Chapitre VIII : Le logarithme népérien

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1 Chapitre VIII : Le logarithme népérien Etrait du programme : I Définition et premières propriétés Rappel : La fonction eponentielle est continue et strictement croissante sur R à valeurs dans ]0; + [. D après le corollaire du TVI, l équation e = a admet alors une unique solution sur R. Définition On appelle logarithme népérien du réel strictement positif a, l unique solution de l équation e = a, et on le note ln a. { e { = a = ln a On a donc l équivalence : R a ]0; + [ La fonction logarithme népérien, notée ln est donc définie sur ]0;+ [ et est telle que : ln Conséquences : ln = 0 car e = = 0 lne = car e = e = ln e = car e = e = pour tout R, ln(e = pour tout ]0;+ [, e ln =

2 II s algériques Théorème : Relation fonctionnelle Pour tous réels a et strictement positifs : ln(a = ln a + ln Démonstration : Pour tout réels a et strictement positifs, e ln(a = a = e ln a e ln ln a+ln = e et donc par ijection de l eponentielle (c est à dire qu une image est associée à un unique antécédent, ln(a = ln a + ln. s : Pour tous réels a et strictement positifs et tout entier relatif n, ( ln = ln ( a ln = ln a ln ln a = 2 ln a ln(a n = n ln a Démonstration : ( ln + ln ( a ln = ln a + ln ( = ln = ln = 0 d où ln ( = ln a ln ( ln a = ln( a a = ln a + ln a = 2ln a = ln Par récurrence en utilisant la relation fonctionnelle. Point-méthode 40 : Transformer une epression à l aide des propriétés ( On donné A = ln, B = ln( ln( 7 2 et C = 2ln2 + 0,5ln3 ln5. 9 Eprimer A et B en fonction de ln2, ln3 et ln5. Écrire C à l aide d un seul logarithme. 2

3 Point-méthode 40 (suite Solution : On utilise les propriétés algériques de la fonction ln ( A = ln 9 = ln( ln9 (2 = ln( 5 + ln(2 3 ln(3 2 ( A = 0,5ln5 + 3ln2 2ln3 (3 et (4 B = ln( ln( 7 2 = ln ( ( 7 + 2( 7 2 ( = ln(7 4 B = ln3 C = 2ln2 + 0,5ln3 ln5 = ln(2 2 + ln 3 + ln5 (3 et (4 = ln4 ( 3 ln5 ( 4 3 C = ln (2 5 ( ln(a ( = ln a + ln a (2 ln = ln a ln (3 ln ( a = 2 ln a (4 ln(a n = n ln a III Étude de la fonction logarithme népérien Continuité et dérivailité La fonction ln est continue sur ]0;+ [ Démonstration : Admise. Cependant les fonctions ln et ep étant réciproques, on admet que la fonction réciproque d une fonction continue est continue. (Graphiquement, on comprend intuitivement que le symétrique par rapport à y = d une coure en «un seul morceau»est aussi en «un seul morceau». Travail préinaire à la dérivailité : ln ln a Étudions où a est un réel strictement positif. a a On pose X = ln et A = ln a (donc on a = e X et a = e A Comme ln est continue, ln = ln a, donc si tend vers a, alors X tend vers A. a ln ln a X A = a a X A e X e A = X A e X e A X A Or ep est dérivale sur R donc X A e X e A X A = e A (car ep = e ln ln a d où = a a X A e X e A X A = e A = a La fonction ln est dérivale sur ]0;+ [ et on a : ln ( = 3

4 Remarque : On a enfin trouvé une primitive de! 2 Variations La fonction ln est croissante sur ]0;+ [ Démonstration : ln 3 Signe de la fonction ln 0 + On en conclut : ln et donc : ln Résolution d équations et d inéquations avec ln En remarquant que ln = 0, les propriétés suivantes résultent directement de la stricte croissante de la fonction ln. ln a = ln a = ln a < ln a < ln < 0 < ln > 0 > Point-méthode 4 : Résoudre des équations et des inéquations avec ln. résoudre chacune des équations suivantes : a. 4e 7 = 5. ln( = 3 c. ln(5 + 3 = ln( Résoudre chacune des inéquations suivantes : a. ln(5 2. ln( 2 6 ln(3 c. 3e 2 2 > 0 4

