Chapitre 10. Géométrie dans l espace Terminale 07.

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1 Chapitre 10. Géométrie dans l espace Terminale 07. I. EXERCICES D INTRODUCTION : Exercices sur le chapitre 10, du déclic T S. Enoncé. 1 ) Activité n 4 page 59. Sur la figure ci-contre ABCDEFGH est un pavé droit tel que : AB =, AD = 4 et AE = On pose i = AB = AI ; j = AD = AJ et k = AE = AK, donc le repère ( A; i, j, k ) est un repère orthonormé 4 de l espace. Comme AG = i + 4 j + k, on dit que le point G a pour coordonnées ( ;4; ). 1 ) Lire les coordonnées des sommets de ce pavé droit. ) Lire les coordonnées du point M dans le cas où M appartient à : a) La face EFGH. b) La face ADHE. ) Lire les coordonnées du point N dans le cas où N appartient à : a) La face BCGF. b) La face ABCD. 4 ) Lire les coordonnées du point P dans le cas où P appartient à : a) La face ADHE. b) La droite (IJ). Vérifier en comparant les coordonnées des vecteurs IJ et IP 1 = ;; et S = ; ;. 5 ) Reproduire la figure, et placer les points suivants : R ( ) ) N 81 page 81 x = 1+ t D : y = 1 + t avec t R. z = + t 1 ) Parmi les points suivants, dire lesquels appartiennent à cette droite : ;0;5 0; 1,5;0,5 C = 1;0;. Soit la droite ( D ) dont la représentation paramétrique est ( ) A = ( ) ; B = ( ) ; ( ) ) Déterminer une représentation paramétrique de la parallèle à la droite ( D ) et passant par le point D = ( ;1; 1) 1

2 ) N 84 page 81 Soient les droites ( D 1) et ( ) x = 1+ t D1 : y = 1 t avec t z = + 4t ( ) 1 ) Justifier que les droites ( ) 1 D de représentations paramétriques : R et ( ) D et ( ) D ne sont pas parallèles. ) On a effectuée la recherche suivante à l aide du logiciel de calcul formel Xcas : x = u D : y = 4 + u avec u R z = 9 u a) En admettant ce résultat, peut-on affirmer que les droites ( D 1) et ( ) point? D sont sécantes? Si oui, en quel b) Démontrer le résultat obtenu par le logiciel, et déterminer la position relative des deux droites ( 1) ( D ). 4 ) N 86 page 81 Etudier la position relatives des deux droites ( D 1) et ( ) 1 ) ( ) ) ( ) ) ( ) x = 5 + t D1 : y = 1 t avec t z = + t x = 1 t D1 : y = + t avec t z = t x = 1+ t D1 : y = 4 t avec t z = + t 5 ) N 74 page 1. R et ( ) R et ( ) R et ( ) Dans l espace rapporté au repère orthonormé ( O; i, j, k ) C = ( 1;5; ). 1 ) a) Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. b) Déterminer une équation du plan (ABC). ) Soit la droite (D) dont la représentation paramétrique est ( ) D dans chacun des cas suivants : x = + u D : y = + u avec u R z = 6 + 5u x = u D : y = 5 6 u avec u R z = 1 u x = u D : y = 1 + u avec u R z = 5 + u D et, on donne les points A = ( 1; 1;4 ) ; ( 7; 1; ) B = et x = t D : y = t avec t R z = t a) Montrer que la droite (D) est perpendiculaire au plan (ABC). G = ;1;0 centre de gravité du b) Montrer que (D) coupe le plan (ABC) en un point G de coordonnées ( ) triangle ABC )Soit (S) la sphère de centre G passant par le point A. Déterminer les coordonnées des points communs à la sphère (S) et à la droite (D).

3 1 ) Activité n 4 page 59. Exercices sur le chapitre 10, du déclic T S. CORRECTIONS. Sur la figure ci-contre ABCDEFGH est un pavé droit tel que : AB =, AD = 4 et AE = On pose i = AB = AI ; j = AD = AJ et k = AE = AK, 4 A; i, j, k est un repère orthonormé de donc le repère ( ) l espace. Comme AB = i + 4 j + k, on dit que le point G a pour coordonnées ( ;4; ). 1 ) Les coordonnées des sommets de ce pavé droit. 0;0;0 ;0;0 ;4;0 A = ( ) ; B = ( ) ; C = ( ) ; D = ( 0;4;0 ) ; E = ( 0;0; ) ; F = ( ;0; ) ; ( ;4; ) H = ( 0;4;) ) Lire les coordonnées du point M dans le cas où M appartient à : M = 1;;. a) M Est sur la face EFGH donc ( ) b) M Est sur la face ADHE donc M = 0; ;. ) Lire les coordonnées du point N dans le cas où N appartient à : N = ;;1. a) N est sur la face BCGF donc ( ) b) N est sur la face ABCD donc N = ( 1;1;0 ) G = et 4 ) Lire les coordonnées du point P dans le cas où P appartient à : P = 0;4;1 a) P est sur la face ADHE donc ( ) b) P est sur la droite (IJ) donc P = ( ;;0 ) Avec les coordonnées des vecteurs IJ = ( 1;1;0 ) et IP ( ;;0 ) = 5 ) On reproduit cette figure, et on place les points suivants : R ( ) IP = IJ 1 = ;; et S = ; ;

4 ) N 81 page 81 x = 1+ t D : y = 1 + t avec t R. z = + t = 1+ t t = 1 D : 0 = 1 + t t = 1 5 = + t t = 1 1 En procédant de même, on en déduit que B = ( 0; 1, 5;0,5 ) ( D) (donne t = ) et le point C = 1;0; D (car on a d'abord t = 0 puis t = 1). Soit la droite ( D ) dont la représentation paramétrique est ( ) 1 ) A = ( ;0;5 ) ( D) car on a ( ) ( ) ( ) ) Une représentation paramétrique de la parallèle à la droite ( D ) et passant par le point ( ;1; 1) x = + t ' D ' : y = 1 + t ' avec t ' R z = 1 + t ' ( ) ) N 84 page 81 Soient les droites ( D 1) et ( ) x = 1+ t D1 : y = 1 t avec t z = + 4t ( ) D de représentations paramétriques : R et ( ) 1 ) Les droites ( D 1) et ( D ) ne sont pas parallèles car si on prend ( ) droite et v = ( 1;; 1) D = est : x = u D : y = 4 + u avec u R z = 9 u u = ; 1;4 un vecteur directeur de la première un vecteur directeur de la deuxième droite, on constate que ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires. ) On a effectuée la recherche suivante à l aide du logiciel de calcul formel Xcas : a) En utilisant le résultat de ce logiciel, on peut en deduire que ces deux droites sont sécantes, au point de t 1 sur D u sur D 1;0;7. parametres = ( ) et = ( ), ce qui donne le point d inetsection ( ) 1 b) Sin on résoud el système constitué par les équations de ces deux droites, on trouve : 1+ t = u u = 4 t u = 4 t 1 t = 4 + u 1 t = t t = 4t 9 u 4t 9 u ( + = + = ) + 4t = 9 u ( ) u = 4 1 u = t = 1 t = 1 4t 9 u ( + = ) = 9 7 = 7 ce qui est vrai. Donc les deux droites ( D 1) et ( D ) sont ccoplanaires et sécantes au point de coordonnées ( ) 1;0;7. 4

5 4 ) N 86 page 81 Etudier la position relatives des deux droites ( D 1) et ( ) 1 ) ( ) x = 5 + t D1 : y = 1 t avec t z = + t Les droites ( ) 1 R et ( ) D dans chacun des cas suivants : x = + u D : y = + u avec u R z = 6 + 5u u = 1; 1;1 v = ;1;5 qui ne sont pas D et ( D ) sont dirigés respectivement par les vecteurs ( ) et ( ) colinéaires, donc ces deux droites ne sont pas parallèles et en résolvant le système constitué par ces deux droites 4 1 on trouve (comme pour l exercice précédent ) t = et u =, donc ces deux droites ( D 1) et ( D ) sont sécantes au point de coordonnées ; ;. x = 1 t x = u ) ( D1 ) : y = + t avec t R et ( D ) : y = 5 6 u avec u R z = t z = 1 u Les droites ( D 1) et ( D ) sont dirigés respectivement par les vecteurs u = ( 1;;1 ) et v = ( ; 6; ) qui sont colinéaires car v = u donc ces deux droites sont parallèles et coplanaires de plus le point de coordonnées D, en prenant 1 ( 0;5;1 ) appartient à ( D ) et aussi à ( ) sont confondues. 1 t =, on en déduit donc que ces deux droites ( D ) et ( D ) 1 ) ( ) x = 1+ t D1 : y = 4 t avec t z = + t Les droites ( ) 1 R et ( ) x = u D : y = 1 + u avec u R z = 5 + u u = ; 1;1 D et ( D ) sont dirigés respectivement par les vecteurs ( ) et v = ( 1;; ) qui ne sont pas colinéaires, donc ces deux droites ne sont pas parallèles et comme le système constitué par les équations de ces D sont non coplanaires. deux droites n admet pas de solutions, on en déduit que les deux droites ( ) 1 D et ( ) 5

6 5 ) N 74 page 1. Dans l espace rapporté au repère orthonormé ( O; i, j, k ) C = ( 1;5; ). 1 ) a) AB = ( 6;0; 6), AC = ( 0;6; 6) ABC est équilatéral. b) On trouve P ( ABC ) : x y z =., on donne les points A = ( 1; 1;4 ) ; ( 7; 1; ) et BC = ( 6;6;0) ) Soit la droite (D) dont la représentation paramétrique est ( ) a) La droite (D) a pour vecteur directeur v = ( ; ; ) B = et, donc AB = AC = BC = 6 donc le triangle x = t D : y = t avec t R z = t qui est aussi un vecteur normal au plan (ABC), donc la droite (D) est perpendiculaire au plan (ABC). b) Soit G un point du plan (ABC) et de la droite (D), obtenu donc avec t =, et ce point d intersection du plan et de la droite a pour coordonnées G = ( ;1;0 ) et qui est le centre de gravité du triangle ABC, car il vérifie l égalité vectorielle 1 OG = ( OA + OB + OC). ) La sphère (S) a pour équation : ( ) ( ) x + y 1 + z = 4 et les points d intersections de cette sphère (S) avec la droite (D) sont définis par le paramètres vérifiant : ( ) ( ) ( ) + 4 ou t + t + t = t = t =, donc la droite (D) coupe la sphère (S) en deux points. 6

7 La distance d'un point à un plan, les équations de sphères, les positions relatives d'un plan et d'une sphère, les barycentres ne sont plus au programme de Terminale S. La notion de plan médiateur d'un segment est à la limite du programme de terminale S. II. DROITES ET PLANS DANS L ESPACE : Représentations paramétriques d une droite de l espace : Dans l espace muni d un repère ( O ; i ; j ; k ), soit A un point de coordonnées ( x A ; y A ; z A ), u un vecteur de coordonnées ( a ; b ; c ) et ( d ) la droite passant par A et de vecteur directeur u. On a M ( d ) il existe un réel t tel que : AM = t u. Cette égalité se traduit analytiquement par le système : x xa = t a x = xa + t a y ya = t b qui s écrit encore : y = ya + t b. Ce système est appelé représentation paramétrique de la droite ( d ). z za = t c z = za + t c Exemples : 1) Donner une représentation paramétrique de la droite (AB) si A a pour coordonnées ( -1 ; ; ) et B ( - ; 0 ; 4 ). ) Déterminer les coordonnées d un point A et les coordonnées d un vecteur directeur u de la droite ayant pour x = + t représentation paramétrique : y = 4 t t R. Le point B de coordonnées ( -9 ; 10 ; 8 ) appartient-il à cette z = 5 t droite? Vecteur normal à un plan de l espace : On appelle vecteur normal n à un plan ( P ) de l espace un vecteur non nul et orthogonal à tout vecteur de ( P ). Pour qu il en soit ainsi, il suffit que ce vecteur soit orthogonal à deux vecteurs non colinéaires u et v de ( P ). sont colinéaires. normal, un vecteur n non Propriétés : 1) Si deux vecteurs sont normaux à un plan ( P ) alors ils ) Il existe un seul plan passant par un point A donné et de vecteur nul donné. Equations cartésiennes d un plan de l espace : Soit ( O ; i ; j ; k ) un repère orthonormé de l espace. * Si ( P ) est un plan de l espace qui admet pour vecteur normal, le vecteur n de coordonnées ( a ; b ; c ) alors il existe un unique réel d tel que : M ( x ; y ; z ) ( P ) a x + b y + c z + d = 0. Cette équation est appelée équation cartésienne du plan ( P ). * Réciproquement si a, b, c et d sont quatre réels tels que l un au moins des réels a, b et c n est pas nul, l ensemble des points M ( x ; y ; z ) de l espace tels que : a x + b y + c z + d = 0 est un plan de l espace de vecteur normal n de coordonnées ( a ; b ; c ). 7

8 Preuves : ( ) Supposons que ( P ) passe par le point A ( x A ; y A ; z A ). On a : M ( x ; y ; z ) ( P ) AM n AM. n = 0. Or AM. n = ( x xa ) a + ( y ya ) b + ( z za ) c = a x + b y + c z a xa b ya c za. Posons d = a xa b ya c za. On a bien : M ( x ; y ; z ) ( P ) a x + b y + c z + d = 0. ( ) Notons ( E ) l ensemble des points dont les coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient l équation : a x + b y + c z + d = 0 et n le vecteur de coordonnées ( a ; b ; c ). Comme l un au moins des réels a, b et c n est pas nul, on peut par exemple supposer que a 0 et considérer le point A de coordonnées ( d a ; 0 ; 0 ) qui appartient à ( E ). On note alors que pour tout point M de ( E ) de coordonnées ( x ; y ; z ), on a : AM. n = ( x + d a) a + y b + z c = a x + b y + c z + d = 0. ( E ) est donc le plan passant par A et de vecteur normal le vecteur n de coordonnées ( a ; b ; c ). Exemples : 1) Déterminer une équation cartésienne du plan ( P ) passant par le point A ( -1 ; 1 ; ) et de vecteur normal le vecteur n ( ; -1 ; ). ) Déterminer une équation cartésienne du plan (P ) passant par le point A ( ; -1 ; 0 ) et parallèle au plan ( P ) d équation : x y = 0. ) Déterminer une équation cartésienne du plan ( P ) passant par les points A ( 1 ; ; -1 ), B ( ; ; 1 ) et C ( -1 ; 1 ; ). Remarque : Dans le repère ( O ; i ; j ; k ), le plan ( x O y ) a pour équation : z = 0, le plan ( x O z ) : y = 0 et le plan ( y O z ) : x = 0. Distance d un point à un plan de l espace : (Hors programme depuis 01 ) Soit P un plan de l espace. On appelle projection orthogonale du point A sur P le point H intersection du plan P et de la droite perpendiculaire à P passant par le point A. L espace étant muni d un repère orthonormé, si P a pour équation : a x + b y + c z + d = 0 et A a pour coordonnées ( x A ; y A ; z A ) dans ce repère, la distance du point A au plan P qui est par définition égale à la distance AH est donnée par : d ( A ; P ) = AH = a x + b y + c z + d A A A a + b + c. Preuve : On sait que le vecteur n de coordonnées ( a ; b ; c ) est un vecteur normal de P, il existe donc un réel k tel que : AH = k n. Notons ( x H ; y H ; z H ) les coordonnées du point H. AH a alors pour coordonnées ( x H - x A ; y H - y A ; zh za ) et l égalité : AH = k n donne alors : x H - x A = k a, y H - y A = k b et z H - z A = k c puis x H = x A + k a, y H = y A + k b et z H = z A + k c. Or H appartient à P, on a donc : a ( x A + k a ) + b ( y A + k b ) + c ( z A + k c ) + d = 0, d où l on tire : a x k ( A b ya c za d a + b + c ) = a xa b ya c za d puis : k =. a + b + c On a donc AH = k n a xa b ya c za d a xa + b ya + c za + d = a + b + c, d où finalement : AH =. a + b + c a + b + c Exemple : OABC est un tétraèdre rectangle en O tel que OA =, OB = 4 et OC =. On veut déterminer la distance du point O au plan ( ABC ). Pour cela, considérons le repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ) où i = (1 ) OA, j = (1 4) OB et k = (1 ) OC. Dans ce repère A a pour coordonnées ( ; 0 ; 0 ), B ( 0 ; 4 ; 0 ) et C ( 0 ; 0 ; ). 1) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). ) En déduire la distance du point O au plan (ABC). ) Déterminer les coordonnées du point H projeté orthogonal du point O sur le plan (ABC). 8

