Séries d exercices etudes des fonctions

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1 Séries d eercices etudes des fonctions ème Maths Maths au lycee Ali AKIR Site Web : EXERCICE N Soit la fonction f définie sur R par f( ) = ² 4 )Dresser le tableau de variations de f ) Tracer Cf, courbe représentative de f dans un repère orthonormé R= ( O,i, j) EXERCICE N Partie I : On considère la fonction numérique à variable réelle f définie par : f()= -+4On désigne par ( ζf ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan )Etudier les variations de f ; déterminer l ae de symétrie,étudiés les branche infinies ζf au point d abscisse )Trouver l'équation de droite D tangente à ( ) )Etudier la position relative de ( ζf ) et D 4 )Déterminer une équation de ( f ) S,i, j où S (, ) 5 )Soit M le point de ( ζf ) d abscisse a ; soit P le projeté orthogonal de M sur la droite des ordonnées et Q le projeté orthogonal de M sur la droite des abscisses Déterminer a pour que le quadrilatère OQMP soit un carré Montrer que dans ce cas le point M appartient à une droite particulière qu on précisera Partie II: ζ dans le repère ( ) m désigne un paramètre réel ζ sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan On considère la famille des fonctions fm définies sur R par fm()= ( ² m + m(m + )) On désigne par ( ) f m )Vérifier que la fonction f définie dans Partie I est une fonction de la famille des fonctions fm )Dresser le tableau des variations de fm ) Eprimer en fonction de m les cordonnées de S m correspondant à l'etremum de f m Donner une équation de l ensemble ( Σ) des points Sm quand m varie dans R 4 )Montrer que la droite D obtenue dans Partie I est tangente à toutes les courbes ( ζ f m ) 5 )a)déterminer l ensemble des points de ( ζ f m ) où la tangente est parallèle à la droite d équation : y=- b)que peut-on dire des ensembles ( Σ ), et de la droite D 6 )a)montrer que quelque soit le réel m et pour tout dans R on a : f0(-m)=fm()-m ζ par une transformation du plan qu on déterminera b)en déduire que ( ζ f m ) est l image de ( f 0 ) c)construire sur le même repère les paraboles ( f 0 ) EXERCICE N ζ et ( ζ ) ; la droite D et les ensembles ( ) f Σ et On considère la fonction fm définie par fm()= -m+m où m est un paramètre réel et on désigne par ( ) courbe représentative dans un repère orthonormé R= ( O,i, j) )Montrer que toutes les courbes Cm passent par un point fie A ) Eprimer en fonction de m les cordonnées de S m correspondant à l'etremum de f m Quel est l ensemble des point Sm lorsque m varie dans R Dans toute la suite on prend m= )a)etudier f et construire ( ζ f ) dans le repère R b)soit la droite d équation : +y-=0 Ecrire une équation de la tangente T à ( ζf ) parallèle à 4 )Soit g la fonction définie par : g()=²-4 a)tracer ( g) ζ, courbe représentative de g dans un repère orthonormé R= ( O,i, j) b)resoudre dans R l équation f()=g() 6 )Soit h( ) = ² Etudier h et tracer sa courbe EXERCICE N 4 Soit la fonction : f()=4 -+ ; On désigne par ( f ) R= ( O,i, j) Partie I: )Etudier f ζ sa courbe représentative dans un repère orthonormé ζ sa f m

