Autour de l universalité dans les automates cellulaires
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- Abel Beauchemin
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1 Autour de l universalité dans les automates cellulaires 29 mars 2005, GREYC, Caen Guillaume Theyssier (LIP, ENS Lyon, France)
2 Le modèle des AC Le modèle des AC 2 Universalité & automates cellulaires
3 Le modèle des AC Généralités sur le modèle : 3 Universalité & automates cellulaires
4 Le modèle des AC Généralités sur le modèle : AC = système dynamique discret particulier 3 Universalité & automates cellulaires
5 Le modèle des AC Généralités sur le modèle : AC = système dynamique discret particulier simplicité formelle déterminisme localité uniformité synchronisme 3 Universalité & automates cellulaires
6 Le modèle des AC Généralités sur le modèle : AC = système dynamique discret particulier simplicité formelle déterminisme localité uniformité synchronisme complexité dans la dynamique individuelle (universalité, chaos, etc) collective (classification) 3 Universalité & automates cellulaires
7 Le modèle des AC Généralités sur le modèle : AC = système dynamique discret particulier simplicité formelle déterminisme localité uniformité synchronisme complexité dans la dynamique individuelle (universalité, chaos, etc) collective (classification) (c est aussi un modèle de calcul massivement parallèle) 3 Universalité & automates cellulaires
8 Le modèle des AC Formellement, un automate cellulaire A est un quadruplet (Z d, N, S, δ) : Z d S N = ( n 1,..., n k ) δ : S k S réseau de cellules ensemble fini d états vecteurs de Z d, voisinage de A règle de transition locale 4 Universalité & automates cellulaires
9 Le modèle des AC Formellement, un automate cellulaire A est un quadruplet (Z d, N, S, δ) : Z d S N = ( n 1,..., n k ) δ : S k S réseau de cellules ensemble fini d états vecteurs de Z d, voisinage de A règle de transition locale Une configuration est une fonction de Z d dans S. 4 Universalité & automates cellulaires
10 Le modèle des AC Formellement, un automate cellulaire A est un quadruplet (Z d, N, S, δ) : Z d S N = ( n 1,..., n k ) δ : S k S réseau de cellules ensemble fini d états vecteurs de Z d, voisinage de A règle de transition locale Une configuration est une fonction de Z d dans S. fonction globale de A sur les configurations : 4 Universalité & automates cellulaires
11 Le modèle des AC Formellement, un automate cellulaire A est un quadruplet (Z d, N, S, δ) : Z d S N = ( n 1,..., n k ) δ : S k S réseau de cellules ensemble fini d états vecteurs de Z d, voisinage de A règle de transition locale Une configuration est une fonction de Z d dans S. fonction globale de A sur les configurations : c S Zd, z Z d : ( A(c) ) ( z ) = δ ( c( z + n 1 ),..., c( z + n k ) ) 4 Universalité & automates cellulaires
12 Le modèle des AC Formellement, un automate cellulaire A est un quadruplet (Z d, N, S, δ) : Z d S N = ( n 1,..., n k ) δ : S k S réseau de cellules ensemble fini d états vecteurs de Z d, voisinage de A règle de transition locale Une configuration est une fonction de Z d dans S. fonction globale de A sur les configurations : c S Zd, z Z d : ( A(c) ) ( z ) = δ ( c( z + n 1 ),..., c( z + n k ) ) Exemple. translation de vecteur v : σ v = (Z d, S, { v }, Id) 4 Universalité & automates cellulaires
13 Le modèle des AC Diagramme espace-temps A = ( Z, N = { 1, O, 1}, S = {,,, δ ( ),, = }, δ ). (le temps progresse de bas en haut) 5 Universalité & automates cellulaires
14 Le modèle des AC L espace des configurations S Z Définition. d(c, d) = 2 min{ z :c(z) d(z)}. 6 Universalité & automates cellulaires
15 Le modèle des AC L espace des configurations S Z Définition. d(c, d) = 2 min{ z :c(z) d(z)}. d(c, d) = Universalité & automates cellulaires
