Remarque. Le tableau de variation donne aussi le signe de suivant les valeurs de.

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1 ES Généralités sur les fonctions I. Les fonctions affines Elles sont définies sur R et peuvent s écrire et b l ordonnée { l origine). f ou (a est le coefficient directeur Eemples et remarques. La fonction est une fonction affine car elle est de la forme avec a = et b = 5. La fonction est une fonction affine car elle s écrit avec a 3 et b. L image de 0 donne l ordonnée { l origine b, autrement dit. Propriétés caractéristiques (c est-à-dire qui permettent de les reconnaître). Les fonctions affines sont représentées par des droites qui ne sont pas parallèles { l ae des ordonnées. Les différences entre les images sont proportionnelles au différences entre les antécédents correspondants (a est le coefficient de proportionnalité). Tableau de variation. ( a > 0 ) ( a < 0 ) 0 Remarque. Le tableau de variation donne aussi le signe de suivant les valeurs de. Eercice.. Résoudre, faire le tableau de variation, puis le tableau de signe de. Représenter f. Mettre en évidence, sur le graphique, le coefficient directeur et l ordonnée { l origine. Cas particuliers importants. Si b 0, alors. La fonction est linéaire, elle est représentée par une droite qui passe par l'origine et les images sont proportionnelles au antécédents. Si a 0, alors. La fonction est constante, elle est représentée par une droite parallèle à l'ae des. Eercice. On donne et. Représenter f et g. Eercice 3. Retrouver l'epression des fonctions affines représentées ci-contre. L'unité est donnée par le quadrillage. D y D Pour le coefficient directeur, on repèrera des points de la droite sur le quadrillage et on utilisera la propriété : a difference difference des des b se lit sur l'ae des y, au point de contact avec la droite. Eercice. f est une fonction affine telle que : et. Trouver par calcul l'epression de. y y y B B y A A. O

2 II. La fonction «carré» Elle est définie sur par. Si a < b < 0, alors a ² > b ² donc la fonction «carré» est strictement décroissante sur ] ; 0]. Si 0 < a < b, alors a ² < b ² donc la fonction «carré» est strictement croissante sur [0 ; + [ La fonction carrée admet donc zéro comme minimum et ce minimum est atteint pour. 3 0,5 0 0, ,5 0 0, o Cette fonction représentée par une parabole de sommet O dirigée vers le haut. Pour tout, on a. Deu nombres opposés ont la même image, dans ce cas on dit que la fonction est paire, sur le graphique, l ae des y est ae de symétrie. Formules de calcul. Équations. équivaut à ou (se démontre en factorisant ) avec a > 0 équivaut à ou (même remarque)

3 III. La fonction «inverse» Elle est définie sur ] ; 0 [ ] 0 ; [ par (0 est une «valeur interdite»). Si a et b sont de même signe avec a < b, alors, donc la fonction «inverse» est strictement a b décroissante sur ] ; 0 [ et strictement décroissante sur ] 0 ; + [. Attention. Elle n est pas strictement décroissante sur ] ; 0 [ ] 0 ; + [ ,5 0, 0 0, 0, 0, , 0, ,5 0, 0, o Cette fonction est représentée par une hyperbole de centre l origine du repère. Pour tout réel,, des nombres opposés ont des images opposées, dans ce cas on dit que la fonction est impaire et la courbe est symétrique par rapport { l origine du repère. Remarque. Ne pas confondre inverse et opposé. est l inverse de tandis que est son opposé. Équations. a b 0 a équivaut à a et 0. équivaut à a 0 (recherche des zéros) et b 0 (recherche des valeurs interdites).