5 Point-méthode 4 (suite. (a 4e 7 = 5 e = 3 ln(e = ln3 On applique la fonction ln des 2 côtés de l équation = ln3 D où S = {ln3} ( Avant toute transformation d une équation avec du ln, il faut préciser l ensemle sur lequel on travaille : l ensemle de définition ln( est défini si et seulement si > 0 soit < Il faut ensuite revenir à une équation du type ln a = ln ln( = 3 = e 3 On applique la fonction ep de chaque côté = e 3 On ne garde que les solutions appartenant à l ensemle de définition Or e 3 < donc cette solution est valale. D où S = { e 3} (c ln(5 + 3 = ln(9 2 Ensemle de définition : > 0 ET 9 2 > 0 On doit avoir : > < < 3 On doit faire coïncider ces 2 ensemles, un dessin peut aider, on prend leur intersection : Résolution : ln(5 + 3 = ln(9 2 On applique la fonction ep de chaque côté = 9 2 avec ] 53 [ ; = 0 = 4 ou = avec ] 53 [ ;3 Vérification : 4 ] 53 [ ;3 et ] 53 [ ;3 donc S = {} 2. (a ln(5 2 Ensemle de définition : On doit avoir 5 > 0 < 5 Ce qui revient à 5 3 < < 3 Résolution : ln(5 2 on applique la fonction ep qui est croissante de chaque côté 5 e 2 e e 2 Vérification : On doit avoir ] ;5[ [5 e 2 ;+ [ On en déduit donc : S = [5 e 2 ;5[ On fait ien attention au crochets 5

6 Point-méthode 4 (suite ( ln( 2 6 ln(3 Ensemle de définition : On doit avoir : 2 6 > 0 ET 3 > 0 < 2 ou > 3 > 3 Ce qui revient à dire que > 3 ln( 2 6 ln( Car la fonction ep est croissante On doit avoir : ]3; + [ [ ; 5] et ainsi, S =]3;5] (c 3e 2 2 > 0 ici pas de ln donc pas les 3 points e 2 > 7 on se ramène à une équation du type e a > 2 > ln7 car on est sur R + et que la fonction ln est croissante > ln7 2] [ ln7 donc S = 2 ;+ 5 Limites de la fonction ln ln = 0 + ln = + + Démonstration : Dire que + ln = + signifie que l on peut rendre ln aussi grand que l on veut à condition de prendre suffisamment grand. Or, quelque soit A > 0, on a ln > A dès que > e A Donc l intervalle ]A;+ [ contient toutes les valeurs de ln dès que est suffisant grand (dans ]e A ;+ [. On pose X = 0 + = + ln X = + X + ( Or ln par composition, 0 + ln ( = ln Par conséquent, ln = 0 + = + : Croissances comparées + ln = 0 ln =

7 Démonstration : On pose X = ln donc e X = et par conséquent : ln ln = + + X X + e X = 0 par composition, ln + = 0 = X e X On pose X = X + ( ln X = 0 Or ln = ln par conséquent, ln = = + d après le premier point : En utilisant le nomre dérivé en 0 ln( + Démonstration : ln = = par composition, ln 0 + ln( + ln( + ln( = = ln ( = = (car ln ( =. ln = ln ln = ln ( = = ( = 0 6 Coure représentative de la fonction ln On peut ajouter les ites au taleau de variation précédemment étali : 0 + ln Remarques : 0 + La tangente à la coure au point d ascisse admet pour équation réduite : y =. Les fonctions ln et ep étant réciproques l une de l autre, leurs représentations graphiques sont symétriques par rapport à la droite d équation y =. 7

