THEORIE DES POUTRES. Cours de Gérard BERNHART

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1 IFI1 THEORIE DES POUTRES Cours de érard BERNHART Equipe pédagogique : F. Berthet O. De Almeida M. uichon L. Robert F. Schmidt (responsable de l ) V. Vela (responsable de cours) Edition 9/1

2 IFI1 SOMMAIRE : Théorie des poutres Chapitre 1 : Objet et principe de la theorie des poutres Theorie des poutres : généralites Résistance des matériau...4 Corps prismatique ou «poutre»...4 Hpothèses de la théorie des poutres Torseur des efforts intérieurs et liaisons plan Torseur des efforts intérieurs...5 Smbolique des conditions d appui...7 Formules générales des efforts intérieurs dans le cas particulier des poutres droites (s=) à chargement Etat de contrainte dans une section droite Demarche generale de resolution d un probleme de poutre... Chapitre : Etude des sollicitations élémentaires Traction et compression simple Définition...1 Contrainte...1 Déformation...1 Déplacement...1 Energie de déformation élastique par unité de longueur...1 Poutre à section variable d après [1] Fleion pure Définition...14 Déformation...14 Contrainte...14 Défleion de la poutre...15 Energie de déformation élastique...15 Arbre à géométrie variable d après [1] Torsion pure des poutres clindriques de révolution....4 Cisaillement pur....5 Fleion simple....6 Flambement d une poutre Définition...17 Déformation...17 Contrainte...17 Déplacement angulaire le long de la poutre...18 Energie de déformation élastique...18 Arbre à section variable d après [1]...18 Définition... Contrainte... Déformation de cisaillement et déplacement de cisaillement... Energie de déformation élastique : Définition : Contraintes normales : Contraintes de cisaillement : Défleion en fleion simple : Energie de déformation élastique Définition Théorie d Euler Autres cas...4 Chapitre 3 : Theorèmes de l energie... page

3 3.1 : IFI1 Energie de deformation : énéralités : Energie de déformation élastique d une poutre : Théorème de Castigliano : Théoreme de Ménabrea... Références :... page 3

4 IFI1 Chapitre 1 : OBJET ET PRINCIPE DE LA THEORIE DES POUTRES 1.1. T HEORIE DES POUTRES : ENERALITES Résistance des matériau calcul analtique les La résistance des matériau (RdM) cherche à déterminer par le dimensions des organes d une machine ou des éléments d une construction afin qu ils supportent les efforts auquels ils sont soumis. Elle permet de résoudre les problèmes du tpe : a) déterminer les dimensions d un organe, connaissant la nature du matériau et les efforts qui lui sont appliqués, de telle façon qu aucune région ne subisse de déformations et de tensions internes eagérées et dangereuses (c est le dimensionnement), b) les dimensions étant connues, calculer les déformations et la répartition des contraintes internes pour vérifier qu il n pas dépassement des contraintes admissibles (c est la vérification). La RdM est divisée en deu grands domaines en fonction de la nature géométrique des corps à étudier, pour chacune elle fait appel à de nombreuses hpothèses pour obtenir ème rapidement des résultats eploitables : théorie des poutres (abordée dans cette 3 partie du cours de MdM), théorie des plaques et coques Corps prismatique ou «poutre» Les corps étudiés dans cette partie seront supposé être des poutres. Nous appellerons «POUTRE», le solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de gravité décrit une courbe 1, le plan de (S) restant normal à cette courbe(figure III-1.1). 1 (S) Figure III -1-1 : définition d une poutre (S) est appelée section droite ou section normale page 4