2 )Montrer que I(0,) est un centre de symétrie de ( ζ f ) )Ecrire l'équation de tangente D à la courbe ( ζf ) en point I 4 )Etudier la position relatif de D et ( ζ f ) 5 )Tracer ( ζ f ) 6 )Soit l équation (Em) : 8-6+m=0 Utiliser la courbe ( ζf ) pour déterminer les valeurs de m pour lesquelles l équation (Em) admet dans R, solutions distincts deu à deu 7 ) Utiliser la courbe ( ζf ) pour pour construire la courbe ( h) Partie II : 4 ζ de la fonction h( ) = Soit la fonction fa()= + a (avec a est un réel non nul) a )Etudier suivant les valeurs de a, les variations de fa ζ correspondants au etremums de fa f a )Soit ( ζ ) la courbe de fa Ma et Na les points de ( ) a)déterminer en fonction de a les cordonnées de Ma et Na b)quel est l ensemble des points Ma et des points Na lorsque a décrits R ζ sa courbe Partie III: Soit la fonction : gm()=f()-mf() et ( ) ) Etudier suivant m les variations de gm )Montrer que toutes les courbes ( ζg m ) passent par points fies A et B(A d abscisse positif) EXERCICE N 5 Soit la fonction fm définie par fm()=m - +(-m)+m où m est un paramètre réel et ζ m sa courbe représentative dans un repère orthonormé R= ( O,i, j) Partie I : )Etudier le fonction f0 et construire ζ 0 )Soit 0 ],] et T la tangente à ζ 0 au point d abscisse 0 a)ecrire une équation cartésienne de T b)soit le point A(0,) La droite T coupe la droite : y= en B et l ae des abscisses en C i)montrer que l aire de trapèze OABC est S= 4( 0 0 f a g m ) ii)pour qu elle valeur de 0, S est-elle minimal? Partie II: )Etudier la fonction f / est construire ζ / )a)montrer que f / admet un point d infleion I que l on déterminera b)vérifier que I est un centre de symétrie pour ζ / )Montrer que ζ 0 etζ / se coupent en deu points E et F et préciser la position relative de ces deu courbes 4 )Soit la droite d équation : y-k-4=0 k Etudier suivant le réel k le nombre de points d intersection de k et ζ / Partie III: )Montrer que toutes les courbesζ m passent par les deu points E et F )Discuter suivant le réel m le nombre de tangente à ζ m parallèle à (EF) )Etudier suivant m les variations de fm 4 )Montrer que toutes les courbes ζ m sont tangentes au point d abscisse EXERCICE N 6 Soit f m la fonction définie par ² m f m ( ) = où m est un paramètre réel ζ m sa courbe représentative dans un repère orthonormé R= (,i, j) )Pour quelles valeurs de m, la fonction f m est monotone dans les intervalles où elle est définie? )Pour quelles valeurs de m, f m admet-elle un maimum ou un minimum? Calculer alors les cordonnées des sommets deζ m et déterminer leurs ensembles lorsque m varie )Soit A m le point où ζ m rencontre la droite D dont une équation est = 4 et T m est la tangente à ζ m en a) Former une équation de T m b) Montrer que T m coupe la droite dont une équation est y = + 5 en un point fie B que l'on déterminera A m

3 EXERCICE N 7 Soit la fonction définie par : f( ) = + )Etudier la fonction f et construire ζ sa courbe représentative dans un repère orthonormé R= (,i, j) )Soit D m la droite du plan d'équation y = + m où m est un paramètre réel a) Montrer que pour tout m R, ζ et D m se coupent en deu point M et N( sans calculer ses cordonnées) b) Montrer que le produit scalaire OM ON est constante lorsque m varie )Soit le point A(,) Calculer en fonction de m le produit scalaire AM AN En déduire m pour que le triangle MAN soit rectangle en A 4 ) Déterminer une équation de ( f ) EXERCICE N 8 ζ dans le repère (,i, j) S où S(, ) On considère la fonction f : ² 4 + et on désigne par ζ sa courbe représentative dans un repère orthogonale (,i, j) )Déterminer l'ensemble de définition de f )Etudier la dérivabilité de f à droite en et à gauche en Interpréter graphiquement les résultats )Soit la droite d'équation = Montrer que est ae de symétrie de ζ 4 )Etudier f lim f( ) + lim f( ) + Interpréter graphiquement les résultats 5 )Calculer ( ) et ( ) 6 )Tracer ζ + 7 )En déduire la représentation graphique de la fonction g : f ( ) 8 )Soit la fonction g = - f On désigne par ' Tracer ζ ' dans le même repère 9 )Vérifier que ζ ζ' à pour équation ² y² 4 + = 0 0 )On considère les vecteurs u = i + j et v = i + j et Ω (,0 ) a) Déterminer une équation de Γ ζ ζ' b) Conclure EXERCICE N 9 Partie A : Soit fm la fonction définie par fm : R R, ζ sa courbe représentative dans un repère orthogonale (,i, j) = dans le repère ( Ω,u,v) + + m m + m + ; Où m est un paramètre réel non nul On note Γm la courbe représentative de fm dans le plan rapporté à un repère orthonormé R= O, i, j ) a-déterminer trois réels a, b et c tel que pour tout on a : fm()=a +b + b-en déduire une équation cartésienne de l asymptote oblique m de Γm )Dresser le tableau de variation de fm suivant m )a-en déduire que pour tout réel non nul m, fm admet deu etremums dont on précisera la nature b- Eprimer en fonction de m les cordonnées des deu points correspondants de Γm et déterminer l ensemble de ces points quand m varie sur R Partie B : Dans la suite on prend m= et on note f=f et Γ=Γ )Etudier les variations de f )On considère le repère R = Ω,u, j tel que O Ω = i et u = i + j a-m étant un point de cordonnée (, y) dans R et (X, Y) dans R Montrer que =X- et y=x+y b-trouver alors une équation cartésienne de Γ dans le repère R En déduire la nature de Γ )a-montrer que Γ admet deu tangentes T et T de coefficient directeur (-) et donner une équation cartésienne de chacune d elles b-tracer T, T et Γ c +