16 Le modèle des AC L espace des configurations S Z Définition. d(c, d) = 2 min{ z :c(z) d(z)}. d(c, d) = 1 8 Fait. ( S Z, d ) est compact 6 Universalité & automates cellulaires
17 Le modèle des AC Caractérisation topologique des AC 7 Universalité & automates cellulaires
18 Le modèle des AC Caractérisation topologique des AC Théorème (Hedlund, 69). Une fonction sur S Z est la fonction globale d un AC si et seulement si elle est continue pour d et commute avec les translations. 7 Universalité & automates cellulaires
19 Le modèle des AC Caractérisation topologique des AC Théorème (Hedlund, 69). Une fonction sur S Z est la fonction globale d un AC si et seulement si elle est continue pour d et commute avec les translations. Corollaire. Un AC bijectif est réversible. 7 Universalité & automates cellulaires
20 Le modèle des AC Caractérisation topologique des AC Théorème (Hedlund, 69). Une fonction sur S Z est la fonction globale d un AC si et seulement si elle est continue pour d et commute avec les translations. Corollaire. Un AC bijectif est réversible. Étude des questions classiques de la théorie des systèmes dynamiques 7 Universalité & automates cellulaires
21 Le modèle des AC Caractérisation topologique des AC Théorème (Hedlund, 69). Une fonction sur S Z est la fonction globale d un AC si et seulement si elle est continue pour d et commute avec les translations. Corollaire. Un AC bijectif est réversible. Étude des questions classiques de la théorie des systèmes dynamiques Exemple : nilpotence = c 0 T c : A T (c) = c 0 indécidable ( la halte des AC ) problématique des périodes transitoires 7 Universalité & automates cellulaires
22 Universalité(s) Universalité(s) 8 Universalité & automates cellulaires
23 Universalité(s) Une machine de Turing est un automate cellulaire particulier étudié sur des configurations particulières. 9 Universalité & automates cellulaires
24 Universalité(s) Une machine de Turing est un automate cellulaire particulier étudié sur des configurations particulières. 9 Universalité & automates cellulaires
25 Universalité(s) Une machine de Turing est un automate cellulaire particulier étudié sur des configurations particulières. universalité Turing dans les AC 9 Universalité & automates cellulaires
26 Universalité(s) Universalité intrinsèque = 10 Universalité & automates cellulaires
27 Universalité(s) Universalité intrinsèque = capacité à simuler de manière synchrone et uniforme tout AC. 10 Universalité & automates cellulaires
28 Universalité(s) Universalité intrinsèque = capacité à simuler de manière synchrone et uniforme tout AC. idée ancienne formalisée progressivement : Banks 70, Albert & Culik 87, Martin 94, Durand & Róka Universalité & automates cellulaires
29 Universalité(s) Universalité intrinsèque = capacité à simuler de manière synchrone et uniforme tout AC. idée ancienne formalisée progressivement : Banks 70, Albert & Culik 87, Martin 94, Durand & Róka 96 B simule A = B contient toute la dynamique de A 10 Universalité & automates cellulaires
30 Universalité(s) Universalité intrinsèque = capacité à simuler de manière synchrone et uniforme tout AC. idée ancienne formalisée progressivement : Banks 70, Albert & Culik 87, Martin 94, Durand & Róka 96 B simule A = B contient toute la dynamique de A tous les diagrammes espace-temps de A sont des diagrammes espace-temps de B 10 Universalité & automates cellulaires
31 Universalité(s) Universalité intrinsèque = capacité à simuler de manière synchrone et uniforme tout AC. idée ancienne formalisée progressivement : Banks 70, Albert & Culik 87, Martin 94, Durand & Róka 96 B simule A = B contient toute la dynamique de A tous les diagrammes espace-temps de A sont des diagrammes espace-temps de B simulation = changement d échelle + relation de sous-système (Mazoyer & Rapaport 98, Ollinger 02) 10 Universalité & automates cellulaires
