Devoir de mathématiques n 1. Correction

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1 Devoir de mathématiques n 1 Correction Exercice 1 À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative : Fonction Caractéristiques Courbe correspondante f 1 a > 0 et Δ < 0 C 2 f 2 a > 0 et Δ > 0 C 3 f 3 a < 0 et Δ = 0 C 4 f 4 a < 0 et Δ > 0 C 1 Exercice 2 Le maximum de la fonction f est égal à 0. Par conséquent, pour tout nombre réel x, f(x) 0. Ainsi, f est une fonction polynôme du second degré telle que f(x) 0 donc : a/ a > 0 et Δ < 0 b/ a < 0 et Δ = 0 c/ a < 0 et Δ < 0 d/ La courbe représentative de la fonction f coupe l'axe des abscisses en deux points. e/ L'équation f(x) = 0 admet une seule solution. Exercice 3 Forme canonique Donner, en détaillant vos calculs, la forme canonique des fonctions polynômes f du second degré définis par : 1. f(x) = 3 2 x² + 15x + 30 Méthode 1 f(x) = 3 2 x² + 15x + 30 f(x) = 3 2 (x x + 20) f(x) = 3 2 [(x + 5) ] Page1

2 Méthode 2 f(x) = 3 2 [(x ( 5))2 5] f(x) = 3 2 (x ( 5)) = = 5 2 a = 3 2 ; b = 15 ; c = 30 β = f(α)= 3 2 ( 5) ( 5) + 30 = 15 2 f(x) = 3 2 (x ( 5)) f(x) = 2x² 8x + 10 Méthode 1 f(x) = 2x 2 8x + 10 f(x) = 2(x 2 4x + 5) f(x) = 2((x 2) ) Méthode 2 f(x) = 2((x 2) 2 + 1) f(x) = 2(x 2) a = 2 ; b = 8 ; c = 10 = ( 8) 2 2 = 2 β = f(α)=2 2² = 2 f(x) = 2(x 2) ) f(x) = x x 1 9 Méthode 1 f(x) = x x 1 9 f(x) = (x x ) f(x) = [(x ) ] f(x) = [(x ) ] f(x) = (x ) Méthode 2 a = 1 ; b = 2 3 ; c = 1 9 = ( 2 3 ) 2 ( 1) = 1 3 β = f(α)= ( 1 3 )² 2 3 ( 1 3 ) 1 9 = 0 3. f(x) = (x )2 Page2

3 Exercice 4 Equations et inéquations du second degré Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1/ 7 x² + 3 x + 34 = 0 a = 7 ; b = 3 ; c = 34 = 3² 4 ( 7) 34 = = 961 > 0 donc l équation admet 2 solutions ( 7) ( 7) 2 S = { 2 ; 17 7 } 2/ 3x² 8x+4 x 1 = 0 D f = R\{1} Sur D f = R\{1} : 3x² 8x+4 x 1 = ( 8)² = = 16 > 0 donc l équation admet 2 solutions = 0 3x² 8x + 4 = 0 avec a = 3 ; b = 8 ; c = S = { 2 3 ; 2} 3/ 5 x x > 8 a = 5 ; b = 4 ; c = 8 = 4² = < 0 donc 5 x x + 8 est du signe de a soit positive sur R. S = ] ; + [ 4/ 8 x x 50 < 0 a = 8 ; b = 40 ; c = 50 = 0 α = 40 2 ( 8) α = 5 2 = 0 donc 8 x x 50 est du signe de a et s annule en x = 5. Elle est donc tout le 2 temps négative et s annule en x = 5 2. S = ] ; 5 2 [ ]5 2 ; + [ 5/ 3x 3 + 2x² 16x 0 x( 3x 2 + 2x 16 ) 0 a = 3 ; b = 2 ; c = 16 Page3

