École Préparatoire en Sciences et Techniques de Tlemcen Département de Physique Corrigé de l'examen nal - Électricité. Questions de cours :

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1 PHYIQUE II(orrigé de l'examen nal) EPT-Tlemcen École Préparatoire en ciences et Techniques de Tlemcen Département de Physique orrigé de l'examen nal - Électricité Questions de cours : 1. Le champ électrostatique créé par une charge électrique est radial : Le champ électrostatique est porté par la droite qui relie la charge électrique et le point de mesure. 2. L'énergie potentielle électrostatique d'un ensemble discret de charges électriques q i, i = 1 N est donné par : E P = 1 N q i V i 2 où V i est le potentiel électrostatique créé par les charges électriques du système (sauf q i ) à l'endroit où se trouve q i. Dans le cas de (03) protons placés aux sommets d'un triangle équilatéral de coté a, le potentiel V i est le même pour les trois protons, et est donné par : i=1 V i = 1 4πε 0 [ e a + e a où e = est la charge du proton et a la distance entre le proton et le point de mesure de V i. En remplaçant dans l'expression ci-dessus, on obtient E P = [ e e 2 4πε 0 a + e ] = 1 3 e 2 a 4πε 0 a L'application numérique donne i=1 E P = (1.6) = Joule 3. La forme intégrale qui correspond à l'équation E = 0 est obtenue en utilisant le théorème de tokes. Pour cela, intégrons la relation précédente sur une surface délimitée par un contour fermé : E d = 0 d = 0 Mais le théorème de tokes permet d'écrire E d = e qui donne enn E d l = 0 ] E d l La circulation d'un champ électrostatique (et partant la force électrostatique) le long d'un contour fermé est toujours nulle. page 1 de 8

2 PHYIQUE II(orrigé de l'examen nal) EPT-Tlemcen Un champ électrostatique dérivant d'un potentiel V s'écrit E = V dv = V.d l = E d l ur une surface où le potentiel électrostatique est constant (équipotentielle) dv = 0, ce qui donne E d l = 0 où d l est un élément innitésimal de déplacement sur la surface équipotentielle. Le produit scalaire entre E et d l étant nul, ces deux vecteurs sont perpendiculaires l'un à l'autre. D'autre part le champ électrostatique est tangent en tout point à une ligne de champ. Par conséquent, les lignes d'un champ électrostatique sont perpendiculaires en tout point de l'espace à une surface équipotentielle. 5. En Avril 1820, lors d'un cours sur l'électricité, Hans hristian Oersted, un physicien et chimiste danois découvrit qu'un l transportant un courant électrique permanent était capable de faire bouger l'aiguille aimantée d'une boussole. Il conclut qu'un courant électrique circulant dans un l pouvait créer un champ magnétique. L'importance de sa découverte réside dans le fait que pour la première fois une relation entre l'électricité et le magnétisme a été établie. Avant, la seule source connue pour produire un champ magnétique était la pierre naturellement aimantée. 6. Le champ d'induction magnétique est un pseudo-vecteur car selon la loi de Biot est savart, le champ magnétique créé par un l conducteur parcouru par un courant continu est le résultat d'un produit vectoriel entre deux vecteurs. Par conséquent, la direction de ce dernier est décidée par la convention du tir bouchon utilisée dans la dénition du produit vectoriel. a direction ne repose donc sur aucune base physique. 7. onsidérons deux surfaces 1 et 2 s'appuyant sur le même contour de telle façon à former une surface fermée = On sait que le ux du champ magnétique B à travers une surface fermée est nul : B d = B d + B d = ce qui donne 1 B d = 2 B d Maintenant, si au lieu de 2 on prend une surface 3 diérente de 2 mais qui s'appuie sur le même contour de telle façon que donne aussi une surface fermée, avec toujours B d + B d = B d = 3 B d e qui nous permet de déduire que le ux à travers les deux surfaces 2 et 3 est le même bien que celles-ci soient de formes diérentes, mais s'appuyant sur le même contour : B d = B d 2 3 page 2 de 8

3 PHYIQUE II(orrigé de l'examen nal) EPT-Tlemcen Figure 1 Le ux à travers un surface fermée = est nul. 8. Le champ magnétique créé en un point à une distance r d'un l conducteur inni parcouru par un courant continu I est donné par : B(r) = µ 0I 2πr u θ Dans le système de coordonnées cylindrique, l'élément de circulation est donné par d l = R dθu θ La circulation du champ magnétique est donnée le long d'un cercle de rayon R est donnée par B(M) d l = 2π 0 µ 0 I 2πR u θ R dθu θ = µ 0 I La circulation du champ magnétique le long d'un cercle fermé à travers lequel passe un courant électrique continu I ne dépend pas du rayon du cercle, mais seulement du courant électrique I passant à travers. e résultat vérie le théorème d'ampère selon lequel la circulation le long d'un contour fermé d'un champ magnétique créé par des courants électriques permanents I i est égal à µ 0 fois la somme algébrique des courants électriques traversant la surface délimitée par ce même contour, à savoir : B d l = µ 0 I int I int = J d où J est la densité du courant électrique. e qui donne B d l = µ 0 J d En utilisant le théorème de tokes, on peut écrire B d l = B d où est la surface délimitant le contour fermé. e qui donne B d = µ 0 J d page 3 de 8

