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1 Makram BEN DBABIS Associate Towers Watson & Doctorant Mathématiques Appliquées en Sciences Actuarielles Université Paris Dauphine December 14, 2010

2 PLAN PROBLÉMATIQUE, INTÉRÊT DU SUJET 1 PROBLÉMATIQUE, INTÉRÊT DU SUJET

3 NOUVEAUX CHALLENGES PROBLÉMATIQUE NOUVEAUX CHALLENGES Après le secteur bancaire, l assurance fait face aux nouveaux référentiels : comptables (IFRS 1 ), économiques (MCEV 2 )& prudentiels (Solvabilité II). Quantifier un risque futur en lui attribuant une juste valeur aujourd hui Evaluation du capital de solvabilité à horizon d un an P (Valeur nette des actifs dans 1 an 0) 0.5% (1) 1 International Financial Reporting Standards, applicables depuis Janvier Market Consistent Embedded Value

4 NOUVEAUX CHALLENGES PROBLÉMATIQUE PROBLÉMATIQUE Engagements d assurance vie s étalent sur plusieurs années, Dépendance actif passif vu les options cachées : participation aux bénéfices, rachat,... Evaluation Mark to Market où Mark to Model des actifs et des passifs. Risques réplicables vs Risques non réplicables (risques techniques) Exploitation de l information d expérience des portefeuilles d assurance (exp : Mortalité, Longévité... ) Complexité de détermination de la distribution des fonds propres économiques

5 OBJECTIFS &ETAPES OBJECTIFS &ETAPES Présenter et comparer, dans un référentiel Solvabilité II, différentes options de modélisation des fonds propres économiques dans un modèle interne (Partie 1). Modélisation stochastique de la mortalité d expérience a (Partie 2) a Ben DBABIS.M (2010), Modélisation stochastique de la mortalité d expérience et effets de sélection adverse, Bulletin français d actuariat, vol 20, 2010.

6 FORMALISATION THÉORIQUE Soient : t l indice du temps, (Ω, F, Q) un espace de probabilité, Q la probabilité risque neutre, (F t) t 0 filtration caractérisant l information financière disponible Adoptons la notation suivante : MAV t : la valeur du marché des actifs à l instant t "Market Assets Value", NAV t : Valeur nette des actifs à l instant t ou fonds propres économiques "Net Assets Value", LFV t : la valeur économique des engagements de l assureur "Liability fair value". MAV t = NAV t + LFV t (2)

7 BILAN ECONOMIQUE Bilan économique NAV MAV t t LFV t La LFV englobe des prestations, des commissions, des frais généraux, des prélèvements sociaux, augmentés éventuellement du reliquat de provisions mathématiques présent en fin de projection et de la part des assurés dans la richesse résiduelle. Ces flux en plus des flux d actifs sont issus du modèle ALM alimenté par des tables de scénarios (marché, rachat, mortalité... ) = Valorisation des différents flux & modélisation de la situation nette à 1 an

8 MÉTHODE SDS FIGURE: L approche SdS

9 MÉTHODE SDS FIGURE: Capital économique SdS Le capital économique SdS est donc défini par la différence entre la situation nette à la date 0 NAV 0 et la situation nette à la date 1 NAV 1 dans le scénario d occurrence 0.5%, vu à la date 0. SCR = NAV 0 Q 0.5% (NAV 1 ) e r (3)

10 MÉTHODE SDS ( Soit F (r) t ) t 0 la filtration représentant l information monde réel relative et définissons l espace de probabilité filtré (Ω r, F r, P) où P représente la mesure de probabilité historique. Le premier jeu de simulation monde réel lancé sur cet espace de probabilité historique. NAV 1 = MAV 1 LFV 1 (4) La MAV 1 est obtenue facilement. Est ce le cas pour la LFV 1?

