Matrices. On a référencé les prix de 5 produits suivant leur prix HT le prix de la TVA et le prix TTC :

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1 Matrices Matrices généralités. Introduction-exercice On a référencé les prix de 5 produits suivant leur prix HT le prix de la TVA et le prix TTC : produit produit 2 produit 3 produit 4 produit 5 prix HT prix TVA 9,6 39,2 9,8,84 58,8 prix TTC 9,6 239,2 59,8 4,84 8,8 On obtient alors une matrice P de prix de taille (3, 5 : P = 9, 6 39, 2 9, 8, 84 58, 8 9, 6 239, 2 59, 8 4, 84 8, 8 Pour un client, une facture est une matrice de taille (3, qui donne le détail des prix HT, TVA, TTC suivant le nombre d articles choisis : Calculer chacun des prix totaux (HT, TVA, TTC si le client prend 2 produits, 0 produit 2, 4 produits 3, produit 4 et 2 produits 5..2 Définition Une matrice A de taille (m, n est un tableau de nombre réel (a i,j, i est un entier variant de à m, et j est un entier variant de à n ; i indiquant une ligne des m lignes du tableau et j indiquant une colonne des n colonnes. A = Soit la matrice A suivante : A = Repérer le nombre m de lignes et le nombre n de colonnes. 2. Si on note (a i,j i ;m,j ;n, repérer l élément a,3 puis l élément a 3,. 3. Donner les rangs (ligne colonne des 0 de la matrice. S.Mirbel page / 6

2 .3 Matrice transposée Soit une matrice A de taille (m, n, d éléments réels (a i,j i ;m,j ;n, m N et n N. La matrice transposée de A notée t A, est la matrice de taille (n, m composée des éléments (a j,i j ;n,i ;m. A = t A = a 2, a 2,2... a 2,n a, a 2,... a m, a,2 a 2,2... a m, a,n a 2,n... a m,n Soit A la matrice de taille (3, 2 telle que : A = Donner la matrice t A transposée de A. S.Mirbel page 2 / 6

3 2 Opérations sur les matrices 2. Addition Soit A et B deux matrices de taille (m, n dont les éléments sont notés respectivement (a i,j i ;m,j ;n et (b i,j i ;m,j ;n. La matrice C de la somme A + B est de taille (m, n et ses éléments (c i,j i ;m,j ;n sont définis par : (i, j ; m ; n, c i,j = a i,j + b i,j. b, b,2... b,n + b m, b m,2... b m,n a, + b, a,2 + b,2... a,n + b,n a m, + b m, a m,2 + b m,2... a m,n + b m,n = A = B = Calculer A + B, puis A + A. Propriétés : Soit deux matrices A, B et C de taille respective (m A, n A, (m B, n B et (m C ; n C. La somme de matrices est associative : (A + B + C = A + (B + C La somme de matrices est commutative : A + B = B + A. 2.2 Multiplication par un nombre réel Soit A une matrice de taille (m, n dont les éléments sont notés (a i,j i ;m,j ;n et k un nombre réel. La matrice C du produit ka est de taille (m, n et ses éléments (c i,j i ;m,j ;n sont définis par : k. (i, j ; m ; n, c i,j = ka i,j. = ka, ka,2... ka,n ka m, ka m,2... ka m,n A = Calculer 3A, puis 4 A. S.Mirbel page 3 / 6

