I. Éléments propres d un endomorphisme Endomorphismes diagonalisables et trigonalisables Cas des matrices carrées
|
|
- François Bessette
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Réduction On note K = R ou C ; E, E i, F désignent des K-espaces vectoriels I Éléments propres d un endomorphisme II III Endomorphismes diagonalisables et trigonalisables Cas des matrices carrées Définition 1 Vecteur propre, valeur propre, sous-espace propre Soit M M n (K On appelle valeur propre de M tout scalaire λ K pour lequel il existe un vecteur u K n tel que u 0 et Mu = λu (on dit alors que u est un vecteur propre pour M associé à la valeur propre λ On appelle vecteur propre de M tout vecteur u K n tel que u 0 et Mu Vect(u Si λ K est une valeur propre de M, l ensemble E λ (M = { u K n Mu = λu } est appelée sous-espace propre de M associé à λ On note Sp(M l ensemble des valeurs propres de M Remarque Si M M n (K et f L (K n est l endomorphisme canoniquement associé à M, alors : Sp(M = Sp(f (les valeurs propres de M sont celles de f ; Quel que soit λ Sp(M, E λ (M = Ker(f λid = E λ (f Remarque Une matrice M M n (R peut être considérée comme une matrice de M n (C On note Sp R (M le spectre de M en tant que matrice de M n (R et Sp C (M son spectre en tant que matrice de M n (C Définition 2 Polynôme caractéristique Soit M M n (K On appelle polynôme caractéristique de M le polynôme χ M K[X ] défini par : x K, χ M (x = ( 1 n det(m x id = det(x id M 1
2 Remarque Si f L (K n est l endomorphisme canoniquement associé à M, alors χ M = χ f Proposition 3 Caractérisation des valeurs propres Soient M M n (K et λ K On a équivalence entre : (i λ est valeur propre de M ; (ii λ est racine de χ M ; (iii M λi n n est pas inversible; (iv rg(m λi n < n ; (v λ est valeur propre de f L (K n canoniquement associé à M Définition 4 Matrice diagonalisable, trigonalisable Soit M M n (K On dit que M est diagonalisable lorsqu il existe P GL n (K telle que P 1 MP soit diagonale On dit que M est trigonalisable (ou triangulable lorsqu il existe P GL n (K telle que P 1 MP soit triangulaire supérieure Proposition 5 Caractérisation des matrices diagonalisables Soit M M n (K On a équivalence entre : (i M est diagonalisable ; (ii La somme des dimensions des sous-espaces propres de M est égale à n ; (iii Le polynôme caractéristique χ M est scindé et pour toute valeur propre λ de M, la multiplicité de λ (en tant que racine de χ M est égale à la dimension de E λ (M; (iv L endomorphisme f L (K n canoniquement associé à M est diagonalisable Corollaire 6 Condition suffisante de diagonalisabilité Soit M M n (K Si χ M est scindé à racines simples, alors M est diagonalisable (réciproque fausse et ses sous-espaces propres sont de dimension 1 Théorème 7 Caractérisation des matrices trigonalisables Soit M M n (K On a équivalence entre : (i Le polynôme χ M est scindé ; (ii La matrice M est trigonalisable; (iii L endomorphisme f L (K n canoniquement associé à M est trigonalisable En particulier : toute matrice M est trigonalisable dans M n (C 2
3 Corollaire 8 Trace et déterminant fonction des valeurs propres Si M M n (K et le polynôme χ M est scindé, noté sous la forme : p χ M = (X λ k m k k=1 avec λ 1,,λ p disctinctes et m 1,,m p N, alors : det M = p k=1 λ m k k p tr M = m k λ k k=1 Remarque Ce résultat est valable même si M M n (R et λ 1,,λ n sont les valeurs propres complexes de A Proposition 9 Invariants sur les matrices semblables Soient A,B M n (K Si A et B sont des matrices semblables, alors rg A = rgb, det A = detb, tr A = trb et χ A = χ B (réciproque fausse