11 MÉTHODE SDS Soient : cf p,s (t) : les cash flows de passif issus de la simulation secondaire s {1,..., m} associée à la simulation primaire p {1,..., n} pour t > 1, γ t : le facteur d actualisation en t > 0, LFV 1 = E Q [ t>1 γ t cf (t) F (r) 1 γ 1 ] (5)

12 MÉTHODE SDS APPROXIMATION LFV 1 1 m m s=1 t>1 γ t γ 1 cf p,s (t) (6) Ceci s explique par l utilisation des méthodes de Monte Carlo, mais nécessite un recalibrage des scénarios des simulations secondaires en fonction de l information disponible à l issue des simulations primaires.

13 MÉTHODE SDS :APPLICATION SUR PREFON RETRAITE Risques étudiés : Actions, taux et immobilier 1000 simulations primaires et 500 simulations secondaires FIGURE: Distribution de Situation nette à 1 an

14 MÉTHODE SDS :RÉSULTATS SDS VS QIS4 SN 0 VaR 0.5% (SN 1 ) Capital économique Les chocs du QIS 4 correspondent aux quantiles à 0.5% sur le facteur de risque de baisse des actions, quantile à 0.5% sur le facteur de risque de baisse des taux zéro-coupon et quantile à 99.5% sur le facteur de risque de hausse des taux zéro-coupon. SCR action SCR taux SCR Immobilier total corrélé

15 ACCÉLÉRATEUR SDS MOTIVATION Malgrès sa conformité aux exigences Solvabilité II, l approche SdS souffre d une principale limite lourdeur des calculs. Construire un algorithme permettant de simuler les scénarios les plus adverses en termes de solvabilité[1]. FIGURE: Accélérateur SdS

16 ACCÉLÉRATEUR SDS L ALGORITHME Extraction de facteurs (actions, taux, mortalité,... ) traduisant l intensité du risque pour chaque simulation primaire, Construction d une région de confiance à seuil fixé, Les simulations primaires dont les facteurs de risques sont à l extérieur de la région de confiance sont effectuées Itérations sur le seuil de la région de manière à exclure à chaque étapes un nombre de points fixé L algorithme s arrête lorsque les «pires valeurs» de la NAV 1 sont stabilisées

17 ACCÉLÉRATEUR SDS FIGURE: Couple de facteur de risque et frontière d exécution

18 ACCÉLÉRATEUR SDS :MÉTHODOLOGIE Extraction des facteurs de risques gaussien (marché, technique,... ) à partir des scénarios relatifs aux simulations primaires (exp : Bruits relatifs aux accroissements des browniens actions suivant un brownien géométrique de dérive µ et volatilité σ) S 1 = S 0 e µ 1 2 σ2 +σɛ action (7) ( ) ln S1 ( µ 1 σ2) S 0 2 ɛ action = (8) σ

19 ACCÉLÉRATEUR SDS :MÉTHODOLOGIE Pour les zéro-coupons, en utilisant le Modèle de Heath-Jarrow-Morton (HJM) à deux facteurs, on aura la simplification suivante : m {2,..., 50} ɛ ZC = 1 m 1 ZC (1, m 1) ZC (0, m) ( 50 ZC(1,m 1) 2 = 1 + r m (1)+σ mɛ ZC,m (9) ZC(0,m) 1 r m (1) σ m Hypothèses contestables : facteurs de risques ɛ action et ɛ ZC sont des gaussiennes centrées réduites ainsi que la loi jointe. ) (10)

20 ACCÉLÉRATEUR SDS :AVANTAGES AVANTAGES Accélération des calculs. Prise en compte des effets de diversification, chaque région d exécution permet de balayer les scénarios à la hausse et à la baisse. Généralisation à plusieurs dimensions grâce aux propriétés de loi normale multivariée Possibilité de définition de zone d exécution des simulations secondaires.

21 ACCÉLÉRATEUR SDS :INCOVÉNIENTS INCONVÉNIENTS La traduction de sévérité des risques par des facteurs de risques gaussiens avec une corrélation linéaire sous estime le quantile d orde 0.05% recherché de la distribution des fonds propres à 1 an. Construire un facteur de risque gaussien pour des risques techniques (risque de rachat, risque opérationnel... )? Dans des cas multidimensionnels, il n est pas évident que le quantile recherché sera sur la périphérie des nuages de point.