4 IV. Autres fonctions usuelles Les fonctions «racine carrée», «cube» et «valeur absolue» seront étudiées en eercices. Il faut retenir l allure des courbes de ces fonctions. V. Opérations sur les fonctions Définitions. Soit f et g deu fonctions définies sur un même ensemble de définition D. On peut définir les fonctions suivantes, sur D. Opération Notation Fonction définie, pour tout D par : Produit par un réel k k f Somme de fonction f + g Produit de fonction f g Inverse d une fonction (si f ne s annule pas sur D) Quotient de deu fonctions (si g ne s annule pas sur D) f f g f f g f f g Théorème. Les nouvelles fonctions définies précédemment ont les propriétés suivantes. Fonction Sens de variation Courbe représentative k f avec k > 0 Les fonctions f et k f ont le même sens de variation sur D. k f avec k < 0 f + g Les fonctions f et k f ont des sens de variation contraire sur D. Si f et g sont croissantes sur I D, alors f + g est croissante sur I Si f et g sont décroissantes sur I D, alors f + g est décroissante sur I. La courbe de la fonction k f est obtenue en multipliant par k les ordonnées des points de la courbe C f. La courbe de la fonction f + g est obtenue en ajoutant les ordonnées des points de la courbe C f et de la courbe C g pour une abscisse donnée. Cas particulier. Dans le cas où, on obtient la fonction k f = f dont la courbe est la symétrique de la courbe de f par rapport { l ae des abscisses. Eercice 5. a) Faire les tableau de valeurs des fonctions b) En déduire, le tableau de valeurs de la fonction. c) Représenter la fonction en bleu, la fonction et en vert, pour [ 3 ; 3 ]. la fonction en noir. d) Sur quel intervalle peut-on appliquer le théorème précédent, pour connaître le sens de variation de la fonction? Que peut-on dire sur l autre intervalle?

5 VI. Les fonctions associées Le problème. Connaissant la parabole, courbe de la fonction des fonctions et?, comment obtenir les courbes y o On constate que les trois courbes sont des paraboles identiques mais ayant subies une translation. La courbe de s obtient { partir de celle de f par la translation de vecteur 3 j. La courbe de s obtient { partir de celle de f par la translation de vecteur i. Théorème (admis). Soit u une fonction et k un nombre. La courbe de la fonction est la translatée de la courbe Cu par la translation de vecteur k j (translation verticale de k unités). La courbe la fonction k i (translation horizontale de k unités). est la translatée de la courbe Cu par la translation de vecteur Eercice 6. Faire le tableau de variation de la fonction. A partir de celui-ci, faire les tableau de variation des fonctions :, et.

6 VII. Les fonctions composées Définition. Soit f une fonction définie sur un ensemble I et g une fonction définie sur un ensemble J, telles que pour tout I, J. f g I J R. On appelle fonction composée des fonctions f et g, la fonction notée définie par. f g. Ainsi, la composée des fonctions f et g est la fonction qui s'obtient en remplaçant par dans. Eercice 7. a) Soit et, déterminer les fonctions et ainsi que leurs ensembles de définition. A-t-on? b) Même question avec et. c) Trouver les fonctions, et telles que. Théorème (admis). Avec les mêmes données que pour la définition. g est croissante sur J g est décroissante sur J f est croissante sur I g o f est croissante sur I g o f est décroissante sur I f est décroissante sur I g o f est décroissante sur I g o f est croissante sur I Eercice 8. a) Trouver les fonctions f et g telles que, ainsi que l ensemble de définition des fonctions, et. b) En utilisant le théorème ci-dessus, trouver le sens de variation de la fonction.

7 ES Généralités sur les fonctions Correction des eercices du cours Les fonctions affines. Eercice.. Résolvons. Cela donne soit puis. Comme le coefficient directeur est 3 < 0, f est une fonction décroissante. D où le tableau : 0 Le tableau de signe s en déduit facilement : 0 Représentons f, mais pour cela faisons n tableau de valeur : 0 A o - B - C L ordonnée { l origine est, c est le nombre que l on lit { l intersection de l ae des y et de la droite. Pour aller de A { B, on se déplace d une unité vers la droite et de 3 unités vers le bas, ceci est la traduction graphique du coefficient directeur (lorsque varie d une unité, alors varie de unités). De même lorsqu on se déplace de B { C. On a le tableau des différences suivant : Ce tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient directeur est le coefficient de proportionnalité (.