4 Les résultats à connaitre Droite stable par un endomorphisme Définition : valeur propre, vecteur propre, sous-espace propre Si deux endomorphismes commutent, les sous-espaces propres du premier sont stables par le second Une somme de sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes est directe Une famille de vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes est libre Définition : polynôme caractéristique Caractérisation des valeurs propres d un endomorphisme en dimension finie Comparaison entre la dimension d un sous-espace propre et la multiplicité de la valeur propre Définition : endomorphisme diagonalisable Caractérisation : somme des dimensions des sous-espaces propres, base de vecteurs propres, matrice diagonale Caractérisation par le polynôme caractéristique Cas d un endomorphisme possédant n valeurs propres distinctes Contre-exemple pour la réciproque Définition : endomorphisme trigonalisable Caractérisation par le polynôme caractéristique Calcul de la trace et du déterminant lorsque le polynôme caractéristique est scindé Cas des matrices carrées : reformulation des résultats précédents Deux matrices semblables ont même trace, même déterminant et même polynôme caractéristique Contre-exemple pour la réciproque Quelques objectifs du chapitre Savoir diagonaliser des matrices et des endomorphismes donnés explicitement Savoir passer d un endomorphisme à une matrice et inversement pour obtenir des informations sur la réduction Savoir appliquer la réduction à la recherche du commutant, de racines carrées de matrices ou d endomorphismes, au calcul de puissances, à l étude des sous-espaces stables Savoir obtenir des informations sur les éléments propres à partir du rang, du noyau, de la trace, du déterminant, etc Savoir traduire matriciellement une relation de récurrence linéaire et utiliser la réduction En pratique Comment déterminer les éléments propres? Pour déterminer les éléments propres de f L (E :
5 Si E est de dimension finie, les valeurs propres sont les racines de χ f (polynôme caractéristique de f et pour chaque valeur propre, on détermine le sous-espace propre associé; On peut également partir de l équation f (x = λx dont on cherche les solutions avec λ K et x E, x 0 Dans le cas d une matrice A M n (K, on peut obtenir certains éléments propres de la manière suivante : Si rg A = p < n, alors 0 est valeur propre de A et le sous-espace propre associé, E 0 (A, est de dimension n p ; Si la somme des coefficients de chaque ligne de A est constante, égale à s K, alors s est valeur propre de A et le vecteur est un vecteur propre associé; De manière plus générale, si on note c 1,,c n le colonnes de A et x = Ax est une combinaison linéaire des colonnes de A, précisément : ( 1 1 ( x1 K n, alors x n Ax = x 1 c x n c n ce qui permet parfois de trouver des vecteurs propres particuliers Lorsqu il ne manque que quelques valeurs propres, se rappeler que tr A et det A sont respectivement la somme et le produit des valeurs propres (dans C de A, comptées avec multiplicité Utilisation d un polynôme Supposons que f L (E et que l on dispose de scalaires a 0,, a p K tels que : a p f p + + a 1 f + a 0 id = 0 Si λ est une valeur propre de f et x est un vecteur propre associé, alors : a p λ p x + + a 1 λx + a 0 x = 0 et comme x 0, on a a p λ p + + a 1 λ + a 0 = 0 de sorte que λ est une racine du polynôme P = a p X p + + a 1 X + a 0 Les valeurs propres de f se trouvent donc parmi les racines de P (il faut savoir refaire ce raisonnement Quelques «types» particuliers de matrices et d endomorphismes Pour un endomorphisme f : K n [X ] K n [X ], écrire l équation f (P = λp et chercher les solutions λ K et P K n [X ], P 0 Considérer en particulier le degré d une solution P de cette équation On peut aussi écrire la matrice de f dans une base bien choisie et s intéresser à ses éléments propres ; Pour un endomorphisme f : M n (K M n (K dont l expression fait intervenir une matrice A, utiliser les éléments propres de A ; Pour une matrice définie avec des blocs A 1,, A p, utiliser les éléments propres de ces blocs