9 Régionnement de l espace : L espace étant muni d un repère orthonormé. Le plan ( P ) d équation : a x + b y + c z + d = 0 partage l espace en deux demi-espaces ouverts de frontière ( P ). L un est l ensemble des points M dont les coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient l inéquation : a x + b y + c z + d < 0 et l autre est l ensemble des points M dont les coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient l inéquation : a x + b y + c z + d > 0. Exemple : L ensemble ( E ) des points M dont les coordonnées ( x ; y ; z ) vérifient l inéquation x + y + z + 4 < 0 est l un des demi-espaces de frontière le plan ( P ) d équation : x + y + z + 4 = 0. Pour le point O ( 0 ; 0 ; 0 ) on a : = 4 > 0. ( E ) est donc le demi-espace de frontière ( P ) ne contenant pas le point O. Position relative de deux plans de l espace : Soit ( P ) et ( P ) deux plans de l espace d équations respectives a x + b y + c z + d = 0 et a ' x + b ' y + c ' z + d ' = 0 dans un repère orthonormé de l espace. On sait que le vecteur n de coordonnées ( a ; b ; c ) est un vecteur normal de ( P ) et que le vecteur n ' de coordonnées ( a ; b ; c ) est un vecteur normal de ( P ). Notons alors que : * ( P ) et ( P ) sont parallèles si et seulement si n et n ' sont colinéaires. Dans ce cas, il existe un réel k tel que : a = k a, b = k b et c = k c et de façon plus précise : Si d = k d alors ( P ) et ( P ) sont confondus. Si d k d alors ( P ) et (P ) sont strictement parallèles. * ( P ) et ( P ) sont sécants suivant une droite (d) si et seulement si les vecteurs n et n ' ne sont pas colinéaires. Dans ce cas un vecteur directeur u de ( d ) est un vecteur à la fois orthogonal à n et à n '. En pratique, pour déterminer une représentation paramétrique de ( d ), on peut poser x = t dans les équations de ( P ) et ( P ) et tirer y et z en fonction de t ( si x = t ne permet pas de tirer y et z en fonction de t, on peut poser y = t ou z = t ). Exemples : Etudier la position relative des plans ( P ) et ( P ) dans les cas ci-dessous. Dans le cas où ( P ) et ( P ) sont sécants selon une droite ( d ), donner une représentation paramétrique de ( d ). 1) (P) : x y + z + 4 = 0 et ( P ) : 6x + 4y z + 5 = 0 ) ( P ) : x y + z 4 = 0 et ( P ) : x + y z + 5 = 0 9

10 Position relative d une droite et d un plan de l espace : Soit ( P ) un plan d équation : a x + b y + c z + d = 0, de vecteur normal n de coordonnées ( a ; b ; c ) et ( d ) la droite passant par le point A de coordonnées ( x A ; y A ; z A ) et de vecteur directeur u de coordonnées ( α ; β ; γ ) dans un repère orthonormé de l espace. Notons alors que : * ( d ) et ( P ) sont parallèles si et seulement si u et n sont orthogonaux. Dans ce cas : Si A ( P ) c'est-à-dire si a x + b y + c z + d = 0 alors ( d ) est contenue dans ( P ). A A A Si A ( P ) c'est-à-dire si a x + b y + c z + d 0 alors ( d ) et ( P ) sont strictement parallèles. A A A * ( d ) et ( P ) sont sécants en un point I si et seulement si u et n ne sont pas orthogonaux. Pour déterminer les coordonnées ( x ; y ; z ) du point I, il faut résoudre le système : x = xa + α t y = ya + β t d inconnues x, y, z et t. z = za + γ t a x + b y + c z + d = 0 Exemples : Etudier la position relative de la droite ( d ) et du plan ( P ) dans les cas ci-dessous. Dans le cas où ( d ) et ( P ) sont sécants en un point I, donner les coordonnées du point I. 1) ( P ) : x + y z 4 = 0 et ( d ) passant par le point A ( 1 ; - ; 0 ) et de vecteur directeur u de coordonnées ( 0 ; 1 ; ). ) ( P ) : x + y z 4 = 0 et ( d ) passant par le point A ( 1 ; - ; 0 ) et de vecteur directeur v de coordonnées ( -1 ; 0 ; ). Intersection de trois plans de l espace : Déterminer l intersection de trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P ) d équations respectives : a x + b y + c z + d =, ax + b y + c z + d = 0 et a x + b y + cz + d = 0, dans l espace muni d un repère orthonormé revient à résoudre le système (S) : a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 ax + b y + c z + d = 0 ax + b y + cz + d = 0 d inconnues x, y et z. Distinguons les différents cas possibles en étudiant la position relative des plans ( P 1 ) et ( P ). 1 er cas : Les plans ( P 1 ) et ( P ) sont confondus. * Si ( P ) est confondu avec ( P 1 ) les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P ) sont confondus, le système (S) admet tout un plan solution. * Si ( P ) et ( P 1 ) sont strictement parallèles, les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P ) n ont pas de point en commun. Le système (S) n a pas de solution. 10

11 * Si ( P ) et ( P 1 ) sont sécants selon une droite ( d ) les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P ) sont sécants selon la droite ( d ). Le système (S) admet la droite ( d ) pour solution. ième cas : Les plans ( P 1 ) et ( P ) sont strictement parallèles : Dans ce cas, quel que soit la position du plan ( P ) les trois plans n ont pas de point en commun. Le système (S) n admet pas de solution ième cas : Les plans ( P 1 ) et ( P ) sont sécants selon une droite ( d ). * Si ( d ) est incluse dans ( P ) alors les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P ) sont sécants selon la droite ( d ). Le système (S) admet la droite ( d ) pour solution. * Si ( d ) est strictement parallèle à ( P ) alors les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P ) n ont pas de point en commun. Le système (S) n admet pas de solution. ( situation du toit ) * Si ( d ) est sécante avec ( P ) en un point A, alors les trois plans ( P 1 ), ( P ) et ( P ) Sont sécants en A. le système (S) admet un triplet solution unique. 11

12 III. REGLES D INCIDENCE : 1) Dans chaque plan de l espace, on peut appliquer tous les théorèmes de géométrie plane (Pythagore, Thalès,..) ) Par deux points distincts de l espace, il passe une unique droite. ) Par trois points non alignés A, B et C de l espace, il passe un unique plan, noté (ABC). 4) Si deux points distincts A et B de l espace appartiennent à un plan P, alors la droite (AB) est contenue dans le plan P. IV. POSITIONS RELATIVES DE DROITES ET DE PLANS : 1) Positions relatives de deux droites : Deux droites de l espace sont soit coplanaires (dans un même plan), soit non coplanaires. droites coplanaires droites non coplanaires d et d sont sécantes en A d et d sont strictement parallèles d et d sont confondues d et d n ont pas d intersection et ne sont pas parallèles ) Positions relatives d une droite et d un plan : Une droite et un plan de l espace sont soit sécants, soit parallèles. Droite et plan sécants Droite et plan parallèles d et P sont sécants en A d et P sont confondus d et P sont strictement parallèles 1

13 ) Positions relatives de deux plans : Deux plans de l espace sont soit sécants selon une droite, soit parallèles. Plans sécants Plans parallèles P et P sont sécants selon la droite d P et P sont confondus P et P sont strictement parallèles V. PARALLELISME DANS L ESPACE : 1) Parallélisme entre droites ( propriétés ) : a) Deux droites parallèles à une même droite sont parallèles entre elles. b) Si deux droites sont parallèles, alors tout plan qui coupe l une, coupe l autre. ) Parallélisme entre plans ( propriétés ) : a) Deux plans parallèles à un même plan sont parallèles entre eux. b) Si deux droites sécantes d et d un plan P sont parallèles respectivement à deux droites sécantes d et d un plan P, alors P et P sont parallèles. c) Si deux plans P et P sont parallèles, alors tout plan qui coupe P, coupe aussi P et les droites d intersection d et d sont parallèles. 1

14 ) Parallélisme entre droite et plan ( propriétés ) : a) Si une droite est parallèle à une droite d du plan P, alors est parallèle au plan P. b) Si P et P sont deux plans sécants selon une droite et si d est une droite parallèle à P et à P alors d et sont parallèles. c) Si d et d sont deux droites parallèles, si P est un plan qui contient d, si P est un plan qui contient d et si P et P sont sécants selon une droite, alors : est parallèle à d et à d ( théorème «du toit»). VI. ORTHOGONALITE DANS L ESPACE : 1) Droite et plan orthogonaux : Définition : Dire qu une droite d est orthogonale ( ou perpendiculaire ) à un plan P signifie que la droite d est perpendiculaire en un point A de P à toute droite de ce plan passant par A. On note d P ou P d. Pour qu il en soit ainsi, il suffit que d soit perpendiculaire en un point A de P à deux droites sécantes du plan P. ) Propriétés de la relation d orthogonalité : a) Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles. b) Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l une est orthogonal à l autre. c) Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles. d) Si deux plans sont parallèles, alors tout droite orthogonale à l un est orthogonale à l autre. 14

15 ) Droites orthogonales : Définition : Deux droites de l espace sont dites orthogonales si on peut trouver un plan qui contient l une et qui est orthogonal à l autre. Dans le cas où ces droites sont sécantes, elles sont alors perpendiculaires. Par exemple, dans le cube ABCDEFGH ci-contre, on peut dire que : * La droite (AB) est orthogonale à la droite (GC), car le plan (ABC) qui contient la droite (AB) est orthogonal à la droite (GC). * La droite (EB) est orthogonale à la droite (BC) car le plan (ABE) qui contient la droite (EB) est orthogonal à la droite (BC). Comme de plus, ces deux droites sont sécantes en B, on peut dire qu elles sont perpendiculaires. * Par contre la droite (BG) n est pas orthogonale à la droite (EB) car on ne peut pas trouver de plan orthogonal à (EB) contenant la droite (GC). Attention, le plan (BCG) n est pas orthogonal à la droite (EB). 15

16 VII. EQUATIONS CARTESIENNES DANS L ESPACE :. Dans toute cette partie l espace est muni d un repère orthonormal ( O; i, j, k ) 1) Définition : On appelle équation cartésienne d un ensemble (E) de points de l espace, une relation R vérifiée par les x; y; z de tous les points de cet ensemble et seulement de ces points. coordonnées ( ) ) Equation cartésienne d un plan parallèle à un plan de coordonnées. : a) Propriété. I, J et K sont les points définis par : OI = i, OJ = j et OK = k. (i) Une équation cartésienne d un plan parallèle au plan (OIJ) est de la forme z = c, où c est un réel quelconque. (ii) Une équation cartésienne d un plan parallèle au plan (OIK) est de la forme y = b, où b est un réel quelconque. (iii) Une équation cartésienne d un plan parallèle au plan (OJK) est de la forme x = a, où a est un réel quelconque. Démonstration. (i) Soit (P) un palan parallèle au plan (OIJ). L axe des cotes (OK) et le plan (OIJ) sont perpendiculaires donc sécants, donc (OK) et (P) sont sécants ; on appelle A = ( 0;0; za ) leur point d intersection. Soit M un point quelconque de coordonnées ( x; y; z ) dans le repère ( O; i, j, k ). On a alors : AM = OM OA = xi + y j + ( z za) k, or i et j sont des vecteurs directeurs du plan (P), et ce plan (P) est parallèle au plan (OIJ). Donc les vecteurs i et j A; i, j est un repère du sont des vecteurs directeurs du plan (P). Donc ( ) plan (P). D où : M = ( x; y; z) ( P) il existe deux réels α et β tels que AM = αi + β j il existe deux réels α et β tels que xi + y j + z z k = αi + β j + 0k ( ) A Donc z = za est une équation cartésienne du plan (P). (ii) et (iii) se démontre de façon analogue. Remarque : (1) Cas particuliers. z = 0 est une équation cartésienne du plan (OIJ). y = 0 est une équation cartésienne du plan (OIK). x = 0 est une équation cartésienne du plan (OJK). () Un plan parallèle au plan (OIJ) est parallèles à toutes les droites du plan (OIJ), en particulier, il est parallèle il est parallèle aux axes (OI) et (OJ). De même, un plan parallèle au plan (OIK) est parallèle aux axes (OI) et (OK), et un plan parallèle au plan (OJK) est parallèle axes (OJ) et (OK). () Toute équation de la forme az + b = 0, avec a 0, est aussi une équation cartésienne d un plan (P) parallèle au b plan (OIJ), en effet a étant non nul, az + b = 0 z =. De même pour les plans parallèles au plan (OIK) et pour a les plans parallèles au plan (OJK). 16

17 ) Equations cartésienne d une sphère de centre O : Soit R un réel strictement positif et O un point de l espace. La sphère de centre O et de rayon R est l ensemble des points M de l espace tels que : OM = R, ce qui donne dans un repère de l espace : x + y + z = R 4) Equation cartésienne d un cylindre de révolution dont l axe est un axe de coordonnées : Un cylindre de révolution d axe (D) est une surface engendrée par la rotation d une droite parallèle à l axe (D) autour de cet axe. Cette droite est appelée génératrice du cylindre. La distance entre l axe et une génératrice est le rayon du cylindre. Soit R un réel strictement positif. Oz et de rayon R est donnée par : x + y = R. (1) Une équation cartésienne d un cylindre d axe ( ) () Une équation cartésienne d un cylindre d axe ( Oy ) et de rayon R est donnée par : () Une équation cartésienne d un cylindre d axe ( Ox ) et de rayon R est donnée par : x + z = R. y + z = R. 5) Equation cartésienne d un cône de révolution de sommet O et dont l axe est un axe de coordonnées : Soit ( ) une droite passant par l origine O du repère. (Un cône est appelé de révolution car il peut être généré simplement par la rotation d'une droite (d) passant par S autour d'un axe (Sz) différent de (d). La génératrice du cône fait alors un angle fixe a avec l'axe de rotation.) Un cône de révolution de sommet O et d axe ( ) est une surface engendrée par la rotation, autour de l axe ( ) d une droite passant par O et formant un angle aigu θ avec l axe ( ). ( 0 < θ < 90 ) Cette droite est appelé une génératrice du cône. Dans chaque cas, θ est l angle aigu formé par l axe du cône et une génératrice. Oz est donnée par : (1) Une équation cartésienne d un cône de sommet O et d axe ( ) () Une équation cartésienne d un cône de sommet O et d axe ( Oy ) est donnée par : (1) Une équation cartésienne d un cône de sommet O et d axe ( Ox ) est donnée par :, x + y = z tan θ. x + z = y tan θ. y z x tan θ + =. 17

18 6) Exercices : A) ABCD est un tétraèdre représenté ci-contre. E est le symétrique de D par rapport à B. F est le point tel que ABFE est un parallélogramme et G est le point tel que CDGF est un parallélogramme. Démontrer que les quatre points A, B, C et G sont coplanaires. Réponse. Pour démontrer que les points A, B, C et G sont coplanaires, il suffit de prouver que trois vecteurs formés par ces quatre points, par exemple BA, BC et BG ( où AB, AC et AG etc ) sont coplanaires. Pour cela on essaie d exprimer l un de ces trois vecteurs en fonction des deux autres, par exemple, on recherche deux réels x et y tel que BG = xba + ybc. Pour déterminer ces deux réels, on peut utiliser l une des deux méthodes suivantes : (1) Méthode vectorielle, avec la relations de Chasles et les configurations. On exprime le vecteur BG en fonction des vecteurs BA et BC. Ce qui donne BG = BE + EF + FG, or BE = DB car E est le symétrique de D par rapport à B. EF = AB, car ABFE est un parallélogramme et FG = CD, car CDFG est un parallélogramme. Donc BG = DB + AB + CD = BA + ( CD + DB) = BA + CB = BA BC, ainsi BG = xba + ybc avec x = 1 et y = 1, donc les quatre points A, B, C et G sont coplanaires. () Méthode analytique. On détermine les coordonnées des vecteurs coordonnées des points sont les suivants : A = ( 0;0;0) ; B = ( 1;0;0 ), ( 0;1;0 ) BA= 1;0; 0 et BC = 1;1; 0 BA et BC dans le repère ( A; AB, AC, AD). Dans ce repère les C =, D = ( 0;0;1). Donc les coordonnées des vecteurs ( ) ( ) E étant le symétrique de D par rapport à B, donc DB = BE, et on trouve après calculs que E = ( ;0; 1) ABFE est un parallélogramme donc AB = EF, et on trouve après calculs que F = ( ;0;1) CDFG est un parallélogramme donc CD = FG, et on trouve après calculs que G = ( ; 1;0 ) On obtient alors BA= ( 1;0; 0 ), BC = ( 1;1; 0 ) et BG = ( ; 1;0 ). On recherche deux réels x et y tel que BG = xba + ybc. Pour déterminer ces deux réels, on obtient le système x y = y = 1, soit x = 1 et y = 1, donc les quatre points A, B, C et G sont coplanaires. 0 = 0 B) Dans l espace muni d un repère orthonormé ( O; i, j, k ), on considère le point A = ( 6; 4;) a) Déterminer une équation de la sphère (S) de centre O qui passe par le point A, on précisera le rayon de cette sphère. b) Déterminer une équation cartésienne du cylindre de révolution (C) d axe (Ox), qui passe par le point A. On précisera le rayon de ce cylindre. c) Déterminer une équation cartésienne du cône de révolution (H) de sommet O et d axe (Oz), qui passe par le point A. On précisera l angle formé par l axe et une génératrice de ce cône. 18