4 2.3 Multiplication 2.3. Produit d une matrice ligne par une matrice colonne Soit A une matrice ligne de taille (, n d éléments (a,j j ;n et B une matrice colonne de taille (n, d éléments (b i, i ;n. La matrice C du produit AB est un nombre c tel que : ( a, a,2... a,n c = n a,i.b i, b, b 2,... b n, i= = a,b, + a,2 b 2, a,n b n, Donner la valeur du produit suivant : ( Produit de deux matrices Soit A une matrice de taille (m, n, d éléments (a i,j i ;m,j ;n et B une matrice de taille (n, p d éléments (b i,j i ;n,j ;p. La matrice C du produit AB est de taille (m, p d élément (c ij i ;m,j ;p tels que : a 2, a 2,2... a 2,n A = ( B = (i, j ; m ; p, c i,j = b, b,2... b n,p b 2, b 2,2... b n,p b n, b n,2... b n,p Donner la taille des matrices A, B et AB. 2. Calculer le produit AB 3. Que dire du produit BA? 4. Calculer (ABC puis A(BC. 5. Calculer A(B + D puis AB + AD. = n a i,k b k,j a,k b k, a 2,k b k, a,k b k,2... a 2,k b k, a m,k b k, a m,k b k,2... C = ( D = Propriétés : Soit deux matrices A, B et C de taille respective (m A, n A, (m B, n B et (m C ; n C. Le produit de matrices est associatif : (ABC = A(BC Le produit de matrice est distributif par rapport à l addition : A(B + C = AB + AC. Le produit de matrice n est pas commutatif : AB BA. (k, k (R 2, (ka.(k B = kk AB. a,k b k,p a 2,k b k,p a m,k b k,p S.Mirbel page 4 / 6

5 3 Les matrices carrées 3. Définitions Définitions : Soit une matrice A d éléments réels (a i,j i ;m,j ;n, m N et n N. Si m = n alors la matrice A est dite carrée de taille m. a, a,2... a,m A = a 2, a 2,2... a 2,m a m, a m,2... a m,m Si A est une matrice carrée et i ; m, j ; m, i j, a i,j = 0 alors la matrice est dite diagonale. a, A = 0 a 2, a m,m Si A est une matrice carrée et i ; m, j ; m, i < j, a i,j = 0 alors la matrice est dite triangulaire. a, A = a 2, a 2, a m, a m, a m,m La matrice identité, notée Id, de taille n, est telle que a i,i =, i ; 4 : Id = En notant M l ensemble des matrices de taille n, on a : M M, (M.Id = M (Id.M = M. Construire la matrice diagonale de taille 4, telle que a i,i = 2, i ; Construire la matrice triangulaire de taille 3, n ayant que des pour éléments. 3. Soit la matrice M de taille 3 telle que : M = Vérifier par le calcul M.Id = M et Id.M = M. 3.2 Inverse d une matrice Soit une matrice carrée A de taille n. Si elle existe, la matrice inverse de A, notée A est telle que A.A = Id et A A = Id. Note : Pour montrer qu une matrice B est l inverse d une matrice A, il suffira de montrer que AB = Id. Propriétés : Le produit de deux matrices inversibles A et B de taille n, est inversible et on a : (AB = B A. Soit A une matrice inversible de taille n, ( A = A Soit A une matrice inversible, k R, (ka = k A. Démonstration : (AB.(B A = ABB A = A.Id.A = AA = Id. Ainsi, par unicité (AB = B A. ( AA = Id = Id et ( AA = (A A. Ainsi (A A = Id, par unicité de l inverse, (A = A. S.Mirbel page 5 / 6

6 (ka. k A = k. k AA = Id Soit la matrice A telle que : Vérifier que la matrice B = A = est la matrice inverse de A. 3.3 Application à la résolution de système d équations 3.4 Introduction Soit le système d équations suivant : 3x + 2y + 5z = 22 x + y 3z = 6 3x y z = 2. Montrer que le système ( peut s écrire AX = B avec A = X = x y 3 z 2. Montrer que P = Montrer que le système ( équivaut à X = P B. 4. En déduire le triplet solution du système (. B = est la matrice inverse de A ( 3.5 A partir d un logiciel Soit le système d équations suivant : x + y + 2z = x + y 3z = 2 3x y z = 4 (2. Écrire le système ( sous forme de produit de matrices de la forme AX = B. 2. A partir d une calculatrice ou de Xcas, déterminer l inverse de la matrice principale A, puis calculer la solution du système. S.Mirbel page 6 / 6