6 Comment montrer qu un endomorphisme/une matrice est diagonalisable? Pour montrer que f est diagonalisable, on peut : Montrer que la somme des dimensions des sous-espaces propres de f est égale à dime ; Montrer que la dimension de chaque sous-espace propre E λ (f est égale à la multiplicité de λ en tant que racine de χ f Les raisonnements suivants sont également souvent utilisés : Si χ f est scindé à racines simples dans K, alors f est diagonalisable ; Si f possède n valeurs propres distinctes avec n = dime, alors f est diagonalisable Ces deux derniers points sont des conditions suffisantes mais non nécessaires On verra plus tard le résultat suivant : Si une matrice carrée A est symétrique et réelle, alors il existe une matrice orthogonale P telle que P AP soit diagonale (en particulier, A est diagonalisable puisque P = P 1 si P est orthogonale Comment montrer qu un endomorphisme/une matrice est trigonalisable? Pour montrer que A M n (K est trigonalisable, on peut montrer que son polynôme caractéristique est scindé (sur K Toute matrice carrée A est trigonalisable dans C Comment utiliser le fait que f est diagonalisable? Supposons f L (E diagonalisable, alors : Dans une base de E constituée de vecteurs propres pour f, la matrice de f est diagonale ce qui permet de caculer facilement les f k pour k N (et même k Z si f est inversible ; Notons λ 1,,λ k les valeurs propres distinctes de f, E 1 = E λ1 (f,,e k = E λk (f les sous-espaces propres associés, alors E = E 1 E k et en notant p 1,, p k les projecteurs associés à cette décomposition, on peut écrire f comme combinaison linéaire : f = λ 1 p λ k p k Ceci permet également de résoudre des systèmes d équations différentielles associés à f, ou de déterminer l expression de suites récurrentes ; Si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f, alors l endomorphisme induit f F est diagonalisable Diagonaliser permet également de «simplifier» certains problèmes, notamment : Les systèmes d équations différentielles linéaires et les systèmes de suites récurrentes linéaires; Les équations matricielles Quels sont les exemples à retenir? Si p un projecteur de E et s une symétrie, alors :
7 L endomorphisme p est diagonalisable et il existe B base de E telle que : ( Ir (0 Mat B (p = (0 (0 avec r = rg p = tr p et les sous-espaces propres de p sont Ker p et Ker(p id ; L endomorphisme s est diagonalisable et il existe B base de E telle que : ( Ir (0 Mat B (p = (0 I n r avec r = dim Ker(s id et les sous-espaces propres de s sont Ker(s id et Ker(s + id Si f L (E avec rg f = 1 et n = dime 1, alors : 0 est valeur propre de f et dime 0 (f = n 1 ; Le polynôme caractéristique de f est X n 1 (X tr(f ; L endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, tr f 0 Si f L (E est nilpotent et n = dime, alors : La seule valeur propre de f est 0 ; L endomorphisme f est diagonalisable si, et seulement si, il est nul Si A M n (K est de la forme : avec λ K, alors : A = λ?? 0? 0 0 λ Le polynôme caractéristique de A est χ A = (X λ n ; La seule valeur propre de A est λ; La matrice A λi n est nilpotente ; La matrice A est diagonalisable si, et seulement si, A = λi n (c est à dire si, et seulement si, la partie supérieure de A est nulle Les deux derniers cas sont des cas particuliers du résultat suivant : si f L (E n a qu une seule valeur propre λ K, alors f est diagonalisable si, et seulement si, f = λid E
8