19 Réponse. On utilisant les formules des diverses équations et après calculs on trouve a) ( S ) : x + y + z = 56, le rayon de cette sphère étant égal à 14 C : y + z = 0, le rayon de ce cylindre étant égal à 5 b) ( ) H x + y = z θ + = θ = θ θ =, : A A A tan 6 4 tan 5 4 tan tan 1 c) ( ) ( ) θ étant un angle aigu, on en déduit que tanθ = 1 soit θ 74,5 D où on obtient : ( ) θ 74,5. H : x + y = 1z, l angle aigu formé par l axe et une génératrice de (H) vaut environ VIII. PRODUIT SCALAIRE DANS LE PLAN ET L ESPACE : Définition : Les définitions du produit scalaire dans le plan sont encore valables dans l espace. Pour vecteurs u et v de l espace, il existe points A, B et C tels que u = AB et v = AC et un plan (P) contenant les points A, B et C. Le produit scalaire u. v est alors ramené au calcul du produit scalaire AB. AC dans le plan (P). * u. v 1 = 1 ( u + v u v = AB + AC CB ) * Si u a pour coordonnées ( x ; y ) et v ( x ; y ) dans un repère orthonormé du plan, alors : u. v = x x + y y. Si u a pour coordonnées ( x ; y ; z ) et v ( x ; y ; z ) dans un repère orthonormé de l espace, alors : u. v = x x + y y + z z. * u. v = u v cos ( u ; v ) = AB AC cos BAC. ( ) * Si H est le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB) alors : AB AH si AB et AH ont même sens u. v = AB AH si AB et AH sont de sens opposés Propriétés : Les propriétés du produit scalaire dans le plan sont encore valables dans l espace. Soit u, v et w, vecteurs du plan ou de l espace et k un nombre réel. On a : u. u = u u. v = v. u u v u. v = 0 u. (v + w ) = u. v + u. w ( k u ). v = k u. v u + v = u + v + u. v 1 d où : u. v = u + v u v (u v). (u + v ) = u v Rappel : Dans l espace muni d un repère orthonormé, si u a pour coordonnées ( x ; y ; z ), on a : u = x + y + z Egalité de la médiane : Dans le triangle MAB, si I est le milieu de [AB] on a : 1 MA + MB = MI + AB MA MB = MI. BA MA. MB = MI IA Exemples : A et B sont deux points de l espace tels que AB =. Déterminer les lieux des points M de l espace tels que : 1) MA + MB = 4 ) MA MB = ) MA. MB = 19

20 Formules d Al Kaschi et formule des sinus : Soit ABC un triangle avec a = BC b = AC et c = AB, on a : * Formules d Al Kaschi : a b c b c cos = + A b = a + c a c cos B c = a + b a b cosc ABC. * Formules des sinus : a b c abc sin A = sin B = sin C = S avec S l aire du triangle Distance d un point à une droite du plan ( Hors programme depuis 01) Soit D une droite, A un point du plan et H le projeté orthogonal du point A sur la droite D. Le plan étant muni d un repère orthonormé, si D a pour équation a x + b y + c = 0 et A a pour coordonnées ( x A ; y A ) dans ce repère, la distance du point A à la droite D, qui est par définition égale à la distance AH est donnée par : d ( A ; D ) = AH = a xa + b ya + c. a + b Preuve : On sait que le vecteur n de coordonnées ( a ; b ) est un vecteur normal de D, il existe donc un réel k tel que : AH = k n. Notons ( x H ; y H ) les coordonnées du point H. AH a pour coordonnées ( x H - x A ; y H - y A ) et l égalité : AH = k n donne alors : x H - x A = k a et y H - y A = k b puis x H = x A + k a et y H = y A + k b. Or H appartient à D, on a donc : a ( x A + k a ) + b ( y A + k b ) + c = 0, d où l on tire: k ( a + b ) = a xa b ya c puis : a x b y c = a + b A A k finalement : AH =. On a donc AH = k n = a xa + b ya + c. a + b a x b y c A A a + b a + b, d où 0

21 IX. EXERCICES SUR LES DROITES ET PLANS DE L ESPACE. DROITES ORTHOGONALES : EXERCICE 1 : On considère un cube ABCDEFGH ; I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AD]. 1) Quelle est la nature du quadrilatère ADGF? ) Montrer que les droites (IJ) et (FH) sont parallèles. ) Montrer que les droites (FI) et (HJ) sont sécantes. EXERCICE : Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). 1) Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC)? ) Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC)? ) Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On admet que l on peut démontrer de façon analogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. 4) Que représente le point H pour le triangle ABC? EXERCICE : On considère un tétraèdre ABCD tel que AB = CD, BC = AD et AC = BD. (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial car ses faces sont isométriques). On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD]. 1) Quelle est la nature du quadrilatère IKJL? Préciser également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM. ) En déduire que les droites (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales. ) Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MKN). 4) En déduire que la droite (IJ) est orthogonale à la droite (MK), puis à la droite (AB) EXERCICE 4 : On donne la propriété suivante : «Par un point de l espace il passe un plan et un seul orthogonal à une droite donnée». Sur la figure donnée ci-dessous, on a représenté le cube ABCDEFGH d arête 1 et on placé les points I et J tels que BI = BC et EJ = EH, et K le milieu du segment [IJ] et enfin on appelle P le projeté orthogonal du point G sur le plan (FIJ). PARTIE A. 1 ) Démontrer que le triangle FIJ est isocèle en F. En déduire que les droites (FK) et (IJ) sont orthogonales. On admet que les droites (GK) et (IJ) sont orthogonales. ) Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK). ) Démontrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (FGP). 4 ) a) Montrer que les points F, G, K et P sont coplanaires. b) En déduire que les points F, P et K sont alignés. 1

22 PARTIE B.. On appelle L espace est rapporté au repère orthonormal ( A; AB, AD, AE) N le point d intersection de la droite (GP) et du plan (ADB). On note x; y ;0 les coordonnées du point N. ( ) 1 ) Donner dans ce repère les coordonnées des points F, G, I et J. ) a) Montrer que la droite (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ). b) Exprimer les produits scalaires GN FI et GN FJ en fonction de x et y. c) Déterminer les coordonnées du point N. ) Placer alors le point P sur la figure précédente. X. EXERCICES SUR LES VECTEURS DE L ESPACE. EXERCICE 5 : Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu du segment [AC], et E et F les points tels que : BE = CI et DF = AI. Démontrer que la droite (EF) passe par le milieu J de [BD]. EXERCICE 6 : La figure ci-contre se compose de trois cubes identiques accolés. 1) Compléter les égalités vectorielles suivantes : B... = AH + EE ' ;...F = DE + A 'B ; AC =...AD ; FG =...AD A... = HD FD ; A... = BG + GC ; B... = AB + DE ' FE ' ) Soit I le point d intersection de la droite (AE) et de la droite (BG). Démontrer que AI = (1 ) AE. ) Soit J le point d intersection de la droite (AE ) et du plan (BB G). Démontrer que AJ = (1 ) AE '. EXERCICE 7 : Soit ABCDEFGH un pavé droit. Les points M, N et P sont tels que : AN = AB + AD + AE, EM = EH et BP = AB + AD. Démontrer que N est le milieu du segment [MP]. EXERCICE 8 : Soit ABCDEFGH un pavé droit. On note I le milieu de l arête [AB], J le point tel que : HJ = AB et O le centre de 4 la face BCGF. Démontrer que les droites (H I) et (JO) sont parallèles.

23 EXERCICE 9 : Soit ABCD un tétraèdre et I le point défini par AI = AB AC AD. Montrer que le vecteur I B s exprime en fonction des vecteurs BC et BD. A quel plan contenant une face du tétraèdre appartient le point I? EXERCICE 10 : ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AD], J est le milieu de [BC], G est le centre de gravité du triangle ABC et E est le symétrique du point D par rapport au point J. 1) a) Exprimer le vecteur IG, puis le vecteur IE en fonction des vecteurs AD et AJ. b) En déduire que les points I, G et E sont alignés. ) On note F le point défini par : DF = DB + DA + DC. Prouver que le vecteur BF s exprime en fonction des vecteurs BA et BC. A quel plan contenant une face du tétraèdre appartient le point F? XI. EXERCICES SUR LA GEOMETRIE ANALYTIQUE. Dans les exercices qui suivent, l espace est rapporté à un repère ( O ; i ; j ; k ). EXERCICE 11 : Dans chacun des cas suivants, indiquer si les points A, B et C sont alignés. a) A ( 1 ; ; 1 ) B ( ; 1-1 ) et C ( ; - ; - 6 ) b) A( - 1 ; 0 ; 1 ) B ( 1 ; 1 ; 0 ) et C ( -5 ; - ; ). EXERCICE 1 : Soit les points A ( 1 ; - 1 ; 1 ), B ( - 1 ; 1 ; - 1 ), C ( 1 ; - 1 ; - 1 ) et D ( 1 ; 1 ; Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. 5 ). EXERCICE 1 : On considère le point A ( 1 ; -1 ; 1 ) et le vecteur : u = i + j k. (d) est la droite qui passe par A et qui admet u pour vecteur directeur. Les points B ( - 1 ; - ; ) et C ( 6 ; ; - ) appartiennent-ils à (d)? EXERCICE 14 : Soit les vecteurs : u ( 1 ; - 1 ; 1 ) v ( 1 ; 1 ; - ) et w ( 0 ; - ; 4 ). Démontrer que ces trois vecteurs sont coplanaires. EXERCICE 15 : Soit les points : A ( ; 1 ; - ), B ( ; ; ), C ( 4 ; - ; 0 ) et D ( ; 0 ; 4 ). Démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires. EXERCICE 16 : On considère les points A ( ; - ; 1 ), B ( 6 ; - 1 ; - 1 ), C ( 0 ; 1 ; - ) et D ( - ; ; ), les vecteurs u ( - 1 ; ; ) et v ( 1 ; ; ) et on note (P) le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs u et v. 1) Expliquer pourquoi le plan (P) est bien défini. ) Les points B et C appartiennent-ils au plan (P)? ) Prouver que la droite (CD) est strictement parallèle au plan (P). aide : Cela revient à prouver que les vecteurs CD, u et v sont coplanaires. EXERCICE 17 : A et B sont deux points de l espace et I est le milieu de [AB]. 1) Prouver que pour tout point M de l espace, on a : MA + MB = MI. ) Déterminer l ensemble des points M de l espace tels que MA + MB =

24 EXERCICE 18 : Dans le repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ), on considère les points A ( 7 ; 7 ; ), B ( - 5 ; - 1 ; 11 ), C ( 1 ; - 7 ; - 5 ) D ( 1 ; 4 ; 5 ) et Ω ( 1 ; -1 ; ). Démontrer que les points A, B, C et D sont sur une sphère de centre Ω dont on déterminera le rayon. EXERCICE 19 : L espace est rapporté au repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ) ; on nomme A le point de coordonnées ( ; ; ). Dans le plan (P) de repère ( O ; i ; j ), on désigne par (d) la droite d équation y = x. M est un point de la droite (d) d abscisse x. 1) Calculer AM ² en fonction de x. ) Déterminer la position M 0 du point M pour que la distance AM soit minimale. ) Démontrer que la droite (AM 0 ) est orthogonale à (d). EXERCICE 0 : On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Soit G, G et G les centres de gravité respectifs des triangles ABD, ACD et BCD. 1) Déterminer les coordonnées des points I, J, G, G, G dans le repère ( A ; AB ; AC ; AD ). ) Dans ce repère, déterminer les coordonnées du point K tel que GKG G est un parallélogramme. ) Démontrer que le point K appartient au segment [AD]. EXERCICE 1 : Dans un repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ) de l espace, d unité 1 cm, on considère les points : A ( 1 ; -1 ; 4 ), B ( ; 1 ; 4 ), C ( 0 ; 0 ; 4 ) et D ( -1 ; - ; 4 ). 1) Démontrer que ABCD est un losange. ) Justifier que la droite (OC) est orthogonale au plan (ABD). ) Déterminer le volume de la pyramide OABCD de sommet O. 4

25 XII. PROBLEMES DE BACCALAUREAT. I ) Exercice n. Exercice proposé au baccalauréat série S, France métropolitaine, session de juin 00. Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : OAB, OAC et OBC sont des triangles rectangles en O et tel que : OA = OB = OC = a. On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC, et D le point de l'espace défini par HO = OD. 1. Quelle est la nature du triangle ABC?. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre du triangle ABC.. Calcul de OH. a). Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC. b). Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = a Etude du tétraèdre ABCD. L'espace est rapporté au repère orthonormal. O; OA, OB, OC a a a a a a a). Démontrer que le point H a pour coordonnées ; ; : b). Démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier (c'est-à-dire que toutes ses arêtes ont même longueur). c). Soit Ω le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer que Ω est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées. II ) Exercice n. Soit OABC un tétraèdre trirectangle (les triangles OAB, OBC, OCA sont des triangles rectangles en O). On note H le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC). Le but de cet exercice est d étudier quelques propriétés de ce tétraèdre. 1 ) a) Pourquoi la droite (OH) est-elle orthogonale à la droite (BC)? Pourquoi la droite (OA) est-elle orthogonale à la droite (BC)? b) Démontrer que les droites (AH) et (BC) sont orthogonales. On démontre de façon analogue que les droites (BH) et (AC) sont orthogonales. Ce résultat est ici admis. c) Que représente le point H pour le triangle ABC? O; i, j, k. On considère les points ) L espace est maintenant muni d un repère orthonormé ( ) A( 1;0; 0 ), B( 0; ;0 ) et C ( 0; 0;). a) Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC). b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite (D) passant par le point o et orthogonale au plan (ABC) c) Démontrer que le plan (ABC) et la droite (D) se coupent en un point H de coordonnées ; ; ) a) Calculer la distance du point O au plan (ABC). b) Calculer le volume du tétraèdre OABC. En déduire l aire du triangle ABC. c) Vérifier que le carré de l aire du triangle ABC est égal à la somme des carrés des aires des autres faces de ce tétraèdre. 5

26 III ) Exercice n 4. L espace est muni d un repère orthonormé ( O; i, j, k ). Soient les plans ( P ) et ( ') ( P) : x + y z + 1 = 0 et ( P ') : x + y + z = 0 et soit le point A ( 0;1;1 ) 1 ) Démontrer que les plans ( P ) et ( P ') sont perpendiculaires. ) Soit ( d ) la droite dont une représentation paramétrique est la suivante : 1 x = + t 1 d : y = avec t R z = t ( ) Démontrer que les plans ( P ) et ( P ') se coupent selon la droite ( ) ) Calculer la distance du point A à chacun des plans ( P ) et ( P '). 4 ) En déduire la distance du point A à la droite ( d ). IV ) Exercice n 5.. On considère le plan ( ) + + = et les points A de coordonnées ( ;;6 ), B de coordonnées ( ) L espace est muni d un repère orthonormé ( O; i, j, k ) ( P) : x y z 4 0 ( 4; ;5). 1 ) a) Vérifier que les points A, B et C définissent un plan. b) Vérifier que ce plan est le plan ( P) : x + y z + 4 = 0. ) a) Montrer que le triangle ABC est rectangle. b) Ecrire une système d équations paramétriques de la droite ( ) ( P ). c) Soit K le projeté orthogonal de O sur ( P ). Calculer la distance OK. d) Calculer le volume du tétraèdre OABC. d. P d équations respectives P d équation 1;;4 et C de coordonnées passant par O et perpendiculaire au plan { } ) On considère, dans cette question, le système de points pondérés S ( O, );( A,1 );( B,1 );( C,1) 4 ) Soit ( ) a) Vérifier que ce système admet un barycentre qu on notera G. =. b) On note I le centre de gravité du triangle ABC. Montrer que G appartient à la droite (OI). c) Déterminer la distance du point G au plan ( P ). Γ l ensemble des points M de l espace vérifiant : MO + MA + MB + MC = 5. Déterminer ( Γ ). Quelle est la nature de l ensemble des points communs à ( P ) et à ( Γ )? 6