4 4 )Soit g la fonction définie par : g() = + a-montrer que Cg se déduit de Γ par une translation que l on précisera b-tracer dans Cg le repère R EXERCICE N 0 Partie A Déterminer les réel a, b, c et d vérifiant : La représentation graphique ζ f de f définie par : f() = ζf n admet pas d asymptote horizontale ζ f passe A(,0) et en ce point la tangente à pour coefficient directeur - Partie B + On pose g()= )a-dresser le tableau de variation de g b-déterminer trois réels a', b' et c' tel que pour tout de Dg on a : c-en déduire une équation cartésienne de l asymptote oblique d-tracer g ζ dans un repère orthonormé ( O,i, j) R = )a-montrer que I(,5)est un centre de symétrie de ζ g c + a + b admet une asymptote d équation = + d g( ) c' = a' + b' + b-soit u un vecteur directeur de l asymptote et v un vecteur directeur de l asymptote parallèle à la droite des ordonnées Donner une équation cartésienne de g ζ dans le repère R ' = ( I,u,v) )Déterminer graphiquement, suivant les valeurs du paramètre réel m le nombre de solutions de : ² + ( m) ( m) = )Déduire se ζ g la construction de ζh où h() = + C)Soit m un réel non nul on considère les fonctions fm définies par : fm()= représentative de fm dans le plan rapporté à un repère orthonormé ( O,i, j) R = + m m On note ( ζ m) la courbe )Montrer que toutes les courbes ( ζ m) passent par un seul point fie A dont on donnera les cordonnées )Montrer que la droite m :y = + + est une asymptote à ( ζ m) m m )Etudier, suivant les valeur de m, les variations de fm 4 )a-montrer que Im, + est un centre de symétrie pour ( ζ m) m m b-déterminer l ensemble des points Im lorsque m varie sur R EXERCICE N Partie A : Soit g la fonction définie sur [,+ [ )Etudier les variations de g sur [ 0,+ [ 0 par : g()= ²(+) )Démontrer que l'équation g() = 4 admet, sur [ 0,+ [, une unique solution a dont on donnera une valeur approchée à 0 )En déduire la résolution de l'inéquation : g() > 4 sur [,+ [ Partie B: 0 ² + Soit f la fonction définie sur R par : f ( ) + ζ f sa courbe représentative dans un repère orthonormal )Etudier la parité de f )Déterminer lim f( ) et lim f( ), et en déduire lim f( ) et lim f( ) Interpréter graphiquement les résultats = et ( ) 0 4

5 )Démontrer que la droite (D) d'équation : y = + est asymptote à la courbe ( ζ f ) en +, en déduire l'équation d'une droite asymptote à ( ζ f ) en 4 )a)démontrer que f est dérivable sur R et que b)déduire de la partie A que f '() > 0 sur ] a,+ [ c)dresser le tableau de variations de f sur R f ( ) = g( ²) ² ² + 5 )Déterminer une équation de la tangente (T) à ( ζ f ) au point d'abscisse 6 )Tracer la courbe ( ζ f ) EXERCICE N Partie A Soit g la fonction définie sur R par : g() = 4 4 ) Etudier les variations de g ) a) Démontrer que l équation g() = 0 admet deu solutions α et β sur R telles que : α < 0 < β b) Déterminer un encadrement d amplitude 0 - de α et de β c) Déterminer le signe de g() en fonction de Partie B + Soit f la fonction définie sur R\{} par : f( ) = ) Etudier les limites de f au bornes de son ensemble de définition 4 c + d + e ) a) Déterminer les réels a, b, c, d et e tels que pour tout : f( ) = a + b + b) En déduire que la courbe Cf représentative de f admet une asymptote oblique que l on indiquera c) Préciser la position de Cf par rapport à la droite d équation y = g( ) ) a) Démontrer que f' ( ) = ( ) b) En déduire les variations de f 4 ) En utilisant les encadrements de la partie A, déterminer un encadrement de f(α) et de f(β) 5 ) Déterminer une équation de la tangente à la courbe au point d abscisse - 6 ) Dresser le tableau de variation complet de f et tracer Cf dans un repère orthonormal (unité graphique : cm) 5