9 Illustrations du cours Exercice 1 Éléments propres en dimension infinie Déterminer les éléments propres de l endomorphisme de E = C (R,R : f : C (R,R C (R,R [ ] R R u t u (t + tu(t Exercice 2 Éléments propres de matrices Soit n 2 Déterminer les éléments propres des matrices J, A,B M n (K : J = ( ; A = ; B = ( Exercice 3 Endomorphisme de K n [X ] Soient n 1 et f l endomorphisme de K n [X ] : Démontrer que f est diagonalisable f : K n [X ] K n [X ] P (X 2 1P + X P Exercice 4 Endomorphisme de M n (K Soient A M n (K et l endomorphisme f : M n (K M n (R M AM On suppose que A est diagonalisable Démontrer que f est diagonalisable ( A (0 (0 I n Exercice 5 Matrices définies par blocs Soient A M n (K et B = (matrice par blocs On suppose que A est diagonalisable Démontrer que B est diagonalisable Exercice 6 Utilisation d un polynôme annulateur (1 On reprend la matrice J de l exercice 2 Calculer J 2 et en déduire que Sp(J {0,n} Retrouver Sp(J Exercice 7 Utilisation d un polynôme annulateur (2 Soit M M n (R telle que M 3 + M 2 + M = 0 Démontrer que tr(m est un entier négatif Exercice 8 Utilisation d un polynôme annulateur (3 Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie, f L (E et a,b K On suppose que (f a id (f b id = 0 (a On suppose ici que a b Démontrer que Ker(f a id Ker(f b id = E Que peut-on en déduire concernant f et concernant Sp(f? (b On suppose ici que a = b Montrer au moyen d exemples qu il existe des situations où f est diagonalisable et des situations où f ne l est pas
10
11 QCM Source : ICNA 2014 Pour chacune des questions suivantes, il y a soit exactement deux bonnes réponses, soit une seule, soit aucune (on convient de répondre (e dans ce dernier cas On note A = ( et χ A (X = det(x I n A son polynôme caractéristique (1 On a : (a χ A (X = (X 3(X 2 2 (b χ A (X = (3 X (X 2 2 (c χ A (X = (X 3 2 (X 2 (d χ A (X = (X 3(X 2(X 1 (2 La matrice A ci-dessus est : (a diagonalisable car son polynôme caractéristique est scindé à racines simples (b diagonalisable car son polynôme caractéristique est scindé et que la dimension de chaque sous-espace propre est égal à l ordre de multiplicité de la valeur propre (c non diagonalisable (d inversible (3 Si A est la matrice d un endomorphisme u de R 3 dans la base canonique (e 1,e 2,e 3 de R 3, si on pose ε 1 = e 1 + e 2 + e 3, ε 2 = 4e 1 + 3e 2 + 4e 3 et ε 3 = 2e 1 e 3, on a : (a (ε 1,ε 2,ε 3 est une base de R 3 (b ε 1, ε 2, ε 3 sont trois vecteurs propres de u (c u(ε 3 = ε 2 + 2ε 3 (d u(ε 3 = 2ε 1 ε 3 On note T = ( (4 On a : (a les matrices A et T sont semblables car elles ont le même rang (b les matrices A et T sont semblables car elles ont le même déterminant (c les matrices A et T sont semblables car elles ont le même polynôme caractéristique (d les matrices A et T sont semblables car elles ont la même trace (5 Si on note P = On note T = (a PAP 1 = (b P 1 AP = (c PAP 1 = (d P 1 AP = ( ( ( ( ( ( , J = ( , on a :, K = ( , L = ( On note C (T le sous-espace vectoriel de M 3 (R des matrices qui commutent avec la matrice T, c est à dire les matrices M de M 3 (R telles que MT = T M (6 On a : (a C (T = {0} (b C (T est le sous-espace vectoriel de dimension 3 engendré par les matrices J, K et L
12 (c C (T est le sous-espace vectoriel de dimension 2 engendré par les matrices J, K et L (d C (T est un espace vectoriel de dimension 4 (7 On admet que C (A, le sous-espace vectoriel de M 3 (R des matrices qui commutent avec la matrice A, est de dimension 3, on a alors : (a C (A = Vect(J,K,L (b C (A = Vect(T,T 2,T 3 (c C (A = Vect(I 3, A, A 2 (d C (A = C (T 1a2cd3ac4e5b6b7c 12
Exo7. Matrice d une application linéaire. Corrections d Arnaud Bodin.
Exo7 Matrice d une application linéaire Corrections d Arnaud odin. Exercice Soit R muni de la base canonique = ( i, j). Soit f : R R la projection sur l axe des abscisses R i parallèlement à R( i + j).