22 ACCÉLÉRATEUR SDS :INCONVÉNIENTS FIGURE: Loi jointe non gaussienne

23 ACCÉLÉRATEUR SDS :INCONVÉNIENTS Planchet et al (2006) [2] : prise en compte des sauts dans la modélisation de l actif ( ( S t = S 0 exp µ 1 ) ) N t 2 σ2 t + σw t + U k (11) N t un processus de poisson d intensité λ, U k une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi normale d espérance nulle et d écart type σ u tels que N, U et W soient indépendants ( le modèle (7) est un cas particulier de (11)). k=1

24 ACCÉLÉRATEUR SDS :INCONVÉNIENTS TABLE: Non normalité de facteur de risque action

25 APPROCHE PAR FONCTION DE PERTE OBJECTIF L objectif de cette technique de modélisation de capital économique est de définir des Loss Function ou fonction de perte permettant de déterminer la perte au niveau de la Net Assets value relative à plusieurs niveaux de quantile des facteurs de risques spécifiques à l assureur. ETAPES Définir les facteurs de risques prépondérants, Détermination de leurs distributions de probabilité, Définir la dépendance entre ces facteurs de risque, Calibration des stress à appliquer, Détermination des loss functions, Simulation des réalisations des facteurs de risque, Aggrégation & détermination du capital économique.

26 APPROCHE PAR FONCTION DE PERTE :AVANTAGES ET INCONVÉNIENTS AVANTAGES Possibilité de lancer un grand nombre de simulation, Facilité de mise en oeuvre, Possibilité d automatisation des calculs, Prise en compte une large gamme de distribution de risque, Conversion du niveau de risque au P&L en utilisant les loss function, Flexibilité au niveau des dépendances entre les risques. INCONVÉNIENTS Dificulté de calibration des risques techniques (rachat, pandémie,... ) Nécessité de détermination de plusieurs points pour calibrer la loss function.

27 OBJECTIF Modéliser les passifs d un assureur en référence à des actifs financiers & décliner une valeur de marché à ces engagements. min (α1,...,α N ) T t=1 S s=1 s / c { cf p (s, t) } 2 N k=1 α k cf a,k (s, t) ( N T ) k=1 t=1 δt α k cf a,k (t) = MCEV (cf p) N k=1 α k = 1 (12) cf p (s, t) les cash flows de passif en t et scénario s et cf a,k (s, t) ses analogues des actifs k {1,..., N} dont les poids (α 1,..., α N ) sont déterminés par la résolution du problème (12).

28 FIGURE: Comparaison Sds et portefeuille répliquant

29 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS OBJECTIF construire des scénarios de mortalité futurs propres à CNP Assurance en illustrant l impact de la sélection adverse sur le provisionnement et la tarification des rentes. FIGURE: Evolution de l intensité de mortalité de la population française Données de l INSEE

30 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS Données INSEE (homme/femme) d xmin,t min d xmin,t min +1 d xmin,t max d xmin +1,t min d xmin +1,t min +1 d xmin +1,t max D =.... (13) E = d xmax +1,t min d xmax +1,t min +1 d xmax +1,t max ETR xmin,t min ETR xmin,t min +1 ETR xmin,t max ETR xmin +1,t min ETR xmin +1,t min +1 ETR xmin +1,t max.... ETR xmax +1,t min ETR xmax +1,t min +1 ETR xmax +1,t max (14)

31 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS La plupart des études de projection de la mortalité se basent sur des données allant de 1950 jusqu à présent. Booth, Maindonald & Smith (2002) [2] : La période optimale d étude est la plus longue période pour laquelle la tendance temporelle de la mortalité est linéaire (Ratio de déviance le plus faible, t = 1972) Denuit & Goderniaux (2005) [3] : ratio d ajustement R 2,t = 1974