4 = b 2 4ac = ( 3) ( 16) = = 188 < 0 donc 3x 2 + 2x 16 est du signe de a soit négative sur R. x 0 + 3x 2 + 2x 16 x 0 + x( 3x 2 + 2x 16 ) + 0 S = [0; + [ b/ Déduire, si possible, à l'aide du a/ des factorisations des cinq polynômes. 1. f(x) = 7 x² + 3 x + 34 = 7(x + 2) (x 17 ) 7 2. f(x) = 3x² 8x + 4 = 3 (x 2 ) (x 2) 3 3. f(x) = 5 x x + 8 comme = 144 < 0 le polynôme n est pas factorisable. 4. f(x) = 8x² + 40 x 50 = 8 (x 5 2 )2 5. f(x) = 3x 2 + 2x 16 comme = 188 < 0 le polynôme n est pas factorisable. On a seulement : 3x 3 + 2x² 16x = x( 3x 2 + 2x 16 ) Exercice 5 Une chaîne d hôtels désire orienter ses investissements. Elle réalise une analyse sur le bénéfice B(x) de chaque hôtel, en fonction du taux d occupation des chambres x exprimé en pourcentage. Pour x appartenant à [20 ; 200], on a : B(x) = x² + 160x + c. 1. Calculer c sachant que pour un taux d occupation de 40%, le bénéfice est de Dans la suite des questions, on suppose que c = Dresser le tableau de variations de la fonction B (des justifications sont attendues). 3. En déduire la valeur de x pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le bénéfice maximal que peut espérer réaliser cette chaîne hôtelière? 4. Déterminer par le calcul, le seuil de rentabilité, c est-à-dire le taux d occupation pour lequel le bénéfice est nul. 1/ si B(40) = 9000 on a : 9000 = 40² c = c c = / B est une fonction dont l équation est du type ax² + bx + c, c est l équation d une parabole. a = 1 < 0 donc la parabole est tournée vers le bas. b 160 Coordonnées du sommet : = 80 2 = B( ) = 80² = Page4

5 On en déduit le tableau de variations : x B(x) / Le bénéfice maximal est atteint pour une occupation des chambres de 80%. La chaîne hôtelière peut espérer un bénéfice maximal de / B(x) = 0 x² + 160x = 0 = 160² 4 ( 1) 4200 = > L équation a deux solutions : 182, et x 2 22, 95 IMPOSSIBLE 2 Le seuil de rentabilité est pour une occupation des chambres de 182,95%. Exercice 6 (2 points) On considère la fonction g définie sur R par : g(x) = 3x² + 2x + c Déterminez c pour que le polynôme ait deux racines distinctes. Calculons le discriminent : = 2² 4 ( 3) c = c Pour que l équation admette deux racines, il faut que > 0 donc on cherche les valeurs de c telles que c > 0 Pour que le polynôme ait deux racines distinctes, il faut que c ] 1 3 ; + [ Exercice 7 (4 points) Soit f et g deux polynômes définis sur R par : f(x) = x 4 x 3 5x 2 2x + 11 g(x) = x 3 + 5x 2 2x + 2 Page5

6 Soit C f et C g leurs courbes représentatives dans un même repère. 1/ Exprimer h(x) = f(x) g(x) en fonction de x. h(x) = f(x) g(x) h(x) = x 4 x 3 5x 2 2x x 3 5x 2 + 2x 2 h(x) = x 4 10x / Factoriser le polynôme : X² 10X + 9 a = 1 ; b = 10 ; c = 9 = ( 10)² = = 64 > 0 donc le polynôme admet 2 racines X 1 = X 1 = X 1 = 1 X 2 = X 2 = X 2 = 9 Donc X² 10X + 9 = (X 1)(X 9) 3/ De la question précédente, en déduire une factorisation de h(x). On a : h(x) = x 4 10x = X 2 10X + 9 = (X 1)(X 9) où X = x² Donc, grâce aux identités remarquables (différence de deux carrés) X 1 = x 2 1 = (x 1)(x + 1) Et X 9 = x 2 9 = (x 3)(x + 3) Une factorisation de h(x)est donc : h(x) = (x 1)(x + 1)(x 3)(x + 3) 4/ Etablir le tableau de signe de h(x) x x x x h(x) / Déterminer alors la position relative des courbes C f et C g. h(x) > 0 f(x) g(x) > 0 f(x) > g(x) sur ] ; 3[ ] 1 ; 1[ ]3 ; + [ Donc C f est au-dessus de C g sur ] ; 3[ ] 1 ; 1[ ]3 ; + [. h(x) < 0 f(x) g(x) < 0 f(x) < g(x) sur ] 3 ; 1[ ]1 ; 3[ Donc C f est en dessous de C g sur ] 3 ; 1[ ]1 ; 3[. Page6

7 Exercice 8 ( 2,5 points) Si on augmente de 2 cm la longueur de l arête d un cube, son volume augmente de 2402 cm 3. Combien mesure l arête de ce cube? Soit x la longueur de l arête du cube. On doit résoudre l équation : (x + 2) 3 = x C est-à-dire : (x + 2) 3 = x x 3 + 6x x + 8 = x x 3 + 6x x + 8 x = 0 6x x 2394 = 0 = (12)² 4 6 ( 2394) = = > 0 donc l équation admet 2 solutions La longueur de l arête du cube ne pouvant être négative, l arête du cube mesure 19 cm. Page7