4 PHYIQUE II(orrigé de l'examen nal) EPT-Tlemcen ( ) B µ0 J d = 0 eci est valable pour une surface arbitraire, ce qui permet d'écrire le théorème d'ampère sous sa forme locale : B µ 0 J = 0 B = µ 0 J 9. L'expression de la force de Lorentz F qui s'exerce sur une charge électrique ponctuelle q, se déplaçant à la vitesse v dans un champ magnétique B est donnée par : ( F = q v B ) L'élément de travail de cette force le long d'un déplacement innitésimal d l est donné par : dw = F d ( l = q v B ) d l En divisant et multipliant par dt, l'équation ci-dessus devient : ( dw = q v B ) d l dt dt e qui donne v = d l dt ( dw = q v B ) v dt D'autre part, selon un résultat de l'analyse vectorielle le produit mixte ( v B ) v = 0 Finalement, le travail de la force magnétique sur une charge en mouvement est nul. page 4 de 8

5 PHYIQUE II(orrigé de l'examen nal) EPT-Tlemcen Problème : Une charge électrique Q de densité linéique λ est uniformément répartie sur une partie d'un l conducteur entre les points P 1 et P La charge électrique Q étant répartie uniformément, son expression est donnée par avec On voit bien sur la gure que Q = λ P 1 P 2 P 1 P 2 = OP 2 OP 1 OP 2 = r tan(β 2 ) et OP 1 = r tan(β 1 ) e qui donne Q = λ r [tan(β 2 ) tan(β 1 )] 2. L'élément de charge électrique dq repéré par l'angle α crée au point M un champ électrostatique E de module égal à : de(m) = 1 dq 4πε 0 z 2 + r 2 et tan α = z r z = r tan(α) avec dz = r dα cos 2 α dq = λdz L'expression du champ électrostatique ci-dessus devient Finalement, on obtient de(m) = 1 λdz 4πε 0 z 2 + r = 1 r dα λ 2 4πε 0 cos 2 α r 2 [tan 2 (α) + 1] tan 2 (α) + 1 = 1 cos 2 α de(m) = 1 λdα 3. Le champ électrostatique en M a deux composantes, une suivant u r et l'autre suivant u z. La composante suivant u r est donnée par : de r = de(m) cos α = alors que celle suivant u z est donnée par : de z = de(m) sin α = λ cos αdα λ sin αdα page 5 de 8

6 PHYIQUE II(orrigé de l'examen nal) EPT-Tlemcen elon le principe de superposition, le champ électrostatique créé en M par la charge Q répartie entre P 1 et P 2 est la somme des contributions de tous les éléments de charges entre ces deux points, à savoir E(M) = Après intégration, on trouve E(M) = β 2 β 1 P 2 P 1 de r u r λ cos αdα u r P 2 P 1 β 2 β 1 de z u z λ sin αdα u z E(M) = 1 4πε 0 λ r [(sin β 2 sin β 1 )u r + (cos β 2 cos β 1 )u z ] 5. Pour un l conducteur supposé inni l'angle β 1 tend vers π 2 et β 2 vers π, ce qui, en remplaçant 2 dans l'expression ci-dessus, permet d'écrire E(M) = λ 2πε 0 r u r 6. An d'utiliser le théorème de Gauss sur le cas d'un l conducteur inni, on doit tout d'abord remarquer que le champ électrostatique créé par ce l en un point M est radial et a une symétrique cylindrique. En eet, pour un élément dq sur le l créant au point M un champ électrostatique il est toujours possible de trouver un un élément de charge qui créé en M un champ électrostatique dont la somme avec celui créé par le premier élément donne un vecteur selon la coordonnée r. La symétrie du problème fait que l'intensité du champ électrostatique est le même sur la surface latérale d'un cylindre dont l'axe principal est confondu avec le l conducteur. Il est possible de choisir comme surface de Gauss la surface d'un cylindre de rayon r et de hauteur h dont l'axe principal est suivant z (confondu avec le l). pour retrouver ce résultat.elon le théorème de Gauss E d = Q int ε 0 Mais la surface totale du cylindre choisie peut s'écrire sous la forme : E d = E d + E d + E d Q int = 1 2 ε 0 où 1, 2 et L sont la surface supérieure, la surface inférieure et la surface latérale du cylindre, respectivement. Remarquons que L 1 E d = 0 car E 1 et alors que E d = 0 2 car E 2 E d = L E(r) L car E L page 6 de 8

7 PHYIQUE II(orrigé de l'examen nal) EPT-Tlemcen En plus e qui permet d'écrire et le champ vecteur s'écrit L E(r) = E(r) L car E(r) est constant sur cette surface E(r) 2πr h = Q int ε 0 E(r) = E(r) = λ λ 1 u r = λ h ε 0 Figure 2 urface de Gauss sous forme d'une surface d'un cylindre de longueur h et de rayon de base r. 7. L'expression du potentiel électrostatique créé au point M par le l conducteur supposé inni est obtenue à travers l'expression E = V ou, en utilisant l'expression du gradient dans le système de coordonnées cylindriques V = V r u r + 1 V r θ u θ + V z u z et puisque le champ électrostatique ne dépend que de r, l'expression ci-dessus devient par identication, on obtient V (N) V (M) = λ 2 πε 0 λ 1 u r = V r u r dv = λ dr r+a r dr r = λ ( ) r + a ln V (M) V (N) = λ ( ) r + a ln > 0 page 7 de 8

8 PHYIQUE II(orrigé de l'examen nal) EPT-Tlemcen L'expression du travail nécessaire pour ramener une charge q du point N vers le point M est donnée par : W N M = q(v (M) V (N)) = qλ ( ) r + a ln page 8 de 8