27 V ) Exercice n 6. Première partie. L espace est muni d un repère orthonormé ( O; i, j, k ). On considère - Les points A( 0; 0; ), B ( ;0; 4 ), C ( 1;1; ) et D( 1; 4;0). - les plans ( P 1) d équation ( P1 ) : 7x + 4y z + 9 = 0 et ( P ) d équation ( ) - les droites ( 1) et ( ) P : x y = 0. définies par leurs systèmes d équations paramétriques respectifs : x = 1+ t x = 7 + t ' y = 8 + t, t R et y = t ', t ' R z 10 5t = + z = 8 t ' Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,5 point ; l absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro. 1. Le plan ( ) 1 a) b) c) d) P est Le plan (ABC) Le plan (BCD) Le plan (ACD) Le plan (ABD). La droite ( 1) contient. Le point A Le point B Le point C Le point D. Position relative de ( P 1) et ( 1) est ( 1) est incluse ( 1) coupe ( P 1) ( 1) est de ( 1) strictement dans ( P 1) 4. Position relative de ( 1) et de ( ) 5. L intersection de ( P 1) et de ( P ) est une droite dont une représentation paramétrique est : Deuxième partie. parallèle à ( P 1) ( 1) est strictement parallèle à ( ) x = t 1 y = + t z = t L espace est muni d un repère orthonormé ( O; i, j, k ) vecteur directeur est u = ( 1;0; 1) v = ( 0;1;1 ). ( 1) et ( ) sont confondues x = t y = t z = + 6t ( 1) et ( ) sécantes sont x = 5t y = 1 t z = t orthogonale à P ( 1) ( 1) et ( ). On considère la droite (D) passant par ( 0;0;) sont non coplanaires. x = 1+ t y = + t z = t A et dont un et la droite (D ) passant par B ( ;0;4) et dont un vecteur directeur est L objectif est de démontrer qu il existe une droite unique perpendiculaire à la fois à (D) et à (D ), de la déterminer et de dégager une propriété de cette droite. 1 ) On considère un point M appartenant à (D) et un point M appartenant à (D ) définis par AM = au et BM ' = bv, où a et b sont des nombres réels. Exprimer les coordonnées de M, de M, puis du vecteur MM ' en fonction de a et b. 7

28 ) Démontrer que la droite (MM ) est perpendiculaire à (D) et à (D ) si, et seulement si, le couple ( a; b ) est a + b = 1 solution du système. a + b = 1 ) Résoudre ce système. En déduire les coordonnées des deux uniques points M et M, que nous noterons ici H et H, tels que la droite (HH ) soit bien perpendiculaire commune à (D) et à (D ). Montrer que HH ' = unité s de longueur. 4 ) On considère un point M quelconque de la droite (D) et un point M quelconque de la droite (D ). a) En utilisant les coordonnées obtenues à la question 1 ), démontrer que : ( ) ( ) ( ) ' 1 1 MM = a + b + a + b + +. b) En déduire que la distance MM est minimale lorsque M est en h et que M est en H. VI ) Exercice n 7. L espace est muni d un repère orthonormé ( O; i, j, k ). On considère - Les points A( ;1; 5 ), B( 0; 4; 5 ), C ( 1; ; 5 ) et D( ;; 4). - Pour chacune des six affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention «VRAI» ou «FAUX». On attribue 0,5 point par réponse correcte et on retranche 0,5 point par réponse incorrecte. L absence de réponse n est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à zéro. 1 ) Les points A, B et D sont alignés. ) La droite (AB) est contenue dans le plan d équation cartésienne : x + y = 4. ) Une équation cartésienne du plan (BCD) est : 18x 9y 5z + 11 = 0. 4 ) Les points A, B, C et D sont coplanaires. 5 ) La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD). 6 ) Une représentation paramétrique de la droite (BD) est : x = 1 k 7 y = + k avec k R 1 z = 9 k 8

29 VII ) Exercice n 8. On considère dans l espace un cube de cm de coté noté ABCDEFGH et représentée sur l annexe ci-dessous. ; et ;1 F;1 et B ; et enfin K celui de Soit I le barycentre des points pondérés ( E ) ( F ), J celui de ( ) ( ) ( G; ) et ( C ;1). On veut déterminer l ensemble des points M équidistants de I, J et K, on note ( ) cet ensemble. 1 ) Placer les points I, J et K sur l annexe ci-dessous. ) Soit Ω le point de ( ) situé dans le plan (IJK). Que représente ce point pour le triangle IJK? Pour la suite de l exercice, on se place maintenant dans le repère orthonormal suivant : A; AD, AB, AE ) Donner dans ce repère les coordonnées des points I, J et K. P ;0; 0 et Q 1;; deux points que l on placera sur la figure. Démontrer que la droite (PQ) est 4 ) Soit ( ) ( ) orthogonale au plan (IJK). 5 ) Soit M un point de l espace de coordonnées ( x; y; z ). a) Démontrer que M appartient à ( ) si, et seulement si, le triplet ( ; ; ) deux équations linéaires que l on écrira. Quelle est la nature de ( )? b) Vérifier que P ( ;0; 0 ) et Q ( 1;; ) appartiennent à ( ), puis tracer ( ) x y z est solution d un système de sur la figure de l annexe. 6 ) a) Déterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en déduire une équation cartésienne de ce plan. b) Déterminer alors les coordonnées exactes de Ω. 9

30 VIII ) Exercice n 9.. Soit ( 1 ) + + = et ( P ) le plan d équation cartésienne ( ) L espace est muni d un repère orthonormé ( O; i, j, k ) ( ) P1 : x y z ) Montrer que ( P 1) et ( ) P sont perpendiculaires. P le plan d équation cartésienne P : x y + 4z 9 = 0. On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si, et seulement si, un vecteur normal non nul à l un est orthogonal à un vecteur normal non nul à l autre. ) Soit (D) la droite d intersection des deux plans ( P 1) et ( ) (D) est : x = 7 + t ( D) : y = 8 + t avec t R. z = t P. Montrer qu une représentation paramétrique de ) Soit M un point quelconque de (D) de paramètre t et soit A le point de coordonnées ( 9; 4; 1). a) Vérifier que A n appartient ni à ( P 1), ni à ( P ). b) Exprimer AM en fonction de t. c) Soit f la fonction définie sur R par f ( t) = t t +. Etudier les variations de f. Pour quel point M, la distance AM est-elle minimale. Dans la suite, on désignera ce point par I. Préciser les coordonnées de ce point I. 4 ) Soit ( Q ) le plan orthogonal à (D) et passant par A. a) Déterminer une équation de ( Q ). b) Démontrer que I est le projeté orthogonal de A sur (D). IX ) Exercice n 0. Dans un cube OABCDEFG d'arête 1, on considère les points L, M et K définis par : OL = aoc ; OM = aoa et BK = abf a 0;1., où ] [ 1 ) déterminer le volume du tétraèdre MODL.. Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère orthonormé ( O; OA; OC; OD) ) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (MDL). ) On note H le projeté orthogonale de o, (et de K) sur le plan (MDL). a) Justifier l'égalité OM OK = OH OK. b) Les vecteurs OK et OH, étant colinéaires, on note λ le réel tel que OH = λok. a Démontrer que : λ = a +. c) En déduire, en fonction de a, les coordonnées du point H. a d) Démontrer que : OH = a +. e) Retrouver alors le volume du tétraèdre MODL. 0

31 X ) Exercice n 1. Baccalauréat S PONDICHERY 16 avril 008 On considère un tétraèdre ABCD. On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD]. On désigne par G l isobarycentre des points A, B, C et D. 1 ) Montrer que les droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G. Dans la suite de l exercice, on suppose que AB = CD ; BC = AD et AC = BD. (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial, car ses faces sont isométriques) ) a) Quelle est la nature du quadrilatère IJKL? Précisez également la nature des quadrilatères IMJN et KNLM. b) En déduire que (IJ) et (KL) sont orthogonales. On admettra que, de même, les droites (IJ) et (MN) sont orthogonales et les droites (KL) et (MN) sont orthogonales. ) a) Montrer que la droite (IJ) est orthogonale au plan (MNK). b) Quelle est la valeur du produit scalaire IJi MK? En déduire que (IJ) est orthogonale à la droite (AB). Montrer de même que (IJ) est orthogonale à la droite (CD). c) Montrer que G appartient aux plans médiateurs de [AB] et [CD]. d) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l évaluation. Comment démontrerait-on que G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD? 1

32 XI ) Exercice n. Dans un cube OABCDEFG d'arête 1, on considère les points L, M et K définis par : OL = aoc ; OM = aoa et BK = abf a 0;1., où ] [ 1 ) déterminer le volume du tétraèdre MODL. Dans toute la suite de l'exercice, on se place dans le repère O; OA; OC; OD. orthonormé ( ) ) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (MDL). ) On note H le projeté orthogonale de o, (et de K) sur le plan (MDL). a) Justifier l'égalité OM OK = OH OK. b) Les vecteurs OK et OH, étant colinéaires, on note λ le réel tel que OH = λok. a Démontrer que : λ = a +. c) En déduire, en fonction de a, les coordonnées du point H. a d) Démontrer que : OH = a +. e) Retrouver alors le volume du tétraèdre MODL. XII ) Exercice n. A) Enoncé : ROC DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE (hors programme en 01). Soit une droite d équation ( d ) : ax + by + c = 0 avec a et b non tous les deux nuls. On considère un point A n appartenant pas à cette droite, tel que ( ; ) droite (d) est donnée par la relation dist A; ( d ) ax + by + c A A ( ) = a + b A x y et donc la distance du point A à la B) Enoncé : ROC DISTANCE D UN POINT A UN PLAN (Hors programme en 01) Si dans un repère orthonormé, le plan (P) a pour équation ( P) : ax + by + cz + d = 0 avec a et b et c non tous nuls. On considère un point A n appartenant pas à ce plan, tel que A( x ; y ; z ) et donc la distance du point A au plan (P) est donnée par la relation dist A; ( P) ax + by + cz + d A A A ( ) = a + b + c A A A A A

33 XIII. PROBLEMES DE SECTIONS PLANES. I ) Exercice n 4. On considère un cube ABCDEFGH donné en annexe qui est à rendre avec la copie une fois complété. On note M le milieu du segment [ EH ], N le milieu du 1 segment [ FC ], et P le point tel que HP = HG. 4 Partie A : Section du cube par le plan (MNP). 1 ) Justifier que les droites ( MP) et ( ) point L. Construire ce point L. ) On admet que les droites ( LN ) et ( ) note T leur point d intersection. FG sont sécantes en un CG sont sécante et on On admet également que les droites ( LN ) et ( ) sécante et on note Q leur point d intersection. BF sont a) Construire les deux points T et Q en laissant apparents les traits de construction. b) Construire l intersection des deux plans ( MNP) et ( ABF ). ) En déduire une construction de la section du cube ABCDEFGH par le plan ( MNP ). Partie B : Calculs analytiques.. L espace est rapporté au repère ( A; AB, AD, AE). 1 ) Donner les coordonnées des trois points M, N et P dans ce repère ( A; AB, AD, AE) ) Déterminer les coordonnées du point L. ) Déterminer les coordonnées du point T. 4 ) Le triangle TPN est-il rectangle en T?

34 II ) Exercice n 5. ABCDEFGH désigne un cube de coté 1. Le point I est le milieu du BC, et le point K segment [ BF ], le point J est le milieu du segment [ ] est le milieu du segment [ CD ] comme indique sur la figure ci-contre. Partie A. Dans cette partie on ne demande aucune justification. On admet que les droites ( IJ ) et ( CG ) sont sécantes en un point L. Construire, sur la figure, et en laissant apparents les traits de construction : Le point L. L intersection ( D ) des plans ( IJK ) et ( CDH ). La section du cube ABCDEFGH par le plan ( IJK ). Partie B : Calculs analytiques.. L espace est rapporté au repère ( A; AB, AD, AE). 1 ) Donner les coordonnées des points A, G, I, J et K dans ce repère ( A; AB, AD, AE) ) a) Montrer que le vecteur AG est un vecteur normal du Plan( IJK ). b) En déduire alors une équation cartésienne du Plan( IJK ). ) On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel appartenant à l intervalle [ ] a) Démontrer que MI = t t ;1 tel que AM = t AG. b) Démontrer que la distance MI est minimale pour le point N ; ; ) Démontrer que pour ce point N ; ; : Plan IJK. a) N appartient au ( ) b) La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF). 4

35 III ) Exercice n 6. 1 ) PARTIE. Dans chaque cas tracer la section du cube ABCDEFGH par le Plan( IJK ). On nommera les points de construction. 1 CAS : [ ] [ ] [ ] I EF ; J EH et K AB. CAS : [ ] [ ] [ ] I EF ; J GH et K BC. 5

36 ) PARTIE. Dans chaque cas représenter cube ABCDEFGH puis placer les points M et N comme indique dans les deux cas, et construire la section du cube par le Plan( AMN ). 1 CAS : ] [ ] [ M BC et N EF. CAS : ] [ ] [ M BC et N GH. 6

37 ) PARTIE. Tracer la section du tétraèdre par le Plan( IJK ) 4 ) PARTIE. Représenter le cube ABCDEFGH et un point I fixé sur le segment ] AB[ puis construire la section du cube par le Plan( ICH ). 5 ) PARTIE. Représenter le cube ABCDEFGH et construire la section du cube par le Plan( IJK ). 7

38 IV ) Exercice n 7. ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle (un pavé droit). Les points I, J et K sont placés comme indique sur la figure. L objectif de ce problème est de tracer la section de ce pavé droit ABCDEFGH par le Plan( IJK ) 1 ) Tracer le segment intersection du Plan( IJK ) avec la face( EFGH ). ) Tracer le segment intersection du Plan( IJK ) avec la face( ABFE ). ) a) Explique pourquoi les droites ( IJ ) et ( ) b) Déterminer la droite d intersection des plans ( IJK ) et ( ) intersection du Plan( IJK ) avec la face( BCGF ). 4 ) Comment sont les plans ( ABCD) et ( EFGH )? Tracer alors le segment intersection du ( ) face( ABCD ). FG sont sécantes. On note L leur point d intersection. BCGF. Tracer alors le segment Plan IJK avec la 5 ) Poursuivre et terminer le tracé de la section du pavé droit ABCDEFGH par le Plan( IJK ). 6 ) La parallélépipède ABCDEFGH étant coupé en deux par Plan( IJK ), représenter ci-dessous chacune des deux parties obtenues. 8

39 V ) Exercice n 8. I Plan( AMN ), J Plan( ABCD) et K Plan( ABCD) Tracer la section du Plan( IJK ) avec la pavé ABCDEFGH.. VI ) Exercice n 9. ABCDEFGH est un cube. Tracer la section de ce cube par le Plan( IJK ) VII ) Exercice n 40. Soit ( D) et ( D ') deux droites de l espace contenues dans un plan ( P ) et sécantes en un point A. Soit M un point extérieur au plan ( P ). On note ( Q ) le plan défini par le point M et la droite ( D ) et ( Q ') le plan défini par le point M et la droite ( D '). Pourquoi les plans ( Q) et ( Q ') sont-ils sécants? Quelle est l intersection de ces deux plans ( ) et ( ') Q Q? 9