5 IFI1 1 est la fibre moenne. Selon la nature de cette fibre, la poutre sera dite gauche, plane ou droite. La poutre peut être à section constante ou à section variable selon que l aire de (S) varie ou non le long de Hpothèses de la théorie des poutres a) Les matériau sont homogènes et isotropes. b) Les matériau sont utilisés dans leur domaine élastique. La loi de Hooke traduit leur comportement. Ceci entraîne le principe de superposition : le déplacement et les contraintes issus de la somme de plusieurs efforts etérieurs sont égau à la somme des déplacements ou contraintes provoqués par chaque effort séparément. Ainsi s il est possible de décomposer les efforts etérieurs en une somme de sollicitations simples, les contraintes et déplacements résultants pourront être obtenus en faisant la somme des contraintes et déplacements calculés par les formules correspondants à ces sollicitations simples. c) éométrie des poutres : - le raon de courbure de la fibre moenne est «grand» par rapport au dimensions des sections droites (raon de courbure > 5 la plus grande dimension de la section droite) ; - la longueur de la fibre moenne 1 est «grande» devant les dimensions des sections droites (> la plus grande dimension de la section droite) ; - les variations de l aire de la section sont faibles et progressives. d) Hpothèse de Barré de Saint-Venant : On admet qu en tout point d une poutre suffisamment éloigné de la zone d application des efforts etérieurs, l état de contrainte et de déformation est indépendant du mode d application de ces efforts. Une conséquence importante de cette hpothèse est que la théorie des poutres ne pourra jamais servir à calculer des zones de concentration de contraintes qui eistent souvent au droit des points d application de la charge (si on cherche à les connaître il faudra faire appel soit au résolutions en élasticité (cf partie de ce cours) soit au résolutions éléments finis (cours IFI3)). e) Hpothèse de Bernouilli : Les sections planes, normales au fibres avant déformation demeurent planes et normales au fibres après déformation. Cette hpothèse n est en général qu approchée, car les phénomènes de cisaillement créent des distorsions et des gauchissements de section droite. 1.. TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS ET LIAISONS Torseur des efforts intérieurs Considérons une poutre de fibre moenne orientée de vers 1, sens des abscisses curvilignes (s) croissantes. Coupons cette poutre en (abscisse s ) en deu parties : partie I à gauche de et une partie II à droite de (figure III-1.). Isolons la partie I : alors on nomme «torseur des efforts intérieurs en» l action de la région II (s > s ) sur la région I (s < s ) ; il est égal au torseur des efforts etérieurs appliqués sur la partie II de la poutre. page 5

6 IFI1 R Le torseur des efforts intérieurs en est noté. M I R M II s Partie I Figure III-1. : définition du torseur des efforts intérieurs Il a pour éléments de réduction dans le repère (,,z) orthonormé direct lié à la section droite en (Nota : si la poutre est droite =s=) : R M Avec : R N T Tz z M M M Mz z N T Tz M M Mz (éq III-1.1) N : effort normal (si N> traction si N< compression) T, T z : efforts tranchants M : moment de torsion M, Mz : moments de fleion Convention de signe : par convention le torseur des efforts intérieurs calculé de la manière précédente sera compté positivement. Alors pour satisfaire la relation d équilibre, le torseur des efforts intérieurs en qu eerce la partie gauche sur la partie droite devra être affecté d un signe négatif. Le résultat du calcul sera le même car le torseur des efforts interieurs en est unique. La démarche générale de calcul des composantes du torseur des efforts intérieurs sera donc la suivante : - on se place en une section s, deu méthodes alternatives peuvent alors être utilisées : - méthode 1 : on procède au bilan des efforts etérieurs à la poutre appliqués sur la région II, et on écrit les composantes du torseur des ces efforts etérieurs au point affecté d un signe «+», (calcul à droite) - méthode : on procède au bilan des efforts etérieurs à la poutre appliqués sur la région I, et on écrit les composantes du torseur des ces efforts etérieurs au point affecté d un signe «-», (calcul à gauche) Le choi de la méthode dépend de la compleité du sstème d effort appliqué ; on a toujours intérêt à faire le choi d écrire ce bilan sur le coté où le calcul est le plus simple. page 6