Plus en détail[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 30 avril 2015 Enoncés 1
[http://mpcpgedupuydelomefr] édité le 3 avril 215 Enoncés 1 Exercice 1 [ 265 ] [correction] On note V l ensemble des matrices à coefficients entiers du type a b c d d a b c c d a b b c d a et G l ensemble
Plus en détailNOTATIONS PRÉLIMINAIRES
Pour le Jeudi 14 Octobre 2010 NOTATIONS Soit V un espace vectoriel réel ; l'espace vectoriel des endomorphismes de l'espace vectoriel V est désigné par L(V ). Soit f un endomorphisme de l'espace vectoriel
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailPremière partie. Préliminaires : noyaux itérés. MPSI B 6 juin 2015
Énoncé Soit V un espace vectoriel réel. L espace vectoriel des endomorphismes de V est désigné par L(V ). Lorsque f L(V ) et k N, on désigne par f 0 = Id V, f k = f k f la composée de f avec lui même k
Plus en détailUn K-espace vectoriel est un ensemble non vide E muni : d une loi de composition interne, c est-à-dire d une application de E E dans E : E E E
Exo7 Espaces vectoriels Vidéo partie 1. Espace vectoriel (début Vidéo partie 2. Espace vectoriel (fin Vidéo partie 3. Sous-espace vectoriel (début Vidéo partie 4. Sous-espace vectoriel (milieu Vidéo partie
Plus en détailCorrigé Problème. Partie I. I-A : Le sens direct et le cas n= 2
33 Corrigé Corrigé Problème Théorème de Motzkin-Taussky Partie I I-A : Le sens direct et le cas n= 2 1-a Stabilité des sous-espaces propres Soit λ une valeur propre de v et E λ (v) le sous-espace propre
Plus en détailFormes quadratiques. 1 Formes quadratiques et formes polaires associées. Imen BHOURI. 1.1 Définitions
Formes quadratiques Imen BHOURI 1 Ce cours s adresse aux étudiants de niveau deuxième année de Licence et à ceux qui préparent le capes. Il combine d une façon indissociable l étude des concepts bilinéaires
Plus en détailCours d analyse numérique SMI-S4
ours d analyse numérique SMI-S4 Introduction L objet de l analyse numérique est de concevoir et d étudier des méthodes de résolution de certains problèmes mathématiques, en général issus de problèmes réels,
Plus en détailRésolution de systèmes linéaires par des méthodes directes
Résolution de systèmes linéaires par des méthodes directes J. Erhel Janvier 2014 1 Inverse d une matrice carrée et systèmes linéaires Ce paragraphe a pour objet les matrices carrées et les systèmes linéaires.
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détailProgrammes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Biologie, chimie, physique et sciences de la Terre (BCPST) Discipline : Mathématiques Seconde année Préambule Programme
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE. EQUATIONS DIFFERENTIELLES.
CHAPITRE V SYSTEMES DIFFERENTIELS LINEAIRES A COEFFICIENTS CONSTANTS DU PREMIER ORDRE EQUATIONS DIFFERENTIELLES Le but de ce chapitre est la résolution des deux types de systèmes différentiels linéaires
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailCours 02 : Problème général de la programmation linéaire
Cours 02 : Problème général de la programmation linéaire Cours 02 : Problème général de la Programmation Linéaire. 5 . Introduction Un programme linéaire s'écrit sous la forme suivante. MinZ(ou maxw) =
Plus en détailSimulation de variables aléatoires
Chapter 1 Simulation de variables aléatoires Références: [F] Fishman, A first course in Monte Carlo, chap 3. [B] Bouleau, Probabilités de l ingénieur, chap 4. [R] Rubinstein, Simulation and Monte Carlo
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailCapes 2002 - Première épreuve
Cette correction a été rédigée par Frédéric Bayart. Si vous avez des remarques à faire, ou pour signaler des erreurs, n hésitez pas à écrire à : mathweb@free.fr Mots-clés : équation fonctionnelle, série
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailPolynômes à plusieurs variables. Résultant
Polynômes à plusieurs variables. Résultant Christophe Ritzenthaler 1 Relations coefficients-racines. Polynômes symétriques Issu de [MS] et de [Goz]. Soit A un anneau intègre. Définition 1.1. Soit a A \
Plus en détailExo7. Calculs de déterminants. Fiche corrigée par Arnaud Bodin. Exercice 1 Calculer les déterminants des matrices suivantes : Exercice 2.