40 EXERCICES SUR LE CHAPITRE GEOMETRIE DANS L ESPACE. CORRECTIONS. IX) EXERCICES sur les droites et plans de l espace droites orthogonales. CORRECTIONS. EXERCICE 1 : 1 ) ADGF est un parallélogramme, car AD=GF et (AD)//(GF) (cube). ) Dans le triangle ADB on a I milieu de [AB] et J milieu de [AD], d où d'après le théorème des milieux dans un triangle, on en déduit que (IJ)//(BD) et comme (BD)//(HF) car les plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles, on IJ // HF obtient donc que ( ) ( ) ) (FI) est une droite incluse dans le plan (ABFE) et (HJ) est une droite incluse dans le plan (ADHE), or ces deux plans sont orthogonaux, donc les droites (FI) et (HJ) ne peuvent être que sécantes. EXERCICE : 1 ) H étant le projette orthogonal de O sur le plan (ABC) cela signifie que (OH) est perpendiculaire au plan (ABC) OH BC, car (BC) donc (OH) est perpendiculaire à toute droite de ce plan, en particulier, on peut écrire que ( ) ( ) est une droite du plan (ABC). OA OC ) ( ) ( ) car le triangle OAC est rectangle en O, et ( OA) ( OB) car le triangle OAB est rectangle en O, donc (OA) est perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (OBC), donc cette droite (OA) est perpendiculaire OA BC. au plan (OBC) et donc aussi perpendiculaire à toutes droites de ce plan, soit par exemple ( ) ( ) ) Des deux résultats des questions précédentes, on en déduit que la droite (BC) est perpendiculaire à deux droites BC AH et de sécantes du plan (OAH), donc (BC) est perpendiculaire à toutes droites de ce plan, entre autres ( ) ( ) même, on démontre que ( BH ) ( AC ). 4 ) (BC) perpendiculaire à (AH) signifie que la droite (AH) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC. (AC) perpendiculaire à (BH) signifie que la droite (BH) est la hauteur issue de B dans le triangle ABC. Ces deux hauteurs se coupant en H, on en déduit alors que le point H est l orthocentre du triangle ABC. EXERCICE : On considère un tétraèdre ABCD tel que AB = CD, BC = AD et AC = BD. (On dit que le tétraèdre ABCD est équifacial car ses faces sont isométriques). On note I, J, K, L, M, N les milieux respectifs des arêtes [AB], [CD], [BC], [AD], [AC] et [BD]. 1 ) Dans le triangle ABC, on a I milieu de [AB] et K milieu de [BC], d après le théorème des milieux, on en déduit 1 que IK = AC. Dans le triangle ADC, on a L milieu de [AD] et J milieu de [DC], d après le théorème des milieux, on en déduit 1 que LJ = AC. Donc IK = LJ, ce qui implique que le quadrilatère IKJL est un parallélogramme. De plus comme AC = BD on obtient de façon analogue 1 LI = JK = BD, ce qui donne en distance 1 1 IK = LI = AC = BC et un parallélogramme ayant deux coté consécutifs égaux est un losange, donc IKJL est un losange. On obtient de même IMJN et KNLM losanges. ) Dans un losange les diagonales étant perpendiculaires : IKJL losange, donc ( IJ ) ( KL), IMJN losange, donc ( IJ ) ( MN ) et KNLM losange, donc ( MN ) ( KL). ) (IJ) étant perpendiculaires à deux droites sécantes, (KL) et (MN), alors la droite (IJ) est perpendiculaire au plan (MKN) ou au plan (MKNL). 4 ) Donc (IJ) est perpendiculaire à toute droites de ce plan, soit par exemple à la droite (MK), c est-à-dire IJ MK, de plus (MK)//(AB) théorème des milieux dans le triangle ABC, on en déduit alors que ( ) ( ) ( IJ ) ( AB) 40

41 EXERCICE 4 : PARTIE A. 1 ) On a EJ = donc FJ = 1 +, donc 1 FJ =, on trouve en procédant de la même manière 9 BI =, donc FI = 1 +, donc 1 1 FI =, d où FJ = BI = FJ = BI, donc le triangle FIJ est isocèle en F, et 9 9 comme K est le milieu du segment [IJ], la droite (FK) est la médiane issue de F dans ce triangle isocèle en F, donc IJ FK. cette médiane est aussi hauteur, donc perpendiculaire à la base (IJ), conclusion ( ) ( ) On démontre de même que ( IJ ) ( GK ) ) La droite (IJ) est orthogonale à deux droites (FK) et (GK) sécantes du plan (FGK), donc cette droite (IJ) est orthogonale au plan (FGK). ) P est le projeté orthogonal du point G sur le plan (FIJ), donc la droite (PG) est orthogonal à ce plan et en PG IJ. particulier à toute droite de ce plan, donc par exemple ( ) ( ) De même (IJ) est orthogonale au plan (FGK), donc en particulier ( FG) ( IJ ) Les points F, G et P non alignés définissent donc un plan (FGP), la droite (IJ) orthogonal à deux droites sécantes de ce plan est orthogonale à ce plan (FGP). 4 ) a) On vient de démontrer dans les questions précédentes que les deux plans (FGK) et (FGP) sont orthogonales à la droite (IJ), mais ces deux plans ont en commun le point F et il n existe qu un plan contenant un point F et orthogonal à une droite (IJ) donnée, donc les quatre points F, G, K et P sont coplanaires. b) On sait que la droite (IJ) est orthogonale à la droite (FP) ; (IJ) est orthogonal à (FK) et comme les points F, P, G et K sont coplanaires la droite (FP) est aussi la droite (FK), autrement dit les trois points F, P et K sont alignés. 41

42 PARTIE B. donc ( ) donc ( ) 1 ) On a AF = AB + AE F = 1;0;1, puis AG = AB + AD + AE G = 1;1;1 ; AI = AB + BI = AB + AD donc I = 1; ;0 et AJ = AE + EJ = AE + AD donc J = 0; ;1 ) a) G a pour projeté orthogonal sur le plan (FIJ) le point P, donc la droite (GP) est orthogonal au plan (FIJ). N appartient à la droite (GP), donc la droite (GN) est orthogonale au plan (FIJ) donc aussi à toute droite de ce plan, conclusion, la droite (GN) est orthogonale aux droites (FI) et (FJ). b) On calcule les coordonnées des vecteurs : GN = ( x 1; y 1; 1) et FI = 0; ; 1 puis on calcule le produit scalaire, le repère étant orthonormé, ( ) GN FI = x 1; y 1; 1 0; ; 1 = ( y 1) + 1 = y + 1, d autre part FJ = 1; ;0, donc 1 GN FJ = ( x 1; y 1; 1) 1; ;0 = ( x 1) ( 1) + ( y 1) = x + y + c) D après le a) de la deuxième questions, les deux produits scalaires sont tous les deux non nuls, donc y + = 0 y = et x + y + x = + x = 0, donc les coordonnées du point N, sont N 1 = 0; ;0, que l on place sur la figure : 4

43 X) EXERCICES sur les vecteurs de l espace. CORRECTIONS. EXERCICE 5 : I milieu de [AC], donc AI = IC, puis BE = CI donc le quadrilatère BEIC est un parallélogramme, de même DF = AI donc le quadrilatère ADFI est un parallélogramme et comme AI = IC DF = IC d où IDFC est aussi un parallélogramme. Donc le quadrilatère EDFB est un parallélogramme et donc ses diagonales se coupent en leurs milieux, c est-à-dire que les segment [BD] et [EF] ont même milieu et si J est le milieu de [BD] on en déduit donc que la droite (EF) passe par le milieu J de [BD]. EXERCICE 6 : 1 ) En utilisant le relation de Chasles et les hypothèses sur la figure, on obtient 1 BG ' = AH + EE ' ; G 'F = DE + A 'B ; AC = AD ; FG = AD AC = HD FD ; AG = BG + GC ; BF = AB + DE ' FE ' 1 ) I est le point d intersection de la droite (AE ) et de la droite (BG), donc AB = AD (théorème de Thalès dans 1 AED, car (ID)//(ED)) d où AI = AE 1 ) J est le point d intersection de la droite (AE ) et du plan (BB G), donc AJ = AE ' EXERCICE 7 : Soit ABCDEFGH un pavé droit. Les points M, N et P sont tels que : AN = AB + AD + AE, EM = EH et BP = AB + AD. Pour démontrer que N est le milieu du segment [MP], on peut par exemple calculer NM + NP pour obtenir le vecteur nul NM + NP = NA + AE + EM + NA + AB + BP = AB AD AE + AE + EH AB AD AE + AB + AD Ce qui donne ( car AD = EH ) NM + NP = AD + AD = 0, ce qui prouve que N est le milieu su segment [MP]. EXERCICE 8 : Soit ABCDEFGH un pavé droit. 1 1 On note I le milieu de l arête [AB], J le point tel que : HJ = AB JG = HG = AB et O le centre de la face BCGF. Pour démontrer que les droites (H I) et (JO) sont parallèles, on calcule les vecteurs : 1 HI = HA + AI = GB + AB puis JO = JG + GO = AB + GB = GB + AB 4 1 Donc JO = HI, soit deux vecteurs colinéaires ce qui implique que les droites (HI) et (JO) sont parallèles. 4

44 EXERCICE 9 : Soit ABCD un tétraèdre et I le point défini par AI = AB AC AD. IB = IA + AB = AI + AB = AB + AC + AD + AB = AB + AC + AD = AB + ( AB + BC) + ( AB + BD) = AB + AB + BC + AB + BD Ce qui donne IB = BC + BD Cela signifie que les trois vecteurs IB,BC et BD sont coplanaires donc le point I appartient à la face (BCD) de ce tétraèdre ABCD. EXERCICE 10 : ABCD est un tétraèdre. I est le milieu de [AD], J est le milieu de [BC], G est le centre de gravité du triangle ABC donc GA + GB + GC = 0 ou bien AG = AJ et E est le symétrique du point D par rapport au point J, donc J est le milieu de [DE] ) a) IG = IA + AG = DA + AJ, soit IG = AD + AJ IE = IA + AE = AD + AD + DE = AD + DJ = AD + DA + AJ, soit IE = AD + AJ 1 b) D où IE = AD + AJ, donc IE = IG donc deux vecteurs colinéaires, donc les trois points I, G et E sont alignés. ) DF = DB + DA + DC DB + BF = DB + DA + DC BF = ( BD + DA) + DC DB BF = BA + DC + BD, ce qui donne BF = BA + BC Donc les trois vecteurs BF, BA et BC sont coplanaires et les quatre points F, B, A et C sont également coplanaires donc le point F appartient à la face (ABC) de ce tétraèdre. 44

45 XI) EXERCICES sur la géométrie analytique. CORRECTIONS. Dans les exercices qui suivent, l espace est rapporté à un repère ( O ; i ; j ; k ). EXERCICE 11 : Dans chacun des cas suivants, indiquer si les points A, B et C sont alignés. a) A ( 1 ; ; 1 ) B ( ; 1-1 ) et C ( ; - ; - 6 ) Ces trois points ne sont pas alignés car les deux vecteurs AB = ( 1; 1; ) et AC = ( ; 5; 7) colinéaires ne sont pas b) A( - 1 ; 0 ; 1 ) B ( 1 ; 1 ; 0 ) et C ( -5 ; - ; ). AB = Ces trois points sont alignés car les deux vecteurs ( ;1; 1) 1 1 = = 4 et AC = ( 4; ;) sont colinéaires car EXERCICE 1 : Soit les points A ( 1 ; - 1 ; 1 ), B ( - 1 ; 1 ; - 1 ), C ( 1 ; - 1 ; - 1 ) et D ( 1 ; 1 5 ; ). Démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles car les vecteurs AB = ( ;; ) et CD = ; ; 1 sont colinéaires, en effet AB = CD EXERCICE 1 : On considère le point A ( 1 ; -1 ; 1 ) et le vecteur : u = i + j k. (d) est la droite qui passe par A et qui admet u pour vecteur directeur. Les points B ( - 1 ; - ; ) et C ( 6 ; ; - ) appartiennent-ils à (d)? L équation paramétrique de la droite (D) est la suivante : x = 1+ t ( d ) : y = 1 + t avec t R z = 1 t 5 1 = 1+ t t = 1 6 = 1 + t t = B ( d ) car = 1+ t t = 1 et C ( d ) car = 1+ t t = = 1 t t = 1 = 1 t t = EXERCICE 14 : Soit les vecteurs : u ( 1 ; - 1 ; 1 ) v ( 1 ; 1 ; - ) et w ( 0 ; - ; 4 ). Pour démontrer que ces trois vecteurs sont coplanaires il faut trouver deux réels x et y tels que x = 1 u = xv + yw x y = 1 y = 1, donc u = v + w x + 4y = = 1 EXERCICE 15 : Soit les points : A ( ; 1 ; - ), B ( ; ; ), C ( 4 ; - ; 0 ) et D ( ; 0 ; 4 ). et 5 Pour démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires, on démontre que trois vecteurs sont coplanaires, par x = 1 exemple AB = xac + y AD x y = y = 1, donc AB = AC + AD x + 6y = = 4 45

46 EXERCICE 16 : On considère les points A ( ; - ; 1 ), B ( 6 ; - 1 ; - 1 ), C ( 0 ; 1 ; - ) et D ( - ; ; ), les vecteurs u ( - 1 ; ; ) et v ( 1 ; ; ) et on note (P) le plan passant par le point A et de vecteurs directeurs u et v. 1 ) Le plan (P) est bien défini car les vecteurs u et v sont non colinéaires, car car les vecteurs AB, u et v sont coplanaires, en effet : ) B ( P) x + y = 4 x = AB = xu + yv = x + y x + y = y = x + y = C P car les vecteurs AC, u et v ne sont pas coplanaires, en effet : ( ) x + y = x = AC xu + yv 4 = x + y x + y = 4 y = 0 x + y = on remplace dans la ) équation on trouve = 6 avec les deux premières équations mais quand ) (CD) sera strictement parallèles au plan (P) signifie que les trois vecteurs CD, u et v sont coplanaires, ce qui est le cas, car 1 1 x + y = x = CD = xu + yv 1 = x + y x + y = 1 y 1 4 = x + y = 4 EXERCICE 17 : A et B sont deux points de l espace et I est le milieu de [AB]. 1) Pour tout point M de l espace, on a : MA + MB = MI MI + IA + IB = MI. car IA + IB = 0 étant donné que I est le milieu de [AB]. ) L ensemble des points M de l espace tels que MA + MB = MI = MI = 1, donc M appartient à la sphère de centre I et de rayon 1. EXERCICE 18 : Dans le repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ), on considère les points A ( 7 ; 7 ; ), B ( - 5 ; - 1 ; 11 ), C ( 1 ; - 7 ; - 5 ) D ( 1 ; 4 ; 5 ) et Ω ( 1 ; -1 ; ). Démontrer que les points A, B, C et D sont sur une sphère de centre Ω dont on déterminera le rayon, il suffit de calculer les quatre distances Ω A = , donc Ω A = 10, de même après calculs on trouve que Ω B = 10, Ω C = 10 et Ω D = 10. Donc les quatre points appartient bien à une sphère de centre Ω et de rayon

47 EXERCICE 19 : L espace est rapporté au repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ) ; on nomme A le point de coordonnées ( ; ; ). Dans le plan (P) de repère ( O ; i ; j ), on désigne par (d) la droite d équation y = x. M est un point de la droite (d) d abscisse x, donc M = ( x; x;0) 1 ) On calcul AM ² en fonction de x, AM ( x ) ( x ) ( 0 ) = + +, d où AM = x x + = f x ( ) ) La distance AM soit minimale, avec le tableau de variation de cette fonction, on a f '( x) = 4x 10, donc la fonction f est décroissante sur 5 5 pour un point M 0 = ; ;0 et ce minimum vaut 5 9 f =. 5 ; et croissante sur 5 ; +, donc elle admet un minimum pour 5 x = soit 1 1 ) La droite (AM 0 ) est orthogonale à (d), car AM 0 ; ; = est orthogonale au vecteur u = ( 1;1;0 ) (un vecteur directeur de la droite (d)), car si on calcule le produit scalaire, le repère étant orthonormé on obtient AM 0 u = ; ; ( 1;1;0 ) = = 0, donc ( AM 0 ) ( d ) EXERCICE 0 : On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I et J les milieux respectifs des segments [AB] et [CD]. Soit G, G et G les centres de gravité respectifs des triangles ABD, ACD et BCD, donc on a les égalités vectorielles suivantes GA + GB + GD = 0 AG = 1 ( AB + AD) ou bien DG = DI pour ABD. 1 G ' A + G ' C + G ' D = 0 AG ' = ( AC + AD) pour ACD et 1 G '' B + G '' C + G '' D = 0 BG '' = ( BC + BD) ou bien BG '' = BJ pour BCD. 1 ) Dans le repère ( A ; AB ; AC ; AD ), on obtient que : A = ( 0;0;0 ), B = ( 1;0;0 ), C = ( 0;1;0 ), D = ( 0;0;1 ), I = ;0;0, J = 0; ;, G = ;0;, G ' = 0; ; et G '' = ; ; ) Dans ce repère, déterminer les coordonnées du point K tel que GKG G est un parallélogramme c est-à-dire x 1 1 GK = G '' G ' y 0 = ce qui donne 1 z K = ) Démontrer que le point K appartient au segment [AD] soit à démontrer que AK = AD et [ ] 1 AK = 0; 0; et AD = 0;0;1 ( ) 1 0;1 car 47