8 Eercice. On donne et. Représentons f et g et faisons d abord un tableau de valeur : o On dit que et sont les équations des droites associées au fonctions f et g. Eercice 3. Retrouvons l'epression des fonctions affines représentées ci-contre. L'unité est donnée par le quadrillage. D y D Les points et sont sur la droite donc. Puis on lit sur le graphique que La fonction affine associée à est donc : Les points et D sont sur la droite donc. Puis on lit sur le graphique que La fonction affine associée à est donc : O Eercice. f est une fonction affine telle que : et. Trouvons par calcul l'epression de. et signifient que la droite représentative de f passe par les points et d où :. Donc la fonction affine est de la forme. Comme l image de est, alors on peut remplacer par et par dans l epression de, ce qui donne l équation : puis et. Donc l epression de est.

9 Opérations sur les fonctions. Eercice 5. a) et b) Faisons les tableau de valeurs des fonctions pour [ 3 ; 3 ].,, c) Représentons les fonctions en noir. en bleu, en vert, 8 d) Puisque les fonctions et sont croissantes sur [ 0 ; 3 ], alors la fonction somme est croissante sur [ 0 ; 3 ]. Sur [ 3 ; 0 ], le théorème ne permet pas de dire le sens de variation de la fonction somme puisque et n ont pas le même sens de variation. On peut d ailleurs observer que sur [ 3 ; ] la fonction est décroissante et que sur [ ; 0 ] elle est croissante. Les fonctions associées. o Eercice 6. Faisons le tableau de variation de la fonction partir de celui-ci, faisons les tableau de variation des fonctions, et. Pour cela remarquons : Cg est la translatée de Cf par la translation de vecteur 5 j. Ch est la translatée de Cf par la translation de vecteur i. Cm est la translatée de Cf par la translation de vecteur 5 i + j. et à - Fonction carrée 0 + Fonction g Fonction h + Fonction m + 0 5

10 Les fonctions composées. Eercice 7. a) Soit et, déterminons les fonctions et ainsi que leur ensemble de définition. On a définie sur [ 0 ; + [. On a définie sur [ ; + [. On n a pas car les ensembles de définition sont différents (les formules le sont aussi, donc les images, par eemple tandis que ). b) De même avec et. On a définie sur R. On a définies sur R. On n a pas car par eemple et. c) Trouvons les fonctions et telles que. On peut décomposer la fonction suivant le schéma : f X g Y avec h. Eercice 8. a) Trouvons les fonctions f et telles que, ainsi que l ensemble de définition des fonctions et. En faisant comme dans l eercice précédent, on a : f avec g X. Pour les ensembles de définition, c est plus délicat, il faut «partir de la fin». g est définie sur [ 0 ; + [ donc on doit avoir 0 soit d où on voit que la fonction f est définie sur [ ; + [. De même, g o f est définie sur [ ; + [. Autre solution. On a et Puis : eiste b) En utilisant le théorème ci-dessus, trouvons le sens de variation de la fonction. ; f 0; est croissante et 0; g R est croissante. Donc la fonction g o f est croissante. ; R

11 ES Généralités sur les fonctions Eercices La fonction «carré». Eercice. a) Résoudre. b) Résoudre. c) Résoudre en posant X. d) Résoudre en posant X =. Eercice. a) A l aide du tableau de variation donner un encadrement de sachant que 3. b) Même question sachant que. c) Même question sachant que 3. Eercice 3. a) Tracer rapidement la parabole d'équation et résoudre. Résoudre cette inéquation par le calcul. b) Même question graphiquement avec > 5. c) Même question graphiquement avec 9 < < 6. La fonction «inverse». Eercice. a) Tracer rapidement l'hyperbole d'équation y et résoudre. Résoudre cette inéquation par le calcul. b) Même question graphiquement avec 0, 5. c) Même question graphiquement avec 0,5. d) Même question graphiquement avec 7 0. Eercice. On veut résoudre l équation a) Résoudre Eercice 3. X. b) En déduire les solutions de 3. On pose X = 3. Déterminer l ensemble de définition des fonctions suivantes : ; ;. 3. La fonction «racine carrée». Eercice. f est la fonction définie sur [ 0 ; [ par. a) Recopier et compléter le tableau suivant : 0 0, b) Représenter f dans un repère orthogonal d'unité cm sur l ae des et cm sur l ae des y (prévoir une page en disposition paysage). c) Faire le tableau de variation de la fonction f. d) Utiliser le graphique pour résoudre. e) Utiliser le graphique pour résoudre,5. f) Utiliser le graphique pour résoudre 3. Eercice *. On veut résoudre l équation. On pose X =. a) Résoudre X. b) En déduire les solutions de.

