2 nde SGT : SENS DE VARIATION FONCTIONS AFFINES

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1 2 nde SGT : F2 : Sens de variation F3 : Fonctions affines 1 / 8 Définition : 2 nde SGT : SENS DE VARIATION FONCTIONS AFFINES I. Sens de variations d'une fonction 1. Croissance, décroissance d'une fonction On considère une fonction f définie sur un intervalle D. La fonction f est dite croissante sur un intervalle si, pour tous réels a et b de l intervalle, on a : Si a b, alors f a f b. Remarques : lorsque la fonction est croissante sur l intervalle, on dit que la fonction conserve l ordre. Si, pour tous réels a et b de l intervalle, on a : «pour a < b, alors f(a) < f(b)», alors on dit que la fonction est strictement croissante sur l intervalle. Définition : La fonction f est dite décroissante sur un intervalle si, pour tous réels a et b de l intervalle, on a : Si a b, alors f a f b. Remarques : lorsque la fonction est décroissante sur l intervalle, on dit que la fonction change l ordre. Si, pour tous réels a et b de l intervalle, on a : «pour a < b, alors f(a) > f(b)», alors on dit que la fonction est strictement décroissante sur l intervalle. Définition : La fonction f est dite constante sur un intervalle si, pour tous réels a et b de l intervalle, on a : Si a b, alors f a = f b. 2. Tableau de variations Étudier les variations d une fonction f, c est déterminer les intervalles sur lesquels la fonction est monotone, c est à dire soit croissante, soit décroissante, soit constante. On résume les résultats de cette étude dans un tableau de variations en utilisant des flèches pour représenter les variations :

2 2 nde SGT : F2 : Sens de variation F3 : Fonctions affines 2 / 8 Exemple : À partir de la représentation graphique d'une fonction, on peut aisément déterminer son tableau de variations ; 1) On repère les intervalles sur lesquelles la fonction est monotone (croissante, décroissante ou constante) ; 2) On reporte les bornes des différents intervalles dans le tableau ; 3) On reporte les valeurs des images des bornes et les sens de variations dans le tableau. Sans tableau de variation, on dit que la fonction est : décroissante sur l'intervalle [-2 ; -1] ; croissante sur l'intervalle [-1 ; 1] ; décroissante sur l'intervalle [1 ; 3,5]. 3. Maximum, minimum et extremum Définition : On considère une fonction f définie sur un intervalle D. La fonction f admet un maximum en a sur l intervalle D si, pour tout réel x de D, on a : f ( x ) f (a ).

3 2 nde SGT : F2 : Sens de variation F3 : Fonctions affines 3 / 8 La fonction f admet un minimum en a sur l intervalle D si, pour tout réel x de D, on a : f ( x ) f (a ). La fonction f admet un extremum en a sur l intervalle D si elle admet un minimum ou un maximum sur cet intervalle. Exemple : Voici la courbe représentative d'une fonction g définie sur l'intervalle [-6 ; 4] le minimum de la fonction sur [-6 ; 4] est 1 (pour x = -4); le maximum de la fonction sur [-6 ; 4] est 7 (pour x = 2). Remarque : on peut en déduire que pour x [ 6; 4 ], on a f ( x ) [1;7]. 4. Lire un tableau de variation a. Comparer deux images Exemple : exercice corrigé 35 p.70 du manuel x h(x) 5 3 h(-1) h(0) h(3) - 1 On veut comparer : b. h ( 3) et h (0) { h ( 3)=5 h (0 ) ]5 ; 1[ donc h ( 3)>h(0) c. h ( 1) et h (3) { h ( 1) ] 1;5[ donc on ne peut pas conclure. h (3) ] 1 ;3[ En effet, plusieurs cas de courbes sont possibles tout en respectant les contraintes du tableau de variations. Par exemple : h ( 1)>h (3) h ( 1)<h (3) Dans les deux cas, la courbe est compatible avec le tableau de variations mais la conclusion sur h ( 1) et h ( 3) est différente. b. Résoudre une inéquation : déterminer x tel que f(x) > k (ou f(x) < k) Exemple : exercice 46 p.71 (suite du 35 p.70)