Eo7 Calculs de déterminants Fiche corrigée par Arnaud Bodin Eercice Calculer les déterminants des matrices suivantes : Correction Vidéo ( ) 0 6 7 3 4 5 8 4 5 6 0 3 4 5 5 6 7 0 3 5 4 3 0 3 0 0 3 0 0 0 3
Plus en détailDéterminants. Marc SAGE 9 août 2008. 2 Inverses et polynômes 3
Déterminants Marc SAGE 9 août 28 Table des matières Quid des formes n-linéaires alternées? 2 2 Inverses et polynômes 3 3 Formule de Miller pour calculer un déterminant (ou comment illustrer une idée géniale)
Plus en détailLe produit semi-direct
Le produit semi-direct Préparation à l agrégation de mathématiques Université de Nice - Sophia Antipolis Antoine Ducros Octobre 2007 Ce texte est consacré, comme son titre l indique, au produit semi-direct.
Plus en détailOptimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications
Optimisation non linéaire Irène Charon, Olivier Hudry École nationale supérieure des télécommunications A. Optimisation sans contrainte.... Généralités.... Condition nécessaire et condition suffisante
Plus en détailCalcul différentiel. Chapitre 1. 1.1 Différentiabilité
Chapitre 1 Calcul différentiel L idée du calcul différentiel est d approcher au voisinage d un point une fonction f par une fonction plus simple (ou d approcher localement le graphe de f par un espace
Plus en détail3. Conditionnement P (B)
Conditionnement 16 3. Conditionnement Dans cette section, nous allons rappeler un certain nombre de définitions et de propriétés liées au problème du conditionnement, c est à dire à la prise en compte
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailDe même, le périmètre P d un cercle de rayon 1 vaut P = 2π (par définition de π). Mais, on peut démontrer (difficilement!) que
Introduction. On suppose connus les ensembles N (des entiers naturels), Z des entiers relatifs et Q (des nombres rationnels). On s est rendu compte, depuis l antiquité, que l on ne peut pas tout mesurer
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailRésumé du cours d algèbre 1, 2013-2014. Sandra Rozensztajn. UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr
Résumé du cours d algèbre 1, 2013-2014 Sandra Rozensztajn UMPA, ENS de Lyon, sandra.rozensztajn@ens-lyon.fr CHAPITRE 0 Relations d équivalence et classes d équivalence 1. Relation d équivalence Définition
Plus en détailBien lire l énoncé 2 fois avant de continuer - Méthodes et/ou Explications Réponses. Antécédents d un nombre par une fonction
Antécédents d un nombre par une fonction 1) Par lecture graphique Méthode / Explications : Pour déterminer le ou les antécédents d un nombre a donné, on trace la droite (d) d équation. On lit les abscisses
Plus en détailDÉRIVÉES. I Nombre dérivé - Tangente. Exercice 01 (voir réponses et correction) ( voir animation )
DÉRIVÉES I Nombre dérivé - Tangente Eercice 0 ( voir animation ) On considère la fonction f définie par f() = - 2 + 6 pour [-4 ; 4]. ) Tracer la représentation graphique (C) de f dans un repère d'unité
Plus en détailINTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES
INTRODUCTION À L ANALYSE FACTORIELLE DES CORRESPONDANCES Dominique LAFFLY Maître de Conférences, Université de Pau Laboratoire Société Environnement Territoire UMR 5603 du CNRS et Université de Pau Domaine
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailIntroduction à l étude des Corps Finis
Introduction à l étude des Corps Finis Robert Rolland (Résumé) 1 Introduction La structure de corps fini intervient dans divers domaines des mathématiques, en particulier dans la théorie de Galois sur
Plus en détailExercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels
Exercices Corrigés Premières notions sur les espaces vectoriels Exercice 1 On considére le sous-espace vectoriel F de R formé des solutions du système suivant : x1 x 2 x 3 + 2x = 0 E 1 x 1 + 2x 2 + x 3
Plus en détailApproximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2
Approximations variationelles des EDP Notes du Cours de M2 Albert Cohen Dans ce cours, on s intéresse à l approximation numérique d équations aux dérivées partielles linéaires qui admettent une formulation
Plus en détailaux différences est appelé équation aux différences d ordre n en forme normale.
