Chapitre III Etudes de fonctions. Représentation graphique : C est une droite qui a pour coefficient directeur a. si

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1 Chapitre III Etudes de fonctions I. Rappels des fonctions de références vues en seconde - Fonctions affines : ( ), définies sur. Représentation graphique : C est une droite qui a pour coefficient directeur a. si ( ) ( ) Si Sens de variations : Croissante sur si, décroissante sur si, constante si b Signe : f xax + b = 0 ax = b donc si a 0, f xx = avec a Si Si x - - f x - - f Fonction carrée : ( ), définie sur Représentation graphique : la courbe est appelée parabole de sommet O. l axe des ordonnées est un axe de symétrie. Sens de variations : x f Signe : positive sur 0 - Fonction inverse : ( ), définie sur. Représentation graphique : La courbe dans un repère orthogonal s appelle une hyperbole. Elle admet O comme centre de symétrie Elle a les axes des abscisses et des ordonnées pour asymptotes horizontales et verticales. Sens de variation : Décroissante sur et décroissante sur Signe : x f - +

2 II. Etude de la fonction racine carrée La fonction racine carrée est la fonction f définie sur par : ( ) Propriété : La fonction racine carrée est strictement croissante sur Démonstration : faite en exercice Conséquence : la racine carrée de deux nombres positifs sont rangées dans le même ordre que ces deux nombres c'est-à-dire : a et b étant deux réels positifs, La représentation graphique de la fonction racine carrée est donnée ci-dessous : III. Etude de la fonction valeur absolue La fonction valeur absolue est la fonction définie sur par x si x fx x = x si x On dit que f est une fonction affine par morceaux. Exemples : t si t t = t si t Propriété : la fonction valeur absolue est une fonction décroissante sur et croissante sur Démonstration : Sur : fx x x est une fonction affine décroissante. Sur : fx x x est une fonction affine croissante.

3 Propriété : dans un repère orthogonal (O, i, j ), la courbe représentative de la fonction valeur absolue est symétrique par rapport à l axe des ordonnées. Démonstration : soit f la fonction valeur absolue. Pour tout réel a, on a : fa a a fa Les deux points de coordonnées a ;fa et a, fa sont donc symétriques par rapport à l axe des ordonnées. IV. Position relative de courbes Propriété-définition : Soient f et g deux fonctions définies sur un intervalle I de courbes représentatives Cf et Cg dans un repère du plan. On dit que f est supérieure à g (et on note fg) sur I lorsque, pour tout réel x de I, fxgx. La courbe Cf est au dessus de la courbe Cg sur l intervalle I. On définit de façon analogue Cf en-dessous de Cg si f est inférieure à g. Comparaison des réels x, x² et x lorsque x 0 : Propriété : Si 0<x<1 alors x²x< x Si x>1 alors x<x<x² Si x=0 ou x=1 alors x=x=x² Conséquence : Soient fx x ; gx x et hx x² trois fonctions définies sur On nomme Cf ; Cg ; Ch leur représentation graphique respective. Sur l intervalle ] 0 ; 1[ : La courbe Cf est au-dessus de la droite Cg qui est elle-même au dessus de la courbe Ch Sur l intervalle ]1 ; +[ : La courbe Cf est en dessous de la droite Cg qui est elle-même endessous de la courbe Ch Les points de coordonnées (0 ;0) et (1 ; 1) sont communs aux trois courbes Cf ; Cg ; Ch

4 y=x² y=x y= x V. Fonctions associées u k, ku, u, et u 1. Fonction u+k Définition : Soit u une fonction définie sur une partie d de et k un réel. La fonction notée u k est la fonction définie sur d par : u kx ux k Exemple : Soit u la fonction définie sur par ux x Alors, pour tout réel x, u x ux x x Propriété : Soit u une fonction monotone sur un intervalle I et k un réel. La fonction u k a le même sens de variation que u sur I. Démonstration : Supposons que u est croissante sur I : Pour tout réels a et b de I tels que ab,, on sait que uaub. la fonction xxk est une fonction affine croissante donc : ua kub k, c'est-à-dire u kaukb. Ainsi, u k est croissante sur I. Supposons que u est décroissante sur I : Pour tout réels a et b de I tels que ab,, on sait que uaub. la fonction xxk est une fonction affine croissante donc : ua kub k, c'est-à-dire u kaukb. Ainsi, u k est décroissante sur I.

