Correction. Partiel Avril 2005 MT 252 Année
|
|
- Françoise Bellefleur
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Partiel Avril 5 MT 5 Année 4-5 Correction Corrigé Exercice. a) D après l énoncé, on sait déjà que B est une forme bilinéaire symétrique. Il s agit donc de vérifier que B est définie positive c est-à-dire que Bv, v) pour tout v R 3 et Bv, v) = v =. Or, v = x, y, z) R 3, Bv, v) = x + y + z) + y + z) + z. Ainsi Bv, v) est la somme de trois carrés. On en déduit que Bv, v) pour tout v R 3 et que Bv, v) = si et seulement si chacun de ses trois carrés est nul. D où x + y + z = Bv, v) = y + z = z = En résolvant le système, on obtient z = y = x =, autrement dit v =. Ainsi Bv, v) = si et seulement si v =. La forme bilinéaire B est donc bien un produit scalaire. b) Il s agit de déterminer une base orthonormée et «qui dit base orthonormée, dit Gram-Schmi». On applique donc le processus d orthonormalisation de Gram-Schmi à la base canonique ε, ε, ε 3 ) de R 3. On a alors deux méthodes. Première méthode. On connaît par cœur les formules pour obtenir la base orthonormée e, e, e 3 ) : ε e = ε e e = e où e = ε ε, e e e 3 = e 3 e 3 où e 3 = ε 3 ε 3, e e ε 3, e e. Il ne reste plus qu à les appliquer en faisant attention que le produit, dont il est question dans les formules ci-dessus n est pas le produit scalaire usuel i.e. xx + yy + zz ) mais le produit scalaire B. De même, la norme d un vecteur se calcule par la formule v = Bv, v). On obtient alors ε e = Bε, ε ) e = e Be, e ) où e = ε Bε, e )e e 3 = e 3 Be 3, e 3) où e 3 = ε 3 Bε 3, e )e Bε 3, e )e. On obtient alors successivement Bε, ε ) = + + ) + + ) + = et e = ε =,, ); puis Bε, e ) = + + ) + + ) + + ) + ) + = et e = ε e =,, ); d où Be, e ) = + + ) + + ) + = et e = e =,, ); enfin { Bε3, e ) = + + ) + + ) + + ) + ) + = Bε 3, e ) = + + ) + + ) + + ) + ) + = d où e 3 = ε 3 e e =,, ) et Be 3, e 3) = + ) + + ) + = ; et e 3 = e 3 =,, ). Finalement e =,, ), e =,, ) et e 3 =,, ).
2 Deuxième méthode. La deuxième méthode se décompose en deux étapes : on construit d abord une base orthogonale v, v, v 3 ) puis on la normalise pour obtenir e, e, e 3 ). On pose v = ε v = ε αv v 3 = ε 3 βv γv. On détermine alors α par la condition v, v = puis β et γ par les conditions v, v 3 = et v, v 3 =. On obtient alors les formules α = ε, v v, v, β = ε 3, v v, v et γ = ε 3, v v, v. Comme précédemment, le produit scalaire de deux vecteurs se calcule à l aide de B, ainsi α = Bε, v ) Bv, v ) =, β = Bε 3, v ) Bv, v ) = et γ = Bε 3, v ) Bv, v ) =, et v = ε =,, ), v = ε ε =,, ) et v 3 = ε 3 v v =,, ). Pour finir, on normalise les vecteurs pour obtenir e = v v = v Bv, v ) =,, ), e = v Bv, v ) =,, ) et e 3 = v 3 =,, ). Bv3, v 3 ) Corrigé Exercice. a) On cherche une base orthonormée. Encore une fois, «qui dit base orthonormée, dit Gram-Schmi». Voyons comment les deux méthodes de l exercice précédent se transposent ici. Pour commencer, il faut choisir la base de F de laquelle on va partir pour appliquer le processus de Gram-Schmi. On choisit la base la plus «simple» : ε = et ε = x. Première méthode. On applique les formules du cours pour obtenir la base orthonormée e, e ) de F ε e = ε e e = e où e = ε ε, e e. On commence par calculer On obtient alors e = ε =. On calcule alors ε, e = t =, e = x ε =, = =. et e = t ) = [ 3 t ) ] 3 =. Finalement, e = et e = x /). Deuxième méthode. La deuxième méthode se décompose en deux étapes : on construit d abord une base orthogonale v, v ) de F puis on la normalise pour obtenir la base orthonormée e, e ) de F. On pose { v = ε v = ε λv On détermine alors λ par la condition v, v =. Or v, v = ε, v λ v, v. Ainsi λ = ε, v v, v = t =. Ainsi v = et v = x /. On normalise maintenant v et v en calculant