MODÉLISATION ET SIMULATION EQUATIONS AUX DIFFÉRENCES (I/II) 1. Rappels théoriques : résolution d équations aux différences 1.1. Équations aux différences. Définition. Soit x k = x(k) X l état scalaire
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailConstruction d un cercle tangent à deux cercles donnés.
Préparation au CAPES Strasbourg, octobre 2008 Construction d un cercle tangent à deux cercles donnés. Le problème posé : On se donne deux cercles C et C de centres O et O distincts et de rayons R et R
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailspé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 2015-2016
spé MP POLYCOPIÉ D EXERCICES 5-6 POLYNÔMES Soit n IN (a) Montrer qu il existe un polynôme P n tel que : θ IR : P n (cos θ) sin θ = sin(n + )θ On donnera une expression de P n (b) Calculer le degré, le
Plus en détailAnalyse en Composantes Principales
Analyse en Composantes Principales Anne B Dufour Octobre 2013 Anne B Dufour () Analyse en Composantes Principales Octobre 2013 1 / 36 Introduction Introduction Soit X un tableau contenant p variables mesurées
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailChapitre 7. Statistique des échantillons gaussiens. 7.1 Projection de vecteurs gaussiens
Chapitre 7 Statistique des échantillons gaussiens Le théorème central limite met en évidence le rôle majeur tenu par la loi gaussienne en modélisation stochastique. De ce fait, les modèles statistiques
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailVI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE
VI. COMPLÉMENTS SUR LES MODULES, THÉORÈME CHINOIS, FACTEURS INVARIANTS SÉANCES DU 15, 16 ET 22 OCTOBRE 12. Compléments sur les modules 12.1. Théorème de Zorn et conséquences. Soient A un anneau commutatif
Plus en détailProgrammation linéaire
1 Programmation linéaire 1. Le problème, un exemple. 2. Le cas b = 0 3. Théorème de dualité 4. L algorithme du simplexe 5. Problèmes équivalents 6. Complexité de l Algorithme 2 Position du problème Soit
Plus en détailÉquations d amorçage d intégrales premières formelles
Équations d amorçage d intégrales premières formelles D Boularas, A Chouikrat 30 novembre 2005 Résumé Grâce à une analyse matricielle et combinatoire des conditions d intégrabilité, on établit des équations
Plus en détailJournées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore. david.madore@enst.fr. 29 mai 2015
et et Journées Télécom-UPS «Le numérique pour tous» David A. Madore Télécom ParisTech david.madore@enst.fr 29 mai 2015 1/31 et 2/31 : définition Un réseau de R m est un sous-groupe (additif) discret L
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détailSouad EL Bernoussi. Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/
Recherche opérationnelle Les démonstrations et les exemples seront traités en cours Souad EL Bernoussi Groupe d Analyse Numérique et Optimisation Rabat http ://www.fsr.ac.ma/ano/ Table des matières 1 Programmation
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailwww.h-k.fr/publications/objectif-agregation
«Sur C, tout est connexe!» www.h-k.fr/publications/objectif-agregation L idée de cette note est de montrer que, contrairement à ce qui se passe sur R, «sur C, tout est connexe». Cet abus de langage se
Plus en détailIntégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé
Intégration et probabilités TD1 Espaces mesurés Corrigé 2012-2013 1 Petites questions 1 Est-ce que l ensemble des ouverts de R est une tribu? Réponse : Non, car le complémentaire de ], 0[ n est pas ouvert.