32 Universalité(s) Notion de sous-système stable : B est un sous-automate de A (B A) si 11 Universalité & automates cellulaires
33 Universalité(s) Notion de sous-système stable : B est un sous-automate de A (B A) si B Zd B B Zd où ι : B A est injective ι A Zd A ι A Zd 11 Universalité & automates cellulaires
34 Universalité(s) Notion de sous-système stable : B est un sous-automate de A (B A) si B Zd B B Zd où ι : B A est injective ι A Zd A ι A Zd À renommage près, B est A restreint à un sous-alphabet 11 Universalité & automates cellulaires
35 Universalité(s) Transformations spatio-temporelles (A A T ) : états : A états : A m A T =<m,n> A T A <m,n> = o m A n o m 12 Universalité & automates cellulaires
36 Universalité(s) Transformations spatio-temporelles (A A T ) : états : A états : A m A T =<m,n> A T A <m,n> = o m A n o m Formellement, la simulation ( ) se définit par : A B T, T : A T B T 12 Universalité & automates cellulaires
37 Universalité(s) Prorpiétés de 13 Universalité & automates cellulaires
38 Prorpiétés de est un pré-ordre ( relation d équivalence ) Universalité(s) 13 Universalité & automates cellulaires
39 Universalité(s) Prorpiétés de est un pré-ordre ( relation d équivalence ) {(A, B) : A B} est récursivement énumérable (mais non récursif) 13 Universalité & automates cellulaires
40 Universalité(s) Prorpiétés de est un pré-ordre ( relation d équivalence ) {(A, B) : A B} est récursivement énumérable (mais non récursif) admet un minimum global : les AC à 1 état 13 Universalité & automates cellulaires
41 Universalité(s) Prorpiétés de est un pré-ordre ( relation d équivalence ) {(A, B) : A B} est récursivement énumérable (mais non récursif) admet un minimum global : les AC à 1 état 13 Universalité & automates cellulaires
42 Universalité(s) Maximum global pour : la classe U des AC intrinsèquement universels 14 Universalité & automates cellulaires
43 Universalité(s) Maximum global pour : la classe U des AC intrinsèquement universels Propriété. A U, B, m, n : B A <m,n> 14 Universalité & automates cellulaires
44 Universalité(s) Maximum global pour : la classe U des AC intrinsèquement universels Propriété. A U, B, m, n : B A <m,n> un AC intrinsèquement universel peut simuler directement tout AC 14 Universalité & automates cellulaires
45 Universalité(s) Maximum global pour : la classe U des AC intrinsèquement universels Propriété. A U, B, m, n : B A <m,n> un AC intrinsèquement universel peut simuler directement tout AC Petits exemples. réseau Z : Banks 70 (2 états, 5 voisins) Ollinger 03 (6 états, 3 voisins) réseau Z 2 : Banks 70 (2 états, 5 voisins) Conway 70 Game of Life (2 états, 9 voisins) 14 Universalité & automates cellulaires
46 Propriétés & probabilités asymptotiques Propriétés & probabilités asymptotiques 15 Universalité & automates cellulaires
47 Propriétés & probabilités asymptotiques un rayon r est fixé 16 Universalité & automates cellulaires
48 un rayon r est fixé Propriétés & probabilités asymptotiques AC n = AC de rayon r et d alphabet {1,..., n} 16 Universalité & automates cellulaires
49 Propriétés & probabilités asymptotiques un rayon r est fixé AC n = AC de rayon r et d alphabet {1,..., n} AC = AC n n N 16 Universalité & automates cellulaires
50 Propriétés & probabilités asymptotiques un rayon r est fixé AC n = AC de rayon r et d alphabet {1,..., n} AC = AC n n N propriété = P AC 16 Universalité & automates cellulaires
51 un rayon r est fixé Propriétés & probabilités asymptotiques AC n = AC de rayon r et d alphabet {1,..., n} AC = n N AC n propriété = P AC la probabilité de P : µ(p) = lim n P AC n AC n 16 Universalité & automates cellulaires