7 IFI1 le Ce calcul doit être fait pour tout s, quand s décrit la poutre : il permet de tracer diagramme des efforts intérieurs. Ce calcul est un préalable au calcul des contraintes, déformations et déplacements dans la poutre. Eemple : calcul du torseur des efforts intérieurs en à droite et à gauche (figure III-1.3) Calcul à droite : (ici s=) Ma Ra 1 a Calcul à gauche : 3 F F3 )))) )))) F 3 F3 R M F3 F1 R M F Ra F1 )))) )))) 1 F1 a Ra M a Figure III-1.3 : eemple de calcul 1... Smbolique des conditions d appui En fonction de la condition d appuis, les réactions eercées sont différentes. La smbolique usuelle est résumée ci dessous : appuis simples R R Figure III-1.4 : smboles des appuis simples rotule R R R Figure III-1.5 : smbole d une rotule encastrement M R Figure III-1.6 : smbole d un encastrement page 7

8 IFI Formules générales des efforts intérieurs dans le cas particulier des poutres droites (s=) à chargement plan Hpothèses : La poutre et les charges admettent un même plan de smétrie Î le moment de torsion disparaît et l effort tranchant est dans le plan de smétrie. Plan de smétrie poutre droite est chargée La perpendiculairement à la fibre moenne Î effort normal nul Figure III-1.7 : poutre droite à chargement plan Relation générales entre chargement, T gauche de (de coordonnée ) suivant : - et M z dans le cas des efforts etérieurs appliqués à efforts concentrés Fi avec comme point d application i efforts répartis de densité p( entre a et, couples isolés Ci (mesurés sur z ), couples répartis de densité c( (mesurés sur z ) entre b et. c( ) Ci i Fi p( ) a b Dans la section d abscisse, nous avons donc (attention calcul à gauche donc précédé d un signe -) : effort tranchant sur : T Fi a p d i (éq. III-1.) page 8

9 IFI1 moment de fleion sur z : Mz Fi i Ci a p d b c d i i (éq. III-1.3) Les formules III-1. et III-1.3 montrent que : a) le diagramme d effort tranchant présente des discontinuités dans les sections où sont appliqués les forces concentrées, b) dans le cas où la poutre ne supporte pas de couples isolés, le moment de fleion est une fonction continue de, b( ) c) si nous considérons la fonction F a, b, a( ) p( ) d avec a et b fonction de, alors le théorème de la borne supérieure permet d écrire df b( ) p d, et si nous d a( ) appliquons ce théorème à l équations III-1.3, alors dt d p (éq. III-1.4) dmz Fi a p d c d i et (éq. III-1.5) d) lorsqu il n a pas de couples répartis sur la poutre la relation précédente devient : dmz Fi a p d T d i dmz T d et donc et d M z d p (éq. III-1.6) 1.3. ETAT DE CONTRAINTE DANS UNE SECTION DROITE En tout point M d une section droite, l état de contrainte peut se représenter dans le repère orthonormé direct,, z lié à la section droite par le tenseur des contraintes : z z M * Figure III-1.9 Il en résulte que : TM, z z z zz et le vecteur contrainte en M selon par TM, car 1,, z T(M, )ds R M T(M, )ds M S éq III-1.7 S page 9

10 IFI1 )))) En posant M,, z, la projection sur les aes conduit au 6 équations suivantes : ds N S T ds S (éq. III-1.8) zds Tz S M. z z. ds S M z. ds S M z. ds S Appliquons le principe de Saint-Venant à une section droite (figue III-1.1): nous sommes loin des points d application des efforts etérieurs et donc le contour de la section droite n est pas chargé. Le vecteur unitaire de normale etérieure à la section droite s eprime sous la forme n,, 3 et la condition de non chargement du contour s écrit : n Z M Y T M, n M du contour 3 z soit : 3 z z 3 zz (éq. Figure III-1.9)III-1.1 Les deu dernières équations de III-1.9 sont les seules faisant intervenir, z, zz et nous poserons, vu les petites dimensions des sections droites que ces quantités sont uniformément nulles en tout point de la section. En conclusion, l état de contrainte dans une section droite de la poutre s écrira donc : z z avec les conditions III-1.8 et III-1.9 à vérifier. Une grande partie de la suite de ce chapitre consistera à déterminer la répartition de ces contraintes ainsi que des déplacements et déformations dans chaque cas de sollicitation simple. Dans le cas de chargement complee il conviendra d appliquer le principe de superposition. page 1