Plus en détailavec des nombres entiers
Calculer avec des nombres entiers Effectuez les calculs suivants.. + 9 + 9. Calculez. 9 9 Calculez le quotient et le rest. : : : : 0 :. : : 9 : : 9 0 : 0. 9 9 0 9. Calculez. 9 0 9. : : 0 : 9 : :. : : 0
Plus en détailProgrammation linéaire et Optimisation. Didier Smets
Programmation linéaire et Optimisation Didier Smets Chapitre 1 Un problème d optimisation linéaire en dimension 2 On considère le cas d un fabricant d automobiles qui propose deux modèles à la vente, des
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailCalcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach
Chapitre 7 Calcul fonctionnel holomorphe dans les algèbres de Banach L objet de ce chapitre est de définir un calcul fonctionnel holomorphe qui prolonge le calcul fonctionnel polynômial et qui respecte
Plus en détailAnalyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe
Analyse fonctionnelle Théorie des représentations du groupe quantique compact libre O(n) Teodor Banica Résumé - On trouve, pour chaque n 2, la classe des n n groupes quantiques compacts qui ont la théorie
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailDérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema.
Chapitre 5 Dérivées d ordres supérieurs. Application à l étude d extrema. On s intéresse dans ce chapitre aux dérivées d ordre ou plus d une fonction de plusieurs variables. Comme pour une fonction d une
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Maths MP Exercices Fonctions de plusieurs variables Les indications ne sont ici que pour être consultées après le T (pour les exercices non traités). Avant et pendant le T, tenez bon et n allez pas les
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailProgramme de la classe de première année MPSI
Objectifs Programme de la classe de première année MPSI I - Introduction à l analyse L objectif de cette partie est d amener les étudiants vers des problèmes effectifs d analyse élémentaire, d introduire
Plus en détailAlgorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome
Algorithmes pour la planification de mouvements en robotique non-holonome Frédéric Jean Unité de Mathématiques Appliquées ENSTA Le 02 février 2006 Outline 1 2 3 Modélisation Géométrique d un Robot Robot
Plus en détail2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh
2 Fonctions binaires 45 2.4 Représentation graphique, tableau de Karnaugh On peut définir complètement une fonction binaire en dressant son tableau de Karnaugh, table de vérité à 2 n cases pour n variables
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailLa Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1
La Licence Mathématiques et Economie-MASS Université de Sciences Sociales de Toulouse 1 La licence Mathématiques et Economie-MASS de l Université des Sciences Sociales de Toulouse propose sur les trois
Plus en détailBaccalauréat S Antilles-Guyane 11 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat S ntilles-guyane 11 septembre 14 Corrigé EXERCICE 1 6 points Commun à tous les candidats Une entreprise de jouets en peluche souhaite commercialiser un nouveau produit et à cette fin, effectue
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailDéveloppement décimal d un réel
4 Développement décimal d un réel On rappelle que le corps R des nombres réels est archimédien, ce qui permet d y définir la fonction partie entière. En utilisant cette partie entière on verra dans ce
Plus en détailÉtudier si une famille est une base
Base raisonnée d exercices de mathématiqes (Braise) Méthodes et techniqes des exercices Étdier si ne famille est ne base Soit E n K-espace vectoriel. Comment décider si ne famille donnée de vecters de
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailExemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions
Exemple 4.4. Continuons l exemple précédent. Maintenant on travaille sur les quaternions et on a alors les décompositions HQ = He 1 He 2 He 3 He 4 HQ e 5 comme anneaux (avec centre Re 1 Re 2 Re 3 Re 4
Plus en détailUne introduction aux codes correcteurs quantiques
Une introduction aux codes correcteurs quantiques Jean-Pierre Tillich INRIA Rocquencourt, équipe-projet SECRET 20 mars 2008 1/38 De quoi est-il question ici? Code quantique : il est possible de corriger
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailGroupe symétrique. Chapitre II. 1 Définitions et généralités
Chapitre II Groupe symétrique 1 Définitions et généralités Définition. Soient n et X l ensemble 1,..., n. On appelle permutation de X toute application bijective f : X X. On note S n l ensemble des permutations
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailMathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion
Mathématiques appliquées à l'économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle
Plus en détail