8 Dresser le taleau de variation complet de la fonction f définie sur ]0;+ [ par : f ( = ln 3 Solution : On commence par calculer les ites au ornes de l ensemle de définition : ln = = 0 par somme, f ( = } ln = + + forme indéterminée, 3 = + Or f ( = ln 3 = (ln 3 = + } + ln 3 = + Point-méthode 42 : Étudier les variations d une fonction contenant ln par produit f ( = + + On dérive en procédant comme toute autre fonction, en faisant attention à repérer les produits : f ( = ln + 3 = ln 2 On trouve le signe de la dérivée en résolvant une INEQUATION : ln 2 > 0 ln > 2 > e 2 De plus, f (e 2 = e 2 ln(e 2 3e 2 = 2e 2 3e 2 = e 2 f ( 0 e f ( 0 e 2 + IV Fonction composée lnu - dérivée : Soit u une fonction dérivale et strictement positive sur un intervalle I. On note u sa dérivée. Soit f la fonction définie sur I par : f ( = ln(u( alors : f est dérivale sur I et, pour tout appartenant à I, f ( = u ( u( d où (lnu = u u f et u ont le même sens de variation Démonstration : On applique le théorème de dérivation d une fonction composée f ( = u ( u( et u est strictement positive, donc f est du même signe que u. 8

9 Étalir les taleau de variations complets des fonctions suivantes :. f ( = ln( 2 36 sur I =] ; 6[ ( 2. g ( = ln 4 2 sur J =]0;2[ Solution : Point-méthode 43 : Étudier une fonction de la forme lnu. On calcule les ites au ornes de l intervalle de définition (on remarque d ailleurs que sur cet intervalle la fonction u( = 2 36 est ien strictement positive 2 36 = + donc f ( = = 0 + donc f ( = 6 Pour les variations, si on connait le sens de variation de u, on en déduit celui de lnu Ici f ( = ln(u( avec u( = 2 36 dont on connait les variations sur I, donc f suit les mêmes variations. u admet un minimum en = 0 donc elle est strictement décroissante sur I. Ainsi, 2a 6 f + ( 2. g ( = ln = 0+ donc g ( = 0 + = + donc g ( = u( = 4 2 donc u ( = 4 2 ( 2 (4 2 2 = (4 2 2 > 0 Par conséquent, u est croissante sur J, donc g est croissante sur J. 0 2 g + - primitive Soit u une fonction dérivale sur un intervalle I et qui ne s annule pas sur cet intervalle. La fonction g : u ( admet alors des primitives sur l intervalle I. u( L une de ces primitives est la fonction G = ln u Eemple :Déterminer une primitive de g ( = 32 3 sur R\2 8 g est de la forme u u et est donc la dérivée de lnu on peut donc penser que G( = ln(3 8. 9

10 Prolème : 3 8 n est pas strictement positive sur R\2, elle l est sur ]2;+ [ donc G n eiste que sur ]2;+ [. C est pourquoi, on prendra comme primitive la fonction G ( = ln( 3 8 En dérivant G, on peut vérifier que cela fonctionne : Sur ]2;+ [ : G ( = ln( 3 8 = ln( 3 8 et on a : G ( = g ( Sur ] ;2[ : G ( = ln( 3 8 = ln( et on a sa dérivée qui est donc : G ( = = = g ( Ainsi, G ( = ln( 3 8 est ien une primitive de g sur R\2. V Le logarithme décimal Définition 2 La fonction logarithme décimal (ou logarithme de ase 0, notée log, est la fonction définie sur ]0;+ [ par : log = ln ln0 En particulier : log = 0 et log0 =. Très utilisé en physique : calcul de ph, de déciels... ln et log possèdent les mêmes propriétés de calculs, de variations etc... en particulier, log(0 n = n log0 = n Eemple : log000 = log0 3 = 3 log0,000 = log0 4 = 4 log3 = ln3 ln0 0,477 log300 = log3 + log00 = log ,477 En chimie, la forme ph = log[h 3 O + ] donne le potentiel hydrogène d une solution en fonction de la concentration en ion hydronium H 3 O + eprimée en mol par litre.. Calcule le ph pour [H 3 O + ] = 0 3 mol.l 2. Si le ph d une solution est de 9, quelle est la concentration en ion H 3 O + de cette solution? Solution : Point-méthode 44 : Utiliser les logarithmes décimau. ph = log[h 3 O + ] = log0 3 = ( 3 = 3 2. La formule log = ln permet de se ramener au propriétés de la fonction ln ln0 9 = log[h 3 O + ] = ln[h 3O + ] ln0 donc ln[h 3 O + ] = 9ln0 = ln0 9 et ainsi, [H 3 O + ] = 0 9 mol.l 0