4 2 nde SGT : F2 : Sens de variation F3 : Fonctions affines 4 / 8 Annexe : Intervalles de R (cf p du manuel et chapitre F1) Définition : On appelle ensemble des nombres réels, noté R, l'ensemble des abscisses des points de toute droite graduée (par exemple : 1, -3, 2, 5 3,, etc). Définition : Soient a et b deux nombres réels avec a strictement inférieur à b. [a ; b] est l'ensemble des réels x tels que a x b. C'est l'intervalle fermé de bornes a et b ; ]a ; b[ est l'ensemble des réels x tels que a x b. C'est l'intervalle ouvert de bornes a et b ; [a ; b[ est l'ensemble des réels x tels que a x b. C'est l'intervalle ouvert en b et fermé en a. [a ; + [ désigne l'ensemble des réels x tels que x a ; ]- ; a[ désigne l'ensemble des réels x tels que x a. Exemples : Encadrement Droite des réels Intervalle 2 x 3 x [ 2 ; 3 ] x 1 x ] ; 1] x 2 x ]2 ; [ Remarque : et ne sont pas des nombres mais des notions. Une écriture comme n'a pas de sens. Sur une droite graduée, et représentent des directions : O 0 1

5 2 nde SGT : F2 : Sens de variation F3 : Fonctions affines 5 / 8 II. Les fonctions affines 1. Vocabulaire Définition : Une fonction affine est une fonction f définie sur R, par : f(x) = mx + p, avec m et p deux nombres réels. Si p = 0, alors on dit que la fonction est linéaire. 2. Représentation graphique Propriété : Dans un repère, la représentation graphique d une fonction affine est la droite d équation : y = m x + p. - le nombre m est le coefficient directeur de la droite ; - le nombre p est l ordonnée à l origine de la droite, avec p = f(0). Exemples : D f : y = 2x + 3 D g : y =0,25x - 2 D h : y = -0,25x - 4 Cas particuliers : Lorsque p = 0 : la fonction est linéaire et sa représentation graphique est une droite passant par l origine du repère ; Lorsque m = 0 : la fonction a pour expression f(x) = p. Sa représentation graphique est une droite parallèle à l axe des abscisses. 3. Sens de variation d une fonction affine Propriété : On considère une fonction affine f définie sur R, par f(x) = mx + p, avec m et p deux nombres réels. Si m > 0, alors la fonction f est croissante sur R ; Si m = 0, alors la fonction f est constante sur R ; Si m < 0, alors la fonction f est décroissante sur R. 4. Tableau de variations d une fonction affine Un tableau de variations permet de visualiser facilement le sens de variation. m < 0 m = 0 m > 0 x - + x - + x - + f(x) f(x) f(x)

6 2 nde SGT : F2 : Sens de variation F3 : Fonctions affines 6 / 8 5. Caractérisation d une fonction affine Théorème : Une fonction f est affine si, et seulement si, pour tout réels a et b distincts : le rapport f b f a est constant. Ce rapport est égal au coefficient directeur m de la fonction. b a Applications : - Si on sait qu une fonction est affine, on peut la déterminer en calculant m et p : Exemple : Sachant que f(2) = 5 et que f(-1) = -4, on peut déterminer f. III. f 2 f m = = = 9 = 3 donc m = 3. 3 Donc f est de la forme f(x) = 3x + p, et f(2) = 5 donc p = 5 soit p = -1 Donc f est de la forme f(x) = 3x 1. - On peut montrer qu une fonction n est pas affine Exemple : À partir du tableau de valeurs suivant, f est-elle affine? Propriété : f 2 f 1 = = 2 1 =2 et f 4 f Donc f n est pas affine. = = 2 2 = 1 2 Remarque : si on a l égalité des deux quotients, cela ne prouve pas pour autant que la fonction est affine. Pourcentages et fonctions affines 1. Augmentation et diminution en pourcentage Augmenter une quantité de a % revient à multiplier cette quantité par a. Diminuer une quantité de a % revient à multiplier cette quantité par a. Exemples : On augmente le prix d'un séjour au Maroc de 15 %. Il coûtait auparavant Quel est le nouveau prix? Le nouveau prix est donc alors = ,15= On diminue un prix de 20 % et le nouveau prix est de 320. Quel était le prix initial? Diminuer de 20 %, c'est multiplier par =1 0,2= 0,8. On a alors : Propriété : Exemples : x0,8 x0,8? 320 qui devient alors? 320 Le prix initial était donc de 320 0,8 = Fonctions affines :0,8 x f(x) Augmenter de a % revient à définir une fonction affine de coefficient a. Diminuer de a % revient à définir une fonction affine de coefficient a.