11 IFI1 Les différentes sollicitations simples sont présentées dans le tableau III-1.1 ci-dessous : N T Tableau III-1.1 : sollicitations simples M M Dénomination Traction ou compression simple Cisaillement pur Torsion pure ] Fleion pure Fleion composée ] Fleion simple Ou désigne T T, Tz M M,M z et Contraintes et et et et et et, z (, z ) 1.4. DEMARCHE ENERALE DE RESOLUTION D UN PROBLEME DE POUTRE Il conviendra de suivre sstématiquement la démarche suivante pour résoudre un problème de résistance des matériau en poutre : a) identifier les efforts etérieurs ainsi que les conditions au appuis et faire une schématisation du problème phsique, b) déterminer les réactions au appuis en eprimant les relations d équilibre en statique nombre d inconnues i nombre d équations n Si i>n le sstème est hperstatique et il faudra des équations complémentaires pour résoudre le sstème. Une méthode pour trouver des équations supplémentaires sera eposée dans le chapitre 3 consacré au théorèmes de l énergie (théorème de Ménabréa). c) tracer des diagrammes des efforts intérieurs, d) détermination des contraintes, déformations et déplacements par les formules eposées dans le chapitre. page 11

12 IFI1 Chapitre : ETUDE DES SOLLICITATIONS ELEMENTAIRES.1. TRACTION ET COMPRESSION SIMPLE.1.1. Définition Seul N est différent de zéro. Si N> traction, si N< compression. Epaisseur e N p ou N R N L N = prl Figure III - 1 : traction et compression simple.1.. Contrainte La contrainte est uniforme dans la section droite et vaut N S S : aire de la section.1.3. Déformation A partir de la loi de Hooke : N E E S.1.4. Déplacement Par définition du d donc U( ) d.1.5. Energie de déformation élastique par unité de longueur L énergie de déformation élastique totale de la poutre vaut : Wel 1 : V dv soit comme dv = dddz L énergie de déformation élastique par unité de longueur est : dwel N d ES (éq. III-.1) page 1

13 .1.6 IFI1 Poutre à section variable d après [1] Dans ce cas les contraintes ne sont plus uniformes dans la section, et il apparaît des concentrations de contraintes. page 13

14 .. IFI1 FLEXION PURE..1. Définition Seul Mz est différent de zéro. F Zone d étude Figure III-. : définition de la fleion pure... Déformation Considérons deu sections adjacentes aa et bb (Figure III-.3) parallèles entre elles avant charge. Après charge, elles sont encore planes, mais ont tourné l une par rapport à l autre autour de O avec un raon de courbure. O a b f c a e Si cd leur intersection avec la fibre neutre. La fibre à une distance s est rétrécie de ef, sa déformation est donc : d b Figure III-.3 fe cd df do d z d Les déformations longitudinales sont donc proportionnelles à leur distance de l ae neutre...3. Contrainte E En appliquant la loi de Hooke : Or d après III-1.8, M z E S ds S ds de la section droite par rapport à z (rappel : section circulaire I z d z E E d E Iz avec I z moment quadratique 4 b h3 d, section rectangulaire hauteur h, largeur b : I z ) 64 1 Donc Mz Iz (éq III-.) La contrainte est donc maimale sur la face supérieure et inférieure de la poutre en =±h/ (figure III-.4). page 14