32 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS MODÈLE LOG-BILINÉAIRE DE PROJECTION LA MORTALITÉ LE MODÈLE La mortalité est décomposée en deux éléments un propre à l âge, l autre tendanciel. Projection de la mortalité dans le futur. Le modèle : ln (µ x (t)) = α x + β x k t + ɛ xt (15) Avec x sup x=x inf β x = 1 et t max t=t min k t = 0

33 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS LEE &CARTER ESTIMATION DES PARAMÈTRES Méthode des moindres carrés (non linéaire) : ( α x, β x, k ) t = argmin αx,βx,kt (ln ( µ x (t)) α x β x k t) 2 Par annulation de la dérivée première par rapport à α x : tmax t=t α x = min ln ( µ x (t)) t max t min + 1 β x et k t sont obtenus par la méthode de décomposition en valeurs singulières. x t

34 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS POISSON Proposé par Magis, Denuit & Walhin (2002). D x,t nombre de décès par âge x et année td x,t Poisson (E x,t µ x (t)) E x,t exposition au risque de décès à l âge x et l année t et µ x (t) =exp (α x + β x k t) Les mêmes contraintes que le modèle de Lee & Carter. ESTIMATION DES PARAMÈTRES Les paramètres α x,β x et k t sont estimés par maximum de vraisemblance. l (α x,β x, k t)= x,t (D x,t (α x + β x k t) E x,texp (α x + β x k t)) + cte (16)

35 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS EXTRAPOLATION DE LA TENDANCE TEMPORELLE κ t Estimation des paramètres Théorie des séries chronologique Extrapolation de la série k t Prévisions sur l évolution future de la mortalité. FIGURE: Projection de la tendance temporelle κ de la mortalité féminine française

36 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS FIGURE: Résultats des projections via le modèle Poisson-log Bilinéaire (Population française féminine et masculine)

37 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS MODÈLE RELATIONNEL Brass (1971) a introduit un modèle relationnel logit ( qx exp (t) ) = a + b logit ( ) qx ref (t) (17) Ce modèle est à appliquer sur les quotients bruts de mortalité de la population générale et d expérience (par sexe). Une fois les paramètres estimés, ils seront appliqués aux trajectoires de mortalité. Ensuite, fermeture de table aux grands âges.

38 OBJECTIF DONNÉES &PÉRIODE D ÉTUDE MODÈLE DE PROJECTION DE LA MORTALITÉ CONSTRUCTION DES SCÉNARIOS DE MORTALITÉ FUTURS RISQUE D ANTISÉLECTION FIGURE: Projection des Provisions mathématiques d un portefeuille de rentiers en cours de service

39 CONCLUSIONS & PERSPECTIVES SUJETS ABORDÉS Présentations, critiques et points d amélioratuon des différents options de modèle interne (partiel), Comparaison résultats QIS4 et SdS Modélisation de mortalité d expérience PERSPECTIVES Amélioration de l algorithme d accélération des SdS Evaluation de l impact de prise en compte de mortalités catastrophiques. Zoom sur les autres risques techniques & opérationnels dans le contexte Solvabilité II.

40 BIBLIOGRAPHIE Ben DBABIS.M (2010), Modélisation stochastique de la mortalité d expérience et effets de sélection adverse, Bulletin français d actuariat, Vol 20, Booth, H., Maindonald, J., and Smith, L. (2002), Applying Lee-Carter under conditions of variable mortality decline, Population Studies, Vol 56, pp Denuit.M & Goderniaux.A.C (2005), Closing and projecting lifetables using log-linear models, Bulletin de l Association Suisse des Actuaires.

41 BIBLIOGRAPHIE Devineaux.L & Loisel.S (2009), Construction d un algorithme d accélération de la méthode des simulations dans les simulations pour le calcul du capital économique solvabilité II, Bulletin français d actuariat (2009). Planchet.F & Therrond.P (2006), L impact de la prise en compte des sauts boursiers dans les problématiques d assurance,