Devoir de mathématiques n 1. Correction

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1 Page1 Devoir de mathématiques n 1 Exercice 1 Correction Le maximum de la fonction f est égal à 0. Par conséquent, pour tout nombre réel x, f(x) 0. Ainsi, f est une fonction polynôme du second degré telle que f(x) 0 donc : a/ a > 0 et Δ < 0 b/ a < 0 et Δ = 0 c/ a < 0 et Δ < 0 d/ La courbe représentative de la fonction f coupe l'axe des abscisses en deux points. e/ L'équation f(x) = 0 admet une seule solution. Exercice À partir des informations données sur le signe de a et sur le discriminant, associer à chaque fonction sa courbe représentative : Fonction Caractéristiques Courbe correspondante f 1 a > 0 et Δ < 0 C f a > 0 et Δ > 0 C 3 f 3 a < 0 et Δ = 0 C 4 f 4 a < 0 et Δ > 0 C 1 Exercice 3 Forme canonique Donner, en détaillant vos calculs, la forme canonique des fonctions polynômes f du second degré définis par : 1. f(x) = x² 8x + 6 Méthode 1 f(x) = x 8x + 6 f(x) = (x 4x + 3) f(x) = ((x ) 4 + 3) Méthode f(x) = ((x ) 1) f(x) = (x ) a = ; b = 8 ; c = 6

2 Page = ( 8) = β = f(α)= ² = f(x) = (x ). f(x) = x 3 x 1 9 Méthode 1 f(x) = x 3 x 1 9 f(x) = (x + 3 x ) f(x) = [(x + 6 ) ] f(x) = [(x ) ] f(x) = (x ) Méthode a = 1 ; b = 3 ; c = 1 9 = ( 3 ) ( 1) = 1 3 β = f(α)= ( 1 3 )² 3 ( 1 3 ) 1 9 = 0 f(x) = (x ) 3. f(x) = 5 x² + 15x + 30 Méthode 1 f(x) = 5 x² + 15x + 30 f(x) = 5 (x + 6 x + 1) f(x) = 5 [(x + 3) 9 + 1] Méthode f(x) = 5 [(x + 3) + 3] f(x) = 5 (x + 3) + 15 a = 5 ; b = 15 ; c = 30 = 15 5 = 3 β = f(α)= 5 ( 3)² + 15 ( 3) + 3 = 15 f(x) = 5 (x + 3) + 15

3 Page3 Exercice 4 Equations et inéquations du second degré Résoudre dans R les équations et inéquations suivantes : 1/ 7 x² + 3 x + 34 = 0 a = 7 ; b = 3 ; c = 34 = 3² 4 ( 7) 34 = = 961 > 0 donc l équation admet solutions / 3x² 8x+4 x 1 = 0 D f = R\{1} Sur D f = R\{1} : 3x² 8x+4 x 1 = ( 8)² = = 16 > 0 donc l équation admet solutions ( 7) 17 7 S = { ; 17 7 } ( 7) = 0 3x² 8x + 4 = 0 avec a = 3 ; b = 8 ; c = S = { 3 ; } 3/ 5 x + 4 x + 3 > 0 a = 5 ; b = 4 ; c = 3 = 4² = = < 0 donc 5 x + 4 x + 3 est du signe de a soit positive sur R. S = ] ; + [ 4/ 4 x + 0 x 5 < 0 a = 4 ; b = 0 ; c = 5 = 0² 4 ( 4) ( 5) = = 0 α = 0 ( 4) α = 5 = 0 donc 4 x + 0 x 5 est du signe de a et s annule en x = 5. Elle est donc tout le temps négative et s annule en x = 5. S = ] ; 5 [ ]5 ; + [ 5/ 3x 3 + x² 16x 0 x( 3x + x 16 ) 0 a = 3 ; b = ; c = 16 = b 4ac = 4 ( 3) ( 16) = 4 19 = 188