15 IFI1.h/ Mz > Si Mz > traction sur la partie inférieure Si Mz< traction sur la partie supérieure.h/ Traction.h/ Mz < Iz est appelé le module de fleion h La quantité (c est une grandeur caractéristique d une section droite).h/ Figure III--4 : répartition des contraintes sur la hauteur de la poutre La déformation s eprime donc également simplement par Mz E Iz et la quantité 1/(E.Iz) est appelée fleibilité de la poutre...4. Défleion de la poutre V() La défleion de la poutre correspond au déplacement de la ligne neutre dans le sens des (figure III-.4), c est à dire normalement à la direction de la ligne neutre. Ce déplacement dépend de et nous supposerons qu il est le même pour chaque fibre de la section droite. Par définition la courbure s eprime en fonction de V() Figure III-.5 1 s eprime par V or comme << 1 Mz V 1 Donc, et donc EI z V 3 V 1 V E Iz M z (éq III-.3) Cette équation s appelle équation différentielle de la ligne élastique d une poutre. L intégration de cette équation différentielle en tenant compte des conditions au appuis est une des méthodes pour déterminer la défleion de la poutre le long de. Dans le cas particulier de la fleion pure cette défleion est un arc de cercle...5. Energie de déformation élastique L énergie de déformation par unité de longueur d de la poutre en fleion pure vaut : dwel Mz d EI (éq. III-.4) z page 15

16 ..6 IFI1 Arbre à géométrie variable d après [1] page 16

17 IFI1.3 TORSION PURE DES POUTRES CYLINDRIQUES DE REVOLUTION.3.1 Définition Seul M est différent de zéro (figure III-.5). M Figure III-.5 : torsion pure.3. Déformation d M Considérons deu sections proches l une de l autre et écrivons la relation entre le déplacement angulaire de torsion et la déformation de glissement générée par la torsion. Nous avons (figure III-.6) : r (éq. III-.5) avec r la distance du point considéré par rapport à la fibre neutre. d.3.3 d d Figure III-.6 Contrainte La torsion génère des contraintes de cisaillement, qui s obtiennent par la loi de l élasticité : r d d M r ds puis en utilisant l équation III-1.8, point M s eprime par : la contrainte en un S M r I (éq. III-.6) où I est le moment quadratique polaire de la section S par rapport à l ae, I r ds S 4 (rappel : section circulaire pleine de diamètre d I d, 3 et section tubulaire diamètre etérieur D et intérieur d I 4 D d 3 4 page 17

18 IFI1.3.4 Déplacement angulaire le long de la poutre D après les relations précédentes nous pouvons écrire : d M d I D où le déplacement angulaire à une distance l devient : l.3.5 M d I l Energie de déformation élastique L énergie de déformation par unité de longueur d de la poutre en torsion vaut : dwel M d I.3.6 (éq. III-.7) Arbre à section variable d après [1] page 18

19 IFI1 page 19

20 IFI1.4 CISAILLEMENT PUR.4.1 Définition Les résultats présentés dans ce paragraphe seront tous relatifs à l effort tranchant T résultats seront identiques pour l effort tranchant T z).. (Les Seul T est différent de zéro. Eemple : cisaillement d une clavette T.4. Figure III-.7 : cisaillement pur Contrainte Les contraintes de cisaillement sont uniformes dans la section droite S, et.4.3 En première approimation.4.4 (éq III-.8) S Déformation de cisaillement et déplacement de cisaillement La déformée de cisaillement s écrit : donc T avec E (1 ) du (un point dans le plan reste dans le plan) d dv d soit V( ) T S Energie de déformation élastique L énergie de déformation par unité de longueur d de la poutre soumise à un effort tranchant vaut : dwel 1 ddz 1 T ddz(éq. III-.1) d s.sr Sr s appelle la section réduite et est défini par : ddz s T Sr T (Nota : section circulaire S et le coefficient de section réduite S Sr 1 6 section rectangulaire ) 9 5 page