12 Racine carrée : Formulaire eiste si 0 et alors 0. Si on a 0 a et 0 b alors (ici b 0) Pour tout nombre a on a Eercice 3. Donner les ensembles de définition des fonctions ; ;. La fonction «cube». Eercice. f est la fonction définie sur R par. ) Recopier et compléter le tableau suivant : 0,5 0,5 0 0,5 0,5 ) Représenter la fonction f dans un repère orthogonal, d unité cm sur l ae des abscisses et cm sur l ae des ordonnées (prévoir une page). Cette fonction est-elle paire? Impaire? Justifier par un calcul. 3) Faire le tableau de variation de la fonction f. ) Utiliser le graphique pour résoudre : a) b) c) d) > 5 e). Eercice *. Résoudre les équations et inéquations suivantes, en faisant un changement de variable. a) b) c) 5 d) > 8. La fonction «valeur absolue». Eercice. f est la fonction définie sur R par. ) Recopier et compléter : Si alors Si, alors ) En déduire comment est constituée la courbe de f. 3) Construire la courbe de f dans un repère orthonormé. Cette fonction est-elle paire? Impaire? Justifier. ) Faire le tableau de variation de la fonction f. Fonctions paires et impaires. Eercice.. Rappeler la définition d une fonction paire, d une fonction impaire.. Étudier la parité des fonctions suivantes (dire si elles sont paires, impaires, ni l un ni l autre) en justifiant. a) 3 définie sur R b) c) 5 définie sur R d) définie sur R e) définie sur R* f) définie sur R. définie sur R {}

13 Opérations sur les fonctions. Eercice. La fonction f, définie sur [ 0 ; 8 ] est représentée par la courbe ci-dessous : 5 C A D o B -5. Construire, sur ce graphique, les courbes des fonctions : f f (en bleu), f + (en vert), (en rouge), f 3 (en noir).. Comparer les sens de variation de ces fonctions par rapport à ceu de. Justifier. Eercice *. Eprimer chacune des fonctions suivantes comme somme, produit par un réel, produit ou quotient de fonctions de référence. On note (par eemple) :,,. a) b) 3 c). Eercice 3. Pour chacune des fonctions suivantes, indiquer le sens de variation de la fonction f sur l intervalle donné en justifiant votre réponse (opération, sens de variation des fonctions de référence). a) sur [ 0 ; + [ b) sur ] 0 ; + [ c) sur [ 0 ; + [ d) sur [ 0 ; + [ e) sur [ 0 ; + [. Les fonctions associées. Eercice. On considère la fonction f définie sur R par ) Démontrer que. et Cf sa courbe représentative. ) Donner la transformation qui permet d obtenir la courbe de f à partir de la parabole représentative de la fonction, puis tracer Cf.