3 v = v, v = = et v = v, v = On a donc e = v v = et e = v v = x ). b) On remarque que ax + b x ) dx = ax + b x. t = ). Lorsque a et b parcourent R, les polynômes ax + b décrivent F. Ainsi, d après la proposition 8 du polycopié de cours, cette quantité est minimale si ax + b = pr). On utilise alors la formule donnée dans cette même proposition pour calculer pr). Comme e, e ) est une base orthonormée de F, on a ) pr) = R, e e + R, e e = t + t t ) ) x ). Ainsi pr) = x 6. c) Comme = ε F, on a pε ) = ε =. De même, x = ε F, on a pε ) = ε = x un vecteur du sous-espace sur lequel on projette n est pas modifié par projection). On obtient donc comme matrice A = /6. En effet, on rappelle que sur la première colonne de la matrice se trouve les coordonnés de p) = dans la base B =, x, x ); sur la deuxième colonne de la matrice se trouve les coordonnés de px) = x dans la base B ; sur la troisième colonne de la matrice se trouve les coordonnés de px ) = x /6 dans la base B. Une remarque à propos de la matrice A. Elle n est pas symétrique bien que ce soit la matrice de l endomorphisme p qui lui est symétrique puisque c est un projecteur orthogonal voir l exemple page )). Mais la matrice d un endomorphisme symétrique n est symétrique que si la base dans laquelle on l écrit est une base orthonormée. Ici la base, x, x ) n est pas orthonormée et donc il est normal que A ne soit pas symétrique. Corrigé Exercice 3. a) L application x, y) xy est une application polynomiale donc elle est continue sur R ], + [ prop. 4v)). L application t e t est continue sur R. Par composition prop. 4ii)), l application x, y) e xy est continue sur R ], + [. L application x, y) y est continue sur R ], + [ puisque c est la fonction deuxième coordonnée prop. 4i)). De plus, elle ne s annule pas sur R ], + [. Par quotient prop. 4iv)), l application f est donc continue. La fonction f est continue sur R [, ] R ], + [, donc, d après la proposition, F est continue sur R. b) Il s agit d appliquer le théorème 5. Il faut donc en vérifier les hypothèses. Il y en a trois : i) La fonction f est continue sur R [, ]. ii) La fonction x fx, t) est dérivable c est-à-dire f existe. iii) La fonction x, t) f x, t) est continue. Le i) est déjà connu. Pour ii), l application g : x ext t est bien dérivable et g x) = f x, t) =. Enfin pour iii), on sait déjà que les applications x, t) t et text x, t) e xt sont continues. Ainsi, par produit prop. 4iii)), f est continue sur R [, ]. L application F est donc dérivable sur R d après la proposition 5.
4 c) Toujours d après la proposition 5, on sait que x R, F x) = Pour x =, on a F ) = Pour x, on a F x) = te xt = x f x, t) = t = 3. xte xt = x te xt. Et on trouve bien x R {}, F x) = ex x e3x ). [e xt] t= t= = x e4x e x ). Pour calculer F x) pour x, on aurait très bien pu poser le changement de variable u = xt et obtenir F x) = x 4x x e u du = e4x e x x = ex x e3x ). Corrigé Exercice 4. a) En t, l application ϕ est continue comme quotient de deux fonctions continues dont le dénominateur ne s annule pas. Regardons en t =, D où Ainsi ϕ est continue en et donc sur R+. ϕt) = arctant t = arctant arctan. t ) lim ϕt) = arctan ) = t + t ) = = ϕ). b) Il s agit ici d appliquer le théorème 8. Il y a 5 hypothèses à vérifier. Pour simplifier les notations, on pose ψ : x, t) xϕxt) + t. i) L application ψ est continue sur R+ R+. ii) Il existe x R+ tel que l intégrale sur R+ de t ψx, t) soit convergente. iii) La dérivée partielle existe sur R+ R+. iv) L application x, t) x, t) est continue sur R+ R+. v) L hypothèse de domination sur. Vérifions point par point ces hypothèses. i) L application x, t) xt est continue sur R+ R+ car polynomiale prop.4v)). De plus, xt R+ pour x, t) R+ R+. Comme l application ϕ : R+ R est continue d après la question a. On en déduit, par composition prop. 4ii)), que x, t) ϕxt) est continue sur R+ R+. Par ailleurs, l application première coordonnée x, t) x est continue prop.4i)). Ainsi, par produit prop. 4iii)), x, t) xϕxt) est continue sur R+ R+. Pour finir, l application x, t) + t est continue sur R+ R+ car polynomiale prop.4v)) et ne s annule pas. Donc, par quotient prop.4iv)), l application ψ est continue sur R+ R+. ii) Choisissons x =, on a alors ψ, t) = et est bien convergente. =
