ) + P ( C = ) freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

8 = 0 0 ( % ) 0 ( 97% ) ( % ) ( 97% ) 9 7 => P ( C ) 96, 5% Au total, la probabilité demandée est d environ: 96, 5% > 96% Donc l affirmation est vraie 0 C est faux Pour le justifier, nous allons calculer l espérance de Gains de Raphael ( G R ) et celle d Aurélien ( G A ) et nous retiendrons la plus élevée Espérance de gains de Raphael: E ( G R ) = ( x 50 ) + ( 4 x 50 ) + ( 5 x ) - ( 00 x ) => E ( G R ) = 400 Espérance de gains d Aurélien: E ( G A ) = ( 5 x 0 ) + ( 0 x 5 ) + ( 5 x 0 ) + ( 5 x 5 ) - ( 00 x ) => E ( G A ) = 45 Comme: E ( G A ) > E ( G R ), il est préférable de participer à la tombola d Aurélien Donc l affirmation est fausse freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

9 8 PROBL ME ( points ) Microéconomie, e édition - Alain Piller Analyse I, e édition - Alain Piller Analyse II - Alain Piller freemaths fr: Suites, T S Fonctions, Intégrales, T S Partie A: Déterminons à partir de quelle année le prix de l once d or dépassera le cours de dollars: Soient: Px, le prix de l once d or en janvier 0, P y, le prix de l once d or en janvier 0 + n, r, le taux d augmentation du prix chaque année, avec: r = 9% D après le cours: P y = ( + r ) n x Px <=> P y = (, 9 ) n x Px <=> = (, 9 ) n x 700 [ car: P = 700 et P y = ] <=> n ln (, 9 ) = ln => n = ln 50 7 ln (, 9 ) cad: n 6, 0 freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

10 Comme n est un entier naturel, nous prendrons: n = 7 ans 9 Au total, le prix de l once d or dépassera à partir de: 00 ( ) a Identifions les courbes associées aux fonctions de coût et de recette: D après l énoncé: Les coûts de production ont une croissance exponentielle Le prix de vente ( et donc la recette ) est proportionnelle à la masse d or contenu Or: la courbe C a une allure exponentielle, la courbe C est une droite ( notion de " proportionnel ") Donc: la courbe C correspond à la fonction de coût, la courbe C correspond à la fonction de recette b Conjecturons le sens de variation de chacune des fonctions: La conjecture que nous pouvons émettre quant au sens de variation de la fonction associée à C est: " on pourrait, a priori, penser que cette fonction est strictement croissante " La conjecture que nous pouvons émettre quant au sens de variation de la fonction associée à C est: " on pourrait, a priori, penser que cette fonction est strictement croissante " a a Justification graphique: L entreprise a un bénéfice nul lorsque le coût de production est égal à la recette freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

11 Le point A, d abscisse d intersection entre les courbes C et C, qui vérifie un bénéfice nul est donc: le point 0 a a Déduisons-en une équation vérifiée par : Soient: C ( x ), la fonction dont la courbe représentative est C, R ( x ), la fonction dont la courbe représentative est C Dans ces conditions: Bénéfice = 0 <=> Recette - Coûts = 0 <=> R ( x ) - C ( x ) = 0 => R ( x ) = C ( x ), º x ı [ ; + [ Au total, il existe bien une masse d or ( ) pour laquelle le bénéfice de l entreprise est nul et vérifie: R ( ) = C ( ) b Déterminons les masses d or que les articles doivent contenir pour que l entreprise réalise des bénéfices positifs: Soit = a, la valeur trouvée précédemment Soit, le profit ou bénéfice de l entreprise: = R ( x ) - C ( x ) Dans ces conditions, l entreprise réalise des bénéfices positifs ssi: > 0 <=> R ( x ) - C ( x ) > 0 => R ( x ) > C ( x ) Graphiquement: R ( x ) > C ( x ) ssi: x ı [ ; [ cad: x ı [ ; a [ En d autres termes, l entreprise réalisera des bénéfices positifs tant que: la courbe C sera située strictement au dessus de la courbe C donc quand: ı [ ; [ = [ ; a [ En Microéconomie, correspond au seuil de rentabilité de l entreprise freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

12 Partie B: Déterminons la limite en + de la fonction : Ici: ( x ) = e x x D = [ ; + [ Nous pouvons alors écrire: ( x ) = e x - x - e - x x - e x - Or, d après le Théorème des Croissances Comparées: " En +, exponentielle croît plus vite que polynôme qui croît plus vite que logarithmique " D où: lim x g + e = 0, x - x lim x g + e = 0 x - Ainsi: lim n g + ( x ) = lim e x - ( ) n g + = + Déterminons le sens de variation de sur [ ; + [: Calcul de : Posons: = f + f, avec: f ( x ) = e x - et f ( x ) = - x - f est dérivable sur comme fonction " exponentielle ", donc dérivable sur [ ; + [ f est dérivable sur comme fonction polynôme, donc dérivable sur [ ; + [ freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

13 Donc, est dérivable sur [ ; + [ comme somme ( + ) de fonctions dérivables sur [ ; + [ Ainsi, nous pouvons calculer pour tout x ı [ ; + [ Pour tout x ı [ ; + [: ( x ) = e x - - Tableau de variation de : Nous allons distinguer cas, pour tout x ı [ ; + [ er cas: ( x ) = 0 ( x ) = 0 <=> e x - = e 0 => x = ème cas: ( x ) < 0 ( x ) < 0 <=> e x - < e 0 => x < ( cas à rejeter car: ı [ ; + [ ) ème cas: ( x ) > 0 ( x ) > 0 <=> e x - > e 0 => x > ou x ı ] ; + [ Ainsi: est croissante sur [ ; + [ est strictement croissante sur ] ; + [ Nous pouvons dresser alors le tableau de variation suivant: b a freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