14 Eercice. On considère la fonction f définie par 3 et Cf sa courbe représentative. ) Rappeler le tableau de variation de la fonction h : (on note C h sa courbe représentative). ) Donner l ensemble de définition de f. 3) Montrer que, pour tout. ) En déduire une transformation qui permet de construire Cf à partir de Ch. 5) Tracer alors Ch puis Cf. 6) Indiquer le sens de variation de f puis dresser le tableau de variations de f. Eercice 3*. u est une fonction ayant le tableau de variation ci-dessous. En déduire le tableau de variation de f dans chacun des cas suivants : a) b) c) d). 0 3 Eercice *. En s aidant des fonctions usuelles, déterminer le tableau de variation de f dans chacun des cas suivants : a) b) c) d) e) f) g). Les fonctions composées. Eercice. Pour chacune des fonctions h suivantes : ) La décomposer comme composée de fonctions de référence. ) Donner l ensemble de définition. a) b) c). Eercice. Soit f et g deu fonctions définies respectivement sur Df et Dg. Pour chacune des fonctions f et g ci-dessous : ) Préciser l ensemble de définition de la fonction. ) Eprimer le plus simplement possible. a) et b) et c) et. Eercice 3*. Reprendre des consignes de l eercice précédent pour la fonction k définie par. Eercice. Dans chacun des cas suivants : ) Eprimer. ) Rappeler le sens de variation de la fonction f sur I et celui de g sur. 3) Déterminer le sens de variation de sur I. a) et sur I = [ ; + [. b) et sur I = ;. 3

15 ES Généralités sur les fonctions Correction des eercices La fonction «carré». Eercice. a) Résolvons. Cela donne puis et. Donc ou puis ou. Donc S. b) Résolvons. Il n y a pas de solution car un carré est toujours positif. Donc S. c) Résolvons en posant X, l équation devient donc ou. Donc. Comme X alors X donc S. d) Résolvons en posant X, l équation devient donc Comme X alors puis. Donc S. Eercice. a) A l aide du tableau de variation donnons un encadrement de sachant que Donc pour 3 on a 9. b) Même question sachant que. 6 Donc pour on a 6. c) Même question sachant que Donc pour 3 on a 0 9.

16 Eercice 3. a) Traçons rapidement la parabole d'équation y. o - Les solutions de l inéquation sont les abscisses des points de la parabole situés en dessous (ou sur) la droite (horizontale) d équation y =. Donc S = [ ; ]. b) Les solutions de l inéquation > 5 sont les abscisses des points de la parabole situés au dessus de la droite d équation y = 5 Donc S =. c) Les solutions de l inéquation 9 < < 6 sont les abscisses des points de la parabole situés dans la bande horizontale délimitée par les droites d équations y = 9 et y = 6. Donc S =. La fonction «inverse». Eercice. a) Traçons rapidement l'hyperbole d'équation y. o Les solutions de l inéquation droite d équation y =. Donc S = 0 ;. sont les abscisses des points de l hyperbole situés au dessus de la b) Les solutions de l inéquation 0, 5 sont les abscisses des points de l hyperbole situés en dessous (ou sur) la droite d équation y = 0,5. Donc S =.

17 c) Les solutions de l inéquation 0,5 sont les abscisses des points de l hyperbole situés dans la bande horizontale délimitée par les droites d équations y = 0,5 et y =. Donc S =. 7 d) Donc les solutions de l inéquation sont les abscisses des points de l hyperbole situés en dessous (ou sur) la droite d équation y = 3,5. Donc S = ; 0. 7 Eercice. On veut résoudre l équation 3. On pose X. a) Les solutions de l inéquation sont les abscisses des points de l hyperbole situés en dessous (ou X sur) la droite d équation y = 0,5. Donc SX =. b) Comme X alors on en déduit les solutions de la première équation : S. Eercice 3. Déterminons l ensemble de définition des fonctions suivantes : ; ;. eiste Donc. Donc eiste. Donc R. eiste.

18 La fonction «racine carrée». Eercice. f est la fonction définie sur [ 0 ; [ par. a) Complétons le tableau suivant : 0 0, ,7,,7, 3 3,5 5 b) Représentons f dans un repère orthogonal d'unité cm sur l ae des et cm sur l ae des y (prévoir une page en disposition paysage). o c) Faisons le tableau de variation de la fonction f d) Les solutions de l équation sont les abscisses des points de la courbe de f dont l ordonnée est. Donc S = {}. e) Les solutions de l inéquation,5 sont les abscisses des points de la courbe de f situés en dessous de la droite d équation y =,5. Donc S = [ 0 ;,5 ] soit S = [ 0 ; 6,5 ]. f) Les solutions de l inéquation > 3 sont les abscisses des points de la courbe de f situés au dessus de la droite d équation y = 3. Donc S = ] 9 ; + [. Eercice *. On veut résoudre l équation. On pose X. a) L équation X a pour solution SX = {}. b) Comme X alors X. On en déduit que l ensemble des solutions de est S = {0}.