5 iii) On définit l application γ : R+ R+ R x, t) + t ) + x t ). Il s agit donc d étudier la dérivabilité de la fonction x ψx, t) attention, cette application n est pas l application ψ qui est une fonction de deux variables!) pour tout t R+. Supposons t =. On a ψx, ) = xϕ) = x. L application x ψx, ) est donc dérivable sur R+ et x, ) = = γx, ). Supposons t >. Pour x >, on a alors ψx, t) = arctanxt t + t ). L application x ψx, t) est alors dérivable sur ], + [ et x, t) = + t ) + x t ). Il reste à étudier la fonction dérivabilité en x = de la fonction x ψx, t). On calcule donc ψx, t) ψ, t) x = arctanxt xt + t ) = ϕxt) + t. En passant à la limite lorsque x, on obtient par continuité de ϕ en, l existence de au point, t) et ψx, t) ψ, t), t) = lim = = γ, t). x x + t Finalement, x, t) est bien défini pour tout x, t) R+ R+ et x, t) R+ R+, x, t) = γx, t) = + t ) + x t ). iv) L application x, t) +t )+x t ) est continue car polynomiale) et ne s annule pas. L application constante x, t) est continue. Donc, par quotient prop.4iv)), l application γ = est continue. v) Il s agit de majorer x, t) par une fonction de t qui ne dépend pas de x et telle que l intégrale de cette fonction soit convergente. Or x, t) R+ R+, x, t) = x, t) + t. et = [arctant]+ + t = π. Donc la fonction t + t ) ne dépend pas de x et son intégrale entre et + est convergente. La proposition 8 s applique donc et F est bien définie et continûment dérivable sur R+. c) Commençons par démontrer l indication. En réduisant au même dénominateur, on trouve x + t x ) + x t = + x t x t x ) x + t ) + x t = ) + t ) + x t ). On «invente» cette formule grâce à la décomposition en éléments simples des fractions rationnelles. D après la proposition 8, on a x R+, F x) = Ainsi, pour x ], [ ], + [, on obtient x, t) = + t ) + x t ).
6 F x) = x + t x ) + x t = [ x [arctant] + arctanxt x x D où F x) = π ) x xπ = π x x = π + x). d) D après la proposition 8, F est une fonction continue sur R+. La fonction x π + x)) est elle aussi continue sur R+ c est l inverse d une fonction continue qui ne s annule pas). Ces deux fonctions coïncident sur x ], [ ], + [ et donc par continuité aussi en et. Ainsi la formule est valable sur R+ tout entier. e) On en déduit alors en intégrant, Fx) F) = Or ψ, t) =, d où F) = et x F x) = F t) = π π + x) x t + = π ln + x) ln ). ] + ). x R+, Fx) = π ln + x). Corrigé Exercice 5. a) Voir la figure?? y a x a x +a x Fig. La fonction f b) Il s agit de montrer que Comme f est nulle en dehors de ] x a, x + a [, on a fx)dx = x+a x a fx)dx =. fx)dx = a x+a x a dx = a a =.
7 c) Comme f est nulle en dehors de ] x a, x + a [, on a x n = x n fx)dx = x+a x a En particulier, pour n =, on trouve x = 4a x n fx)dx = a x+a x a x n dx = x + a) x a) ) = 4a a x = x, x + a) n+ x a) n+). an + ) grâce à l égalité X Y = X Y)X + Y). Pour n =, la relation X 3 Y 3 = X Y)X + XY + Y ) fournit x = x + a) 3 x a) 3) = 6a 6a a x + a) + x + a)x a) + x a) ). D où, en développant, on a x = 3 3x + a ) et x) = a 3. d) x n = x + a) n+ x a) n+). an + ) e) Grâce à l identité X n+ Y n+ = X Y)X n + X n Y + + XY n + Y n ), on obtient x n = a x + a) n + x + a) n x a) + + x + a)x a) n + x a) n)). an + ) D où, x n = x + a) n + x + a) n x a) + + x + a)x a) n + x a) n). n + Lorsque a, chacun des termes de la somme tend vers x n. Il y a n + termes. D où lim a xn = x n ; lim x = x et lim x) a = lim a a a 3 =. La limite se comporte comme la variable aléatoire constante x i.e. comme le résultat d un dé dont toutes les faces sont des x ). f) Fk) = π x+a x a Comme x =, on trouve pour k, Fk) = [ e ikx 4aπ ik et F) = πa ] a fx)e ikx dx = 4aπ a x+a x a e ikx dx. = e ika e ika) sin ka = 4aikπ πka, a a dx = π.
I. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailEspérance conditionnelle
Espérance conditionnelle Samy Tindel Nancy-Université Master 1 - Nancy Samy T. (IECN) M1 - Espérance conditionnelle Nancy-Université 1 / 58 Plan 1 Définition 2 Exemples 3 Propriétés de l espérance conditionnelle
Plus en détailBaccalauréat ES Pondichéry 7 avril 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Pondichéry 7 avril 204 Corrigé EXERCICE 4 points Commun à tous les candidats. Proposition fausse. La tangente T, passant par les points A et B d abscisses distinctes, a pour coefficient
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailExercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques.
14-3- 214 J.F.C. p. 1 I Exercice autour de densité, fonction de répatition, espérance et variance de variables quelconques. Exercice 1 Densité de probabilité. F { ln x si x ], 1] UN OVNI... On pose x R,
Plus en détailOM 1 Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables
Outils mathématiques : fonction de plusieurs variables PCSI 2013 2014 Certaines partie de ce chapitre ne seront utiles qu à partir de l année prochaine, mais une grande partie nous servira dès cette année.
Plus en détailRaisonnement par récurrence Suites numériques
Chapitre 1 Raisonnement par récurrence Suites numériques Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Raisonnement par récurrence. Limite finie ou infinie d une suite.
Plus en détailExo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailLE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailNotes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101 Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Guy Desaulniers Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2014 Table des matières
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailMéthodes de quadrature. Polytech Paris-UPMC. - p. 1/48
Méthodes de Polytech Paris-UPMC - p. 1/48 Polynôme d interpolation de Preuve et polynôme de Calcul de l erreur d interpolation Étude de la formule d erreur Autres méthodes - p. 2/48 Polynôme d interpolation
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailIntégrales doubles et triples - M
Intégrales s et - fournie@mip.ups-tlse.fr 1/27 - Intégrales (rappel) Rappels Approximation éfinition : Intégrale définie Soit f définie continue sur I = [a, b] telle que f (x) > 3 2.5 2 1.5 1.5.5 1 1.5
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailNotes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables
Notes du cours MTH1101N Calcul I Partie II: fonctions de plusieurs variables Fausto Errico Département de mathématiques et de génie industriel École Polytechnique de Montréal Automne 2012 Table des matières
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailOptimisation Discrète
Prof F Eisenbrand EPFL - DISOPT Optimisation Discrète Adrian Bock Semestre de printemps 2011 Série 7 7 avril 2011 Exercice 1 i Considérer le programme linéaire max{c T x : Ax b} avec c R n, A R m n et
Plus en détailSur certaines séries entières particulières
ACTA ARITHMETICA XCII. 2) Sur certaines séries entières particulières par Hubert Delange Orsay). Introduction. Dans un exposé à la Conférence Internationale de Théorie des Nombres organisée à Zakopane
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailCours de Mécanique du point matériel
Cours de Mécanique du point matériel SMPC1 Module 1 : Mécanique 1 Session : Automne 2014 Prof. M. EL BAZ Cours de Mécanique du Point matériel Chapitre 1 : Complément Mathématique SMPC1 Chapitre 1: Rappels
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailf n (x) = x n e x. T k
EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous ls candidats Pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, on désign par f n la fonction défini sur R par : f n (x) = x n x. On not C n sa courb rprésntativ dans un rpèr
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailEquations différentielles linéaires à coefficients constants
Equations différentielles linéaires à coefficients constants Cas des équations d ordre 1 et 2 Cours de : Martine Arrou-Vignod Médiatisation : Johan Millaud Département RT de l IUT de Vélizy Mai 2007 I
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailFiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas
Fiche PanaMaths Calculs avec les fonctions sous Xcas Cette fiche destinée aux élèves des classes de Terminale requiert un premier niveau de connaissance du logiciel Xcas. Définition d une fonction Fonctions
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailSOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique
SOCLE COMMUN - La Compétence 3 Les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique DOMAINE P3.C3.D1. Pratiquer une démarche scientifique et technologique, résoudre des
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailExercices et corrigés Mathématique générale Version β
Université libre de Bruxelles Années académiques 2008-2050 Université catholique de Louvain Exercices et corrigés Mathématique générale Version β Laurent Claessens Nicolas Richard Dernière modification
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailChapitre VI Fonctions de plusieurs variables
Chapitre VI Fonctions de plusieurs variables 6. 1 Fonctions différentiables de R 2 dans R. 6. 1. 1 Définition de la différentiabilité Nous introduisons la différentiabilité sous l angle des développements
Plus en détail