4 Page4 < 0 donc 3x + x 16 est du signe de a soit négative sur R. x 0 + 3x + x 16 x 0 + x( 3x + x 16 ) + 0 S = [0; + [ b/ Déduire, si possible, à l'aide du a/ des factorisations des cinq polynômes. 1. f(x) = 7 x² + 3 x + 34 = 7(x + ) (x 17 ) 7. f(x) = 3x² 8x + 4 = 3 (x ) (x ) 3 3. f(x) = 5 x + 4 x + 3 comme = 44 < 0 le polynôme n est pas factorisable. 4. f(x) = 4 x + 0 x 5 = 4 (x 5 ) 5. f(x) = 3x + x 16 comme = 188 < 0 le polynôme n est pas factorisable. On a seulement : 3x 3 + x² 16x = x( 3x + x 16 ) Exercice 5 Une chaîne d hôtels désire orienter ses investissements. Elle réalise une analyse sur le bénéfice B(x) de chaque hôtel, en fonction du taux d occupation des chambres x exprimé en pourcentage. Pour x appartenant à [0 ; 00], on a : B(x) = x² + 160x + c. 1. Calculer c sachant que pour un taux d occupation de 40%, le bénéfice est de Dans la suite des questions, on suppose que c = Dresser le tableau de variations de la fonction B (des justifications sont attendues). 3. En déduire la valeur de x pour laquelle le bénéfice est maximal. Quel est le bénéfice maximal que peut espérer réaliser cette chaîne hôtelière? 4. Déterminer par le calcul, le seuil de rentabilité, c est-à-dire le taux d occupation pour lequel le bénéfice est nul. 1/ si B(40) = 9000 on a : 9000 = 40² c = c c = 400. / B est une fonction dont l équation est du type ax² + bx + c, c est l équation d une parabole. a = 1 < 0 donc la parabole est tournée vers le bas. b 160 Coordonnées du sommet : = 80 = B( ) = 80² = 10600

5 Page5 On en déduit le tableau de variations : x B(x) / Le bénéfice maximal est atteint pour une occupation des chambres de 80%. La chaîne hôtelière peut espérer un bénéfice maximal de / B(x) = 0 x² + 160x = 0 = 160² 4 ( 1) 400 = 4400 > L équation a deux solutions : 18, et x, 95 IMPOSSIBLE Le seuil de rentabilité est pour une occupation des chambres de 18,95%. Exercice 6 (,5 points) Si on augmente de cm la longueur de l arête d un cube, son volume augmente de 40 cm 3. Combien mesure l arête de ce cube? Soit x la longueur de l arête du cube. On doit résoudre l équation : (x + ) 3 = x C est-à-dire : (x + ) 3 = x x 3 + 6x + 1x + 8 = x x 3 + 6x + 1x + 8 x 3 40 = 0 6x + 1x 394 = 0 = (1)² 4 6 ( 394) = = > 0 donc l équation admet solutions La longueur de l arête du cube ne pouvant être négative, l arête du cube mesure 19 cm. Exercice 7 ( points) On considère la fonction g définie sur R par :

6 Page6 g(x) = 0,5x² + x + c Déterminez c pour que le polynôme ait deux racines distinctes. Calculons le discriminent : = ² 4 ( 0,5) c = 4 + c = ( + c) Pour que l équation admette racines, il faut que > 0 donc on cherche les valeurs de c telles que ( + c) > 0 ( + c) > 0 + c > 0 c > Pour que le polynôme ait deux racines distinctes, il faut que c ] ; + [ Exercice 8 (4 points) Soit f et g deux polynômes définis sur R par : f(x) = x 4 x 3 5x x + 11 g(x) = x 3 + 5x x + Soit C f et C g leurs courbes représentatives dans un même repère. 1/ Exprimer h(x) = f(x) g(x) en fonction de x. h(x) = f(x) g(x) h(x) = x 4 x 3 5x x x 3 5x + x h(x) = x 4 10x + 9 / Factoriser le polynôme : X² 10X + 9 a = 1 ; b = 10 ; c = 9 = ( 10)² = = 64 > 0 donc le polynôme admet racines X 1 = X 1 = X 1 = 1 X = X = X = 9 Donc X² 10X + 9 = (X 1)(X 9) 3/ De la question précédente, en déduire une factorisation de h(x). On a : h(x) = x 4 10x + 9 = X 10X + 9 = (X 1)(X 9) où X = x² Donc, grâce aux identités remarquables (différence de deux carrés) X 1 = x 1 = (x 1)(x + 1)

7 Page7 Et X 9 = x 9 = (x 3)(x + 3) Une factorisation de h(x)est donc : h(x) = (x 1)(x + 1)(x 3)(x + 3) 4/ Etablir le tableau de signe de h(x) x x x x h(x) / Déterminer alors la position relative des courbes C f et C g. h(x) > 0 f(x) g(x) > 0 f(x) > g(x) sur ] ; 3[ ] 1 ; 1[ ]3 ; + [ Donc C f est au-dessus de C g sur ] ; 3[ ] 1 ; 1[ ]3 ; + [. h(x) < 0 f(x) g(x) < 0 f(x) < g(x) sur ] 3 ; 1[ ]1 ; 3[ Donc C f est en dessous de C g sur ] 3 ; 1[ ]1 ; 3[.