52 un rayon r est fixé Propriétés & probabilités asymptotiques AC n = AC de rayon r et d alphabet {1,..., n} AC = n N AC n propriété = P AC la probabilité de P : µ(p) = lim n P AC n AC n Définition. P croissante si A B : A P B P P est alors compatible avec le renommage 16 Universalité & automates cellulaires
53 Propriétés & probabilités asymptotiques Un exemple : 17 Universalité & automates cellulaires
54 Propriétés & probabilités asymptotiques Un exemple : e est un état quiescent si A(e,..., e) = e P = avoir un état quiescent P AC n AC n = 1 (1 1 n )n µ(p) = 1 1 e 17 Universalité & automates cellulaires
55 Propriétés & probabilités asymptotiques Un exemple : e est un état quiescent si A(e,..., e) = e P = avoir un état quiescent P AC n AC n = 1 (1 1 n )n µ(p) = 1 1 e Propriétés classiques décroissantes : réversibilité, surjectivité, expansivité 17 Universalité & automates cellulaires
56 Propriétés & probabilités asymptotiques Un exemple : e est un état quiescent si A(e,..., e) = e P = avoir un état quiescent P AC n AC n = 1 (1 1 n )n µ(p) = 1 1 e Propriétés classiques décroissantes : réversibilité, surjectivité, expansivité Une propriété croissante : l universalité intrinsèque µ(u)? 17 Universalité & automates cellulaires
57 Automates cellulaires captifs Automates cellulaires captifs 18 Universalité & automates cellulaires
58 Automates cellulaires captifs Une classe définie à partir d un paradigme de localité renforcé 19 Universalité & automates cellulaires
59 Automates cellulaires captifs Une classe définie à partir d un paradigme de localité renforcé Definition. A est un AC captif (ACC) si a 1,..., a k : A(a 1,..., a k ) {a 1,..., a k } 19 Universalité & automates cellulaires
60 Automates cellulaires captifs Une classe définie à partir d un paradigme de localité renforcé Definition. A est un AC captif (ACC) si a 1,..., a k : A(a 1,..., a k ) {a 1,..., a k } un AC à 2 états est captif les 2 états sont quiescents 19 Universalité & automates cellulaires
61 Automates cellulaires captifs Une classe définie à partir d un paradigme de localité renforcé Definition. A est un AC captif (ACC) si a 1,..., a k : A(a 1,..., a k ) {a 1,..., a k } un AC à 2 états est captif les 2 états sont quiescents A réversible et captif A 1 captif 19 Universalité & automates cellulaires
62 Automates cellulaires captifs Une classe définie à partir d un paradigme de localité renforcé Definition. A est un AC captif (ACC) si a 1,..., a k : A(a 1,..., a k ) {a 1,..., a k } un AC à 2 états est captif les 2 états sont quiescents A réversible et captif A 1 captif pas de captif nilpotent ( questions de décidabilité) 19 Universalité & automates cellulaires
63 Automates cellulaires captifs Une classe définie à partir d un paradigme de localité renforcé Definition. A est un AC captif (ACC) si a 1,..., a k : A(a 1,..., a k ) {a 1,..., a k } un AC à 2 états est captif les 2 états sont quiescents A réversible et captif A 1 captif pas de captif nilpotent ( questions de décidabilité) transformation uniforme des AC en captifs 19 Universalité & automates cellulaires
64 Automates cellulaires captifs Une classe définie à partir d un paradigme de localité renforcé Definition. A est un AC captif (ACC) si a 1,..., a k : A(a 1,..., a k ) {a 1,..., a k } un AC à 2 états est captif les 2 états sont quiescents A réversible et captif A 1 captif pas de captif nilpotent ( questions de décidabilité) transformation uniforme des AC en captifs captifs intrinsèquement universels 19 Universalité & automates cellulaires
65 Automates cellulaires captifs Une classe définie à partir d un paradigme de localité renforcé Definition. A est un AC captif (ACC) si a 1,..., a k : A(a 1,..., a k ) {a 1,..., a k } un AC à 2 états est captif les 2 états sont quiescents A réversible et captif A 1 captif pas de captif nilpotent ( questions de décidabilité) transformation uniforme des AC en captifs captifs intrinsèquement universels probabilité dans la classe ACC : µ (P) = lim n P ACC n ACC n 19 Universalité & automates cellulaires