19 Eercice 3. Donnons les ensembles de définition des fonctions ; ;. Pour calculer un radical (racine carrée), l epression située sous le radical doit être positive ou nulle. Donc est définie Donc Df = [ 3 ; + [. Donc est définie 0. Donc Dg = ] ; ]. Donc est définie 0 R. Donc Dh = R. La fonction «cube». Eercice. f est la fonction définie sur R par. ) Complétons le tableau suivant : 0,5 0,5 0 0,5 0,5 0 8 ) Représentons la fonction f dans un repère orthogonal, d unité cm sur l ae des abscisses et cm sur l ae des ordonnées (prévoir une page). 8 o - -8

20 La courbe suggère que la fonction est impaire (symétrie par rapport { l origine), vérifions-le : D abord l ensemble de définition de la fonction est, donc il est symétrique par rapport à. Puis : 3) Faisons le tableau de variation de la fonction f ) Utilisons le graphique pour résoudre : a). Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés sur la droite d équation. Donc S. b). Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés sur la droite d équation. Donc S (environ). En fait S. c). Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés en dessous de la droite d équation. Donc S. d) > 5. Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés au dessus de la droite d équation. Donc S (environ). En fait S. e). Les solutions sont les abscisses des points de la courbe situés entre les droites d équation et. Donc S (environ). En fait S. Eercice *. Résolvons les équations et inéquations suivantes, en faisant un changement de variable. a), on pose X, l équation devient, donc Comme X, alors donc. Donc S b), on pose X, l équation devient, donc Comme X, alors donc. Donc. c) 5, on pose, l équation devient, donc. Comme X, alors, donc S. d) > 8, on pose, l équation devient, donc Comme, alors puis, donc S.

21 La fonction «valeur absolue». Eercice. f est la fonction définie sur R par. ) Complétons : Si alors. Si, alors ) On en déduit que sur, la fonction f a pour représentation graphique la droite d équation et sur, la fonction f a pour représentation graphique la droite d équation. 3) Construisons la courbe de f dans un repère orthonormé en utilisant la question précédente. 5 3 o ) Faisons le tableau de variation de la fonction f

22 Fonctions paires et impaires. Eercice.. Une fonction est paire si : () Son ensemble de définition est symétrique par rapport { l origine. () Pour tout on a :. Une fonction est impaire si : () Son ensemble de définition est symétrique par rapport { l origine. () Pour tout on a :.. Étudions la parité des fonctions suivantes. Remarque : Ne pas oublier de voir si l ensemble de définition est symétrique par rapport { l origine. Dans le cas contraire, on sait que la fonction n est ni paire, ni impaire. a) On calcule 3 définie sur R. 3 = 3. Donc f est impaire. b) définie sur R {}. L ensemble de définition de g n est pas symétrique par rapport { l origine, donc g est ni paire, ni impaire. c) 5 définie sur R. 5 = 5, donc h est paire. d) définie sur R. e) définie sur R*., donc m est impaire. (remarquer que l ensemble de définition est symétrique par rapport { l origine). f) définie sur R., donc p est paire., donc n est impaire

23 Opérations sur les fonctions. Eercice. La fonction f, définie sur [ 0 ; 8 ] est représentée par la courbe ci-dessous : 5 C A D o B -5. Nous allons construire, sur ce graphique, les courbes des fonctions : f f (en bleu), f + (en vert), (en rouge), f 3 (en noir). Faisons d abord un tableau de valeurs : On obtient ensuite les courbes suivantes : C C A C D A B C 3 D A D A 3 B D 3 o B 3 A B C D - B -8