21 IFI1.5 FLEXION SIMPLE.5.1 : Définition F En fleion simple seuls Mz et T sont différentes de zéro. (Les forces sont supposées agir perpendiculairement à l ae longitudinal, le plan contenant ces forces est le plan de smétrie de la poutre). Les forces et couples agissant sur la poutre créent : des défleions perpendiculaires à l ae longitudinal de la poutre, - F1 - des contraintes normales et de cisaillement dans toute section droite de la poutre Figure III-.8 : fleion simple.5. : Contraintes normales Elles sont identiques à celle de la fleion pure (cf.) : Mz Iz (éq. III-.).5.3 : Contraintes de cisaillement Nous supposerons que () z (D) b() c est à dire que, les contraintes tangentielles sont uniformes le long d une ligne // à z (figure III-.9). Dans ce cas on démontre que : t ( ) =- Figure III-.9 : cisaillement en fleion simple T ( ) I z b m (éq III-.9) où Iz moment d inertie par rapport à z, et m moment statique de la surface hachurée (D) par rapport à z. : m ds D Dans le cas de sections circulaires et rectangulaires, le profil de contrainte est parabolique (tableau III-. et figure III-.1). Les contraintes sont nulles sur les bords supérieurs et inférieurs et maimales sur l ae neutre. page 1

22 IFI1 Valeurs et profils du cisaillement Section circulaire de raon r 4 T 3 S ma 1 r 4 T 3 S parabolique 3 T S parabolique T h Iz 4 Section rectangulaire hauteur h largeur b Profil ( ) Tableau III-. : valeur du cisaillement pou les sections circulaires et rectangulaires h/ - h/ Figure III-.1 : profil de cisaillement.5.4 : Défleion en fleion simple La déformée d une poutre droite en fleion simple est caractérisée essentiellement par la déformée de la ligne moenne de la poutre. Cette défleion est due à l influence simultanée du moment fléchissant et de l effort tranchant. La plupart du temps l influence de T est négligeable et nous ferons cette hpothèse dans le cas des sollicitations en fleion simple. Donc de manière similaire au cas de fleion pure : E.I z V M z (éq. III-.3).5.5 : Energie de déformation élastique L enerdie de déformation élastique par unité de longueur de la poutre, est la somme des énergies de déformations élastiques dues à la fleion pure (..5) et à l effort tranchant (.4.4), soit : dwel 1 M z T (éq. III-.1) d E.I z.sr page

23 .6 IFI1 FLAMBEMENT D UNE POUTRE.6.1. Définition Lorsqu une poutre est soumise a une sollicitation de compression suffisamment grande et parallèle à son ae, elle s incurve et peur prendre une flèche dangereuse: c est le phénomène de flambement. Si la poutre présente une rectitude presque parfaite, ce phénomène est brutal (la flèche s accroît de manière rapide) et peut conduire conduisant à la ruine de la structure..6.. Théorie d Euler Hpothèses : la poutre est parfaitement rectiligne avant déformation, elle est rotulée au deu etrémités et la charge est appliquées dans son ae. v() A B L équation différentielle de s eprime par (cf éq III-.3) F L V la Mz F V( ) E Iz E Iz avec comme conditions au limites V() = V(L) = déformée La solution générale d une équation de ce tpe est : V( ) sin( ) cos( ) où avec en utilisant les conditions au limites Fc n E Iz L Fc E Iz charge critique de flambage. Les différents mode de flambage seront obtenus en faisant varier n. n=1 1er mode n= ème mode n=3 3ème mode Fc 1 E I z Fc 4 Fc 3 9 L E I z L E I z L page 3

24 IFI1.6. Autres cas En fonction des conditions au limites de la poutre la valeur de la charge limite varie a) une etrémité encastrée, l autre etrémité libre Fc E I z 4 L b) une etrémité encastrée, l autre rotulée Fc.187 E Iz L c) deu etrémités encastrées Fc 4 E I z L page 4