66 Automates cellulaires captifs Loi 0-1. Pour toute propriété P non triviale : P croissante µ (P) = 1 P décroissante µ (P) = 0 20 Universalité & automates cellulaires
67 Automates cellulaires captifs Loi 0-1. Pour toute propriété P non triviale : P croissante µ (P) = 1 P décroissante µ (P) = 0 Preuve. 20 Universalité & automates cellulaires
68 Automates cellulaires captifs Loi 0-1. Pour toute propriété P non triviale : P croissante µ (P) = 1 P décroissante µ (P) = 0 Preuve. 20 Universalité & automates cellulaires
69 Automates cellulaires captifs Loi 0-1. Pour toute propriété P non triviale : P croissante µ (P) = 1 P décroissante µ (P) = 0 Preuve. 20 Universalité & automates cellulaires
70 Automates cellulaires captifs Par la loi 0-1, un ACC aléatoire est intrinsèquement universel, mais Universalité & automates cellulaires
71 Automates cellulaires captifs Par la loi 0-1, un ACC aléatoire est intrinsèquement universel, mais... Théorème. r 0 tel que, r r 0, l appartenance à U pour un ACC est indécidable 21 Universalité & automates cellulaires
72 Automates cellulaires captifs Par la loi 0-1, un ACC aléatoire est intrinsèquement universel, mais... Théorème. r 0 tel que, r r 0, l appartenance à U pour un ACC est indécidable Coeur de la preuve : un transformation τ : AC ACC telle que τ est récursive A AC, A τ(a) A et τ(a) simulent les mêmes AC surjectifs non triviaux 21 Universalité & automates cellulaires
73 Automates cellulaires captifs Il n y a pas de limite à la complexité des ACC non intrinsèquement universels 22 Universalité & automates cellulaires
74 Automates cellulaires captifs Il n y a pas de limite à la complexité des ACC non intrinsèquement universels Théorème. A B et B A A ACC \ U, B ACC \ U tel que 22 Universalité & automates cellulaires
75 Automates cellulaires captifs Il n y a pas de limite à la complexité des ACC non intrinsèquement universels Théorème. A B et B A A ACC \ U, B ACC \ U tel que Preuve : semi-decidabilité de + indecidabilité de U pas de maximum global dans ACC \ U A, B ACC \ U, C ACC \ U avec A C et B C 22 Universalité & automates cellulaires
76 Automates cellulaires captifs Retour au cas général Universalité & automates cellulaires
77 Automates cellulaires captifs Retour au cas général... pas de loi 0-1 (propriété état quiescent) 23 Universalité & automates cellulaires
78 Automates cellulaires captifs Retour au cas général... pas de loi 0-1 (propriété état quiescent) Définition. P = {A : B, 1 < B < A et B A} Avoir un sous-automate non trivial 23 Universalité & automates cellulaires
79 Automates cellulaires captifs Retour au cas général... pas de loi 0-1 (propriété état quiescent) Définition. P = {A : B, 1 < B < A et B A} Avoir un sous-automate non trivial Propriété. µ(p ) = 0 Preuve combinatoire. 23 Universalité & automates cellulaires
80 Automates cellulaires captifs Retour au cas général... pas de loi 0-1 (propriété état quiescent) Définition. P = {A : B, 1 < B < A et B A} Avoir un sous-automate non trivial Propriété. µ(p ) = 0 Preuve combinatoire. un AC aléatoire n a pas de structure locale les arguments pour la classe ACC ne s appliquent pas 23 Universalité & automates cellulaires
81 Questions ouvertes Questions ouvertes 24 Universalité & automates cellulaires
82 Questions ouvertes (i). existe-t-il A tel que m, n, A <m,n> P? (ii). µ(p U )? µ(p U ) = c > 0 non défini µ(p U ) = 0 (iii). à quelle hauteur dans se trouve un AC aléatoire? (iv). Quelles -classes contiennent un ACC? 25 Universalité & automates cellulaires
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