48 EXERCICE 1 : Dans un repère orthonormé ( O ; i ; j ; k ) de l espace d unité 1 cm, on considère les points : A ( 1 ; -1 ; 4 ), B ( ; 1 ; 4 ), C ( 0 ; 0 ; 4 ) et D ( -1 ; - ; 4 ). 1 ) Pour démontrer que ABCD est un losange il faut démontrer que AB = DC puis que AB = AD ce qui est le cas car AB = ( 1;;0 ) et DC = ( 1;;0 ) et puis AB = 5 et AD = = 5, donc ABCD est bien un losange. ) La droite (OC) est orthogonale au plan (ABD) si OC AB = 0 et OC AD = 0, en effet, comme le repère est OC AB = 0;0;4 1;;0 = 0 OC AD = 0;0; 4 ; 1;0 = 0 orthonormé, on a ( ) ( ) et ( ) ( ) ) Le volume de la pyramide OABCD de sommet O est donné par la formule, (1/) aire de la base que multiplie la hauteur. aire( ABCD) OC Ce qui donne V = et ABCD étant un losange, donc Petitediagonale Grandediagonale AC BD aire( ABCD) = = avec AC = =, BD = = 18 et OC = 16 = 4, 18 aire( ABCD) OC 4 Donc V = =, ce qui donne V = 4 cm 48

49 XII. PROBLEMES DE BACCALAUREAT : CORRECTIONS.. I ) Exercice n.. I ) Exercice proposé au baccalauréat série S, France métropolitaine, session de juin 00. Corrections. 1 ) Les triangles OAB, OAC et OBC ont un angle égal, à savoir l angle droit en O, compris entre deux cotés respectivement isométriques, puisque OA = OB ) OC. Ces trois triangles sont donc isométriques, par conséquent AB = AC = BC d où le triangle ABC est équilatéral. Une autre méthode constitue tout simplement à utiliser le théorème de Pythagore pour calculer les trois distances AB, AC et BC. ) On montre d abord l orthogonalité des deux droites (OH) et (AB). Première méthode : Utilisation d un raisonnement géométrique. On constate que les points O, I et C sont équidistants de A et B. (OIC) est donc le plan médiateur du segment [AB], OIC AB. donc ( ) ( ) La droite (AB) est donc orthogonale à toute droite du plan (OIC), notamment la droite (OH), donc ( OH ) ( AB) Deuxième méthode : Utilisation du produit scalaire. On calcule le produit scalaire suivant : OH AB = OI + IH AB = OI AB + IH AB, or les droites (OI) et (AB) sont perpendiculaires, donc OI AB = 0, ( ) et les droites (IH) et (AB) sont aussi perpendiculaires, puisque la médiane (CI) est aussi une hauteur dans le triangle équilatéral ABC, donc IH AB = 0, on en déduit que OH AB = 0 OH AB, et que donc ( ) ( ) On montre ensuite l orthogonalité des deux droites (AH) et (BC), pour en déduire que le point H est l orthocentre du triangle ABC. Première méthode : Utilisation d un raisonnement géométrique. Comme H est le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OIC, alors (OH) est orthogonale à (IC). Par ailleurs, on vient de démontrer que (OH) est orthogonale à (AB), alors la droite (OH) est orthogonale à deux droites sécantes du plan (ABC), à savoir les droites (IC) et (AB), donc la droite (OH) est orthogonale à ce plan (ABC), et donc orthogonale à toutes droites de ce plan. Donc en particulier, la droite (OH) est orthogonale à la droite (BC). D autre part, (BC) est orthogonale à (OA), car (OA) est orthogonale au plan (OBC). La droite (BC) est donc BC AH orthogonale au plan (OHA) donc orthogonale à toute droite de ce plan, notamment ( ) ( ) Deuxième méthode : Utilisation du produit scalaire. On calcule le produit scalaire suivant : AH BC = ( AO + OH ) BC = AO BC + OH BC, or la droite (OA) est orthogonale au plan (OBC), donc AO BC = 0, et la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC), donc OH BC = 0, on en déduit que AH BC = 0, BC AH et que donc ( ) ( ) En conclusion : Comme les droites (AH) et (BC) sont orthogonales, (AH) est donc la hauteur issue de A dans le triangle ABC, et le point H étant à l intersection des deux hauteurs (CI) et (AH), c est donc l orthocentre de ce triangle ABC. 49

50 ) Calcule de OH. b) Le volume V du tétraèdre OABC est donné par la formule suivante : 1 V = Aire d'une base hauteur correspondante. En choisissant pour base le triangle OAB, dont l aire 1 a 1 a a vaut OA OB =, on obtient V = OC=. L aire S du triangle équilatéral ABC est donnée π a par : S = AB IC= a AC cos =. 6 1 c) En choisissant ABC comme base, le volume est alorsv = S OH ( car la droite (OH) est orthogonale au plan (ABC), c est donc la hauteur correspondante à la base (ABC) dans le tétraèdre OABC.). D où d après a V le a) du ) on en déduit que OH = ce qui donne 6 a a OH = = = S a 4 ) Etude du tétraèdre ABCD. a) H étant l orthocentre du triangle équilatéral ABC, c est donc également son centre de gravité. On a de façon A = a;0;0, B = 0; a;0 et C = 0;0; a, on en déduit donc que évidente les coordonnées suivantes : ( ) ( ) ( ) H = a ; a ; a. a a a b) Les coordonnées du point D, symétrique du point H par rapport à O sont donc D = ; ;. On calcule ensuite les longueurs DA, DB et DC, et on obtient assez facilement que : DA = a + a + a = a, donc DA = a. De même on trouve DB = DC = a. Et comme AB = AC = BC = a, le tétraèdre ABCD est bien régulier. c) Le centre Ω de la sphère circonscrite à ABCD est équidistant de ces quatre points, donc on a : Ω A = Ω B = Ω C = Ω D. En particulier Ω est sur le plan médiateur du segment [AB], or on sait que OA = OB, I A = IB et CA = CB. Le plan médiateur du segment [AB] est donc le plan (OIC). En outre Ω est sur le plan médiateur du segment [BC] qui n est autre que le plan (AOH), puisque AB = AC, OB = OC et HB = HC, car H est le centre de gravité du triangle équilatéral ABC. Donc le point Ω est situé à l intersection des plans (OIC) et (AOH), soit la droite (OH). D où les vecteurs OΩ et OH, sont colinéaires, il existe donc un réel k tel que OΩ = koh. Ω = k; k; k et comme Ω A = Ω D, on obtient Donc les coordonnées du point Ω sont de la forme ( ) a ( a k ) k k + + = + k, soit a a a ak = + ak, ce qui donne k =. 6 a a a Conclusion Ω = ; ;. Le point Ω est le milieu du segment [OH]

51 II ) Exercice n. 1 ) a) H est le projeté orthogonal de O sur le plan (ABC) donc la droite (OH) est orthogonal au plan (ABC). Une droite orthogonale à un plan est orthogonale à toute droite de ce plan, or (BC) est une droite du plan (ABC), donc la droite (OH) est orthogonale à la droite (BC). OA OB OA OC, donc la droite (OA) Les triangles OAB et OAC sont rectangles en O, donc ( ) ( ) et ( ) ( ) est orthogonale au plan (OBC). Or (BC) est une droite de ce plan, donc la droite (OA) est orthogonale à la droite (BC). (On aurait pu aussi utiliser des produits scalaires). b) Car (OA) et (BC) sont orthogonales, puis (OH) et (BC) également d après la question précédente, on en déduit donc que la droite (AH) est orthogonale à la droite (BC). c) (AH) est orthogonale à (BC), donc dans le triangle ABC, (AH) est la hauteur issue de A. (BH) est orthogonale à (AC), donc dans le triangle ABC, (BH) est la hauteur issue de B. H est donc le point d intersection de deux hauteurs du même triangle ABC, d où H est l orthocentre de ce triangle ABC. ) a) L équation cartésienne d un plan est de la forme ax + by + cz + d = 0 ( ) ( ) A 1;0; 0 Plan ABC a + d = 0 a = d d B ( 0;;0) Plan( ABC) b + d = 0 b = d C ( 0; 0;) Plan( ABC ) c + d = 0 c = d d d On obtient donc : dx y z + d = 0 ( 6x + y + z 6) = 0 6 ce plan est Plan( ABC ) : 6x + y + z 6 = 0, d où une équation cartésienne de b) La droite (D) est orthogonale au plan (ABC), elle admet donc pour vecteur directeur tout vecteur normal n = 6;;. à (ABC), soit ici le vecteur ( ) c) Le point d intersection H du plan (ABC) et de la droite (d) vérifie donc à la fois l équation du plan (ABC) et le système précèdent, on remplace donc dans l équation du plan, et on obtient x = 6 k = ; y = k = et z = k =, d où les coordonnées du point H sont H ; ; ) a) La distance d un point ( ; ; ) ax + by + cz + d [ ;( P) ] = d M a + b + c M x y z à un plan d équation ax + by + cz + d = 0 est donnée par, ce qui donne ici : d [ O;( P) ] Autre méthode, cette distance est aussi égale à la longueur = = = OH = + + =

52 b) Le volume de ce tétraèdre est donné par V ( OABC ) OA = 1 ; OB = et OC =, donc V ( OABC ) = 1 Aire( ABC) OH Aire( ABC) Or V ( OABC ) =, donc ( ) Aire ABC = c) Aire( ABC) = = 4 ( ) et on a aussi Aire( ABC) Aire( OAB) Aire( OBC ) Aire( OAC ) III ) Exercice n 4. 1 ) ( ) ( ') Aire OAB OC OA OB OC = =, avec 6 49 = + + = P a pour équation cartésienne : x y z 1 0 OH = 1 Aire( ABC) =, c est-à-dire que = et dont un vecteur normal est n = ( 1;; 1) x + y + z = et dont un vecteur normal est n ' = ( 1;1;1 ) P a pour équation cartésienne : 0 ni n ' = = 0 (le repère étant orthonormé), donc les deux vecteurs n et n ' donc Alors ( ) ( ) orthogonaux, d où ( P) ( P ') ) Les deux plans étant perpendiculaires, ils se coupent selon une droite (d), et les coordonnées ( x; y; z ) des points de cette droite (d) vérifient les deux équations des plans et sont alors solutions du système formé par ces deux équations, ce qui donne x + y z + 1 = 0 x + y = z 1 x + y = z, soit une représentation paramétrique de la droite (d) est : x + y + z = 0 x + y = z y = 1 1 x = + t 1 ( d ) : y = avec t R z = t ) Pour un plan d équation (P) cartésienne ax by cz d 0 ax + by + cz + d A A A (P) est donnée par d [ A;( P) ] = = et un point ( ; ; ) 4 A A A A x y z, la distance entre A et, ce qui donne ici : d [ A;( P )] = et [ ;( ')] d A P = a + b + c 6 Notons H et H les projetés orthogonaux du point A sur le plan (P) et sur le plan (P ). Comme ces deux plans (P) et (P ) sont orthogonaux, le projeté orthogonal de H sur (P ) est confondu avec le projeté orthogonal de H sur (P), d où le quadrilatère AHDH est donc un rectangle et dans ce cas la distance entre le point A et la droite (d) est la longueur de la diagonale de ce rectangle, et en appliquant le théorème de Pythagore a un des triangles rectangles, on obtient 4 = + = + = 6, donc = (Valeur négative a exclure évidement. 5

53 IV ) Exercice n 5. 1 ) a) Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB( ;0; ) et AC ( 1: 4 : 1) et ils ne sont pas colinéaires car les coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc ces trois points A, B et C définissent bien un plan ( P ). A P b) ( ) = 0 est vrai B ( P) = 0 est vrai C ( P) + ( ) + = Donc ( P) = Plan( ABC ) est vrai ABi AC = = 0 (le repère étant orthonormé), donc les ) a) D après le 1 ), on a ( ) ( ) ( ) ( ) deux vecteurs AB et AC donc orthogonaux, d où ( AB) ( AC ) le triangle ABC est rectangle en A., d où b) Le vecteur n( a; b; c) exercice n( ;1; ) est un vecteur normal du plan ( P ), et est donc un vecteur directeur de la droite ( ) M ( ), alors OM = λn, égalité vectorielle qui se traduit par le système suivant x = λ y = λ avec λ R. z = λ est un vecteur normal au plan d équation ax + by + cz + d = 0, ce qui donne dans cet c) Puisque ( KO) ( P), alors ( KO ) = ( ). Le point K est commun à ( ) et à ( ) P et en utilisant la 4 question précédente, on a xk + yk zk + 4 = 0 λ + λ ( λ ) + 4 = 0 λ =, on en déduit alors les coordonnées du point K, soit K ; ; Donc OK = + + = =, donc OK = d) On prend pour base (ABC) et la hauteur est donc [OK]. D après le 1 ), AB = = 8, donc AB =. AC = = 18, donc AC = et l aire du triangle rectangle en A, de ABC est alors 4 6 AB AC 6 OK = = 6 et donc ( ) 8 Vol OABC = =, soit Vol ( OABC ) = ) a) Le barycentre g existe car la somme des cœfficients = 6 0, et ce barycentre vérifie l égalité vectorielle suivante : GO + GA + GB + GC = 0 b) I est le centre de gravité du triangle ABC, c est donc l isobarycentre de ces trois points affectés des A;1 ; B;1 ; C ;1. Et d après l associativité du barycentre, G est alors le { } { ; ; ; } cœfficients égaux, soit ( ) ( ) ( ) barycentre du système de points pondérés ( ) ( ) déduit que G est le milieu de [OI], donc G ( OI ). Si O I, et comme les cœfficients sont identiques, on en 5

54 8 15, donc les coordonnées de I sont alors ; ; I G ; ; et la distance du point G au plan ( P ) est donnée par c) On sait que OI = 1 ( OA + OB + OC ) et celle de x + y z + 4 = = ( ) G G G [ ;( P) ] d G d G P =, ce qui donne [ ;( )] 4 ) En utilisant la relation de Chasles MO + MA + MB + MC = MG + GO + MG + GA + MG + GB + MG + GC = 6MG, par définition du barycentre ; 5 On a donc MO + MA + MB + MC = 5 6MG = 5 MG =, et comme d après la question ) c), la distance 6 du point G au plan ( P ) est égale à = 4 < 5, on en déduit que le plan ( P ) et la sphère ( Γ ) sont donc sécants et 6 6 l intersection est un cercle V ) Exercice n 6. Première partie : QCM. A P vrai 1 ) ( ) + = ; ( ) C ( P 1 ) = 0 vrai ; ( ) De plus AC = ( 1;1; 1) et AD = ( 1; 4; ) ( P ) est le plan (ACD). 1 B P = 0 faux D P = 0 vrai, ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc 0 = 1+ t ) A ( 1 ) 0 = 8 + t t = 1 et t = 4, donc pas de solution, c est faux. = t = 1+ t B ( 1 ) 0 = 8 + t t = et t = 4, donc pas de solution, c est faux. 4 = t 1 = 1+ t C ( 1 ) 1 = 8 + t t = et t = 4,5, donc pas de solution, c est faux. = t 1 = 1+ t D ( 1 ) 4 = 8 + t t = et t = et t = 0 = t ) Un vecteur u directeur de la droite ( 1) a pour coordonnées u = ( 1;;5 ) P. Or u v = = 0 normal au plan ( ) 1, donc c est vrai, donc D ( 1 ). Donc la droite ( ) 1 et dans la question ), on a prouvé que D est un point de ( 1) donc la droite ( 1) est incluse dans le plan ( P 1) 4 ) Un point commun à ( ) 1 et a ( ) et v = ( 7;4; ) est parallèle au plan ( 1) et de ( P ), à ses coordonnées solution du système : 1 est un vecteur P, or dans la question 1 ) 54

55 1+ t = 7 + t ' t = 8 t = t = t ' t = 8 t ' = 1+ 5t = 8 t ' 5 t + t ' = 18 ;0;10. On obtient donc une solution unique qui donne comme coordonnées le point ( ) Les droites ( 1) et ( ) sont sécantes et donc coplanaires. 5 ) Un point commun aux deux plans a ses coordonnées qui vérifient le système : y = t y = t 7x + 4y z + 9 = 0 et en posant y = t, on obtient 7x + 4t z 9 = 0 x = t x y = 0 x t = z = 6t + y = t Donc ( P1 P ) = ( ) d'équation x = t z = 6t + Conclusion : 1 question : Réponse c) question : Réponse d) question : Réponse b)4 question : Réponse c) 5 question : Réponse b) Seconde partie : x 0 = a 1 ) On traduit pour un point M = ( x; y; z) l égalité vectorielle AM = au y 0 = 0, on a donc z = a M = a;0; a ( ) x ' = 0 De même BM ' = bv y ' 0 = b z ' 4 = b ' MM ' u = 0 a a b 1 = 0 a + b = 1 MM ' v = 0 b + a + b + 1 = 0 a + = 1 a + b = 1 ) a = 1 et b = 1 a + = 1 H = 1;0; et H ' = ; 1; ) La droite ( MM ) est perpendiculaire à ( D ) et à ( ') On a donc ( ) ( ) On calcule alors ( ), on a donc M ' = ( ; b;4 + b), et on en déduit que MM ' = ( a; b; a + b + 1) HH ' = = HH ' = 4 ) a) Avec M = ( a;0; a) et M ' ( ; b;4 b) ( ) ( ) D si et seulement si : = +, on calcule MM ' = MM ' = a + b + a + b + 1 = 4 a 4a + b + a + b + 1+ a + b + ab = a b a b ab 5 Soit enfin MM ( a b) ( a ) ( b ) ' = b) Les trois premiers termes de la somme précédente sont des carrés dont la plus petite valeur est 0, on a donc MM ' et cette valeur est atteinte lorsque ces trois carrés sont nuls, c est-à-dire quand on a le système : a + b = 0 a + b = 0 a 1 = 0 a = 1 a = 1 et b = 1 b + 1 = 0 b = 1 On retrouve donc les valeurs a = 1 et b = 1 et la distance le plus courte entre les deux droites qui vaut. 55