14 Avec: a = ( ) => a = -, b = +, avec: b = lim x g + ( x ) Déduisons que l'équation C ( ) = admet une unique solution : Notons que: C ( x ) = x <=> C ( x ) - x = 0 <=> ( ) = 0 Nous allons appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour répondre à cette question Ici: est continue sur [ ; + [ " 0 " de l équation ( x ) = 0 est compris entre: ( a ) = ( ) = - et: ( b ) = ( + ) = + est strictement croissante sur ] ; + [ Ainsi, d après le théorème des valeurs intermédiaires, nous pouvons affirmer que l équation ( x ) = 0 admet une unique solution appartenant à ] ; + [ Au total: C ( x ) = x cad ( x ) = 0 admet exactement une unique solution 4 Montrons que < < : Nous avons: = e - - => - 0, 5 < 0, ( ) = e - - => ( ) 0, 8 > 0 Ainsi: <=> < 0 < ( ) < ( ) < ( ) freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

15 => < <, car: est strictement croissante sur ] ; + [ 4 Au total, nous avons bien: < < Partie C: Montrons que C ( ) = <=> g ( ) = : º x ı : C ( x ) = x <=> e x - = + x <=> x - = ln x +, avec: + > 0 car: ı ; <=> ln x + + = x <=> g ( x ) = x Au total, pour tout x ı : C ( x ) = x <=> g ( x ) = x a a Justifions que g est croissante sur : Ici: g ( x ) = ln x + + Dg = Pour tout x ı ; ; : g ( x ) = x + => g ( x ) = x +, avec: -, car: ı ; freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

16 Or sur ; : g ( x ) > 0 5 Donc sur : g est strictement croissante a a Déduisons que pour tout réel ı, g ( ) ı : Comme la fonction g est strictement croissante sur ses valeurs dans l intervalle J = g ( ) cad: J = g ;, elle prendra ; g ( ) Or: g = ln ( ) + => g, 69 g ( ) = ln 5 + => g ( ), 96 Au total: J = [, 69 ;, 96 ] ı, et par conséquent: g ( x ) ı b Montrons que, pour tout ı, 0 g ( ) : x ı <=> x ı ; <=> x <=> x x x <=> x + x + ( x ) + <=> 4 x + 5 => 5 x + 4 cad: 5 g ( x ) freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

17 Or: 5 g ( x ) => 0 g ( x ) 6 Au total: pour tout x ı, 0 g ( x ) a Montrons l inéquation ( ): Nous avons, pour tout x ı : g ( x ) - g ( y ) x - y ( a ), d après l énoncé Or: C ( x ) = x admet une unique solution C ( x ) = x <=> g ( x ) = x, pour tout x ı sur [ ; + [, avec: < < Dans ces conditions, il existe une unique solution ı avec: g ( ) = D où º x ı : ( a ) => g ( x ) - g ( ) x - <=> g ( x ) - x - Au total, pour tout x ı, nous avons bien: g ( x ) - x - b Calculons et : Nous avons: = 0,, 69 D où:, 785,, 87 Au total, nous avons:, 785 et, 87 freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

18 c Montrons par récurrence l inégalité demandée, º n ı : 7 Préalablement, notons deux résultats: º x ı [ ; + [, < < º x ı ;, g ( x ) - x - Nous allons montrer par récurrence que: " º n ı, n - n + " Initialisation: 0 = - oui car: ı 0 +? cad: ; -? Donc vrai au rang " 0 " Hérédité: Supposons que º n ı, n - n + et montrons qu alors: n + - n + Supposons: - n ( ) n + ( ) => x - n x => g ( n ) - => g ( n ) - => n + - n + n + n - n + n + freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

19 Conclusion: º n ı, n - n + 8 d Déduisons-en que la suite ( n ) est convergente et déterminons sa limite: La suite ( n ) est croissante et est majorée, elle est donc convergente De plus: n - n + <=> - n + n - n + Or: lim n g + - n + = 0, car: ı ] 0 ; [, lim n g + n + = 0, car: ı ] 0 ; [ Dans ces conditions, d après le théorème des gendarmes, nous pouvons affirmer que: lim n g + n - = 0 ce qui revient à dire que: lim n = g + n Au total, la suite ( n ) est croissante et majorée, elle est donc convergente et converge vers L = 4 Donnons un encadrement de, d amplitude 0-4 : Nous savons que la suite ( n ) est majorée par D où: n - = - n car: º n ı, n Ainsi: n - n + <=> 0 - n n + Dans ces conditions, nous pouvons écrire: n n + n + Notons que " n " est tel que: n freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5

20 <=> ( n + ) ln ln ( 0-4 ) 9 <=> ( n + ) ln ( 0-4 ), car: ln ı ] 0 ; [ et donc: ln < 0 <=> ( n + ) 4 x ln ( 0 ) ln ( ) => n 4 x ln ( 0 ) ln ( ) - => n car n est un entier naturel Au total, l encadrement demandé est: + Notons que: <=>, 8 776, Déterminons pour quelle masse d or ( à 0 - près ), l entreprise réalisera un bénéfice nul: A 0 - près, la masse d or demandée est d environ: 8, 78 grammes freemaths fr Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 0 5