5 Propriété : Le plan est muni d un repère orthogonal (O, i, j ). Soit u une fonction définie sur une partie d de et k un réel. La courbe représentative de la fonction u+k est im g d c u b p é n ative de u par la translation de vecteur k j Démonstration : Soit c la courbe représentative de u et c celle de uk. On considère le point Mx ;ux de la courbe c et le point M x ;uxk qui appartient à la courbe c. Alors le vecteur MM a pour coordonées (0 ;k). Le point M est donc l image du point M par la translation de vecteur k j. Ce raisonnement étant valable pour tout point M de c, on obtient alors la courbe c à partir de c par la translation de vecteur k j. k j k j c k j j i c 2. Fonction ku Définition : Soit u une fonction définie sur une partie d de La fonction notée ku est la fonction définie sur d par : kux) k ux et k un réel. Exemple : Soit une fonction u définie sur par ux x

6 Alors la fonction ( u )( x ) u( ) x x x Propriété : Soit k un réel non nul et u une fonction définie sur un intervalle I. - Si k > 0 alors les fonctions u et ku ont le même sens de variation sur I. - Si k < 0 alors les fonctions u et ku ont des sens de variation contraires sur I. Démonstration : Supposons u croissante sur I. Soient a et b deux réels de I tels que a < b Supposons k positif : alors a < b u(a) < u(b) car u croissante donc conserve l ordre k u(a) < k u(b) car Xk X croissante quand k positif Donc l ordre est conservé donc ku croissante sur I. Supposons k négatif : alors a < b u(a) < u(b) car u croissante donc conserve l ordre Donc l ordre est inversé donc ku décroissante sur I. k u(a) > k u(b) car Xk X décroissante quand k négatif Propriété : dans le cas où k1, les courbes représentatives de u et de u sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. 3. Fonctions u Définition : soit u une fonction définie sur un intervalle I telle que pour tout réel x de I, ux. La fonction u est la fonction définie sur I par : ( u) x ux Exemple : soit une fonction u définie sur telle que ux x Alors ( u) x x² Propriété : Soit I un intervalle sur lequel une fonction u est définie et telle que pour tout x de I, ux 0 Alors la fonction u a le même sens de variation que la fonction u. Démonstration : Supposons u croissante sur I. Soient a et b deux réels de I tels que a < b Alors ua ub car u croissante ua ub car la fonction X X est croissante sur ua) < u(bl ordre est conservé donc la fonction u est croissante sur I.

7 4. Fonction u Définition : soit une fonction u définie sur un intervalle I telle que pour tout x de I ux 0 Alors la fonction u est définie par : u (x)= ux Exemple : soit u la fonction définie sur par : ux x² on a bien ux 0 pour tout x Alors u (x) = ux = x² Propriété : Soit I un intervalle sur lequel une fonction u est définie et telle que pour tout x de I, ux et de signe constant Alors la fonction et la fonction u ont un sens de variations contraire sur I. u Démonstration : Supposons u croissante sur I. et u non nul et de signe constant (par exemple positive) sur I Soient a et b deux réels de I tels que a < b Alors ua ub car u croissante ua ub car la fonction X X est décroissante sur (car u positive sur I) u a) > u (bl ordre est conservé donc la fonction est décroissante sur I. u

8 Savoir-faire : - Savoir écrire un nombre ou une expression en retirant les valeurs absolues - Savoir résoudre une équation avec des valeurs absolues - Savoir trouver le sens de variation d une fonction avec des valeurs absolues. - Savoir démontrer les sens de variation des fonctions de référence - Savoir encadrer un nombre par enchainement de fonctions - Savoir trouver un sens de variation par enchainement de fonctions. - Savoir trouver un sens de variation par enchainement de fonctions types. - Savoir trouver un sens de variation d une fonction où la variable apparait plusieurs fois.