56 VI ) Exercice n 7. 1 ) AB = ( ;;0 ) et AD = ( 1;;9 ) ne sont pas alignés, ils définissent donc un plan., et il n existe pas de réel k tel que AB = k AD, donc les trois points A, B et D ) Les égalités + 1 = 4 et = 4 étant vraies, les points A et B appartiennent au plan. Donc la droite (AB) est contenue dans le plan d équation x + y = 4. ) Les coordonnées des trois points vérifient l équation, donc l équation proposée dans l énoncé est bien l équation du plan (BCD), et de plus ces trois points ne sont pas alignés de façon évidente. 4 ) Les coordonnées du point A ne vérifient pas l équation précédente, donc A n appartient pas au plan (BCD), d où les quatre points A, B, C et D ne sont pas coplanaires. 5 ) La sphère de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD) si et seulement si la distance de A à ce plan est égale au rayon du cercle, c est-à-dire si d [ A;( BCD )] = = 9 = 9 qui est une égalité fausse, donc la proposition est fausse. 6 ) Une représentation paramétrique de la droite (BD) est obtenu en traduisant l égalité vectorielle x = t 1 BM = tbd y = 4 t avec t R, puis si on pose t = 1 k t = k, et ce qui donne z = 5 5t 1 x = k x = 1 k 1 7 y = 4 k avec k R y = + k avec k R, qui est bien le système proposé, donc l affirmation 1 1 z = 5 5 k z = 9k est vraie. VII ) Exercice n 8. 1 { E F }, donc EI = EF 1 De même, on sait que J est le barycentre du système de points pondérés {( F;1 );( B ;)}, donc BJ = BF 1 Enfin K est le barycentre du système de points pondérés {( G; );( C ;1)}, donc GK = GC Ces trois égalités vectorielles permettent de placer les trois points I, J et K de façon évidente (à faire). 1 ) On sait que I est le barycentre du système de points pondérés ( ;);( ;1) ) Ω est équidistant des points I, J et K, donc comme Ω est coplanaire avec les points I, J et K, on peut en déduire que Ω est le centre du cercle circonscrit au triangle IJK On se place alors dans le repère orthonormé A; AD, AB, AE 56

57 ) Dans ce repère, les coordonnées des sommets du cube sont les suivants : A = 0 ; B = ; C = ; D = 0 ; E = 0 ; F = E F I = bar I = ( 0;1; ) 1 B F J = bar J = ( 0;;1) 1 G C IK= bar K = ( ;; ) 1 ; G = H = 0 4 ) P = ( ;0;0) et Q = ( 1;; ), la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK) si et seulement si le vecteur PQ est orthogonal au vecteur IJ et IK, c est-à-dire si et seulement si, on : PQ IJ = 0 = ( ) = 0 et PQ IK = 0 = ( 1) = 0 1 Donc (PQ) est orthogonale au plan (IJK) =. a) Soit L le milieu du segment [IJ], alors MI = MJ LM IJ = 0 LM IJ = y z, d où MI = MJ y z = 0 5 De même, si S est le milieu de [IK], alors IM = IK SM IK = 0, or S = ;;, donc 5 5 SM = x ; y ; z, d où SM IK = x + ( y ) z = x + y z 6, donc IM = IK SM IK = x + y z = 6. 5 ) Soit M ( x; y; z) D où M ( ), or L = ( 0;; ) et LM = ( x; y ; z ) x + y z = 6 y z = 0 est une droite, qui est l intersection des plans médiateurs des segments [IJ] et [IK]. ( ) b) Comme P = ( ;0;0) et Q = ( 1;; ), on vérifie aisément que P et Q appartiennent bien à la droite ( ), donc ( Facile). 6 ) a) On a vu que le vecteur PQ est orthogonal au vecteur IJ et au vecteur IK. Donc le vecteur PQ PQ = 1;; est un vecteur normal au plan (IJK), et comme ( ), une équation cartésienne de ce plan (IJK) est alors donné par x + y + z = d, avec d R. Mais comme le point ( 0;1; ) Plan ( IJK ) I =, on a donc 1 d = d où Plan ( IJK ) : x + y + z = 1 b) Le point Ω appartient à la droite ( ) et au plan (IJK), donc ses coordonnées sont solutions du système y z = 0 x + y z = 6, qui après résolution très simple donne comme résultat x + y + z = d où Ω = ; ; x = ; y = et z =

58 VIII ) Exercice n 9. 1 ) Un vecteur n 1 normal au plan ( P 1 ) est n 1 = ( ;1;1 ), et un vecteur n normal au plan ( P ) est n = ( 1; ; 4) ces deux vecteurs sont non nulle et de plus n1 n = 1+ 1 ( ) = 0 ces deux vecteurs sont alors orthogonaux, donc les deux plans ( P ) ( P ). 1 (le repère étant orthonormé ), donc ) En posant z = t, les coordonnées de la droite commune à ces deux plans, vérifient le système suivant : x = 7 + t x + y = 6 t x = 7 + t, conclusion ( P1 ) ( P ) = ( D) : y = 8 + t avec t R x y = 9 4t y = 8 + t z = t ) a) On a et , donc A ( P ) et A ( P ) 1 b) AM = ( x + 9) + ( y + 4) + ( z + 1) = ( + t) + ( 4 + t ) + ( t + 1) = 14t 14t + 1 = 7( t t + ), 1 c) f ( t) = t t + et f '( t) = 4t, donc cette fonction f est décroissante sur ; 1 ; + et a un minimum en x =, qui vaut f =, et le point correspondant est 1 1 M min = I = 6; ; et croissante sur 4 ) a) La représentation paramétrique de la droite (D) dont les coordonnées d un vecteur directeur sont les q = ;;1 et donc une équation de ce plan coordonnées d un vecteur normal au plan (Q), soit le vecteur ( ) (Q) est alors ( Q) : x + y + z + d = 0 et comme A ( Q) d 0 d 1 ( Q) : x + y + z + 1 = 0 + = =, donc b) Le triangle AMI est rectangle en I, le coté [AI] a une longueur inferieure à celle de l hypoténuse [AM], donc I est bien le projeté orthogonal du point A sur la droite (D). IX ) Exercice n 0. 1 OM OL a 1 ) Soit V, le volume du tétraèdre MODL, on a donc V = OD, soit V = en u.v. 6 ) Dans ce repère, on obtient les coordonnées de tout les points facilement et on en déduit que OK = ( 1;1; a), MD = ( a;0;1) et ML = ( a; a;0), donc le repère est orthonormé on a OK MD = 0 et OK ML = 0, or OK 0, MD 0, ML 0 OK MD OK ML, ce qui prouve que, donc ( ) ( ) et ( ) ( ) ( OK ) Plan( MDL) ) a) ( OH ) Plan( MDL), donc ( OH ) ( HM ) et le point H est le projeté orthogonal du point M sur la droite (OH). d'où OM OK = OH OK OM = a; 0;0 OK = 1;1; a, donc OM OK = a, d'où OH OK = a, or OH = λok, donc b) ( ) OK a et ( ) a λ = a + λ = et donc 58

59 a c) OH = λok, avec λ = a + et OK = ( 1;1; a), donc a ; a ; a H = a + a + a + a a a a a d) OH = + + =, donc OH = car a > 0 a + a + a + a + a + 1 e) V = Aire( MDL) OH, or le triangle MDl est isocèle en D, avec DL = DM = a + 1 et LM DI LM = a, donc Aire( MDL) =, où le point I est le milieu du segment [LM]. 1 a + Donc DI a 1 le même résultat qu'au 1 ). a + a 1 = + =, d'où V = = ( en u.v. ) X ) Exercice n 1. Baccalauréat S PONDICHERY 16 avril ) On utilise trois fois le barycentre partiel. 6 Avec I et J, c est-à-dire que G devient le barycentre du système {( I, );( J, ) }, donc G ( IJ ) G milieu de [ IJ ]. Avec K et L, c est-à-dire que G devient le barycentre du système {( L, );( K,)}, donc G ( LK ) G milieu de [ LK ]. Avec M et N,c est-à-dire que G devient le barycentre du système {( M, );( N, ) }, donc G ( MN ) G milieu de [ MN ]. Donc les trois droites (IJ), (KL) et (MN) sont concourantes en G ) a) Gm[ IJ ] et [ ] a a + a, et on retrouve bien et de plus et de plus et de plus Gm KL donc le quadrilatère IKJL a ses diagonales qui se coupent en leur milieu G, donc IKJL est un parallélogramme de centre G. De plus dans le triangle ABC, si on applique le théorème des milieux, on a IK = AC, soit IK = AC, mais par hypothèse AC = BD, donc IK = BD ( i). De même dans le triangle 1 1 BCD, si on applique le théorème des milieux, on a KJ = BD, soit KJ = BD ( ii ). Donc les deux relations ( i ) = KJ, donc le parallélogramme IKJL à deux cotés consécutifs égaux, c est donc et ( ii ) permettent d écrire que IK un losange. Conclusion : IKJL est un losange. On démontre de même (a faire au moins une fois) que IMJN est un losange. et KNLM est un losange. b) Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires, donc IKJL étant un losange, on en déduit alors que IJ KL. ( ) ( ) De même IMJN étant un losange, on en déduit alors que ( IJ ) ( MN ) alors que ( KL) ( MN ). et KNLM étant un losange, on en déduit 59

60 ) a) Les droites (KL) et (MN) étant sécantes en G, donc las 4 points K, L, M et N définissent un plan, le plan (MNK). IJ KL IJ MN, qui est une droite de ce plan (MNK), De plus ( ) ( ), qui est une droite de ce plan (MNK) et ( ) ( ) donc la droite (IJ) étant perpendiculaire à deux droites sécantes et non confondues de ce plan, on en déduit que IJ Plan MNK ( ) ( ) b) ( IJ ) Plan( MNK ), donc (IJ) sera orthogonale a toute droite de ce plan, en particulier à le droite (MK), d où MK, alors IJi MK = 0 ( IJ ) ( ) Si on applique le théorème des milieux au triangle ABC, car M est le milieu de [AC] et K le milieu de [BC], 1 1 alors on a : MK = AB, d où, on peut en déduire, avec le fait que IJiMK = 0 IJi AB = 0, soit IJi AB = 0 IJ AB donc ( ) ( ) Enfin (IJ) est perpendiculaire au plan (MNK), donc ( IJ ) ( ML), car (ML) est une droite du plan (MNK) ( étant donné que ce plan passe par les 4 points K, L, M et N). Donc IJi ML = 0, et si dans le triangle ACD, on applique 1 une nouvelle fois le théorème des milieux, car L est le milieu de [AD] et M le milieu de [AC], alors ML = CD, d où IJiML = 0 IJiCD = 0 soit IJi CD = 0, c est-à-dire que IJ CD. Cqfd. En conclusion, pour cette question b) du ) On a : ( ) ( ) ( IJ ) ( MK ) ( IJ ) ( AB) ( IJ ) ( CD) c) ( IJ ) ( AB) ; et., implique que (IJ) appartient donc au plan orthogonal à la droite (AB) passant par I, avec I le milieu du segment [AB], donc la droite (IJ) appartient au plan médiateur du segment [AB] et de plus d après le 1 ) G IJ G au plan médiateur de AB., comme ( ), on en déduit que [ ] De même ( IJ ) ( CD), implique que (IJ) appartient donc au plan orthogonal à la droite (CD) passant par J, avec J le milieu du segment [CD], donc la droite (IJ) appartient au plan médiateur du segment [CD] et de plus G IJ G au plan médiateur de CD. d après le 1 ), comme ( ), on en déduit que [ ] d) Pour démonter que le point G est le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD, il faut démontre que GA = GB = GC = GD? Pour cela, on vient de démontrer que : G au plan médiateur de AB, donc GA = GB ❶. [ ] G au plan médiateur de [ CD], donc GC = GD ❷. On a montré précédemment que ( IJ ) Plan( MNK ) et on montre en procédant de la même manière que pour cette question ( c est très long) que ( KL) Plan( MNJ ), puis ( KL) ( BC), car la droite (BC) est incluse dans le plan (MNJ). Donc la droite (KL) appartient au plan orthogonal à la droite (BC) passant par K avec K le milieu du segment [BC], donc (KL) appartient au plan médiateur du segment [BC], or d après G LK G au plan médiateur de BC, ce qui entraine que GB = GC ❸. le 1 ), ( ), donc [ ] En réunissant les trois relations précédentes ❶, ❷ et ❸ on peut alors en déduire que GA = GB = GC = GD, donc G est bien le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. 60

61 XI ) Exercice n. 1 OM OL a 1 ) Soit V, le volume du tétraèdre MODL, on a donc V = OD, soit V = en u.v. 6 ) Dans ce repère, on obtient les coordonnées de tout les points facilement et on en déduit que OK = ( 1;1; a), MD = ( a; 0;1) et ML = ( a; a;0), donc le repère est orthonormé on a OK MD = 0 et OK ML = 0, or OK 0, MD 0, ML 0 OK MD OK ML, ce qui prouve que, donc ( ) ( ) et ( ) ( ) ( OK ) Plan( MDL) ) a) ( OH ) Plan( MDL), donc ( OH ) ( HM ) et le point H est le projeté orthogonal du point M sur la droite (OH). d'où OM OK = OH OK OM = a; 0;0 OK = 1;1; a, donc OM OK = a, d'où OH OK = a, or OH = λok, donc b) ( ) et ( ) a λ = a + λ OK = a et donc a c) OH = λok, avec λ = a + et OK = ( 1;1; a), donc a ; a ; a H = a + a + a + a a a a a d) OH = + + =, donc OH = car a > 0 a + a + a + a + a + 1 e) V = Aire( MDL) OH, or le triangle MDl est isocèle en D, avec DL = DM = a + 1 et LM DI LM = a, donc Aire( MDL) =, où le point I est le milieu du segment [LM]. 1 a + Donc DI a 1 le même résultat qu'au 1 ). a + a 1 = + =, d'où V = = ( en u.v. ) 6 a a + a, et on retrouve bien 61

62 XII ) Exercice n. A) Démonstration : ROC DISTANCE D UN POINT A UNE DROITE (hors programme en 01). ( ) La distance dist A; ( d ) H ( d ). = AH ou le point H ( x ; y ) est le projeté orthogonal du point A sur la droite (d) et donc H H De plus on les deux vecteurs AH et n sont colinéaires, car n = ( a; b) étant un vecteur normal de la droite (d), xh xa a xh = λa + xa donc il existe un réel λ tel que AH = λn = λ, et comme le point H ( d ), les yh ya b yh = λb + ya coordonnées du point H vérifient l équation de (d) ce qui donne ( axa + bya + c) axh + byh + c = 0 a ( λa + xa ) + b( λb + ya ) + c = 0 λ = a + b et a + b 0 car a et b non tous les deux nuls. axa + bya + c Comme AH = λn AH = λ n dist ( A, H ) = a + b a + b et donc axa + bya + c dist ( A; ( d )) =, CQFD. a + b 6

63 B) Démonstration : ROC DISTANCE D UN POINT A UN PLAN (Hors programme en 01) ( ) La distance ;( ) donc H ( P). dist A P AH = ou le point ( ; ; ) H x y z est le projeté orthogonal du point A sur le plan (P) et H H H sont colinéaires, car ( ) De plus on les deux vecteurs AH et n n = a; b; c étant un vecteur normal au plan (P) et le vecteur AH est un autre vecteur normal de ce même plan, ils sont donc colinéaires, donc il existe un réel λ tel que xh xa a xh = λa + xa AH = λn yh ya = λ b yh = λb + ya, et comme le point H ( P), les coordonnées du point H vérifient zh z A c zh = λc + za l équation de (P) ce qui donne ( ) ( ) ( ) ax + by + cz + d = 0 a λa + x + b λb + y + c λc + z + d = 0 λ = H H H A A A a + b + c 0 car a et b et c non tous nuls. axa + bya + cz A + d AH = λn AH = λ n dist A, H = a + b + c a + b + c Comme ( ) ( ax + by + cz + d ) A A A a + b + c et donc et dist A ax + by + cz + d A A A ( ;( P) ) = a + b + c, CQFD. 6