7 2 nde SGT : F2 : Sens de variation F3 : Fonctions affines 7 / 8 Suite à une hausse des taxes sur l'essence, tous les carburants à la pompe subissent une hausse de 2 %. Cela revient à définir une fonction affine de coefficient = 1 0,02=1,02. C'est-à-dire de la forme f x =1,02 x qui à tout prix initial x associe son nouveau prix f x. On peut alors utiliser les ressources des fonctions telles que les tableaux de valeurs, les graphiques. IV. Signe d'une fonction affine Du fait de l'ensemble de définition R et des variations d'une fonction affine, on peut facilement statuer sur le signe (positif, négatif ou nul) de toute fonction affine en fonction du signe du coefficient directeur m : m > 0 m < 0 La fonction affine est croissante sur R. La fonction affine est décroissante sur R. Exemple : f x =2 x 2 Exemple : f x = 2 x 1 f x =0 pour x= 1. f x 0 pour x 1 et f x 0 pour x 1 x -1 f(x) f x =0 pour x= 1 2. f x 0 pour x 1 2 et f x 0 pour x 1 2 x 1 2 f(x) + 0 -

8 2 nde SGT : F2 : Sens de variation F3 : Fonctions affines 8 / 8 Annexe 1 : Fonctions (affines) par morceaux et calculatrices On peut représenter facilement à la calculatrice une fonction définie par intervalles. Exemple : Soit f la fonction définie par {f (x )= x+ 5, pour x [ 5 ; 0 ] f (x )= 5, pour x [0 ; 1]. f (x )= 2 x +7, pour x [1 ; 5] Ti 1. Appuyer sur la touche Y = 2. Sélectionner Y1, puis taper : ( X + 5 ) ( - 5 X ) ( X 0 ) + 5 ( 0 X ) ( X 1 ) + ( - 2 x + 7 ) ( 1 X ) ( X 5 ) 3. Taper GRAPH. La courbe de f apparaît. On obtient <, >,, avec 2nd TEST. Casio 1. Dans le menu, choisir GRAPH 2. Sélectionner Y1 puis taper X + 5, [-5, 0] Sélectionner Y2 puis taper 5, [0, 1] Sélectionner Y3 puis taper -2X + 7, [1, 5] 3. Taper F6 (DRAW) et la courbe de f apparaît. On obtient «[» et «]» avec SHIFT + et SHIFT - Application : Les cars de supporters Une entreprise de transport possède 4 cars de 50 places chacun et se propose d assurer le transport des supporters d une équipe de rugby. 1.Représenter graphiquement le nombre de cars en fonction du nombre de supporters.(unités :1cm pour 10 supporters en abscisse et 1 cm pour 1 car en ordonnées) 2.Chaque car se loue 800. Représenter graphiquement le prix par supporter en fonction du nombre x de supporters, x variant de 10 à Question supplémentaire : Combien l organisateur peut-il accepter de supporters, s il s est engagé à ce que le prix d une place ne dépasse pas 20? Remarque : penser à passer en mode «dot» sur les calculatrice au lieu du mode «connected».