25 IFI1 Chapitre 3 : THEOREMES DE L ENERIE 3.1 : ENERIE DE DEFORMATION : énéralités La notion d énergie, et en particulier d énergie de déformation conduit à des solutions élégantes et rapides en résistance des matériau : -soit pour déterminer des déplacements des points de la poutre, -soit pour donner des relations complémentaires dans le cas d un sstème hperstatique. Quelques théorèmes principau sont cités dans ce chapitre : Energie de déformation élastique d une poutre Dans la partie II du cours il a été démontré que le travail des forces etérieures W e était égal à l énergie de déformation élastique. En vertu du théorème de Claperon, le travail des forces etérieures ne dépend que de l intensité finales des forces et non de leur ordre d application ou de leur loi de croissance, c est à dire qu il s eprime sous la forme : m n Wel 1 Fi. i Mi. i (éq III-3.1) i 1 i 1 où i correspond au déplacement de la force Fi et i correspond à la rotation du moment Mi L énergie de déformation par unité de longueur d une poutre est égale à la somme des énergies de déformations produites par les différentes sollicitations élémentaires (N, T, T z, M, M, Mz), soit en reprenant les résultats du chapitre sur les sollicitations élémentaires : T dwel 1 N Tz M M M z ds ES S S I EI EI r rz z avec Wel 3. : Wel ds poutre s (éq III-3.) ds abscisse curviligne le long de la ligne neutre de la poutre THEOREME DE CASTILIANO Le théorème de Castigliano dit que : la dérivée partielle de l énergie potentielle de déformation par rapport à une force (respectivement à un moment) est égale au déplacement du point d application de cette force dans sa direction (respectivement est égale à la rotation du point d application de ce moment projeté sur l ae du moment). i Wel Wel et i Fi M i (éq III-3.3) Application du théorème de Castigliano : page 5

26 a) IFI1 Dans le cas où un effort est appliquée au point considéré, alors : i Wel dwel ds poutred Wel ds (éq III-3.4) poutre ds Fi Fi Fi ds Cette équation permet de calculer simplement les déplacements sans devoir calculer eplicitement l énergie de déformation élastique. b) Dans le cas où aucun effort n est appliqué au point où l on cherche à calculer le déplacement : La méthode consiste alors : - à appliquer une force virtuelle (fictive) orientée dans le sens dans le lequel on cherche à déterminer le déplacement - puis à eprimer l énergie de déformation incluant cette force, - enfin à appliquer le théorème de Castigliano pour déterminer le déplacement du point et à annuler les composantes de la force en ce point. 3.3 : THEOREME DE MENABREA Ce théorème permet d obtenir des relations complémentaires dans le cas de résolutions de sstèmes hperstatiques, c est une application du théorème de Castigliano. Soit un sstème hperstatique de degrè j tel que R 1, R, R j soitent les réactions statiquement indéterminées. Les équations de la statique permettent d eprimer les autres réactions d appui en fonction de R 1, R, R j et des forces etérieures appliquées au sstème. Pour des appuis fies dont le déplacement est nul ( i = ), le théorème de Castigliano donne : Wel ; Wel ;... Wel (éq III-3.5) R1 R Ri De cette manière, on obtient autant d équations complémentaires que d inconnues hperstatiques. Ces conditions (éq III-3.5) epriment le fait que pour les grandeurs des réactions hperstatiques, la fonction W prend une valeur etremeum (dérivée nulle). Si l équilibre est stable on peut démontrer qu il s agit d un minimum. Donc pour une sstème hperstatique, les inconnues hperstatiques minimisent l énergie de déformation élastique du sstème : c est le théorème de Ménabréa (ou principe du travail minimum). page 6

27 IFI1 REFERENCES : [1] M. Kerguignas, C. Caignaert : «Résistance des Matériau», Editions Dunod [] R. Boudet, P. Stephan, «Vous avez dit : résistance des Matériau», Editions Cépaduès [3] S. Timoshenko, «Résistance des matériau» [4] A. iet, L.eminard, «Résistance des matériau», édition Dunod [5] A. iet, «Problèmes de résistance des matériau», éditions Dunod [6] R.. Budnas : Advanced strength and Applied Stress Analsis, Mcraw-Hill International editions 1999 page 7

28 IFI1 page 8