24 Les fonctions ont les mêmes sens de variations que. En effet, l addition d un nombre et la multiplication par un nombre positif ne changent pas le sens de variation. la fonction a des sens de variation différents de ceu de. E effet, la multiplication par un nombre négatif (ici ) change le sens de variation. Eercice *. Eprimons chacune des fonctions suivantes comme somme, produit par un réel, produit ou quotient de fonctions de référence. On note (par eemple) :,,. a). Donc. b) 3. Donc. c). Donc. Eercice 3. Pour chacune des fonctions suivantes, indiquons le sens de variation de la fonction f sur l intervalle donné en justifiant (opération, sens de variation des fonctions de référence). a) sur [ 0 ; + [. Comme et sont croissantes sur [ 0 ; + [, alors leur somme est croissante sur [ 0 ; + [. b) sur ] 0 ; + [. Comme et sont décroissantes sur ] 0 ; + [, alors leur somme est décroissante sur ] 0 ; + [. c) sur [ 0 ; + [. Comme est croissantes sur ] 0 ; + [, alors son produit par 3, la fonction 3 est décroissante sur ] 0 ; + [. d) sur [ 0 ; + [. Comme et 3 sont croissantes sur [ 0 ; + [, alors leur somme 3 est aussi croissante sur [ 0 ; + [. e) sur [ 0 ; + [. Cette fonction est le produit par de la précédente, donc elle est décroissante sur [ 0 ; + [.

25 Les fonctions associées. Eercice. On considère la fonction f définie sur R par et Cf sa courbe représentative. ) Il suffit de développée l epression proposée (mais il ne faut pas partir de la conclusion!) ). En notant la fonction de référence (fonction «carré»), on a :. Donc d après le théorème relatif au fonctions associées, la courbe de f d obtient { partir de la parabole de la fonction par une translation de vecteur. On a donc le graphique : 8 6 B oa La courbe de f est en rouge, celle de g en bleu, le vecteur de translation est.

26 Eercice. On considère la fonction f définie par 3 et Cf sa courbe représentative. ) Le tableau de variation de la fonction h : (on note C h sa courbe représentative) est : 0 + ) L ensemble de définition de f est D = R {}. 3) Pour tout D, on a + ) En notant = = la fonction de référence (fonction inverse), on a. En utilisant le théorème relatif au fonctions associées, on en déduit que la courbe de f se déduit de celle de h par une translation de vecteur 5) Traçons alors Ch puis Cf. i j. = 3. 6 B A o 8 - A courbe de h est en vert, celle de f en bleu, le vecteur de translation est. 6) Indiquons le sens de variation de f : f est décroissante sur ] ; [ et elle est décroissante sur ] ; + [. Dressons le tableau de variation de f

27 Eercice 3*. u est une fonction ayant le tableau de variation ci-dessous. Nous allons en déduire le tableau de variation de f dans chacun des cas suivants, en utilisant le théorème relatif au fonctions associées. 0 3 a). Donc la courbe de f se déduit de celle de u par une translation de vecteur. Donc : 0 3 b). La courbe de f se déduit de celle de u par une translation de vecteur. Donc : c). La courbe de f se déduit de celle de u par une translation de vecteur. Donc : d). La courbe de f se déduit de celle de u par une translation de vecteur. Donc :

28 Eercice *. En s aidant des fonctions usuelles, déterminer le tableau de variation de f dans chacun des cas suivants. Rappelons le tableau de variation des fonctions «carré» et «inverse» a). La courbe de f se déduit de celle de la fonction «carré» par une translation de vecteur. Donc : + b). La courbe de f se déduit de celle de la fonction «inverse» par une translation de vecteur. Donc : 0 + c). La courbe de f se déduit de celle de la fonction «inverse» par une translation de vecteur. Donc : + d). La courbe de f se déduit de celle de la fonction «carré» par une translation de vecteur. Donc : + e). La courbe de f se déduit de celle de la fonction «carré» par une translation de vecteur. Donc : +