64 XIII. PROBLEMES DE SECTIONS PLANES. : CORRECTIONS. I ) Exercice n 4. On considère un cube ABCDEFGH donné en annexe qui est à rendre avec la copie une fois complété. 1 On note M le milieu du segment [ EH ], N le milieu du segment [ FC ], et P le point tel que HP = HG. 4 Partie A : Section du cube par le plan (MNP). 1 ) Justifier que les droites ( MP) et ( FG ) sont sécantes en un point L. Construire ce point L. Les deux droites ( MP) et ( FG ) sont toutes les deux incluses dans la plan ( ) EFGH et comme elles ne sont pas de façon colinéaires, on en déduit qu elles sont sécante s en un point L, que l on peut construire aisément en traçants MP et FG. les deux droites ( ) ( ) ) Avec le même type de justification, on démontre que les droites ( LN ) et ( ) point d intersection, et également que les droites ( LN ) et ( ) CG sont sécante et on note T leur BF sont sécante et on note Q leur point d intersection. a) Construire les deux points T et Q en laissant apparents les traits de construction. Voir figure, les droites ( LN ), ( BF ) et ( CG ) sont incluses dans le même plan ( BCGF ). b) Construire l intersection des deux plans ( MNP) et ( ABF ). Ces deux plans ( MNP) et ( ) ( ), et donc pour construire cette droite ( ) il suffit de trouver deux points distincts de cette droite ( ) Le point Q ( MNP) car Q ( LN ) Plan( MNP) ( MNP ). Le point Q ( ABF ) car Q ( BF ) Plan( ABF ), car la droite ( BF ) est une droite de ce plan ( ABF ) Conclusion : Q ( ) intersection des deux plans ( MNP) et ( ABF ) [ 1] ABF ne sont pas parallèles, ils se coupent donc selon un droite noté par exemple, car les deux points L et N sont deux points de ce plan Dans le plan ( EFG ) les droites ( MP) et ( ) même plan, elles se coupent donc en un point noté K et ce point K appartient alors Plan( MNP ) car ce point K ( MP) Plan( MNP), de même K appartient au Plan( ABF ) car K ( EF ) Plan( ABF ).. EF ne sont pas parallèles, et étant donné qu elles sont dans le Conclusion : K ( ) intersection des deux plans ( MNP) et ( ABF ) [ ] D où avec [ 1 ] et [ ], on en déduit que les deux plans ( MNP) et ( ABF ) se coupent selon la droite ( ) = ( QK ) 64

65 Voir construction page. ) En déduire une construction de la section du cube ABCDEFGH par le plan ( MNP ). Si pose R le point d intersection des deux droites ( AE) et ( QK ), alors la section du cube par le plan ( MNP ) est le polygone MPTQR. Voir construction page. FIGURE 65

66 Partie B : Calculs analytiques.. L espace est rapporté au repère ( A; AB, AD, AE). 1 ) Donner les coordonnées des trois points M, N et P dans ce repère ( A; AB, AD, AE) Dans ce repère les coordonnées des différents points de cette figure sont les suivants : A 0, B 0, D 1 et E 0. On en déduit alors par simple lecture dans ce repère : C 1, H 1, F 0 et G M le milieu du segment [ EH ] donc M 1 M N le milieu du segment [ FC ], donc N N 1 et P le point tel que xp HP = HG, donc yp 1 = zp P 1 1 ) Déterminer les coordonnées du point L. MP et FG sont sécantes en un point L. On donne donc une représentation paramétrique de ces Les droites ( ) ( ) deux droites : 0, 5 MP = 0,5, donc une représentation paramétrique de la droite (MP) est alors : 0 66

67 x = 0, 5t ( MP) : y = 0,5 + 0,5 t avec t R z = 1 0 FG = 1, donc une représentation paramétrique de la droite (FG) est alors : 0 x = 1 ( FG) : y = t ' avec t ' R z = 1 Pour déterminer les coordonnées du point d intersection de ces deux droites, on résous le système composé par les deux équations, ce qui donne 1 0, 5t = 1 x = 0, 5t t = 4 5 0,5 + 0,5 t = t ' et t = 4 dans ( MP) : y 0,5 0,5t t ' =,5 = + donne L 1 = 1 z = 1 1 x = 1 5 Vérification : avec t ' =,5 dans ( FG) : y = t ' donne aussi L 1; ;1 z = 1 ) Déterminer les coordonnées du point T. LN et CG sont sécantes en un point T. On donne donc une représentation paramétrique de ces Les droites ( ) ( ) deux droites : 0 LN =, donc une représentation paramétrique de la droite (LN) est alors : 0,5 x = 1 ( LN ) : y =,5 a avec a R z = 1 0,5a 0 CG = 0, donc une représentation paramétrique de la droite (CG) est alors : 1 x = 1 ( CG) : y = 1 avec b R z = b Pour déterminer les coordonnées du point d intersection de ces deux droites, on résous le système composé par les deux équations, ce qui donne 1 1 = a = 4,5 a = 1 et 5 1 0,5a b = b = 8 Vérification : avec a = dans ( ) b = dans ( CG) x = 1 LN : y =,5 a donne z = 1 0,5a x = 1 : y = 1 donne aussi T 5 1;1; z = b 8 1 T

68 4 ) Le triangle TPN est-il rectangle en T? Première méthode : On calcule les distances dans ce repère orthonormé : TP = 1 + ( 1 1) + 1 = + = TN ( ) = = + = NP = = + + = = Comme + on en déduit d près la réciproque du théorème de Pythagore que le triangle TPN n est pas rectangle. Première méthode : On calcule le produit scalaire des deux vecteurs : TP TN = 0 et comme le repère est orthonormé, on obtient TP TN = 0 = = 0, donc ces deux vecteurs ne sont pas orthogonaux, on en déduit alors que le triangle TPN n est pas rectangle en T. 68

69 II ) Exercice n 5. ABCDEFGH désigne un cube de coté 1. Le point I est le milieu du segment [ BF ], le point J est le milieu du segment [ BC ], et le point K est le milieu du segment [ CD ] comme indique sur la figure ci-contre. Partie A. Dans cette partie on ne demande aucune justification. On admet que les droites ( IJ ) et ( ) apparents les traits de construction : Le point L. L intersection ( D ) des plans ( IJK ) et ( CDH ). La section du cube ABCDEFGH par le plan ( IJK ). CG sont sécantes en un point L. Construire, sur la figure, et en laissant Partie B : Calculs analytiques. 69

70 . L espace est rapporté au repère ( A; AB, AD, AE). 1 ) Donner les coordonnées des points A, G, I, J et K dans ce repère ( A; AB, AD, AE) On obtient de façon assez simple les coordonnées des points : ,5 A 0 ; G 1 ; I 0 ; J 0,5 et K ,5 0 0 ) a) Montrer que le vecteur AG est un vecteur normal du Plan( IJK ). Ce vecteur doit être orthogonale a deux vecteurs directeurs non colinéaires de ce plan, car les trois points I, J et K ne sont pas alignés, pour cela, le repère étant orthonormé, on calcule les produits scalaires des vecteurs : 1 0 AG IJ = 1 0,5 = ,5 + 1 ( 0,5) = 0,5 0,5 = ,5 1 0,5 AG IK = 1 1 = 1 ( 0,5) ( 0,5) = 0, ,5 = ,5 1 Conclusion : le vecteur AG 1 1 est un vecteur normal du Plan( IJK ). b) En déduire alors une équation cartésienne du Plan( IJK ). En utilisant le vecteur normal précédent, on obtient : Plan IJK x y z d ( ) : = 0, qui passe, par exemple par le point ( 1; 0;0,5) Plan( IJK ) : , 5 + d = 0 d = 1,5 = Plan( IJK ) : x y z 0 Plan IJK x + y + z = I donc + + = ou bien ( ) : 0 ) On désigne par M un point du segment [AG] et t le réel appartenant à l intervalle [ ] a) Démontrer que MI = t t ;1 tel que AM = t AG. x 0 t t AM = t AG AM = t ( 1;1;1 ) y 0 = t M t, on calcule alors z 0 t t MI = ( 1 t ) + ( 0 t ) + t = t t + 1+ t + t + t = t t +, donc 4 4 MI = t t b) Démontrer que la distance MI est minimale pour le point N ; ;. 70

71 On introduit la fonction f ( t) t t t [ 0;1] = +, soit un trinôme, comme a = > 0, alors cette fonction 4 b b admet un minimum de coordonnées S = ; f ; f ; f ; ; a a = 6 6 = = + = Et si on calcule NI = = Donc la distance MI est minimale pour le point N ; ; ) Démontrer que pour ce point N ; ; : Plan IJK. a) N appartient au ( ) Le plan (IJK) a pour équation : x + y + z = 0, et le point puisque = =, donc N appartient au Plan( IJK ) N ; ; appartient bien a ce plan b) La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF). Avec les produits scalaire étant donné que le repère est orthonormé : IN AG ( ) ( ) 0,5 1 IN AG = 0,5 1 = 0,5 1+ 0, = 0,5 + 0,5 = ( IN ) ( BF ) 0,5 0 IN BF = 0,5 0 = 0, , = Conclusion : La droite (IN) est perpendiculaire aux droites (AG) et (BF). 71

72 III ) Exercice n 6. 1 ) PARTIE. Dans chaque cas tracer la section du cube ABCDEFGH par le Plan( IJK ). On nommera les points de construction. 1 CAS : [ ] [ ] [ ] I EF ; J EH et K AB. Réponse : Le point M est le point d intersection des droites ( JL) et ( IK ). On trace évidement en pointillés les morceaux de droites qui sont cachés puis on colorie la section, ce qui donne la figure ci-dessous : La section du cube ABCDEFGH est alors le quadrilatère IJKL Et ce quadrilatère est un trapèze, que l on justifie aisement grace au parallélisme des faces opposées dans un cube. C est-à-dire si un plan coupe deux plans parallèles alors les droites d intersection sont parallèles. On dit qu on obtient une section trapézoïdale. 7

73 CAS : [ ] [ ] [ ] I EF ; J GH et K BC. On cherche la section de ce cube par le plan Plan( IJK ), on obtient, première étape, on trace les droites en rouges : Les droites ( IJ ) et ( FG ) qui se coupent en R. La droite ( RK ) coupe (GC) en L et (FB) en S. Du point I on trace une parallèle à la droite (JL) qui coupe (AB) en M et qui passe par S. On trace le segment [MK]. Puis, étape on obtient une section pentagonale, La section du cube ABCDEFGH est alors le pentagone IJLKM. 7

74 ) PARTIE. Dans chaque cas représenter cube ABCDEFGH puis placer les points M et N comme indiquer dans les deux cas, et construire la section du cube par le Plan( AMN ). 1 CAS : ] [ ] [ M BC et N EF. On cherche la section du cube ABCDEFGH par le Plan( AMN ), on commence alors par tracer les morceaux de section que l on connait, puis on effectue un tracé hors solide de la manière suivante : Puis La section est alors le trapèze AMPN On obtient une section trapézoïdale. 74

75 CAS : ] [ ] [ M BC et N GH. On cherche la section du cube ABCDEFGH par le Plan( AMN ), on commence alors par tracer les morceaux de section que l on connait, puis on effectue un tracé hors solide de la manière suivante : Puis La section est alors le pentagone AMPNQ Ce n est pas un pentagone régulier, la seule chose que l on puisse formuler c est que les droites (AQ) et (MP) d une part et que les droites (NQ) et (AM) d autre part sont parallèles. On obtient une section pentagonale. 75

76 ) PARTIE. Tracer la section du tétraèdre par le Plan( IJK ) La seule méthode possible pour ce cas c est la méthode du tracé hors solide, ce qui donne, successivement les constructions ci-dessous : puis La section de ce tétraèdre est alors le quadrilatère IJLK C est un quadrilatère quelconque. 76

77 4 ) PARTIE. Représenter le cube ABCDEFGH et un point I fixé sur le segment ] AB[ puis construire la section du cube par le Plan( ICH ). Première figure Puis Et enfin 77

78 Puis La section de ce cube par le plan (ICH) est alors le quadrilatère ICHJ C est un trapèze, la démonstration est assez facile à l aide du parallélisme des faces opposées dans un cube. De même on a bien IC = JH. 5 ) PARTIE. Représenter le cube ABCDEFGH et construire la section du cube par le Plan( IJK ). On peut utiliser la méthode du parallélisme ou du tracé hors solide. Ma méthode par parallélisme est facile à mettre en œuvre. 78

79 La section de ce cube est alors le quadrilatère IJKL qui est un parallélogramme 79

80 IV ) Exercice n 7. ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle (un pavé droit). Les points I, J et K sont placés comme indique sur la figure. L objectif de ce problème est de tracer la section de ce pavé droit ABCDEFGH par le Plan( IJK ) 1 ) Tracer le segment intersection du Plan( IJK ) avec la face( EFGH ). Le segment [ IJ ] appartient aux deux plans ( IJK ) et ( EFGH ) donc c est l intersection du Plan( IJK ) avec la face( EFGH ). ) Tracer le segment intersection du Plan( IJK ) avec la face( ABFE ). Le segment [ JK ] appartient aux deux plans ( IJK ) et ( ABFE ) donc c est l intersection du ( ) ) a) Explique pourquoi les droites ( IJ ) et ( ) Les deux droites ( IJ ) et ( ) Plan IJK avec la face( ABFE ). FG sont sécantes. On note L leur point d intersection. FG sont coplanaires (sur le plan (EFGH)) et dans ce plan ces deux droites ne sont pas parallèles, car le point J n appartient pas au segment [EH], elles sont donc sécantes en un point noté L. b) Déterminer la droite d intersection des plans ( IJK ) et ( ) Plan( IJK ) avec la face( BCGF ). Puisque le point L est le point d intersection des deux droites ( IJ ) et ( ) point de ( IJ ) alors L appartient au Plan( IJK ) et L est aussi un point de la droite ( ) au Plan( BCGF ). De plus K est un point commun aux deux plans ( IJK ) et ( BCGF ). Ainsi le segment intersection du Plan( IJK ) avec la face( BCGF ) est le segment [ KL ] BCGF. Tracer alors le segment intersection du FG, on en déduit que si L est un FG donc L appartient 80

81 4 ) Comment sont les plans ( ABCD) et ( EFGH )? Tracer alors le segment intersection du ( ) Plan IJK avec la face( ABCD ). Les plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles. On trace le point M intersection des droites (JK) et (AB) dans la face (ABFE). Le point M appartient à la face (ABCD) puisqu il appartient à la droite (AB) et appartient au plan (IJK) puisqu il appartient à la droite (JK). Le point M appartient donc à l intersection des deux plans (IJK) et (ABCD). Puisque les deux plans (ABCD) et (EFGH) sont parallèles, il existe dans le plan (ABCD) une parallèle à la droite (IJ) passant par M. cette parallèle est entièrement contenue dans le plan (IJK) car elle est parallèle à (IJ) et passe par un point M appartenant au plan (IJK). Notons N et P les points d intersection de cette parallèle avec respectivement les droites (BC) et (DC). Ces points appartiennent au plan (IJK) ainsi qu au plan (ABCD), car ils appartiennent aux droites (BC) et (CD). Le segment intersection du plan (IJK) avec la face (ABCD) est donc le segment [NP]. 5 ) Poursuivre et terminer le tracé de la section du pavé droit ABCDEFGH par le Plan( IJK ). L intersection du plan (IJK) et de la face (BCGF) est le segment [KN] car les deux points appartiennent au plan (IJK), par construction du point N et à la face (BCGF). Notons Q le point d intersection de (NP) et (AD), alors Q appartient au plan (IJK) puisque (NP) est entièrement contenue dans ce plan. De plus Q appartient à la face (ADHE) car il appartient à (AD). Finalement Q appartient aux deux plans (IJK) et (ADHE). Si on note R l intersection de (IQ) et (HD), le segment intersection du plan (IJK) et de la face (ADHE) est le segment [IR]. Enfin le segment intersection de la face (DCGH) et du plan (IJK) est le segment [RP]. 81

82 6 ) La parallélépipède ABCDEFGH étant coupé en deux par Plan( IJK ), représenter ci-dessous chacune des deux parties obtenues. 8